Эссе № 2. Шестнадцатеричная система счисления :

Хотя компьютеры работают в двоичной системе единиц и нулей, используемых в комбинациях, было обнаружено, что с увеличением возможностей обработки и емкости памяти использование такого количества нулей и единиц для каждых данных/инструкций становится утомительным процессом, трудным для запоминания, и вероятность ошибки была очень высока, что приводило к катастрофическим результатам.

В ПК 16 бит используются для нормальной работы с ПК АТ, работающим на уровне 32 бит. Таким образом, любые данные или инструкции обычно должны быть представлены комбинацией 16 или 32 битов 0 и 1. Чтобы найти простой выход с точки зрения программистов, заменитель сокращенной записи, была разработана другая система счисления, называемая шестнадцатеричной системой или сокращенно Hex, в которой используется 16 цифр.

Итак, где мы можем взять 16 однозначных чисел? От 0 до 9 дает только десять цифр. Мы не можем использовать 10, 11 и т. д., так как это комбинации основных цифр 0 и 1, и они занимают два места. Решение было найдено путем выбора первых пяти алфавитов, от A до F: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 и F = 15, самая большая цифра — основа системы. будучи 16.

Система имеет уникальное преимущество, состоящее в том, что ровно 4 двоичных разряда (полубайт) представлены одной шестнадцатеричной цифрой, а буква F представлена ​​как 1111 ₂ — байт, состоящий из 8 бит, полностью представлен 2 шестнадцатеричными цифрами. Если вы заглянете в основную память компьютера с помощью любого программного обеспечения, такого как Debug, PCTools или Norton Utility, вы обнаружите, что все представлено в шестнадцатеричных числах.

Обратите внимание, что для представления байта требуются две шестнадцатеричные цифры, а очень большие десятичные числа могут быть представлены всего несколькими шестнадцатеричными цифрами. Вы должны уметь интерпретировать шестнадцатеричные цифры, если серьезно хотите стать компьютерным экспертом. Это обязательно.

Преобразование шестнадцатеричной системы счисления в десятичную :

Наша основная система счисления является десятичной системой, поэтому мы должны знать, как преобразовать шестнадцатеричные числа в десятичную [а также двоичную систему] и наоборот.

Процесс преобразования в десятичную систему аналогичен процессу преобразования десятичной системы в двоичную со следующими исключениями:

1. Основание здесь, очевидно, равно 16 вместо 2.

2. В двоичной системе цифры были либо 0, либо 1, поэтому мы либо добавляли, либо отбрасывали значения разрядов, в зависимости от того, были ли они 1 или 0. Но в шестнадцатеричной системе каждая позиция может иметь любую цифру от 0 до F [15], поэтому соответствующие цифры должны быть умножены на соответствующие значения мест, чтобы получить окончательные значения; как мы делали в десятичной системе для расширенной системы счисления.

Например, чтобы преобразовать 3A2F в десятичную систему, мы пишем:

ниже:

Следует отметить, что поскольку 4 бита составляют шестнадцатеричное число, все 4 бита необходимо записать, например 0001 вместо 1.

Преобразование десятичного числа в шестнадцатеричное :

Этот процесс также идентичен процессу для двоичной системы, за исключением того, что вместо 2 мы делим на 16, чтобы получить остаток, который представляет шестнадцатеричные цифры.

Чтобы преобразовать 584386 в шестнадцатеричное:

Следовательно, 584386 ₁₀ = 8EAC2 ₁₆

Некоторые из более ранних компьютерных систем приняли конфигурацию, согласно которой шесть двоичных цифр составляли байт (теперь это 8 битов в байте). Следовательно, они разработали восьмеричную систему счисления, в которой две восьмеричные цифры полностью представляли их байты; поскольку две шестнадцатеричные цифры теперь представляют собой байт.

В системе, как следует из названия, имеется восемь цифр, причем старшая из них [8 – 1] = 7 и, естественно, основание равно 8. Поскольку три двоичных цифры могут полностью представлять числа от 0 до 7, восьмеричная цифра может быть представлена ​​тремя битами — 111, = 7 _S .

Восьмеричное в десятичное и обратно:

К настоящему моменту все вы должны полностью овладеть любой системой счисления, поэтому для символической справки даны два репрезентативных примера.

Восьмиугольный эквивалент составляет 5647 ₈ .

Какой бы научной и полезной ни была система счисления, мы всегда чувствуем себя немного комфортно, работая с десятичной системой счисления. Поэтому был разработан ряд кодовых систем для интеграции двух систем счисления, десятичной и двоичной, так что мы работаем в десятичной системе, а компьютер продолжает использовать двоичную систему, а коды облегчают преобразование из одной формы в другую.

Эти коды называются двоично-десятичными кодами [BCD]. Существует большое количество таких кодов. В этих системах отдельные десятичные цифры преобразуются в эквивалентную двоичную форму, а не общее десятичное значение преобразуется в его двоичный эквивалент. Самый популярный из них называется кодом 8-4-2-1.

В этой системе каждое десятичное число выражается в двоичной форме с использованием эквивалентной ему двоичной цифры с использованием 4 битов, например 0001 для 1, 0100 для 4, 1001 для 9. Веса, присвоенные битовым позициям, равны 8, 4, 2, и 1 соответственно и так называется код 8-4-2-1.

Десятичное число 386 в двоичной форме с использованием кода 8-4-2-1 будет выглядеть так:

С помощью этого кода числа одной системы могут быть легко преобразованы в другую систему удобно, но правила двоичной системы арифметика становится недействительной с такими числами. [При правильном двоичном преобразовании 386 станет 1 1000 0010].

Математические закономерности и природа. Системы счисления — 2233 слова

Содержание

1. Введение
2. Римская система счисления
3. Греческая система счисления
4. Римская, греческая и индийско-арабская система счисления
5. Уникальность и отличие индийско-арабской системы счисления
6. Ссылки

Введение Используемые символы

Система счисления для выражения количеств в качестве основы для подсчета, сравнения сумм, определения порядка, выполнения расчетов, представления стоимости и выполнения расчетов. Это набор символов и математических правил, используемых для представления числа. Примеры включают арабскую, вавилонскую, китайскую и египетскую, греческую, майяскую и римскую системы счисления. ISBN и десятичная система Дьюи являются примерами систем счисления, используемых в библиотеках. Даже Социальное обеспечение имеет систему счисления. (Каджори, 1993)

Римская система счисления

Первоначально римские числа были независимыми и использовали оригинальные символы, но в настоящее время они используют буквы латинского алфавита, хорошим примером являются этруски, которые использовали I Λ X ⋔ 8 ⊕ для I V X L C M. Буквы I и X буквы в их алфавите. Исходя из этих символов, народная этимология говорит, что буква V обычно представляет собой руку, а буква X представляет собой комбинацию перевернутой буквы V. Этрусско-римские цифры были получены из насечек на счетных палочках. Например, я был буквой, которую я начертил на палке. Пятый надрез был двойным (V), а десятый – поперечным (X). Тогда, если кто-то хочет получить семь, символ был IIIIVII, и он был сокращен до VII. Семнадцатая буква тогда была написана как XVII. У Zero не было никакого символа, но они использовали слово nulla.

Десятая буква V или X вдоль стика получила дополнительный ход. 50 были записаны как N, И, K, Ψ, ⋔. Но во времена Августа у него был знак ⊥, а позже он был преобразован в L. Для 100 также были различные формы, такие как Ж, ⋉, ⋈, H, но Ж ждала дольше. Позже оно изменилось на >I< или ƆIC, но C, наконец, приобрело больший вес, потому что это была буква, а также она обозначала centum, что на латыни означает «сотня».

500 было написано как Ɔ, наложенное на ⋌ или ⊢ — и ко времени Августа оно стало D и, наконец, оно было написано как D. 1000 было окружено или заключено в рамку X: Ⓧ, ⊗, ⊕, а ко времени Августа это был фи. Это было причиной того, что 500 было от половины D до phi.

Римляне использовали десятичную систему для целых чисел и двенадцатеричную для дробей, например, с делимостью двенадцати было легче справиться, чем с десятками. Они использовали обозначения для обозначения двенадцатых и половин. Например, точка обозначала двенадцатую часть. Затем точки использовались для дробей до пятой. S использовалась для сокращения шести двенадцатых, а затем точки добавлялись для значений от семи до одиннадцати двенадцатых точно так же, как подсчеты в I до V. (Menninger, 1992)

Целые числа в римской системе счисления.

Дробь в римской системе счисления.

Система счисления не является аддитивной или вычитающей по своей форме, но она была порядковой.

Греческая система счисления

Это представление греческих цифр с использованием греческого алфавита. Его также называют милетскими числами, александрийскими числами или буквенными числами. В современной Греции они все еще используются.

До использования греческого алфавита линейное письмо A и линейное письмо B использовали разные символы с символами в диапазоне от 1, 10, 100, 1000 и 10000, и они использовали следующие формулы: | = 1, – = 10, ◦ = 100, ¤ = 1000, ☼ = 10000. Но самой простой системой счисления, которая была связана с алфавитом, был набор акрофонических аттических цифр, они работали как римские цифры и использовали их по схеме Ι = 1, ПХ = 5, Д = 10, ПД = 50, Н = 100, ПН = 500, Х = 1000, ПХ = 5000, М = 10000 и ПМ = 50000.

С 4 века до н.э. акрофоническая система была заменена буквенной системой, которую также называли ионической системой счисления. Конструкция была такова, что единицам 1, 2, 3… 9 присваивалась отдельная буква, десяткам 10, 20… 90 — отдельная буква, а сотням — отдельная буква. Всего им потребовалось 27 букв из 24-буквенного греческого алфавита. Это привело к расширению тремя буквами до устаревших букв: дигамма ϝ, (стигма ϛ / новогреческий στ) для 6, qoppa ϟ для 9.0 и сампи ϡ для 900. Чтобы отличить цифры от букв, они использовали символ, похожий на острый знак, называемый «керайя».

Алфавитная система работает по аддитивному правилу, в котором числовые значения, если они складываются вместе, то есть 241 представляются σμαʹ для (200 + 40 + 1). Для отображения значений от 1 000 до 999 999 используются те же буквы, что и для тысяч, десятков тысяч и сотен тысяч. Керайя, которая обычно находится слева, используется, чтобы отличить их от стандартного использования. Например, 2008 год представлен как ͵βηʹ (2000 + 8).

Для значений 10 000 греки использовали мириады (М’), а для ста миллионов использовали мириады мириадов (ММ’). Философ Архимед предложил способ называть большие или большие числа, такие как песчинки на пляже и все другие пляжи в мире. Эта греческая система использовалась в шестидесятеричной системе счисления позиций эллинистическими астрономами. Это достигается за счет ограничения позиции до максимального значения 50+9 и включения символа нуля. Его положение ограничивалось дробной частью числа, которую иногда называли минутами, секундами и не использовали для целой части числа.

Нулевые символы изменились во времени в своем расположении. Во втором веке символом, который использовался, был папирус, и он представлял собой небольшой одиночный символ с перекладиной многих диаметров, но позже был сокращен до одного диаметра. Это было похоже на современный о макрон (ō). Но позже перекладина была полностью исключена. (Ифраим, 2000)

Символы для греческих нижних чисел.

Греческие числа старших чисел.

Римская, греческая и индийско-арабская система счисления

Однако большинство древних народов, включая китайцев, греков, римлян и евреев, использовали десятичную систему.

Самая ранняя система счисления, использовавшаяся греками, была аттической системой счисления. Он использовал черту для 1 и имел символы для 5, 10, 100, 1000 и 10000. А примерно в 500 г. до н.э. греки заимствовали египетскую систему счисления и использовали ее для получения алфавитной десятичной системы. Эта ионическая система была несколько сложнее египетской. Как и у египтян, не было положения о разряде или символе нуля. (Каджори, 1993)

В то же время римляне также разработали алфавитную систему счисления. Римляне использовали буквы алфавита для обозначения чисел, и эта система до сих пор используется в таких вещах, как номера страниц, циферблаты и даты фильмов. Как правило, буквы располагаются в порядке убывания значения, например, CXV11 = 117. Буквы можно повторять один или два раза для увеличения значения, но буквы нельзя повторять три раза, поэтому XXXX не используется вместо 40. Используется размер XL. Как и в греческой системе, не было положения о разряде или символе нуля.

Арабская система счисления (также называемая индуистской системой счисления или индийско-арабской системой счисления) считается одним из самых значительных достижений в математике. Он был разработан в 4-м и 3-м веках до нашей эры. Большинство историков сходятся во мнении, что оно было впервые придумано в Индии (сами арабы называют используемые ими числительные «индийскими числительными») и затем было передано в исламский мир, а затем через Северную Африку и Испанию в Европу. Десятичная система с разрядным значением, в ней использовались символы для каждого числа от одного до девяти. Индийцы постепенно разработали способ устранения топонимов и изобрели символ сунья [пустой], который мы называем ноль. В 7 веке нашей эры арабы изучили индийскую арифметику по научным трудам индийцев и греков. В 10 веке нашей эры арабские математики расширили десятичную систему счисления, включив в нее дроби. Леонардо Фибоначчи, итальянский математик, учившийся в Алжире, продвигал арабскую систему счисления в своих Liber Abaci (1202). И наоборот, эта система не использовалась широко в Европе до изобретения книгопечатания. (McSeveny, 2003)

Уникальность и отличие индуистской арабской системы счисления

Арабские числа обычно состоят из десяти цифр, а также состоят из десятков. Это совершенно другое по сравнению с другими видами систем счисления. Они также пишут свои числа справа налево.

Обычно называемые западно-арабскими цифрами, в настоящее время они сочетаются с восточно-арабскими цифрами и аналогичным образом происходят от индуистских цифр, что делает их предшественниками западных цифр.

Индийская система может быть описана как система чисто позиционной оценки, причина, по которой в этой системе требуется ноль. (Cajori, 1993) В контексте индоевропейских цивилизаций только индусы всегда применяли ноль.

Все римские и греческие числовые числа не имели места для нуля или его значения. Тогда это затрудняло расчеты. Несмотря на то, что расчеты не очень ценились по сравнению с арабами, которые были ориентированы на бизнес и должны были иметь способы проводить свои денежные расчеты.

Значения и цифры в римской и греческой системах счисления читаются слева направо, в то время как в индийско-арабской системе значения читаются справа налево. Греки и римляне увлекались геометрией и образными числами, не занимались вычислениями, понимали и пытались доказать, что нуль не нужен. Примером было то, что нет ничего лучше нулевой овцы, если считать стадо овец. Они обычно использовали счетные доски и счеты для вычислительных целей вместо числовых. Это означало, что они должны были использовать много повторяющихся символов, чтобы показать определенное число.

Вычисления с использованием греческих символов были громоздкими, например, альфа + альфа = бета вместо арабской системы (1 + 1) = 2. В греческой системе также было много символов, каждый из которых обозначал другое значение, что затем усложняло задачу. при запоминании этих цифр. Следовательно, это показывает, что им приходилось использовать много символов для каждого символа, и всего у них было 27 символов или имен.

Индийская арабская система счисления имела позиционную систему счисления, в которой использовалось основание десять. Они также использовали точку для обозначения нулевой позиции, а также использовались в качестве заполнителя и для вычислительных целей. У них были символы для чисел от одного до девяти без повторения. Использование нуля в качестве примера — это когда они используют «1 сата, 5», что означает 105. У них был десятичный разряд для отображения десятых.

Эти три системы счисления также связаны с обозначением того, сколько раз что-то происходит. Несмотря на то, что там манипуляции для вычислений разнообразны и другие не так просто вычислить, например, умножить 378 на 378 в римской форме, если и возможно, то отрабатывается много времени или вообще невозможно решить.

Римская система счисления может быть сложена и вычтена, при этом буквы используются для обозначения определенного основного числа, например, X для десяти и D для 500, а другие буквы обозначаются из комбинации цифр. Это привело к тому, что для обозначения простого значения и работы с ним по сравнению с арабской системой потребовалось много времени.

В арабской системе счисления требуется меньшее количество цифр, потому что наличие нуля приводит к тому, что цифры начинаются заново, например. 10, 20… 100 и т. д., поэтому больше подходит для расчетов. В то время как римская система счисления была длинной, например, запись XCIX вместо 99, а также частое повторение, такое как X в приведенном выше примере (Hayashi, 1995).

Все эти три системы счисления до сих пор используются в различных приложениях. В арабской системе счисления он обычно используется в калькуляторах и телефонах. Римская система счисления до сих пор используется в системе счисления лет, а также в настенных часах.