Презентация по математике «Математические софизмы»

Презентация на тему: Математические софизмы

Скачать эту презентацию

Скачать эту презентацию

№ слайда 1 Описание слайда:

Математические софизмыРаботу выполнил:ученик 10 МБ класса МОУ «Лицей №2»Овсянников Илья Научный руководитель:Кузьменкова Наталья Яковлевна

№ слайда 2 Описание слайда:

Что такое софизм? Правильно понятая ошибка – это путь к открытиюИ.П. Павлов Софизм (от греч. sophisma – уловка, выдумка, головоломка), формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренно неправильном подборе исходных положений. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок.

Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещённые» действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям «очевидности». Встречаются софизмы, содержащие и другие ошибки.

№ слайда 3 Описание слайда:

В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики. Роль софизмов в развитии математики сходна с той ролью, какую играют непреднамеренные ошибки в математических исследованиях, допускаемые даже выдающимися математиками. Именно уяснение ошибок в математических рассуждениях часто содействовало развитию математики. Пожалуй, особенно поучительна в этом отношении история аксиомы Евклида о параллельных прямых. Сформулировать эту аксиому можно так: через данную точку, лежащую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной (что одну прямую, параллельную данной, можно провести – это доказывается).

Это утверждение на протяжении более чем двух тысяч лет пытались доказать, вывеси из остальных аксиом геометрии, но все попытки не увенчались успехом. Полученные «доказательства» оказались ошибочными. И всё же, несмотря на ошибочность этих «доказательств», они принесли большую пользу развитию геометрии. Можно сказать, что они подготовили одно из величайших достижений в области геометрии и всей математики – создание неевклидовой геометрии. Честь разработки новой геометрии принадлежит нашему великому соотечественнику Н.И. Лобачевскому и венгерскому математику Яношу Бойяи. Н.И. Лобачевский и сам сначала пытался доказать аксиому параллельных, но скоро понял, что этого сделать нельзя. И путь, идя которым Лобачевский убедился в этом, привёл его к созданию новой геометрии. Этот замечательный вклад в математику был одним из тех, которые прославили русскую науку.

№ слайда 4 Описание слайда:

Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мышление, то есть прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку – это значит осознать её, а осознание ошибки предупреждает от повторения её в других математических рассуждениях. Что особенно важно, разбор софизмов помогает сознательному усвоению изучаемого материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперёд, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений. Всё это нужно и важно. Наконец, разбор софизмов увлекателен. Чем труднее софизм, тем большее удовлетворение доставляет его анализ. Чем полезны софизмы и что они дают?

№ слайда 5 Описание слайда:

Виды математических софизмов (для подробного просмотра нажмите на выбранную строку) Алгебраические софизмы Геометрические софизмы

№ слайда 6 Описание слайда:

Алгебраические софизмы Вот некоторые результаты решения софизмов: (для подробного просмотра нажмите на выбранную строку) Пример 1. 1 р. = 10 000 к. Пример 2.5 = 6 Пример 3.4 = 8 Пример 4.2 · 2 = 5 Пример 5.5 = 1 Пример 6.4 = 5 Пример 7.Любое число равно его половине Пример 8.Расстояние от Земли до Солнца равно толщине волоска Пример 9.Любое число = 0 Пример 10.Из двух неравных чисел первое всегда больше второго

№ слайда 7 Описание слайда:

Пример 1.1 р. = 10 000 к. Возьмём верное равенство: 1 р. = 100 к. Возведём его по частям в квадрат. Мы получим: 1 р. = 10 000 к.************************************************************************************Вопрос: В чём ошибка?Ответ (нажмите «Enter»): Возведение в квадрат величин не имеет смысла. В квадрат возводятся только числа.

№ слайда 8 Описание слайда:

Попытаемся доказать, что 5 = 6. С этой целью возьмём числовое тождество: 35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54. Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим: 5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9). Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключённый в скобки).Получаем 5 = 6.************************************************************************************Вопрос: В чём ошибка?Ответ (нажмите «Enter»): Общий множитель (7 + 2 – 9) равен 0, а делить на 0 нельзя.

№ слайда 9 Описание слайда:

Пример 3.4 = 8 Возьмём систему уравнений:Решим её способом подстановки.Получим: x = ; 4 – y + y = 8, т.е. 4 = 8. ************************************************************************************Вопрос: В чём здесь дело?Ответ (нажмите «Enter»):

№ слайда 10 Описание слайда:

Пример 4.2 · 2 = 5 Имеем числовое равенство (верное): 4 : 4 = 5 : 5. Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим: 4 (1 : 1) = 5 (1 : 1).Числа в скобках равны, поэтому 4 = 5, или 2 · 2 = 5.************************************************************************************Вопрос: Где здесь ошибка?Ответ (нажмите «Enter»): Ошибка допущена в вынесении общего множителя за скобки в левой и правой частях тождества 4 : 4 = 5 : 5.

№ слайда 11 Описание слайда:

Из чисел 5 и 1 по отдельности вычтем одно и то же число 3.Получим числа 2 и – 2. При возведении в квадрат этих чисел получаются равные числа 4 И 4. Значит, должны быть равны и исходные числа 5 и 1. ************************************************************************************Вопрос: В чём ошибка?Ответ (нажмите «Enter»): Из равенства квадратов двух чисел не следует, что сами эти числа равны.

№ слайда 12 Описание слайда:

Имеем числовое равенство (верное):16 – 36 = 25 – 45; 16 – 36 + 20,25 = 25 – 45 + 20,25;(4 – 4,5)2 = (5 – 4,5)2; 4 – 4,5 = 5 – 4,5; 4 = 5. ************************************************************************************Вопрос: В чём ошибка?Ответ (нажмите «Enter»): (4 – 4,5)2 = (5 – 4,5)2 ↔ |4 – 4,5| = |5 – 4,5|. Пример 6.4 = 5

№ слайда 13 Описание слайда:

Пример 7. Любое число равно его половине Возьмём два равных числа a и b, a = b. Обе части этого равенства умножим на a и затем вычтем из произведений по b2. Получим:a2 – b2 = ab – b2, или (a + b) (a – b) = b (a – b).Отсюда a + b = b, или a + a = a, так как b = a.Значит, 2a = a, a = . ************************************************************************************Вопрос: В чём ошибка?Ответ (нажмите «Enter»): Нельзя делить на (a – b), так как (a – b) = 0.

№ слайда 14 Описание слайда:

Пример 8.Расстояние от Земли до Солнца равно толщине волоска Пусть a (м) – расстояние от Земли до Солнца, а b (м) – толщина волоска. Среднее арифметическое их обозначим через v. Имеем:a + b = 2v, a = 2v – b, a – 2v = – b. Перемножив по частям два последних равенства, получаем:a2 – 2av = b2 – 2bv. Прибавим к каждой части v2. Получим:a2 – 2av + v2 = b2 – 2bv + v2, или (a – v)2 = (b – v)2, т.е. (a – v) = (b – v), и, значит, a = b. ************************************************************************************Вопрос: Где здесь ошибка?Ответ (нажмите «Enter»): Ошибка как в примере №6.

№ слайда 15 Описание слайда:

Пример 9.Любое число = 0 Каково бы ни было число a, верны равенства:(+a)2 = a2 и ( – a )2 = a2. Следовательно, (+a)2 = ( – a )2, а значит, +a = – a, или 2a = 0, и поэтому a = 0. ************************************************************************************Вопрос: В чём ошибка?Ответ (нажмите «Enter»):

№ слайда 16 Описание слайда:

Пример 10.Из двух неравных чисел первое всегда больше второго Пусть a и b – произвольные числа и a ≠ b. Имеем:(a – b)2 > 0, т.е. a2 – 2ab – b2 > 0, или a2 + b2 > 2ab.К обеим частям этого неравенства прибавим – 2b2. Получим:a2 – b2 > 2ab – 2b2, или (a + b) (a – b) > 2b (a – b). После деления обеих частей на (a – b) имеем:a + b > 2b, откуда следует, что a > b. ************************************************************************************Вопрос: Где допущена ошибка?Ответ (нажмите «Enter»): При делении обеих частей неравенства (a + b) (a – b) > 2b (a – b) на (a – b) знак неравенства может измениться на противоположный (если a – b < 0).

№ слайда 17 Описание слайда:

Геометрические софизмы Вот некоторые примеры геометрических софизмов: (для подробного просмотра нажмите на выбранную строку) Пример 1.Загадочное исчезновение. Пример 2.Земля и апельсин Пример 4.Два перпендикуляра Пример 5.«Новое доказательство» теоремы Пифагора

№ слайда 18 Описание слайда:

Пример 1.Загадочное исчезновение У нас есть произвольный прямоугольник, на котором начерчено 13 одинаковых линий на равном расстоянии друг от друга, так, как показано на рисунке 1. Теперь «разрежем» прямоугольник прямой MN, проходящей через верхний конец первой и нижний конец последней линии. Сдвигаем обе половины вдоль по этой линии и замечаем, что линий вместо 13 стало 12. Одна линия исчезла бесследно. ************************************************************************************Вопрос: Куда исчезла 13-я линия?Ответ (нажмите «Enter»):

№ слайда 19 Описание слайда:

Пример 2. Земля и апельсин Вообразим, что земной шар обтянут по экватору обручем и что подобным же образом обтянут и апельсин по его большому кругу. Далее вообразим, что окружность каждого обруча удлинилась на 1м. Тогда обручи отстанут от поверхности тел и образуют некоторый зазор************************************************************************************Вопрос: Где зазор будет больше: у апельсина или у Земли?Ответ (нажмите «Enter»): Пусть длина окружности земного шара = C, а апельсина с метрам. Тогда радиус Земли R = C/2 и радиус апельсина r = c/2 . После прибавки к радиусам 1 метра окружность обруча у Земли будет C + 1, а у апельсина c + 1. Радиусы их соответственно будут: (C + 1)/2 и (c + 1)/2 . Если из новых радиусов вычтем прежние, то получим в обоих случаях одно и то же.(C + 1)/2 — C/2 = 1/2 — для Земли, (c + 1)/2 — c/2 = 1/2 — для апельсина Итак, у Земли и у апельсина получается один и тот же зазор в 1/2 метра (примерно 16 см).

№ слайда 20 Описание слайда:

В дне деревянного судна во время плавания случилась прямоугольная пробоина в 13 см длины и 5 см ширины, т. е. площадь пробоины = 65 см2. Судовой плотник взял квадратную дощечку со стороной квадрата 8 см (т.е. площадь = 64 см2), разрезал её прямыми линиями на четыре части A, B, C, D так, как показано на рисунке 2, а затем сложил их так, что получился прямоугольник, как раз соответствующий пробоине, см. рисунок 3. Этим прямоугольником он и заделал пробоину. Вышло, что плотник сумел квадрат в 64 см2 обратить в прямоугольник с площадью 65 см2.*******************************************************Вопрос: Как такое могло получиться?Ответ (нажмите «Enter»): Легко видеть, что получившиеся при разрезании квадрата треугольники A и B равны между собой. Также равны и трапеции C, D. Меньшее основание трапеций и меньший катет треугольников равны 3 см и поэтому должны совпасть при совмещении треугольника A с трапецией C и треугольника B с трапецией D. В чём же секрет? Дело в том, что точки G, H, E не лежат на одной прямой, tg EHK = 8/3 , а tg HGJ = 5/2. Так как 8/3 – 5/2 = 1/6 > 0, то EHK > HGJ. Точно так же линия EFG – ломанная. Площадь полученного прямоугольника действительно равна 65 см2, но в нём имеется щель в виде параллелограмма, площадь которого в точности равна 1 см2. Наибольшая ширина щели равна 5 – 3 – (5·3)/8 = 1/8 см. Таким образом плотнику всё равно придётся замазывать небольшую щель.

№ слайда 21 Описание слайда:

Пример 4. Два перпендикуляра Попытаемся «доказать», что через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра. С этой целью возьмём треугольник ABC (рисунок 4). На сторонах AB и BC этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной AC в точках E и D. Соединим точки E и D прямыми с точкой B. Угол AEB прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол BDC также прямой. Следовательно, BE AC и BD AC. Через точку B проходят два перпендикуляра к прямой AC. ****************************************************Вопрос: В чём ошибка?Ответ (нажмите «Enter»): Рассуждения опирались на ошибочный чертёж. В действительности полуокружности пересекаются со стороной AC в одной точке, т.е. BE совпадает с BD.

№ слайда 22 Описание слайда:

Пример 5.«Новое доказательство» теоремы Пифагора Возьмём прямоугольный треугольник с катетами a и b, гипотенузой c и острым углом , противолежащим катету a. Имеем: a = c sin , b = c cos , откуда a2 = c2 sin2 , b2 = c2 cos2 . Просуммировав по частям эти равенства, получаем: a2 + b2 = c2 (sin2 + cos2 ). Но sin2 + cos2 = 1, и поэтому a2 + b2 = c2 . ************************************************************************************Вопрос: В чём ошибка?Ответ (нажмите «Enter»): Ошибки здесь нет. Но формула sin2 + cos2 = 1 сама выводится на основании теоремы Пифагора.

№ слайда 23 Описание слайда:

«Аванта +. Математика». – Москва, изд. «Аванта +»,1998.«БЭКМ – 2007». – Москва, 2007. Игнатьев Е.И. «Математическая смекалка. Занимательные задачи, игры, фокусы, парадоксы». – Москва, изд. «Омега»,1994.Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. «Математическая шкатулка». – Москва, изд. «Просвещение»,1988.

примеры с ответами :: SYL.ru

Идея софизмов зародилась еще во времена Древней Греции, постепенно распространившись и в Рим. Мудрецов специально обучали тому, чтобы доказывать какое-либо мнение с помощью заведомо ложных аргументов. Но эти доказательства выглядели очень правдоподобными.

Отличие софизма от паралогизма

Прежде чем рассмотреть конкретные примеры софизмов, необходимо отметить: любой из них представляет собой ошибку. Помимо этих философских уловок, также в логике существует и такое понятие, как паралогизм. Отличие его от софизма заключается в том, что паралогизм допускается случайно, в то время как софизм – это намеренная ошибка. Речь многих людей практически изобилует паралогизмами. Если даже умозаключение построено согласно всем законам логики, то в самом конце оно может быть искажено и уже не соответствовать реальной действительности. Хотя паралогизмы и допускаются без злого умысла, они могут все равно использоваться в личных целях – иногда такой подход называется подгонкой под результат.

Интересные примеры софизмов

В отличие от паралогизма, софизм представляет собой намеренное нарушение законов логики. При этом софизмы тщательнейшим образом маскируются под истинные умозаключения. Есть немало подобных примеров, которые сохранились с древности до наших дней. И заключение большей части из этих уловок носит достаточно курьезный оттенок. Например, таким образом выглядит софизм о воре: «Вор не испытывает желания воровать что-то дурное; приобретение чего-либо хорошего – благое дело; стало быть, вор занимается благим делом». Забавно звучит и такое утверждение: «Лекарство, которое нужно принимать больному, – это добро; чем больше добра, тем лучше; стало быть, лекарства нужно пить как можно больше».

Еще один интересный пример софизма – это знаменитое умозаключение о Сократе: «Сократ является человеком; понятие «человек» – это не то же самое, что понятие «Сократ»; стало быть, Сократ представляет собой нечто иное, нежели Сократ». Подобные софизмы нередко применялись в Древнем Риме для того, чтобы ввести в заблуждение своего оппонента. Не будучи вооруженными логикой, собеседники софистов совершенно ничего не могли противопоставить этим уловкам, хотя вся нелепость их была очевидна. Нередко споры в Древнем Риме заканчивались кровавыми драками.

Польза философских уловок

Несмотря на свое отрицательное значение, многочисленные примеры софизмов в философии имели и свою положительную сторону. Эти уловки способствовали развитию логики, поскольку они в неявной форме содержали в себе проблему доказательства. Именно с ними философы начали осмыслять проблему доказательства утверждения и его опровержения. Поэтому можно смело утверждать, что софизмы могут нести пользу, так как содействуют правильному, логически выверенному мышлению.

Уловки из математики

Немало известно и примеров математических софизмов. Для их получения уже неизвестные нам авторы подтасовывали значения чисел так, чтобы получить нужный результат. К примеру, можно доказать, что 2 х 2 = 5. Делается это таким образом: 4 делится на 4, а 5 – на 5. Стало быть, результат выходит таким: 1 / 1 = 1 / 1. А значит, 4 = 5, а 2 х 2 = 5. Разрешить этот пример софизма в математике очень просто – необходимо вычесть два разных числа, затем выявить неравенство этих двух чисел.

С софистами всегда нужно было держать ухо востро. Среди них было немало мудрых философов. Они мастерски владели искусством спора и придумали такие мыслительные уловки, которые и по сей день используют не только любители философии, но и политики.

Забавные софизмы

Эти философские уловки всегда использовались для того, чтобы ввести собеседника в заблуждение, а иногда над ним и потешиться. Следующие примеры логических софизмов показывают, что авторы древности не были лишены чувства юмора. Например:

Чтобы видеть, глаза человеку не нужны. Ведь он видит без правого глаза. И без левого он тоже способен видеть. Стало быть, глаза не являются необходимым условием, чтобы называться зрячим.

Следующий софизм построен в форме диалога, в котором мудрец задает вопросы крестьянину:

— А что, крестьянин, есть ли у тебя собака?

— Да, есть.

— Есть ли у нее кутята?

— Да, недавно появились на свет.

— Иными словами, получается, что эта собака – мать?

— Именно так, моя собака – мать.

— И эта собака твоя, крестьянин, не так ли?

— Моя, я же тебе сказал.

— Вот, ты сам признал, что твоя мать – собака. Значит, ты – пес.

И еще несколько примеров древних софизмов:

• Что человек не терял, то у него есть. Рога он не терял. Значит, у него есть рога.
• Чем больше самоубийц, тем меньше самоубийц.
• Девушка – это человек. Девушка является молодой, а значит, она – молодой человек. Последний, в свою очередь, является парнем. Стало быть, девушка не является человеком, так как здесь наблюдается противоречие. (Данный софизм является доказательством от противного).

Эти 5 примеров софизмов показывают, что с мудрецами лучше не спорить, по крайней мере, до той поры, пока не обретены навыки логического мышления.

Другие примеры

Известен и пример уловки о крокодиле, укравшем ребенка. Крокодил пообещал отцу ребенка, что вернет его, если тот угадает, станет ли возвращать крокодил малыша или же нет. Вопрос в этой дилемме звучит так: что нужно сделать крокодилу, если отец скажет, что крокодил не собирается возвращать ему ребенка?

Известен также и софизм о куче песка. Одна песчинка не является кучей песка. Если n песчинок не образуют собой кучу песка, стало быть, и n + 1 песчинок тоже не представляют собой кучу. Следовательно, никакое количество песчинок не смогут образовать собой кучу песка.

Еще один софизм называется «Всемогущий волшебник». Если волшебник всемогущ, может ли он создать камень, который ему не удастся поднять? Если такое колдовство он совершить сможет, то, стало быть, этот волшебник не всемогущ, ведь он не сможет поднять этот камень. А если у него это не получится, значит, он все равно не всемогущ. Ведь у него не получается создать такой камень.

Пример софизма о нарушителе

Данная философская уловка понравится тем, кто ищет примеры софизмов с ответами. В парк некоего богатого князя вход был воспрещен. Если кто-то попадался, то он должен был быть казнен. Однако нарушителю предоставлялось право выбрать казни: через повешение или обезглавливание. Перед наказанием преступник мог сделать какое-либо заявление. И если оно будет верным, то его обезглавят, если же ложно, то повесят. Какое это утверждение? Ответ таков – «вы меня повесите».

Софизм «Эпименид»

Выше были приведены примеры софизмов с ответами. Однако есть и такие уловки, над которыми можно тщетно биться годами, но так и не найти правильного ответа. Мыслитель будет ходить по замкнутому кругу, однако не сможет отыскать ключ к этой загадке. Пример софизма, который невозможно решить, повествует о критянине Эпимениде. Однажды он произнес фразу: «Все критяне – лжецы». Но ведь сам философ тоже являлся жителем Крита. Значит, он тоже лгал.

Парадокс критянина и судьбы несчастных философов

Но если Эпименид лжет, то, значит, его утверждение истинно? Но тогда он не является жителем Крита. Однако, согласно условию софизма, Эпименид – критянин, а значит… Все это значит только одно – мыслителю предстоит снова и снова ходить по замкнутому кругу. И не только ему. Известно, что стоик Хрисипп написал три книги, посвященные анализу этого примера софизма. Его известный коллега по имени Филет Косский не смог одолеть логической задачи и наложил на себя руки.

А знаменитый логик Диодор Кронос, уже будучи в преклонных годах, дал обет – не есть до тех пор, пока ему не удастся решить эту задачку. Об этом случае пишет Диоген Лаэртский. По свидетельству историка, когда мудрец Диодор находился при дворе Птолемея, ему было предложено решить этот софизм. Так как справиться с ним философ не смог, то Птолемей прозвал его Кронос (в переводе это слово не только обозначает имя древнего бога времени, но и просто «глупец, болван»). Ходили слухи, что Диодор погиб то ли от голода, то ли оттого, что не смог выдержать подобного позора. Таким образом, кому-то слишком серьезное восприятие софизмов стоило жизни. Однако не стоит уподобляться древним философам и воспринимать софизмы слишком серьезно. Они являются хорошими упражнениями для развития логики, но ради них не стоит рисковать карьерой, а уж тем более жизнью.

Математические доказательства. Примеры «правдоподобных» рассуждений, приводящих к ложным результатам (математические софизмы)

Реферат

Математические доказательства. Примеры «правдоподобных» рассуждений, приводящих к ложным результатам (математические софизмы)

Брянск 2017

Оглавление

Введение        3

Что такое математический софизм        4

Равенство неравных величин        6

Все ли утверждения математики верны        9

Неравенство одинаковых величин        14

Меньше превышает больше        17

Заключение        19

Список использованной литературы        20

---

Введение

Математическим доказательством называют рассуждение, целью которого является обоснование истинности какого-либо утверждения, так называют цепочку логических умозаключений, которая показывает, что утверждение верно.

Отдельно выделяют «правдоподобные» суждения, приводящие к ложным результатам, используя «запрещенные действия», либо не учитывая условия теорем, формул и правил.

Именно такие рассуждения и называют математическими софизмами. Они помогли повысить точность формулировок и глубже осознать понятия математики за всю ее историю.

Далее мы подробнее ознакомимся с понятием «математического софизма», познакомимся с некоторыми примерами таких суждений и разберем ошибки, часто встречающиеся в подобных логических цепочках.

---

Что такое математический софизм

Понятие «софизм» произошло от греческого – «sophisma», что переводится как уловка или выдумка, софизм – обманчивое доказательство, где правильность заключения лишь кажется, порождается исключительно личным впечатлением, которое вызвано недостаточным анализом. Математический софизм, в свой черед – это такое утверждение, в аргументации которого запрятаны незаметные, а порой и достаточно хитрые ошибки.

За всю историю математики возможно столкнуться с немалым количеством нестандартных и любопытных софизмов, их разрешение иногда являлось импульсом к новым свершениям, откуда потом вырастали свежие софизмы.

Согласно практике поиск ошибок, встречающихся в софизмах, осознание причин их возникновения приводят к рациональному постижению математики, развитию логики и внимательности, навыков мышления. К тому же это гораздо полезнее, нежели анализ решения стандартных, «безошибочных», задачек.

Выделяют несколько характерных ошибок, присущих софизмам:

• применение запретных действий;
• игнорирование условий теорем, формул и правил;
• ошибки в чертежах;
• заблуждения собственных выводов.

Бывает иногда, ошибки, что были сделаны в софизме, искусно запрятаны: даже квалифицированным математикам потребуется достаточно много времени, чтобы выявить их – так можно проследить связь математики и философии.

Известно, что философы Древней Греции были основателями софизмов, строили свои суждения на простейших аксиомах, а это удостоверяет связь двух древнейших наук в софизмах. Философы 4-5 века до нашей эры, достигавшие больших успехов в логике, называли себя софистами. В 5 веке появились педагоги «красноречия», которые величали свою миссию как приобретение и распространение мудрости, они стали называть себя так же, софистами.

Так случилось, что с софизмом стала ассоциироваться идея о намеренной фальсификации, утверждали, что первостепенная задача любого софиста – показать самый жуткий аргумент самым лучшим через различные хитрые уловки речи.

Софизмы сыграли огромную роль в развитии математики: повышают строгость математических суждений и помогают уяснить понятия и методы науки. Эту роль можно сравнить с местом неумышленных заблуждений в математических исследованиях, в частности и великими умами.

Усвоение же ошибок в рассуждениях зачастую помогало развитию математики.

Далее рассмотрим некоторые примеры таких «правдоподобных» суждений.

---

Равенство неравных величин

Рассмотрим первый, казалось бы, простейший пример №1 «единица равна двум»:

1. Известно, что .[pic 1]
2. Прибавили к частям равенства .[pic 2]
3. Получили .[pic 3]
4. Переписали равенство через полные квадраты: .[pic 4]
5. Извлекли из его частей квадратный корень: .[pic 5]

Теперь можно утверждать, что . Но так ли это?[pic 6]

что такое софизм, как выглядят примеры и как их правильно использовать

Софизм — слово греческого происхождения, а переводится оно как «выдумка» или «уловка». Данный термин используется для обозначения утверждения, которое является ложным, но при этом несущим частицу логики. Поэтому на первый взгляд оно кажется истинным. Но все же не всем понятно, что же представляет собой софизм и в чём заключается разница между ним и паралогизмом? Отличие состоит в том, что в софизмах используется сознательный преднамеренный обман, присутствует нарушение логики.

История появления термина

Софизмы стали интересовать человека много веков назад. Еще Аристотель высказывался по этому поводу: софизмы — это мнимое доказательство, появляющееся вследствие недостатка логического анализа, из-за чего суждение приобретает субъективный характер. Убедительные доводы используются в целях маскировки и призваны скрыть логическую ошибку, которая в любом софистском утверждении всегда присутствует.

Понять, что же такое софизм, не так сложно. Достаточно обратиться к примеру древнего нарушения логики: «Имеешь то, что не терял. Терял рога? Значит, у тебя есть рога». В данном случае имеет место упущение. Если добавить во фразу новое слово, можно получить следующее: «Имеешь все, что не терял». При подобной трактовке вывод становится верным, но он уже не кажется интересным. Первые последователи софистики говорили, что утверждение должно удовлетворять главному требованию — наихудший аргумент должен превратиться в лучший, а спор нужен для того, чтобы победить в нём, а не найти истину.

По словам софистов, любое мнение можно признать верным, но тогда происходит отрицание закона противоречия, который позднее сформулировал Аристотель. Всё это впоследствии привело к появлению множества разновидностей софизмов в разных науках.

Источники софизмов

Многие софизмы берут свое начало из терминологии, которая используется во время спора. Есть немало слов, имеющих разные трактовки. Это как раз и приводит к нарушению логики. К примеру, в математике софизмы строятся посредством изменения чисел, которые перемножают, а затем сравнивают исходные и полученные данные.

Еще софисты могут использовать в качестве приема неправильное ударение, ведь есть немало слов, которые теряют свой изначальный смысл при изменении ударения. Иногда встречаются столь запутанные фразы, которые могут вызвать неоднозначные трактовки. Ярким примером тому может быть такая арифметическая операция: два умножить на два плюс пять. Сложно сказать, что важнее всего в этой фразе — сумма двойки и пятерки, умноженная на два, либо сумма произведения двойки и пятерки.

Сложные софизмы

Встречаются и более сложные логические софизмы, которые требуют подробного рассмотрения. К примеру, фраза может содержать посылку, которая требует доказательства. Иными словами, аргумент может считаться таковым лишь тогда, когда он доказан. Также нарушение может быть критика мнения оппонента, призванная разрушить ошибочно приписываемые ему суждения. С таким явлением очень часто сталкивается каждый из нас в повседневной жизни, когда люди приписывают друг другу определенные мотивы, которые им не принадлежат.

Также вместо фразы, сказанной с определенной оговоркой, может использоваться выражение, в котором подобная оговорка отсутствует. Поскольку внимание не заостряется на специально упущенном факте, утверждение приобретает довольно логически правильный и обоснованный вид.

Ярким примером нарушения нормального хода рассуждения является женская логика. Фактически, это сооружение цепочки мыслей, между которыми отсутствует логическая связь, но при поверхностном рассмотрении она может присутствовать.

Причины софизмов

Принято выделять психологические причины софизмов, среди которых наиболее распространенными являются:

• степень внушаемости;
• эмоциональность;
• интеллект человека.

Иными словами, если в разговоре участвует более подкованный человек, то ему стоит только завести своего оппонента в тупик, и тогда последний легко примет предложенную ему точку зрения. Человек, который неустойчив к аффективным реакциям, легко поддается своим чувствам и принимает софизмы за истинное утверждение. Подобные ситуации очень распространены, и в них очень часто попадают эмоциональные люди.

Выступая перед окружающими с софизмом, человек должен быть убедительным. Тогда у него будут больше шансов, что люди ему поверят. Именно на это и делается ставка, когда люди используют подобные приемы в споре. Но чтобы лучше понять, почему же люди прибегают к этому приему, необходимо подробнее познакомиться с ним, ведь нередко софизмы в логике очень часто остаются без внимания неподготовленного человека.

Интеллектуальные и аффективные причины

Хорошо подкованный человек, знакомый с основами софистики, всегда уделяет внимание тому, как и что он говорит, а также подмечает все аргументы собеседника, которые тот приводит в своей речи. Такие люди очень внимательны и не упустят ни одну мелочь. Они привыкли искать ответы на неизвестные вопросы, а не действовать по шаблонам. Вдобавок к этому они обладают большим словарным запасом, который позволяет максимально точно выражать свои мысли.

Не последнюю роль здесь играет и объем знаний. При правильном использовании софизмов в математике интеллектуально развитому человеку проще добиться победы в споре, чем малограмотному и неразвивающемуся.

Одной из причин поражения в споре может быть боязнь последствий, поэтому человек может очень быстро отказаться от своей первоначальной точки зрения, будучи не способен привести убедительные доводы.

Волевые

Когда два человека обсуждают свои точки зрения, они воздействуют на разум и чувства друг друга, а также на волю. Если человек уверен в себе и обладает таким ценным качеством, как напористость, то у него больше шансов отстоять свое мнение, даже если оно было сформулировано с нарушением логики. Наиболее эффективно применять этот прием против больших скоплений людей, которые подвержены эффекту толпы и не способны увидеть в речах человека софизм.

Оказавшись перед такими людьми, человеку не составит труда привести убедительные доказательства вне зависимости от того, что является предметом обсуждения. Но во время спора, в котором человек использует прием софизма, он должен быть очень активным. Публика, к которой он обращается, должна оставаться пассивной, поскольку такие люди легче всего подвергаются чужому влиянию.

Из этого можно сделать вывод: чтобы добиться необходимого результата при помощи софистских утверждений, каждая сторона, которая участвует в разговоре, должна вести себя особым образом. При этом качества каждой личности по отдельности влияют на исход обсуждаемого предмета.

Софизмы: примеры

Много веков назад первые приверженцы софистики сформулировали утверждение, где были показаны простые нарушения логики. Они предназначены для тренировки умения спорить, поскольку увидеть несоответствие в этих фразах очень просто.

• Полное и пустое. Раз половины равны, то и их целые части будут одинаковы. Согласно этому утверждению, при одинаковости полупустого и полного можно сделать вывод, что и пустое будет соответствовать полному.
• Достаточно известным является такой пример: «Знаешь, о чём хочу я тебя спросить? — Нет. — А о том, что добродетель это хорошее качество человека? — Знаю. — Получается, что ты не знаешь, что знаешь».
• Дать больному человеку лекарство — значит, сделать добро. А чем больше один человек приносит добра другому, тем лучше для них обоих. Иными словами, больным людям нужно давать лекарство как можно больше.
• Есть еще один софизм, о котором многие наверняка слышали: у собаки есть дети, а потому она их отец. Но раз она твоя собака, то, следовательно, она для тебя отец. Когда ты ударяешь свою собаку, то, значит, ты бьешь отца. А щенята для тебя тогда братья.

Логические парадоксы

Следует уметь различать парадоксы и софизмы, ведь это нетождественные друг другу понятия. Под парадоксом принято понимать суждение, которое способно доказать, что суждение может быть одновременно и ложным, и истинным. Это явление бывает двух видов:

• апория;
• антиномия.

В первом случае возникает вывод, который противоречит опыту. Это наглядно демонстрирует парадокс, который был сформулирован Зеноном: быстроногий Ахиллес все время отставал от черепахи, поскольку при каждом новом шаге она отдалялась на него на определенное расстояние, не давая ему догнать себя, поскольку процесс деления отрезка пути бесконечен.

Антиномию следует рассматривать как парадокс, который подразумевает наличие двух взаимоисключающих суждений, которые одновременно считаются истинными. Примером тому может служить фраза «я лгу». Ее можно рассматривать одновременно как истину и ложь. Но если человек во время ее произношения говорит правду, то его нельзя считать лжецом, хотя фраза указывает на обратное. Есть и другие занимательные логические парадоксы и софизмы, которые будут рассмотрены ниже.

Нарушение логики в математике

Чаще всего в математике софизмы используются для того, чтобы доказать равенство неравных чисел или арифметических выражений. Яркий пример — когда сравнивается пятерка и единица. Если из пяти вычесть три, то результатом будет двойка. Отнимая же из тройки единицу, у нас получится двойка. Если возвести оба числа в квадрат, то в каждом случае результат будет одинаковым. Поэтому можно сделать вывод, что пять равно единице.

Появление в математике задач-софизмов главным образом происходит за счет преобразования исходных чисел. Например, когда их возводят в квадрат. После выполнения этих нехитрых действий можно получить, что результаты этих преобразований будут одинаковыми, что позволяет говорить о равенстве исходных данных.

Причина, препятствие

Фредерик Бастиа является автором одних из самых распространенных софизмов. Среди них довольно известно нарушение логики «причина, препятствие». Первобытный человек был очень ограничен в своих возможностях. Поэтому для получения какой-либо вещи и результата ему приходилось решать множество задач.

Если рассмотреть простой пример с преодолением расстояния, то из него можно увидеть, что человеку сложно самостоятельно преодолеть все барьеры, которые могут возникнуть на пути любого одиночного путешественника. Мы живем в таком, где решением проблемы преодоления препятствий занимаются люди, которые специализируются на такого рода деятельности. И подобные препятствия эти люди сумели сделать для себя одним из главных источников заработка.

Появление любого нового препятствие озадачивает многих людей, которые пытаются их преодолеть. Поэтому наличие препятствий немыслимо для современного общества, ведь они дают возможность обогатиться каждому человеку в отдельности, а, значит, и всему обществу в целом.

Заключение

О существовании софизмов сегодня знают только интеллектуально грамотные люди. Это один из эффективных приемов, который помогает человеку добиться победы в споре, хотя для этого у него нет никаких оснований. Человек выстраивает таким образом беседу с людьми, что используемые в его высказываниях фразы помогают убедить других людей в его правоте. Можно даже сказать, что он попросту запутывает человека и не позволяет ему привести эффективные контраргументы, которые бы помогли отстоять его точку зрения.

Софизмы порой бывают настолько убедительными, что перед ними не могут устоять никакие другие доводы оппонентов. Однако победа в таком споре во многом зависит не только от самого человека, который использует софизмы, но и поведения тех людей, для которых они предназначены.

Что такое софистика: понятие, принципы, история развития

Приветствую Вас, друзья!

Наверняка вы сталкивались с людьми, которые умудряются убедительно отстаивать свою точку зрения, даже когда их неправота очевидна. В Древней Греции существовало целое философское течение, в рамках которого по-настоящему мудрыми людьми считались те, кто мог доказать свою правоту, будучи неправым. Данное течение называлось софистикой, а его сторонники – софистами. Сегодня мы подробно разберемся с тем, что такое софистика, узнаем историю её появления и развития, рассмотрим примеры софизмов. Начнем!

Что такое софистика?

Софистика – это одно из течений в древнегреческой философии, возникшее в V веке до нашей эры. Софисты долгое время были одними из наиболее почитаемых философов, которых современники считали мудрецами. Они были красноречивы, благодаря чему могли одержать победу практически в любом споре. Но со временем отношение к софистам менялось. Если изначально их считали мудрецами, то позже стали относиться к ним как к изворотливым и бесчестным демагогам.

Классическая софистика как философское учение существовала недолго – в V и IV веках до нашей эры. Позже возникали новые софистические течения, однако и они быстро прекращали существование. Сегодня термин «софистика» используется для обозначения особой формы аргументации, вводящей в заблуждение при помощи тезисов, которые кажутся логичными. Такие тезисы называются «софизмами». В них могут использоваться логические ошибки, многозначность некоторых терминов, подмена понятий, принятие ложных утверждений за истинные, неочевидное нарушение законов логики и прочие приёмы.

В современной философии софистикой называется намеренное использование софизмов для введения людей в заблуждение. Этот приём может быть достаточно эффективным. Заложенная в утверждение логическая ошибка часто бывает настолько хорошо замаскирована, что её сложно найти без глубокого анализа. Поэтому использование софизмов осуждается и подвергается вполне обоснованной критике.

История софистики

Данное философское течение возникло в V веке до нашей эры. Его создали философы, называвшие себя софистами. Тогда это слово имело положительный оттенок. Сами софисты позиционировали себя как учителя мудрости. Они обучали других людей философии, логике и, конечно же, риторическим приёмам. Очень быстро они поняли, что умение доказать любую мысль заменяет реальные знания, поэтому именно этому навыку они учили своих учеников.

По сути, деятельность софистов быстро свелась к поиску наиболее эффективных приёмов ведения спора, как правило, нечестных. Эти приёмы заключались в подмене понятий, намеренном сокрытии логических ошибок и даже в психологическом давлении. А чтобы отстоять своё право на подобный подход, софисты создали особую философскую идеологию, в рамках которой утверждалось, что объективной истины существовать не может. И если человек способен доказать определенное утверждение, его можно считать истинным.

История софистики состоит из двух периодов, которые условно называют «старшей» софистикой и «младшей». Наиболее известными представителями «старшей» софистики являются Протагор, Горгий, Гиппий и Антифонт. Среди «младших» софистов наиболее известны Критий, Алкидам (Алкидамант), Калликл, Фрасимах и Ликофрон. Практически все софисты были очень богатыми людьми, поскольку богачи охотно брали у них уроки мудрости. При этом в обществе к ним относились недоброжелательно (даже между собой они ладили плохо и часто вступали в споры).

Примеры софизмов

Как мы уже выяснили, софистика – это сознательное введение другого человека в заблуждение за счет манипуляций с формулировками. Одним из классических примеров является так называемый «Эватлов софизм». Этот случай сохранился в истории благодаря тому, что софистический приём был применён против Протагора (одного из самых известных софистов) его же учеником.

Протагор согласился давать уроки Эватлу на необычных условиях: тот заплатит ему за обучение, только если выиграет свой первый судебный процесс. Окончив учебу, Эватл не взялся ни за какое дело, поэтому и платить отказался. Возмутившийся Протагор пригрозил Эватлу судом. Однако, в случае победы Эватла в суде, он не стал бы платить в силу решения суда, а в случае проигрыша — не стал бы платить, т.к. по прежнему не выиграл ни одного дела. Таким образом, Эватл перехитрил учителя, ведь независимо от решения суда он оказался бы прав и мог бы на вполне законных основаниях не платить за обучение.

Чтобы лучше понять, что такое софистика, желательно разобрать и другие примеры. Существует огромное количество таких утверждений, которые выглядят логичными, но при этом основываются на ложных фактах. Рассмотрим несколько популярных софизмов:

1. Пассажир едет в поезде. Поезд едет в Москву. Значит, пассажир едет в Москву (звучит вполне логично, если игнорировать тот факт, что пассажир может выйти задолго до конечной станции).
2. Если две половины разных предметов равны, значит, равны и сами предметы. Два стакана, наполовину наполненные водой, равны. Следовательно, пустой стакан равен полному.
3. Если лекарство полезное, значит, его надо принимать постоянно. Но его не принимают постоянно, потому что для здорового человека лекарство вредное. Тогда для чего его принимает больной человек, если ему и так уже плохо?

Известное логическое рассуждение о том, что крокодил более длинный, чем зелёный, также построено по софистическому принципу. И даже в такой точной науке как математика есть место для софизмов. Наверняка вы хотя бы однажды видели «доказательство» того, что 2 x 2 = 5. Обычно подобные математические фокусы основываются на том, что на каком-то этапе вычислений происходит неявное деление на ноль.

Известен также пример про атлета, который якобы никогда не догонит черепаху. При этом не все замечают, что на каждой итерации система отсчёта намеренно выбирается так, чтобы никогда не дойти до точки, в которой атлет на самом деле обгоняет черепаху.

Кстати, для использования софизмов не обязательно обладать высоким IQ, какими-то особыми навыками или хотя бы хитростью. Даже без знания логики можно обойтись. Наверняка вы хотя бы однажды сталкивались с таким явлением как кибербуллинг (что это такое?). Обычно более агрессивный человек давит на оппонента фразами в стиле «Давай мне свой адрес, если ты такой смелый». И звучит вроде даже логично: если человек смелый, то чего ж он адрес не даёт?

Особенности учения «старших» софистов

Первые софисты стремились к познанию. При этом они отталкивались от того, что накопленные человечеством знания в большинстве своём ошибочны. Сегодня именно об их учении рассказывают в первую очередь, чтобы объяснить, что такое софистика. Они исследовали проблемы всех существовавших на тот момент наук, сомневались в устоявшихся религиозных верованиях. По сути, «старшие» софисты изначально были скептиками, которые абсолютно всё подвергали критическому переосмыслению. Они ничего не отрицали, просто озвучивали аргументы «за» и «против».

Всех «старших» софистов можно поделить на три группы:

1. Ораторы. Представители данной группы в совершенстве владели языком и умели красиво аргументировать свою точку зрения.
2. Эристы. Это были спорщики, которые участвовали в споре ради спора. Они стремились побеждать в полемике любой ценой, чем вызывали всеобщее осуждение.
3. Политики. Эти софисты использовали свои навыки и знания для достижения политических целей.

Среди старших софистов наиболее известен Протагор. Это был, безусловно, очень умный и мудрый для своего времени философ. Считается, что именно от него идёт главный тезис софистики о том, что человек есть мера всех вещей, и сущность всех явлений определяется тем, как их воспринимает человек.

Протагор делал акцент на относительности истин, отрицая их абсолютность. Считается также, что именно этот философ первым выдвинул идею демократического общества. Также он много рассуждал о том, как при помощи правильной аргументации можно победить беззаконие.

Самым известным учеником Протагора был Сократ, который выделился тем, что выступил против учителя и других софистов. Вместо того, чтобы отвергать существование абсолютной истины, он считал, что такая истина существует, и определена она божественной сущностью.

Другим известным «старшим» софистом был Горгий. Считает, что именно он создал риторику. Известно его утверждение, что один поступок может считаться и плохим, и хорошим – всё зависит от точки зрения. Также в истории сохранилось имя Гиппия, который прославился своим красноречием. Его уроки высоко ценились, при этом он умудрился разбогатеть, сохранив, в отличие от большинства софистов, доброе имя.

Особенности учения «младших» софистов

Эта часть истории софистики сохранилась не очень хорошо, поэтому достоверной информации о «младших» софистах мало. Известными представителями течения были Ликофрон, Алкидамант, Фрасимах, Калликл и Критий. Их идеи основывались на следующих тезисах:

• барьера между социальными классами не должно существовать;
• элита – искусственное понятие, выдумка группы людей;
• природа создала каждого человека свободным, рабства быть не должно.

Младшие софисты много рассуждали об этике и морали, а также о свободе и правах. В частности, Фрасимах поддерживал идеи демократии, превозносил атеизм и критиковал религии.

Заключение

Софистика – это философское течение, существовавшее в V-IV веках до нашей эры. По ряду причин софисты всегда имели спорную репутацию. Это были умные и хорошо образованные люди, обучавшие других людей. Но их осуждали за то, что они брали деньги с учеников, не давая им взамен полезных знаний, а обучая искусству «пустой, но убедительной болтовни». Из-за такого отношения софистика как наука просуществовала недолго.

Сегодня софистикой называют особый подход к ведению споров, в рамках которого спорщик прибегает к демагогическим приёмам, манипулируя фактами и вводя собеседника в заблуждение. Тезисы, построенные по софистическим принципам, называются софизмами и часто выглядят вполне логичными и правдоподобными. Но подвергая их тщательному логическому анализу, всегда можно найти умышленно замаскированные манипуляции, ошибки и неточности.

что это? Примеры софистики

«Софизм» по-гречески буквально означает трюк, вымысел или мастерство. Этот термин относится к утверждению, которое является ложным, но не лишенным элемента логики, благодаря которому при поверхностном взгляде на него кажется правильным. Возникает вопрос: софистика — что это такое и чем отличается от паралогизма? А разница в том, что софизмы основаны на сознательном и преднамеренном обмане, нарушении логики.

История возникновения

Софизмы и парадоксы были замечены еще в древности.Один из отцов философии — Аристотель назвал это явление воображаемым свидетельством, что связано с недостатком логического анализа, который приводит к субъективности всех суждений. Убедительность аргументов — всего лишь маскировка логической ошибки, которая в любом софистическом утверждении несомненна.

Софизм — что это? Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно рассмотреть пример древнего нарушения логики: «У тебя есть то, что ты не потерял. Ты потерял рога? Значит, у тебя есть рога.«Здесь есть упущение. Если изменить первую фразу:« У вас есть все, что вы не потеряли », то вывод становится верным, но довольно неинтересным. Одним из правил первых софистов было утверждение, что худший аргумент должно быть представлено как лучшее, и целью спора была только победа в нем, а не поиск истины.

Софисты утверждали, что любое мнение может быть законным, тем самым отрицая закон противоречия, позже сформулированный Аристотелем.Это породило множество видов софистики в различных науках.

Источники софизма

Источники софизма могут действовать в терминологии, которая используется во время спора. Многие слова имеют несколько значений (врач может быть доктором или научным сотрудником со степенью), из-за чего происходит нарушение логики. Например, софизмы в математике основаны на изменении чисел путем их умножения и последующего сравнения исходных и полученных данных. Неправильное ударение также может быть орудием софизма, потому что многие слова меняют значение при изменении ударения.Формирование фразы иногда бывает очень запутанным, как, например, дважды два и пять. При этом непонятно, получается ли сумма двух и пяти, умноженная на два, или сумма произведения двоек и пяти.

Сложные софизмы

Если рассматривать более сложную логико-софистику, стоит привести пример с включением во фразу посылки, которую еще предстоит доказать. То есть сам аргумент не может быть таким, пока он не доказан.Еще одно нарушение — критика мнения оппонента, направленная на ошибочно приписываемые ему суждения. Такая ошибка широко распространена в повседневной жизни, когда люди приписывают друг другу те мнения и мотивы, которые им не принадлежат.

Кроме того, фраза, произнесенная с некоторой оговоркой, может быть заменена выражением, не имеющим такой оговорки. В связи с тем, что не акцентируется внимание на том, что было упущено, утверждение выглядит вполне разумным и логичным.Так называемая женская логика также относится к нарушениям нормального хода рассуждений, поскольку представляет собой построение цепочки мыслей, не связанных друг с другом, но при поверхностном рассмотрении связь может быть обнаружена.

Причины софизма

По психологическим причинам софизм включает интеллект человека, его эмоциональность и степень внушаемости. То есть более умному человеку достаточно загнать своего оппонента в тупик, чтобы он согласился с предложенной ему точкой зрения.Под влиянием аффективных реакций человек может поддаться своим чувствам и упустить софистику. Примеры таких ситуаций встречаются везде, где есть эмоциональные люди.

Чем убедительнее речь человека, тем больше шансов, что окружающие не заметят ошибок в его словах. Так считают многие из тех, кто использует такие методы в споре. Но для полного понимания этих причин стоит проанализировать их более подробно, поскольку софизмы и парадоксы в логике часто проходят мимо внимания неподготовленного человека.

Интеллектуальные и аффективные причины

Развитая интеллектуальная личность имеет возможность следить не только за своей речью, но и за каждым аргументом собеседника, при этом обращая внимание на аргументы, приводимые собеседником. Такой человек отличается большим вниманием, способностью искать ответ на неизвестные вопросы вместо того, чтобы следовать усвоенным шаблонам, а также большим активным словарным запасом, с помощью которого мысли выражаются наиболее точно.

Количество знаний также имеет большое значение. Умелое применение такого рода нарушений, как софистика в математике, недоступно необразованному и не развивающемуся человеку.

Сюда входит боязнь последствий, из-за которых человек не может уверенно выразить свою точку зрения и привести достойные аргументы. Говоря об эмоциональных слабостях человека, нельзя забывать о надежде найти в любой полученной информации подтверждение своих взглядов на жизнь.Для гуманитарных наук софистика математики может стать проблемой.

Завещал

При обсуждении точек зрения воздействуют не только на разум и чувства, но и на волю. Уверенный и напористый человек с большим успехом будет придерживаться своей точки зрения, даже если она была сформулирована с нарушением логики. Особенно сильно этот метод действует на большие скопления людей, подверженных влиянию толпы и не замечая софистики. Что это дает динамику? Возможность убедить почти в чем угодно.Еще одна особенность поведения, позволяющая выигрывать в споре с помощью софизма, — активность. Чем пассивнее человек, тем больше у него шансов убедить его в своей правоте.

Вывод: эффективность софистических высказываний зависит от характеристик обоих людей, участвующих в разговоре. В этом случае эффекты всех исследуемых личностных качеств суммируются и влияют на результат обсуждения проблемы.

Примеры логических нарушений

Софизмы, примеры которых будут рассмотрены ниже, сформулированы достаточно давно и представляют собой простые нарушения логики, которые используются

Софизмы, Типичные софизмы — Теория и практика аргументации

Софизмы

Софизм обычно определяется как умозаключение или рассуждение, которое оправдывает пресловутый абсурд, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям.

Софизмы — это логически несовершенные рассуждения, выдаваемые за правильные и очевидные. Некоторые софизмы, но не все, подпадают под тему «Ошибки в доказательстве». Вопрос о софизме шире, чем вопрос о нарушении правил логики в процессе доказательства.

Очевидная убедительность многих софизмов, иллюзия их «логики» и очевидности связана с хорошо замаскированной ошибкой, с нарушением правил языка или логики. Софизм — это обман, но обман тонкий и замаскированный, так что не сразу и не каждый может его раскрыть.

Говоря о мнимой убедительности софизмов, древнеримский философ Сенека сравнивал их с искусством магов: мы не можем сказать, как совершаются их манипуляции, хотя твердо знаем, что все делается совершенно иначе, чем нам кажется.

Ф. Бэкон сравнил того, кто прибегает к софизму, с лисой, которая хорошо петляет, а того, кто выявляет софизмы, — с собакой, которая умеет распутывать следы.

Например, рогатая софистика получила известность еще в древности.С его помощью вы можете убедить каждого человека в том, что он рогатый: «Что не потерял, значит, имеет; рога не потерял; значит, рога у вас

.

Само собой разумеется, что убедить человека в том, что у него есть рога, можно только обманом или злоупотреблением доверием. А это мошенничество. Отсюда софист в одиозном, злобном смысле — человек, готовый отстаивать свои убеждения любыми, в том числе и несанкционированными методами, вне зависимости от того, верны они или нет.

В софизмах используются многие особенности нашего повседневного языка.

Метафоры — обороты речи, заключающие в себе скрытую ассимиляцию, образное сближение слов на основе их переносимого значения:

Неустанные ночи длинны

Сказка была черная,

И фиолетовый над долиной

Поздний взгляд на вещи.

Неоднозначность обычных слов и оборотов. Например, слово «земля» имеет восемь значений, как указано в Словаре современного языка Соединенных Штатов, и среди них: «суша», «почва», «реальная реальность», «страна», » территория »; и т.п.Прилагательное новое — также восемь значений, включая «современный», «следующий», «неизвестный» и т. Д.

В языке есть омонимы — звуки, одинаково звучащие, но разные по значению (коса из волос, коса как инструмент для стрижки, коса как узкая мелочь, уходящая в воду).

Эти особенности языка способны нарушить уникальность

Парадоксов и софизмов в исчислении

Перейти к основному содержанию

• Дом
• Карьера по математике
• Свяжитесь с нами
• Логин

Форма поиска

Поиск

• Логин
• Присоединиться к
• Дайте
• Магазины

• О MAA
  • История MAA
    • Столетие MAA
    • MathDL
    • В центре внимания: Архивы американской математики
    • Сотрудники MAA
  • Управление
    • Совет и комитеты
    • Совет директоров
    • Управляющие документы
      • Устав
  • Политики и процедуры
    • Политика в отношении конфликта интересов
    • Заявление о конфликте интересов
    • Запись или трансляция событий MAA
    • Политика создания эндаументов и фондов
    • Среда приветствия, Кодекс этики и Политика осведомителей
    • Как избежать неявной предвзятости
    • Соглашение об авторском праве
    • Руководство главного исследователя
  • Адвокация
  • Поддержка MAA
    • Планируемое пожертвование
    • Общество Икосаэдра
  • Наши партнеры
  • Реклама в MAA 90 096
  • Возможности трудоустройства
  • Справочник персонала
  • Свяжитесь с нами
  • Отчет о воздействии на 2019 год
• Членство
  • Категории членства
  • Стать членом
  • Продление членства
  • Программы скидок для участников
    • Федеральный кредитный союз НАСА
    • Страхование MERCER
  • Поиск участников MAA
  • Преимущества для новых участников
• Публикации MAA
  • Периодические издания
    • The American Mathematical Monthly
    • Mathematics Magazine
    • College Mathematics Journal
    • Loci / JOMA
      • Обзор
      • Как цитировать
      • Коммуникации в наглядной математике
    • Конвергенция
      • О конвергенции
      • Что в конвергенции?
      • Статьи конвергенции
      • Изображения для использования в классе
        • Математические сокровища
        • Портретная галерея
        • Пол Р.Коллекция фотографий Халмоса
        • Другие изображения
      • Уголок критиков
      • Цитаты
      • Проблемы из другого времени
      • Календарь конференций
      • Руководство по сближению авторов
    • MAA FOCUS
    • Math Horizons
    • Материалы для периодических изданий MAA
    • Руководство для рефери
  • MAA Press (отпечаток AMS)
  • Примечания MAA
  • Обзоры MAA
    • Обзор
    • Рекомендации библиотеки MAA
    • Дополнительные источники для обзоров книг по математике
    • О обзорах MAA
  • Математический Связь
  • Информация для библиотек
  • Ресурсы для авторов
  • Рекламируйте с MAA
• Встречи
  • MAA MathFest
    • Проспект экспонента
  • Календарь событий
    • Будущие встречи
    • MAA Выдающийся лектор Серия e
  • Совместные встречи по математике
  • Предложить сессию
    • Предложения и аннотации крайних сроков
    • Политика MAA
    • Приглашенные бумажные предложения на сессию
    • Тематические заявки на бумажную сессию
    • Предложения панели, плаката, ратуши и семинара
    • Предложения по мини-курсам
  • Заседания секции MAA
  • Помещение для встреч в вагончике
    • График работы в вагончике
    • Тарифы и вместимость помещений
    • Форма запроса на собрание
    • Кейтеринг
  • Архив MathFest
    • MathFest95 Архив программ MathFest
    Архив тезисов
    • Исторические ораторы
  • Политика благоприятствования окружающей среде
• Соревнования
  • О AMC
    • Часто задаваемые вопросы
    • Информация для школьных администраторов
    • Информация для учеников и родителей
  • 2020-2021 AMC Online Policies
    • Как зарегистрироваться в AMC Online
  • AMC Policies
  • AMC 8
  • AMC 10/12
  • AMC International
  • Пригласительные соревнования
  • Дополнительные места проведения соревнований
  • Важные даты проведения AMC
  • Регистрация
  • Конкурс Патнэма
    • Архив Конкурса Патнэма
  • Ресурсы AMC
    • Вдохновляющие программы
    • Премия Sliffe
    • Преимущества MAA K-12
    • Запросы в список рассылки
  • Статистика и награды
Программы и сообщества
• Ресурсы учебной программы
  • Капсулы и заметки в классе
    • Обзор
  • Common Vision
  • Сообщества курса
    • Обзор
  • INGenIOuS
  • Руководство по методам обучения
  • Mobius MAA Test Placement 9009 6
  • META Math
    • Вебинар по META Math Май 2020 г.
  • Прогресс через Calculus
  • Опрос и отчеты
• Сообщества участников
  • Разделы MAA
    • Встречи разделов
    • Сроки и формы
    • Программы и услуги
      • Редактор Программа лекций
      • Pólya Лекция
      • Программа для посетителей секции
    • Политики и процедуры
      • Рекомендации для веб-мастеров секции
    • Ресурсы секции
      • Рекомендации для секретаря секции и казначея
  • Учителя средней школы
  • SIGMAA
    • Присоединение к SIGMAA
    • Формирование SIGMAA
    • История SIGMAA
    • Справочник сотрудника SIGMAA
    • Часто задаваемые вопросы
  • Аспиранты
  • Студенты
    • Встречи и конференции для студентов
      • Постерная сессия студентов JMM
        • Информация для судей
        • Прошедшие сессии и победители
        • Стендовая информация
    • Стендовая сессия JMM
    • Студенческие исследования
      • Возможности для презентации
      • Информация и ресурсы
      • Ресурсы для исследований для студентов
      • Сессии студенческих работ MathFest
      • Исследования для студентов
      • Часто задаваемые вопросы о студенческих постерах
    • Ресурсы для студентов
      • Старшая школа
      • Бакалавриат
    • Fun Math
      • Список для чтения
  • Награды MAA
    • Буклеты
    • Writing Awards
      • Карл Б.Награды Allendoerfer
      • Премии Шовене
        • Правила, регулирующие присуждение Ассоциацией Премии Шовене
      • Награды Тревора Эванса
      • Награды Пола Р. Халмоса — Лестера Р. Форда
      • Премия Мертена М. Хассе
      • Награды Джорджа Полиа
      • Премия Дэвида П. Роббинса
      • Книжная премия Беккенбаха
      • Книжная премия Эйлера
      • Авторская премия Дэниела Солоу
    • Награды за преподавание
      • Генри Л.Премия Олдера
      • Премия Деборы и Франклина Теппера Хаймо
    • Награды за услуги
      • Почетная грамота
      • Гунг и Ху За выдающиеся заслуги
      • Премия JPBM в области коммуникаций
      • За заслуги перед
    • Награды за исследования
      • Премия Дольчиани
        • Дольчиани Руководство по присуждению премии
      • Премия Моргана
        • Информация о премии Моргана
      • Премия Энни и Джона Селдена
        • Право на участие в премии Селдена и рекомендации по выдвижению
        • Форма номинации на премию Селдена
    • Награды за лекции
      • AMS-MAA -SIAM Публичная лекция Джеральда и Джудит Портер
      • AWM-MAA Falconer Lecture
        • Etta Zuber Falconer

Софист | философия | Британника

Софист , любой из определенных греческих лекторов, писателей и учителей в V и IV веках до нашей эры, большинство из которых путешествовали по грекоязычному миру, давая инструкции по широкому кругу предметов за плату.

История названия

Термин софист (греч. софист ) имел более раннее применение. Иногда говорят, что изначально он означал просто «умный» или «квалифицированный человек», но список тех, к кому греческие авторы применили этот термин в его более раннем смысле, делает вероятным, что он был более ограниченным по значению. Преобладают провидцы, прорицатели и поэты, и самые ранние софисты, вероятно, были «мудрецами» в древнегреческих обществах. Это могло бы объяснить последующее применение этого термина к Семи мудрецам (VII – VI века до н. Э.), Которые олицетворяли высшую раннюю практическую мудрость, и к философам-досократам в целом.Когда Протагора в одном из диалогов Платона ( Protagoras ) заставляют сказать, что, в отличие от других, он готов называть себя софистом, он использует этот термин в новом смысле слова «профессиональный учитель», но он также желает претендовать на преемственность с более ранними мудрецами как учителя мудрости. Платон и Аристотель, однако, снова изменили смысл, заявив, что профессиональные учителя, такие как Протагор, не искали истины, а только победы в дебатах, и были готовы использовать нечестные средства для ее достижения.Это привело к появлению чувства «придирчивый или ошибочный рассуждающий или придирчивый», которое остается доминирующим по сей день. Наконец, в Римской империи этот термин применялся к профессорам риторики, к ораторам и к прозаикам в целом, каждый из которых иногда рассматривается как составляющий то, что сейчас называется Вторым софистическим движением ( см. Ниже Второе софистическое движение) .

Рафаэль: фрагмент из Афинской школы

Платон (слева) и Аристотель, фрагмент из Афинской школы , фреска Рафаэля, 1508–1511; в Stanza della Segnatura, Ватикан.Платон указывает на небеса и царство форм, Аристотель — на землю и царство вещей.

Альбом / Oronoz / SuperStock

Софисты V века

Сохранились имена около 30 собственно так называемых софистов, из которых наиболее важными были Протагор, Горгий, Антифон, Продик и Фрасимах. Платон категорически возражал против того, что Сократ ни в коем случае не был софистом — он не брал никаких гонораров и его преданность истине не вызывала сомнений. Но со многих точек зрения его справедливо считают весьма особым участником движения.Фактическое число софистов было явно намного больше, чем 30, и в течение примерно 70 лет, до г. 380 г. до н.э., они были единственным источником высшего образования в более развитых греческих городах. После этого, по крайней мере в Афинах, они были в значительной степени заменены новыми философскими школами, такими как школы Платона и Исократа. Диалог Платона Протагор описывает нечто вроде конференции софистов в доме Каллия в Афинах незадолго до Пелопоннесской войны (431–404 гг. До н. Э.).Антимерус из Менде, описанный как один из самых выдающихся учеников Протагора, получает там профессиональные инструкции, чтобы стать софистом, и ясно, что это уже было нормальным способом вступления в профессию.

Большинство крупных софистов не были афинянами, но они сделали Афины центром своей деятельности, хотя постоянно путешествовали. Важность Афин, несомненно, была связана отчасти с большей свободой слова, преобладающей там, отчасти с покровительством таких богатых людей, как Каллиас, и даже с положительной поддержкой Перикла, который, как говорят, в своей работе вел долгие дискуссии с софистами. дом.Но в первую очередь софисты собирались в Афинах, потому что они нашли там наибольший спрос на то, что они могли предложить, а именно на обучение молодых людей, и степень этого спроса вытекала из характера политической жизни города. Афины были демократией, и хотя ее пределы были таковы, что Фукидид мог сказать, что ею руководил один человек, Перикл, тем не менее, она давала возможности для успешной политической карьеры гражданам самого разного происхождения, при условии, что они могли произвести достаточно сильное впечатление на свою аудиторию. совет и собрание.После смерти Перикла этот путь стал дорогой к политическому успеху.

Перикл

Перикл, деталь мраморной гермы; в музее Ватикана.

Андерсон-Алинари / Art Resource, Нью-Йорк Получите эксклюзивный доступ к контенту из нашего первого издания 1768 с вашей подпиской. Подпишитесь сегодня

Софисты учили людей говорить и какие аргументы использовать в публичных дебатах. Софистическое образование все чаще требовалось как членами самых старых семей, так и начинающими новичками без поддержки семьи.Из-за меняющейся модели афинского общества традиционные взгляды во многих случаях перестали быть адекватными. Критика такого отношения и замена их рациональными аргументами особенно привлекали молодых людей и объясняли яростное отвращение, которое они вызывали у традиционалистов. Платон считал, что нападки софистов на традиционные ценности по большей части несправедливы и необоснованны. Но даже он научился, по крайней мере, одному у софистов: если старые ценности нужно защищать, то это должно быть аргументировано, а не апеллированием к традициям и неотражаемой вере.

С этой точки зрения движение софистов выполняло ценную функцию в афинской демократии в V веке до нашей эры. Он предлагал образование, призванное способствовать успеху в общественной жизни. Похоже, что все софисты обучали риторике и искусству речи, а софистическое движение, ответственное за большие успехи в теории риторики, внесло большой вклад в развитие стиля ораторского искусства. В наше время время от времени высказывается мнение, что это было единственной заботой софистов.Но круг тем, которыми занимаются главные софисты, делает это маловероятным, и даже если успех в этом направлении был их конечной целью, средства, которые они использовали, несомненно, были в такой же степени косвенными, как и прямыми, поскольку учеников обучали не только искусству общения. говорящий, но грамматический; в природе добродетели ( aretē ) и основах нравственности; в истории общества и искусства; в поэзии, музыке и математике; а также в астрономии и физических науках. Естественно, от Sophist к Sophist баланс и акцент были разными, и некоторые из них предлагали более широкие учебные программы, чем другие.Но это был индивидуальный вопрос, и попытки прежних историков философии разделить софистическое движение на периоды, в которые менялась природа наставлений, теперь потерпели неудачу из-за отсутствия доказательств. Софисты 5-го века открыли метод высшего образования, который по своему диапазону и методам предвосхитил современный гуманистический подход, возникший или возрожденный во время европейского Возрождения.

La Hire, Laurent de: Rhetoric

Rhetoric , холст, масло Лорана де Ла Ира, 1650.102,5 × 119,5.

В частной коллекции

Зачем нужны математические и статистические модели

Математические модели

Есть несколько ситуаций, в которых математические модели могут быть очень эффективно использованы во вводном обучении.

• Математические модели могут помочь студентам понять и изучить значение уравнений или функциональных соотношений.
• Программное обеспечение для математического моделирования, такое как Excel, Stella II или интерактивные программы типа JAVA / Macromedia, позволяет относительно легко создать среду обучения, в которой учащиеся-новички могут интерактивно участвовать в управляемом опросе, очной и практической деятельности .
• После разработки концептуальной модели физической системы естественно разработать математическую модель, которая позволит оценить количественное поведение системы.
• Количественные результаты математических моделей можно легко сравнить с данными наблюдений, чтобы определить сильные и слабые стороны модели.
• Математические модели являются важным компонентом окончательной «полной модели» системы, которая на самом деле представляет собой набор концептуальных, физических, математических, визуализационных и, возможно, статистических подмоделей.

Статистические модели

В науке очень важна солидная статистическая база. Но степень уместности статистических идей во вводном курсе зависит от конкретных целей курса и степени или институциональной структуры. Здесь мы приводим несколько примеров, показывающих, почему и когда полезны статистические модели.

Прогнозы NOAA PMEL для зимних климатических изменений Эль-Ниньо на основе статистического анализа данных.

Можно использовать статистические модели или базовую статистику:

• Охарактеризовать числовые данные, чтобы помочь кратко описать измерения и помочь в разработке концептуальных моделей системы или процесса;
• Для помощи в оценке неопределенностей в данных наблюдений и неопределенностей в расчетах на основе данных наблюдений;
• Для характеристики числовых выходных данных математических моделей, чтобы помочь понять поведение модели и оценить способность модели моделировать важные особенности естественной системы (проверка модели).Подача этой информации обратно в процесс разработки модели повысит производительность модели;
• Для оценки вероятностного будущего поведения системы на основе прошлой статистической информации используется модель статистического прогнозирования . Этот метод часто используют при прогнозировании климата. Утверждение типа «Южная Калифорния будет влажной этой зимой из-за сильного Эль-Ниньо» основано на статистической модели прогнозирования.
• Для экстраполяции или интерполяции данных на основе линейной аппроксимации (или некоторой другой математической аппроксимации) также являются хорошими примерами моделей статистического прогнозирования.
• Для оценки входных параметров для более сложных математических моделей.
• Для получения частотных спектров наблюдений и вывода модели.

Исчерпывающий список математических символов и их значений

Вам трудно вспомнить точное значение обозначения при решении математических уравнений? Не волнуйтесь, ScienceStruck здесь, чтобы помочь вам. Вот список математических символов и их значений для справки.

Знаете ли вы?

Первыми использовавшимися математическими символами были шифры. Они были введены еще до появления письменности.

Хотите написать для нас? Что ж, мы ищем хороших писателей, которые хотят распространять информацию. Свяжитесь с нами, и мы поговорим …

Давайте работать вместе!

Математика или математика считаются языком науки, жизненно важным для понимания и объяснения науки, лежащей в основе природных явлений и явлений.Это также один из самых страшных предметов для большинства студентов во всем мире. Произнесите слово математика, и даже взрослые, как известно, содрогаются при одном упоминании этого слова! Мы не будем углубляться в причины этого, но разнообразие символов, используемых в уравнениях, также добавляет страха. В каждом разделе математики есть свои особые символы, которые представляют определенное понятие. Таким образом, вам необходимо иметь хотя бы готовый список ссылок на эти соглашения, чтобы вы не приняли одно за другое.

Мы составили сводный список всех символов, используемых в различных областях математики. Итак, в следующий раз, когда вы попытаетесь решить какую-либо математическую задачу, вы по крайней мере будете знать, что означают обозначения!

Основные символы

плюс

Означает сложение значений.

минус

Он символизирует вычитание значений.

Умножение

Означает умножение значений.

Дивизия

Обозначает разделение ценностей.

равно

Означает, что две стороны равны.

Не равно

Обозначает, что две стороны неравны.

Больше

Хотите написать для нас? Что ж, мы ищем хороших писателей, которые хотят распространять информацию. Свяжитесь с нами, и мы поговорим …

Давайте работать вместе!

Показывает, что одно значение больше другого.

Менее

Это означает, что одно значение меньше другого.

Больше или равно

Обозначает, что одно значение больше или равно другому.

Меньше или равно

Указывает, что одно значение меньше или равно другому.

по модулю

Означает нахождение остатка от деления двух чисел.

Плюс — минус / Минус — плюс

Обозначает, что значение может быть как плюсовым, так и минусовым.

Круглые скобки

Подразумевает, что вычисление уравнения внутри него должно быть выполнено в первую очередь.

Кронштейны

[]
Указывает, что вычисление уравнения внутри него должно быть выполнено в первую очередь.

Показатель

Обозначает, сколько раз число использовалось при умножении.

Корень квадратный

Он символизирует значение, которое можно умножить само на себя, чтобы получить исходное число.

Кубический корень

Он дает значение, которое можно умножить само на себя три раза, чтобы получить исходное число.

Корень четвертой степени

Это значение, которое можно умножить само на себя четыре раза, чтобы получить исходное число.

Корень N (корень)

Показывает значение, которое можно умножить на себя n раз, чтобы получить исходное число.

процентов

Обозначает отношение, выраженное дробью от 100.

промилле

Он символизирует количество частей на тысячу.

На миллион

Указывает количество частей на миллион.