>>>

 >>> Дробь (0,1)
Дробь(3602879701896397, 36028797018963968)
>>> (0. 1).as_integer_ratio()
(3602879701896397, 36028797018963968)
 

Если вы вытащите свой карманный калькулятор и введете эти числа, то в результате деления вы получите обратно 0,1. Однако, если вы разделите их вручную или воспользуетесь таким инструментом, как WolframAlpha, вы получите те же пятьдесят пять знаков после запятой, которые вы видели ранее.

Существует способ найти близкое приближение вашей дроби, имеющее более приземленные значения. Например, вы можете использовать .limit_denominator() , о котором вы узнаете подробнее позже в этом руководстве:

>>>

 >>> одна_десятая = дробь (0,1)
>>> один_десятый
Дробь(3602879701896397, 36028797018963968)
>>> один_десятый.предел_знаменателя()
Дробь(1, 10)
>>> one_tenth.limit_denominator(max_denominator=int(1e16))
Дробь(1000000000000000, 9999999999999999)
 

Однако это не всегда может дать вам наилучшее приближение. Суть в том, что вы не должны никогда не пытаться создавать дроби прямо из действительных чисел, таких как float , если вы хотите избежать ошибок округления, которые, вероятно, возникнут. Даже класс Decimal может быть восприимчив к этому, если вы не будете достаточно осторожны.

Во всяком случае, дроби позволяют наиболее точно передавать десятичную запись со строкой в ​​их конструкторе.

Удалить рекламу

Строки

Конструктор Fraction принимает два строковых формата, которые соответствуют десятичному и дробному представлению :

>>>

 >>> Дробь ("0,1")
Дробь(1, 10)
>>> Дробь ("1/10")
Дробь(1, 10)
 

Обе записи могут иметь знак плюс ( + ) или минус ( - ), а десятичная может дополнительно включать показатель степени, если вы хотите использовать научное обозначение :

>>>

 >>> Дробь ("-2e-3")
Дробь (-1, 500)
>>> Дробь("+2/1000")
Дробь(1, 500)
 

Единственная разница между двумя результатами заключается в том, что один отрицательный, а другой положительный.

При использовании дробной записи нельзя использовать пробельные символы вокруг косой черты ( / ):

>>>

 >>> Дробь ("1/10")
Traceback (последний последний вызов):
  ...
    поднять ValueError('Неверный литерал для дроби: %r' %
ValueError: недопустимый литерал для дроби: «1/10»
 

Чтобы точно узнать, какие строки допустимы, а какие нет, вы можете изучить регулярное выражение в исходном коде модуля. Не забудьте создать дроби из строки или правильно созданного объекта Decimal , а не из значения с плавающей запятой , чтобы сохранить максимальную точность.

Теперь, когда вы создали несколько дробей, вам может быть интересно, что они могут сделать для вас, кроме двух групповых чисел. Это отличный вопрос!

Проверка фракции Python

Абстрактный базовый класс Rational определяет два атрибута только для чтения для доступа к числителю дроби и знаменателю :

>>>

 >>> из фракций импорт Фракция
>>> половина = дробь (1, 2)
>>> половина. числитель
1
>>> половина знаменателя
2
 

Так как дроби неизменяемы , вы не можете изменить их внутреннее состояние:

>>>

 >>> половина.числитель = 2
Traceback (последний последний вызов):
  Файл "", строка 1, в 
AttributeError: невозможно установить атрибут
 

Если вы попытаетесь присвоить новое значение одному из атрибутов дроби, то получите ошибку. На самом деле, вы должны создавать новую фракцию каждый раз, когда хотите изменить ее. Например, чтобы инвертировать вашу дробь, вы можете вызвать .as_integer_ratio() , чтобы получить кортеж, а затем использовать синтаксис среза, чтобы инвертировать его элементы:

>>>

 >>> Fraction(*half.as_integer_ratio()[::-1])
Дробь(2, 1)
 

Оператор унарной звезды ( * ) распаковывает ваш инвертированный кортеж и передает его элементы конструктору Fraction .

Еще один полезный метод, используемый для каждой дроби, позволяет найти ближайшее рациональное приближение к числу, заданному в десятичной системе счисления. Это метод .limit_denominator() , которого вы уже касались ранее в этом руководстве. Вы можете дополнительно запросить максимальный знаменатель для вашего приближения:

>>>

 >>> число пи = дробь ("3,1415589793")
>>> пи
Дробь(31415  Using the quotient property the division is equal to 3 to the power of the quantity 10 minus 2. This simplifies to 3 to the power of 8.">589793, 1000000000000000)
>>> pi.limit_denominator(20_000)
Фракция (62813, 19994)
>>> pi.limit_denominator(100)
Дробь(311, 99)
>>> pi.limit_denominator(10)
Дробь(22, 7)
 
 Начальное приближение может быть не самым удобным в использовании, но оно наиболее точное. Этот метод также может помочь вам  восстановить рациональное число , хранящееся как тип данных с плавающей запятой. Помните, что  с плавающей запятой  может не точно представлять все рациональные числа, даже если они имеют завершающие десятичные расширения:
 >>>
 >>> пи = дробь (3,1415
  This simplifies to 3 to the power of 8.">589793)
>>> пи
Дробь (88427971
55, 281474976710656)
>>> pi.limit_denominator()
Дробь(3126535, 995207)
>>> pi.limit_denominator(10)
Дробь(22, 7)
 
 Вы заметите другой результат в выделенной строке по сравнению с предыдущим блоком кода, хотя экземпляр  float  выглядит так же, как строковый литерал, который вы передали конструктору ранее! Позже вы изучите пример использования  .limit_denominator()  для нахождения аппроксимаций иррациональных чисел.
  Удаление рекламы
 Преобразование дроби Python в другие типы данных 
 Вы научились составлять дроби из следующих типов данных:
  ул 
  инт 
  поплавок 
  десятичный. Десятичный 
  дроби. Дробь 
 А наоборот? Как вы конвертируете  Экземпляр фракции  вернулся к этим типам? Вы узнаете в этом разделе.
 Числа с плавающей запятой и целые числа 
 Преобразование между собственными типами данных в Python обычно включает вызов одной из встроенных функций, таких как  int()  или  float()  для объекта. Эти преобразования работают до тех пор, пока объект реализует соответствующие специальные методы, такие как  .__int__()  или  .__float__()  . Дробям случается наследовать только последнее от  Rational  абстрактный базовый класс:
 >>>
 >>> из фракций импорт Фракция
>>> three_четверти = Дробь (3, 4)
>>> с плавающей запятой (три_четверти)
0,75
>>> three_quarters.__float__() # Не вызывайте специальные методы напрямую
0,75
>>> три_четверти.__int__()
Traceback (последний последний вызов):
  Файл "", строка 1, в 
AttributeError: объект «Дробь» не имеет атрибута «__int__»
 
 Вы не должны вызывать специальные методы для объектов напрямую, но это полезно для демонстрационных целей. Здесь вы заметите, что дроби реализуют только  .__float__() , а не  .__int__()  .
 Когда вы исследуете исходный код, вы заметите, что метод  .__float__()  удобно делит числитель дроби на его знаменатель, чтобы получить число с плавающей запятой:
 >>>
 >>> три_четверти.числитель / три_четверти.знаменатель
0,75
 
 Имейте в виду, что превращение экземпляра  Fraction  в экземпляр  float , скорее всего, приведет к  преобразование с потерями  , что означает, что вы можете получить число, которое немного отличается:
 >>>
 >>> с плавающей точкой (дробь (3, 4)) == дробь (3, 4)
Истинный
>>> float(Дробь(1, 3)) == Дробь(1, 3)
ЛОЖЬ
>>> float(Дробь(1, 10)) == Дробь(1, 10)
ЛОЖЬ
 
 Хотя дроби не обеспечивают реализацию целочисленного преобразования, все действительные числа могут быть  усеченными  , что является запасным вариантом для  функции int() :
 >>>
 >>> дробь = дробь (14, 5)
>>> целое(доля)
2
>>> импортировать математику
>>> math. trunc(доля)
2
>>>fraction.__trunc__() # Не вызывайте специальные методы напрямую
2
 
 Несколько других связанных методов вы найдете позже в разделе об округлении дробей.
 Десятичные числа 
 Если вы попытаетесь создать число  Decimal  из экземпляра  Fraction , вы быстро обнаружите, что такое прямое преобразование невозможно:
 >>>
 >>> из десятичного импорта Десятичный
>>> Десятичный (Дробь (3, 4))
Traceback (последний последний вызов):
  Файл "", строка 1, в 
TypeError: преобразование из дроби в десятичную не поддерживается
 
 При попытке получить  TypeError  . Однако, поскольку дробь представляет собой деление   , вы можете обойти это ограничение, заключив только одно из чисел в  Decimal  и разделив их вручную:
 >>>
 >>> дробь = дробь (3, 4)
>>> дробь.числитель / десятичная(дробь. знаменатель)
Десятичный ('0,75')
 
 В отличие от  float , но аналогично  Fraction  , тип данных  Decimal  свободен от ошибки представления с плавающей запятой. Итак, когда вы конвертируете рациональное число, которое не может быть точно представлено в двоичном формате с плавающей запятой, вы сохраните точность числа:
.
 >>>
 >>> дробь = дробь (1, 10)
>>> десятичная = дробь.числитель / десятичная (дробь.знаменатель)
>>> дробь == десятичная
Истинный
>>> дробь == 0,1
ЛОЖЬ
>>> десятичное == 0,1
ЛОЖЬ
 
 В то же время, рациональные числа с неконечным повторяющимся десятичным представлением  будут  приводить к потере точности при преобразовании из дробной системы счисления в десятичную:
 >>>
 >>> дробь = дробь (1, 3)
>>> десятичная = дробь.числитель / десятичная (дробь.знаменатель)
>>> дробь == десятичная
ЛОЖЬ
>>> десятичный
Десятичный ('0,33333333333333333333333333333')
 
 Это потому, что в десятичном разложении одной трети есть бесконечное количество троек, или  Fraction(1, 3)  , в то время как тип  Decimal  имеет фиксированную точность. По умолчанию он хранит только двадцать восемь знаков после запятой. Вы можете настроить его, если хотите, но, тем не менее, он будет конечным.
  Удалить рекламу
 Строки 
 Строковое представление дробей раскрывает их значения, используя знакомую дробную запись, в то время как их каноническое представление выводит фрагмент кода Python, состоящий из вызова  Фракция  конструктор:
 >>>
 >>> одна_треть = дробь (1, 3)
>>> ул(одна_треть)
«1/3»
>>> repr(одна_треть)
«Дробь (1, 3)»
 
 Независимо от того, используете ли вы  str()  или  repr()  , результатом будет строка, но их содержимое разное.
 В отличие от других числовых типов дроби не поддерживают форматирование строк в Python:
 >>>
 >>> из десятичного импорта Десятичный
>>> формат(Десятичный("0.333333333333333333333333333333"), ". 2f")
«0,33»
>>> формат(Дробь(1, 3), ".2f")
Traceback (последний последний вызов):
  Файл "", строка 1, в 
TypeError: строка неподдерживаемого формата передана в Fraction.__format__
 
 Если вы попытаетесь, то получите  TypeError  . Это может быть проблемой, если вы хотите сослаться на экземпляр  Fraction  в шаблоне строки, например, для заполнения заполнителей. С другой стороны, вы можете быстро исправить это, преобразовав дроби в числа с плавающей запятой, тем более что вам не нужно заботиться о точности в таком сценарии.
 Если вы работаете в Jupyter Notebook, возможно, вы захотите отображать формулы LaTeX на основе ваших дробей вместо их обычного текстового представления. Для этого вы должны залатать 9 обезьян.0276 Тип данных Fraction  путем добавления нового метода  ._repr_pretty_()  , который Jupyter Notebook распознает:
 из импорта фракций Фракция
из отображения импорта IPython.display, Math
Fraction. _repr_pretty_ = лямбда-выражение, *аргументы: \
    display(Math(rf"$$\frac{{{self.numerator}}}{{{self.denominator}}}"))
 
 Он заключает фрагмент разметки LaTeX в объект  Math  и отправляет его на расширенный дисплей вашего ноутбука, который может отображать разметку с помощью библиотеки MathJax:
 В следующий раз, когда вы будете оценивать ячейку записной книжки, содержащую экземпляр  Fraction , она нарисует красивую математическую формулу вместо вывода текста.
 Выполнение арифметики рациональных чисел на дробях 
 Как упоминалось ранее, вы можете использовать дроби в арифметических выражениях, состоящих из других числовых типов. Дроби будут взаимодействовать с большинством числовых типов, за исключением  decimal.Decimal  , который имеет свой собственный набор правил. Более того, тип данных другого операнда, независимо от того, находится ли он слева или справа от вашей дроби, будет определять тип результата вашей арифметической операции.
 Дополнение 
 Вы можете сложить две или более дроби, не задумываясь о приведении их к общему знаменателю:
 >>>
 >>> из фракций импорт Фракция
>>> Дробь (1, 2) + Дробь (2, 3) + Дробь (3, 4)
Дробь(23, 12)
 
 Результатом является новая дробь, представляющая собой сумму всех введенных дробей. То же самое произойдет, если вы сложите целые числа и дроби:
 >>>
 >>> Дробь (1, 2) + 3
Дробь(7, 2)
 
 Однако, как только вы начнете смешивать дроби с нерациональными числами, то есть с числами, которые не являются подклассами чисел . Рациональные , ваша дробь будет сначала преобразована в этот тип, прежде чем добавляться:
 >>>
 >>> Дробь (3, 10) + 0,1
0,4
>>> float(Дробь(3, 10)) + 0,1
0,4
 
 Вы получите тот же результат независимо от того, используете ли вы явно  float()  . Это преобразование может привести к некоторой потере точности, поскольку ваша дробь, а также результат теперь хранятся в представлении с плавающей запятой. Хотя число 0,4 кажется правильным, оно не совсем равно дроби 4/10.
  Удалить рекламу
 Вычитание 
 Вычитание дробей ничем не отличается от их сложения. Python найдет для вас общий знаменатель:
 >>>
 >>> Дробь (3, 4) - Дробь (2, 3) - Дробь (1, 2)
Дробь (-5, 12)
>>> Дробь(4, 10) - 0,1
0,30000000000000004
 
 На этот раз потеря точности настолько значительна, что это видно с первого взгляда. Обратите внимание на длинный поток нулей, за которым следует цифра  4 9.0277 в конце десятичной записи. Это результат округления значения, для которого в противном случае потребовалось бы бесконечное количество двоичных разрядов.
 Умножение 
 При умножении двух дробей их числители и знаменатели умножаются поэлементно, а полученная дробь при необходимости автоматически уменьшается:
 >>>
 >>> Дробь(1, 4) * Дробь(3, 2)
Фракция (3, 8)
>>> Fraction(1, 4) * Fraction(4, 5) # Результат 4/20
Фракция (1, 5)
>>> Дробь (1, 4) * 3
Фракция (3, 4)
>>> Дробь (1, 4) * 3,0
0,75
 
 Опять же, в зависимости от типа другого операнда вы получите в результате другой тип данных.
 Отдел 
 В Python есть два оператора деления, и дроби поддерживают оба из них:
 Истинное деление:  / 
 Этажность:  // 
 Истинное деление приводит к другой дроби, в то время как деление по полу всегда возвращает целое число с усеченной дробной частью:
 >>>
 >>> Дробь (7, 2) / Дробь (2, 3)
Дробь(21, 4)
>>> Дробь(7, 2) // Дробь(2, 3)
5
>>> Дробь (7, 2) / 2
Дробь(7, 4)
>>> Дробь(7, 2) // 2
1
>>> Дробь (7, 2) / 2.0
1,75
>>> Фракция (7, 2) // 2.0
1,0
 
 Обратите внимание, что результат деления этажей не всегда является целым числом! В результате может получиться  с плавающей запятой  в зависимости от того, какой тип данных вы используете вместе с дробью. Дроби также поддерживают оператор по модулю (  %  ), а также функцию  divmod() , которая может помочь в создании  смешанных дробей  из неправильных:
 >>>
 >>> по определению смешанный (дробь):
. .. пол, остальное = divmod (доля.числитель, дробь.знаменатель)
... вернуть f"{пол} и {Дробь(остаток, дробь.знаменатель)}"
...
>>> смешанный (Дробь (22, 7))
«3 и 1/7»
 
 Вместо создания строки, как в приведенном выше выводе, вы можете обновить функцию, чтобы она возвращала кортеж, состоящий из целой части и дробного остатка. Идите вперед и попробуйте изменить возвращаемое значение функции, чтобы увидеть разницу.
 Возведение в степень 
 Вы можете возводить дроби в степень с помощью двоичного  оператора возведения в степень (  **  )  или встроенной функции   pow()  . Вы также можете использовать сами дроби в качестве показателей степени. Вернитесь к интерпретатору Python и начните изучать, как возводить дроби в степень:
.
 >>>
 >>> Дробь(3, 4) ** 2
Дробь(9, 16)
>>> Дробь(3, 4) ** (-2)
Дробь(16, 9)
>>> Дробь(3, 4) ** 2.0
0,5625
 
 Вы заметите, что можете использовать как положительные, так и отрицательные значения экспоненты. Если показатель степени не является числом  Rational , ваша дробь автоматически преобразуется в число  с плавающей запятой , прежде чем продолжить.
 Все становится сложнее, когда экспонента представляет собой экземпляр  Fraction . Поскольку дробные степени обычно дают иррациональные числа, оба операнда преобразуются в  с плавающей запятой , если основание и показатель степени не являются целыми числами:
 >>>
 >>> 2 ** Дробь (2, 1)
4
>>> 2,0 ** Дробь (2, 1)
4.0
>>> Дробь (3, 4) ** Дробь (1, 2)
0,8660254037844386
>>> Дробь (3, 4) ** Дробь (2, 1)
Дробь(9, 16)
 
 Единственный раз, когда вы получаете дробь в результате, это когда знаменатель показателя степени равен единице, и вы поднимаете экземпляр  Fraction .
  Удалить рекламу
 Округление дроби Python 
 Существует множество стратегий округления чисел в Python и еще больше в математике. Вы можете использовать тот же набор встроенных глобальных функций и функций уровня модуля для дробей и десятичных чисел. Они позволят вам присвоить целое число дроби или создать новую дробь, соответствующую меньшему количеству знаков после запятой.
 Вы уже узнали о грубом методе округления, когда преобразовывали дроби в  целое число  , которое  усекало  дробную часть, оставляя только целую часть, если она есть:
 >>>
 >>> из фракций импорт Фракция
>>> int(Дробь(22, 7))
3
>>> импортировать математику
>>> math.trunc(Дробь(22, 7))
3
>>> math.trunc(-Дробь(22, 7))
-3
 
 В этом случае вызов  int()  эквивалентен вызову  math.trunc()  , который округляет положительные дроби вниз и отрицательные дроби вверх. Эти две операции известны как  пол  и  потолок  соответственно. Вы можете использовать оба напрямую, если хотите:
 >>>
 >>> math. floor(-Дробь(22, 7))
-4
>>> math.floor(Дробь(22, 7))
3
>>> math.ceil(-Дробь(22, 7))
-3
>>> math.ceil(Дробь(22, 7))
4
 
 Сравните результаты  math.floor()  и  math.ceil()  с вашими предыдущими вызовами  math.trunc()  . Каждая функция имеет различное смещение округления, которое может повлиять на статистические свойства округленного набора данных. К счастью, существует стратегия округления  от половины до четных , которая менее предвзята, чем усечение, пол или потолок.
 По сути, он округляет вашу дробь до ближайшего целого числа, отдавая предпочтение ближайшему четному числу для равноудаленных половин. Вы можете вызвать  round() , чтобы воспользоваться этой стратегией:
 >>>
 >>> раунд(Дробь(3, 2)) # 1.5
2
>>> раунд(Дробь(5, 2)) # 2.5
2
>>> раунд(Дробь(7, 2)) # 3.5
4
 
 Обратите внимание, как эти дроби округляются в большую или меньшую сторону в зависимости от того, где находится ближайшее четное число? Естественно, это правило применяется только к ничьим, когда расстояние до ближайшего целого числа слева такое же, как и справа. В противном случае направление округления основано на кратчайшем расстоянии до целого числа, независимо от того, четное оно или нет.
 При желании вы можете предоставить функции  round()  второй параметр, который указывает, сколько знаков после запятой вы хотите сохранить. Когда вы это сделаете, вы всегда получите  Дробь , а не целое число, даже если вы запрашиваете нулевые цифры:
 >>>
 >>> дробь = дробь (22, 7) # 3.142857142857143
>>> раунд(доля, 0)
Дробь(3, 1)
>>> раунд(доля, 1) # 3.1
Дробь(31, 10)
>>> раунд(дробь, 2) # 3.14
Дробь(157, 50)
>>> раунд(дробь, 3) # 3.143
Дробь(3143, 1000)
 
 Однако обратите внимание на разницу между вызовами  round(fraction)  и  round(fraction, 0)  , которые дают то же значение, но используют другой тип данных:
 >>>
 >>> круглый(дробный)
3
>>> раунд(доля, 0)
Дробь(3, 1)
 
 Если вы опустите второй аргумент,  round()  вернет ближайшее целое число. В противном случае вы получите уменьшенную дробь, знаменатель которой изначально был степенью десяти, соответствующей запрошенному вами количеству десятичных цифр.
 Сравнение дробей в Python 
 В реальной жизни сравнение чисел, записанных в дробной форме, может быть более сложным, чем сравнение чисел, записанных в десятичной системе счисления, потому что дробная запись состоит из двух значений, а не из одного. Чтобы понять эти числа, вы обычно приводите их к общему знаменателю и сравниваете только их числители. Например, попробуйте расположить следующие дроби в порядке возрастания их значения:
.
 2/3
 5/8
 8/13
 Не так удобно, как с десятичной системой счисления. Еще хуже обстоят дела со смешанными обозначениями. Однако, если вы приведете эти дроби к общему знаменателю, их сортировка станет простой:
.
 208/312
 195/312
 192/312
 Наибольший общий делитель чисел 3, 8 и 13 равен 1. Это означает, что наименьший общий знаменатель для всех трех дробей равен их произведению 312. После преобразования всех дробей к наименьшему общему знаменателю их можно игнорировать. знаменатель и сосредоточиться на сравнении числителей.
 В Python это работает за кулисами, когда вы сравниваете и сортируете  объектов Fraction :
 >>>
 >>> из фракций импорт Фракция
>>> Дробь (8, 13) < Дробь (5, 8)
Истинный
>>> отсортировано ([Дробь (2, 3), Дробь (5, 8), Дробь (8, 13)])
[Дробь (8, 13), Дробь (5, 8), Дробь (2, 3)]
 
 Python может быстро сортировать объекты  Fraction , используя встроенную функцию  sorted() . К счастью, все операторы сравнения работают как положено. Вы даже можете использовать их против других числовых типов, кроме комплексных чисел:
 >>>
 >>> Дробь (2, 3) < 0,625
ЛОЖЬ
>>> из десятичного импорта Decimal
>>> Дробь (2, 3) < десятичная ("0,625")
ЛОЖЬ
>>> Фракция (2, 3) < 3 + 2j
Traceback (последний последний вызов):
  Файл "", строка 1, в 
TypeError: '<' не поддерживается между экземплярами 'Fraction' и 'complex'
 
 Операторы сравнения работали с числами с плавающей запятой и десятичными знаками, но вы получаете ошибку при попытке с комплексным числом  3 + 2j  . Это связано с тем, что комплексные числа не определяют естественного отношения порядка, поэтому их нельзя ни с чем сравнивать, включая дроби.
  Удалить рекламу
 Выбор между 
 Дробная часть  ,  Десятичная  и  Плавающая 
 Если вам нужно выбрать только одну вещь, которую нужно запомнить при чтении этого руководства, то это должно быть то, когда выбрать  Дробная  вместо  Десятичной  и  с плавающей запятой  . У всех этих числовых типов есть свои варианты использования, поэтому полезно понимать их сильные и слабые стороны. В этом разделе вы кратко рассмотрите, как числа представлены в каждом из этих трех типов данных.
 Двоичные числа с плавающей запятой: 
 float 
 Тип данных  float  должен быть вашим выбором по умолчанию для представления действительных чисел в большинстве ситуаций. Например, он подходит для науки, техники и компьютерной графики, где скорость выполнения  важнее точности. Вряд ли какая-либо программа требует более высокой точности, чем вы можете получить с плавающей запятой.
  Примечание:  Если вам нужно использовать только целые числа, то  int  будет еще более эффективным по скорости и памяти типом данных.
 Беспрецедентная скорость арифметики с плавающей запятой обусловлена ​​ее аппаратной, а не программной реализацией. Практически все математические сопроцессоры соответствуют стандарту IEEE 754, который описывает, как представлять числа в  двоичных числах с плавающей запятой . Обратной стороной использования двоичной системы, как вы уже догадались, является печально известная ошибка представления.
 Однако, если у вас нет особой причины использовать другой числовой тип, вы должны просто придерживаться  float  или  int , если возможно.
 Десятичное число с плавающей и фиксированной точкой: 
 Десятичное число 
 Бывают случаи, когда использование двоичной системы не обеспечивает достаточной точности для действительных чисел. Одним из примечательных примеров являются финансовые расчеты   , которые включают в себя работу с очень большими и очень маленькими числами одновременно. Они также имеют тенденцию повторять одну и ту же арифметическую операцию снова и снова, что может привести к значительной ошибке округления.
 Вы можете хранить действительные числа, используя десятичную арифметику с плавающей запятой, чтобы смягчить эти проблемы и устранить ошибку двоичного представления. Он похож на  с плавающей запятой , поскольку он перемещает десятичную точку, чтобы приспособить большие или меньшие величины. Однако он работает в десятичной системе  , а не в двоичной.
 Другой способ повысить числовую точность — арифметика с фиксированной запятой, которая выделяет определенное количество цифр для десятичного представления. Например, для точности до четырех знаков после запятой потребуется хранить дроби в виде целых чисел, увеличенных в 10 000 раз. Чтобы восстановить исходные дроби, они должны быть соответствующим образом уменьшены.
 Тип данных Python  decimal. Decimal  представляет собой гибрид десятичных представлений с плавающей запятой и фиксированной запятой под капотом. Он также следует этим двум стандартам:
 Общая спецификация десятичной арифметики (IBM)
 Независимая от системы счисления арифметика с плавающей запятой (IEEE 854-1987)
 Они эмулируются программно, а не аппаратно, что делает этот тип данных гораздо менее эффективным с точки зрения времени и пространства, чем  float  . С другой стороны, он может представлять числа с  произвольный  но  конечная точность  , которую вы можете настроить. Обратите внимание, что вы все еще можете столкнуться с  ошибками округления , если арифметическая операция превышает максимальное количество знаков после запятой.
 Однако буфер безопасности, обеспечиваемый фиксированной точностью сегодня, завтра может оказаться недостаточным. Подумайте о гиперинфляции или работе с несколькими валютами, курс которых сильно различается, например, биткойн (0,000029 BTC) и иранский риал (42 105,00 IRR). Если вам нужна бесконечная точность, используйте  Фракция  .
 Бесконечная точность Рациональное число: 
 Дробь 
 Оба типа  Fraction  и  Decimal  имеют несколько общих черт. Они устраняют ошибку двоичного представления, они реализованы в программном обеспечении, и вы можете использовать их для денежных приложений. Тем не менее, дроби в основном используются для представления  рациональных чисел  , поэтому они могут быть менее удобными для хранения денег, чем десятичные дроби.
  Примечание:  Хотя тип данных  Fraction  реализован на чистом Python, большинство дистрибутивов Python содержат скомпилированную динамически подключаемую библиотеку для типа  Decimal . Если он недоступен для вашей платформы, то Python также вернется к чистой реализации Python. Однако даже скомпилированная версия не будет использовать преимущества аппаратного обеспечения так сильно, как  float .
 Существует два преимущества использования  Дробное число  по сравнению с  Десятичное число  . Первый -  бесконечная точность  ограничена только вашей доступной памятью. Это позволяет вам представлять рациональные числа с непрерывающимся и повторяющимся десятичным расширением без потери информации:
 >>>
 >>> из фракций импорт Фракция
>>> одна_треть = дробь (1, 3)
>>> напечатать(3 * одна_треть)
1
>>> из десятичного импорта Decimal
>>> одна_треть = 1 / десятичная (3)
>>> напечатать(3 * одна_треть)
0,99999999999999999999999999999
 
 Умножение 1/3 на 3 дает ровно 1 в дробном представлении, но результат округляется в десятичном представлении. Он имеет двадцать восемь знаков после запятой, что является точностью по умолчанию для типа  Decimal .
 Еще раз взгляните на еще одно преимущество дробей, о котором вы уже узнали ранее. В отличие от  Decimal  дроби могут  взаимодействовать  с двоичными числами с плавающей запятой:
 >>>
 >>> Дробь("0,75") - 0,25
0,5
>>> Десятичный ("0,75") - 0,25
Traceback (последний последний вызов):
  Файл "", строка 1, в 
TypeError: неподдерживаемые типы операндов для -: 'decimal. Decimal' и 'float'
 
 Когда вы смешиваете дроби с числами с плавающей запятой, в результате вы получаете число с плавающей запятой. С другой стороны, если вы попытаетесь смешать дроби с типом данных  Decimal , вы столкнетесь с  TypeError .
  Удалить рекламу
 Изучение фракции Python в действии 
 В этом разделе вы познакомитесь с несколькими забавными и практическими примерами использования типа данных  Fraction  в Python. Вы можете быть удивлены, насколько удобными могут быть дроби и в то же время насколько они недооценены. Приготовьтесь нырнуть прямо в воду!
 Аппроксимация иррациональных чисел 
 Иррациональные числа играют важную роль в математике, поэтому они касаются многих подполей, таких как арифметика, исчисление и геометрия. Вот некоторые из самых известных из них, о которых вы, возможно, уже слышали: 9.0004
 Квадратный корень из двух (√2)
 Постоянная Архимеда (π)
 Золотое сечение (φ)
 Число Эйлера (  e  )
 В истории математики число пи (π) было особенно интересным, что привело к многочисленным попыткам найти для него точные приближения.
 В то время как древним философам приходилось идти на многое, сегодня вы можете использовать Python, чтобы найти довольно хорошие оценки числа пи, используя  методы Монте-Карло , например игла Бюффона или аналогичная. Однако в большинстве повседневных задач достаточно грубого приближения в виде удобной дроби. Вот как можно определить частное двух целых чисел, которое постепенно дает более точное приближение к иррациональному числу:
 из импорта фракций Фракция
из счетчика импорта itertools
приблизительное определение (число):
    история = установить ()
    для max_denominator в count(1):
        дробь = дробь (число). предел_знаменатель (максимальный_знаменатель)
        если дробь не в истории:
            история.добавить(дробь)
            доля выхода
 
 Функция принимает иррациональное число, преобразует его в дробь и находит другую дробь с меньшим количеством десятичных разрядов. Набор Python предотвращает получение повторяющихся значений, сохраняя исторические данные, а итератор  count()  модуля  itertools  считает до бесконечности.
 Теперь вы можете использовать эту функцию, чтобы найти первые десять дробных приближений числа пи:
 >>>
 >>> из itertools импортирует islice
>>> импортировать математику
>>> для дроби в islice (приблизительно (math.pi), 10):
... print(f"{str(fraction):>7}", "→", float(fraction))
...
      3 → 3,0
   13/4 → 3,25
   16/5 → 3,2
   19/6 → 3,1666666666666665
   22/7 → 3,142857142857143
 179/57 → 3,14035087714
 201/64 → 3.140625
 223/71 → 3.140845070422535
 245/78 → 3,141025641025641
 267/85 → 3,1411764705882352
 
 Красиво! Рациональное число 22/7 уже довольно близко, что показывает, что число пи можно приблизить на ранней стадии и, в конце концов, оно не является особенно иррациональным. Итератор  islice()  останавливает бесконечную итерацию после получения запрошенных десяти значений. Продолжайте и поиграйте с этим примером, увеличивая количество результатов или находя аппроксимации других иррациональных чисел.
 Получение соотношения сторон дисплея 
 Соотношение сторон   изображения или дисплея представляет собой отношение его ширины к высоте, которое удобно выражает пропорции. Он обычно используется в фильмах и цифровых медиа, а режиссеры любят использовать соотношение сторон в качестве художественного показателя. Если вы когда-нибудь искали новый смартфон, то в спецификациях могло быть упомянуто, например, соотношение сторон экрана, такое как 16:9.
 Вы можете узнать соотношение сторон монитора вашего компьютера, измерив его ширину и высоту с помощью Tkinter, который входит в официальный дистрибутив Python:
 >>>
 >>> импортировать tkinter как tk
>>> окно = tk.Tk()
>>> window.winfo_screenwidth()
2560
>>> window.winfo_screenheight()
1440
 
 Обратите внимание: если у вас подключено несколько мониторов, этот код может не работать должным образом.
 Расчет соотношения сторон заключается в создании дроби, которая будет сама уменьшаться:
 >>>
 >>> из фракций импорт Фракция
>>> Дробь (2560, 1440)
Дробь(16, 9)
 
 Ну вот. Монитор имеет разрешение 16:9. Однако, если вы работаете на ноутбуке с меньшим размером экрана, то ваша дробь может сначала не получиться, и вам нужно будет соответствующим образом ограничить ее знаменатель:
.
 >>>
 >>> Дробь (1360, 768)
Дробь(85, 48)
>>> Дробь(1360, 768).limit_denominator(10)
Дробь(16, 9)
 
 Имейте в виду, что если вы имеете дело с вертикальным экраном мобильного устройства, вы должны поменять местами размеры, чтобы первый был больше, чем следующий. Вы можете инкапсулировать эту логику в повторно используемой функции:
 из импорта фракций Фракция
def aspect_ratio (ширина, высота, max_denominator = 10):
    если высота > ширина:
        ширина, высота = высота, ширина
    соотношение = дробь (ширина, высота). limit_denominator (max_denominator)
    вернуть f"{отношение.числитель}:{отношение.знаменатель}"
 
 Это обеспечит согласованные соотношения сторон независимо от порядка аргументов:
 >>>
 >>> соотношение сторон (1080, 2400)
«20:9»
>>> соотношение сторон (2400, 1080)
'20:9'
 
 Независимо от того, смотрите ли вы на размеры горизонтального или вертикального экрана, соотношение сторон одинаково.
 До сих пор ширина и высота были целыми числами, но как насчет дробных значений? Например, некоторые камеры Canon имеют кроп-сенсор APS-C, размеры которого составляют 22,8 мм на 14,8 мм. Дроби подавляются числами с плавающей запятой и десятичными числами, но вы можете превратить их в рациональные приближения:
 >>>
 >>> соотношение сторон (22.2, 14.8)
Traceback (последний последний вызов):
  ...
    поднять TypeError("оба аргумента должны быть "
TypeError: оба аргумента должны быть экземплярами Rational
>>> аспектное_отношение(Дробь("22,2"), Дробь("14,8"))
«3:2»
 
 В этом случае соотношение сторон получается ровно 1,5 или 3:2, но многие камеры используют чуть большую ширину своих сенсоров, что дает соотношение 1,555… или 14:9. Когда вы посчитаете, вы обнаружите, что это среднее арифметическое широкоформатного изображения (16:9) и системы четырех третей (4:3), что является компромиссом, позволяющим отображать изображения приемлемого качества в оба этих популярных формата.
 Расчет значения экспозиции фотографии 
 Стандартный формат для встраивания метаданных в цифровые изображения, Exif (Exchangeable Image File Format), использует коэффициенты для хранения нескольких значений. Некоторые из наиболее важных коэффициентов описывают экспозицию вашей фотографии:
 Значение диафрагмы
 Время экспозиции
 Смещение экспозиции
 Фокусное расстояние
 F-стоп
 Скорость затвора
 Скорость затвора в просторечии является синонимом времени экспозиции, но она сохраняется как дробь в метаданных с использованием системы APEX на основе логарифмической шкалы. Это означает, что камера возьмет обратное значение времени выдержки, а затем вычислит его логарифм по основанию 2. Так, например, 1/200 секунды времени экспозиции будет записано в файл как 7643856/1000000. Вот как это можно рассчитать:
 >>>
 >>> из фракций импорт Фракция
>>> время_выдержки = дробь (1, 200)
>>> из математического импорта log2, trunc
>>> точность = 1_000_000
>>> trunc(log2(Дробь(1, время_экспозиции)) * точность)
7643856
 
 Вы можете использовать дроби Python для восстановления исходного времени экспозиции, если вы вручную читаете эти метаданные без помощи каких-либо внешних библиотек:
 >>>
 >>> выдержка_выдержки = дробь (7643856, 1_000_000)
>>> Дробь(1, раунд(2 ** выдержка_затвора))
Дробь(1, 200)
 
 Когда вы объедините отдельные части головоломки, то есть диафрагму, выдержку затвора и чувствительность ISO, вы сможете рассчитать единое значение экспозиции (EV)   , которое описывает среднее количество захваченных легкий. Затем вы можете использовать его для получения логарифмического среднего значения  яркости  в сфотографированной сцене, что бесценно при постобработке и применении специальных эффектов.
 Формула для расчета значения экспозиции выглядит следующим образом:
 из математического журнала импорта2
def Exposure_value (f_stop, Exposure_time, iso_speed):
    вернуть log2(f_stop ** 2/время выдержки) - log2(iso_speed/100)
 
 Имейте в виду, что он не принимает во внимание другие факторы, такие как погрешность экспозиции или вспышка, которые может использовать ваша камера. В любом случае, попробуйте с некоторыми примерными значениями:
.
 >>>
 >>> значение_экспозиции(
... f_stop=Дробь(28, 5),
... время экспозиции = дробь (1, 750),
... iso_speed=400
... )
12.521600439723727
>>> Exposure_value (f_stop = 5,6, Exposure_time = 1/750, iso_speed = 400)
12.521600439723727
 
 Вы можете использовать дроби или другие числовые типы для входных значений. В этом случае значение экспозиции составляет около +13, что относительно ярко. Фото сделано на улице в солнечный день, хотя и в тени.
 Решение проблемы внесения изменений 
 Вы можете использовать дроби для решения классической задачи компьютерных наук о внесении изменений, с которой вы можете столкнуться на собеседовании. Он запрашивает минимальное количество монет, чтобы получить определенную сумму денег. Например, если вы рассматриваете самые популярные монеты доллара США, то вы можете представить 2,67 доллара в виде десяти четвертаков (10 × 0,25 доллара), одного цента (1 × 0,10 доллара), одного никеля (1 × 0,05 доллара) и двух пенни (2). × 0,01 доллара США).
 Fractions может быть удобным инструментом для представления монет в кошельке или кассовом аппарате. Вы можете определить монеты доллара США следующим образом:
 из импорта фракций Фракция
пенни = дробь (1, 100)
никель = дробь (5, 100)
десять центов = дробь (10, 100)
четверть = дробь (25, 100)
 
 Некоторые из них будут автоматически уменьшаться, но это нормально, потому что вы отформатируете их с использованием десятичной системы счисления. Вы можете использовать эти монеты для расчета общей стоимости вашего кошелька:
 >>>
 >>> кошелек = [8 * четвертак, 5 * десять центов, 3 * никель, 2 * пенни]
>>> print(f"${float(сумма(кошелек)):.2f}")
2,67 доллара США
 
 В вашем кошельке 2,67 доллара, но в нем целых восемнадцать монет. Можно использовать меньше монет на ту же сумму. Один из способов решения проблемы внесения изменений — использование жадного алгоритма, такого как этот:
.
 def change(сумма, монеты):
    в то время как сумма > 0:
        для монет в сортировке (монеты, реверс = True):
            если монета <= количество:
                сумма = монета
                приносить монету
                ломать
        еще:
            вызвать исключение ("Решения нет")
 
 Алгоритм пытается найти монету с наибольшим номиналом, не превышающим оставшуюся сумму. Хотя его относительно просто реализовать, он может не дать оптимального решения для всех монетных систем. Вот пример для монет доллара США:
.
 >>>
 >>> из коллекций импорт Счетчик
>>> сумма = дробь ("2,67")
>>> usd = [пенни, никель, десять центов, четвертак]
>>> для монет подсчитайте в Counter(change(amount, usd)).items():
... print(f"{count:>2} × ${float(coin):.2f}")
...
10 × 0,25 доллара США
 1 × 0,10 доллара США
 1 × 0,05 доллара США
 2 × 0,01 доллара США
 
 Использование рациональных чисел является обязательным для поиска решения, потому что значения с плавающей запятой не подходят. Поскольку  change()  является функцией-генератором монет, которые могут повторяться, вы можете использовать  Counter  для их группировки.
 Вы можете изменить эту проблему, задав немного другой вопрос. Например, каким будет оптимальный набор монет, учитывая общую цену, количество монет покупателя и продавца, имеющихся в кассе?
 Производство и расширение непрерывных фракций 
 В начале этого урока вы узнали, что иррациональные числа могут быть представлены в виде  бесконечных цепных дробей  . Для существования таких дробей потребуется бесконечный объем памяти, но вы можете выбрать, когда прекратить производить их коэффициенты, чтобы получить разумное приближение.
 Следующая функция-генератор будет бесконечно выдавать коэффициенты заданного числа ленивой оценкой:
 1def continue_fraction(число):
 2, пока верно:
 3 выход (целая_часть := целое (число))
 4 дробная_часть = число - целая_часть
 5 попытка:
 6 число = 1 / дробная_часть
 7, кроме ZeroDivisionError:
 8 перерыв
 
 Функция усекает число и продолжает выражать оставшуюся дробь как обратную величину, которая возвращается в качестве входных данных. Чтобы исключить дублирование кода, он использует выражение присваивания   в строке 3, более известное как оператор моржа, представленный в Python 3.8.
 Интересно, что вы можете создавать непрерывные дроби и для рациональных чисел:
 >>>
 >>> список (continued_fraction (42))
[42]
>>> из дробей импорт дроби
>>> список(continued_fraction(Дробь(3, 4)))
[0, 1, 3]
 
 Число 42 имеет только один коэффициент и не имеет дробной части. И наоборот, 3/4 не имеет целой части, а непрерывная дробь состоит из 1 на 1 + 1/3:
 Как обычно, вы должны следить за ошибкой представления с плавающей запятой, которая может появиться при переключении на  float  :
 >>>
 >>> список (continued_fraction (0,75))
[0, 1, 3, 1125899
2624]
 
 Несмотря на то, что вы можете точно представить 0,75 в двоичном формате, его обратная величина имеет бесконечное десятичное представление, несмотря на то, что это рациональное число. Перебирая остальные коэффициенты, вы в конце концов доберетесь до этой огромной величины в знаменателе, представляющей пренебрежимо маленькое значение. Это ваша ошибка приближения.
 Вы можете избавиться от этой ошибки, заменив действительные числа дробями Python:
 из импорта фракций Фракция
def continue_fraction (число):
    пока верно:
        выход (целая_часть: = int (число))
        дробная_часть = дробь (число) - целая_часть
        пытаться:
            число = дробь (1, дробная_часть)
        кроме ZeroDivisionError:
            ломать
 
 Это небольшое изменение позволяет надежно генерировать коэффициенты цепных дробей, соответствующие десятичным числам. В противном случае вы можете попасть в бесконечный цикл даже для завершения десятичных расширений.
 Хорошо, давайте сделаем что-нибудь повеселее и сгенерируем коэффициенты  иррациональных чисел  с их десятичными разложениями, обрезанными до пятидесятого знака после запятой. Ради точности определите их как  Decimal  экземпляров:
 >>>
 >>> из десятичного импорта Десятичный
>>> pi = Decimal("3.14155897
462643383279502884197169390")
>>> sqrt2 = Decimal("1.41421356237309504880168872420969807856967187537694")
>>> phi = Decimal("1.61803398874989484820458683436563811772030
0576")
 
 Теперь вы можете проверить первые несколько коэффициентов их цепных дробей с помощью знакомого итератора  islice() :
 >>>
 >>> из itertools импортирует islice
>>> числа = {
. .. "π": пи,
... "√2": sqrt2,
... " φ": фи
... }
>>> для метки номер в number.items():
... печать (метка, список (islice (continued_fraction (число), 20)))
...
 π [3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2]
√2 [1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2]
 φ [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]
 
 Первые четыре коэффициента числа пи дают удивительно хорошее приближение, за которым следует незначительный остаток. Однако непрерывные дроби двух других констант выглядят весьма своеобразно. Они повторяют одно и то же число снова и снова до бесконечности. Зная это, вы можете аппроксимировать их на , расширив эти коэффициенты  обратно в десятичную форму:
 определение расширения (коэффициенты):
    если len(коэффициенты) > 1:
        вернуть коэффициенты [0] + дробь (1, развернуть (коэффициенты [1:]))
    еще:
        вернуть дробь (коэффициенты [0])
 
 Эту функцию удобно определять рекурсивно, чтобы она могла вызывать себя для последовательно меньших списков коэффициентов. В базовом случае есть только одно целое число, что является самым грубым возможным приближением. Если их два или более, то результатом является сумма первого коэффициента, за которым следует обратная величина остальных расширенных коэффициентов.
 Вы можете проверить, работают ли обе функции должным образом, вызвав их для противоположных возвращаемых значений:
 >>>
 >>> список (continued_fraction (3.14159))
[3, 7, 15, 1, 25, 1, 7, 4, 851921, 1, 1, 2, 880, 1, 2]
>>> float(expand([3, 7, 15, 1, 25, 1, 7, 4, 851921, 1, 1, 2, 880, 1, 2]))
3.14159
 
 Отлично! Если вы передадите результат  continue_fraction()  в  expand()  , вы вернете исходное значение, которое у вас было в начале. Однако в некоторых случаях вам может понадобиться преобразовать расширенную дробь в 9.0276 Decimal Тип  вместо  float  для большей точности.
 Заключение 
 Возможно, вы никогда не задумывались о том, как компьютеры хранят  дробных чисел , прежде чем читать это руководство. В конце концов, возможно, казалось, что ваш старый добрый друг  float  прекрасно с ними справится. Однако история показала, что это заблуждение может в конечном итоге привести к катастрофическим сбоям, которые могут стоить больших денег.
 Использование дроби Python   — один из способов избежать таких катастроф. Вы увидели плюсы и минусы дробной записи, ее практическое применение и методы ее использования в Python. Теперь вы можете сделать осознанный выбор в отношении того, какой числовой тип наиболее подходит для вашего варианта использования.
  В этом уроке вы узнали, как: 
 Преобразование между  десятичной  и  дробной  записью
 Выполнение  арифметики рациональных чисел 
 Приблизительные  иррациональные числа 
 Точное представление дробей с бесконечной точностью  
 Знать, когда  выбрать   Дробная часть  вместо  Десятичная  или  Плавающая 
 Экспоненты | GMAT Бесплатно 
 Экспоненты или степени — это способ указать, что количество должно быть умножено само на себя определенное количество раз. В выражении 2  5  число 2 — это «основание», а 5 — показатель степени, или «степень». Например, «2 в пятой степени» — это сокращение от «умножить пять двоек»:
 Показатель степени читается как «два в пятой степени» или «два в пятой степени». Обратите внимание, что показатель степени говорит нам, на сколько оснований нужно умножить, , а не , сколько умножений нужно выполнить (то есть  на единицу меньше, чем , чем число оснований).  — основание, а  b  — показатель степени. В некоторых контекстах, но не на GMAT,  a  b   обычно записывается как «9». b » или реже как « a ** b ». Когда математика становится абстрактной или запутанной, представьте, что буквы  a  и  b  представляют числа, подсчитывающие количество умножений.
 Числа в квадрате 
 Число, которое нужно умножить само на себя (например, 5 умножить на 5), равно  в квадрате  . Чтобы визуализировать квадратуру, представьте себе квадрат длиной 5 единиц и шириной 5 единиц. Площадь этого квадрата будет равна пяти квадратам, или 25 квадратным единицам 9.0004
 Для GMAT вы должны запомнить следующие квадраты:
 Числа в кубе 
 Точно так же удобный способ отметить, что число должно быть умножено само на себя, а затем снова на себя (например, 5 раз 5 раз 5) означает, что число возведено в куб. Мы пишем «5 в кубе» как
, где 5 — основание, а 3 — показатель степени. Чтобы наглядно представить это, представьте себе куб длиной 5 единиц, шириной 5 единиц и высотой 5 единиц. Тогда этот куб будет иметь объем 125 кубических единиц.
 Для GMAT вы должны запомнить совершенные кубы, по крайней мере, до 5 кубов:
 Целочисленные экспоненты 
 Когда экспонента является положительным целым числом, то это просто случай умножения основания сама по себе определенное количество раз. Например,
 Здесь 3 — это  основание , 4 — это показатель степени   (записанный как верхний индекс), а 81 — это 3 , возведённое в , 4-я степень  . Обратите внимание, что основание 3 встречается 4 раза при повторном умножении, потому что показатель степени равен 4.
 Еще несколько примеров:
 Умножение и деление показателей степени 
 Если у вас есть два или более показателей степени с одинаковым основанием, то их умножение дает тот же эффект, что и сложение их показателей степени. Например,
 Точно так же, если у вас есть два или более показателей степени с одинаковым основанием, их деление дает тот же эффект, что и вычитание их показателей степени. Например,
 Упражнения 
 1. Вычислите следующее:
 A)
 B)
 C)
 D)
 2. Напишите эти номера 2:
 A)
4.
 б)
 в)
 3. Оценить:
 4. Оценить:
 5. Почему это так?
 (Ответы на эти упражнения приведены ниже в этой главе.)
 Отрицательные и дробные показатели 
 Отрицательные показатели имеют смысл, учитывая правило деления. Учитывая
, если  c  больше, чем  b, , тогда мы получим отрицательный показатель степени. Все  и  в числителе сокращаются, но некоторые остаются в знаменателе. Например, если мы разделим
, у нас останется отрицательный показатель степени, соответствующий двум тройкам, оставшимся в знаменателе:
 Показатель степени также может быть дробным. При дробном показателе числитель действует как обычный показатель целого числа, а знаменатель действует как корень.
 В общем случае
 для любых вещественных чисел (хотя  q  может и не быть нулем, так как на ноль делить нельзя).
 Давайте рассмотрим пример 8 в степени 2/3. Сначала возводим 8 в степень числителя, 2. Затем, поскольку знаменатель равен 3, извлекаем из этого числа корень третьей степени. Выражение читается как  кубический корень из восьми в квадрате  и записывается как:
 Когда числитель дробного показателя степени равен 1, выражение представляет собой простой корень. То есть степень 1/2 — это квадратный корень, степень 1/3 — кубический корень, степень 1/4 — корень четвертой степени и т. д.
 Например, квадратный корень из 9 может быть записан в формате экспоненты как:
 Любая дробная экспонента также может быть выражена как десятичная экспонента. Например, квадратный корень можно также записать как:
 Кроме того, десятичные дроби, которые не могут быть выражены в виде дроби (иррациональные числа), могут использоваться в качестве показателей степени:
 GMAT не потребует от вас сделайте расчет, подобный этому, точно, но он может попросить вас оценить его. В этом случае с 3.1415926 находится между 3 и 4, мы знаем, что ответ будет между 5 в третьей степени, что равно 125, и 5 в четвертой степени, что равно 625, что значительно ближе к 125, чем к 625, поскольку 3,1415926 значительно ближе к 3, чем до 4.
 Показатель степени с дробным или отрицательным основанием 
 Когда дробь возводится в степень, числитель и знаменатель возводятся в степень:
 Дроби также могут использоваться как для основания, так и для степени :
 Кроме того, можно использовать отрицательные дробные степени, взяв, как всегда, обратное основание, чтобы найти решение:
 Как мы уже обсуждали, отрицательные основания, возведенные в четные степени, дают положительные результаты, в то время как отрицательные основания, возведенные в нечетные степени, дают отрицательный результат.
 Обратите внимание на разницу между этими двумя выражениями:
 Левая сторона — это отрицательная сторона квадрата, а правая — квадрат отрицательной. С левой стороны у нас
 и справа у нас есть
 Они могут звучать одинаково, когда произносят их вслух, поэтому, произнося их вслух или обдумывая слова, вы можете использовать слово «количество». Например: мы можем однозначно описать
 как « x  равно минус 5, количество в квадрате».
 С корнями и дробными/десятичными степенями немного сложнее. Нечетные корни работают нормально:
 Однако четные корни не имеют реального решения:
 Сводка по показателям показателей 
 Следующие правила содержится для всех показателей целочисленного целого. экспоненты не делают ничего, кроме подсчета количества раз, когда что-то умножается само на себя. Этот факт, наряду с практикой сокращения показателей степени в дробях, должен привести вас к полному комфорту с этими правилами.
 Сравнение многократного сложения и многократного умножения 
 Здесь есть над чем поразмыслить: поскольку возведение в степень соответствует многократному умножению, оно похоже на умножение. Умножение повторяется , добавляя ; возведение в степень повторяется  умножением.  Запоминание этого может оказаться чрезвычайно полезным при ответе на вопросы GMAT. Да, вам нужно знать и уметь использовать вышеприведенные правила экспоненты, но при этом помните, что  экспонент подсчитывают, сколько раз что-то умножается. 
 Ответы на упражнения 
 1. A)
 B)
 C)
 D)
 2. A)
 B)
 C)
 3.
 4.
 5. Мы можем написать следующее:
 Из первого и третьего уравнений выше мы можем видеть, что:
 Показатель степени не обязательно должен быть равен 2. будет работать та же логика. Любое число, возведенное в степень 0, равно 1,9.0004
 Таблица экспонент целых чисел 
 Экспоненциальное представление 
 В некоторых вопросах GMAT числа представляются в экспоненциальном представлении, и вас просят работать с этими числами. Целью научной нотации является представление чрезвычайно небольшого и большого количества, такое как это:
 123 456 000 000 000 000 000 000 000
 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 378
 С научной нотацией, мы представляем такие цифры, используя экспоненты. Эти два числа в экспоненциальном представлении равны: 9.0004
 Обычно в экспоненциальном представлении все числа записываются в виде:
 где число  a  имеет ровно одну ненулевую цифру слева от десятичной точки ( a  находится между -10 и 10 ). Другие примеры:
 Практические вопросы 
 Десятые степени: 
 http://www.gmatfree.com/powers-of-tenth
 Сравнение показателей степени: 
 http://www.gmatfree.com/comparing-exponents
 Десятичные дроби и показатели степени: 
 http://www.gmatfree.com/fraction-of-decimals-and-exponents
 Простой в использовании калькулятор дробей 
 Калькулятор дробей
 + - 1 6 9200
  = 
 ?
 ?
 Калькулятор упрощенных дробей
 Калькулятор десятичных дробей
 Калькулятор дробей
 Вернуться на страницу калькуляторов
 Калькулятор дробей позволяет складывать, вычитать, умножать и делить дроби с одинаковыми или разными знаменателями. Это также позволит нам упростить дроби, преобразовать дроби в десятичные и десятичные дроби.
 Сначала просто введите значения a,b,c,d для дробей \(\frac{a}{b}\) и \(\frac{c}{d}\), затем математическую операцию, которую вы хотите выполнить (+, -, х, /). Калькулятор моментально и точно выполнит операцию и выдаст ответ в самой простой форме. Вы также можете использовать калькулятор, чтобы проверить свою работу, которую вы сделали вручную.
 
 Сложение и вычитание дробей 
 Подобные (общие) знаменатели 
 Сложите или вычтите числители, оставив знаменатели одинаковыми.
 Пример: \(\frac{3}{5} + \frac{4}{5}\)
 Поскольку в обеих дробях знаменатель равен 5, сложите 3 и 4, чтобы получить 7. В знаменателе остается 5, поэтому ответ 7/5.
 \(\frac{7}{6} – \frac{5}{6}\)
  
 Поскольку знаменатель обеих дробей равен 6, вычтите 5 из 7, чтобы получить 2. Тогда дробь будет \( \фракция{2}{6}\).
 Но теперь мы можем упростить \(\frac{2}{6}\). Для упрощения найдите общий множитель. Обратите внимание, что 2 делится без остатка и на 2, и на 6. Поэтому разделите и числитель, и знаменатель на 2, чтобы получить \(\frac{1}{3}\). Теперь дробь упрощена.
 Разные знаменатели 
 Чтобы сложить и вычесть разные знаменатели, сначала вычислите общий знаменатель. Самый простой способ сделать это — умножить два знаменателя. Это не всегда дает наименьший общий знаменатель, но вы можете упростить после сложения и вычитания.
 Пример: \(\frac{2}{5} + \frac{4}{7}\)
 Общий знаменатель равен 5(7) = 35. Поскольку знаменатель первой дроби умножается на 7, числитель также должен быть умножен на 7, чтобы получить \(\frac{14}{35}\). Поскольку знаменатель во второй дроби умножается на 5, числитель должен быть таким же, чтобы получить \(\frac{20}{35}\).
 Теперь добавьте \(\frac{14}{35}+\frac{20}{35}=\frac{34}{35}\)
 Вычитание выполняется таким же образом, просто вычтите две дроби после перезаписи дроби с общими знаменателями. Если вам нужно упростить, не забудьте разделить на наибольший общий множитель.
  Сложение и вычитание дробей Видео 
 Умножение и деление дробей 
 При умножении дробей просто перемножайте числители и знаменатели. Тогда упрости. Вы также можете сначала упростить перед умножением.
 Пример: \(\frac{2}{9}\times\frac{4}{7}\)
 Умножьте 2 и 4, чтобы получить 8. Затем умножьте 9 и 7, чтобы получить 63. Результат: \( \фракция{8}{63}\). Упрощение не требуется, поскольку наибольший общий делитель равен 1,9.0004
 Теперь предположим, что мы хотим разделить \(\frac{2}{9} \div \frac{4}{7}\).
 При делении дробей возьмите первую дробь и умножьте на обратную величину второй. Обратное — это просто замена числителя и знаменателя местами. Задача деления превращается в задачу умножения.
 \(\frac{2}{9} \times \frac{7}{4}\)
  
 2 × 7 = 14 и 9 × 4 = 36. Таким образом, ответ равен \(\frac{14 {36}\). Но заметьте, это не в простейшей форме. Наибольший общий множитель равен 2, поэтому деление обоих на 2 дает упрощенный ответ \(\frac{7}{18}\).
  Умножение и деление дробей Видео 
 Преобразование дробей в десятичные 
 Калькулятор преобразования дробей в десятичные принимает любую дробь и преобразует ее в десятичную.
 Способ преобразования дроби в десятичную довольно прост. Просто разделите числитель на знаменатель.
 Изменить \(\frac{14}{25}\) на десятичную дробь.
 Разделите 14 на 25, чтобы получить 0,56. Вы можете сделать это на калькуляторе или вручную с помощью деления в большую сторону. С некоторыми дробями не так просто работать вручную, особенно с неконечными. На этом калькуляторе намного проще работать.
 Но если вы решите решать вручную, калькулятор станет отличным инструментом для мгновенной проверки вашей работы.
  Преобразование дробей в десятичные Видео 
 Преобразование десятичных дробей в дроби 
 Преобразование десятичных дробей в дроби является обратным преобразованию дробей в десятичные. Калькулятор быстро выполнит это с точными результатами, просто введя десятичное значение.
 Чтобы преобразовать вручную, возьмите десятичную дробь и преобразуйте ее в целое число, затем разделите на 10, возведя число десятичных разрядов вправо, чтобы преобразовать число. Оттуда вы можете упростить дробь, если это необходимо.
 Пример:
 Преобразование 0,68 в дробь. Чтобы преобразовать 0,68 в целое число, переместите запятую на 2 знака вправо, чтобы получить 68. Поскольку мы переместили 2 знака после запятой, разделите 68 на 10, возведенное во вторую степень, что равно 100.
 Это дает нам \(\ гидроразрыв{68}{100}\). Теперь мы можем упростить дробь, найдя общий множитель. Если вы не знаете наибольший общий делитель, вы можете начать с деления на любой общий делитель. Обратите внимание, что 68 и 100 делятся на 2. Это уменьшает дробь до 34/50. Отсюда обратите внимание, что и 34, и 50 делятся на 2. Это сводится к \(\frac{17}{25}\), что является упрощенным ответом.
 Вы можете проверить свои ручные расчеты с помощью этого калькулятора или просто ввести информацию для вашей конкретной проблемы для почти мгновенных и точных результатов!
 5.2: Свойства экспонент и научной нотации 
 Последнее обновление
 Сохранить как PDF
 Идентификатор страницы
 30851
 OpenStax
 OpenStax
 Цели обучения 
 К концу этого раздела вы сможете:
 Упрощать выражения, используя свойства показателей степени
 Используйте определение отрицательного показателя степени
 Использовать экспоненциальное представление
 Примечание 
 Прежде чем приступить к работе, пройдите этот тест на готовность. m\) число 9m\), показатель степени   \(m\) говорит нам, сколько раз мы используем основание   \(a\) в качестве множителя.
 Когда мы объединяем одинаковые термины путем сложения и вычитания, нам нужно иметь одно и то же основание с одним и тем же показателем степени. Но когда вы умножаете и делите, показатели степени могут быть разными, а иногда и основания тоже могут быть разными.
 Сначала мы рассмотрим пример, который ведет к  Свойству продукта  .
  
   9{т+п}\).
    
 Упрощение.
    
 ⓓ
  
   
 Добавьте показатели степени, так как основания одинаковы.
   
 Упрощение.
   
 93}\)
 Что они означают?
 \(\dfrac{х·х·х·х·х}{х·х}\)
  
 \(\dfrac{х·х}{х·х·х}\)
 Использовать свойство «Эквивалентные дроби».
 \(\dfrac{\cancel{x}·\cancel{x}·x·x·x}{\cancel{x}·\cancel{x}}\)
  
 \(\dfrac{\cancel{x}·\cancel{x}·1}{\cancel{x}·\cancel{x}·x}\)
 Упрощение. 93}\) или \(\dfrac{1}{x}\). Когда больший показатель был в числителе, у нас оставались множители в числителе. Когда больший показатель был в знаменателе, у нас остались множители в знаменателе — обратите внимание на числитель 1. Когда все множители в числителе были удалены, помните, что это на самом деле деление множителей на один, и поэтому нам нужно 1 в числителе. \(\dfrac{\cancel{x}}{\cancel{x}}=1\). Это приводит к частному свойству   для экспонент.
 Определение: ЧАСТНОЕ СВОЙСТВО ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ 9{м-п}\). 
 Упрощение.
 Обратите внимание, что когда больший показатель находится в числителе, у нас остаются множители в числителе.
 ⓒ
 n \nonumber \]. 9{м·п}\).
 Упрощение.
 ⓑ
  
 Используйте свойство Power.
 Упрощение.
 ⓒ
 \(\begin{array} {ll} {} &{(y^3)^6(y^5)^4} \\ {\text{Использовать свойство Power. {38}} \\ \end{массив} \) 9м\).