cart-icon Товаров: 0 Сумма: 0 руб.
г. Нижний Тагил
ул. Карла Маркса, 44
8 (902) 500-55-04

Преобразования графиков тригонометрических функций презентация: Презентация «Преобразование графиков тригонометрических функций» 10 класс скачать

Содержание

Преобразования графиков тригонометрических функций 10 класс | Презентация к уроку по алгебре (10 класс) по теме:

Опубликовано 18.03.2013 — 23:45 — Мрясева Ольга Зосимовна

При подготовке к урокам часто возникает необходимость демонстрации графиков функций для повторения ранее пройденного, для пояснения решения той или иной задачи. Очень много времени приходится тратить  учителю на построение таких графиков, особенно, если при этом не пользоваться специальными программами. Много времени уходит и на построение графиков на доске, не всегда такие графики эстетически привлекательны.

Я подготовила презентацию к уроку алгебры и началам анализа в 10 классе по теме «Преобразования графиков тригонометрических функций». Презентация содержит множество графиков, выполненных с помощью графопостроителя (приложение для Microsoft Word).

Скачать:

Реклама

Подтяните оценки и знания с репетитором Учи.
ру

За лето ребенок растерял знания и нахватал плохих оценок? Не беда! Опытные педагоги помогут вспомнить забытое и лучше понять школьную программу. Переходите на сайт и записывайтесь на бесплатный вводный урок с репетитором.

Вводный урок бесплатно, онлайн, 30 минут

Записаться >

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Слайд 1

10 класс Преобразования графиков тригонометрических функций Материал к уроку подготовила учитель математики и информатики МБОУ «СОШ № 6» г. Усинска Мрясева Ольга Зосимовна

Слайд 2

Пояснительная записка При подготовке к урокам часто возникает необходимость демонстрации графиков функций для повторения ранее пройденного, для пояснения решения той или иной задачи. Очень много времени приходится тратить учителю на построение таких графиков, особенно , если при этом не пользоваться специальными программами . Много времени уходит и на построение графиков на доске, не всегда такие графики эстетически привлекательны. Я подготовила презентацию к уроку алгебры и началам анализа в 10 классе по теме « Преобразования графиков тригонометрических функций». Презентация содержит множество графиков, выполненных с помощью графопостроителя (приложение для Microsoft Word).

Слайд 3

Задача 1 Зная график функции у = f(x) , построить график функции у = mf(x) , m>1 Растяжение от оси х с коэффициентом 3 Х У

Слайд 4

Задача 2 Зная график функции у = f(x) , построить график функции у = mf(x) , 0

Слайд 5

Задача 3 Зная график функции у = f(x) , построить график функции у = mf(x) , где m= -1 Преобразование симметрии относительно оси Х У Х

Слайд 6

Задача 4 Зная график функции у = f(x) , построить график функции у = f( к x) , где к >0 Сжатие к оси ординат с коэффициентом 2 У Х

Слайд 7

Задача 5 Зная график функции у = f(x) , построить график функции у = f( к x) , где 0

Слайд 8

Задача 6 Зная график функции у = f(x) , построить график функции у = mf( к x) , где m

Слайд 9

Проверь себя Установите соответствие Х У

Слайд 10

1 2 3 4 Проверь себя Установите соответствие

Слайд 11

Самостоятельная работа 1 вариант 2 вариант Построить график функции у= 3cos(-2x) Построить график функции у= -3cos2x

Слайд 12

Решение 1 вариант у= 3cos(-2x) У Х

Слайд 13

Решение 2 вариант у= -3cos2x У Х

Слайд 14

Литература А. Г. Мордкович, Алгебра и начала математического анализа, 2009, п.13. Для построения графиков использован Графопостроитель ( приложение для Microsoft Word )


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

ЦОР «Преобразование графиков тригонометрических функций» 10-11 классы

Раздел учебной программы:«Тригонометрические функции».Тип урока:цифровой образовательный ресурс комбинированного урока алгебры. По форме изложения материала:Комбинированный (универсальный) ЦОР со…

Мини-исследование по теме «Преобразование графиков тригонометрических функций», 10 класс

Цель исследования — выяснить изменение графиков тригонометрических функций в зависимости от коэффициентов….

Преобразования графиков тригонометрических функций в среде Microsoft Excel. Свойства функций.

Интегрированный (математика+информатика) урок. Цель урока: актуализация знаний и навыков учащихся по темам «Графики тригонометрических функций. Свойства функций». Развитие навыка применять знания в но. ..

Преобразования графиков тригонометрических функций в среде Microsoft Excel. Свойства функций.

Интегрированный (математика+информатика) урок. Цель урока: актуализация знаний и навыков учащихся по темам «Графики тригонометрических функций. Свойства функций». Развитие навыка применять знания в но…

Преобразования графиков тригонометрических функций в среде Microsoft Excel. Свойства функций.

Интегрированный (математика+информатика) урок. Цель урока: актуализация знаний и навыков учащихся по темам «Графики тригонометрических функций. Свойства функций». Развитие навыка применять знания в но…

Интегрированный урок Преобразование графиков тригонометрических функций 10 класс

Интегрированный урок: математика+информатика…

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. РАБОТА С ГОТОВЫМИ ГРАФИКАМИ.

Конспект урока в 10 классе. А.Н. Колмогоров…


Поделиться:

 

Преобразование графиков тригонометрических функций и их свойства презентация, доклад

Слайд 1
Текст слайда:

ТЕМА:
Преобразование графиков
тригонометрических
функций
и их свойства

Учитель МОУ ГСОШ
Митряшина Е. И.


Слайд 2
Текст слайда:

Характеристика преобразований графиков функций у=mf(x), y=f(kx) из графика функции y=f(x)

1. Если известен график функции y=f(x), то график функции y=f(kx) строится посредством сжатия по оси Оx исходного графика пропорционально коэффициенту k при аргументе, а именно:
-если k>1, то сжатие в k раз
-если 0


Слайд 3
Текст слайда:

Растяжение (сжатие) в k раз вдоль оси OX


Слайд 4
Текст слайда:

2. Если известен график функции y=f(x), то график функции y=kf(x)строится посредством растяжения вдоль оси Оy исходного графика, пропорционально коэффициенту в k раз, а именно:
-если m>0, то растяжение в k раз
-если 0


Слайд 5
Текст слайда:

Растяжение (сжатие) в k раз вдоль оси OY


Слайд 6
Текст слайда:

3. Если известен график функции y=f(x), то график функции y=f(x+m) строится посредством сдвига по оси Оx исходного графика(координатной оси) на m единиц, а именно:
-если m>0, то сдвиг на m единиц влево
-если m


Слайд 7
Текст слайда:

Параллельный перенос вдоль оси OX


Слайд 8
Текст слайда:

4. Если известен график функции y=f(x), то график функции y=f(x)+m строится посредством сдвига по оси Оy исходного графика(координатной оси) на m единиц, а именно:

-если m>0, то сдвиг на m единиц вверх
-если m


Слайд 9
Текст слайда:

Параллельный перенос вдоль оси OY


Слайд 10
Текст слайда:

5. График функции y=f(|x|) получается из графика = y=f(x) следующим образом:
Часть графика лежащая над осью Ох сохраняется, а его часть лежащая под осью Ох отображается симметрично относительно оси Оy


Слайд 11
Текст слайда:

График функции y=f(|x|)


Слайд 12
Текст слайда:

6. График функции y=|f(x)| получается из графика = y=f(x) следующим образом:
Часть графика лежащая над осью Ох сохраняется, а его часть лежащая под осью Ох отображается симметрично относительно оси Ох


Слайд 13
Текст слайда:

График функции y=|f(x)|


Слайд 14
Текст слайда:

7. Чтобы построить график функции y=|f(|x|)| надо: построить график функции y=f(x) при x≥0. Отобразить полученную часть симметрично относительно оси Оy. Участки полученного графика, лежащие ниже оси Ox зеркально отобразить относительно этой оси


Слайд 15
Текст слайда:

График функции y=|f(|x|)|


Слайд 16
Текст слайда:

Характеристика графика гармонического колебания

(y=mf(kx+a)+b)

Построение графика этой функции осуществляется в несколько этапов:
Осуществим параллельный перенос системы координат, поместив начало новой системы х‘у’ в точку О’ (- ; 0)
2. В системе х‘у’ построим график функции у’=sin x (при этом можно ограничиваться одной полуволной)

3. Осуществим сжатие или растяжение последнего графика от оси у’ с коэффициентом А, получим требуемый график.


Слайд 17
Текст слайда:

Функция синус

Область определения функции — множество R всех действительных чисел.
Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. синус функция — ограниченная.
Функция нечетная: sin(−x)=−sin x для всех х ∈ R. График функции симметричен относительно начала координат.
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π:
sin(x+2π·k) = sin x, где k ∈ Z для всех х ∈ R.
sin x = 0 при x = π·k, k ∈ Z.
sin x > 0 (положительная) для всех x ∈ (2π·k, π+2π·k), k ∈ Z.
sin x Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках:
Функция убывает от −1 до 1 на промежутках:
Наибольшее значение функции sin x = 1 в точках:
Наименьшее значение функции sin x = −1 в точках:


Слайд 18
Текст слайда:

Функция косинус

Область определения функции — множество R всех действительных чисел.
Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. косинус функция — ограниченная.
Функция четная: cos(−x)=cos x для всех х ∈ R. График функции симметричен относительно оси OY.
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π:
cos(x+2π·k) = cos x, где k ∈ Z для всех х ∈ R.
cos x = 0 при

cos x > 0 для всех

cos x

Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках:
Функция убывает от −1 до 1 на промежутках:
Наибольшее значение функции sin x = 1 в точках:
Наименьшее значение функции sin x = −1 в точках:


Слайд 19
Текст слайда:

Функция тангенс

Область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме

Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. тангенс — функция неограниченная.
Функция нечетная: tg(−x)=−tg x для всех х из области определения. График функции симметричен относительно оси OY.
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π, т.е. tg(x+π·k) = tg x, k ∈ Z для всех х из области определения.
tg x = 0 при

tg x > 0 для всех

tg x

Функция возрастает на промежутках:


Слайд 20
Текст слайда:

Функция котангенс

Область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме чисел
Множество значений функции — вся числовая прямая, т. е. котангенс — функция неограниченная.
Функция нечетная: ctg(−x)=−ctg x для всех х из области определения. График функции симметричен относительно оси OY.
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π, т.е. ctg(x+π·k)=ctg x, k ∈ Z для всех х из области определения.

ctg x = 0 при
ctg x > 0 для всех
ctg x Функция убывает на каждом из промежутков


Скачать презентацию

Урок с мультимедийным сопровождением в виде презентации на тему: «Преобразование графиков тригонометрических функций»

 

УРОК АЛГЕБРЫ ПО ТЕМЕ«ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ»

для студентов первого курса

специальности

070602 «Дизайн (по отраслям)»


построение графиков тригоном.функций
PPT / 116.5 Кб

Тип урока

Объяснения нового материала и первичного закрепления полученных знаний.

Тема:

Построение графиков тригонометрических функций.

Цели урока:

образовательная

— формирование знаний о видах преобразований графиков функций и умений применять их при построении графиков тригонометрических функций;

— закрепление знаний о свойствах тригонометрических функций, их использовании при построении графиков

воспитательная

-развитие интереса к изучаемому предмету, формирование чувства коллективизма, аккуратности

развивиающая

Развитие умений сравнивать, выявлять закономерности, обобщать;

Оборудование:

Доска, мел, цветные мелки, компьютер, мультимедийный проектор, экран, раздаточные материалы(задания для самостоятельной работы), учебник.

Структура урока:

Оргмомент (1 мин)

Слово учителя

    2.1.Сообщение темы и постановка задачи урока (2 мин.)

    2.2.Опрос (8 мин.)

    2.3.Ознакомление с новым материалом. (10мин.)

    Решение задач (11 мин. ) по учебнику

    Самостоятельная работа (10 минут)

    Объявление домашнего задания(1 мин.)

    Подведение итогов урока (2 мин.)

      Ход урока.

      I Оргмомент (1 мин)

      II Слово учителя

      2.1.Преподаватель сообщает тему урока и формулирует одну из задач урока,:

      знать, как, используя графики функций y=cos x и y= sin x, построить графики некоторых тригонометрических функций и уметь выполнить это практически, знакомит со структурой урока.

      2.2 Вспомним некоторые свойства функций:

      Какие функции называются четными, нечетными?

      Функция f называется четной, если для любого х из ее области определения f(-х) = f(х)

      Функция f называется нечетной, если для любого х из ее области определения f(-х) = — f(х)

        Как расположены графики четной и нечетной функции относительно системы координат?

        График четной функции симметричен относительно оси ординат.

          График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

            Какие из тригонометрических функций являются четными?

            Какие функции называются периодическими?

            Функцию f называют периодической с периодом Т 0, если для любого х из области определения значения этой функции в точках х, х-Т, х+Т равны, т.е. f(х-Т) = f(Т) = f(х+Т).

              Какие из тригонометрических функций являются периодическими?

              Функция у = cos х является периодической с периодом 2

              Функция у = sin х является периодической с периодом 2

              Функции у = tg х и у = сtg х являются периодическими с периодом

                2.3. Рассмотрим некоторые преобразования функций.

                Для построения графика функции у = f (x)+а, где а- постоянное число, надо переместить график а на вектор (0;а).

                Для построения графика функции у = к f (x) надо растянуть график функции у = f (x) в

                к раз вдоль оси ординат (задача 1).

                График функции у = f (x — а) получается из графика f переносом вдоль оси абсцисс на вектор (а,0) , (если а>0, то вектор направлен в положительном направлении оси абсцисс) (задача 2).

                Для построения графика функции у = f (x/к) надо подвергнуть график функции f растяжению с коэффициентом к вдоль оси абсцисс

                  (задача 3).

                  Преподаватель замечает, что преобразования можно выполнять с графиками любых функций, а в частности с графиками тригонометрических функций (на этом этапе используются слайды № 2-8).

                  В ходе этого этапа учащиеся под руководством учителя переходят к

                  осуществлению задачи урока. Рассматривает, как именно меняется график функции при том или ином преобразовании. Идет обсуждение, с помощью каких известных преобразований построить графики следующих функций

                  y = 3 cos x (слайды №9, 10),

                  у = cos (x -) (слайд №11),

                  y = cos 2 x (слайд №12) ,

                  y = — sin x +1 (слайды №13,14).

                  Последний график рисуется на доске. Используются материалы слайдов

                  с объяснением преподавателя.

                  III. Решение задач

                  После обсуждения выполняется практическая работа по построению графиков. В ходе этого этапа используется учебник «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» А. Н.Колмогоров.

                  Постройте графики следующих функций:

                   

                  № 104 стр. 62

                  б) f (x) = — 2 sin 2x

                   

                  № 112 стр. 63

                  г) f (x) = 1,5 cos ( — x)

                  К доске выходят двое студентов, которые изображают графики заданных функций у доски на заранее приготовленных системах координат, на которых графики 2-х основных тригонометрических функций y = cos x, y = sin x .

                  IV. Самостоятельная работа

                  Студенты выполняют самостоятельную работу, в которой 2 задания по построению графиков тригонометрических функций.

                  1 вариант

                  2 вариант

                  Постройте графики следующих функций

                  1. у = sin2х

                  1. у = sin х

                  2. у = 1+ 2 cos (x +)

                  2. . у = 2 — cos (x —)

                  Домашнее задание.

                    Выполнить задания, аналогичные рассмотренным на уроке по учебнику А.Н.Колмогорова :

                    № 105 (а,г) стр.62

                    № 112 (а,в) стр.63

                    Подведение итогов урока

                      Подводятся итоги урока. Объявляются оценки. Студенты сдают на проверку свои работы.

                      /data/files/d1528401454.ppt (построение графиков тригоном.функций)

                      Опубликовано в группе «УРОК.РФ: группа для участников конкурсов»

                      Преобразование графиков тригонометрических функций

                    1. Усвоение учащимися новых способов построения графиков тригонометрических функций.
                    2. Применение полученных знаний в новой ситуации.
                    3. II. Развивающие:

                      • Развитие пространственного воображения.
                      • Развитие умений обобщать и делать выводы.
                      • Развитие умений нахождения причинно-следственных связей.

                      III. Воспитательные:

                      • Привитие навыков доброжелательного общения, взаимопомощи, само- и взаимооценки.
                      • Формирование у учащихся способов решения проблемных ситуаций в процессе коллективной работы в малых группах;
                      • Воспитание аккуратности при оформлении решения задач, как в тетрадях, так и на доске, точности оформления и чтения графиков.

                      Задачи:

                      1. учебно-познавательные задачи, направленные на формирование умений и навыков по освоению систематических знаний:
                        • отработка понятия функции y=sinx, её основных свойств;
                        • разработка алгоритма построения графиков функции y=a·sin (bx + φ) +c
                        • применение полученного алгоритма для решения учебных задач.
                      2. учебно-познавательные задачи, направленные на формирование навыка самостоятельного приобретения и интеграции знаний:
                        • использование логических операций сравнения, анализа, синтеза, обобщения;
                        • установление причинно-следственных связей при построении графиков;
                        • представление известной информации в новой форме;
                      3. учебно-практические задачи, направленные на формирование навыка разрешения проблемных ситуаций:
                        • выбор оптимального способа решения;
                        • формирование навыка сотрудничества при работе в малой группе;
                      4. учебно-практические задачи, направленные на формирование навыка коммуникации:
                        • проведение рассуждений,
                        • формулировка и обоснование гипотезы,
                        • формирование отчёта,
                        • высказывание оценочных суждений,
                      5. учебно-практические и учебно-познавательные задачи, направленные на формирование навыка самоорганизации и саморегуляции:
                        • планирование этапов работы,
                        • распределение обязанностей,
                        • осуществление контроля выполнения работы;
                      6. учебно-практические и учебно-познавательные задачи, направленные на формирование навыка рефлексии:
                        • анализ собственной учебной деятельности при установлении соответствия полученных результатов учебной задаче, целям и способам действий,
                        • выявлении позитивных и негативных факторов, влияющих на результаты и качество выполнения задания;

                      Основные этапы урока:

                      1. Организационный момент.
                      2. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний.
                      3. Обсуждение различных видов преобразований графиков функций на плоскости
                      4. Построение графиков тригонометрических функций с помощью преобразований на плоскости.
                      5. Домашнее задание.
                      6. Рефлексия. Подведение итогов урока.

                      Ученики делятся на 4 группы, каждой группе дается лист самооценки (Приложение 1) в который они выставляют себе баллы за каждый правильный ответ и в конце урока выставят себе оценку.

                      I. Тема урока: Преобразование графиков тригонометрических функций.

                      Цели урока:

                      • научиться строить графики тригонометрических функций с использованием преобразований на плоскости;
                      • систематизировать материал по данной теме;

                      II. Повторение.

                      — Какие тригонометрические функции вы знаете?

                      Назовите свойства функции у=sinx:

                      Область определения (-∞;+∞)

                      Область значения [-1;1]

                      Функция нечетная, периодическая

                      Период равен 2π

                      Задание: найдите область значения функции y=2sinx+3

                      -1≤sinx≤1

                      -2≤2sinx≤2

                      1≤2sinx+3≤5

                      Что произошло с областью значений?

                      Мы видим, что когда мы делаем какое — либо преобразование функции, область значений меняется.

                      III. Постановка проблемы.

                      Построить график функции y=2sin2(x + п/2) – 3

                      Мы с вами строили графики тригонометрических функций по точкам, это долговременный процесс. Мы должны с вами выработать алгоритм построения графиков тригонометрических функций, который позволит «отойти» от построения графика по точкам. Сейчас мы попробуем постепенно найти этот способ, используя способ построения по точкам.

                      Для этого вам предлагается построить графики следующих функций привычным способом, т.е. по точкам. Сравнить их с графиком функции у= sinx , найти закономерности, которые позволят выполнить преобразования графика у= sinx без построения по точкам.

                      Для этого проведем подготовительную работу по преобразованию графиков функций (параллельный перенос вдоль осей ох, оу), которая организована в группах.

                      Для интенсивной работы вы можете распределить обязанности в группе таким образом что бы каждый отвечал за свою работу.

                      1 группа: построить график функции у= sinx+2 и у= sinx-3

                      2 группа: построить график функции у= sin(x- π/3) у= sin(x+π/2)

                      3 группа: построить график функции у= 3sinx у= 0,5sinx

                      4 группа: построить график функции у= sin2x у= sin1/3x

                      — 1 группа: Какие изменения первого и второго графика по сравнению с графиком у= sinx вы обнаружили? (На экране появляются каждый из графиков).

                      Учащиеся делают вывод: у=sinx±n получен с помощью сдвига вдоль оси ОУ на n единиц вверх или вниз

                      -2 группа: Какие изменения первого и второго графика по сравнению с графиком

                      у= sinx вы обнаружили? (На экране появляются каждый из графиков). Вывод: y=sin(x±m) — сдвиг вдоль оси ОХ на m единиц влево или вправо

                      -3 группа: Какие изменения первого и второго графика по сравнению с графиком

                      у= sinx вы обнаружили? (На экране появляются каждый из графиков). Вывод: y=b sin x, b›0 0≤b≤1 сжатие к оси ОХ, b›1 растяжение от оси ОХ в b раз

                      -4группа: Какие изменения первого и второго графика по сравнению с графиком

                      у= sinx вы обнаружили? (На экране появляются каждый из графиков). Вывод: у = sin kx, k›0, 0≤k≤1 растяжение от оси ОУ, k›1 сжатие к оси ОУ в k раз

                      IV. Теперь вернемся к графику y=2sin2(x + п/2) – 3

                      и посмотрим, какие этапы можно использовать при построении данного графика и построим его.

                      Ученики строят у доски (по этапам)

                      V. Домашняя работа на листочках у каждого ученика по уровням и комментарий.

                      Постройте графики функции

                      1. y=0,5sin(x + п/4)
                      2. а) y=3cos(x- п/2)
                        б) y=2cos2(x – п/3) – 3
                      3. Учебник математики Колмогоров: пункт 7 гармонические колебания, страница 60, прочитать и привести примеры где встречаются и применяются гармонические колебания

                      VI. Итоги урока.

                      слайд 12, 13

                      Самооценка на листах.

                      Презентация

                      Преобразование графиков функций

                      Преобразование графиков функций

                      В этой статье я  познакомлю вас с линейными преобразованиями графиков функций и покажу, как с помощью этих преобразований из графика функции получить график функции 

                      Линейным преобразованием функции  называется преобразование самой функции и/или ее аргумента к виду , а также преобразование, содержащее модуль аргумента и/или функции.

                      Наибольшие затруднения при построении графиков с помощью линейных преобразований вызывают следующие действия:

                      1.  Вычленение базовой функции, собственно, график которой мы и преобразовываем.
                      2. Определения порядка преобразований.

                      Именно на этих моментах мы и остановимся подробнее.

                      Рассмотрим внимательно функцию

                      В ее основе лежит функция . Назовем ее базовой функцией.

                      При построении графика функции  мы совершаем преобразования графика базовой функции  .

                      Если бы  мы совершали преобразования функции   в том же порядке , в каком находили ее значение  при определенном значении аргумента, то

                      • сначала мы бы нашли значение выражения, стоящего под знаком корня: . Обозначим это выражение . Назовем преобразование  внутренним преобразованием, или преобразованием аргумента.
                      • затем мы бы нашли значение  базовой функции  в этой точке: 
                      • после этого мы бы совершили преобразование самой функции: . Назовем его внешним преобразованием, или преобразованием функции.

                      Рассмотрим какие виды линейных преобразований аргумента и функции существуют, и как их выполнять.

                      Преобразования аргумента.

                      1. f(x)  f(x+b)

                      1. Строим график фунции 

                      2. Сдвигаем график фунции  вдоль оси ОХ на  |b| единиц

                      •   влево, если b>0
                      •   вправо, если b<0

                      Построим график функции  

                      1. Строим график функции 

                      2. Сдвигаем его на 2 единицы вправо:

                      2. f(x)  f(kx)

                      1. Строим график фунции 

                      2. Абсциссы точек графика  делим на к, ординаты точек оставляем без изменений.

                      Построим график функции  .

                      1. Строим график функции 

                      2. Все абсциссы точек графика  делим на 2, ординаты оставляем без изменений:

                      3. f(x)  f(-x)

                      1. Строим график фунции 

                      2. Отображаем его симметрично относительно оси OY.

                       

                      Построим график функции  .

                      1. Строим график функции 

                      2. Отображаем его симметрично относительно оси OY:

                      4.  f(x)  f(|x|)

                      1. Строим график функции 

                      2. Часть графика, расположенную левее оси ОY стираем, часть графика, расположенную правее оси ОY Достраиваем симметрично относительно оси OY:

                      График функции   выглядит так:

                      Построим график функции 

                      1. Строим график функции (это график функции , смещенный вдоль оси ОХ на 2 единицы влево):

                      2. Часть графика, расположенную левее оси OY (x<0) стираем:

                      3. Часть графика, расположенную правее оси OY (x>0) достраиваем симметрично относительно оси OY:

                      Важно! Два главных правила преобразования аргумента.

                      1. Все преобразования аргумента совершаются вдоль оси ОХ

                      2. Все преобразования аргумента совершаются «наоборот» и «в обратном порядке».

                      Например, в функции   последовательность преобразований аргумента такая:

                      1. Берем модуль от х.

                      2. К модулю х прибавляем число 2.

                      Но построение графика мы совершали в обратном порядке:

                      Сначала выполнили преобразование 2. — сместили график на 2 единицы влево (то есть абсциссы точек уменьшили на 2, как бы «наоборот»)

                      Затем выполнили преобразование f(x)  f(|x|).

                      Коротко последовательность преобразований записывается так:


                      Теперь поговорим о преобразовании функции. Преобразования  совершаются

                      1. Вдоль оси OY.

                      2. В той же последовательности, в какой выполняются действия.

                      Вот эти преобразования:

                      1. f(x)f(x)+D

                      1. Строим график функции y=f(x)

                      2.  Смещаем его  вдоль оси OY  на |D| единиц

                      • вверх, если D>0
                      • вниз, если D<0

                       

                      Построим график функции 

                      1. Строим график функции 

                      2. Смещаем его вдоль оси OY на 2 единицы вверх:

                       

                      2. f(x)Af(x)

                      1. Строим график функции y=f(x)

                      2. Ординаты всех точек графика умножаем на А, абсциссы оставляем без изменений.

                       

                      Построим график функции 

                      1. Построим график функции 

                      2. Ординаты всех точек графика умножим на 2:

                      3. f(x)-f(x)

                      1. Строим график функции y=f(x)

                      2. Отображаем его симметрично относительно оси ОХ.

                       

                      Построим график функции .

                      1. Строим график функции .

                      2. Отображаем его симметрично относительно оси ОХ.

                       

                      4. f(x)|f(x)|

                      1. Строим график функции y=f(x)

                      2. Часть графика, расположенную выше оси ОХ оставляем без изменений, часть графика, расположенную ниже оси OX, отображаем симметрично относительно этой оси.

                       

                      Построим график функции 

                      1. Строим график функции . Он получается смещением графика функции   вдоль оси OY на 2 единицы вниз:

                      2. Теперь часть графика, расположенную ниже оси ОХ, отобразим симметрично относительно этой оси:

                       

                      И последнее преобразование, которое, строго говоря, нельзя назвать преобразованием функции, поскольку результат этого преобразования функцией уже не является:

                      y=f(x) |y|=f(x)

                      1. Строим график функции y=f(x)

                      2. Часть графика, расположенную ниже оси ОХ стираем, затем часть графика, расположенную выше оси ОХ достраиваем симметрично относительно этой оси.

                      Построим график  уравнения 

                      1. Строим график функции   :

                      2. Часть графика, расположенную ниже оси ОХ стираем:

                      3. Часть графика, расположенную выше оси ОХ достраиваем симметрично относительно этой оси.

                       

                      И, наконец,  предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК в котором я показываю пошаговый алгоритм построения графика функции

                      График этой функции выглядит так:

                      И.В. Фельдман, репетитор по математике.

                       

                      Презентация на тему графики тригонометрических функций. Презентация на тему «тригонометрические функции». Графики тригонометрических функций




                      X y 1 у= cosx Индивидуальный опрос (обзор материалов предыдущего дня)


                      На сайте я нашёл интересный материал «Модель биоритмов» Для построения модели биоритмов необходимо ввести дату рождения человека, дату отсчета (день, месяц, год) и длительность прогноза (кол-во дней). Как видите графиком является синусоида.

                      На сайте нашла материал о том, что траектория пули совпадает с синусоидой. Из рисунка видно, что проекции векторов на оси Х и У соответственно равны υ x = υ o cos α υ y = υ o sin α

                      На сайте math.ru/load/shkolnaja_matematika/alge bra_10_klass/grafiki_trigon/ есть материал о повороте на 360° Земли за 365 дней. Интересно, что это можно представить синусоидой. math.ru/load/shkolnaja_matematika/alge bra_10_klass/grafiki_trigon/

                      На уроках физики мы изучали колебательные движения маятника. На сайте я нашла материал о том, что колебания маятника осуществляется по кривой, называемой косинусом




                      Анатоль Франс Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом. Обед.



                      Свойства функции 1. D(tg х) =R, кроме х = П/2 + Пn, 2. E (tg х) = R. 3. Периодичная функция с основным периодом T=П. 4. Нечетная функция. 5.Возрастает на всей области определения 6.Нули функции: у(х) =0 при х= Пn, 7. Не ограничена ни сверху, ни снизу. 8. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значения. График функции y=tg x.



                      Свойства функции у =сtg х 1. D(сtg х) =R, кроме х= Пn, 2. E (сtg х) = R. 3. Периодичная функция с основным периодом T=П. 4. Нечетная функция. 5.Убывает на всей области определения 6.Нули функции: у(х) =0 при х= П/2 + Пn, 7. Не ограничена ни сверху, ни снизу. 8. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значения.


                      Тригонометрические функции

                      Слайдов: 14 Слов: 540 Звуков: 0 Эффектов: 170

                      x = cost. Презентация на тему: «Тригонометрические функции». Числовая окружность. Всем числам со знаменателем 4 соответствуют декартовы координаты. С точностью до знака в зависимости от четверти, в которой расположена точка. Синус, косинус, тангенс и котангенс. Знаки по четвертям: Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Основные тригонометрические формулы. Связь между тригонометрическими функциями углового и числового аргумента. длина дуги АМ – числовой аргумент, Угол. – Угловой аргумент. Значения тригонометрических функций. Тренировочные упражнения. Точка Р делит третью четверть в отношении 1: 5. Найдите длину дуги СР, РD, АР. — Тригонометрические функции.ppt

                      Примеры тригонометрических функций

                      Слайдов: 17 Слов: 874 Звуков: 0 Эффектов: 89

                      Тригонометрические функции. Тригонометрические функции острого угла. Прямоугольный треугольник ABC. Для некоторых углов можно записать точные значения. Связь тригонометрических функций острого угла. Тригонометрические функции двойного угла. Тригонометрические функции половинного угла. Тригонометрические функции суммы углов. Можно пользоваться так называемыми формулами приведения. Важнейшими тригонометрическими формулами являются формулы сложения. Производные всех тригонометрических функций. График функции y = sinx. График функции y = cosx. График функции y = tgx. — Примеры тригонометрических функций.ppt

                      Основные тригонометрические функции

                      Слайдов: 31 Слов: 4394 Звуков: 0 Эффектов: 0

                      Тригонометрические функции. Математическая модель. Определение четности и нечетности функции. Область определения. Множество значений тригонометрических функций. Найдите область определения функции. Область определения функции. Множество значений функции. Периодичность. Какая из функций является четной. Функция g(x). Значение. Положительный период. Свойства функции. График функции. Свойства функции y=sin x. Точки. Значения х. Промежутки. Область значений. Постройте график функции. Свойства функции y = tg (x). Функция y = tg (x). Найдите область определения. Задайте с помощью формулы функцию. — Основные тригонометрические функции.ppt

                      Алгебра «Тригонометрические функции»

                      Слайдов: 29 Слов: 961 Звуков: 0 Эффектов: 0

                      Справочник по алгебре и началам анализа. Содержание. Тригонометрия. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Тригонометрические функции числового аргумента. Тригонометрические функции углового аргумента. Формулы приведения. Таблица значений тригонометрических функций некоторых углов. Формулы преобразования тригонометрических функций. Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Формула дополнительного угла. Арксинус. Решение простейших тригонометрических уравнений. Однородные тригонометрические уравнения. — Алгебра «Тригонометрические функции».ppt

                      Свойства тригонометрических функций

                      Слайдов: 10 Слов: 544 Звуков: 0 Эффектов: 30

                      Свойства тригонометрических функций. Математическое кафе. Кроссворд. Определение каждому свойству функции. Гимнастика для глаз. Прочитайте график функции. Чтение графика функции. Физкультминутка. Перечислите свойства. Задание. — Свойства тригонометрических функций.ppt

                      Тригонометрические функции и их свойства

                      Слайдов: 21 Слов: 1504 Звуков: 0 Эффектов: 117

                      В чём сходство и различие тригонометрических функций? Проблемный вопрос: Учебный проект на тему: Ты, я и тригонометрия. Тригонометрические функции. Определение. Тригонометрические функции Числовая окружность. Уравнение числовой окружности: x2 + y2 = 1. Движение по числовой окружности происходит против часовой стрелки. Тригонометрические функции Синус и косинус. Тригонометрические функции Тангенс и котангенс. Тригонометрические функции числового аргумента. Тригонометрические функции Функция y = sin x. Линию, служащую графиком функции y = sin x, называют синусоидой. — Тригонометрические функции и их свойства.ppt

                      Тригонометрические функции углового аргумента

                      Слайдов: 21 Слов: 340 Звуков: 0 Эффектов: 92

                      Значения тригонометрических функций углового аргумента. Обобщить и систематизировать учебный материал по теме. Тригонометрические функции числового аргумента. Косинусом угла А (соs A) называется абсцисса (х) точки. Значения тригонометрических функций углов единичной окружности. Значения тригонометрических функций основных углов. Значения тригонометрических функций остальных углов таблицы. Знаки тригонометрических функций в четвертях единичной окружности. Формулы приведения. Задание. Самостоятельная работа. — Тригонометрические функции углового аргумента.ppt

                      Графики тригонометрических функций

                      Слайдов: 23 Слов: 930 Звуков: 0 Эффектов: 89

                      Графики тригонометрических функций. Тригонометрические функции. Графиком функции у = sin x является синусоида. y=sin x. Свойства функции у = sin x. y = sin x. Свойства функции у=sin x. 6. Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутках вида: [-p/2+2pn; p/2+2pn], n?Z. Промежутки монотонности: функция убывает на промежутках вида: , n?Z. Свойства функции у =sin x. 7. Точки экстремума: Хмах= p/2 +2pn, n?Z Хмin= -p/2 +2pn, n?Z. 8. Область значений: Е(у) = [-1;1]. Преобразование графиков тригонометрических функций. Постройте график Функции у =sin(x+p/4). — Графики тригонометрических функций.ppt

                      Преобразование тригонометрических графиков

                      Слайдов: 20 Слов: 978 Звуков: 0 Эффектов: 34

                      Преобразование графиков тригонометрических функций. Характеристика преобразований графиков функций. Растяжение. График функции. Сжатие. График функции y=f(x). Параллельный перенос. График функции y=f(x)+m. Перенос. Y=f(x). График функции y=f(|x|). Часть графика. График функции y=|f(x)|. Участки полученного графика. График функции y=|f(|x|)|. Характеристика графика гармонического колебания. Функция синус. Функция косинус. Функция тангенс. Функция котангенс. — Преобразование тригонометрических графиков.ppt

                      Построение графиков тригонометрических функций

                      Слайдов: 22 Слов: 549 Звуков: 0 Эффектов: 26

                      Преобразование графиков. Формирование знаний. Применение программы MS Excel. Графики функций. Построение графика функции. Параллельный перенос графика. Построение графика. Перенос графика вдоль оси Ох. У2 = sinx + 2. Y1 = sinx. Y = sin(x + 1,5) +2. Построение. У=аf(x). У2 = 2sinx. Y = 2sin(x + 1,5) + 2. Постройте самостоятельно графики. Y=sin(x — 0,75) + 2. У = 2,5cos(x + 1,5)-1. График функции y=f(x + t) + m. — Построение графиков тригонометрических функций.ppt

                      Преобразование графиков тригонометрических функций

                      Слайдов: 17 Слов: 245 Звуков: 0 Эффектов: 0

                      Урок-презентация «Графики тригонометрических функций. Преобразование графиков». Оборудование урока: компьютер, проектор, экран. Цели: Обобщить знания и умения. Развить умение наблюдать, сравнить, обобщать. Воспитать познавательную активность, упорство в достижения цели. Вводное слово учителя. Подробно остановимся на графиках тригонометрических функций. «Графики тригонометрических функций». Обзор тригонометрических функций. Y=sinx Y=cosx. Ученик первый. 1.Функция синус. 2.Функция косинус. Ученик второй. Обзор тригонометрических функций. y=tgx y=ctgx. — Преобразование графиков тригонометрических функций.ppt

                      Функция y sinx

                      Слайдов: 11 Слов: 926 Звуков: 0 Эффектов: 438

                      Свойства и график функции СИНУС. Устная разминка. cos90°. sin90°. sin(?/4). cos180°. sin270°. sin(?/3). cos(?/6). cos360°. ctg(?/6). tg(?/4). sin(3?/2). cos(2?). cos(-?/2). cos(?/3). cos(??). Назовите функции, графики которых изображены на рисунке. y = cosx. Построение графика y = sin x. y = = sinx. P — шесть клеток. Построение графика функции y = sinx с применением тригонометрического круга. P — три клетки. Создание шаблона графика функции y = sinx. Ось синусов. sin0 = 0. sinp = 0. sin(-p) = 0. Основные свойства функции у=sinx. Область определения. — Множество R всех действительных чисел. — Функция y sinx.pptx

                      Функция y=cos x

                      Слайдов: 37 Слов: 3604 Звуков: 0 Эффектов: 209

                      Функция y = cos x. Построение графика функции y = cos x. Построение графика. Как использовать периодичность и четность при построении. Найдем несколько точек для построения графика. Распространим полученный график на всей числовой прямой. График функции. Как найти область определения. Область определения. Множество значений. Периодичность. Четность, нечетность. Возрастание, убывание. Нули функции, положительные и отрицательные значения. Свойства функции y = cos x. Преобразование графика функции y = cos x. Y = cos x + A. Y = cos x + A (свойства). Y = k · cos x. Y = k · cos x (свойства). — Функция y=cos x.ppt

                      Функция тангенса

                      Слайдов: 12 Слов: 570 Звуков: 0 Эффектов: 183

                      Свойства функции у = tg х и ее график. Цели урока. Обл. определения. Функция y=tg x возрастает. Построение графика функции y=tg x. Свойства функции y=tg x. Функция у=tgx не определена. Множество значений функции. Найти все корни уравнения. Найти все решения неравенства. — Функция тангенса.ppt

                      Функции тангенса и котангенса

                      Слайдов: 14 Слов: 681 Звуков: 0 Эффектов: 0

                      Свойства функций. Функция y = tgx. График. Дробь. Построение графика. Основные свойства. Значение. Корни уравнения. Решения. Числа. Свойства функции у=tgx. у=ctgx. Основные свойства функции. График функции у=ctgx. — Функции тангенса и котангенса.ppt

                      Аркфункции

                      Слайдов: 22 Слов: 481 Звуков: 0 Эффектов: 67

                      Обратные тригонометрические функции. Функция. Равенство. Тригонометрические функции. Область определения. Область определения функции. Определение. Arccos t. Arctg t. Arcctg t = a. Определения. Область значений. Множество действительных чисел. У = arcctgх. Arccosx. Выражение. Найдите значения выражений. Arctgx. Свойства аркфункций. Графический метод решения уравнений. Функционально-графический метод решения уравнений. — Аркфункции.ppt

                      Обратные тригонометрические функции

                      Слайдов: 22 Слов: 676 Звуков: 0 Эффектов: 23

                      Обратные тригонометрические функции. Из истории тригонометрических функций. Древняя Греция.III в до н. э. Евклид, Аполоний Пергский. Отношения сторон в прямоугольном треугольнике. Ок. 190 до н. э Гиппарх Никейский. Абу-аль-Ваф ввел тригонометрические функции тангенс и котангенс. Карл Шерфер ввел современные обозначения для обратных тригонометрических функций. Функция y = arcsinx является строго возрастающей. Свойства функции y = arcsin x. Арккосинусом числа m называется такой угол x, для которого: Функция y= arccosx является строго убывающей. Свойства функции y = arccos x . — Обратные тригонометрические функции.ppt

                      Свойства обратных тригонометрических функций

                      Слайдов: 26 Слов: 576 Звуков: 0 Эффектов: 98

                      Элективный курс по математике. Обратные тригонометрические функции. Решение уравнений. Исследовательская работа. Вычислить. Устные упражнения. Укажите область определения функции. Укажите область значений функции. Найдите значение выражения. Решение. Решим систему уравнений. Слагаемое. Исходное уравнение. Тройка удовлетворяет исходному уравнению. Повторение. Аркфункции. Работа в группах. Решить уравнения. —

                      Cлайд 1

                      Cлайд 2

                      Содержание Введение……………. …………………………….. …….3-5слайд Начало изучения……………………………………….6-7 слайд Этапы изучения……………………………………………8 слайд Группы функций……………………………………………9 слайд Определение и график синуса……………………..10 слайд Определение и график косинуса………………….11 слайд Определение и график тангенса…………………..12 слайд Определение и график котангенса……………….13 слайд Обратные тр-ие функции…………………………………..14 слайд Основные формулы………………………………………15-16 слайд Значение тригонометрии……………………………………17 слайд Используемая литература………………………………….18 слайд Автор и составитель…………………………………………..19 слайд

                      Cлайд 3

                      В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом «исчисление хорд». Со временем в нее начали вкрапляться некоторые аналитические моменты. В первой половине 18-го века произошел резкий перелом, после чего тригонометрия приняла новое направление и сместилась в сторону математического анализа. Именно в это время тригонометрические зависимости стали рассматриваться как функции. Это имеет не только математико-исторический, но и методико-педагогический интерес.

                      Cлайд 4

                      В настоящее время изучению тригонометрических функций именно как функций числового аргумента уделяется большое внимание в школьном курсе алгебры и начал анализа. Существует несколько различных подходов к преподаванию данной темы в школьном курсе, и учитель, особенно начинающий, легко может запутаться в том, какой подход является наиболее подходящим. А ведь тригонометрические функции представляют собой наиболее удобное и наглядное средство для изучения всех свойств функций (до применения производной), а в особенности такого свойства многих природных процессов как периодичность. Поэтому их изучению следует уделить пристальное внимание.

                      Cлайд 5

                      Кроме того, большие трудности при изучении темы «Тригонометрические функции» в школьном курсе возникают из-за несоответствия между достаточно большим объемом содержания и относительно небольшим количеством часов, выделенным на изучение данной темы. Таким образом, проблема этой исследовательской работы состоит в необходимости устранения этого несоответствия за счет тщательного отбора содержания и разработки эффективных методов изложения данного материала. Объектом исследования является процесс изучения функциональной линии в курсе старшей школы. Предмет исследования — методика изучения тригонометрических функций в курсе алгебры и начала анализа в 10-11 классе.

                      Cлайд 7

                      Тригонометрические функции — математические функции от угла. Они важны при изучении геометрии, а также при исследовании периодических процессов. Обычно тригонометрические функции определяют как отношения сторон прямоугольного треугольника или длины определённых отрезков в единичной окружности. Более современные определения выражают тригонометрические функции через суммы рядов или как решения некоторых дифференциальных уравнений, что позволяет расширить область определения этих функций на произвольные вещественные числа и даже на комплексные числа.

                      Cлайд 8

                      В изучении тригонометрических функций можно выделить следующие этапы: I. Первое знакомство с тригонометрическими функциями углового аргумента в геометрии. Значение аргумента рассматривается в промежутке (0о;90о). На этом этапе учащиеся узнают, что sin, сos, tg и ctg угла зависят от его градусной меры, знакомятся с табличными значениями, основным тригонометрическим тождеством и некоторыми формулами приведения. II. Обобщение понятий синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов (0о;180о). На этом этапе рассматривается взаимосвязь тригонометрических функций и координат точки на плоскости, доказываются теоремы синусов и косинусов, рассматривается вопрос решения треугольников с помощью тригонометрических соотношений. III. Введение понятий тригонометрических функций числового аргумента. IV. Систематизация и расширение знаний о тригонометрических функциях числа, рассмотрение графиков функций, проведение исследования, в том числе и с помощью производной.

                      Cлайд 9

                      Существует несколько способов определения тригонометрических функций. Их можно подразделить на две группы: аналитические и геометрические. К аналитическим способам относят определение функции у = sin х как решения дифференциального уравнения f (х)=-c*f(х) или как сумму степенного ряда sin х = х — х3 /3!+ х5 /5! — … 2. К геометрическим способам относят определение тригонометрических функций на основе проекций и координат радиус-вектора, определение через соотношения сторон прямоугольного треугольника и определения с помощью числовой окружности. В школьном курсе предпочтение отдается геометрическим способам в силу их простоты и наглядности.

                      Cлайд 10

                      Определение синуса Синусом угла х называется ордината точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол х (обозначается sin x).

                      Cлайд 11

                      Определение косинуса Косинусом угла х называется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол х (обозначается cos x).

                      Cлайд 12

                      Определение тангенса Тангенсом угла х называется отношение синуса угла х к косинусу угла х.

                      Cлайд 13

                      Определение котангенса Котангенсом угла х называется отношение косинуса угла х к синусу угла х.

                      Cлайд 14

                      Обратные тригонометрические функции. Для sin х, cos х, tg х и ctg х можно определить обратные функции. Они обозначаются соответственно arcsin х (читается «арксинус x»), arcos x, arctg x и arcctg x.

                      Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com


                      Подписи к слайдам:

                      Графики тригонометрических функций Функция у = sin x, ее свойства Преобразование графиков тригонометрических функций путем параллельного переноса Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и расширения Для любознательных…

                      тригонометрические функции Графиком функции у = sin x является синусоида Свойства функции: D(y) =R Периодическая (Т=2 ) Нечетная (sin(-x)=-sin x) Нули функции: у=0, sin x=0 при х =  n, n  Z y=sin x

                      тригонометрические функции Свойства функции у = sin x 5. Промежутки знакопостоянства: У >0 при х   (0+2  n ;  +2  n) , n  Z У

                      тригонометрические функции Свойства функции у= sin x 6. Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутках вида:  —  /2 +2  n ;  / 2+2  n   n  Z y = sin x

                      тригонометрические функции Свойства функции у= sin x Промежутки монотонности: функция убывает на промежутках вида:  /2 +2  n ; 3  / 2+2  n   n  Z y=sin x

                      тригонометрические функции Свойства функции у = sin x 7. Точки экстремума: Х мах =  / 2 +2  n , n  Z Х м in = —  / 2 +2  n , n  Z y=sin x

                      тригонометрические функции Свойства функции у = sin x 8 . Область значений: Е(у) =  -1;1  y = sin x

                      тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций График функции у = f (x +в) получается из графика функции у = f(x) параллельным переносом на (-в) единиц вдоль оси абсцисс График функции у = f (x)+а получается из графика функции у = f(x) параллельным переносом на (а) единиц вдоль оси ординат

                      тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций Постройте график Функции у = sin(x+  /4) вспомнить правила

                      тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций y =sin (x+  /4) Постройте график функции: y=sin (x —  /6)

                      тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций y = sin x +  Постройте график функции: y =sin (x —  /6)

                      тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций y= sin x +  Постройте график функции: y=sin (x +  /2) вспомнить правила

                      тригонометрические функции Графиком функции у = cos x является косинусоида Перечислите свойства функции у = cos x sin(x+  /2)=cos x

                      тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения График функции у = k f (x) получается из графика функции у = f(x) путем его растяжения в k раз (при k>1) вдоль оси ординат График функции у = k f (x) получается из графика функции у = f(x) путем его сжатия в k раз (при 0

                      тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения y=sin2x y=sin4x Y=sin0. 5x вспомнить правила

                      тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения График функции у = f (kx) получается из графика функции у = f(x) путем его сжатия в k раз (при k>1) вдоль оси абсцисс График функции у = f (kx) получается из графика функции у = f(x) путем его растяжения в k раз (при 0

                      тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения y = cos2x y = cos 0.5x вспомнить правила

                      тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения Графики функций у = -f (kx) и у=- k f(x) получаются из графиков функций у = f(kx) и y= k f(x) соответственно путем их зеркального отображения относительно оси абсцисс синус – функция нечетная, поэтому sin(-kx) = — sin (kx) косинус –функция четная, значит cos(-kx) = cos(kx)

                      тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения y = — sin3x y = sin3x вспомнить правила

                      тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения y=2cosx y=-2cosx вспомнить правила

                      тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения График функции у = f (kx+b) получается из графика функции у = f(x) путем его параллельного переноса на (-в /k) единиц вдоль оси абсцисс и путем сжатия в k раз (при k>1) или растяжения в k раз (при 0

                      тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения Y= cos(2x+  /3) y=cos(x+  /6) y= cos(2x+  /3) y= cos(2(x+  /6)) y= cos(2x+  /3) y= cos(2(x+  /6)) Y= cos(2x+  /3) y=cos2x вспомнить правила

                      тригонометрические функции Для любознательных… Посмотрите как выглядят графики некоторых других триг. функций: y = 1 / cos x или y=sec x (читается секонс) y = cosec x или y= 1/ sin x читается косеконс


                      По теме: методические разработки, презентации и конспекты

                      ЦОР «Преобразование графиков тригонометрических функций» 10-11 классы

                      Раздел учебной программы:«Тригонометрические функции».Тип урока:цифровой образовательный ресурс комбинированного урока алгебры. По форме изложения материала:Комбинированный (универсальный) ЦОР со…

                      Методическая разработка урока по математике:«Преобразование графиков тригонометрических функций»

                      Методическая разработка урока по математике: «Преобразование графиков тригонометрических функций» для учащихся десятого класса. Урок сопровождается презентацией….

                        Слайд 1

                        Тема: Свойства тригонометрических функций. Цели урока: 1. Повторить тему «Исследование функций». 2. Систематизировать знания о свойствах тригонометрических функций. 3. Развивать интерес к математике. 4. Воспитывать уважение друг к другу. 5. Воспитание культуры поведения в общественном месте. 5klass.net

                        Слайд 2

                        Сегодня на уроке я приглашаю вас посетить «Математическое кафе». Каждой паре предлагается сесть за отдельный столик (девушка и парень). Всем посетителям «Математического кафе» предлагается меню, которое состоит из холодных закусок, первого, второго и третьего блюда и десерта.

                        Слайд 3

                        Холодные закуски. Кроссворд «Математические термины»Задание: Необходимо вставить пропущенные буквы, если в каждой строке есть только первая и последняя буквы слова.

                        Слайд 4

                        Первые блюда. Сформулировать или дать определение каждому свойству функции 1) f(- x) = f(x) 2) f(x) = f(x – T) = f(x + T) 3) f(- x) = — f(x) 4). Если x2 > x1, то f(x2) > f(x1) 5). Точки максимума и минимума функции 6). Промежутки, в которых функция принимает либо положительные значения, либо принимает отрицательные значения 7). Если x2 > x1, то f(x2)

                        Слайд 5

                        Гимнастика для глаз

                        Зажмурьте глаза, откройте глаза (повторите 5 раз) Сделайте круговые движения глазами, головой не вращая (повторите 10 раз).

                        Слайд 6

                        Прочитайте график функции

                      • Слайд 7

                        Вторые блюда.

                        Чтение графика функции (можно использовать схему исследования графика функции). Схема исследования функции: Область определения функции Область значений функции Четность или нечетность, периодичность функции Пересечение графика функции с осями координат Промежутки знакопостоянства функции Промежутки возрастания и убывания функции Точки экстремума функции, вид экстремума (максимум или минимум), значения функции в этих точках

                        Слайд 8

                        Физкультминутка

                        Исходное положение – стоя, руки опущены вниз. На счет «раз» — поднять руки вверх, подняться; на счет «два» — вернуться в исходное положение (повторить 5 – 6 раз). Исходное положение – стоя, руки опущены вниз. На счет «раз» — поднять правую руку вверх, левую ногу отставить назад, прогнуться; на счет «два» — вернуться в исходное положение; на счет «три» — поднять левую руку вверх, отставить правую ногу назад, прогнуться; на счет «четыре» — вернуться в исходное положение (повторить 5 – 6 раз).

                      преобразований тригонометрических функций | nool

                      Перейти к основному содержанию

                      Домашняя страница Технологического института Онтарио

                      nool

                      Преобразование функций включает сдвиг, растяжение и отражение их графика. Те же правила применяются при преобразовании тригонометрических функций.

                      Вертикальные и горизонтальные сдвиги

                      Предположим, что c > 0. Чтобы получить график

                      y = f(x) + c: Сдвиньте график y = f(x) вверх на c единиц

                      y = f(x) ) — c: Сдвинуть график y = f(x) вниз на c единиц

                      y = f(x — c): Сдвинуть график y = f(x) вправо на c единиц

                      y = f (x + c): Сдвиньте график y = f(x) влево на c единиц

                      Вертикальные и горизонтальные растяжения/сжатия

                      Предположим, что c > 1. Чтобы получить график

                      y = cf(x): растянуть график y = f(x) по вертикали в c раз

                      y = 1/c f(x): сжать график y = f(x) по вертикали в c раз of c

                      y = f(cx): сжать график y = f(x) по горизонтали в c раз

                      y = f(x/c): растянуть график y = f(x) по горизонтали на коэффициент c

                      Отражения

                      Чтобы получить график

                      y = -f(x): отразите график y = f(x) относительно оси x; и

                      y = f(-x): отразить график y = f(x) относительно оси y

                      Пример 1:

                      Пример 2:

                      Объяснение урока: Преобразование тригонометрических функций

                      В этом объяснении мы узнаем, как преобразовать или растянуть тригонометрическую функцию и найти правило тригонометрической функции с учетом преобразования.

                      Напомним некоторые ключевые особенности графиков основных тригонометрических функций: функций синуса и косинуса.

                      Графики тригонометрических функций

                      Синусоидальная функция

                      При построении синуса угла относительно этого угла получается синусоида.

                      Функция косинуса

                      При построении косинуса угла относительно этого угла результат будет таким, как показано на рисунке.

                      Областью определения функций синуса и косинуса является множество действительных чисел, в то время как их диапазон [−1,1]. Обе функции являются периодическими, как показано на диаграмме, с периодом 360∘ или 2𝜋 радианы.

                      Нам нужно уметь распознавать графики этих функций, поэтому мы должны ознакомиться с их ключевыми особенностями, такими как расположение любых точки поворота, 𝑥- и 𝑦-перехваты, и уравнения любых асимптот, прежде чем рассматривать, как интерпретировать их преобразования.

                      Для нашего первого примера давайте потренируемся идентифицировать график косинуса функционировать, вспоминая свойства, которыми он обладает.

                      Пример 1. Определение изображения точки на тригонометрическом графике После преобразования

                      На рисунке показан график 𝑓(𝑥). А преобразование отображает 𝑓(𝑥) в 𝑓(𝑥)−2. Определите координаты 𝐴 после этого преобразования.

                      Ответ

                      Для начала, хотя и не обязательно, сначала определим тригонометрическая функция представлена ​​на графике. Так как граф имеет 𝑦-перехват 1, является периодическим с периодом 2𝜋 и имеет корни в 𝑥=−90∘, 90∘ и 180∘, мы можем заключить, что это должна быть функция косинуса, то есть 𝑓(𝑥)=𝑥.cos

                      В этом примере нам просто нужно определить эффект преобразования который отображает 𝑓(𝑥) на 𝑓(𝑥)−2 имеет одну точку. Мы видим, что точка 𝐴 на графике имеет координаты (180,−1)∘, что соответствует тому, что cos(180)=-1∘.

                      Следовательно, мы можем найти новую координату, найдя значение 𝑓(𝑥)−2 в точке 𝑥=180∘: 𝑓(180)−2=(180)−2=−1−2=−3,∘∘cos

                      Таким образом, карты преобразования (180,−1) к (180,−3).

                      Рассмотрим далее последствия преобразования, использованного в предыдущий пример. Мы видели, что для определенного значения 𝑥, выход 𝑓(𝑥)−2 на 2 меньше, чем вывод 𝑓(𝑥).

                      Рассмотрим, как преобразование влияет на выходы функции 𝑓(𝑥) при некоторых других значениях 𝑥.

                      𝑥 0 45∘ 90∘ 180∘
                      𝑓(𝑥)=(𝑥)cos 1 √22 0 −1
                      𝑓( 𝑥)−2=𝑥−2cos −1 √22−2 −2 −3

                      Для каждой точки мы можем видеть, что значение на 2 меньше, чем значение 𝑓(𝑥), то есть как ожидал. Если мы нарисуем это для всех возможных значений 𝑥, у нас было бы следующее.

                      Мы выделили преобразование точки 𝐴 из предыдущий пример в новую точку 𝐵. Графически это соответствует точке, смещенной по вертикали вниз на 2. На самом деле, мы можем видим, что таким образом весь граф был сдвинут вниз на 2.

                      На самом деле это результат, который мы можем обобщить. Если функция 𝑓(𝑥) отображается на 𝑓(𝑥)+𝑑 для константы 𝑑∈ℝ, это эквивалентно переводу на (0,𝑑) на графике (т. е. сдвинут вверх на 𝑑). Если 𝑑 отрицательно, как мы только что видели, то это приводит к смещению графика вниз.

                      Теперь давайте рассмотрим, что может произойти, если мы прибавим или вычтем константу от значения 𝑥  до , подставив его в функция 𝑓(𝑥)=𝑥cos, например, 𝑓(𝑥−90)∘. Напишем, как это влияет на выходы для некоторых значений 𝑥 в таблице.

                      𝑥 0 90∘ 180∘ 270∘ 360∘
                      𝑓(𝑥)=(𝑥)cos 1 0 −1 0 1
                      𝑓(𝑥−90)=(𝑥−90)∘∘cos 0 1 0 −1 0

                      Это может быть не сразу очевидно, но выходы в нижнем ряду имеют все был смещен вправо. Например, точка (180,−1)∘ (что представляет cos(180)=−1∘) был сдвинут на (270,−1)∘ (что представляет cos(270−90)=−1∘∘). Построим два графика ниже, включая смещение этой точки.

                      Как видим, график сдвинулся вправо на 90∘. То есть по вычитание 90∘ из 𝑥 напрямую, вывод был перемещен на 90∘ наоборот направление.

                      Этот результат тоже можно обобщить. Функция 𝑓(𝑥) сопоставлено с 𝑓(𝑥+𝑐), для константы 𝑐∈ℝ, его график переведен на (−𝑐,0) (т. е. сдвигается влево на 𝑐). Если 𝑐 отрицательно, как мы только что показано, это приводит к сдвигу вправо.

                      Определение: преобразования функций

                      Рассмотрим функцию 𝑓(𝑥), для вещественных констант 𝑎, 𝑏, 𝑐 и 𝑑:

                      • 𝑎𝑓(𝑥) представляет вертикальное растяжение масштабным коэффициентом 𝑎.
                      • 𝑓(𝑏𝑥) представляет горизонтальное растяжение на масштабный коэффициент 1𝑏 для 𝑏≠0.
                      • 𝑓(𝑥+𝑐) представляет собой перевод (−𝑐, 0).
                      • 𝑓(𝑥)+𝑑 представляет собой перевод (0,𝑑).

                      Можно заметить, что вертикальное растяжение с масштабным коэффициентом 𝑎, где 𝑎0, можно альтернативно представить как отражение по оси 𝑥 с последующим вертикальным растяжением масштабный коэффициент |𝑎|. Сходным образом, горизонтальное растяжение с масштабным коэффициентом 𝑎𝑏, где 𝑏0, можно представить как отражение в 𝑦-ось, за которой следует горизонтальное растяжение с масштабным коэффициентом 𝑎|𝑏|. Эти интерпретации взаимозаменяемы, но мы будем использовать первое обозначение в этом объяснителе.

                      В следующем примере мы покажем, как найти координаты точки после преобразования с использованием этих определений.

                      Пример 2. Идентификация изображения точки на тригонометрическом графике после преобразования

                      На рисунке показан график 𝑓(𝑥). Преобразование отображает 𝑓(𝑥) в 𝑓(2𝑥). Определите координаты 𝐴 после этого преобразования.

                      Ответ

                      Помните, что функция 𝑓(𝑥) отображается на 𝑓(𝑏𝑥) после горизонтальной растяжки по шкале фактор 1𝑏. С момента превращения в этот вопрос сопоставляет 𝑓(𝑥) с 𝑓(2𝑥), мы определяем 𝑏=2. Это представляет собой горизонтальное растяжение с масштабным коэффициентом 12, как показано на следующей диаграмме.

                      Поскольку график был растянут по горизонтали с масштабным коэффициентом 12, 𝑥-координата изображения точки 𝐴 будет 12×180=90∘∘ а 𝑦-координата изображения останется неизменной.

                      Координаты образа точки 𝐴 равны (90,−1)∘.

                      Стоит отметить, что мы можем проверить этот ответ, подставляя 𝑥=90∘ в 𝑓(2𝑥): 𝑓(2𝑥)=𝑓(2×90)=𝑓(180).∘∘

                      Из графика 𝑓(𝑥) видно, что 𝑓(180)=−1∘. Это 𝑦-координата изображения 𝐴.

                      В нашем третьем примере мы применим эти определения, чтобы помочь нам распознать график преобразованной функции.

                      Пример 3. Определение графика тригонометрической функции после преобразования

                      Что из следующего является графиком 𝑦=(𝑥)+1cos?

                      Ответ

                      Помните, график функции косинуса показан на рисунке.

                      Чтобы определить правильный граф, мы используем тот факт, что 𝑓(𝑥) отображается на 𝑓(𝑥)+𝑑 по переводу 𝑑 единиц в вертикальном направлении, или по вектору (0,𝑑). Это означает, что 𝑦=(𝑥)cos отображается на 𝑦=(𝑥)+1cos на единицу перевода вверх. После этого перевода 𝑦-перехват будут иметь координаты (0,2), а точки пересечения кривой с осью 𝑥 будет лежать в 180+360𝑛, для целых значений 𝑛.

                      Это опция D.

                      Будут случаи, когда функция отображается на другую функцию с помощью ряда преобразований. В этом случае существует ограниченное число ситуаций, когда порядок, в котором они выполнено неважно. Как правило, порядок имеет значение, если преобразования действуют в одном и том же направлении (другими словами, два преобразования, имеющие горизонтальный эффект).

                      Например, рассмотрим функции, определенные 2(𝑥)+1cos и 2((𝑥)+1)кос. График обеих функций представляет собой некоторое преобразование графика 𝑦=𝑥поскольку. На рис. 1 показан график 𝑦=(𝑥)cos и 𝑦=2(𝑥)+1cos, где 𝑦=2(𝑥)+1cos получается выполнением вертикальное растяжение с масштабным коэффициентом 2, а затем смещение на (0,1). На рис. 2 показан график из 𝑦=(𝑥)cos и 𝑦=2((𝑥)+1)cos, где синий график получен переводом (0,1) затем вертикальный протяжение.

                      Во избежание ошибок мы должны следовать приведенному ниже порядку.

                      Практическое руководство. Последовательность преобразований функций

                      𝑓(𝑥) отображается в 𝑎𝑓(𝑏(𝑥+𝑐))+𝑑 в следующем порядке:

                      1. Вертикальное растяжение с масштабным коэффициентом 𝑎, где 𝑎0, что приводит к отражению в 𝑥-ось
                      2. Горизонтальное растяжение с масштабным коэффициентом 1𝑏, где 𝑏0, что приводит к отражению в 𝑦-ось
                      3. Горизонтальный перевод, сделанный (−𝑐,0)
                      4. Вертикальный перевод, заданный выражением (0,𝑑)

                      Например, давайте определим серию преобразований, которые отображают 𝑦=(𝑥)грех на 𝑦=(90−𝑥)грех. Мы переписываем sin(90−𝑥) как sin(−(𝑥−90)) и использовать последовательность преобразований. Мы видим, что sin(𝑥) проходит два отдельных преобразования, чтобы отобразить его на sin(−(𝑥−90)): горизонтальное растяжение с масштабным коэффициентом 1−1=−1 с последующим горизонтальным перемещением на (90,0).

                      График 𝑦=(𝑥)sin показан на рисунке 1. Горизонтальное растяжение с масштабным коэффициентом -1 приводит к графику, показанному на рисунке 2.

                      Наконец, горизонтальное смещение на (90,0) дает график, показанный ниже.

                      Давайте продемонстрируем, как применить этот процесс, чтобы найти изображение точки на кривой.

                      Пример 4. Идентификация изображения точки на тригонометрическом графике после множественных преобразований

                      На рисунке показан график 𝑓(𝑥). Преобразование отображает 𝑓(𝑥) в 4𝑓(3𝑥−45)+1. Определите координаты 𝐴 после этого преобразования.

                      Ответ

                      Помните, 𝑓(𝑥) отображается в 𝑎𝑓(𝑏(𝑥+𝑐))+𝑑 в следующем порядке:

                      1. Вертикальное растяжение с масштабным коэффициентом 𝑎, где 𝑎0, что приводит к отражению в 𝑥-ось
                      2. Горизонтальное растяжение с масштабным коэффициентом 1𝑏, где 𝑏0, что приводит к отражению в 𝑦-ось
                      3. Горизонтальный перевод, заданный (−𝑐,0)
                      4. Вертикальный перевод, заданный выражением (0,𝑑)

                      Чтобы определить преобразование, которое отображает 𝑓(𝑥) к 4𝑓(3𝑥−45)+1, переписываем 4𝑓(3𝑥−45)+1 как 4𝑓(3(𝑥−15))+1 и пусть 𝑎=4, 𝑏=3, 𝑐=-15 и 𝑑=1. Тогда 𝑓(𝑥) подвергается следующему:

                      1. Вертикальное растяжение с масштабным коэффициентом 4
                      2. Горизонтальное растяжение с масштабным коэффициентом 13
                      3. Горизонтальный перевод, сделанный (−(−15),0)=(15,0)
                      4. Вертикальный перевод, заданный выражением (0,1)

                      Мы можем применить каждый шаг к точке 𝐴 с координатами (180,−1):

                      1. Вертикальное растяжение с масштабным коэффициентом 4 карты (180,−1) на (180,−1×4)=(180,−4).
                      2. Горизонтальное растяжение с масштабным коэффициентом 13 карт (180,−4) на 180×13,−4=(60,−4).
                      3. Горизонтальный перевод, сделанный (15,0) карты (60,−4) на (60+15,−4)=(75,−4).
                      4. Вертикальный перевод, сделанный (0,1) карты (75,−4) на (75,−4+1)=(75,−3).

                      Следовательно, координаты образа 𝐴 равны (75,−3).

                      В нашем последнем примере мы покажем, как применить этот процесс, чтобы найти график изображения функции.

                      Пример 5. Определение графика тригонометрической функции после двух преобразований

                      Что из следующего является графиком 𝑦=𝑥4−1sin?

                      Ответ

                      Напомним, что 𝑓(𝑥) отображается в 𝑎𝑓(𝑏(𝑥+𝑐))+𝑑 в следующем порядке:

                      1. Вертикальное растяжение с масштабным коэффициентом 𝑎, где 𝑎0, что приводит к отражению в 𝑥-ось
                      2. Горизонтальное растяжение с масштабным коэффициентом 1𝑏, где 𝑏0, что приводит к отражению по оси 𝑦
                      3. Горизонтальное смещение, заданное формулой (−𝑐,0)
                      4. Вертикальный перевод, заданный выражением (0,𝑑)

                      Если мы определим 𝑓(𝑥)=(𝑥)sin, то мы можем определить изображение после некоторой серии преобразований как 𝑔(𝑥)=𝑥4–1=14𝑥–1sinsin.

                      Тогда мы можем положить 𝑏=14 и 𝑑=−1, поэтому функция 𝑓(𝑥) отображается на 𝑔(𝑥) горизонтальным растяжением на масштабный коэффициент 1=4 с последующим вертикальный перевод (0,−1).

                      График 𝑦=𝑥sin показан на рисунке 1, и горизонтальный участок sin(𝑥) на a Масштабный коэффициент 4 показан на рисунке 2. Мы видим, что точка 𝐴 с координатами (90,1) отображается на 𝐴′ с координатами (360,1).

                      Наконец, этот график сдвинут на одну единицу вниз, как показано на рисунке 3. Точка 𝐴′ отображается на 𝐴′′ с координатами (360,0).

                      Это вариант B.

                      Давайте закончим повторением некоторых ключевых понятий из этого объяснения.

                      Ключевые моменты

                      • Для функции 𝑓(𝑥) и вещественных констант 𝑎, 𝑏, 𝑐 и 𝑑,
                        • 𝑎𝑓(𝑥) представляет вертикальное растяжение на масштабный коэффициент 𝑎, где 𝑎0 приведет к отражению по оси 𝑥;
                        • 𝑓(𝑏𝑥) представляет горизонтальное растяжение на масштабный коэффициент 1𝑏 для 𝑏≠0, где 𝑏0 приведет к отражение по оси 𝑦;
                        • 𝑓(𝑥+𝑐) представляет собой перевод (−𝑐, 0);
                        • 𝑓(𝑥)+𝑑 представляет собой перевод (0,𝑑).
                      • Если мы рассмотрим ряд преобразований, отображающих 𝑓(𝑥) на 𝑎𝑓(𝑏(𝑥+𝑐))+𝑑, их нужно применять в следующем порядке:
                        • Сначала вертикальное растяжение с масштабным коэффициентом 𝑎;
                        • Во-вторых, горизонтальное растяжение с масштабным коэффициентом 1𝑏;
                        • В-третьих, горизонтальный перевод, сделанный (−𝑐, 0);
                        • Наконец, вертикальный перевод, сделанный (0,𝑑).

                      Преобразование функций · Алгебра и тригонометрия

                      Преобразование функций · Алгебра и тригонометрия

                      В этом разделе вы:

                      • Графические функции с использованием вертикального и горизонтального сдвига.
                      • Графические функции, использующие отражения относительно ось x 

                        и

                        ось Y.
                      • Определите, является ли функция четной, нечетной или ни одной из ее графиков.
                      • Графические функции с использованием сжатия и растяжения.
                      • Объединить трансформации.

                      Все мы знаем, что плоское зеркало позволяет нам видеть точную картину себя и того, что находится позади нас. Когда мы наклоняем зеркало, изображения, которые мы видим, могут сдвигаться по горизонтали или по вертикали. Но что происходит, когда мы сгибаем гибкое зеркало? Подобно карнавальному зеркалу, оно представляет нам искаженное изображение нас самих, растянутое или сжатое по горизонтали или по вертикали. Подобным образом мы можем искажать или преобразовывать математические функции, чтобы лучше адаптировать их для описания объектов или процессов в реальном мире. В этом разделе мы рассмотрим несколько видов преобразований.

                      Графические функции с использованием вертикального и горизонтального сдвига

                      Часто, когда нам дают задачу, мы пытаемся смоделировать сценарий, используя математику в виде слов, таблиц, графиков и уравнений. Один из методов, который мы можем использовать, — это адаптировать базовые графики функций инструментария для построения новых моделей для заданного сценария. Существуют систематические способы изменения функций для построения подходящих моделей для проблем, которые мы пытаемся решить.

                      Определение вертикального смещения

                      Один простой вид преобразования включает сдвиг всего графика функции вверх, вниз, вправо или влево. Самый простой сдвиг — это сдвиг по вертикали на , перемещающий график вверх или вниз, потому что это преобразование включает добавление к функции положительной или отрицательной константы. Другими словами, мы добавляем одну и ту же константу к выходному значению функции независимо от входных данных. Для функции g(x)=f(x)+k, 

                      функция f(x) 

                      смещено по вертикали k 

                      шт. См. [ссылка] для примера.

                      Чтобы помочь вам наглядно представить концепцию вертикального сдвига, представьте, что y=f(x).

                      Следовательно, f(x)+k  

                      эквивалентно  y+k.

                      Каждая единица  y 

                      заменяется на  y+k, 

                      , поэтому значение y увеличивается или уменьшается в зависимости от значения  k.

                      Результат — сдвиг вверх или вниз.

                      Сдвиг по вертикали

                      Дана функция f(x),

                      новая функция g(x)=f(x)+k,

                      , где  k

                      — константа, представляет собой вертикальный сдвиг функции f(x).

                      Все выходные значения изменяются на k

                      единиц. Если k

                      положительно, график сдвинется вверх. Если k

                      отрицательно, график сдвинется вниз.

                      Добавление константы к функции

                      Для регулирования температуры в зеленом здании вентиляционные отверстия возле крыши открываются и закрываются в течение дня. [ссылка] показывает площадь открытых вентиляционных отверстий V 

                      (в квадратных футах) в течение дня в часы после полуночи, t.

                      Летом управляющий хозяйством решает улучшить регулирование температуры, увеличив количество открытых вентиляционных отверстий на 20 квадратных футов днем ​​и ночью. Нарисуйте график этой новой функции.

                      Мы можем нарисовать график этой новой функции, добавив 20 к каждому выходному значению исходной функции. Это приведет к смещению графика вертикально вверх, как показано на [ссылка].

                      Обратите внимание, что в [ссылка] для каждого входного значения выходное значение увеличилось на 20, поэтому, если мы вызовем новую функцию  S(t),

                      , мы могли бы написать

                      S(t)=V( t)+20

                      Это обозначение говорит нам, что для любого значения  t можно найти S(t) 

                      , вычислив функцию  V 

                      на тех же входных данных и затем добавив 20 к результату. Это определяет  S 

                      как преобразование функции  V, 

                      , в данном случае сдвиг по вертикали вверх на 20 единиц. Обратите внимание, что при вертикальном сдвиге входные значения остаются прежними, а изменяются только выходные значения. Смотрите [ссылка].

                      т 0 8 10 17 19 24
                      В(т) 0 0 220 220 0 0
                      С(т) 20 20 240 240 20 20

                      Учитывая табличную функцию, создайте новую строку для представления вертикального смещения.

                      1. Определите строку или столбец вывода.
                      2. Определить величину смещения.
                      3. Добавьте сдвиг к значению в каждой выходной ячейке. Добавьте положительное значение вверх или отрицательное значение вниз.

                      Сдвиг табличной функции по вертикали

                      Функция f(x) 

                      приведена в [ссылка]. Создайте таблицу для функции g(x)=f(x)−3.

                      x 2 4 6 8
                      ф(х) 1 3 7 11

                      Формула g(x)=f(x)−3 

                      говорит нам, что мы можем найти выходные значения g 

                      , вычитая 3 из выходных значений f.

                      Например:

                      f(2)=1Дано(x)=f(x)−3Дано преобразованиеg(2)=f(2)−3=1−3=−2

                      Вычитая 3 из каждого значения  f(x) 

                      , мы можем заполнить таблицу значений для  g(x) 

                      , как показано на [ссылка].

                      x 2 4 6 8
                      ф(х) 1 3 7 11
                      г(х) −2 0 4 8

                      Анализ

                      Как и в предыдущем вертикальном сдвиге, обратите внимание, что входные значения остаются прежними, а изменяются только выходные значения.

                      Функция h(t)=−4,9t2+30t 

                      дает высоту h 

                      мяча (в метрах), брошенного вверх с земли через  t 

                      секунд. Предположим, что вместо этого мяч был брошен с крыши 10-метрового здания. Свяжите эту новую функцию высоты b(t) 

                      с h(t), 

                      , а затем найти формулу для b(t).

                      b(t)=h(t)+10=−4,9t2+30t+10

                      Идентификация горизонтальных сдвигов

                      Мы только что видели, что сдвиг по вертикали — это изменение выхода или вне функции. Теперь мы посмотрим, как изменения ввода внутри функции изменяют ее график и значение. Сдвиг на входе приводит к перемещению графика функции влево или вправо в так называемом горизонтальном сдвиге , показанном в [ссылка].

                      Например, если f(x)=x2, 

                      тогда g(x)=(x−2)2 

                      — новая функция. Каждый вход уменьшается на 2 перед возведением функции в квадрат. В результате график смещается на 2 единицы вправо, потому что нам нужно было бы увеличить предыдущий ввод на 2 единицы, чтобы получить такое же выходное значение, как указано в f.

                      Горизонтальное смещение

                      Дана функция f, 

                      новая функция g(x)=f(x−h), 

                      , где h 

                      – константа, равна сдвиг по горизонтали функции f.

                      Если  h 

                      положительно, график сдвинется вправо. Если  h 

                      отрицательно, график сдвинется влево.

                      Добавление константы к входу

                      Возвращаясь к нашему примеру с воздушным потоком в здании из [ссылка], предположим, что осенью управляющий хозяйством решает, что первоначальный план вентиляции начинается слишком поздно, и хочет начать всю программу вентиляции на 2 часа раньше. Нарисуйте график новой функции.

                      Мы можем установить  V(t) 

                      в качестве исходной программы и  F(t) 

                      в качестве исправленной программы.

                      V(t)=первоначальный план вентиляцииF(t)=начало на 2 часа раньше

                      На новом графике каждый раз воздушный поток такой же, как исходная функция V 

                      через 2 часа. Например, в исходной функции  V, 

                      воздушный поток начинает изменяться в 8 часов утра, тогда как для функции  F, 

                      воздушный поток начинает изменяться в 6 часов утра. Сопоставимые значения функции:  V(8)=F(6) .

                      См. [ссылка]. Обратите также внимание на то, что вентиляционные отверстия впервые открылись до  220 ft2 

                      в 10:00 по первоначальному плану, в то время как по новому плану вентиляционные отверстия достигают  220 ft2 

                      в * * *

                      8:00, поэтому V(10)=F(8 ).

                      В обоих случаях мы видим, что, поскольку  F(t) 

                      начинается на 2 часа раньше,  h=−2.

                      Это означает, что одинаковые выходные значения достигаются, когда  F(t)=V(t−(−2))=V(t+2).

                      Анализ

                      Обратите внимание, что  V(t+2) 

                      приводит к смещению графика на оставил .

                      Горизонтальные изменения или «внутренние изменения» влияют на домен функции (вход), а не на диапазон, и часто кажутся нелогичными. Новая функция  F(t) 

                      использует те же выходные данные, что и  V(t), 

                      , но сопоставляет эти выходные данные со входными данными на 2 часа раньше, чем у  V(t).

                      Другими словами, мы должны добавить 2 часа к входу  V 

                      , чтобы найти соответствующий выход для F:F(t)=V(t+2).

                      Для заданной табличной функции создайте новую строку для представления смещения по горизонтали.

                      1. Определите входную строку или столбец.
                      2. Определите величину сдвига.
                      3. Добавьте сдвиг к значению в каждой входной ячейке.

                      Сдвиг табличной функции по горизонтали

                      Функция f(x) 

                      приведена в [ссылка]. Создайте таблицу для функции g(x)=f(x−3).

                      x 2 4 6 8
                      ф(х) 1 3 7 11

                      Формула g(x)=f(x−3) 

                      говорит нам, что выходные значения g 

                      совпадают с выходным значением f 

                      , когда входное значение на 3 меньше исходного ценность. Например, мы знаем, что f(2)=1.

                      Чтобы получить такой же результат от функции  g, 

                      нам потребуется входное значение на 3 больше . Мы вводим значение, которое на 3 больше для  g(x) 

                      , потому что функция забирает 3 перед вычислением функции  f.

                      g(5)=f(5−3)=f(2)=1

                      Продолжаем с другими значениями, чтобы создать [ссылка].

                      x 5 7 9 11
                      х-3 2 4 6 8
                      f(x–3) 1 3 7 11
                      г(х) 1 3 7 11

                      В результате функция  g(x) 

                      была сдвинута вправо на 3. Обратите внимание на выходные значения для  g(x) 

                      остались теми же, что и выходные значения для  f(x), 

                      , но соответствующие входные значения, x, 

                      сдвинулись вправо на 3. В частности, 2 сдвинулось на 5, 4 сместилось на 7, 6 сместилось на 9 и 8 заменены на 11.

                      Анализ

                      [ссылка] представляет обе функции. Мы можем видеть горизонтальное смещение в каждой точке.

                      Идентификация горизонтального сдвига функции набора инструментов

                      [ссылка] представляет собой преобразование функции набора инструментов f(x)=x2.

                      Свяжите эту новую функцию g(x) 

                      с f(x), 

                      , а затем найдите формулу для g(x).

                      Обратите внимание, что график по форме идентичен функции  f(x)=x2 

                      , но значения x- сдвинуты вправо на 2 единицы. Вершина раньше была в (0,0), но теперь вершина в (2,0). График представляет собой базовую квадратичную функцию, сдвинутую на 2 единицы вправо, поэтому

                      g(x)=f(x−2)

                      Обратите внимание, как мы должны ввести значение x=2 

                      , чтобы получить выходное значение y=0;

                      x — значения должны быть на 2 единицы больше из-за сдвига вправо на 2 единицы. Затем мы можем использовать определение функции f(x) 

                      , чтобы написать формулу для g(x) 

                      путем вычисления f(x−2).

                      f(x)=x2g(x)=f(x−2)g(x)=f(x−2)=(x−2)2

                      Анализ

                      Чтобы определить, равен ли сдвиг +2 

                      или  −2

                      , рассмотрим одну контрольную точку на графике. Для квадратичного удобно смотреть на точку вершины. В исходной функции  f(0)=0.

                      В нашей сдвинутой функции  g(2)=0.

                      Чтобы получить выходное значение 0 из функции  f, 

                      , нам нужно решить, будет ли работать знак плюс или минус, чтобы удовлетворить  g(2)=f(x−2)=f(0)=0.

                      Чтобы это работало, нам нужно вычесть 2 единицы из наших входных значений.

                      Интерпретация горизонтального и вертикального смещения

                      Функция  G(m) 

                      дает количество галлонов газа, необходимое для проезда  m 

                      миль. Интерпретировать G(m)+10 

                      и  G(m+10).

                      G(m)+10 

                      можно интерпретировать как добавление 10 к выходу в галлонах. Это количество бензина, необходимое для того, чтобы проехать  м 

                      миль плюс еще 10 галлонов бензина. График укажет на вертикальное смещение.

                      G(m+10) 

                      можно интерпретировать как добавление 10 к входным данным, миль. Таким образом, это количество галлонов бензина, необходимое для того, чтобы проехать на 10 миль больше, чем  m 

                      миль. График укажет на сдвиг по горизонтали.

                      Учитывая функцию f(x)=x, 

                      изобразите исходную функцию  f(x) 

                      и преобразование  g(x)=f(x+2) 

                      на одних и тех же осях. Это сдвиг по горизонтали или по вертикали? В какую сторону сместился график и на сколько единиц?

                      Графики для  f(x) 

                      и  g(x) 

                      показаны ниже. Преобразование представляет собой горизонтальный сдвиг. Функция смещена влево на 2 единицы.

                      Комбинация вертикального и горизонтального смещения

                      Теперь, когда у нас есть две трансформации, мы можем их объединить. Вертикальные сдвиги — это внешние изменения, влияющие на результат ( y -) значения и сдвиг функции вверх или вниз. Горизонтальные сдвиги — это внутренние изменения, которые влияют на входные ( x —) значения и сдвигают функцию влево или вправо. Сочетание двух типов сдвигов приведет к смещению графика функции вверх или вниз на 90 455 и на 90 456 влево или вправо.

                      Учитывая функцию и вертикальное и горизонтальное смещение, нарисуйте график.

                      1. Определите вертикальное и горизонтальное смещение по формуле.
                      2. Вертикальное смещение является результатом добавления константы к выходным данным. Переместите график вверх для положительной константы и вниз для отрицательной константы.
                      3. Горизонтальное смещение является результатом добавления константы к входным данным. Переместите график влево для положительной константы и вправо для отрицательной константы.
                      4. Примените сдвиги к графику в любом порядке.

                      График комбинированных вертикальных и горизонтальных сдвигов

                      Дано f(x)=\|x\|, 

                      Нарисовать график h(x)=f(x+1)−3.

                      Функция  f 

                      — это функция абсолютного значения нашего инструментария. Мы знаем, что этот график имеет форму буквы V с точкой в ​​начале координат. График  h 

                      преобразовал  f 

                      двумя способами:  f(x+1) 

                      представляет собой изменение внутри функции, дающее горизонтальный сдвиг влево на 1 и вычитание на 3 in f(x +1)−3 

                      — это изменение вне функции, дающее вертикальный сдвиг вниз на 3. Преобразование графика показано в [ссылка].

                      Проследим за одной точкой графика f(x)=\|x\|.

                      [ссылка] показывает график h.

                      Дано f(x)=\|x\|, 

                      начертить график h(x)=f(x−2)+4.

                      ![График h(x)=\|x-2\|+4.](/алгебра-тригонометрия-книга/ресурсы/CNX_Precalc_Figure_01_05_010.jpg)

                      Идентификация комбинированных вертикальных и горизонтальных сдвигов

                      Напишите формулу для графика, показанного в [ссылка], который представляет собой преобразование функции квадратного корня инструментария.

                      График функции инструментария начинается в начале координат, поэтому этот график был сдвинут на 1 вправо и вверх на 2. В обозначении функции мы могли бы записать это как

                      h(x)=f(x−1 )+2

                      Используя формулу для функции квадратного корня, мы можем написать

                      h(x)=x−1+2

                      Анализ

                      Обратите внимание, что это преобразование изменило область определения и диапазон функции. Этот новый граф имеет домен [1,∞) 

                      и диапазон [2,∞).

                      Напишите формулу преобразования обратной функции инструментария f(x)=1x 

                      , который сдвигает график функции на одну единицу вправо и на одну единицу вверх.

                      г(х)=1х-1+1

                      Графические функции с использованием отражений относительно осей

                      Другим преобразованием, которое можно применить к функции, является отражение по оси x или y . Вертикальное отражение отражает график вертикально по оси x , а горизонтальное отражение отражает график горизонтально по оси y -ось. Отражения показаны в [ссылка].

                      Обратите внимание, что вертикальное отражение создает новый график, который является зеркальным отражением базового или исходного графика относительно оси x . Горизонтальное отражение дает новый график, который является зеркальным отражением базового или исходного графика относительно оси y .

                      Отражения

                      Дана функция f(x),

                      новая функция g(x)=−f(x) 

                      является вертикальным отражением функции f(x), 

                      иногда называют отражением вокруг (или над, или сквозь) оси x .

                      Дана функция f(x), 

                      новая функция g(x)=f(−x) 

                      есть горизонтальное отражение функции f(x), 

                      иногда называемое отражением относительно у -ось.

                      Для заданной функции отразите график как по вертикали, так и по горизонтали.

                      1. Умножьте все выходные данные на –1 для вертикального отражения. Новый график является отражением исходного графика о x — ось.
                      2. Умножьте все входные данные на –1 для горизонтального отражения. Новый график является отражением исходного графика относительно оси y .

                      Отображение графика по горизонтали и вертикали

                      Отображение графика s(t)=t

                      (a) по вертикали и (b) по горизонтали.

                      1. Отражение графика по вертикали означает, что каждое выходное значение будет отражено по горизонтальной оси t-, как показано на [ссылка].

                        Поскольку каждое выходное значение противоположно исходному выходному значению, мы можем записать

                        V(t)=−s(t) или V(t)=−t

                        Обратите внимание, что это внешнее изменение или сдвиг по вертикали, который влияет на выход s(t) 

                        значений, поэтому отрицательный знак принадлежит вне функции.

                      2. Отражение по горизонтали означает, что каждое входное значение будет отражаться по вертикальной оси, как показано на [ссылка].

                        Поскольку каждое входное значение противоположно исходному входному значению, мы можем записать

                        H(t)=s(−t) или H(t)=−t

                        Обратите внимание, что это внутреннее изменение или горизонтальное изменение, влияющее на входные значения, поэтому знак минус находится внутри функции.

                        Обратите внимание, что эти преобразования могут повлиять на домен и диапазон функций. В то время как исходная функция квадратного корня имеет область определения [0,∞) 

                        и диапазон [0,∞), 

                        вертикальное отражение дает  V(t) 

                        функция диапазона (−∞, 0]

                        , а горизонтальное отражение дает  H(t) 

                        .

                        функционируют в домене (−∞, 0].

                      Отобразить график f(x)=\|x−1\|

                      (а) по вертикали и (б) по горизонтали.

                      Отражение табличной функции по горизонтали и вертикали

                      Функция f(x) 

                      дана как [ссылка]. Создайте таблицу для функций ниже.

                      1. г(х)=-f(х)
                      2. ч(х)=f(-х)
                      x 2 4 6 8
                      ф(х) 1 3 7 11
                      1. Для g(x), 

                        отрицательный знак за пределами функции указывает на вертикальное отражение, поэтому значения x остаются неизменными, и каждое выходное значение будет противоположно исходному выходному значению. Смотрите [ссылка].

                        x 2 4 6 8
                         г(х)  –1 –3 –7 –11
                      2. Для h(x), 

                        отрицательный знак внутри функции указывает на горизонтальное отражение, поэтому каждое входное значение будет противоположно исходному входному значению и  h(x) 

                        значения остаются такими же, как  f(x) 

                        значения. Смотрите [ссылка].

                        x −2 −4 −6 −8
                        ч(х) 1 3 7 11

                      Функция  f(x) 

                      дана как [ссылка]. Создайте таблицу для функций ниже.

                      1. г(х)=-f(х)
                      2. ч(х)=f(-х)
                      x −2 0 2 4
                      ф(х) 5 10 15 20
                      1. g(x)=−f(x)
                        x -2 0 2 4
                        г(х) −5 −10 −15 −20
                      2. h(x)=f(−x)
                        x -2 0 2 4
                        ч(х) 15 10 5 неизвестно

                      Применение уравнения модели обучения

                      Общая модель обучения имеет уравнение, подобное k(t)=−2−t+1, 

                      , где k

                      — процент мастерства, которого можно достичь после t

                      практических занятий. Это преобразование функции f(t)=2t

                      , показанное в [ссылка]. Нарисуйте график k(t).

                      Это уравнение объединяет три преобразования в одно уравнение.

                      • Горизонтальное отражение: f(−t)=2−t
                      • Вертикальное отражение: −f(−t)=−2−t
                      • Вертикальный сдвиг: −f(−t)+1=−2−t+1

                      Мы можем нарисовать график, применяя эти преобразования по одному к исходной функции. Проследим по двум точкам через каждое из трех преобразований. Мы выберем точки (0, 1) и (1, 2).

                      1. Сначала применим горизонтальное отражение: (0, 1) (–1, 2).
                      2. Затем применяем вертикальное отражение: (0, -1) (-1, –2)
                      3. Наконец, мы применяем сдвиг по вертикали: (0, 0) (-1, -1)).

                      Это означает, что исходные точки (0,1) и (1,2) становятся (0,0) и (-1,-1) после применения преобразований.

                      В [ссылка] первый график получается в результате горизонтального отражения. Второй результат вертикального отражения. Третий результат вертикального сдвига вверх на 1 единицу.

                      Анализ

                      В качестве модели для обучения эта функция будет ограничена областью  t≥0, 

                      с соответствующим диапазоном [0,1).

                      Учитывая функцию инструментария f(x)=x2, 

                      graph g(x)=−f(x) 

                      и h(x)=f(−x).

                      Обращайте внимание на любое неожиданное поведение этих функций.

                      Примечание:  g(x)=f(−x) 

                      выглядит так же, как  f(x)

                      .

                      Определение четных и нечетных функций

                      Некоторые функции проявляют симметрию, так что отражения приводят к исходному графику. Например, горизонтальное отражение функций инструментария f(x)=x2

                      или f(x)=\|x\|

                      приведет к исходному графику. Мы говорим, что эти типы графиков симметричны относительно оси 90 455 y 90 456 . Функция, график которой симметричен относительно y -ось называется четной функцией .

                      Если графики  f(x)=x3 

                      или f(x)=1x 

                      были отражены по обеим осям , результатом будет исходный график, как показано на [ссылка].

                      Мы говорим, что эти графы симметричны относительно начала координат. Функция с графиком, симметричным относительно начала координат, называется нечетной функцией .

                      Примечание. Функция не может быть ни четной, ни нечетной, если она не обладает ни одной из симметрий. Например, f(x)=2x 

                      не является ни четным, ни нечетным. Кроме того, единственная функция, которая одновременно является четной и нечетной, — это постоянная функция f(x)=0.

                      Четные и нечетные функции

                      Функция называется четной функцией , если для каждого входа x

                      f(x)=f(−x)

                      График четной функции симметричен относительно оси y-

                      .

                      Функция называется нечетной функцией , если для каждого входа x

                      f(x)=−f(−x)

                      График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

                      Зная формулу функции, определите, является ли функция четной, нечетной или ни одной из них.

                      1. Определить, удовлетворяет ли функция f(x)=f(−x).

                        Если да, то четно.

                      2. Определить, удовлетворяет ли функция f(x)=-f(-x).

                        Если да, то это странно.

                      3. Если функция не удовлетворяет ни одному правилу, она не является ни четной, ни нечетной.

                      Определение того, является ли функция четной, нечетной или ни одной из них

                      Является ли функция f(x)=x3+2x 

                      четной, нечетной или ни одной из них?

                      Не глядя на график, мы можем определить, является ли функция четной или нечетной, найдя формулы для отражений и определив, возвращают ли они нас к исходной функции. Начнем с правила четных функций.

                      f(−x)=(−x)3+2(−x)=−x3−2x

                      Это не возвращает нас к исходной функции, поэтому эта функция нечетная. Теперь мы можем проверить правило для нечетных функций.

                      −f(−x)=−(−x3−2x)=x3+2x

                      Поскольку  −f(−x)=f(x), 

                      , это нечетная функция.

                      Анализ

                      Рассмотрим график  f 

                      в [ссылка]. Обратите внимание, что график симметричен относительно начала координат. Для каждой точки (x,y) 

                      на графике соответствующая точка (−x,−y) 

                      также находится на графике. Например, (1, 3) находится на графике  f, 

                      , и соответствующая точка (−1,−3)

                      также находится на графике.

                      Является ли функция f(s)=s4+3s2+7 

                      четное, нечетное или ни то, ни другое?

                      даже

                      Графические функции с использованием растяжений и сжатий

                      Добавление константы к входам или выходам функции изменило положение графика относительно осей, но не повлияло на форму графика. Теперь мы исследуем эффекты умножения входов или выходов на некоторую величину.

                      Мы можем преобразовать внутреннюю часть (входные значения) функции или внешнюю часть (выходные значения) функции. Каждое изменение имеет определенный эффект, который можно увидеть графически.

                      Вертикальные растяжки и сжатия

                      Когда мы умножаем функцию на положительную константу, мы получаем функцию, график которой растянут или сжат по вертикали относительно графика исходной функции. Если константа больше 1, мы получаем вертикальное растяжение ; если константа находится в диапазоне от 0 до 1, мы получаем вертикальное сжатие . [ссылка] показывает функцию, умноженную на постоянные коэффициенты 2 и 0,5, и полученное вертикальное растяжение и сжатие.

                      Вертикальные растяжения и сжатия

                      Дана функция f(x), 

                      новая функция g(x)=af(x), 

                      где a 

                      константа, вертикальное растяжение

                      или 1 сжатие по вертикали функции f(x).

                      • Если a>1, 

                        , то график будет растянут.

                      • Если 0, то граф будет сжат.

                      • Если а<0, 

                        , то будет комбинация вертикального растяжения или сжатия с вертикальным отражением.

                      По заданной функции построить график ее вертикального растяжения.

                      1. Определите стоимость а.
                      2. Умножить все значения диапазона на а.
                      3. Если  а>1,  

                        график растянут в  a раз.

                        Если 0

                        график сжимается в  a раз.

                        Если а<0, 

                        график либо растягивается, либо сжимается, а также отражается относительно оси x .

                      График вертикального растяжения

                      Функция P(t) 

                      моделирует популяцию плодовых мушек. График представлен в [ссылка].

                      Ученый сравнивает эту популяцию с другой популяцией,  Q, 

                      , рост которой происходит по той же схеме, но в два раза больше. Нарисуйте график этой популяции.

                      Поскольку совокупность всегда в два раза больше, выходные значения новой совокупности всегда в два раза превышают выходные значения исходной функции. Графически это показано на [ссылка].

                      Если мы выберем четыре контрольные точки, (0, 1), (3, 3), (6, 2) и (7, 0), мы умножим все выходы на 2.

                      Ниже показано, где новые будут расположены точки для нового графика.

                      (0, 1)→(0, 2)(3, 3)→(3, 6)(6, 2)→(6, 4)(7, 0)→(7, 0)

                      Символически отношение записывается как

                      Q(t)=2P(t)

                      Это означает, что для любого входа t, 

                      значение функции Q 

                      в два раза превышает значение функции P.

                      Обратите внимание, что влияние на график вертикальное растяжение графика, где каждая точка удваивает свое расстояние от горизонтальной оси. Входные значения, t, 

                      остаются прежними, а выходные значения в два раза больше, чем раньше.

                      Имея табличную функцию и предполагая, что преобразование представляет собой вертикальное растяжение или сжатие, создайте таблицу для вертикального сжатия.

                      1. Определить значение а.
                      2. Умножить все выходные значения на а.

                      Нахождение вертикального сжатия табличной функции

                      Функция  f 

                      представлена ​​как [ссылка]. Создайте таблицу для функции g(x)=12f(x).

                      x 2 4 6 8
                      ф(х)  1 3 7 11

                      Формула g(x)=12f(x) 

                      говорит нам, что выходные значения g 

                      составляют половину выходных значений f 

                      при тех же входных данных. Например, мы знаем, что f(4)=3.

                      Затем

                      g(4)=12f(4)=12(3)=32

                      Мы делаем то же самое для других значений, чтобы получить [ссылка].

                      х 2 4 6 8
                      г(х) 12 32 72 112

                      Анализ

                      В результате функция g(x)

                      была сжата по вертикали в 12 раз.

                      Функция  f 

                      дана как [ссылка]. Создайте таблицу для функции g(x)=34f(x).

                      x 2 4 6 8
                      ф(х) 12 16 20 0

                      х 2 4 6 8
                      г(х) 9 12 15 0

                      Распознавание вертикального растяжения

                      График в [ссылка] представляет собой преобразование функции инструментария f(x)=x3.

                      Свяжите эту новую функцию g(x) 

                      с f(x), 

                      , а затем найдите формулу для g(x).

                      При попытке определить вертикальное растяжение или смещение полезно искать относительно четкую точку на графике. На этом графике видно, что  g(2)=2.

                      С базовой кубической функцией на том же входе, f(2)=23=8.

                      На основании этого получается, что выходы  g 

                      являются  14 

                      выходами функции  f 

                      , потому что  g(2)=14f(2).

                      Отсюда мы можем достаточно уверенно заключить, что  g(x)=14f(x).

                      Мы можем написать формулу для  g 

                      , используя определение функции f.

                      г(х)=14f(х)=14х3

                      Напишите формулу функции, которую мы получим, если растянем функцию инструментария идентификации в 3 раза, а затем сдвинем ее вниз на 2 единицы.

                      г(х)=3х-2

                      Горизонтальные растяжки и сжатия

                      Теперь рассмотрим изменения внутри функции. Когда мы умножаем вход функции на положительную константу, мы получаем функцию, график которой растянут или сжат по горизонтали по отношению к графику исходной функции. Если константа находится между 0 и 1, мы получаем горизонтальное растяжение ; если константа больше 1, мы получаем горизонтальное сжатие функции.

                      Дана функция y=f(x), 

                      форма y=f(bx) 

                      приводит к горизонтальному растяжению или сжатию. Рассмотрим функцию y=x2.

                      Соблюдайте [ссылка]. График  y=(0,5x)2 

                      — горизонтальный участок графика функции  y=x2 

                      в 2 раза. График  y=(2x)2 

                      — горизонтальное сжатие графика функции y=x2 

                      в 2 раза.

                      Горизонтальное растяжение и сжатие

                      Дана функция f(x), 

                      новая функция g(x)=f(bx), 

                      где b 

                      константа, горизонтальное растяжение

                      1 или 90 функции f(x).

                      • Если b>1, 

                        , то граф будет сжат на

                        1б.
                      • Если 0, то график растянется на

                        1б.
                      • Если b<0, 

                        , то будет иметь место сочетание горизонтального растяжения или сжатия с горизонтальным отражением.

                      Учитывая описание функции, нарисуйте горизонтальное сжатие или растяжение.

                      1. Напишите формулу для представления функции.
                      2. Набор g(x)=f(bx) 

                        , где

                        b>1 

                        для сжатия или

                        0 для растяжки.

                      График горизонтального сжатия

                      Предположим, ученый сравнивает популяцию плодовых мушек с популяцией, продолжительность жизни которой увеличивается в два раза быстрее, чем исходная популяция. Другими словами, эта новая популяция,  R, 

                      , за 1 час будет прогрессировать так же, как исходная популяция за 2 часа, а через 2 часа она будет прогрессировать так же, как исходная популяция за 4 часа. Нарисуйте график этой популяции.

                      Символически мы могли бы написать

                      R(1)=P(2),R(2)=P(4) и вообще R(t)=P(2t).

                      См. [ссылка] для графического сравнения исходной популяции и сжатой популяции.

                      Анализ

                      Обратите внимание, что эффект на графике представляет собой горизонтальное сжатие, когда все входные значения находятся на половине исходного расстояния от вертикальной оси.

                      Нахождение горизонтального растяжения для табличной функции

                      Функция  f(x) 

                      представлена ​​как [ссылка]. Создайте таблицу для функции g(x)=f(12x).

                      x 2 4 6 8
                      ф(х) 1 3 7 11

                      Формула  g(x)=f(12x) 

                      говорит нам, что выходные значения для  g 

                      такие же, как выходные значения для функции  f 

                      при вводе вдвое меньше. Обратите внимание, что у нас недостаточно информации для определения  g(2) 

                      , потому что  g(2)=f(12⋅2)=f(1), 

                      и у нас нет значения для f(1) 

                      в нашей таблице. Наши входные значения для  g 

                      должны быть в два раза больше, чтобы получить входные данные для  f 

                      , которые мы можем оценить. Например, мы можем определить  g(4).

                      g(4)=f(12⋅4)=f(2)=1

                      Мы делаем то же самое для других значений, чтобы получить [ссылка].

                      х 4 8 12 16
                      г(х) 1 3 7 11

                      [ссылка] показывает графики обоих этих наборов точек.

                      Анализ

                      Поскольку каждое входное значение было удвоено, в результате функция  g(x) 

                      был растянут по горизонтали в 2 раза.

                      Распознавание горизонтального сжатия на графике

                      Свяжите функцию  g(x) 

                      с  f(x) 

                      в [ссылка].

                      График  g(x) 

                      выглядит как график  f(x) 

                      , сжатый по горизонтали. Поскольку  f(x) 

                      заканчивается на (6,4) 

                      , а  g(x) 

                      заканчивается на (2,4), 

                      , мы можем видеть, что значения  x-

                      были сжаты на 0003

                      , потому что 6(13)=2.

                      Можно также заметить, что  g(2)=f(6) 

                      и  g(1)=f(3).

                      В любом случае, мы можем описать это отношение как  g(x)=f(3x).

                      Это горизонтальное сжатие на  13.

                      Анализ

                      Обратите внимание, что коэффициент, необходимый для горизонтального растяжения или сжатия, является обратным значением растяжения или сжатия. Таким образом, чтобы растянуть график по горизонтали с коэффициентом масштабирования 4, нам нужен коэффициент  14 

                      в нашей функции:  f(14x).

                      Это означает, что входные значения должны быть в четыре раза больше, чтобы получить тот же результат, что требует увеличения входных данных, что приводит к горизонтальному растяжению.

                      Напишите формулу для функции квадратного корня из инструментария, растянутой по горизонтали в 3 раза.

                      Выполнение последовательности преобразований

                      При объединении преобразований очень важно учитывать порядок преобразований. Например, смещение по вертикали на 3, а затем растяжение по вертикали на 2 не создает такой же график, как растяжение по вертикали на 2, а затем сдвиг по вертикали на 3, потому что, когда мы сначала сдвигаем, растягиваются и исходная функция, и сдвиг, в то время как только исходная функция растягивается, когда мы сначала растягиваем.

                      Когда мы видим такое выражение, как  2f(x)+3, 

                      с какого преобразования нам следует начать? Ответ здесь хорошо следует из порядка операций. Учитывая выходное значение   f (x),  

                      мы сначала умножаем на 2, вызывая вертикальное растяжение, а затем добавляем 3, вызывая вертикальное смещение. Другими словами, умножение перед сложением.

                      О горизонтальных преобразованиях немного сложнее думать. Когда мы пишем  g(x)=f(2x+3), 

                      , мы должны подумать о том, как входные данные для функции  g 

                      относятся к входным данным функции  f.

                      Предположим, мы знаем f(7)=12.

                      Какой ввод для  g 

                      выдаст такой результат? Другими словами, какое значение  x 

                      позволит g(x)=f(2x+3)=12?

                      Нам потребуется 2x+3=7.

                      Чтобы найти x, 

                      мы сначала вычтем 3, что приведет к сдвигу по горизонтали, а затем разделим на 2, что приведет к сжатию по горизонтали.

                      С этим форматом очень сложно работать, потому что обычно гораздо проще растянуть график по горизонтали перед сдвигом. Мы можем обойти это, используя факторинг внутри функции.

                      f(bx+p)=f(b(x+pb))

                      Давайте рассмотрим пример.

                      f(x)=(2x+4)2

                      Мы можем вынести 2.

                      f(x)=(2(x+2))2

                      Теперь мы можем более четко наблюдать горизонтальный сдвиг влево на 2 единицы и горизонтальное сжатие. Такой факторинг позволяет нам сначала растягиваться по горизонтали, а затем сдвигаться по горизонтали.

                      Объединение преобразований

                      При объединении вертикальных преобразований, записанных в форме af(x)+k, 

                      сначала растянуть по вертикали на  a 

                      , а затем сдвинуть по вертикали на  k.

                      При комбинировании преобразований по горизонтали, записанных в виде  f(bx-h), 

                      сначала сдвинуть по горизонтали на  h 

                      , а затем растянуть по горизонтали на  1b.

                      При комбинировании горизонтальных преобразований, записанных в виде  f(b(x-h)), 

                      , сначала растянуть по горизонтали на  1b 

                      , а затем сдвинуть по горизонтали на h.

                      Горизонтальные и вертикальные преобразования независимы. Неважно, горизонтальные или вертикальные преобразования выполняются в первую очередь.

                      Нахождение тройного преобразования табличной функции

                      Учитывая [ссылка] для функции f(x), 

                      создать таблицу значений для функции g(x)=2f(3x)+1.

                      x 6 12 18 24
                      ф(х) 10 14 15 17

                      Это преобразование состоит из трех шагов, и мы будем работать изнутри наружу. Начиная с горизонтальных преобразований,  f(3x) 

                      представляет собой горизонтальное сжатие на  13, 

                      , что означает, что мы умножаем каждое значение  x-

                      на  13.

                      См. [ссылка].

                      x 2 4 6 8
                      f(3x) 10 14 15 17

                      Что касается вертикальных преобразований, мы начнем с вертикального растяжения, которое умножит выходные значения на 2. Мы применим это к предыдущему преобразованию. Смотрите [ссылка].

                      х 2 4 6 8
                      2f(3x) 20 28 30 34

                      Наконец, мы можем применить вертикальный сдвиг, который добавит 1 ко всем выходным значениям. Смотрите [ссылка].

                      x 2 4 6 8
                      г(х)=2f(3х)+1 21 29 31 35

                      Поиск тройного преобразования графа

                      Использование графика  f(x) 

                      в [ссылка], чтобы нарисовать график k(x)=f(12x+1)−3.

                      Для упрощения давайте начнем с выделения внутренней части функции.

                      f(12x+1)−3=f(12(x+2))−3

                      Факторизуя внутреннюю часть, мы можем сначала растянуть по горизонтали на 2, как показано  12 

                      внутри функции . Помните, что удвоенный размер 0 по-прежнему равен 0, поэтому точка (0,2) остается равной (0,2), а точка (2,0) растянется до (4,0). Смотрите [ссылка].

                      Затем мы смещаемся влево по горизонтали на 2 единицы, как показано x+2.

                      См. [ссылка].

                      Наконец, мы смещаемся вниз по вертикали на 3, чтобы завершить наш эскиз, как показано  −3 

                      снаружи функции. Смотрите [ссылка].

                      Получите доступ к этому онлайн-ресурсу для получения дополнительных инструкций и практики преобразования функций.

                      • Преобразование функций

                      Ключевые уравнения

                      Вертикальное смещение г(х)=f(х)+k (вверх для k>0)
                      Горизонтальное смещение g(x)=f(x−h) (правильно для h>0)
                      Вертикальное отражение г(х)=-f(х)
                      Горизонтальное отражение г(х)=f(-х)
                      Вертикальная растяжка г(х)=af(х) (а>0 )
                      Вертикальное сжатие г(х)=af(х) (0<а<1)
                      Горизонтальная растяжка г(х)=f(bx)(0
                      Горизонтальное сжатие. г(х)=f(bx) (b>1)

                      Ключевые понятия

                      • Функцию можно сдвинуть по вертикали, добавив к выходным данным константу. См. [ссылка] и [ссылка].
                      • Функцию можно сдвинуть по горизонтали, добавив к входным данным константу. См. [ссылка], [ссылка] и [ссылка].
                      • Связь сдвига с контекстом проблемы позволяет сравнивать и интерпретировать вертикальные и горизонтальные сдвиги. Смотрите [ссылка].
                      • Вертикальные и горизонтальные сдвиги часто комбинируются. См. [ссылка] и [ссылка].
                      • Вертикальное отражение отражает график о х-

                        ось. График можно отразить по вертикали, умножив результат на –1.

                      • Горизонтальное отражение отражает график о у-

                        ось. График можно отобразить горизонтально, умножив ввод на –1.

                      • График может отображаться как по вертикали, так и по горизонтали. Порядок применения отражений не влияет на окончательный график. Смотрите [ссылка].
                      • Функцию, представленную в табличной форме, также можно отразить путем умножения значений во входных и выходных строках или столбцах соответственно. Смотрите [ссылка].
                      • Функцию, представленную в виде уравнения, можно отразить, применяя преобразования по одному. Смотрите [ссылка].
                      • Четные функции симметричны относительно ось y-

                        , тогда как нечетные функции симметричны относительно начала координат.

                      • Четные функции удовлетворяют условию f(x)=f(−x).
                      • Нечетные функции удовлетворяют условию f(x)=-f(-x).
                      • Функция может быть нечетной, четной или ни одной из них. Смотрите [ссылка].
                      • Функция может быть сжата или растянута по вертикали путем умножения выходных данных на константу. См. [ссылка], [ссылка] и [ссылка].
                      • Функция может быть сжата или растянута по горизонтали путем умножения входных данных на константу. См. [ссылка], [ссылка] и [ссылка].
                      • Порядок применения различных преобразований влияет на конечную функцию. И вертикальные, и горизонтальные преобразования должны применяться в указанном порядке. Однако вертикальное преобразование можно комбинировать с горизонтальным преобразованием в любом порядке. См. [ссылка] и [ссылка].

                      Упражнения по секциям

                      Устный

                      При изучении формулы функции, которая является результатом нескольких преобразований, как отличить сдвиг по горизонтали от сдвига по вертикали?

                      Горизонтальный сдвиг возникает, когда константа добавляется или вычитается из входных данных. Вертикальные сдвиги возникают, когда константа добавляется к выходным данным или вычитается из них.

                      При изучении формулы функции, которая является результатом нескольких преобразований, как отличить горизонтальное растяжение от вертикального?

                      При изучении формулы функции, которая является результатом нескольких преобразований, как отличить горизонтальное сжатие от вертикального сжатия?

                      Горизонтальное сжатие получается, когда константа больше 1 умножается на вход. Вертикальное сжатие получается, когда константа от 0 до 1 умножается на выход.

                      При изучении формулы функции, которая является результатом нескольких преобразований, как вы можете определить отражение относительно x -ось от отражения относительно оси y ?

                      Как по формуле функции определить, является ли функция четной или нечетной?

                      Для функции f, 

                      подставить (−x) 

                      вместо (x) 

                      in f(x).

                      Упрощение. Если результирующая функция совпадает с исходной,  f(−x)=f(x), 

                      , то функция четная. Если результирующая функция противоположна исходной функции, f(−x)=−f(x), 

                      , то исходная функция нечетная. Если функция не та же самая или противоположная, то функция не является ни нечетной, ни четной.

                      Алгебраический

                      Для следующих упражнений напишите формулу функции, полученной при смещении графика, как описано.

                       f(x)=x 

                      сдвигается вверх на 1 единицу и влево на 2 единицы.

                       f(x)=\|x\|

                      смещается на 3 единицы вниз и на 1 единицу вправо.

                      г(х)=\|х-1\|−3

                       f(x)=1x 

                      смещается на 4 единицы вниз и на 3 единицы вправо.

                       f(x)=1×2 

                      сдвинуто вверх на 2 единицы и влево на 4 единицы.

                      г(х)=1(х+4)2+2

                      В следующих упражнениях опишите, как график функции представляет собой преобразование графика исходной функции f.

                      у=f(х-49)

                      y=f(x+43)

                      График f(x+43) 

                      представляет собой горизонтальный сдвиг влево на 43 единицы графика f.

                      у=е(х+3)

                      y=f(x−4)

                      График f(x-4) 

                      представляет собой горизонтальный сдвиг вправо на 4 единицы графика f.

                      у=f(х)+5

                      y=f(x)+8

                      График  f(x)+8 

                      представляет собой вертикальный сдвиг вверх на 8 единиц графика  f.

                      у=f(х)−2

                      y=f(x)−7

                      График f(x)−7 

                      представляет собой вертикальный сдвиг вниз на 7 единиц графика f.

                      у=f(x−2)+3

                      y=f(x+4)−1

                      График f(x+4)−1

                      — горизонтальный сдвиг влево на 4 единицы и вертикальный сдвиг вниз на 1 единицу графика f.

                      Для следующих упражнений определите интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

                      f(x)=4(x+1)2−5

                      g(x)=5(x+3)2−2

                      убывает на (−∞,−3) 

                      и возрастает на (−3,∞)

                      а(х)=-х+4

                      k(x)=−3x−1

                      убывает по (0, ∞)

                      Графический

                      В следующих упражнениях используйте график  f(x)=2x 

                      , показанный в [ссылка], чтобы набросать график каждого преобразования   f (x).

                      г(х)=2х+1

                      h(x)=2x−3

                      ![График k(x).](/Книга по алгебре-тригонометрии/ресурсы/CNX_Precalc_Figure_01_05_203.jpg)

                      ш(х)=2х-1

                      Для следующих упражнений нарисуйте график функции как преобразование графика одной из функций инструментария.

                      f(t)=(t+1)2−3

                      ![График f(t).](/Книга по алгебре-тригонометрии/ресурсы/CNX_Precalc_Figure_01_05_206. jpg)

                      ч(х)=\|х−1\|+4

                      k(x)=(x−2)3−1

                      ![График k(x).](/Книга по алгебре-тригонометрии/ресурсы/CNX_Precalc_Figure_01_05_208.jpg)

                      м(т)=3+т+2

                      Цифровой

                      Табличные представления для функций  f, g, 

                      и  h 

                      приведены ниже. Запишите  g(x) 

                      и  h(x) 

                      как преобразования f(x).

                      x −2 −1 0 1 2
                      ф(х) −2 −1 −3 1 2
                      x −1 0 1 2 3
                      г(х) −2 −1 −3 1 2
                      x −2 −1 0 1 2
                      ч(х) −1 0 −2 2 3

                      g(x)=f(x-1), h(x)=f(x)+1

                      Табличные представления для функций  f, g, 

                      и  h 

                      приведены ниже. Запишите  g(x) 

                      и  h(x) 

                      как преобразования f(x).

                      x −2 −1 0 1 2
                      ф(х) −1 −3 4 2 1
                      x −3 −2 −1 0 1
                      г(х) −1 −3 4 2 1
                      x −2 −1 0 1 2
                      ч(х) −2 −4 3 1 0

                      В следующих упражнениях напишите уравнение для каждой графически отображаемой функции, используя преобразования графиков одной из функций инструментария.

                      ![График абсолютной функции.](/алгебра-тригонометрия-книга/ресурсы/CNX_Precalc_Figure_01_05_210.jpg)

                      f(x)=\|x-3\|−2

                      ![График параболы.](/алгебра-тригонометрия-книга/ресурсы/CNX_Precalc_Figure_01_05_211.jpg)

                      ![График функции квадратного корня.](/алгебра-тригонометрия-книга/ресурсы/CNX_Precalc_Figure_01_05_212.jpg)

                      f(x)=x+3−1

                      ![График абсолютной функции.](/алгебра-тригонометрия-книга/ресурсы/CNX_Precalc_Figure_01_05_213.jpg)

                      ![График параболы](/алгебра-тригонометрия-книга/ресурсы/CNX_Precalc_Figure_01_05_214.jpg)

                      f(x)=(x-2)2

                      ![График функции квадратного корня.](/алгебра-тригонометрия-книга/ресурсы/CNX_Precalc_Figure_01_05_215.jpg)

                      ![График абсолютной функции.](/алгебра-тригонометрия-книга/ресурсы/CNX_Precalc_Figure_01_05_216f.jpg)

                      f(x)=\|x+3\|−2

                      ![График функции квадратного корня.](/алгебра-тригонометрия-книга/ресурсы/CNX_Precalc_Figure_01_05_217F.jpg)

                      В следующих упражнениях используйте графики преобразования функции квадратного корня, чтобы найти формулу для каждой из функций.

                      ![График функции квадратного корня.](/алгебра-тригонометрия-книга/ресурсы/CNX_Precalc_Figure_01_05_218.jpg)

                      f(x)=-x

                      ![График функции квадратного корня.](/алгебра-тригонометрия-книга/ресурсы/CNX_Precalc_Figure_01_05_219.jpg)

                      В следующих упражнениях используйте графики преобразованных функций инструментария, чтобы написать формулу для каждой из полученных функций.

                      ![График параболы.](/алгебра-тригонометрия-книга/ресурсы/CNX_Precalc_Figure_01_05_220.jpg)

                      f(x)=−(x+1)2+2

                      ![График кубической функции.](/алгебра-тригонометрия-книга/ресурсы/CNX_Precalc_Figure_01_05_221.jpg)

                      ![График функции квадратного корня.](/алгебра-тригонометрия-книга/ресурсы/CNX_Precalc_Figure_01_05_222.jpg)

                      f(x)=−x+1

                      ![График абсолютной функции.](/алгебра-тригонометрия-книга/ресурсы/CNX_Precalc_Figure_01_05_223.jpg)

                      В следующих упражнениях определите, является ли функция нечетной, четной или ни одной из них.

                      f(x)=3×4

                      даже

                      г(х)=х

                      ч(х)=1х+3х

                      нечетное

                      f(x)=(x−2)2

                      г(х)=2×4

                      четный

                      ч(х)=2х-х3

                      В следующих упражнениях опишите, как график каждой функции представляет собой преобразование графика исходной функции f.

                      g(x)=−f(x)

                      График g 

                      является вертикальным отражением (по оси  x

                      ) графика f.

                      г(х)=f(-х)

                      g(x)=4f(x)

                      График  g 

                      является вертикальным растяжением в 4 раза графика  f.

                      г(х)=6f(х)

                      g(x)=f(5x)

                      График  g 

                      представляет собой горизонтальное сжатие в  15 

                      раз графика f.

                      г(х)=f(2х)

                      g(x)=f(13x)

                      График  g 

                      является горизонтальным растяжением в 3 раза графика  f.

                      г(х)=f(15х)

                      g(x)=3f(−x)

                      График  g 

                      представляет собой горизонтальное отражение по оси  y

                      и вертикальное растяжение в 3 раза графика f.

                      г(х)=-f(3х)

                      Для следующих упражнений напишите формулу функции g 

                      , который получается, когда график данной функции инструментария преобразуется, как описано.

                      График  f(x)=\|x\|

                      отражается по оси y

                      и сжимается по горизонтали в  14 раз

                      .

                      г(х)=\|−4x\|

                      График  f(x)=x 

                      отражен по оси  x

                      и растянут по горизонтали в 2 раза.

                      График  f(x)=1×2 

                      сжат по вертикали в  13 раз, 

                      , затем сдвинут влево на 2 единицы и вниз на 3 единицы.

                      г(х)=13(х+2)2-3

                      График  f(x)=1x 

                      растянут по вертикали в 8 раз, затем сдвинут вправо на 4 единицы и вверх на 2 единицы.

                      График  f(x)=x2 

                      сжат по вертикали в  12 раз, 

                      , затем сдвинут вправо на 5 единиц и вверх на 1 единицу.

                      г(х)=12(х-5)2+1

                      График  f(x)=x2 

                      растянут по горизонтали в 3 раза, затем сдвинут влево на 4 единицы и вниз на 3 единицы.

                      В следующих упражнениях опишите, как формула представляет собой преобразование функции инструментария. Затем нарисуйте график преобразования.

                      g(x)=4(x+1)2−5

                      График функции f(x)=x2 

                      сдвинут влево на 1 единицу, вытянут по вертикали в 4 раза и сдвинут вниз на 5 единицы.

                      г(х)=5(х+3)2−2

                      h(x)=−2\|x−4\|+3

                      График f(x)=\|x\|

                      растягивается по вертикали в 2 раза, сдвигается по горизонтали на 4 единицы вправо, отражается по горизонтальной оси, а затем смещается по вертикали на 3 единицы вверх.

                      к(х)=-3х-1

                      m(x)=12×3

                      График функции f(x)=x3 

                      сжат по вертикали в 12 раз.

                      n(x)=13\|x−2\|

                      р(х)=(13х)3-3

                      График функции растягивается по горизонтали в 3 раза, а затем смещается по вертикали вниз на 3 единицы.

                      q(x)=(14x)3+1

                      a(x)=−x+4

                      График  f(x)=x 

                      сдвинут вправо на 4 единицы, а затем отражен поперек вертикальной линии x=4.

                      В следующих упражнениях используйте график в [ссылка] для наброска заданных преобразований.

                      г(х)=f(х)−2

                      г(х)=-f(х)

                      ![График многочлена.](/алгебра-тригонометрия-книга/ресурсы/CNX_Precalc_Figure_01_05_235.jpg)

                      г(х)=f(х+1)

                      g(x)=f(x−2)

                      ![График многочлена.](/алгебра-тригонометрия-книга/ресурсы/CNX_Precalc_Figure_01_05_237.jpg)

                      Глоссарий

                      четная функция
                      функция, график которой не меняется при горизонтальном отражении, f(x)=f(−x), 

                      и симметричен относительно

                      у-

                      ось

                      горизонтальное сжатие
                      преобразование, которое сжимает график функции по горизонтали путем умножения входных данных на константу б>1
                      горизонтальное отражение
                      преобразование, отображающее график функции по оси y путем умножения входных данных на −1
                      горизонтальное смещение
                      преобразование, которое сдвигает график функции влево или вправо, добавляя к входным данным положительную или отрицательную константу
                      горизонтальная растяжка
                      преобразование, растягивающее график функции по горизонтали путем умножения входных данных на константу 0
                      нечетная функция
                      функция, график которой не изменяется при комбинированном отражении по горизонтали и вертикали, f(x)=−f(−x), 

                      и симметрична относительно начала координат

                      вертикальное сжатие
                      преобразование функции, которое сжимает график функции по вертикали путем умножения результата на константу 0<а<1
                      вертикальное отражение
                      преобразование, отображающее график функции по оси x путем умножения результата на −1
                      вертикальное смещение
                      преобразование, сдвигающее график функции вверх или вниз путем добавления положительной или отрицательной константы к выходным данным
                      вертикальное растяжение
                      преобразование, растягивающее график функции по вертикали путем умножения результата на константу а>1


                      Эта работа находится под лицензией Creative Commons Attribution 4. 0 International License.

                      Вы также можете бесплатно скачать на http://cnx.org/contents/[email protected]

                      Атрибуция:

                      • По вопросам, касающимся этой лицензии, обращайтесь по адресу [email protected]
                      • Если вы используете данный учебник в качестве библиографической ссылки, то цитировать его следует следующим образом: Колледж OpenStax, алгебра и тригонометрия. OpenStax CNX. http://cnx.org/contents/[email protected]
                      • Если вы распространяете этот учебник в печатном формате, вы должны указать на каждой физической странице следующее указание авторства: «Загрузите бесплатно по адресу http://cnx.org/contents/[email protected]».
                      • Если вы повторно распространяете часть этого учебника, вы должны сохранять при каждом просмотре страницы в цифровом формате (включая, помимо прочего, EPUB, PDF и HTML) и на каждой физической печатной странице следующее указание авторства: «Скачать бесплатно на http://cnx. org/contents/[email protected]»

                      Переводы тригонометрических функций: значение и примеры

                      При построении графиков тригонометрических функций могут встречаться случаи, когда графики смещены в координатной плоскости вправо или влево, вверх или вниз. Этот тип трансформации называется трансляцией . В этой статье мы определим различные типы перевода тригонометрических функций и опишем правила, которым необходимо следовать в каждом случае, на практических примерах.

                      Переводы тригонометрических функций — это преобразования графиков тригонометрических функций, предполагающие их сдвиг по горизонтали или вертикали.

                      Какие бывают виды перевода тригонометрических функций?

                      Различные типы перевода тригонометрических функций включают горизонтальный перевод , при котором график сдвигается влево или вправо, и вертикальный перевод , при котором график перемещается вверх или вниз по координатной плоскости. Давайте посмотрим более подробно, как работать с каждым из этих переводов.

                      Горизонтальные переносы

                      Если у вас есть тригонометрическая функция в виде , где , то график синуса в этом случае будет сдвинут на ч единиц влево или вправо, в зависимости от того, положительно ли ч или отрицательный. Этот тип трансляции также называют фазовым сдвигом . Вот два возможных случая, которые вы найдете:

                      График показан ниже. Синусоидальный график представлен пунктирной зеленой линией, поэтому вы можете ясно видеть, что при добавлении π/2 в скобках весь график сместился на π/2 влево.

                      Горизонтальное смещение при отрицательном значении h — StudySmarter Originals

                      Обратите внимание, что при смещении графика синуса влево на , получается график косинуса.

                      График выглядит следующим образом:

                      Горизонтальное смещение при положительном значении h — StudySmarter Originals

                      Вертикальное смещение

                      Если вы добавите константу к тригонометрической функции, она будет перемещать свой график вверх или вниз по оси Y как много единиц как значение константы. Этот тип перевода также известен как вертикальное смещение . В этом случае вы также получите новую среднюю линию , которая равна , и вы будете использовать ее в качестве новой опорной горизонтальной оси.

                      График показан ниже. Средняя линия представлена ​​пунктирной красной линией. Как видите, график сдвинулся вверх на 2 единицы.

                      Вертикальное смещение при положительном k — StudySmarter Originals

                      • Если k отрицательное , то график будет равен сдвинут вниз .

                      График показывает, что когда константа отрицательна, график смещается вниз на 2 единицы. Новая средняя линия.

                      Вертикальный перевод, когда k отрицательное — StudySmarter Originals

                      В общем случае тригонометрические функции можно записать в виде:

                      Помните, что из приведенных выше выражений можно вычислить амплитуду , как для синуса, так и для косинуса. Касательная функция не имеет амплитуды. Кроме того, период функции для синуса и косинуса, и для функции тангенса. Если вам нужно освежить в памяти основы амплитуды и периода, прочтите статью «Построение графиков тригонометрических функций».

                      Все горизонтальные и вертикальные переносы, описанные выше, могут быть применены таким же образом к косинусным и тангенциальным графикам. Кроме того, обратных графиков тригонометрических функций ( косеканс, секанс и котангенс ) также можно переводить по вертикали и горизонтали.

                      Какие правила перевода тригонометрических функций?

                      При переводе тригонометрических функций нужно помнить о следующих правилах:

                      1. Найдите вертикальное смещение , если оно есть, и начертите среднюю линию .

                      2. Найдите амплитуду , если применимо. Нарисуйте пунктирные линии, чтобы представить максимальное и минимальное значения функции.

                      3. Рассчитать период функции.

                      4. Нанесите несколько точек и соедините их плавной непрерывной кривой.

                      5. Определите, есть ли фазовый сдвиг , и переведите график в соответствии со значением ч .

                      Если значение , то график будет отражаться по оси x.

                      Примеры перевода тригонометрических функций

                      Найдите амплитуду, период, вертикальный и горизонтальный сдвиг следующих тригонометрических функций, а затем нанесите их на график:

                      a)

                      сдвиг по вертикали равен 1 (вверх), поэтому средняя линия равна

                      амплитуда равна

                      период равен

                      сдвиг по горизонтали равен

                      Перевод примера функции косинуса — StudySmarter Originals

                      б)

                      вертикальное смещение равно -2 (вниз), поэтому средняя линия равна

                      Касательная функция не имеет амплитуды. Однако , поэтому график отражает по оси x

                      период равен

                      Горизонтальный сдвиг отсутствует

                      Пример перевода функции тангенса — StudySmarter Originals

                      Перевод тригонометрических функций — основные выводы

                      • Перевод тригонометрических функций — это преобразования графиков тригонометрических функций, включающие сдвиг их по горизонтали или вертикали.
                      • Горизонтальное перемещение означает, что график смещается влево или вправо, а вертикальное перемещение означает, что график перемещается вверх или вниз по координатной плоскости.
                      • Все тригонометрические функции, включая их обратные, можно переводить по горизонтали или по вертикали.
                      • Если значение отрицательное, то график будет отражаться по оси x.

                      Тригонометрические графики. Амплитуда и периодичность

                      Пи Хан Го, Мэй Ли, Кэлвин Лин, а также

                      способствовал

                      Содержимое
                      • Период тригонометрических функций
                      • Амплитуда тригонометрических функций
                      • Решение проблем — базовое
                      • Решение проблем — средний уровень
                      • Решение проблем — продвинутый уровень

                      Из определения основных тригонометрических функций как xxx- и yyy-координат точек на единичной окружности мы видим, что, обходя окружность один полный раз (((или угол 2π),2\pi), 2π), мы возвращаемся к той же точке и, следовательно, к тем же координатам xxx и yyy. Это может быть расширено для обхода круга любое кратное количество раз (((или любой угол, кратный 2π).2\pi).2π).

                      Изображение предоставлено: commons.wikimedia.org

                      Например,

                      0=sin⁡(0)=sin⁡(0+2π)=sin⁡(0+2⋅2π)=⋯=sin⁡(0+k⋅2π)0 = \sin(0 ) = \sin (0 + 2\pi) = \sin (0 + 2 \cdot 2\pi) = \cdots = \sin(0 + k \cdot 2\pi)0=sin(0)=sin(0 +2π)=sin(0+2⋅2π)=⋯=sin(0+k⋅2π)

                      для любого целого числа kkk.

                      Это показывает, что тригонометрические функции повторяют . Эти функции называются периодическими , а период является минимальным интервалом, который требуется для захвата интервала, который при многократном повторении дает полную функцию.

                      Периоды основных тригонометрических функций следующие:

                      FunctionPeriodsin⁡(θ),cos⁡(θ)2πcsc⁡(θ),sec⁡(θ)2πtan⁡(θ),cot⁡(θ)π\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Функция} & \text{Точка}\\ \hline \sin (\theta), \cos (\theta) и 2\pi\\ \hline \csc (\тета) , \сек (\тета) и 2\пи \\ \hline \загар (\тета), \кот (\тета) и \пи\\ \hline \end{array}Functionsin(θ),cos(θ)csc(θ),sec(θ)tan(θ),cot(θ)​Period2π2ππ​​

                      Как мы видели, тригонометрические функции чередуются между холмами и долинами. амплитуда тригонометрической функции равна половине расстояния от высшей точки кривой до нижней точки кривой:

                      (Амплитуда)=(Максимум) – (минимум)2. \text{(Амплитуда)} = \frac{ \text{(Максимум) — (минимум)} }{2}.(Амплитуда)=2(Максимум) — (минимум)​.

                      Например, если мы рассмотрим график y=sin⁡(x)y=\sin(x)y=sin(x)

                      амплитуда равна (Максимум) — (минимум)2=1−(−1)2=22=1 \frac{ \text{(Максимум) — (минимум)} }{2} = \frac{ 1 — (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 12(максимум) — (минимум)​=21−(−1)​=22​=1. Точно так же график y=cos⁡(x)y=\cos(x)y=cos(x) также имеет амплитуду 1,

                      Амплитуды основных тригонометрических функций следующие:

                      FunctionAmplitudesin⁡(θ),cos⁡(θ)1csc⁡(θ),sec⁡(θ)N/Atan⁡(θ),cot⁡(θ)N/A\begin{array}{|c|c| } \hline \text{Функция} & \text{Амплитуда}\\ \hline \sin (\тета) , \cos( \тета ) &1 \\ \hline \csc (\theta) , \sec ( \theta) & \text{Н/Д} \\ \hline \tan (\theta), \cot ( \theta ) & \text{N/A} \\ \hline \end{массив}Функцииsin(θ),cos(θ)csc(θ),sec(θ)tan(θ),cot(θ)​Amplitude1N/AN/A​​

                      9\circ) = \ ?csc(750∘)= ?

                      При преобразовании тригонометрических графиков мы видим, что умножение тригонометрической функции на константу изменяет амплитуду. Например, амплитуда графика y=3sin⁡(x)y = 3 \sin(x)y=3sin(x) равна 333.

                      Каковы амплитуда и период графика y=5sin⁡(x)−2?y = 5 \sin(x) — 2?y=5sin(x)−2?


                      Поскольку тригонометрическая функция sin⁡(x)\sin(x)sin(x) умножается на константу 555, амплитуда результирующего графика равна 555. Результатом преобразования является сдвиг графика по вертикали на −2 -2−2 в направлении yyy и растянуть график по вертикали в 5,5,5 раза. Поскольку график не вытянут по горизонтали, период полученного графика совпадает с периодом функции sin⁡(x)\sin(x)sin(x), или 2π2\pi2π. □_\квадрат□​

                      Каковы амплитуда и период графика y=−100cos⁡(1234π)?y=-100\cos(1234\pi)?y=−100cos(1234π)?


                      Неважно, −100-100−100 или 100;100;100; в точках поворота y=±100.y = \pm100.y=±100. Таким образом, амплитуда равна 100, а основной период равен 2π1234π=1617. □ \frac{2\pi}{1234\pi} = \frac{1}{617}.\ _\square1234π2π​=6171​. □​

                      Фундаментальный период синусоидальной функции fff, проходящей через начало координат, равен 3π3\pi3π, а ее амплитуда равна 5. { \ circ } соз 570 ∘ загар⁡92} \sin(2x + \alpha ) = 41 \sin(2x+ \alpha) f(x)=402+92​sin(2x+α)=41sin(2x+α) для некоторой константы α\alphaα, не зависящей от xxx . Таким образом, амплитуда равна 41, а основной период равен 2π2=π \frac {2\pi}2 = {\pi} 22π​=π. □_\квадрат□​

                      Каков период функции h(x)=sin⁡(∣123x∣)?h(x) = \sin\big( |123x|\big)? ч(х)=грех(∣123x∣)?


                      Простой набросок графика в окрестности точки x=0x = 0 x=0 h(x)=sin⁡(123x)={sin⁡(123x)−sin⁡(123x)h(x) =\sin (123x) = \begin{cases} {\sin(123x)} \\ { -\sin(123x)} \end{cases} h(x)=sin(123x)={sin(123x)−sin(123x) ) показывает, что оно не является периодическим. □_\квадрат□​

                      π2\dfrac{\pi}{2}2π​ π\piπ 2π2\pi2π 4π4\pi4π g(x)g(x)g(x) не является периодическим Ничего из вышеперечисленного

                      g(x)=cos⁡∣x∣+sin⁡∣x∣\large \color{#69047E}{g(x)=\cos|x|+\sin|x|}g( x)=cos∣x∣+sin∣x∣

                      Найти основной период функции g(x)\color{#695(x) — 7\cos(x)?f(x)=64cos7(x)−112cos5(x)+56cos5(x)−7cos(x)?


                      Используя формулу двойного угла и формулу тройного угла, мы можем получить тот факт, что f(x)=cos⁡(6x)f(x) = \cos(6x) f(x)=cos(6x). Таким образом, его амплитуда равна просто 1, а фундаментальный период равен 62π=3π \frac 6 {2\pi} = \frac3{\pi} 2π6​=π3​. □_\квадрат□​

                      Заметим, что это можно доказать и с помощью полиномов Чебышева.

                      12 18 22 36 42 46 9{12} \sin (rx) = 0r=1∏12​sin(rx)=0

                      Каково число решений xxx, удовлетворяющих приведенному выше уравнению, в интервале (0,π]?(0,\pi] ?(0,π]?

                      Найдите количество точек, в которых прямая 100y=x100y=x100y=x пересекает кривую y=sin⁡(x)y=\sin(x)y=sin(x).


                      Эта задача входит в набор Тригонометрия

                      Цитировать как: Тригонометрические графики — амплитуда и периодичность. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant. org/wiki/тригонометрические-графы-амплитуда-и-периодичность/

                      ПЛАН УРОКА: Работа с тригонометрическими графами и преобразованиями

                      Завтра я буду «вводить» графики тригонометрических функций в свой класс IB Math Standard Level 1, так что у меня есть Trig на мозг. Да-да, они уже выучили его на Algebra 2/Trig Honors, но я считаю, что лучше всего строить с нуля, когда дело доходит до тригонометрии.   Иногда ученики улавливают что-то, что не имело для них смысла с первого раза. Мне, наверное, пора спать, но я знаю, что этого поста не будет, если я не сделаю его сегодня вечером…

                      С начала учебного года мои ученики IB Math SL 1 выучили:

                      • 30- Треугольники 60-90 и 45-45-90 и пропорции
                      • тригонометрия прямоугольного треугольника
                      • единичный круг ( Мой лучший шаблон всех времен здесь. ЦИФРОВАЯ версия Google Slides здесь. )
                      • законы синусов и косинусов
                      • длина дуги и площадь сектора

                      Посмотрите это видео на YouTube о порядке, в котором я преподаю Unit Circle:  https://youtu.be/MaORCIxMeVw

                      Часть 1. Обсуждение в классе

                      Я начинаю этот знаменательный день с того, что прошу учащихся изобразить свой рост на графике. на колесе обозрения с течением времени. Как вы можете себе представить, эскизы колес обозрения уводят студентов под землю, в прошлое или в очень «угловатые» приключения. Некоторые студенты начинают свои поездки посреди неба.   (Обычно я хожу и говорю: «Ага. Нет. Ага. Ага. Нет», когда ученики формулируют свои предположения… потому что это побуждает учащихся хотеть получить «правильный» ответ.  Вы определенно должны знать свою аудиторию.

                      Эти наброски запускают нас в большую дискуссию о том, где начинаются аттракционы на колесе обозрения (близко, но не НА земле) , и как мы можем изобразить их как красивые закругленные аттракционы, но в целом на самом деле мы периодически останавливаемся, чтобы подобрать новых людей и высадить других. Если оставить в стороне все «остановки и движения», мы прыгаем в групповые сценарии колеса обозрения, где мы предполагаем, что поездка непрерывна.

                      Часть 2: Обсуждение в группе
                      • Я предлагаю каждой группе один из 4 сценариев с участием разных колес обозрения. (Ознакомьтесь с этими 4 сценариями, а также некоторыми другими обучающими инструментами, в моем пакете ресурсов TPT, посвященном графическим преобразованиям триггеров)
                      • Сценарии имеют разные радиусы, периоды, центральные оси, начальные местоположения и длины вращения.
                      • Учащиеся работают индивидуально, а затем со своей группой, чтобы достичь консенсуса в отношении маркировки своих осей и построения графика назначенного им сценария.
                      • 1 человек в группе отвечает за расшифровку ключевой информации сценария и графика на достойную презентацию миллиметровку.

                      Часть 3: Карусельная прогулка 
                      • Я размещаю графики по комнате в порядке от 1 до 4. * Поскольку обычно у меня в комнате 8 групп, есть 2 разных набора студентов, чередующихся с 2 разными наборами постеров, 1–4.
                      • Учащиеся группы 1 начинают с постера 2. Учащиеся группы 2 начинают с постера 3 и т. д.
                      • У них есть 1-2 минуты, чтобы обсудить общие черты и различия между их сценариями и графиком перед ними.
                      • Я объявляю время, и ученики по очереди обсуждают следующий постер.
                      • Мы повторяем это до тех пор, пока учащиеся не рассмотрят и не сравнит ВСЕ 4 сценария колеса обозрения.

                      В конце этой карусельной прогулки у нас есть обобщающая дискуссия, в ходе которой учащиеся часто приводят словарный запас, такой как период, амплитуда и т. д., что демонстрирует их предшествующие знания. Это также помогает учащимся количественно определить свой основной словарный запас ( амплитуда, период, фазовый сдвиг, вертикальный сдвиг/главная ось и т. д. ) с реальным применением этой терминологии . ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ БОНУС: это дает им контекст, когда они должны отвечать на вопросы IB ​​типа колеса обозрения. 🙂

                      Часть 4. Графики синуса, косинуса и тангенса (основные примечания)

                      Я прошу учащихся вынуть свои единичные окружности, чтобы мы могли использовать значения синуса, косинуса и тангенса для каждого из квадрантных углов для построения наши графики тригонометрических функций. Вот ссылка на мой шаблон для построения графиков тригонометрических функций. Я мог бы сделать больше с этим, используя Geogebra, но мне нужно найти хорошую ссылку. Напишите мне, если у вас есть тот, который хорошо работает для вас!

                      Часть 5: исследование трансформации

                      Обычно к этому моменту уже прозвенел звонок, и ученики спешат на обед или на тренировку. ОДНАКО, как бойскаут, я ВСЕГДА готов. хе. И наше обсуждение основных тригонометрических графов часто естественным образом перетекает в обсуждение преобразованных тригонометрических функций. Конечно, мы заканчиваем это занятие на следующем уроке.

                      На следующей неделе или около того я опубликую файл, в котором я провожу студентов через построение преобразованных синусоидальных и косинусных графиков с помощью их графических калькуляторов. Они делают прогноз влияния каждой константы на график, а затем проверяют свои прогнозы.

                      Поскольку мы впервые в этом году работали с преобразованиями функций, я посвящаю значительное время закреплению этих концепций.   Студенты работают с трансформациями ВЕСЬ ГОД, поэтому фундамент очень важен.

                      Часть …200?: Колесо обозрения Продолжение

                      Когда мы доходим до этапа «написание уравнений тригонометрических функций» нашего обучения, я фактически просматриваю групповые графики колеса обозрения (№1–4) учеников. сделано в первый день работы этого блока.

                      • Я загружаю их в планшет.
                      • Я проецирую График №1 на планшет с моего компьютера.
                      • Учащиеся работают в парах (используя предоставленную мной ссылку на планшет) , чтобы опубликовать свое предположение относительно уравнения синуса или косинуса на предоставленном графике.

                      Добавить комментарий

                      Ваш адрес email не будет опубликован.