Тема 1.6.Применение векторов к решению задач

школьного курса геометрии

Литература: [1], § 10, стр. 32-34.

Основные сведения

Векторная алгебра может быть весьма успешно использована при решении широкого класса содержательных геометрических (аффинных и метрических) задач. Аффинные задачи характеризуются тем, что все участвующие в них объекты и отношения определяются отношением отрезков, площадей, параллельностью. В метрических же задачах – длинами отрезков, величинами углов.

Как правило, векторное решение геометрической задачи позволяет автоматически, или после несложного анализа полученных формул и уравнений, сделать интересные обобщения доказываемых геометрических фактов.

Алгоритм применения векторов при решении геометрических задач состоит из следующих этапов:

1. Выясняем, является ли рассматриваемая задача аффинной или же метрической.

2. Если задача аффинная, то, как правило, выбираем произвольный базис или вводим в рассмотрение наименьшее количество векторов, через которые можно выразить все интересующие нас векторы. Если же задача метрическая, то выбираем ортонормированный базис.

3. Все, что дано в задаче, записываем с помощью векторов.

4. Все, что необходимо найти или доказать, записываем с помощью векторов.

5. С помощью алгебраических преобразований из того, что дано, получаем, что необходимо.

Из приведенного алгоритма видно, что если задачу можно перевести на язык векторов, то она решается с помощью векторов. И для успешного использования векторной алгебры к решению геометрических задач необходимо уметь переводить геометрические факты на язык векторов или на язык координат.

Ниже, в таблице, приведены часто встречающиеся примеры.

На языке геометрических фактов	На языке векторов	На языке координат векторов
Прямые а и b параллельны.	Векторы иколлинеарны или=t(здесьи- направляющие векторы прямых а иb соответственно)	Координаты векторов ипропорциональны, т.е..
Точки А,В и С лежат на одной прямой.		Координаты векторов ипропорциональны, т.е..
Точка С лежит между точками А и В.	, <<	Координаты векторов ипропорциональны, т. е..
Точки А и В симметричны относительно точки 0.	или	Соответствующие координаты векторов иравны.
Угол между прямыми а и в: прямой; острый; тупой;	; ; ;

Задание: Для ускорения усвоения этого метода рекомендуем после решения каждой из рассматриваемых задач продумать, какая информация, чем была заменена в процессе работы, и продолжить заполнение таблицы.

Пример 1. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке (центре тяжести треугольника) и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

Решение. Пусть медианыAD и BE пересекаются в точке О. Докажем, что третья медиана СМ тоже проходит через точку О. Из приведенной выше таблицы видно, что это все равно, что доказать коллинеарность векторов и. Эта задача аффинная.

Пусть =,=. Замечаем, что векторы и можно выразить через векторыи:

.

.

.

Так как , то,.

Аналогично, , поэтому:

, .

Найдем вектор . С одной стороны:

.

С другой стороны:

.

Значит, .

Так как векторы илинейно независимы, то отсюда:

Значит, ,,.

Сравнив векторы и, заключаем:.

Следовательно, третья часть медианы СМ тоже проходит через точку О.

Пример 2. Доказать, что прямые, содержащие высотытреугольника пересекаются в одной точке.

Решение.

Пусть высоты АD и ВН пересекаются в точке О. Обозначим , ,.Тогда ,,.

, то есть, . , т.е..

Вычтя из первого подчеркнутого равенства второе, получим , т.е.или. Следовательно,. Значит, и третья высота треугольника проходит так же через точку О.

Задачи

1. С помощью векторов докажите следующие утверждения: а) если диагонали четырехугольника в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм; б) сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон; в) диагонали ромба взаимно перпендикулярны; г) средняя линия треугольника параллельна основанию и длина ее равна половине длины основания.

2. Доказать, что в треугольнике ABC угол ABC прямой тогда и только тогда, когда AC

   2=AB²+BC².

3. Доказать, что сумма квадратов длин диагоналей трапеции равна сумме квадратов длин ее непараллельных сторон, сложенной с удвоенным произведением длин оснований.

4. В кубе найти величину угла: а) между диагональю и скрещивающейся с ней диагональю грани; б) между скрещивающимися диагоналями соседних граней; в) между диагональю куба и пересекающейся с ней диагональю грани.

5. Доказать, что сумма квадратов длин сторон четырехугольника равна сумме квадратов длин его диагоналей и учетверенного квадрата расстояния между серединами этих диагоналей (теорема Эйлера).

6. Доказать, что в правильном тетраэдре противоположные ребра взаимно перпендикулярны.

7. Доказать, что в четырехугольнике ABCD имеет место равенство: , гдеM, N –соответственно середины сторон AD и BC.

   Пользуясь этим равенством, докажите, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их половине.

Вычислительная геометрия, или как я стал заниматься олимпиадным программированием.Часть 1 / Хабр

Здравствуйте, уважаемые хабравчане! Это моя вторая статья, и мне хотелось бы поговорить о вычислительной геометрии.

Немного истории

Я являюсь студентом уже 4 курса математического факультета, и до того как я начал заниматься программированием, я считал себя математиком на 100 процентов.

В конце первого курса мой преподаватель по информатике, который занимается олимпиадным программированием, обратил на меня внимание. Им как раз не хватало одного математика в команду. Так потихоньку меня начали приучать к олимпиадному программированию. Скажу честно, для меня это было очень сложно: для человека, который узнал слово Delphi на первом курсе. Однако мой преподаватель оказался очень грамотным специалистом и нашел хороший подход ко мне.

Он начал давать мне математические задачи, который я сначала решал чисто математически, а уже потом писал код (с грехом пополам).

Мне очень нравится подход моего преподавателя: «разберись с этой темой, а потом расскажи нам, да так чтоб мы все поняли».

Итак, первой на самом деле важной задачей, с которой мне поручили разобраться, было именно вычислительная геометрия, необходимо было разобраться в типичных задач этого раздела информатики. И я решил подойти к этой задаче со всей ответственностью.

Я помню, как долго мучился с этими задачами, чтобы они прошли все тесты на сайте informatics.mccme. Зато теперь я очень рад, что прошел через все испытания и знаю, что же такое задачи вычислительной геометрии.

Вступление

«Вычислительная геометрия – это раздел информатики, изучающий алгоритмы решения геометрических задач. Такие задачи возникают в компьютерной графике, проектировании интегральных схем, технических устройств и др.

Исходными данными в такого рода задачах могут быть множество точек, набор отрезков, многоугольники и т.п. Результатом может быть либо ответ на какой-то вопрос, либо какой-то геометрический объект».

Поскольку статья является достаточно большой я решил разбить ее на две части: первая часть посвящена многоугольникам, вторая – взаимному расположению различных геометрических объектов.

Немного теории о векторах

Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой — концом, называется вектором. Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется нулевым. Начало и конец нулевого вектора совпадают, и он не имеет какого-либо определенного направления.

Длиной ненулевого вектора AB называется длина отрезка AB. Длина нулевого вектора считается равной нулю.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Если два ненулевых вектора AB и CD коллинеарны и если при этом лучи AB и CD сонаправлены, то векторы AB и CD называются сонаправленными, а если эти лучи не являются сонаправленными, то векторы AB и CD называются противоположно направленными. Нулевой вектор принято считать сонаправленным с любым вектором.

Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов — это число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
(a, b) = |a||b|cos∠(a, b)

Если векторы заданы своими координатами a(x₁, y₁), b(x₂, y₂) то скалярное произведение (a, b) = x₁x₂ + y₁y₂.

Косое произведение векторов

Псевдоскалярным или косым произведением векторов на плоскости называется число
[a, b] = |a||b|sinθ
где — угол вращения (против часовой стрелки) от a к b. Если хотя бы один из векторов a и b нулевой, то полагают [a, b] = 0.
Если векторы заданы своими координатами a(x₁, y₁), b(x₂, y₂) то косое произведение [a, b] = x₁y₂ — x₂y₁.
Геометрически косое произведение векторов представляет собой ориентированную площадь параллелограмма, натянутого на эти вектора.

Косое произведение векторов в задачах вычислительной геометрии занимает такое же почетное место, как рекурсии в комбинаторике. Это своего рода жемчужина вычислительной геометрии. Практически каждая задача вычислительной геометрии имеет более простое решение с помощью косового произведение вместо лобового решения.

А теперь займемся практикой

Начнем с треугольников

Задача №1

Задача очень простая, а именно: по введенным трем числам a, b, c определить существует ли треугольник с такими сторонами.

Решение
Понятно, что здесь нужно только проверить неравенство треугольника: a + b > c, a + c > b, b + c > a. Интересно, при изучении неравенства треугольника только ли у меня возник вопрос: не могут ли отрицательные числа тоже удовлетворять этим трем неравенствам? Оказывается, нет! Если мы сложим каждое неравенство, то получим a > 0, b > 0, c > 0. Поэтому неравенство треугольника является необходимым и достаточным условием существования треугольника.

Задача №2

Задача является очень похожей на предыдущую с той разницей, что треугольник задан не сторонами, а координатами вершин.

Решение
С первого взгляда решение кажется очевидным: вычислить стороны треугольника и свести задачу к предыдущей. Однако поскольку расстояние между двумя точками A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) вычисляется по формуле √(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² то при извлечении корня возможна потеря точности, что плохо скажется на проверке неравенства треугольника. Оказывается, что если треугольник задан координатами своих вершин, то вычислять длины его сторон и проверять неравенство треугольника не требуется. В этом случае треугольника не существует тогда и только тогда, когда данные три точки лежат на одной прямой. А это легко проверяется через косое произведение векторов. Если оно равно нулю, то векторы коллинеарные, то есть все три точки лежат на одной прямой.

Во всех следующих задачах будем считать, что треугольник существует, поскольку процедуру проверки существования треугольника мы только что рассмотрели.

Задача №3

Треугольник задан своими сторонами. Определить тип треугольника: тупоугольный, прямоугольный или остроугольный.

Решение
Вспомним, что представляют собой каждый вид треугольника.

Из курса геометрии известно, что напротив большей стороны лежит больший угол (он нам и нужен). Поэтому если мы выясним чему равен больший угол, то поймем тип треугольника:

1. Угол больше 90° – треугольник тупоугольный
2. Угол меньше 90°– треугольник остроугольный
3. Угол равен 90°– треугольник прямоугольный

Воспользуемся теоремой косинусов:

Очевидно, что если косинус угла больше нуля то угол меньше 90°, если он равен нулю, то угол равен 90°, если он меньше нуля, то угол больше 90°. Однако немного поразмыслив можно понять, что вычислять косинус угла не обязательно, необходимо учесть лишь его знак:

• Если cosα > 0, то a² < b² + c² – треугольник остроугольный
• Если cosα = 0, то a² = b² + c² – треугольник прямоугольный
• Если cosα < 0, то a² > b² + c² – треугольник тупоугольный

где a – большая сторона.

Задача №4

Задача аналогична предыдущей задаче, только треугольник задан не своими сторонами, а координатами вершин.

Решение
Аналогично задаче 2 можно сказать, что эта задача полностью сводится к предыдущей задаче (так оно и есть). Однако, как и во второй задаче, решение можно упростить. Вообще, если треугольник задан координатами своих вершин, то всегда легче работать с ним через вектора, нежели вычислять стороны. Аналогично предыдущей задаче, необходимо определить каким является наибольший из углов треугольника. Вид угла легко определяется по знаку скалярного произведения образующих его векторов: оно положительно для острого угла, равно нулю для прямого угла и отрицательно для тупого угла. Поэтому необходимо посчитать все три скалярных произведения и перемножить их и по знаку данного числа можно судить о типе треугольника.

Задача №5

По данным сторонам треугольника найти его площадь.

Решение
Очевидно решение, заключается в применение формулы Герона.

Кстати, никого не интересовало доказательство этой формулы?

Доказательство

Вот и все!

Задача №6

Вычислить площадь треугольника заданного координатами своих вершин.

Решение
Не будем говорить о решении, которое сводится к предыдущей задачи, а попробуем воспользоваться геометрическим смыслом косового произведения. Геометрически косое произведение двух векторов определяет ориентированную площадь параллелограмма натянутого на эти вектора. Поскольку диагональ параллелограмма разбивает его на два равновеликих треугольника, то можем найти площадь нашего треугольника, как половину площади параллелограмма.
Для векторов a(x₁, y₁), b(x₂, y₂)

S = (x₁y₂ — x₂y₁) / 2 — ориентированная площадь треугольника

Задача №7

Дана точка и треугольник заданный координатами своих вершин. Определить лежит ли точка внутри, на границе или вне этого треугольника.

Решение
У этой задачи есть два принципиально разных решения. Начнем с наименее привлекательного.

Метод площадей

Если сумма площадей треугольников AKB, AKC, BKC (не ориентированных, а «обычных») больше площади треугольника ABC точка лежит вне треугольника. Если же сумма первых трех площадей равна четвертой, то нужно проверить, не равна ли нулю одна из трех площадей. Если равна, то точка лежит на границе треугольника, иначе – внутри.
Вычислять площади треугольников, естественно, надо через косое произведение векторов. Этот метод не очень хороший. Поскольку здесь используются сравнение чисел с плавающей точкой, а это в свою очередь может привести к принятию неверного решения при сравнении. Второй метод опять таки опирается на вектора, он намного эффективнее во всех отношениях.

Проверка полуплоскостей

Если хотя бы одна из сторон треугольника «разводит» противолежащую ей вершину и точку по разным полуплоскостям, то точка лежит вне треугольника. Иначе, если точка принадлежит хотя бы одной из прямых, содержащих стороны треугольника, то она находится на границе треугольника. Иначе точка лежит внутри треугольника.

В первом примере сторона AB разводит вершину C и точку K по разным полуплоскостям, поэтому точка лежит снаружи.

Задача №8

Вычисление площади многоугольника заданного координатами своих вершин.

Решение
Под многоугольником будем подразумевать простой многоугольник, то есть без самопересечений. При этом он может быть как выпуклым, так и не выпуклым.

Данную задачу можно решить двумя способами: вычисляя ориентированные площади трапеций и треугольников.

Метод трапеций

Для того чтобы посчитать площадь многоугольника нужно разбить его на трапеции, так как это показано на рисунке, а затем сложить ориентированные площади полученных трапеций это будет ориентированной площадью исходного многоугольника.
S = S_{A1A2 B2 B1} + S_{A2 A3 B3B2} + S_A3A4B5B3 + S_A4A5B6B5 + S_{A5A6B4 B6} + S_{A6A1 B1 B4}
Площади трапеций считаем по известной формуле: полусумма оснований на высоту
S_{A1A2 B2 B1} = 0. 5 * (A₁B₁ + A₂B₂) *(B₂ — B₁)

Поскольку полученная площадь является ориентированной, необходимо вычислить ее модуль.

Метод треугольников

Аналогично предыдущему методу можно разбивать многоугольник не на трапеции, а на треугольники, как показано на рисунке. В результате, сложив ориентированные площади этих треугольников, мы получим опять-таки ориентированную площадь многоугольника.
S = S_OA1A2 + S_OA2A3 + S_OA3A4 + S_OA4A5 + S_OA5A6 + S_OA6A1

Как вы видите задача вычисления площади многоугольника достаточна проста. Не знаю, почему, но мне больше нравится решать эту задачу методом разбиения на трапеции (наверно потому, что на всех олимпиадах я ее так решал). Тем более, что при втором решении площади треугольников надо вычислять через косое произведение. О формуле Герона надо забыть!!!

Задача №9

Многоугольник задан координатами своих вершин в порядке его обхода. Необходимо проверить является ли многоугольник выпуклым.

Решение
Напомню, что многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону.

Задача опять сводится к вычислению косового произведения векторов, а именно у выпуклого многоугольника знаки косых произведений [A_i A_i+1, A_i+1 A_i+2] либо положительны, либо отрицательны. Поэтому если мы знаем направление обхода, то знак косых произведений для выпуклого многоугольника одинаков: он неотрицателен при обходе против часовой стрелки и неположителен при обходе по часовой стрелки.

Задача №10

Многоугольник (не обязательно выпуклый) на плоскости задан координатами своих вершин. Требуется подсчитать количество точек с целочисленными координатами, лежащих внутри него (но не на его границе).

Решение
Для решения этой задачи рассмотрим вспомогательную задачу: отрезок задан координатами своих концов, являющихся целыми числами. Необходимо посчитать количество целочисленных точек лежащих на отрезке. Понятно, что если отрезок вертикальный или горизонтальный, то необходимо вычесть координаты концов и добавить единицу. Интерес представляет случай, когда отрезок не является вертикальным или горизонтальным. Оказывается в этом случае необходимо достроить отрезок до прямоугольного треугольника и ответом будет число равное наибольшему общему делителю длин катетов этого треугольника плюс единица.

Для любого многоугольника с целочисленными координатами вершин справедлива формула Пика: S = n + m/2 — 1, где S – площадь многоугольника, n – количество целых точек лежащих строго внутри многоугольника, m – количество целых точек лежащих на границе многоугольника. Поскольку площадь многоугольника мы знаем как вычислять, то S известно. Так же мы можем вычислить количество целых точек лежащих на границе многоугольника, поэтому в формуле Пика остается лишь одна искомая неизвестная которую мы можем найти.
Рассмотрим пример:

S = 16 + 4 + 4,5 + 6 + 1 + 2 = 33,5
m = 15
n = 33,5 – 7,5 +1 = 27 — точек лежит строго внутри многоугольника
Вот так вот решается эта задачка!

Вот и все! Надеюсь, Вам понравилась статья, и я напишу ее вторую часть.

Объяснение урока: Геометрические приложения векторов

В этом объяснении мы узнаем, как использовать векторные операции и векторные свойства для решения задач, связанных с геометрическими фигурами.

Прежде чем мы начнем обсуждать приложения векторов к геометрическим задачам, давайте начнем с обзора некоторых важных свойств, которыми обладают векторы.

Теорема: свойства векторов

Для любых точек 𝐴, 𝐵 и 𝐶 𝐴𝐵+𝐵𝐶=𝐴𝐶,

𝐴𝐵=−𝐵𝐴, другими словами, 𝐴𝐵+𝐵𝐴=0.

Для любых векторов ⃑𝑢 и ⃑𝑣

• ⃑𝑢 и ⃑𝑣 параллельны, когда они скалярно кратны друг другу, ⃑𝑢=𝑘⃑𝑣,
• два вектора равны, если они имеют одинаковую величину и направление.

Наконец, мы можем работать с нашими векторами геометрически, или мы можем работать с их компонентами алгебраически. Иногда один метод будет проще, чем другой, поэтому мы должны рассмотреть оба варианта для каждой проблемы.

Давайте рассмотрим несколько примеров геометрических задач, которые мы можем решить, используя свойства векторов.

Пример 1. Использование векторов для нахождения координат вершины прямоугольника 3) и (−8,𝑘) соответственно. Используйте векторы, чтобы найти значение 𝑘 и координаты точки 𝐷.

Ответ

Поскольку в этом вопросе указано, что мы должны использовать векторы, мы начнем с преобразования этой задачи в задачу, включающую векторы. Всякий раз, когда мы делаем это, как правило, хорошей идеей является набросок данной информации. Начнем с точек 𝐴(−18,−2), 𝐵(−18,−3), 𝐶(−8,𝑘) и 𝐷 в прямоугольнике.

Это дает нам прямоугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷, где 𝐵 на одну единицу меньше 𝐴, а 𝐶 примыкает к 𝐵. Чтобы использовать векторы для ответа на этот вопрос, давайте начнем с замены сторон прямоугольника векторами между соседними вершинами нашего прямоугольника.

Мы видим, что 𝐵𝐶⫽𝐴𝐷 и 𝐴𝐵⫽𝐷𝐶. Мы также можем видеть, что противоположные стороны имеют одинаковую величину, поскольку они являются противоположными сторонами прямоугольника. Поскольку они имеют одинаковую величину и направление, мы должны иметь 𝐵𝐶=𝐴𝐷,𝐴𝐵=𝐷𝐶.

Теперь мы используем заданные координаты, чтобы найти эти векторы: 𝐴𝐵=𝑂𝐵−𝑂𝐴=(−18,−3)−(−18,−2)=(−18−(−18),−3−(−2))=(0,−1).

Аналогично, 𝐵𝐶=𝑂𝐶−𝑂𝐵=(−8,𝑘)−(−18,−3)=(−8−(−18),𝑘−(−3))=(10,𝑘+3).

Чтобы найти значение 𝑘, нам нужно использовать тот факт, что все внутренние углы прямоугольника равны 90∘, и тот факт, что 𝐴𝐵 является вертикальным. Поскольку 𝐵𝐶 перпендикулярен вертикальному вектору, он должен быть горизонтальным, другими словами, его вертикальная составляющая должна быть равна 0. Установка вертикальной составляющей равной 0 дает нам 𝑘+3=0,𝑘=−3.

Следовательно, 𝐶 имеет координаты (−8,−3). Мы можем использовать тот факт, что 𝐵𝐶=𝐴𝐷, чтобы найти координаты 𝐷. Подстановка 𝑘=−3 в вектор 𝐵𝐶 дает 𝐵𝐶=(10,𝑘+3)=(10,0).

Это равно 𝐴𝐷, поэтому 𝐴𝐷=(10,0).

Подставив это в 𝐴𝐷=𝑂𝐷−𝑂𝐴, мы получим (10,0)=𝐴𝐷=𝑂𝐷−𝑂𝐴=𝑂𝐷−(−18,−2).

Переставляя, получаем 𝑂𝐷=(10,0)+(−18,−2)=(10+(−18),0+(−2))=(−8,−2).

Итак, 𝐷 имеет координаты (−8,−2).

Таким образом, мы показали, что 𝑘=−3 и 𝐷(−8,−2).

В предыдущем примере мы использовали свойства векторов вместе с нашими знаниями о прямоугольниках для решения задачи. Давайте теперь посмотрим на пример, который включает в себя более сложные геометрические правила наряду со свойствами векторов.

Пример 2. Нахождение скаляра, удовлетворяющего заданной операции над векторами, представленными на рисунке

Учитывая информацию на приведенной ниже диаграмме, найдите значение 𝑛 такое, что 𝐴𝐷+𝐷𝐸=𝑛𝐴𝐶.

Ответ

Начнем с изучения векторного уравнения 𝐴𝐷+𝐷𝐸=𝑛𝐴𝐶.

Мы можем упростить это уравнение, заметив, что 𝐴𝐷+𝐷𝐸=𝐴𝐸.

Это означает, что мы хотим найти такое значение 𝑛, что 𝐴𝐸=𝑛𝐴𝐶.

Мы знаем, что можем найти такое значение 𝑛, потому что 𝐴𝐸⫽𝐴𝐶. Чтобы найти это значение 𝑛, заметим, что 𝐸𝐷⫽𝐶𝐵. Затем мы можем применить полезное геометрическое свойство. На нашей диаграмме мы имеем следующие соответствующие углы:

Это дает нам, что треугольник 𝐴𝐷𝐸 и треугольник 𝐴𝐵𝐶 имеют одинаковые внутренние углы. Другими словами, эти два треугольника подобны. В частности, мы можем использовать тот факт, что отношение длин соответствующих сторон одинаково в подобных треугольниках.

Это означает, что ‖‖𝐴𝐵‖‖‖‖𝐴𝐷‖‖=‖‖𝐴𝐶‖‖‖‖𝐴𝐸‖‖.

Мы можем изменить это уравнение, чтобы увидеть ‖‖𝐴𝐸‖‖=‖‖𝐴𝐷‖‖‖‖𝐴𝐵‖‖‖‖𝐴𝐶‖‖, Который означает, что 𝑛=‖‖𝐴𝐷‖‖‖‖𝐴𝐵‖‖.

Мы выбрали именно эти стороны, потому что знаем величину трех из этих значений из диаграммы: ‖‖𝐴𝐵‖‖=15,‖‖𝐴𝐷‖‖=7. 5.cmcm

Подставляя их в уравнение, получаем 𝑛=7,515=12.

Следовательно, значение 𝑛 равно 12.

Когда нам дают векторное уравнение в контексте геометрической задачи, мы должны сделать набросок данной информации, чтобы помочь нам решить задачу. Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы лучше ознакомиться с контекстом.

Пример 3. Поиск пропущенного значения с помощью векторов

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶, 𝐷∈𝐵𝐶, где 𝐵𝐷∶𝐷𝐶=2∶3. Учитывая, что 3𝐴𝐵+2𝐴𝐶=𝑘𝐴𝐷, найдите значение 𝑘.

Ответ

Начнем с зарисовки данной информации, начиная с треугольника 𝐴𝐵𝐶.

Добавим точку 𝐷 к стороне 𝐵𝐶, так что 𝐵𝐷∶𝐷𝐶=2∶3.

Как показано выше, мы можем сказать, что ‖‖𝐵𝐷‖‖=2𝑟 и ‖‖𝐷𝐶‖‖=3𝑟 для некоторого значения 𝑟>0.

Мы хотим найти такое значение 𝑘, что 3𝐴𝐵+2𝐴𝐶=𝑘𝐴𝐷. Это означает, что мы хотим написать уравнение, включающее каждый из этих векторов. Мы начнем с поиска выражения для 𝐴𝐷, рассмотрев следующий рисунок.

Заметим, что 𝐴𝐷=𝐴𝐵+𝐵𝐷, и это выражение для 𝐴𝐷 похоже на выражение в левой части нашего уравнения. Подстановка этого выражения для 𝐴𝐷 в наше уравнение дает нам 3𝐴𝐵+2𝐴𝐶=𝑘𝐴𝐵+𝐵𝐷.

Тогда мы можем упростить 3𝐴𝐵+2𝐴𝐶=𝑘𝐴𝐵+𝑘𝐵𝐷2𝐴𝐶=(𝑘−3)𝐴𝐵+𝑘𝐵𝐷𝐴𝐶=( 𝑘−3)2𝐴𝐵+𝑘2𝐵𝐷.

Теперь нам нужно определить, какие скалярные кратные этих векторов складываются вместе, чтобы получить 𝐴𝐶, и мы можем сделать это с помощью диаграммы.

Первый, 𝐴𝐶=𝐴𝐵+𝐵𝐶.

Затем мы можем записать 𝐵𝐶 через 𝐵𝐷, заметив, что 𝐵𝐶 и 𝐵𝐷 имеют одинаковое направление с ‖‖𝐵𝐶‖‖=5𝑟 и ‖‖ 𝐵𝐷‖‖=2𝑟.

Помните, что два вектора равны, если они имеют одинаковую величину и направление. Размер 𝐵𝐶 в 52 раза больше размера 𝐵𝐷. Если мы умножим 𝐵𝐷 на 52, результирующий вектор будет иметь тот же размер, что и 𝐵𝐶. Поэтому, 𝐵𝐶=52𝐵𝐷.

Мы только что показали, что 𝐴𝐶=𝐴𝐵+𝐵𝐶=𝐴𝐵+52𝐵𝐷.

Тогда приравнивание этих двух векторных выражений для 𝐴𝐶 дает нам 𝐴𝐵+52𝐵𝐷=(𝑘−3)2𝐴𝐵+𝑘2𝐵𝐷.

Наконец, мы можем приравнять скалярные коэффициенты векторов 1=(𝑘−3)252=𝑘2.и

Эта система имеет одно решение: 𝑘=5.

Пример 4. Использование векторов для нахождения координат вершины квадрата и ее площади

𝐴𝐵𝐶𝐷 — это квадрат, в котором координаты точек −10) и (5,−8). Используйте векторы для определения координат точки 𝐷 и площади квадрата.

Ответ

Мы хотим использовать векторы, чтобы найти координаты недостающей точки в квадрате. Начнем с рисования заданных точек и точки 𝐷.

Поскольку это квадрат, мы знаем, что противоположные стороны параллельны и равны по длине. Поскольку у нас есть координаты 𝐴, 𝐵 и 𝐶, мы можем найти векторы 𝐵𝐴 и 𝐵𝐶. Затем мы представляем наш квадрат, как показано на рисунке.

У нас есть 𝐵𝐴=(1,−8)−(3,−10)=(−2,2),𝐵𝐶=(5,−8)−(3,−10)=(2,2).

Есть два способа найти координаты 𝐷. Мы можем использовать тот факт, что 𝐵𝐴=𝐶𝐷, и запишем это через начальную и конечную точки: 𝐵𝐴=𝐶𝐷,𝑂𝐴−𝑂𝐵=𝑂𝐷−𝑂𝐶.

Затем подставляем векторы положения и решаем (1,−8)−(3,−10)=𝑂𝐷−(5,−8),(1−3,−8+10)=𝑂𝐷−(5,−8),(−2,2 )+(5,−8)=𝑂𝐷,(−2+5,2−8)=𝑂𝐷𝑂𝐷=(3,−6)

Следовательно, координаты 𝐷 равны (3,−6).

Из диаграммы также видно, что 𝑂𝐷=𝑂𝐴+𝐵𝐶. Это дает нам 𝑂𝐷=𝑂𝐴+𝐵𝐶=(1,−8)+(2,2)=(3,−6).

Следовательно, координаты 𝐷 равны (3,−6).

Наконец, чтобы найти площадь нашего квадрата, нам нужно возвести в квадрат длину одной стороны. Мы можем найти длину стороны, вычислив модуль вектора 𝐵𝐴: ‖‖𝐵𝐴‖‖=‖(−2,2)‖=(−2)+2=√8.

Тогда площадь квадрата равна area=‖‖𝐵𝐴‖‖=√8=8.

Следовательно, координаты 𝐷 равны (3,−6), а площадь квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷 равна 8 квадратным единицам.

Давайте теперь рассмотрим пример, включающий площадь трапеции с использованием векторов.

Пример 5. Использование векторов для нахождения площади прямой трапеции

Трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 имеет вершины 𝐴(4,14), 𝐵(4,−4), 𝐶(−12,−4) и 𝐷(−12 ,9). Учитывая, что 𝐴𝐵⫽𝐷𝐶 и 𝐴𝐵⟂𝐶𝐵, найдите площадь этой трапеции.

Ответ

Мы хотим найти площадь трапеции, и нам известны координаты вершин, параллельных сторон и перпендикулярной стороны. Начнем с зарисовки этой информации.

Чтобы найти площадь этой трапеции, вспомним формулу площади трапеции. Если 𝑎 и 𝑏 — длины параллельных сторон трапеции, а ℎ — высота перпендикуляра, то: площадь = 𝑎+𝑏2ℎ.

Для нашей трапеции длины параллельных сторон равны ‖‖𝐵𝐴‖‖ и ‖‖𝐶𝐷‖‖, а высота перпендикуляра равна ‖‖𝐶𝐵‖‖.

Это означает, что площадь нашей трапеции равна площадь(𝐴𝐵𝐶𝐷)=‖‖𝐵𝐴‖‖+‖‖𝐶𝐷‖‖2‖‖𝐶𝐵‖‖.

Мы можем найти эти векторы, используя заданные нам координаты точек: 𝐵𝐴=(4,14)−(4,−4)=(0,18),𝐶𝐷=(−12,9)−(−12,−4)=(0,13),𝐶𝐵=( 4,−4)−(−12,−4)=(16,0).

Тогда длины сторон равны ‖‖𝐵𝐴‖‖=‖(0,18)‖=√0+18=18,‖‖𝐶𝐷‖‖=‖(0,13)‖=√0+13=13,‖‖𝐶𝐵‖‖ =‖(16,0)‖=√16+0=16.

Наконец, подставим эти длины в нашу формулу площади трапеции: площадь(𝐴𝐵𝐶𝐷)=‖‖𝐵𝐴‖‖+‖‖𝐶𝐷‖‖2‖‖𝐶𝐵‖‖=18+13216=248.

Следовательно, площадь трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 равна 248 единицам площади.

В предыдущих примерах мы показали многие геометрические свойства данных фигур с помощью векторов. Также можно показать геометрические свойства фигур в целом с помощью векторов.

Например, предположим, что у нас есть параллелограмм 𝐴𝐵𝐶𝐷 с диагоналями, как показано.

Используя векторы, мы можем показать, что эти диагонали делят друг друга пополам. Для этого назовем середину 𝐴𝐶, 𝑀. Обратите внимание, что 𝐴𝑀 и 𝑀𝐶 будут иметь одинаковую величину и направление, поэтому 𝐴𝑀=𝑀𝐶.

Затем мы можем нарисовать векторы 𝐵𝑀 и 𝑀𝐷. Чтобы 𝑀 была серединой 𝐵𝐷, нам нужно показать, что эти два вектора равны. Добавляем векторы на диаграмму, как показано ниже.

Из диаграммы видно, что

и что 𝐵𝐶=𝐵𝑀+𝑀𝐶. (2) Напомним, что противоположные стороны в параллелограмме имеют одинаковую длину и параллельны, поэтому 𝐴𝐷=𝐵𝐶. Подставив выражения из уравнений (1) и (2) в приведенные выше, получим 𝐴𝑀+𝑀𝐷=𝐵𝑀+𝑀𝐶. 𝐴𝑀 и 𝑀𝐶 равны, поэтому мы можем удалить одинаковые векторы с каждой стороны уравнения, что приведет к 𝑀𝐷=𝐵𝑀. В частности, это означает, что их величины и направления равны, и, следовательно, 𝑀 является серединой 𝐵𝐷. Другим примером геометрического свойства, которое мы можем доказать с помощью векторов, является утверждение, что отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне. Рассмотрим треугольник 𝐴𝐵𝐶 с серединами двух сторон, обозначенными 𝐷 и 𝐸, как показано на рисунке. Мы хотим показать, что 𝐷𝐸⫽𝐴𝐵. Из схемы имеем 𝐴𝐵=𝐴𝐷+𝐷𝐸+𝐸𝐵. Поскольку 𝐴𝐷 и 𝐷𝐶 имеют одинаковую величину и направление, мы имеем 𝐴𝐷=𝐷𝐶. Аналогично, 𝐸𝐵=𝐶𝐸. Мы можем подставить их в наше выражение для 𝐴𝐵, чтобы получить 𝐴𝐵=𝐷𝐶+𝐷𝐸+𝐶𝐸. На нашей диаграмме мы также можем видеть 𝐷𝐸=𝐷𝐶+𝐶𝐸. Применяя это тождество к нашему выражению для 𝐴𝐵, мы получаем 𝐴𝐵=𝐷𝐶+𝐷𝐸+𝐶𝐸=𝐷𝐶+𝐶𝐸+𝐷𝐸=𝐷𝐸+𝐷𝐸=2 𝐷𝐸. Поскольку 𝐷𝐸 кратно 𝐴𝐵, они должны быть параллельны. На самом деле, взяв величину обеих частей этого уравнения, мы видим, что ‖‖𝐴𝐵‖‖=‖‖2𝐷𝐸‖‖=2‖‖𝐷𝐸‖‖. Мы также можем видеть, что 𝐴𝐵 вдвое длиннее 𝐷𝐸. Давайте закончим, повторив некоторые из наиболее важных вещей, которые можно извлечь из этого объяснения. Ключевые моменты Мы можем преобразовать задачи, связанные с геометрическими фигурами, в задачи, связанные с векторами. Для любых точек 𝐴, 𝐵 и 𝐶𝐴𝐵+𝐵𝐶=𝐴𝐶. Если ⃑𝑢 и ⃑𝑣 параллельны, то существует скаляр 𝑘, такой что ⃑𝑢=𝑘⃑𝑣. В частности, для любых ненулевых параллельных векторов ⃑𝑢 и ⃑𝑣 ⃑𝑢=±‖‖⃑𝑢‖‖‖‖⃑𝑣‖‖⃑𝑣, где знак положительный, если направления ⃑𝑢 и ⃑𝑣 равны, и знак отрицательный, если их направления противоположны. Мы можем доказать многие геометрические отношения, используя свойства векторов. 5.2 Сложение и вычитание векторов: аналитические методы Цели обученияКомпоненты векторовАналитический метод сложения и вычитания векторовИспользование аналитического метода сложения и вычитания векторов для решения задачПроверьте свое понимание Цели обучения К концу этого раздела вы сможете делать следующее: Определить компоненты векторов Описать аналитический метод сложения и вычитания векторов Использовать аналитический метод сложения и вычитания векторов для решения задач «> Ключевые термины раздела аналитический метод компонент (двумерного вектора) Компоненты векторов Для аналитического метода сложения и вычитания векторов мы используем простую геометрию и тригонометрию вместо использования линейки и транспортира, как в графических методах. Однако графический метод все же пригодится для визуализации задачи путем рисования векторов методом «голова к хвосту». Аналитический метод более точен, чем графический метод, который ограничен точностью чертежа. Чтобы освежить в памяти определения синуса, косинуса и тангенса угла, см. рис. 5.18. Рисунок 5.18 Для прямоугольного треугольника синус, косинус и тангенс θ определяются в терминах прилежащей стороны, противолежащей стороны или гипотенузы. На этом рисунке 90 281 х 90 282 — это прилежащая сторона, 90 281 y 90 282 — противолежащая сторона, а 90 281 h 90 282 — гипотенуза. Поскольку по определению cosθ=x/hcosθ=x/h, мы можем найти длину x , если мы знаем h и θθ, используя x=hcosθx=hcosθ. Точно так же мы можем найти длину y , используя y=hsinθy=hsinθ. Эти тригонометрические отношения полезны для сложения векторов. Когда вектор действует более чем в одном измерении, полезно разбить его на компоненты x и y. Для двумерного вектора компонент — это часть вектора, которая указывает либо в направлении x, либо в направлении y. Каждый двумерный вектор может быть выражен как сумма его компонентов x и y. Например, имея такой вектор, как  A  A на рис. 5.19, мы можем захотеть найти, какие два перпендикулярных вектора,  Ax  Ax  и  Ay  Ay , нужно сложить, чтобы получить его. В этом примере  Ax  Ax  и  Ay  Ay  образуют прямоугольный треугольник, а это означает, что угол между ними равен 90 градусов. Это обычная ситуация в физике, и с точки зрения тригонометрии это наименее сложная ситуация. Рисунок 5.19 Вектор A A с хвостом в начале системы координат x — y показан вместе с его x — и y -компонентами,  Ax  Ax  и Да. Ай. Эти векторы образуют прямоугольный треугольник. Ax Ax  и  Ay  Ay  определяются как компоненты  A  A  вдоль осей x — и y . Три вектора,  A A,  Ax Ax и  Ay Ay, образуют прямоугольный треугольник. Ax + Ay = AAx + Ay = A Если вектор  A  A известен, то известны его величина A  A (его длина) и его угол θ  θ (его направление). Чтобы найти  Ax  Ax  и  Ay Ay, его x — и y -компоненты, мы используем следующие соотношения для прямоугольного треугольника: Ax=AcosθAx=Acosθ и Ay=Asinθ,Ay=Asinθ, , где Ax  Ax – величина A в направлении x , Ay  Ay – величина A в направлении y , а  θ  θ  — это угол равнодействующей по отношению к оси x , как показано на рисунке 5. 20. Рис. 5.20 Величины компонентов вектора  Ax  Ax  и  Ay  Ay можно связать с результирующим вектором A  A и углом θ  θ тригонометрическими тождествами. Здесь мы видим, что  Ax=Acosθ  Ax=Acosθ и Ay=Asinθ. Ay=Asinθ. Предположим, например, что  A  A  — это вектор, представляющий общее перемещение человека, идущего по городу, как показано на рис. 5.21. Рисунок 5.21 Мы можем использовать отношения Ax=AcosθAx=Acosθ и Ay=AsinθAy=Asinθ для определения величины векторов горизонтальной и вертикальной составляющих в этом примере. Тогда A = 10,3 блока и θ=29,1∘θ=29,1∘, так что 5,6Ax=Acosθ=(10,3 блока)(cos29,1∘)=(10,3 блока)(0,874)=9,0 блока.Ax=Acosθ=(10,3 блока)(cos29,1∘)=(10,3 блока)(0,874) =9,0 блоков. Эта величина указывает на то, что пешеход прошел 9 кварталов на восток, другими словами, 9- блокировать смещение на восток. Аналогично, 5,7 Ay=Asinθ=(10,3 блока)(sin29,1∘)=(10,3 блока)(0,846)=5,0 блока,Ay=Asinθ=(10,3 блока)(sin29,1∘)=(10,3 блока)(0,846)=5,0 блоки, , указывающее, что ходок переместился на 5 блоков к северу — смещение на 5 блоков к северу. Аналитический метод сложения и вычитания векторов Вычисление результирующего вектора (или сложения векторов) является обратным разбиением результирующего на его компоненты. Если известны перпендикулярные компоненты AxAx и AyAy вектора AA, то AA можно найти аналитически. как нам это сделать? Поскольку по определению tanθ=y/x (или в этом случае tanθ=Ay/Ax),tanθ=y/x (или в этом случае tanθ=Ay/Ax), мы находим θθ, чтобы найти направление равнодействующей. θ=tan−1(Ay/Ax)θ=tan−1(Ay/Ax) Поскольку это прямоугольный треугольник, для нахождения гипотенузы применима теорема Пифагора (x 2 + y 2 = h 2 ). В этом случае получается A2=Ax2+Ay2.A2=Ax2+Ay2. Решение для А дает А=Ах2+Ау2.А=Ах2+Ау2. Таким образом, чтобы найти величину AA и направление θθ вектора по его перпендикулярным компонентам AxAx и AyAy, как показано на рис. 5.22, мы используем следующие соотношения: A=Ax2+Ay2θ=tan−1(Ay/ Ax)A=Ax2+Ay2θ=tan−1(Ay/Ax) Рисунок 5. 22. Величина и направление результирующего вектора  A  A  могут быть определены после определения горизонтальных составляющих  Ax  Ax  и  Ay  Ay . Иногда добавляемые векторы не идеально перпендикулярны друг другу. Примером этого является приведенный ниже случай, когда векторы AA и BB складываются для получения результирующих R,R, как показано на рис. 5.23. Рис. 5.23 Векторы A  A и B  B являются двумя участками ходьбы, а R  R является результирующим или полным перемещением. Вы можете использовать аналитические методы для определения величины и направления  R R. Если A  A и B  B представляют два этапа ходьбы (два перемещения), то R  R является полным перемещением. Человек, совершающий прогулку, оказывается на вершине  R R. Есть много способов добраться до одной и той же точки. Человек мог идти прямо сначала в направлении x , а затем в и -направление. Этими путями являются x — и y -компоненты результирующего  Rx  Rx и Ry. Рай. Если мы знаем Rx  Rx и Ry Ry, мы можем найти R  R и θ  θ используя уравнения R=Rx2+Ry2  R=Rx2+Ry2 и θ=tan–1(Ry/Rx) θ=tan –1(Ry/Rx ). Нарисуйте компоненты x и y каждого вектора (включая результирующий) пунктирной линией. Используйте уравнения  Ax=Acosθ  Ax=Acosθ и Ay=Asinθ  Ay=Asinθ , чтобы найти компоненты. На рис. 5.24 этими компонентами являются  Ax Ax,  Ay Ay,  Bx Bx и  By. К. Вектор A  A составляет угол θA  θA  с x -ось, а вектор  B  B составляет угол  θB  θB  со своей собственной осью x (которая немного выше оси x , используемой вектором A ). Рисунок 5.24. Чтобы сложить векторы  A  A и B,  B, сначала определите горизонтальную и вертикальную составляющие каждого вектора. Это точечные векторы  Ax,   Ax,  Ay Ay By By , показанные на изображении. Найдите компонент результирующего размера x путем сложения компонентов векторов размером x . Rx=Ax+BxRx=Ax+Bx и найдите компонент y результирующей (как показано на рис. 5.25) путем сложения компонентов y векторов. Ry=Ay+By.Ry=Ay+By. Рисунок 5.25 Векторы Ax  Ax и Bx  Bx в сумме дают величину результирующего вектора в горизонтальном направлении, Rx. Rx. Точно так же векторы  Ay  Ay  и  By  By в сумме дают величину результирующего вектора в вертикальном направлении Ry. Рай. Теперь, когда мы знаем компоненты R,R, мы можем найти его величину и направление. Чтобы получить величину равнодействующей R, используйте теорему Пифагора. R=Rx2+Ry2R=Rx2+Ry2 Чтобы получить направление результирующего θ=tan-1(Ry/Rx) .θ=tan-1(Ry/Rx) . Смотреть физику Классификация векторов и величин Пример В этом видео сравниваются три вектора с точки зрения их величины, положения и направления. Проверка захвата Три вектора u→, v→ и w→ имеют одинаковую величину 5 единиц. Вектор v→ указывает на северо-восток. Вектор w→ указывает на юго-запад точно напротив вектора u→. Вектор u→ указывает на северо-запад. Если сложить векторы u→, v→ и w→, какой будет величина результирующего вектора? Почему? 0шт. Все они будут компенсировать друг друга. 5шт. Два из них будут компенсировать друг друга. 10шт. Два из них будут складываться вместе, чтобы дать равнодействующую. 15 шт. Все они будут складываться вместе, чтобы дать равнодействующую. Советы по достижению успеха В видео векторы были представлены стрелкой над ними, а не жирным шрифтом. Это обычное обозначение на уроках математики. Использование аналитического метода сложения и вычитания векторов для решения задач На рис. 5.26 для добавления векторов используется аналитический метод. Рабочий пример Ускоряющийся поезд метро Добавьте вектор  A  A  к вектору  B  B , показанному на рис. 5.26, используя описанные выше шаги. Ось x проходит с востока на запад, а ось y — с севера на юг. Сначала человек проходит 53,0 м  53,0 м в направлении 20,0°  20,0° к северу от востока, представленному вектором A.  A.  Затем человек проходит 34,0 м  34,0 м в направлении 63,0°  63,0° северо-восток, представленный вектором B. Б. Рисунок 5.26 Для добавления векторов можно использовать аналитические модели. Стратегия Компоненты  A  A  и  B  B  вдоль осей x — и y — представляют собой ходьбу строго на восток и строго на север, чтобы добраться до одной и той же конечной точки. Мы найдем эти компоненты, а затем добавим их в направлениях x и y, чтобы найти результат. Решение Сначала находим компоненты  A  A  и  B  B  вдоль осей x — и y . Из задачи мы знаем, что A=53,0 м A=53,0 м, θA=20,0∘ θA=20,0∘, B  B = 34,0 м 34,0 м, и θB=63,0∘ θB=63,0∘ . Мы находим x -компоненты с использованием Ax=Acosθ Ax=Acosθ, что дает Ax=AcosθA=(53,0 м)(cos20,0∘)=(53,0 м)(0,940)=49,8 мAx=AcosθA=(53,0 м) (cos20,0∘)=(53,0 м)(0,940)=49,8 м и Bx=BcosθB=(34,0 м)(cos63,0∘)=(34,0 м)(0,454)=15,4 м.Bx= BcosθB=(34,0 м)(cos63,0∘)=(34,0 м)(0,454)=15,4 м. Аналогично, y -компоненты находятся с использованием  Ay=AsinθA Ay=AsinθA Ay=AsinθA=(53,0 m)(sin20,0∘)=(53,0 m)(0,342)=18,1 мА y=AsinθA=( 53,0 м)(sin20,0∘)=(53,0 м)(0,342)=18,1 м и By=BsinθB=(34,0 м)(sin63,0∘)=(34,0 м)(0,891)=30,3 м.By=BsinθB=(34,0 м)(sin63,0∘)=(34,0 м) (0,891)=30,3 м. x — и y -компоненты равнодействующей равны Rx=Ax+Bx=49,8 м+15,4 м=65,2 мRx=Ax+Bx=49,8 м+15,4 м=65,2 м и Ry=Ay+By=18,1 м+30,3 м=48,4 м . Ry=Ay+By=18,1 м+30,3 м=48,4 м . Теперь мы можем найти величину равнодействующей, используя теорему Пифагора , так что R=6601 м=81,2 м.R=6601 м=81,2 м. Наконец, находим направление равнодействующей 48,4/65,2) . Это θ=tan−1(0,742)=36,6∘ .θ=tan−1(0,742)=36,6∘ . Обсуждение В этом примере показано сложение векторов с использованием аналитического метода. Вычитание вектора с использованием аналитического метода очень похоже. Это просто добавление отрицательного вектора. То есть  A−B≡A+(−B) A−B≡A+(−B). Компоненты –B B являются минусами компонентов B B. Следовательно, x — и y -компоненты результата A−B=R  A−B=R  равны Rx=Ax+-BxRx=Ax+-Bx и Ry=Ay+-B yRy=Ay+-By , а в остальном метод, описанный выше, идентичен методу добавления. Практические задачи Какова величина вектора, у которого x -компонента равна 4 см, а y -компонента равна 3 см? 1 см 5 см 7 см 25 см Какова величина вектора, составляющего угол 30° с горизонтом и чья x -компонента равна 3 единицам? 2,61 шт. 3,00 шт. 3,46 шт. 6,00 шт. Проверьте свое понимание Упражнение 3 Между аналитическим и графическим методами сложения векторов, что точнее? Почему? Аналитический метод менее точен, чем графический метод, поскольку первый включает геометрию и тригонометрию. Аналитический метод является более точным, чем графический метод, поскольку последний включает в себя некоторые обширные вычисления. Аналитический метод менее точен, чем графический метод, поскольку первый включает рисование всех фигур в правильном масштабе. Аналитический метод более точен, чем графический, поскольку последний ограничен точностью чертежа. Упражнение 4 Что является компонентом двумерного вектора? Компонент — это часть вектора, которая указывает либо в направлении x , либо в направлении y . Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт