5. Домашнее задание: №27, № 30, № 31.

Использованная литература

1. Геометрия. 10 класс. Поурочные планы по учебнику Л.С. Атанасян и др. Часть 1 / Сост. Д.Ф. Айвазян — Волгоград: Учитель — АСТ, 2004.

13.07.2012

Задачи для урока «Решение задач на параллельность прямых, прямой и плоскости.»(10 класс)

Решение задач на параллельность прямых, прямой и плоскости.

Справедливость утверждений

1. Верно ли, что если две прямые параллельны плоскости, то эти прямые параллельны?

2. Верно ли, что если прямая 

3. Верно ли, что если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения этих плоскостей параллельна данной прямой.

4. Верно ли, что если прямая a перпендикулярна прямой b, перпендикулярной некой плоскости  то a параллельна плоскости 

Теоремы о параллельности прямой и плоскости

1. Докажите, что если точки A и B лежат в плоскости  а точка O — вне ее, то прямая, проходящая через середины отрезков OA и OB, параллельна 

2. Докажите, что если плоскость  пересекает отрезки  и  в их серединах, то отрезок  параллелен плоскости 

3. Докажите, что сечение тетраэдра  плоскостью, параллельной ребру  и проходящей через середины рёбер  и  — параллелограмм.

4. Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер   и  тетраэдра  пересекает его по параллелограмму.

5. Докажите, что если прямая и плоскость перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

6. Докажите, что если из вершин основания тетраэдра в боковых гранях провести высоты, а затем в каждой из боковых граней основания двух лежащих в ней высот соединить прямой, то три полученные прямые параллельны одной плоскости.

Отрезок и плоскость

1. Плоскость  проходит через вершины  и  треугольника , но не совпадает с плоскостью этого треугольника. На сторонах треугольника  и  взяты соответственно точки  и  так, что отрезок  параллелен плоскости  Найдите отрезок , если  = 5, а 

2. Плоскость  проходит через вершины  и  треугольника , но не совпадает с плоскостью этого треугольника. На сторонах треугольника  и  взяты соответственно точки  и  так, что отрезок  параллелен плоскости  Найдите отрезок , если  = 9, а 

3. Плоскость  проходит через вершины  и  треугольника , но не совпадает с плоскостью этого треугольника. На сторонах треугольника  и  взяты соответственно точки  и  так, что отрезок  параллелен плоскости  Найдите отрезок , если  = 6, а 

4. Плоскость  проходит через вершины  и  треугольника , но не совпадает с плоскостью этого треугольника. На сторонах треугольника  и  взяты соответственно точки  и  так, что отрезок  параллелен плоскости  Найдите отрезок , если  = 13, а 

5.  Плоскость  проходит через вершины  и  треугольника , но не совпадает с плоскостью этого треугольника. На сторонах треугольника  и  взяты соответственно точки  и  так, что отрезок  параллелен плоскости  Найдите отрезок , если  = 4, а 

6. Плоскость  проходит через вершины  и  треугольника , но не совпадает с плоскостью этого треугольника. На сторонах треугольника  и  взяты соответственно точки  и  так, что отрезок  параллелен плоскости  Найдите отрезок , если  = 7, а 

Решение

Справедливость утверждений

1. Верно ли, что если две прямые параллельны плоскости, то эти прямые параллельны?

Решение.

Нет, так как по определению две прямые параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Ответ: Нет.

2. Верно ли, что если прямая а параллельна прямой b, а b параллельна плоскости  то a параллельна плоскости 

Решение.

Ответ: Нет.

3. Верно ли, что если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения этих плоскостей параллельна данной прямой.

Решение.

Да, так как по теореме, если плоскость  проходит через данную прямую a, параллельную плоскости , и пересекает эту плоскость по прямой b, то .

Ответ: Да.

4. Верно ли, что если прямая a перпендикулярна прямой b, перпендикулярной некой плоскости  то a параллельна плоскости 

Решение.

Ответ: Нет.

Теоремы о параллельности прямой и плоскости

1. Докажите, что если точки A и B лежат в плоскости  а точка O — вне ее, то прямая, проходящая через середины отрезков OA и OB, параллельна 

Решение.

Пусть C и D — середины сторон AO и OB соответственно. Тогда CD — средняя линия треугольника AOD, откуда получаем, что CD параллельно AB.

2. Докажите, что если плоскость  пересекает отрезки  и  в их серединах, то отрезок  параллелен плоскости 

3. Докажите, что сечение тетраэдра  плоскостью, параллельной ребру  и проходящей через середины рёбер  и  — параллелограмм.

Решение.

Заметим, что G — середина DB по построению. Так как E середина AC по условию, а EF параллельна AD, то F середина DC. Получаем, что EF средняя линия треугольника ADC, EL средняя линия треугольника ABC, LG средняя линия треугольника ABD, EF средняя линия треугольника DCB. Имеем:

Так же FG || CB || EL и LG || AD || EF. Тогда AFGL — параллелограмм, так как стороны попарно равны и параллельны.

4. Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер   и  тетраэдра  пересекает его по параллелограмму.

5. Докажите, что если прямая и плоскость перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

Решение.

Проведем прямую c, параллельную данной прямой b, которая пересечет плоскость в точке D и прямую в точке C. По теореме прямая DC перпендикулярна плоскости и прямой. Если допустить, что исходная прямая и плоскость не параллельны, то есть имеют хотя бы одну общую точку E, то получим треугольник EDC с двумя прямыми углами при C и D, что невозможно. Тогда прямая a и плоскость параллельны.

6. Докажите, что если из вершин основания тетраэдра в боковых гранях провести высоты, а затем в каждой из боковых граней основания двух лежащих в ней высот соединить прямой, то три полученные прямые параллельны одной плоскости.

Отрезок и плоскость

1. Плоскость  проходит через вершины  и  треугольника , но не совпадает с плоскостью этого треугольника. На сторонах треугольника  и  взяты соответственно точки  и  так, что отрезок  параллелен плоскости  Найдите отрезок , если  = 5, а 

Решение.

По условию задачи  и  Так как  то 

Рассмотрим  и 

Следовательно,  и  подобны по двум углам.

Из подобия имеем:

Если  то 

Подставляем имеющиеся значения:

Ответ: .

2. Плоскость  проходит через вершины  и  треугольника , но не совпадает с плоскостью этого треугольника. На сторонах треугольника  и  взяты соответственно точки  и  так, что отрезок  параллелен плоскости  Найдите отрезок , если  = 9, а 

Решение.

Ответ: .

3. Плоскость  проходит через вершины  и  треугольника , но не совпадает с плоскостью этого треугольника. На сторонах треугольника  и  взяты соответственно точки  и  так, что отрезок  параллелен плоскости  Найдите отрезок , если  = 6, а 

Решение.

По условию задачи  и  Так как  то 

Рассмотрим  и 

Следовательно,  и  подобны по двум углам.

Из подобия имеем:

Если  то 

Подставляем имеющиеся значения:

Ответ: 9.

4. Плоскость  проходит через вершины  и  треугольника , но не совпадает с плоскостью этого треугольника. На сторонах треугольника  и  взяты соответственно точки  и  так, что отрезок  параллелен плоскости  Найдите отрезок , если  = 13, а 

Решение.

Ответ: 60.

5. Плоскость  проходит через вершины  и  треугольника , но не совпадает с плоскостью этого треугольника. На сторонах треугольника  и  взяты соответственно точки  и  так, что отрезок  параллелен плоскости  Найдите отрезок , если  = 4, а 

Решение.

По условию задачи  и  Так как  то 

Рассмотрим  и 

Следовательно,  и  подобны по двум углам.

Из подобия имеем:

Подставляем имеющиеся значения:

Ответ: 10.

6. Плоскость  проходит через вершины  и  треугольника , но не совпадает с плоскостью этого треугольника. На сторонах треугольника  и  взяты соответственно точки  и  так, что отрезок  параллелен плоскости  Найдите отрезок , если  = 7, а 

Решение.

Ответ: .

Параллельные и перпендикулярные линии и плоскости

Дополнительно

Показать рекламу

Скрыть рекламу
О рекламе

Ну, это иллюстрация линии,
, потому что линия не имеет толщины и не имеет концов (продолжается вечно).

Хорошо, иллюстрация плоскости,
потому что плоскость плоская поверхность с без толщины что простирается навсегда .
(Но здесь мы рисуем края только для того, чтобы сделать иллюстрации более четкими.)

Перпендикулярные линии

Две линии перпендикулярны, когда они находятся под прямым углом друг к другу.

Красная линия перпендикулярна синей линии в каждом из следующих примеров:

(Подробнее о перпендикулярных линиях.)

Перпендикулярно плоскости

Линия перпендикулярна плоскости, если она проходит прямо от нее, как карандаш, стоящий на столе.

Если карандаш перпендикулярен линии на столе, то он может быть перпендикулярен столу:

Или может наклоняться над :

две линии (там, где они пересекаются), тогда это перпендикулярно столу:

Он не может указывать ни на что другое, кроме как прямо от стола.

Итак, мы можем сказать так:

И многое другое, что мы можем сказать:

Перпендикулярные плоскости

Параллельные плоскости

Когда плоскость пересекает две параллельные плоскости , пересечение представляет собой две параллельные линии.

Copyright © 2017 MathsIsFun.com

уравнений прямых линий: параллельные и перпендикулярные прямые

Slope-Intercept FormPoint-Slope Form

Purplemath

Есть еще одно соображение для уравнений прямых: нахождение параллельных и перпендикулярных линий. Вот общий формат упражнений на эту тему:

• Для заданной прямой 2

  x − 3 y = 9 и точки (4, −1) найдите прямые в форме пересечения наклона, проходящие через заданную точку, такие, что эти две прямые равны соответственно:

(а) параллельно данной линии, а

(б) перпендикулярно ему.

Мне дали ориентир, а именно 2 x  − 3 y = 9; это линия, на наклон которой я буду ссылаться позже в своей работе.

Содержимое продолжается ниже

MathHelp.

Эта линия имеет некоторое значение наклона (хотя, конечно, не значение «2», потому что это уравнение линии не решено для » y =»).

Сначала мне нужно найти наклон опорной линии. Я мог бы использовать метод двойной подстановки x -значений в опорную линию, находя соответствующие y -значения, а затем подставить две точки, которые я нашел, в формулу наклона, но я бы предпочел просто найти » y =». (Это только мое личное предпочтение. Если ваши предпочтения отличаются, используйте любой метод, который вам больше нравится. .) Итак:

Первым делом я решу «2 x — 3 y = 9″ для » y =», так что я могу найти опорный наклон:

2 x — 3 y = 9

-1 y 9021 2 x + 9

y = ( ² / ₃ ) x − 3

So the reference slope from the reference line is

m = ² / ₃ .

Теперь мне нужно найти два новых склона и использовать их с точкой, которую они мне дали; а именно, с точкой (4, −1). Они хотят, чтобы я нашел прямую через (4, −1), параллельную 2 х — 3 у = 9; то есть через заданную точку они хотят, чтобы я нашел линию, которая имеет тот же наклон, что и исходная линия. Затем они хотят, чтобы я нашел прямую через (4, −1), которая перпендикулярна 2 90 212 x 90 213 − 3 90 212 y 90 213 = 9; то есть через данную точку они хотят, чтобы я нашел линию, имеющую наклон, который является отрицательной обратной величиной наклона базовой линии.

Поскольку параллельная прямая имеет одинаковый наклон, то параллельная прямая, проходящая через (4, −1), будет иметь наклон

м = ² / ₃ . Эй, теперь у меня есть точка и наклон! Поэтому я буду использовать форму точка-наклон, чтобы найти линию:

y — (−1) = ( ² / ₃ ) ( x — 4)

Y + 1 = (9027 270 2

)

)

7)

)

)

7)

)

7)

7)

)

7)

)

7)

7)

7)

7)

)

)

) − ⁸ / ₃

y = ( ² / ₃ ) x − ⁸ / ₃ − ³ / ₃

y = ( ² / ₃ ) x − ¹¹ / ₃

This is параллельная линия, которую они просили, и она находится в форме пересечения наклона, которую они указали.

Для перпендикулярной линии я должен найти перпендикулярный уклон. Базовый уклон равен

м = ² / ₃ . Для перпендикулярного уклона я переверну эталонный уклон и изменю знак. Тогда перпендикулярный наклон равен м = –  ³ / ₂ .

Опять же, у меня есть точка и наклон, поэтому я могу использовать форму точка-наклон, чтобы найти свое уравнение. Обратите внимание, что единственное изменение, которое следует из вычислений, которые я только что сделал выше (для параллельной линии), заключается в том, что наклон отличается, теперь он является наклоном перпендикулярной линии.

y − (−1) = ( − ³ / ₂ )( x − 4)

Y + 1 = ( — ³ / ₂ ) x + 6

y = ( — ³ / ₂ ). Решение этого упражнения:

Параллель:

y = ( ² / ₃ ) x — ¹¹ / ₃

. / ₂ ) х + 5

Предупреждение: Если вас спросят, являются ли две заданные линии «параллельными, перпендикулярными или ни теми, ни другими», вы должны ответить на этот вопрос, найдя их наклоны, а не рисуя рисунок! Фотографии могут дать вам только приблизительное представление о том, что происходит.

Например, вы бы просто не смогли сказать, просто «взглянув» на картинку, что нарисованные линии с уклонами, скажем, м ₁ = 1,00 и м ₂ = 0,99 являются НЕ параллельны — и они точно будут черт возьми смотри параллельно на картинке. Но поскольку 1,00 не равно 0,99, прямые не могут быть параллельными.

Другими словами, чтобы ответить на такое упражнение, всегда находите численные наклоны; не пытайтесь просто нарисовать несколько красивых картинок.

Вы можете использовать приведенный ниже виджет Mathway, чтобы попрактиковаться в поиске параллельной линии, проходящей через заданную точку. Попробуйте введенное упражнение или введите свое собственное упражнение. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Следующий виджет предназначен для поиска перпендикулярных линий.) Или перейдите к двум сложным примерам, которые следуют ниже.

Пожалуйста, примите куки-файлы настроек, чтобы включить этот виджет.

(Щелкнув «Нажмите для просмотра шагов» на экране ответов виджета, вы перейдете на сайт Mathway для платного обновления.) данная точка. Попробуйте введенное упражнение или введите свое собственное упражнение. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway.

Пожалуйста, примите куки-файлы настроек, чтобы включить этот виджет.

(Щелкнув «Нажмите, чтобы просмотреть шаги» на экране ответов виджета, вы перейдете на сайт Mathway для платного обновления. )

Почти все упражнения по нахождению уравнений параллельных и перпендикулярных прямых будут аналогичны приведенным ниже. , или точно так же, как тот, что выше. Вот два примера более сложных типов упражнений:

Поскольку наклон представляет собой значение, умноженное на « x », когда уравнение решается для « y =», тогда значение « a » будет значением наклона для перпендикулярной линии. Другими словами, они просят меня указать перпендикулярный наклон, но они немного замаскировали свою цель. Я должен заметить связь.

Первое, что мне нужно сделать, это найти наклон опорной линии. Я решу для « y =»:

(2/3) y − 6 x = 3

2 г − 18 х = 9

г − 9 x = 9/2

y = 9 x + 9/2

. a «, для которого меня попросили) будет отрицательной величиной, обратной эталонному наклону.

Я начинаю с преобразования «9» в дробную форму, помещая ее над «1». Затем я переворачиваю и меняю знак. Результат:

a = −1/9

Расстояние между этими двумя линиями может быть только в том случае, если они параллельны. (В противном случае они должны встретиться в какой-то точке, и в этой точке расстояние между прямыми, очевидно, будет равно нулю.) Параллельны ли эти прямые? Я решу каждый за » y =» to be sure:

3 x + 2 y = 15

2 y = −3 x + 15

y ₁ = (−3/2) x + 15/2

… и:

4 Y + 6 x = 3

4 Y = –6

4 Y = –621255

4 Y = –6

4 Y = –6

4 Y = –6

4 Y = –60003

4 Y = –60003

4 Y = 3

y = (−6/4) x + 3/4

y ₂ = (−3/2) x + 3/4

Линии имеют одинаковый наклон, поэтому они действительно параллельны. И у них разные и -перехваты, так что это не одна и та же линия. Следовательно, между этими двумя линиями действительно есть некоторое расстояние. Но как найти это расстояние? Это будет перпендикулярное расстояние между двумя линиями, но как мне его найти?

Я знаю, что могу найти расстояние между двумя точками; Я подставляю две точки в формулу расстояния. Но у меня нет двух точек. Ах; но я могу выбрать любую точку на одной из прямых, а затем найти перпендикулярную прямую, проходящую через эту точку. Поскольку исходные прямые параллельны, то эта перпендикулярная прямая также перпендикулярна второй из исходных прямых. Тогда я могу найти, где перпендикулярная линия и вторая линия пересекается. Эта точка пересечения будет второй точкой, которая мне понадобится для формулы расстояния.

Я знаю, что эталонный уклон равен

м = −3/2. Тогда мой перпендикулярный уклон будет м = 2/3. Теперь мне нужна точка, через которую я проведу перпендикулярную линию. Я выберу x = 1 и подставлю это в уравнение первой строки, чтобы найти соответствующее значение y :

у = (−3/2)(1) + 15/2

= −3/2 + 15/2

= 12/2 = 6

Итак, моя точка зрения (в первой строке они дал мне) это (1, 6). С помощью этой точки и моего перпендикулярного наклона я могу найти уравнение перпендикулярной линии, которое даст мне расстояние между двумя исходными линиями:

y — 6 = (2/3)( x — 1 )

у — 6 = (2/3) x — 2/3

y = (2/3) x − 2/3 + 18/3

y = (2/3) x + 16/3

3 90; теперь у меня есть уравнение перпендикуляра. Расстоянием будет длина отрезка вдоль этой линии, который пересекает каждую из исходных линий.

Где эта линия пересекает вторую из данных линий? Он будет пересекаться там, где уравнения двух прямых равны, поэтому я приравняю стороны, отличные от y экватора второй исходной линии, и уравнения перпендикулярной линии, и решу:

(-3/2) х + 3/4 = (2/3) х + 16/3

-9 х + 9/2 = 4 х 30 + 16/3

9/2 − 32 = 13 x

(−55/2)/13 = x

x = −55/26

The above more than finishes Линейно-уравнение часть упражнения. Я оставлю остальную часть упражнения для вас, если вам интересно.

(Чтобы закончить, вам нужно подключить последние x -значение в уравнение перпендикулярной линии, чтобы найти соответствующее y -значение. Это даст вам второе очко. [Оказывается,

(−55/26, 51/13) , если вы посчитаете.] Затем вам нужно будет подставить эту точку вместе с первой (1, 6) в формулу расстояния, чтобы найти расстояние между линиями. [Расстояние оказывается равным (27/26)*кв[13] , или около 3,7442, если разобраться в вычислениях.])

Обратите внимание, что расстояние между линиями , а не совпадает с вертикальным или горизонтальным расстоянием между линиями, поэтому вы можете не использовать точки пересечения x или y в качестве прокси для расстояния.

Что еще более важно, обратите внимание, что в этом упражнении ничего не говорится о параллельных или перпендикулярных прямых и не содержится указания найти какое-либо уравнение прямой. На усмотрение студента оставалось выяснить, какие инструменты могут пригодиться. Не бойтесь таких упражнений.