Попытайтесь прочесть что говорил об арифметике: ГДЗ учебник по математике 3 класс (часть 1) Рудницкая. Числа от 100 до 1000 Номер 34

Содержание

Неизвестный математик совершил прорыв в теории простых чисел-близнецов / Хабр

В математике чрезвычайно редко случается, чтобы учёный старше 40 лет опубликовал первую серьёзную научную работу. Ещё реже бывает, чтобы эта работа имела большую научную ценность. Именно такой редчайший случай представляет из себя доцент университета Нью-Гэмпшира Итан Чжан (Yitang Zhang), который до сих не имеет ни должности профессора, ни веб-странички со списком научных работ. Тем не менее, ему удалось совершить серьёзный шаг к решению одной из старейших математических проблем — гипотезе о простых числах-близнецах.

Когда журнал “Annals of Mathematics” получил 17 апреля 2013 года научную работу Чжана, они восприняли её скептически. Заявка на прорывное исследование от неизвестного учёного? Это слишком банально и часто встречается, чтобы оказаться правдой. На удивление редколлегии, несколько научных экспертов подробно изучили работу Чжана — и нашли доказательство гипотезы о расстоянии между парными простыми числами предельно ясным, чётким и бесспорным.

В результате, журнал одобрил работу для публикации в исключительно короткие сроки — уже через три недели после поступления.

В свои 50+ лет Итан Чжан преподаёт алгебраическую геометрию в университете, но теория чисел была его хобби. Как обычно, математики часто увлекаются простыми числами как одной из самых интересных загадок в этой области науки. Внимание Чжана привлекла теорема простых чисел-близнецов.

Решето Эратосфена — простой алгоритм нахождения всех простых чисел до некоторого целого числа n, путём вычёркивания всех чисел которые делятся на простой делитель: 2, 3, 5, 7 и т.д.

Математики давно обратили внимание, что распределение простых чисел в бесконечном числовом пространстве имеет определённые закономерности. В частности, странным феноменом выступают простые числа-близнецы, которые отличаются друг от друга на 2. Чем больше количество знаков, тем реже встречаются числа-близнецы, но всё равно они продолжают встречаться снова и снова.

В оригинальной версии гипотеза гласит, что существует бесконечное количество простых чисел-близнецов. Это предположение до сих пор никто не доказал и не опроверг. Самыми большими найденными простыми числами-близнецами, известными науке, являются 3756801695685 × 2⁶⁶⁶⁶⁶⁹ – 1 и 3756801695685 × 2⁶⁶⁶⁶⁶⁹ + 1.

Итан Чжан доказал, что существует бесконечно большое количество простых чисел, расстояние между которыми не превышает 70 миллионов. Эти пары будут встречаться всё реже и реже, но не исчезнут никогда, несмотря на действие теоремы о среднем расстоянии между простыми числами в 2,3 × N, где N — количество разрядов.

Другими словами, среднее расстояние между числами будет приближаться к бесконечности, по мере роста количества разрядов, но при этом всегда будут встречаться простые числа, удалённые друг от друга не более чем на 70 млн, что просто удивительно.

«Эта работа изменит правила игры, — говорит Эндрю Грэнвилль (Andrew Granville), теоретик в области теории чисел из Монреальского университета. — Иногда после появления нового доказательства то, что раньше казалось трудно доказать, становится просто небольшим расширением. Теперь нам нужно изучить работу и понять, что к чему». Но по качеству доказательства нет никаких вопросов: «Он проработал каждую деталь, так что никто не поставит его работу под сомнение», — добавил Грэнвилль.

UPD. Сама статья Чжана не опубликована в открытом доступе, но удалось найти выдержки из его выступления в Герварде 13 мая 2013 года (спасибо, EvgeshaS).

«Какие учебники по математическому анализу, линейной алгебре и теории вероятностей лучше подходят для изучения анализа данных?» — Яндекс Кью

60+ блестящих математических цитат, которые должен прочитать каждый учитель

Математика прекрасна. Но иногда это трудно увидеть и еще труднее донести до учащихся, которые — , но — не разделяют вашу страсть.

В дополнение к учебникам по математике, использование математических цитат в ваших ежедневных занятиях является одним из многих способов заинтересовать учащихся этим часто вызывающим страх предметом.

На протяжении веков некоторые из самых ярких умов мира делились мудрыми словами, которые остаются актуальными и по сей день! Мы составили список наших любимых цитат о математике для учителей и учеников!

Вдохновляйте, мотивируйте и развлекайте своих учеников этими математическими цитатами!

Известные математические цитаты

Альберт Эйнштейн. Источник: Вива!

Чистая математика — это своего рода поэзия логических идей.
— Альберт Эйнштейн, немецкий физик-теоретик

Без математики ничего не сделаешь. Все вокруг тебя — математика. Все вокруг тебя — это числа.
— Шакунтала Деви, индийская писательница и умственный калькулятор

Математика – самое прекрасное и самое могущественное творение человеческого духа.
— Стефан Банах, польский математик

STEM всегда будет с нами. Некоторые вещи выпадут из поля зрения и исчезнут, но всегда будут наука, инженерия и технологии. И всегда, всегда будет математика.
— Кэтрин Джонсон, афроамериканский математик

Математика как выражение человеческого разума отражает активную волю, созерцательный разум и стремление к эстетическому совершенству. Его основными элементами являются логика и интуиция, анализ и построение, общность и индивидуальность.
— Ричард Курант, немецко-американский математик

Поскольку законы математики относятся к реальности, они не точны, а поскольку они точны, они не относятся к реальности.
— Альберт Эйнштейн

Что такое математика? Это всего лишь систематические усилия по решению загадок, поставленных природой.
— Шакунтала Деви

Шакунтала Деви. Источник: The Times of India

Математика — это музыка разума.
— Джеймс Джозеф Сильвестр, английский математик

Математика не знает рас или географических границ; для математики культурный мир — это одна страна.
— Давид Гильберт, немецкий математик

Не должно быть скучной математики.
— Эдсгер В. Дейкстра, голландский системный ученый

«Очевидно» — самое опасное слово в математике.
— Эрик Темпл Белл, шотландский математик

Математика является результатом таинственных сил, которых никто не понимает и в которых бессознательное признание красоты должно играть важную роль. Из бесконечного множества рисунков математик выбирает для красоты один образец и опускает его на землю.
— Марстон Морс, американский математик

Математика не терпит лицемерия и расплывчатости.
— Стендаль (псевдоним Мари-Анри Бейль), французский писатель

Мне всегда нравилась математика. Это самый точный и лаконичный способ выразить мысль.
— Н.Р. Нараяна Мурти, индийский IT-промышленник

Невозможно быть математиком, не будучи поэтом в душе.
— Софья Ковалевская, российский математик

Софья Ковалевская. Источник: OpenMind

Математик, который не является поэтом, никогда не будет законченным математиком.
— Карл Вейерштрасс, немецкий математик

Математика сравнивает самые разные явления и открывает тайные аналогии, которые их объединяют.
— Жозеф Фурье, французский математик и физик

Математика — это не числа, уравнения, вычисления или алгоритмы: это понимание.
— Уильям Пол Терстон, американский математик Но если бы я сказал: «Я так и не научился читать», меня бы назвали неграмотным болваном.
— Нил де Грасс Тайсон, американский астрофизик и писатель

В математике искусство постановки вопроса должно цениться выше, чем его решение.
— Георг Кантор, немецкий математик

Ясно, что главная цель математического изучения должна состоять в том, чтобы заставить студентов думать.
— Джон Уэсли Янг, американский математик

Достаточно глубоко погрузитесь во что угодно, и вы найдете математику.
— Дин Шлитер

Природа написана математическим языком.
— Галилео Галилей, итальянский астроном, физик и инженер

Математика — это язык.
— Джозайя Уиллард Гиббс, американский ученый

Вдохновляющие математические цитаты

Маркус дю Сотуа. Источник: IMDB

В математике есть красота и романтика. Это не скучное место, математический мир. Это необыкновенное место; стоит провести там время.
— Маркус дю Сотуа, британский математик

Для меня математика, информатика и искусство безумно связаны. Все они творческие выражения.
— Себастьян Трун, немецкий новатор, ученый-компьютерщик и педагог-предприниматель

Суть математики заключается в ее свободе.
— Георг Кантор

Почему дети боятся математики? Из-за неправильного подхода. Потому что это рассматривается как предмет.
— Шакунтала Деви

Многие, кто имел возможность узнать больше о математике, путают ее с арифметикой и считают ее сухой наукой. В действительности, однако, это наука, требующая большого воображения.
— Ковалевская Софья

Изучение математики, как и Нила, начинается с мелочей, а заканчивается великолепием.
— Чарльз Калеб Колтон, английский священнослужитель, писатель и коллекционер

Кэтрин Джонсон. Источник: Scientific American

Везде, где есть число, есть красота.
— Прокл, греческий философ

Жизнь — это математическое уравнение. Чтобы получить максимальную отдачу, вы должны знать, как преобразовать негативы в позитивы.
— Аноним

Математика может и не учит нас добавлять любовь или вычитать ненависть, но она дает нам надежду на то, что у каждой проблемы есть решение.
— Аноним

Одним из бесконечно привлекательных аспектов математики является то, что ее самые сложные парадоксы имеют свойство превращаться в прекрасные теории.
— Филип Дж. Дэвис, американский ученый-математик, прикладной математик

Математика — это не осторожный марш по расчищенному шоссе, а путешествие в неведомую дикую местность, где исследователи часто теряются. Строгость должна быть сигналом для историков, что карты были сделаны, а настоящие исследователи ушли куда-то еще.
— В.С. Энглин, автор книги по математике

Чистый математик, как и музыкант, является свободным творцом своего мира упорядоченной красоты.
— Бертран Рассел, британский философ

«Я видел, как волнение и энергия по отношению к математике значительно возросли с Prodigy. Дети воодушевлены. Они работают вместе, сотрудничают и помогают друг другу». — Сью Тресселт, учитель 3-го класса

Посмотрите, как учителя используют Prodigy, чтобы вдохновлять учеников!
Мотивационные математические цитаты
Эндрю Уайлс. Источник: Гейдельбергский форум лауреатов
То, что мы не можем найти решение, не означает, что его нет.
— Эндрю Уайлс, английский математик
Математика — это место, где вы можете делать то, что не можете делать в реальном мире.
— Маркус дю Сотуа
Миллионы видели, как падает яблоко, но Ньютон спросил, почему.
— Бернард Барух, американский финансист, филантроп и государственный деятель
Определение хорошей математической задачи — это математика, которую она генерирует, а не сама задача.
— Эндрю Уайлс
Если бы я снова начал учебу, я бы последовал совету Платона и начал с математики.
— Галилео Галилей
Чистые математики просто обожают решать нерешенные задачи — они любят сложные задачи.
— Эндрю Уайлс
Теодор Сьюз Гейзель (доктор Сьюз). Источник: Википедия
Мне всегда было интересно использовать математику, чтобы сделать мир лучше.
— Элвин Э. Рот, американский академик
Я надеюсь, что математики, увидев волнение, возникающее при решении этой задачи, поймут, что в математике есть множество других проблем, которые в будущем станут такими же сложными.
— Эндрю Уайлс
Единственный способ выучить математику — заниматься математикой.
— Пол Р. Халмош, венгерско-американский математик
Можно работать над любой задачей, если она попутно генерирует интересную математику — даже если вы не решите ее в конце дня.
— Эндрю Уайлс
Не нужно быть математиком, чтобы понимать числа.
— Джон Форбс Нэш-младший, американский математик
Иногда вопросы сложные, а ответы простые.
— Доктор Сьюз, американский детский писатель
Суть математики не в том, чтобы усложнять простые вещи, а в том, чтобы делать сложные вещи простыми.
— Стэн Гуддер, американский математик
«Я заметил повышенный интерес к математике у моих учеников с низкой мотивацией. 96% моих учеников любят играть в Prodigy еженедельно, а иногда даже ежедневно». — Патрик, учитель 5-го класса и чемпион-вундеркинд
Другие истории успеха преподавателей
Забавные математические цитаты
Нил де Грасс Тайсон. Источник: Harvard Business Review
Если люди не верят, что математика проста, то только потому, что они не понимают, насколько сложна жизнь.
— Джон фон Нейман, венгерско-американский математик
Математика — это игра, в которую играют по определенным простым правилам с бессмысленными отметками на бумаге.
— Дэвид Гильберт
Дорогой математик, пожалуйста, повзрослей и реши свои собственные проблемы. Я устал решать их за вас.
— Аноним
Я все еще жду того дня, когда смогу использовать интеграцию математики в реальной жизни.
— Деррик Обеджиу
Арифметика — это числа, которые вы выжимаете из головы в руку, в карандаш, в бумагу, пока не получите ответ.
— Карл Сэндберг, американский поэт
Тот неловкий момент, когда вы решаете математическую задачу, а ваш ответ даже не входит в число вариантов.
— Риту Гатури, индийская феминистка, писательница и издатель
Математика похожа на любовь; простая идея, но она может быть сложной.
— Аноним
Если есть шанс 50 на 50, что что-то может пойти не так, то в девяти случаях из 10 так оно и будет.
— Пол Харви, американский радиоведущий
Карл Сэндберг. Источник: Wikimedia Commons
Математика — это весело. Он учит вас информации о жизни и смерти, например, когда вам холодно, вы должны пойти в угол, так как там 90 градусов.
— Аноним
Чистая математика — лучшая игра в мире. Это более увлекательно, чем шахматы, больше похоже на азартную игру, чем покер, и длится дольше, чем «Монополия». Это бесплатно. В нее можно играть где угодно — Архимед сделал это в ванне.
— Ричард Дж. Трюдо, математик
Математика состоит в доказательстве самых очевидных вещей наименее очевидным способом.
— Джордж Полиа, венгерский математик
В математике вы ничего не понимаете. Ты просто привыкаешь к ним.
— Джон фон Нейман
Есть два способа заниматься математикой. Во-первых, быть умнее всех. Второй способ — быть глупее всех, но настойчивее.
— Рауль Ботт, венгерско-американский математик
Пять из четырех человек имеют проблемы с дробями.
— Стивен Райт, американский комик
Математику трудно полюбить. У него есть досадная привычка, как у грубой собаки, поворачиваться к вам самой неблагоприятной стороной, когда вы впервые вступаете с ним в контакт.
— Дэвид Уайтленд, английский автор
Как использовать эти математические цитаты в вашем классе
Шестьдесят с лишним цитат — это очень много! И, как и в наших планах публикаций в блоге с цитатами учителей, может быть 1) сложно рассмотреть их все сразу и 2) легко прочитать цитату и вдохновиться, но тут же забыть о ней.
Итак, как вы можете усвоить свои любимые математические цитаты и , чтобы сделать их действенными?
Напишите или напечатайте свои любимые цитаты о математике в своем ежедневнике, чтобы вы регулярно его просматривали.
Поместите его на карточку-подсказку или наклейте стикер. Сделайте две копии для зеркала и тумбочки, чтобы видеть их, когда просыпаетесь и перед сном.
Проведите мозговой штурм и подумайте, как вы можете применить значение цитаты в своей повседневной жизни.
Чтобы сделать еще один шаг, как эти математические цитаты могут помочь вашим ученикам люблю изучать математику ?
Пусть каждый из ваших учеников выберет из этого списка свою любимую цитату и разместит ее где-нибудь, например, на доске объявлений в классе.
Персонализируйте оценку задания или теста, добавив цитату, которая, по вашему мнению, найдет отклик у каждого учащегося.
Разместите в классе самые актуальные цитаты, чтобы каждый день напоминать учащимся о красоте математики.
Покажите мои плакаты! 👏
Мы выбрали 10 математических цитат и превратили их в плакаты, которыми вы можете украсить свой класс. Нажмите здесь, чтобы загрузить бесплатные плакаты!
Об обучении математике с цитатами
Преподавание математики — непростая задача. Если вы хотите возродить свою страсть к математике или стремитесь мотивировать и вдохновлять своих учеников, мы надеемся, что эти математические цитаты найдут вас в нужное время. Удивительно, какой силой может обладать, казалось бы, простая цитата!
Попробуйте Prodigy — игровую платформу для обучения математике и английскому языку, которая удобна как для преподавателей, так и для учащихся.
«Вовлеченность студентов ВЫРОСЛА, и робкие и застенчивые студенты стали более вовлеченными». — Джон Транкл, учитель 2-го класса
Создайте бесплатную учетную запись учителя
мягкий вопрос — Каковы некоторые интерпретации цитаты фон Неймана?
спросил 12 лет, 5 месяцев назад

Изменено 1 месяц назад
Просмотрено 29k раз
$\begingroup$
Джон фон Нейман однажды сказал Феликсу Смиту: «Молодой человек, в математике вы ничего не понимаете. Вы просто к этому привыкаете». Это был ответ на опасения Смита по поводу метода характеристик.
Он имел в виду, что с опытом и практикой достигается понимание?
мягкий вопрос
$\endgroup$
14
$\begingroup$
Это довольно старый пост, но я решил ответить, потому что чувствую, что предлагаю совершенно другое понимание этой цитаты.

Я очень удивлен, обнаружив, что мое понимание этого отличается от других, так как, когда я впервые прочитал это, я подумал про себя: именно !
Для меня эта цитата — то, что я чувствую во время изучения математики. Новые понятия приходят мне в голову, я узнаю об их свойствах и использовании, я сам использую их, доказываю с их помощью теоремы, но в то время, когда я впервые вижу определение и когда мне вполне комфортно пользоваться этим понятием, не было 9{\infty}_{n=1} (0,1-\frac 1n) = (0,1)$, и продолжайте видеть бесконечность снова и снова. У человека бывает много маленьких прозрений, но ни одно из них не может считаться моментом, когда он наконец понимает бесконечность. И все же есть какая-то дорога, начинающаяся в первый момент полного замешательства относительно того, что такое бесконечность на самом деле, и приводящая к тому, что ощущение бесконечности вовсе не такое уж таинственное.

Таким образом, в этом смысле цитата полна надежд . Это дает мне уверенность в том, что мне не нужно заставлять себя пытаться постичь бесконечность за один вечер, нет никакой информации, которую мне нужно понимают , чтобы сказать «Я понял». Вместо этого я постепенно привыкну к его странности, пока он не станет очень знакомым объектом.
Этот процесс гораздо лучше описать как привыкание к , а не как понимание , и таким образом я понял цитату Неймана таким образом, и я думаю об этом каждый раз, когда сталкиваюсь с новым математическим объектом.
$\endgroup$
3
$\begingroup$
На мой взгляд, то, что многие люди подразумевают под словом «понимать», просто не имеет отношения к математике.

Например, часто подразумевается, что понимание чего-либо означает сведение этого к чему-то очевидному (например, к чему-то, что может «изобразить» динамик ), или что понимание относится к тому, что что-то «есть», а не к тому, как вы можете это использовать. И, конечно, цитата Эйнштейна
.
Никогда ничего не поймешь по-настоящему, пока не объяснишь это своей бабушке.
Я бы интерпретировал цитату фон Неймана как отрицание этих представлений о понимании и заявление о том, что действительно важно в изучении и практике математики ее использование, привыкание к тому, как она работает и как вы можете использовать ее для получения результатов.
$\endgroup$
5
$\begingroup$

Одна вещь, которую он мог иметь в виду, это то, что в математике вам часто приходится учиться применять метод, не понимая, что это такое.
Возьмем, к примеру, умножение матриц. Вы могли бы (и многие студенты так и делают) корить себя за то, почему это так «странно» по сравнению, скажем, с умножением действительных чисел. Но оказывается, что да, у него есть эти странные свойства, потому что он идеально подходит для представления линейного преобразования, среди прочего.
В целом я считаю непродуктивным пытаться понять каждый аспект чего-либо, прежде чем переходить к следующему. Я просто принимаю то, как это работает, верю, что однажды у него будет какое-то приложение, оно будет полезным или иным образом «имеет смысл».
Обратите внимание, что история математики полна разделов математики, которые даже не имели такой полезности, когда они были первоначально созданы и исследованы, но впоследствии оказались чрезвычайно важными. Возьмем, к примеру, булеву алгебру и теорию узлов.

Еще одним важным моментом является то, что математика изучает абстрактные логические системы, в том числе полностью выдуманные. Поэтому может быть довольно бесполезно понимать некоторые более глубокие значения математических понятий, потому что они могут даже не существовать. Конечно, могут быть глубокие связи или обобщения с другими математическими концепциями, и могут быть найдены приложения, но попытка сказать, что приложение является «истинной формой» математической концепции, означает ставить телегу впереди лошади.
$\endgroup$
3
$\begingroup$
В этом обсуждении часто отсутствует слово «шутка». Фон Нейман много шутил. Я предполагаю, что он на 50% шутил, когда говорил это. Но это одна из тех шуток, которые смешны, потому что в них есть доля правды. Всем нам знакомо чувство «привыкания» к идеям, которые когда-то казались нам странными, так что теперь трудно вспомнить, насколько незнакомыми были идеи когда-то.

И в этом психологическом феномене есть что-то обнадеживающее. Даже если сейчас новые идеи кажутся очень странными, через год вы к ним привыкнете, и они покажутся вам намного проще.
$\endgroup$
$\begingroup$
Я интерпретирую цитату совсем по-другому. В общем, мы понимаем новые идеи на основе старых. В математике мы не всегда можем это сделать. Я пришел в математику из прикладной математики, и когда я начал изучать математику за пределами знакомой мне инженерной математики «подключи и пыхни», мне было трудно связать новые концепции, которые я изучал, с тем, что я «понимал». Джек Куайн, один из первых математиков, с которыми я по-настоящему познакомился, говорил мне, что я должен «освободить свой разум». Что я вынес из его совета, так это то, что математика имеет свою собственную логику и свой собственный набор правил, которые не обязательно соответствуют чему-то, что человек действительно хорошо понимает (может быть, в этом смысле это немного похоже на квантовую механику).
Иногда нужно просто верить в это, пока вы не наберетесь достаточного опыта и, наконец, на более высоком уровне не станут очевидными структура и логика. Для людей с хорошим абстрактным мышлением структура некоторых частей математики может быть легче «понять» в этом смысле. Тем не менее, я подозреваю, что каждый в какой-то момент сталкивается с вопросами в развивающихся областях математики, где структура не очень хорошо продумана, и им приходится использовать инструменты, в которых они не так хорошо разбираются. Однако это не такой большой скачок веры, как некоторые считают: в конце концов, когда разрабатывались математические вычисления, Ньютон не мог по-настоящему защитить свое использование бесконечно малых величин, хотя люди все еще использовали их, потому что они работали.
$\endgroup$
$\begingroup$
Я просто хотел бы добавить переформулировку, изоморфизм, если хотите, цитаты фон Неймана в форме рассказа/анекдота довольно проницательным парнем по имени Джон Клиз, который, откуда я до сих пор читал его автобиографию, является либо профессиональным вором, либо продавцом библии, либо профессиональным футболистом, либо одним из основателей легендарной комедийной труппы, который полностью сошел с ума. .. но, я отвлекся… Вот анекдот вопрос:
«[…] Я встретил учителя, который произвел на меня самое большое впечатление: мистера Бартлетта. Он стал моим учителем математики и в течение первого семестра учил меня, должен признаться, что почти ничего не понял. Но когда он научил меня тем же самым вещам в следующем семестре, я уловил их мгновенно: они стали самоочевидными. Итак, меня перевели на класс выше, где мистер Бартлет познакомил меня с новыми математическими идеями, все они были непонятны, — до следующего семестра, когда они стали ослепительно очевидными, и я усвоил их без труда. Повышение, другими словами, сопровождалось недоумением, а следующий срок — полным пониманием. Мистер Бартлетт был очень хорошим учителем.
Клиз, Джон. Итак, в любом случае… (с. 47). Корона/Архетип. Киндл издание.
$\endgroup$
$\begingroup$
Он имел в виду, что когда вы думаете, что понимаете математику, вы на самом деле попадаете под влияние иллюзии . Эта иллюзия понимания вызвана знакомством («привыканием») в сочетании с интеллектуальной ленью. Люди привыкают заниматься математикой и заставлять ее работать, и забывают, что никто не знает почему работает, забывают что принципиально загадочно.
Если вы читаете это и возражаете, позвольте спросить вас,
Что такое число?
$\endgroup$
5
$\begingroup$
Надеюсь, фон Нейман был одним из очень немногих из нас, кто осознал, что запоминание и знакомство вовсе не то же самое, что понимание. Понимание означает, что мы видим необходимость, происхождение, цель определений, ПРИЧИНУ определения. Априорная цель. А это значит, что когда мы сталкиваемся с «теоремой», раскрывающей свойство математического объекта, он идентифицируется как таковой. Математика НЕ является абстракцией реальности. Это НАМНОГО ЧАСТЬ реальности. Поскольку он создан и используется для моделирования реальности, он не выходит за пределы этого мира. НЕТ другого мира, который не был бы вымышленным. Математика — вещь в себе. Говорить нам, что это «абстрактно» и о «рассуждениях», ужасно дезинформировать. Например, геометрия — это О существовании и количественных свойствах плоских и объемных замкнутых фигур, обычно ограниченных отрезками прямых; но не обязательно. Стороны круглой и другой формы вполне возможны и столь же реальны. Акцент на доказательстве затемняет и изнуряет во всех областях математики. Доказательство уникально для математики, но это НЕ то, чем занимается математика. Интересно задаться вопросом, ПОЧЕМУ доказательство возможно в математике.
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Мои 2 интерпретации:
Высокомерному , не думаю, что ты так много знаешь. Вы не знаете, чего вы не знаете. Как сказал Неро, он же Нассим Николас Талеб: «Если вы не чувствуете, что читали недостаточно, значит, вы читали недостаточно».
сомнительному , не расстраивайтесь из-за того, что не поняли/не поняли. Вот такая математика.
$\endgroup$
$\begingroup$
«Привыкание к этому» — это заучивание, которое не похоже на заучивание, а скорее на свободное владение языком, или на узнавание своей бабушки, или на знание того, как расставлена ваша мебель.
Знание аксиом и некоторых следствий из этих аксиом — это подобная память, но это не понимание.
Когда вы свободно говорите на языке, вы не понимаете его, а можете использовать. Понимание отличается — вы можете видеть некоторые шаблоны, знать историческое происхождение некоторых слов, могут даже быть аргументы вычислительной эффективности для структуры грамматики, а некоторые могут зависеть от системы человеческого языка. Но это не полное понимание.
Аксиомы на самом деле не могут быть «поняты»; они даны. А Гедель и Тьюринг, кажется, показывают, что мы не можем даже предсказать, что будет правдой, не говоря уже о том, чтобы понять это!
$\endgroup$
$\begingroup$
На самом деле я отвергаю большинство утверждений на этой странице. Имея (астро)физическое образование, чистая математика была для меня благословением. Мне потребовалось всего несколько месяцев, чтобы заявить всем своим друзьям-физикам, что это чистая математика, , а не физика 9.0008 , это что-то «это действительно можно понять!»
Почему? В физике всегда будет оставаться другой вопрос. В каждом вопросе. «Но что есть электрическое поле? Что есть волновая функция?» И т.д. Так что у меня никогда не было опыта понимания чего-то от А до Я. Даже математики меня не учили, потому что история ее построения всегда сокращалась для экономии времени, так что оставались ad hoc и эвристические рассуждения. В чистой математике на самом деле можно полностью свести аргумент к аксиомам, не оставляя между ними недоказанных утверждений. На этом вопрошание прекращается, так как глупо спрашивать «а зачем эти аксиомы?» Это только потому, что это игра, в которую мы играем . Никто не заставляет вас играть в эту игру, вы могли играть в любую игру, которую хотели. Это не означает, и это важно отметить, что способность следовать доказательству вплоть до аксиом включает в себя «полное понимание всего, что влечет за собой ситуация». Всегда есть способы взглянуть на это, чего вы еще не видели. В идеале можно было бы видеть все это одновременно, и если вы требуете этого, чтобы сказать, что понимаете это, мы действительно должны заключить, что никто ничего не понимает.
Что касается цитаты фон Неймана, я не думаю, что он не согласится со мной. Как и в некоторых других ответах, я думаю, что он был, по крайней мере, наполовину шутливым и намекал на общеизвестный факт, что мы медленно привыкаем к определенным понятиям «играя» (голландский: spelenderwijs ; кажется, нет английского перевода) , переходя от жесткого и непрозрачного к легкому и прозрачному. То же самое происходит и в физике, но разница в том, что в математическом случае можно обосновать каждое утверждение . Теперь, если это не показывает понимание, я не знаю, что делает.
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Пуанкаре когда-то писал, что вся математика один плюс один равно два, и много определений. Говоря как физик, я считаю, что самое важное, что нужно понять о математике, это то, полезны ли эти определения для описания реальности (то есть наблюдений). Я не думаю, что математики обеспокоены подобным образом, хотя, безусловно, сам фон Нейман является наиболее ярким контрпримером.
В качестве провокации скажу, что исчисления Ньютона достаточно для моих нужд, и я никогда не понимал \дельта—\эпсилон-доказательств. Кажется, что в физике нет места для «бесконечности». С другой стороны, нестандартный анализ оказался для меня весьма полезным.