Углы треугольника – виды и примеры

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 156.

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 156.

В геометрии часто рассматривают углы треугольника, поскольку этими параметрами удобно пользоваться при различных вычислениях с помощью тригонометрических функций и в доказательствах.

Определение

Углы треугольника формируются с помощью его пересекающихся сторон. Иными словами, два отрезка, выходящие из одной точки образуют геометрическую фигуру, обозначающую часть плоскости, которая и называется углом.

По количеству углов формируются названия многоугольников. Треугольник так называется, потому что содержит 3 угла.

Виды углов треугольника

Используя значения углов произвольных треугольников можно выделить ряд важных свойств геометрических фигур. Так, из евклидовой геометрии известно, что сумма углов произвольного треугольника равняется 180 градусов.

Треугольники классифицируют в зависимости от величины углов.

2$, где квадрат гипотенузы равен сложению квадратов катетов.

Когда один из углов треугольника больше, чем 90 градусов, этот треугольник называется тупоугольным.

Рис. 2. Тупоугольный треугольник.

Из теоремы о неравенстве треугольника известно, что когда в этой геометрической фигуре один из углов является прямым или тупым, то сумма двух других углов составит не более 90 градусов, т. е. два других угла обязательно должны быть острыми.

Рис. 3. Остроугольный треугольник.

Любой произвольный треугольник можно разделить на два прямоугольных треугольника, если опустить высоту из вершины этой фигуры на противоположную сторону. А тупоугольный треугольник одной из высот наоборот достраивается до большого прямоугольного треугольника.

Значение

Нахождение неизвестных углов и сторон рассматриваемого треугольника, с использованием известных значений, называется «решением треугольников».

Для этого обращаются к общим тригонометрическим теоремам, а также признакам равенства и подобия треугольников.

Что мы узнали?

В произвольном треугольнике углы определяют вид фигуры и возможность существования такой фигуры вовсе. Иногда в задаче достаточно доказать, что такая фигура существовать не может. Знание вида треугольника, позволяет использовать свойства этого треугольника и различные дополнительные построения.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

• Макс Степочкин

  5/5

• Новиков Елисей

  4/5

• Надежда Зотова

  4/5

Оценка статьи

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 156.

---

А какая ваша оценка?

Основные факты о треугольниках, теория в ЕГЭ по математике

\[{\Large{\text{Основные сведения}}}\]

Определения

Угол – это геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, выходящих из этой точки. \circ\).

Вертикальные углы равны: \(\alpha=\gamma\).

 

Определения

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой (называемых вершинами треугольника), и отрезков, соединяющих эти точки (называемых сторонами треугольника). Треугольник со своей внутренностью будем сокращенно называть также треугольником.

Угол (внутренний) треугольника – угол, образованный вершиной треугольника и двумя его сторонами.

 

Теоремы: признаки равенства треугольников

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

 

2. Если сторона и два прилежащих угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

 

3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. \circ\).

 

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

 

Замечание

Если в треугольнике один угол тупой, то высоты, опущенные из вершин острых углов, упадут не на сторону, а на продолжение стороны (рис. 1).

 

Теорема

В любом треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке (рис. 1 и 2), биссектрисы пересекаются в одной точке (рис. 3), медианы пересекаются в одной точке (рис. 4).

 

\[{\Large{\text{Параллельные прямые}}}\]

Определение

Две различные прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

 

Замечание

Заметим, что на плоскости существует три вида взаимного расположения прямых: совпадают, пересекаются и параллельны.

 

Аксиома параллельных прямых

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. \circ\), то \(\angle 4 = \angle 1 + \angle 2\), что и требовалось доказать.  

\[{\Large{\text{Равнобедренный треугольник}}}\]

Определения

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
Эти стороны называются боковыми сторонами треугольника, а третья сторона — основанием.

 

Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.

Равносторонний треугольник, очевидно, является и равнобедренным.

 

Теорема

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

 

Доказательство

Пусть \(ABC\) – равнобедренный треугольник, \(AB = BC\), \(BD\) – биссектриса (проведённая к основанию).

Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(BCD\): \(AB = BC\), \(\angle ABD = \angle CBD\), \(BD\) – общая. Таким образом, \(\triangle ABD = \triangle BCD\) по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства этих треугольников следует, что \(AD = DC\), следовательно, \(BD\) – медиана. \circ = \angle CDB\), то есть \(BD\) – высота.

 

Верны и другие утверждения:
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

 

Теорема

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

 

Доказательство

Проведем биссектрису \(BD\) (см. рисунок из предыдущей теоремы). Тогда \(\triangle ABD=\triangle CBD\) по первому признаку, следовательно, \(\angle A=\angle C\).

 

Теоремы: признаки равнобедренного треугольника

1. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный.

 

2. Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой, то треугольник равнобедренный.  

Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. \circ\).

 

Внутренние углы – определение, значение, теорема, примеры

Углы, лежащие внутри фигуры, называются внутренними углами, а углы, лежащие в области, ограниченной двумя параллельными прямыми, пересекаемыми секущей, также называются внутренние углы.

1.	Что такое внутренние углы?
2.	Типы внутренних углов
3.	Внутренние углы треугольника
4.	Сумма внутренних углов Формула
5.	Нахождение неизвестного внутреннего угла
6.	Внутренние углы многоугольников
7.	Часто задаваемые вопросы о внутренних углах

Что такое внутренние углы?

В геометрии внутренние углы образуются двумя способами. Один находится внутри многоугольника, а другой — когда параллельные прямые пересекаются секущей. Углы подразделяются на различные типы в зависимости от их размеров. Существуют и другие типы углов, известные как парные углы, поскольку они появляются парами, чтобы проявлять определенное свойство. Внутренние углы являются одним из таких видов.

Внутренние углы можно определить двумя способами:

• Углы внутри многоугольника: Углы, лежащие внутри фигуры, обычно многоугольника, называются внутренними углами. На приведенном ниже рисунке (а) углы ∠a, ∠b и ∠c являются внутренними углами.
• Внутренние углы параллельных прямых: Углы, лежащие в области, заключенной между двумя параллельными прямыми, пересекаемыми секущей, также называются внутренними углами. На приведенном ниже рисунке (b) \(L_1\) и \(L_2\) параллельны, а L является поперечной. Углы ∠1, ∠2, ∠3 и ∠4 являются внутренними углами.

Типы внутренних углов

Существует два типа внутренних углов, образованных при пересечении двух прямых секущей: это параллельные внутренние углы и совмещенные внутренние углы.

• Альтернативные внутренние углы: Эти углы образуются при пересечении двух параллельных прямых секущей. Эта несмежная пара углов образована на противоположных сторонах секущей. На приведенном выше рисунке (b) пары чередующихся внутренних углов равны ∠1 и ∠3, ∠2 и ∠4. Они равны по размеру, если две параллельные прямые пересечены секущей.
• Co-Interior Углы: Эти углы представляют собой пару несмежных внутренних углов по одну сторону от поперечной. На приведенном выше рисунке (b) пары внутренних углов равны ∠1 и ∠4, ∠2 и ∠3. Эти углы также называются односторонними внутренними углами или последовательными внутренними углами. Сумма двух смежных углов равна 180º, поэтому они также образуют пару дополнительных углов.

Внутренние углы треугольника

В треугольнике в каждой вершине есть три внутренних угла. Сумма этих внутренних углов всегда равна 180°. Биссектрисы этих углов пересекаются в точке, называемой центром вписанных углов.

Поскольку сумма внутренних углов треугольника равна 180 °, в каждом треугольнике может быть только один возможный прямой или тупой угол. Треугольник, у которого все три внутренних угла острые, называется остроугольным, треугольник, у которого один внутренний угол тупой, называется тупоугольным, а треугольник, у которого один внутренний угол является прямым, называется прямоугольным.

Сумма внутренних углов Формула

От простейшего многоугольника, скажем, треугольника, до бесконечно сложного многоугольника с n сторонами, такого как восьмиугольник, все стороны многоугольника образуют вершину, и эта вершина имеет внутренний и внешний углы. Согласно теореме о сумме углов, сумма всех трех внутренних углов треугольника равна 180°. Умножение числа сторон на 2, умноженное на 180°, дает нам сумму внутренних углов любого многоугольника.

Сумма, S = (n − 2) × 180°

Здесь S = сумма внутренних углов, а n = количество сторон многоугольника.

Применяя эту формулу к треугольнику, получаем:

S = (n − 2) × 180°

S = (3 − 2) × 180°

S = 1 × 180°

S = 180°

Используя ту же формулу, сумма внутренних углов многоугольников рассчитывается следующим образом:

Полигон	Количество сторон, n	Сумма внутренних углов, S
Треугольник	3	180(3-2) = 180°
Четырехугольник	4	180(4-2) = 360°
Пентагон	5	180(5-2) = 540°
Шестигранник	6	180(6-2) = 720°
Гептагон	7	180(7-2) = 900°
Октагон	8	180(8-2) = 1080°
Нонагон	9	180(9-2) = 1260°
Декагон	10	180(10-2) = 1440°

Нахождение неизвестного внутреннего угла

Мы можем найти неизвестный внутренний угол многоугольника, используя «Формулу суммы внутренних углов». Давайте рассмотрим приведенный ниже пример, чтобы найти недостающий угол ∠x в следующем шестиугольнике.

Из приведенных выше внутренних углов многоугольной таблицы сумма внутренних углов шестиугольника составляет 720°. Два внутренних угла шестиугольника выше прямые. Таким образом, мы получаем уравнение:

90 + 90 + 140 + 150 + 130 + x = 720°

Решим это, чтобы найти x.

600 + x = 720

x = 720 — 600 = 120

Таким образом, недостающий внутренний угол x равен 120°.

Внутренние углы многоугольников

Многоугольник можно считать правильным многоугольником, если все его стороны и углы равны. Вот несколько примеров правильных многоугольников:

Мы уже знаем, что формула суммы внутренних углов многоугольника с n сторонами равна 180(n-2)°. В правильном многоугольнике с n сторонами/вершинами n углов. Поскольку все внутренние углы правильного многоугольника равны, каждый внутренний угол можно получить, разделив сумму углов на количество сторон.

Каждый внутренний угол = ((180(n-2))/n)°

Применим эту формулу, чтобы найти внутренний угол правильного пятиугольника. Мы знаем, что количество сторон пятиугольника равно 5 (здесь n = 5). Каждый внутренний угол правильного пятиугольника можно найти по формуле:

((180(n-2))/n)° = ((180(5-2))/5)°

= (180 × 3 )/5 = 540/5

= 108°

Таким образом, каждый внутренний угол правильного пятиугольника = 108°.

Используя ту же формулу, внутренние углы многоугольников рассчитываются следующим образом:

Правильный многоугольник	Сумма внутренних углов, S	Измерение каждого внутреннего угла ((180(n-2))/n)°
Треугольник	180(3-2) = 180°	180/3 = 60°, здесь n = 3
Квадрат	180(4-2) = 360°	360/4 = 90°, здесь n = 4
Пентагон	180(5-2) = 540°	540/5 = 108°, Здесь n = 5
Шестигранник	180(6-2) = 720°	720/6 = 120°, здесь n = 6
Гептагон	180(7-2) = 900°	900/7 = 128,57°, Здесь n = 7·
Октагон	180(8-2) = 1080°	1080/8 = 135°, здесь n = 8
Нонагон	180(9-2) = 1260°	1260/9 = 140°, здесь n = 9
Декагон	180(10-2) = 1440°	1440/10 = 144°, Здесь n = 10

Похожие статьи о внутренних углах

Ознакомьтесь со следующими страницами, посвященными внутренним углам.

• Вертикальные уголки
• Альтернативные углы
• Альтернативные внешние углы
• Внутренние углы с одной стороны
• Калькулятор внутренних углов многоугольника

Важные примечания

Вот несколько моментов, которые следует помнить при изучении внутренних углов:

• Сумма внутренних углов многоугольника с ‘n’ сторонами может быть рассчитана по формуле 180( п-2)°.
• Каждый внутренний угол правильного многоугольника с ‘n’ сторонами можно рассчитать по формуле ((180(n-2))/n)°.
• Согласно теореме о чередующихся внутренних углах, когда секущая пересекает две параллельные прямые, каждая пара чередующихся внутренних углов равна. И наоборот, если секущая пересекает две прямые так, что пара внутренних углов равна, то эти две прямые параллельны.
• Согласно теореме о внутренних углах, если секущая пересекает две параллельные прямые, каждая пара внутренних углов является дополнительной (их сумма равна 180°). Наоборот, если секущая пересекает две прямые так, что пара смежных внутренних углов является дополнительной, то эти две прямые параллельны.

 

Примеры внутренних углов

1. Пример 1: Найдите внутренний угол при вершине B на следующем рисунке.

   Решение:

   Число сторон данного многоугольника равно n = 6, значит, это шестиугольник (у шестиугольника 6 сторон). Таким образом, сумма внутренних углов этого многоугольника равна 180(n-2)º.

   = 180(6-2)

   = 180 × 4 = 720°

   Мы знаем, что сумма всех внутренних углов в этом многоугольнике равна 720°. Сумма всех углов данного многоугольника:

   ∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F

   = (x — 60) + (x — 20) + 110 + 120 + 130 + (x — 40)

   = 3x+ 240

   Теперь примем эту сумму равной 720 и решим ее относительно x.

   3x+ 240 = 720

   3x = 480

   x = 480/3 = 160

   Теперь найдем ∠B.

   ∠B = (x — 20)° = (160 — 20)° = 140°

   Следовательно, внутренний угол при вершине B равен ∠B = 140°.

2. Пример 2: На следующем рисунке MN || ОП и ВКЛ || ПК. Если ∠MNO=55°, то найти ∠OPQ.

   Решение:

   Продлим линии на данном рисунке.

   Здесь, МН || OP, а ON — трансверсаль. Таким образом, 55° и x° являются ковнутренними углами и, следовательно, дополнительными (по теореме о ковнутренних углах). т. е.

   55° + x° = 180°

   x = 180 — 55 = 125°

   Снова ВКЛ || PQ и OP — трансверсаль. Таким образом, x° и ∠OPQ являются соответствующими углами и, следовательно, равны. т. е.

   ∠OPQ = x = 125°

   Следовательно, ∠OPQ = 125°

перейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по внутренним углам

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о внутренних углах

Что такое внутренние углы?

Внутренние углы — это те, которые лежат внутри многоугольника. Например, у треугольника 3 внутренних угла. Другой способ определить внутренние углы: «Углы, заключенные во внутренней области двух параллельных линий при пересечении секущей, называются внутренними углами».

Как найти сумму внутренних углов?

Сумма внутренних углов может быть найдена по формуле 180(n-2)°, где n — количество сторон многоугольника. Например, чтобы найти сумму внутренних углов четырехугольника, заменим в формуле n на 4. Получим 180(4-2)°= 360°.

Какова сумма внутренних углов семиугольника?

Семиугольник — это многоугольник с 7 сторонами и 7 углами. Сумма всех внутренних углов семиугольника равна 180(7-2)°, что равно 900°. Следовательно, сумма внутренних углов семиугольника равна 900 градусов.

Чему равна сумма внутренних углов 27-угольника?

Сумма внутренних углов 27-угольника равна 180(27-2)°. Он равен 180 × 25, что составляет 4500°.

Как решить внутренние углы с одной стороны?

Внутренние углы одной стороны являются дополнительными, когда две параллельные прямые пересекаются секущей. Это означает, что их сумма равна 180 градусам. Итак, для решения таких углов воспользуемся этим свойством и найдем недостающее значение.

Чему равна сумма внутренних углов многоугольника?

Сумма внутренних углов многоугольника с n сторонами может быть рассчитана по формуле 180(n-2)°. Это помогает нам найти общую сумму всех углов многоугольника, будь то правильный многоугольник или неправильный многоугольник. Используя эту формулу, мы также можем проверить свойство суммы углов. Сумма всех внутренних углов треугольника равна 180º, сумма внутренних углов четырехугольника равна 360º и так далее.

Какова сумма внутренних углов треугольника?

Рассчитаем сумму внутренних углов треугольника по формуле суммы внутренних углов S = 180(n-2)°, где n — количество сторон многоугольника. Здесь n равно 3, так как у треугольника 3 стороны. Следовательно, сумма равна 180(n-2)° = 180(3-2) = 180°. Таким образом, сумма внутренних углов треугольника равна 180°.

Какова сумма внутренних углов шестиугольника?

Рассчитаем сумму внутренних углов шестиугольника, используя формулу суммы внутренних углов S = 180(n-2)°, где n — количество сторон многоугольника. Здесь n равно 6, так как шестиугольник имеет 6 сторон. Следовательно, сумма равна 180(n-2)° = 180(6-2) = 180 × 4 = 720°. Таким образом, сумма внутренних углов шестиугольника равна 720°.

Сколько внутренних углов у восьмиугольника?

Восьмиугольник имеет восемь сторон и, следовательно, восемь внутренних углов. Сумма этих восьми внутренних углов восьмиугольника равна 1080º.

Какова сумма всех внутренних углов пятиугольника?

Рассчитаем сумму внутренних углов пятиугольника, используя формулу суммы внутренних углов S = 180(n-2)°, где n — количество сторон многоугольника. Здесь n равно 5, так как у пятиугольника 5 сторон. Следовательно, сумма равна 180(n-2)° = 180(5-2) = 180 × 3 = 540°. Таким образом, сумма внутренних углов пятиугольника равна 540°.

Загрузить БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы

Загрузить рабочие листы по геометрии

Рабочие листы по внутренним углам

Треугольники (Типы треугольников и свойства треугольников)

Треугольник просто определяется как трехсторонний многоугольник, состоящий из трех сторон (также называемых ребрами). ) и вершины. Треугольники – это любая замкнутая фигура в геометрии.

Обозначение

Рассмотрим треугольник с вершинами A, B и C, как показано на рисунке выше. Обозначается как △ABC 9.0060 .

Углы треугольника

Треугольник имеет двумерную форму с трехсторонним многоугольником. У него три стороны, и все стороны состоят из прямых линий.

Общая точка пересечения двух прямых треугольника называется вершиной . Вот почему треугольник состоит из трех вершин. Каждая вершина треугольника образует угол.

Как мы знаем, в треугольнике три вершины, и каждая вершина образует угол в треугольнике. Следовательно, треугольник имеет три угла, и каждый угол треугольника пересекается в одной точке (вершине).

Типы углов

●      Внутренние углы

Проще говоря, если угол лежит внутри треугольника, то он называется внутренним углом. Треугольник имеет три внутренних угла. Сумма всех внутренних углов треугольника равна 180 градусов.

●      Внешние углы

Если любую сторону треугольника продолжить наружу, то она образует внешний угол с линией. Сумма последовательных внешних и внутренних углов треугольника является добавочной, а значит, равна 180 градусам.

Пример внутреннего и внешнего углов

На рисунке выше:

• b , a и c представляет внутренний угол
• e , f и d представляет внешний угол

Последовательная сумма e и b , a и f , или c и d будут дополнительными.

Свойства треугольника

Каждый многоугольник в математике обладает некоторыми уникальными и выдающимися свойствами, которые отличают его от остальных. Треугольник также обладает следующими свойствами:

• Каждый треугольник состоит из трех углов и трех сторон.
• Сумма внешних углов треугольника всегда равна 360 градусам.
•  Сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180 градусам.
• Сумма любых двух сторон треугольника будет больше третьей стороны.
• Разница между любыми двумя сторонами треугольника будет меньше, чем разница между третьей стороной.
• Самая длинная сторона любого треугольника всегда будет находиться напротив наибольшего внутреннего угла.
• Самая короткая сторона треугольника всегда противоположна самому крутому внутреннему подъему.
• Периметр треугольника равен сумме трех его сторон.
• Площадь треугольника — это внутренняя область, ограниченная тремя сторонами треугольника.

Типы треугольников

Треугольники делятся на различные типы в зависимости от их сторон и углов. Треугольник делится на 3 типа в зависимости от его сторон, в том числе; равносторонних треугольников, равнобедренных и 90 539 разносторонних треугольников. С другой стороны, треугольники можно разделить на четыре различных типа: прямоугольный треугольник, остроугольный треугольник, тупоугольный треугольник и косой треугольник.

Треугольник На основе сторон

Существует три типа треугольников на основе сторон.

1.     Равносторонние треугольники

Треугольник, у которого все стороны и углы равны, называется равносторонним треугольником.

Равносторонний треугольник также известен как правильный многоугольник. В равностороннем треугольнике мера каждой кривой равна 60 градусам.

2.     Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны одинаковой длины, а одна сторона неравной длины.

Равнобедренный треугольник имеет два угла одинаковой меры и один угол неравной меры. Углы, лежащие против равных сторон, равны. Углы, противолежащие неравной стороне, неравномерны.

 

3.     Разносторонний треугольник

Угол, все стороны которого не равны по длине, называется разносторонним треугольником.

Точно так же, как все стороны неравны по длине, так и углы неравны по размеру.

Треугольник На основе внутренних углов

Существует шесть типов треугольников на основе их внутренних углов, а именно:

1.     Прямоугольный треугольник

Треугольник, один из внутренних углов которого равен 90 градусов (прямой угол) называется прямоугольным треугольником.

Существуют некоторые особые свойства прямоугольных треугольников, такие как:

• Сторона, противоположная прямому углу треугольника, называется гипотенузой.
• Прямоугольные треугольники подчиняются теореме Пифагора (квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин двух других сторон треугольника)

2.