Примеры по формулам сокращенного умножения: Формулы сокращенного умножения с примерами

2}{x-2y+3}\)\(=\)

Еще раз внимательно смотрим на числитель… думаем… думаем… и замечаем формулу разности квадратов, у которой \(a=(x-2y)\), \(b=3\). Раскладываем по ней к произведению двух скобок.

\(\frac{(x-2y-3)(x-2y+3)}{x-2y+3}\)\(=\)

И вот теперь сокращаем вторую скобку числителя и весь знаменатель.

\(x-2y-3\)

Готов ответ.

Содержание

7.3.1. Примеры для закрепления формул сокращенного умножения.

Главная » 7 класс. Алгебра. » 7.3.1. Примеры для закрепления формул сокращенного умножения

На чтение 3 мин. Просмотров 63.3k.

1) Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a+b)² = a²+2ab+b²

a) (x + 2y)²= x² + 2 ·x·2y + (2y)² = x² + 4xy + 4y²

б) (2k + 3n)² = (2k)² + 2·2k·3n + (3n)² = 4k² + 12kn + 9n²

2) Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a-b)² = a²-2ab+b²

а) (2a – c)² = (2a)²-2·2a·c + c² = 4a²– 4ac + c²

б) (3a – 5b)² = (3a)²-2·3a·5b + (5b)² = 9a² – 30ab + 25b²

3) Разность квадратов двух выражений равна произведению разности самих выражений на их сумму.

a²–b² = (a–b)(a+b)

a) 9x² – 16y² = (3x)² – (4y)² = (3x – 4y)(3x + 4y)

б) (6k – 5n)( 6k + 5n) = (6k)² – (5n)² = 36k² – 25n²

4) Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³

a) (m + 2n)³ = m³ + 3·m²·2n + 3·m·(2n)² + (2n)³= m³ + 6m²n + 12mn² + 8n³

б) (3x + 2y)³ = (3x)³ + 3·(3x)²·2y + 3·3x·(2y)² + (2y)³ = 27x³ + 54x²y + 36xy² + 8y³

5) Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a-b)³ = a³-3a²b+3ab²-b³

а) (2x – y)³ = (2x)³-3·(2x)²·y + 3·2x·y² – y³ = 8x³ – 12x²y + 6xy² – y³

б) (x – 3n)³ = x³-3·x²·3n + 3·x·(3n)² – (3n)³ = x³ – 9x²n + 27xn² – 27n³

6) Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы самих выражений на неполный квадрат их разности.

a³+b³ = (a+b)(a²–ab+b²)

a) 125 + 8x³ = 5³ + (2x)³ = (5 + 2x)(5² — 5·2x + (2x)²) = (5 + 2x)(25 – 10x + 4x²)

б) (1 + 3m)(1 – 3m + 9m²) = 1³ + (3m)³ = 1 + 27m³

7) Разность кубов двух выражений равна произведению разности самих выражений на неполный квадрат их суммы.

a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²)

а) 64с³ – 8 = (4с)³ – 2³ = (4с – 2)((4с)² + 4с·2 + 2²) = (4с – 2)(16с² + 8с + 4)

б) (3a – 5b)(9a² + 15ab + 25b²) = (3a)³ – (5b)³ = 27a³ – 125b³

Дорогие друзья! Карта сайта поможет вам выбрать нужную тему.

Правила и формулы сокращенного умножения

( 59 оценок, среднее 3.95 из 5 )

Формула сокращенного умножения

математика

21 февраля 2021 г. Пифагор

Наиболее важные формулы сокращенного умножения.

Формулы сокращенного умножения позволяют выполнять расчеты намного быстрее.

Наиболее часто используемые формулы сокращенного умножения:

(

a + b ) ² = a ² + 2 ab + б ²

(

а — б ) ² = а ² — 9001 7 2 аб + б ²
(
а + б + с ) ² = а ² + б ² + с ² + 2 аб 90 017 + 2 Ac + 2 Bc
а ² − б ² = ( a + b )( a − b )
(
a + b 900 17) ³ = а ³ + 3 а ² б + 3 аб ² + б ³
(
а − 90 016 б ) ³ = а ³ − 3 а ² б + 3 аб ² − б ³
а ³ + б ^{3 9 0021 = ( a + b )( a ² − a + б ² )
а ³ − б ³ = ( а − б 90 017 )( а ² + аб + б ² )
Формулы сокращенного умножения полезны для умножения или расширения алгебраических выражений. Они облегчают эффективный подсчет. Этих узоров очень много. Мы перечислим несколько ниже, которые используются чаще всего.
Квадрат суммы чисел
( a + b ) ² = a ² + 2 ab + b ^{2 9001 3} например: 31 ² = (30+1) ² = 30 ² +2×30+1 = 900+60+1 = 961
не встречается равенство: ( a + b ) ² = a ² + b ² например 25 = (3+2) ² ≠ 3
2 + 2 ² = 13
обоснование формулы счетом:
( а + б ) ² = ( а + б ) × ( а + б 90 017 ) ^{= Аа ^{+ ab + Ba + Bb = a ² + 2 ab + b ²}}
Квадрат разности чисел
( a – b ) ² = a ² – 2 ab + b ^{2 9001 3} например: 29 ² = (30-1) ² = 30 ² -2×30+1 = 900-60+1 = 841
не встречается равенство: ( a- b ) ² = a ² – b ^{2 9001 3} например 1 = (3-2) ² ≠ 3 ² – 2 ² = 5
обоснование формулы:
( а – б ) ² = ( а – б ) × (
а – б ) ^{= Аа ^{– аб – Ba + Bb = a ² – 2 ab + b ²}}
Квадрат суммы трех чисел
( a + b + c ) ² = a ² + b ² + c ² + 2 ab + 2 Ac + 2 Bc
например: 111 ² = (100+10+1) ² = 100 ² + 10 ² +1 +2×100×10 + 2×100 + 2×10 = 10000 + 100 + 1 + 2000 + 200 + 20 = 12321
не встречается равенство: ( A+B + c ) ² = a ² + b ² + c ² например 36 = (3+2+1) ^{2 9002 1 ≠ 3 ² + 2 ² + 1 ² = 14}
обоснование формулы:
( а + б + в )
2 = ( а + б + с ) × ( а + б + в ) ^{= Аа ^{+ аб + Ac + Ba + Bb + Bc + ca + Cb + cc = a ² + b ² + c 9001 7 ² + 2 ab + 2 Ac + 2 до н. э.}}
Произведение суммы и разности чисел = разность квадратов чисел
( a + b )×( a – b ) = a ² – b ² например: 101×99 = (100+1)×(100-1) = 100 ² – 1 = 9999
обоснование формулы:
( а + б ) × ( а – Ь ) ^{= Аа ^{– аб + Ba – Bb = a ² – б ²}}

Куб суммы чисел
( а + б ) ³ = а ³ + 3 а ² б + 3 аб ^{2 9002 1 + b ³ например: 101 ³ = (100+1 ) ³ = ^{100 ³ + 3×100 ² + 3×100 + 1 =
= 1000000 + 30000 + 300 + 1 = 1030301}}
не встречается равенство: ( a + b ) ³ = a ³ + b ³ например 125 = (3+2) ³ ≠ 3 ³ + 2 ³ = 35
обоснование формулы счетом:
( а + б ) ³ = ( а + б ) × ( а + б 90 017 ) × ( а + б ) ^{= ( Aa ^{+ ab + Ba + Bb ) × ( a + b ) = Aa а ^{+ аб + aba + рис}}}
+ Baa ^{+ Bab + Bba + bbb =
= a ³ + 3 а ² б + 3 аб ² + б ³}
Куб разности чисел
( a – b ) ³ = a ³ – 3 а ² б + 3 ab ² – b ³ например: 99 ³ = (100-1) ^{3 90 021 = 100 ³ – 3×100 ² + 3×100 – 1 =
= 1000000 – 30000 + 300 – 1 = 970299}
Сумма кубов чисел
a ³ + b ³ = ( a + b )×( а ² – аб + б ² )
обоснование формулы:
( a + b )×( a ² – ab + b 9002 0 2 ) = Aa ² –
aab + ab ² + Ba ² – Bab + Bb ² = a ³ – а ² б + аб ² + а ² б – аб ² + б ³ =
= а ³ + б ^{3 90 021
Разность кубов чисел
a ³ – b ³ = ( a – b )×( a ² + ab + b 9002 0 2 )
обоснование формулы:} ( a – б )×( а ² + аб + б ² ) = Аа ² + ааб + аб ² – Ба ² – Баб – Вб ² = а ³ + а ² б + аб ² – 90 016 а ² б –
аб ² – б ³ =
= а ³ – б ³
Разность четвертых степеней чисел а ⁴ – 90 016 б ⁴ = ( а – б )×( а ³ + а ² б + аб ² + б ³ ) = ( а + б )×( а ³ – а ² б + аб ² – б ³ )

Сложение n -эти степени чисел (Для n нечетное!!!)
а ^н + б ⁿ = ( a + b ) ( a ⁿ ^-1 – a ⁿ ^-2 б + а ^н ^-3 б ² – … + б ⁿ ^-1 )

Разность n -эти степени чисел (Для
n даже!!!)
а ^н – б ^н = ( a + b ) ( a ⁿ ^-1 – a ⁿ ^-2 b + а ^н ^-3 б ² – … + б ^н ^-1 )

Разность n -эти степени чисел (для каждого n натуральные)
a ⁿ – б ^н = ( а – б ) ( а ^н ^-1 + а ^н ^-2 б + а ^н ^-3 б ² + … + а ² б ^н ^-3 + аб ^н ^-2 + б ^н ^-1 )
сокращенный шаблон умножения Полиномиальные тождества
Когда у нас есть сумма (разность) двух или трех чисел в степени 2 или 3, и нам нужно удалить скобки, мы используем
полиномиальные тождества (короткие формулы умножения) : (x + y) ² = x ² + 2xy + y ²
(x — y) ² = x ² — 2ху + у ²
Пример 1: Если x = 10, y = 5a
(10 + 5a) ² = 10 ² + 2·10·5a + (5a) ² = 100 + 100a + 25a ²
Пример 2: если x = 10 и y равно 4
(10 — 4) ² = 10 ² — 2·10·4 + 4 ² = 100 — 80 + 16 = 36
Верно и обратное:
25 + 20а + 4а ² = 5 ² + 2·2·5 + (2а) ² = (5 + 2а) ²
Следствия приведенных выше формул:
(-x + y) ² = (y — x) ² = y ² — 2xy + x ²
(-x — y) ² = (-(x + y)) ² = (х + у) ² = х ² + 2ху + у ²

Формулы для 3 степени:
(x + y) ³ = x ³ + 3x ² y + 3xy ² + y ³
(x — y) ^{3 900 21 = х ³ — 3х ² у + 3ху ² — у ³}
Пример: (1 + a ² ) ³ = 1 ³ + 3,1 ² . a ² +
3.1.(а ² ) ² + (а ² ) ³ = 1 + 3а ² + 3а ⁴ + а ^{6 90 021}
(x + y + z) ² = x ² + y ² + z ² + 2xy + 2xz + 2yz
(x — y — z) ^{2 9002 1 = х ² + у ² + г ² — 2xy — 2xz + 2yz}
Правила фактора
x ² — y ² = (x — y)(x + y)
x ² + y ² = (x + y) ² — 2xy
или
х ² + у ² = (х — у) ² + 2ху
Пример: 9a ² — 25b ² = (3a) ² — (5b) ² =
(3а — 5б)(3а + 5б)
x ³ — y ³ = (x — y)(x ² + xy + y ² )
x ³ + y ³ = (x + y)(x ² — xy + y ² )
Если n натуральное число
x ⁿ — y ⁿ = (x — y)(x ^n-1 + x ^n-2 y +.}