Почему числа в таблице простых чисел разного цвета: Почему в таблице простых чисел (смотри обложку учебника) некоторые простые числа выделены другим цветом? Что это такое — «числа-близнецы»?
888. В таблице простых чисел на форзаце учебника синим цветом выделены числа-близнецы. 6 класс математика Мордкович – Рамблер/класс
888. В таблице простых чисел на форзаце учебника синим цветом выделены числа-близнецы. 6 класс математика Мордкович – Рамблер/классИнтересные вопросы
Школа
Подскажите, как бороться с грубым отношением одноклассников к моему ребенку?Новости
Поделитесь, сколько вы потратили на подготовку ребенка к учебному году?Школа
Объясните, это правда, что родители теперь будут информироваться о снижении успеваемости в школе?Школа
Когда в 2018 году намечено проведение основного периода ЕГЭ?Новости
Будет ли как-то улучшаться система проверки и организации итоговых сочинений?Вузы
Подскажите, почему закрыли прием в Московский институт телевидения и радиовещания «Останкино»?888. В таблице простых чисел на форзаце учебника синим цветом
выделены числа-близнецы — простые числа, между которыми в на-
туральном ряду чисел находится только одно число.
а) Выпишите три любые пары чисел-близнецов.
натуральных чисел.
ответы
Ответ:
а) 281; 283. 269; 271; 659; 661.
б) 881; 883
ваш ответ
Можно ввести 4000 cимволов
отправить
дежурный
Нажимая кнопку «отправить», вы принимаете условия пользовательского соглашения
похожие темы
Психология3 класс5 классРепетиторпохожие вопросы 5
Домашняя контрольная работа № 3 Вариант 2 10. При каких значениях р уравнение… Мордкович 8 класс алгебра10. При каких значениях р уравнение -х 2 + 6х — 2 = р:
а) не имеет корней;
б) имеет один корень; (Подробнее…)
ГДЗМордкович А.Г.Алгебра8 класс
Приветик! Кто решил? № 411 Математика 6 класс Виленкин.Выполните вычисления с помощью микрокалькулятора и резуль-
тат округлите до тысячных:
3,281 ∙ 0,57 + 4,356 ∙ 0,278 — 13,758 (Подробнее…)
ГДЗМатематика6 классВиленкин Н.
Я.Помогите установить соответствие между неравенствами. Математика базовый уровень ЕГЭ — 2017. Вар.№1. Зад.№17. Под руководством Ященко И.В.Здравствуйте! Помогите установить соответствие между неравенствами и их решениями: (Подробнее…)
ЕГЭЭкзаменыМатематикаЯщенко И.В.
Помогите выбрать утверждения. Математика базовый уровень ЕГЭ — 2017. Вар.№1. Зад.№18. Под руководством Ященко И.В.Здравствуйте! Перед волейбольным турниром измерили рост игроков волейбольной команды города N. Оказалось, что рост каждого из (Подробнее…)
ЕГЭЭкзаменыМатематикаЯщенко И.В.
11. Выпишите слово, в котором на месте пропуска пишется буква Е. Русский язык ЕГЭ-2017 Цыбулько И. П. ГДЗ. Вариант 12.11.
Выпишите слово, в котором на месте пропуска пишется буква Е.
произнос., шь (Подробнее…)
ГДЗЕГЭРусский языкЦыбулько И.П.
распечатать фото в хорошем качестве с крупными цифрами
Математическая красота простых чисел заключена в таблицу.
Содержание
- Для чего нужна таблица
- Как пользоваться
- Таблица простых чисел до 1000
- Таблица простых чисел до 10000
- Вопросы и ответы
Математика — царица точных данных. Поэтому в ней часто используются таблицы. Достаточно вспомнить таблицу сложения и таблицу умножения, таблицу степеней и таблицу квадратов. Этот ряд можно продолжать долго. Поэтому из него выделим таблицу простых чисел.
Для чего нужна таблица простых чисел
Простые числа — настоящие атомы в математике. Из них состоят многие расчеты, а сами они становятся алгоритмом различных вычислений. Особенно в сфере IT-технологий. Именно поэтому в основе кодов, которые применяют в шифровании баз данных, являются качества простых чисел. Эти особенности стали платформой, на которой держится безопасность банковских операций, данных мессенджеров, мобильной связи и многого другого.
Над математической формулой поиска простых чисел математики бьются последние 3,5 тысячи лет. Пока ее не нашли. Но зато составили таблицу простых чисел, которая помогает эти числа упорядочить. Принцип, по которому простые числа попадают в таблицу, придумал еще древнегреческий ученый Эратосфен. В математическом мире этот принцип известен как «решето Эратосфена».
Именно он, вычеркивая числа, кратные 2, 3 и далее по очереди, создал таблицу первой тысячи натуральных чисел. Таблица простых чисел помогает в решении основной теоремы арифметики. По ней все натуральные числа являются простыми либо раскладываются на простые множители. Исключение — 1. В поисках множителей конкретного числа следует заглянуть в таблицу простых чисел. Если это число в ней представлено — значит, оно является простым. Если нет — нужно найти все делители.
Для примера возьмем числа из первой сотни — 29 и 32.
29 — простое число. Делится только на 1 и 29.
32 — составное число. У него шесть делителей: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
это интересно
Простые числа
Как определить, простое число или нет
подробнееКак пользоваться таблицей простых чисел
Таблицей простых чисел пользоваться просто. Ее можно распечатать или открыть онлайн. При решении конкретного примера просто свериться с таблицей. Если число находится в ней, то ответ очевиден. Если нет, следует продолжать вычисления.
Часто в таблице простых чисел цветом выделяют пары простых чисел. В паре простые числа различаются на 2. Например, это 11 и 13, 29 и 31, 71 и 73, 107 и 109, 179 и 181 и так далее.
Таблица простых чисел до 1000
2 | 47 | 109 | 191 | 269 | 353 | 439 | 523 | 617 | 709 | 811 | 907 |
3 | 53 | 113 | 193 | 271 | 359 | 443 | 541 | 619 | 719 | 821 | 911 |
5 | 59 | 127 | 197 | 277 | 367 | 449 | 547 | 631 | 727 | 823 | 919 |
7 | 61 | 131 | 199 | 281 | 373 | 457 | 557 | 641 | 733 | 827 | 929 |
11 | 67 | 137 | 211 | 283 | 379 | 461 | 563 | 643 | 739 | 829 | 937 |
13 | 71 | 139 | 223 | 293 | 383 | 463 | 569 | 647 | 743 | 839 | 941 |
17 | 73 | 149 | 227 | 307 | 389 | 467 | 571 | 653 | 751 | 853 | 947 |
19 | 79 | 151 | 229 | 311 | 397 | 479 | 577 | 659 | 757 | 857 | 953 |
23 | 83 | 157 | 233 | 313 | 401 | 487 | 587 | 661 | 761 | 859 | 967 |
29 | 89 | 163 | 239 | 317 | 409 | 491 | 593 | 673 | 769 | 863 | 971 |
31 | 97 | 167 | 241 | 331 | 419 | 499 | 599 | 677 | 773 | 877 | 977 |
37 | 101 | 173 | 251 | 337 | 421 | 503 | 601 | 683 | 787 | 881 | 983 |
41 | 103 | 179 | 257 | 347 | 431 | 509 | 607 | 691 | 797 | 883 | 991 |
43 | 107 | 181 | 263 | 349 | 433 | 521 | 613 | 701 | 809 | 887 | 997 |
Таблица простых чисел до 10000
1009 | 1871 | 2767 | 3727 | 4723 | 5737 | 6763 | 7817 | 8863 | 9907 |
1013 | 1873 | 2777 | 3733 | 4729 | 5741 | 6779 | 7823 | 8867 | 9923 |
1019 | 1877 | 2789 | 3739 | 4733 | 5743 | 6781 | 7829 | 8887 | 9929 |
1021 | 1879 | 2791 | 3761 | 4751 | 5749 | 6791 | 7841 | 8893 | 9931 |
1031 | 1889 | 2797 | 3767 | 4759 | 5779 | 6793 | 7853 | 8923 | 9941 |
1033 | 1901 | 2801 | 3769 | 4783 | 5783 | 6803 | 7867 | 8929 | 9949 |
1039 | 1907 | 2803 | 3779 | 4787 | 5791 | 6823 | 7873 | 8933 | 9967 |
1049 | 1913 | 2819 | 3793 | 4789 | 5801 | 6827 | 7877 | 8941 | 9973 |
1051 | 1931 | 2833 | 3797 | 4793 | 5807 | 6829 | 7879 | 8951 | |
1061 | 1933 | 2837 | 3803 | 4799 | 5813 | 6833 | 7883 | 8963 | |
1063 | 1949 | 2843 | 3821 | 4801 | 5821 | 6841 | 7901 | 8969 | |
1069 | 1951 | 2851 | 3823 | 4813 | 5827 | 6857 | 7907 | 8971 | |
1087 | 1973 | 2857 | 3833 | 4817 | 5839 | 6863 | 7919 | 8999 | |
1091 | 1979 | 2861 | 3847 | 4831 | 5843 | 6869 | 7927 | 9001 | |
1093 | 1987 | 2879 | 3851 | 4861 | 5849 | 6871 | 7933 | 9007 | |
1097 | 1993 | 2887 | 3853 | 4871 | 5851 | 6883 | 7937 | 9011 | |
1103 | 1997 | 2897 | 3863 | 4877 | 5857 | 6899 | 7949 | 9013 | |
1109 | 1999 | 2903 | 3877 | 4889 | 5861 | 6907 | 7951 | 9029 | |
1117 | 2003 | 2909 | 3881 | 4903 | 5867 | 6911 | 7963 | 9041 | |
1123 | 2011 | 2917 | 3889 | 4909 | 5869 | 6917 | 7993 | 9043 | |
1129 | 2017 | 2927 | 3907 | 4919 | 5879 | 6947 | 8009 | 9049 | |
1151 | 2027 | 2939 | 3911 | 4931 | 5881 | 6949 | 8011 | 9059 | |
1153 | 2029 | 2953 | 3917 | 4933 | 5897 | 6959 | 8017 | 9067 | |
1163 | 2039 | 2957 | 3919 | 4937 | 5903 | 6961 | 8039 | 9091 | |
1171 | 2053 | 2963 | 3923 | 4943 | 5923 | 6967 | 8053 | 9103 | |
1181 | 2063 | 2969 | 3929 | 4951 | 5927 | 6971 | 8059 | 9109 | |
1187 | 2069 | 2971 | 3931 | 4957 | 5939 | 6977 | 8069 | 9127 | |
1193 | 2081 | 2999 | 3943 | 4967 | 5953 | 6983 | 8081 | 9133 | |
1201 | 2083 | 3001 | 3947 | 4969 | 5981 | 6991 | 8087 | 9137 | |
1213 | 2087 | 3011 | 3967 | 4973 | 5987 | 6997 | 8089 | 9151 | |
1217 | 2089 | 3019 | 3989 | 4987 | 6007 | 7001 | 8093 | 9157 | |
1223 | 2099 | 3023 | 4001 | 4993 | 6011 | 7013 | 8101 | 9161 | |
1229 | 2111 | 3037 | 4003 | 4999 | 6029 | 7019 | 8111 | 9173 | |
1231 | 2113 | 3041 | 4007 | 5003 | 6037 | 7027 | 8117 | 9181 | |
1237 | 2129 | 3049 | 4013 | 5009 | 6043 | 7039 | 8123 | 9187 | |
1249 | 2131 | 3061 | 4019 | 5011 | 6047 | 7043 | 8147 | 9199 | |
1259 | 2137 | 3067 | 4021 | 5021 | 6053 | 7057 | 8161 | 9203 | |
1277 | 2141 | 3079 | 4027 | 5023 | 6067 | 7069 | 8167 | 9209 | |
1279 | 2143 | 3083 | 4049 | 5039 | 6073 | 7079 | 8171 | 9221 | |
1283 | 2153 | 3089 | 4051 | 5051 | 6079 | 7103 | 8179 | 9227 | |
1289 | 2161 | 3109 | 4057 | 5059 | 6089 | 7109 | 8191 | 9239 | |
1291 | 2179 | 3119 | 4073 | 5077 | 6091 | 7121 | 8209 | 9241 | |
1297 | 2203 | 3121 | 4079 | 5081 | 6101 | 7127 | 8219 | 9257 | |
1301 | 2207 | 3137 | 4091 | 5087 | 6113 | 7129 | 8221 | 9277 | |
1303 | 2213 | 3163 | 4093 | 5099 | 6121 | 7151 | 8231 | 9281 | |
1307 | 2221 | 3167 | 4099 | 5101 | 6131 | 7159 | 8233 | 9283 | |
1319 | 2237 | 3169 | 4111 | 5107 | 6133 | 7177 | 8237 | 9293 | |
1321 | 2239 | 3181 | 4127 | 5113 | 6143 | 7187 | 8243 | 9311 | |
1327 | 2243 | 3187 | 4129 | 5119 | 6151 | 7193 | 8263 | 9319 | |
1361 | 2251 | 3191 | 4133 | 5147 | 6163 | 7207 | 8269 | 9323 | |
1367 | 2267 | 3203 | 4139 | 5153 | 6173 | 7211 | 8273 | 9337 | |
1373 | 2269 | 3209 | 4153 | 5167 | 6197 | 7213 | 8287 | 9341 | |
1381 | 2273 | 3217 | 4157 | 5171 | 6199 | 7219 | 8291 | 9343 | |
1399 | 2281 | 3221 | 4159 | 5179 | 6203 | 7229 | 8293 | 9349 | |
1409 | 2287 | 3229 | 4177 | 5189 | 6211 | 7237 | 8297 | 9371 | |
1423 | 2293 | 3251 | 4201 | 5197 | 6217 | 7243 | 8311 | 9377 | |
1427 | 2297 | 3253 | 4211 | 5209 | 6221 | 7247 | 8317 | 9391 | |
1429 | 2309 | 3257 | 4217 | 5227 | 6229 | 7253 | 8329 | 9397 | |
1433 | 2311 | 3259 | 4219 | 5231 | 6247 | 7283 | 8353 | 9403 | |
1439 | 2333 | 3271 | 4229 | 5233 | 6257 | 7297 | 8363 | 9413 | |
1447 | 2339 | 3299 | 4231 | 5237 | 6263 | 7307 | 8369 | 9419 | |
1451 | 2341 | 3301 | 4241 | 5261 | 6269 | 7309 | 8377 | 9421 | |
1453 | 2347 | 3307 | 4243 | 5273 | 6271 | 7321 | 8387 | 9431 | |
1459 | 2351 | 3313 | 4253 | 5279 | 6277 | 7331 | 8389 | 9433 | |
1471 | 2357 | 3319 | 4259 | 5281 | 6287 | 7333 | 8419 | 9437 | |
1481 | 2371 | 3323 | 4261 | 5297 | 6299 | 7349 | 8423 | 9439 | |
1483 | 2377 | 3329 | 4271 | 5303 | 6301 | 7351 | 8429 | 9461 | |
1487 | 2381 | 3331 | 4273 | 5309 | 6311 | 7369 | 8431 | 9463 | |
1489 | 2383 | 3343 | 4283 | 5323 | 6317 | 7393 | 8443 | 9467 | |
1493 | 2389 | 3347 | 4289 | 5333 | 6323 | 7411 | 8447 | 9473 | |
1499 | 2393 | 3359 | 4297 | 5347 | 6329 | 7417 | 8461 | 9479 | |
1511 | 2399 | 3361 | 4327 | 5351 | 6337 | 7433 | 8467 | 9491 | |
1523 | 2411 | 3371 | 4337 | 5381 | 6343 | 7451 | 8501 | 9497 | |
1531 | 2417 | 3373 | 4339 | 5387 | 6353 | 7457 | 8513 | 9511 | |
1543 | 2423 | 3389 | 4349 | 5393 | 6359 | 7459 | 8521 | 9521 | |
1549 | 2437 | 3391 | 4357 | 5399 | 6361 | 7477 | 8527 | 9533 | |
1553 | 2441 | 3407 | 4363 | 5407 | 6367 | 7481 | 8537 | 9539 | |
1559 | 2447 | 3413 | 4373 | 5413 | 6373 | 7487 | 8539 | 9547 | |
1567 | 2459 | 3433 | 4391 | 5417 | 6379 | 7489 | 8543 | 9551 | |
1571 | 2467 | 3449 | 4397 | 5419 | 6389 | 7499 | 8563 | 9587 | |
1579 | 2473 | 3457 | 4409 | 5431 | 6397 | 7507 | 8573 | 9601 | |
1583 | 2477 | 3461 | 4421 | 5437 | 6421 | 7517 | 8581 | 9613 | |
1597 | 2503 | 3463 | 4423 | 5441 | 6427 | 7523 | 8597 | 9619 | |
1601 | 2521 | 3467 | 4441 | 5443 | 6449 | 7529 | 8599 | 9623 | |
1607 | 2531 | 3469 | 4447 | 5449 | 6451 | 7537 | 8609 | 9629 | |
1609 | 2539 | 3491 | 4451 | 5471 | 6469 | 7541 | 8623 | 9631 | |
1613 | 2543 | 3499 | 4457 | 5477 | 6473 | 7547 | 8627 | 9643 | |
1619 | 2549 | 3511 | 4463 | 5479 | 6481 | 7549 | 8629 | 9649 | |
1621 | 2551 | 3517 | 4481 | 5483 | 6491 | 7559 | 8641 | 9661 | |
1627 | 2557 | 3527 | 4483 | 5501 | 6521 | 7561 | 8647 | 9677 | |
1637 | 2579 | 3529 | 4493 | 5503 | 6529 | 7573 | 8663 | 9679 | |
1657 | 2591 | 3533 | 4507 | 5507 | 6547 | 7577 | 8669 | 9689 | |
1663 | 2593 | 3539 | 4513 | 5519 | 6551 | 7583 | 8677 | 9697 | |
1667 | 2609 | 3541 | 4517 | 5521 | 6553 | 7589 | 8681 | 9719 | |
1669 | 2617 | 3547 | 4519 | 5527 | 6563 | 7591 | 8689 | 9721 | |
1693 | 2621 | 3557 | 4523 | 5531 | 6569 | 7603 | 8693 | 9733 | |
1697 | 2633 | 3559 | 4547 | 5557 | 6571 | 7607 | 8699 | 9739 | |
1699 | 2647 | 3571 | 4549 | 5563 | 6577 | 7621 | 8707 | 9743 | |
1709 | 2657 | 3581 | 4561 | 5569 | 6581 | 7639 | 8713 | 9749 | |
1721 | 2659 | 3583 | 4567 | 5573 | 6599 | 7643 | 8719 | 9767 | |
1723 | 2663 | 3593 | 4583 | 5581 | 6607 | 7649 | 8731 | 9769 | |
1733 | 2671 | 3607 | 4591 | 5591 | 6619 | 7669 | 8737 | 9781 | |
1741 | 2677 | 3613 | 4597 | 5623 | 6637 | 7673 | 8741 | 9787 | |
1747 | 2683 | 3617 | 4603 | 5639 | 6653 | 7681 | 8747 | 9791 | |
1753 | 2687 | 3623 | 4621 | 5641 | 6659 | 7687 | 8753 | 9803 | |
1759 | 2689 | 3631 | 4637 | 5647 | 6661 | 7691 | 8761 | 9811 | |
1777 | 2693 | 3637 | 4639 | 5651 | 6673 | 7699 | 8779 | 9817 | |
1783 | 2699 | 3643 | 4643 | 5653 | 6679 | 7703 | 8783 | 9829 | |
1787 | 2707 | 3659 | 4649 | 5657 | 6689 | 7717 | 8803 | 9833 | |
1789 | 2711 | 3671 | 4651 | 5659 | 6691 | 7723 | 8807 | 9839 | |
1801 | 2713 | 3673 | 4657 | 5669 | 6701 | 7727 | 8819 | 9851 | |
1811 | 2719 | 3677 | 4663 | 5683 | 6703 | 7741 | 8821 | 9857 | |
1823 | 2729 | 3691 | 4673 | 5689 | 6709 | 7753 | 8831 | 9859 | |
1831 | 2731 | 3697 | 4679 | 5693 | 6719 | 7757 | 8837 | 9871 | |
1847 | 2741 | 3701 | 4691 | 5701 | 6733 | 7759 | 8839 | 9883 | |
1861 | 2749 | 3709 | 4703 | 5711 | 6737 | 7789 | 8849 | 9887 | |
1867 | 2753 | 3719 | 4721 | 5717 | 6761 | 7793 | 8861 | 9901 |
Популярные вопросы и ответы
Отвечает Наталия Черняк, учитель математики.
Как вычислить простое число?
— Простое число можно вычислить с помощью деления. Если у него два делителя — единица и само число, то оно является простым. Если делителей больше, то и число уже не простое.
Какое наибольшее простое двузначное число?
— Наибольшим простым двузначным числом является 97.
Могут ли простые числа быть отрицательными?
— Нет, не могут. Изначально по определению простым является натуральное число. А натуральным могут быть только целые и положительные числа.
Теория чисел— Простые числа и 32 — откуда взялась эта закономерность?
Задавать вопрос
спросил
Изменено 6 лет, 9 месяцев назад
Просмотрено 2к раз
$\begingroup$Если мы поместим все натуральные числа в «периодическую таблицу» с периодом, равным $32$, мы получим следующий шаблон для простых чисел.
Простые числа окрашиваются в соответствии с их последней цифрой. Я не окрашивал простые числа после первой «полной диагонали», но узор продолжается бесконечно. Числа на «простых диагоналях», которые являются составными, выделены жирным шрифтом.
Как можно объяснить эту закономерность? Я искренне удивлен этим.
Редактировать Так называемый «шаблон» в ответах мне объяснили как тривиальный, но как насчет выделенных жирным шрифтом чисел $[49,77,91,119,121,133,143,…]$? Есть ли что-то особенное в этой последовательности? Некоторые из них являются квадратами простых чисел, некоторые — произведением двух простых чисел, но, может быть, есть что-то еще?
- теория чисел
- простые числа
- теория сита
На самом деле это немного вводит в заблуждение. Если вы проигнорируете простые числа и отметите каждого числа его последней цифрой (но учитывайте только те, которые заканчиваются на 1, 3, 7 или 9), вы получите точно такой же шаблон . За исключением того, что теперь линии будут сплошными без разрывов.
Это не тайна. В каждом столбце мы добавляем 32 к каждой соответствующей ячейке, поэтому, проходя по 1 столбцу и поднимаясь на 2 строки, вы всегда будете получать цифру с одинаковой последней цифрой, а строки с одинаковыми последними цифрами всегда будут формироваться, проходя от 1 до 2. (Если мы раскрасили все цифры, мы получили бы запутанную шахматную доску, похожую на шаблон, но, ограничившись нечетными значениями, мы можем видеть линии.)
Фильтрация по простым числам (или любому другому условию) добавит пустые места в строки, но не изменит основное существование линий.
В основном строки существуют, потому что $32\экв 2\мод 10$. Если бы мы использовали 31 строку, она бы переместилась на одну вверх. Если бы мы использовали 30, линии были бы горизонтальными. Если бы мы использовали 33, линии были бы наклонены вниз. И т.д.
НИЧЕГО общего с простыми числами.
====
Но что удивительно , так это спираль Улама. Погугли это. (Что не имеет НИЧЕГО общего с тем, что вы сделали — что совершенно тривиально.)
$\endgroup$ 1 $\begingroup$Простые числа действительно следуют основному шаблону, но он все еще не полностью зафиксирован, так как последующие составные числа все чаще нарушают шаблон P-P—P-P—P-P и т. д. и т. д. Если вы используете сетку, основанную на кратных простых числах (например, как $2\times3=6$, или $6\times5=30$, или $30\times7=210$, или $210\times11=2310$ и т. д. и т. д.) вы увидите, что существует шаблон составных чисел и в некоторой степени Простые числа. Это полезно для определения того, что НЕ является простым числом, а не для поиска того, что является простым числом.
$\endgroup$ 0 $\begingroup$Что касается вашего редактирования, все эти числа являются числами, все простые делители которых больше или равны $7$ (A038510). Это единственное очевидное свойство, которое они разделяют, и это свойство можно легко доказать:
Очевидно, поскольку вы смотрите на вещи по модулю 10 и хотите найти простые числа, вы не смотрели на диагонали, оканчивающиеся на $0, 2, 4, 5, 6, 8$, так как они не будут содержать простых чисел. Следовательно, никакое число на рассматриваемых вами диагоналях не будет кратно $2$ или $5$.
Что касается $3$, тут немного тоньше. Если $N$ таков, что $N = 3k$, то следующий элемент $N’$ на диагонали таков, что $N’ = N + 30$, поэтому $N’$ также кратно $3$. Следовательно, все числа, кратные $3$, будут лежать на одних и тех же диагоналях. Следовательно, на диагонали с простыми числами (целыми числами, не делящимися на $3$) не будет целых чисел, делящихся на $3$.
Наконец, все непростые целые числа на рассмотренных вами диагоналях не могут делиться на $2, 3, 5$, QED.
$\endgroup$ $\begingroup$Вот о чем ты говоришь https://en.wikipedia.org/wiki/Sieve_of_Eratosthenes
$\endgroup$ 2график сотен Prime Climb – чудо математики
Это шестой в серии постов о моем курсе «Развитие математического мышления», факультативе по математике для будущих учителей начальной и средней математики. Все посты из этой серии здесь.
Это последний пост с подробным описанием того, как я представил «Уведомление и удивление» своим учителям до начала работы. Мы использовали его для придания смысла. Затем мы просмотрели фотографии окружающего мира и провели мозговой штурм, что мы заметили и задались вопросом. Студенты позже сделали свои собственные фотографии и идентифицировали математические идеи, которые они видели. (Фотографии и размышления было очень интересно рассматривать!) Затем мы перенесли наши навыки «Замечать и удивляться» в более математические условия, включая одну из математических задач Дэна Мейера в трех действиях, «Зубочистки». Теперь я расскажу вам о задаче на консолидацию, в которой я попросил студентов рассказать мне, что они замечают и интересуются изображением, полным математических идей.
Обновление от 6 августа 2017 г.: В этом посте описывается еще один способ включения «Notice and Wonder» в график сотен Prime Climb.
Примечание. Хотя это выглядит как длинное сообщение, первые 200 слов являются введением; последние 1500 слов представляют собой краткое изложение идей учащихся.
Таблица сотен Prime Climb
Prime Climb — красивая настольная игра, в которой игроки углубляют свое понимание арифметики посредством игрового процесса. Честно говоря, я никогда не играл! Но это не помешало мне оценить великолепную диаграмму сотен, которая сопровождает игру. Версия ниже; вы можете купить это изображение на потрясающем плакате здесь.
Эта диаграмма сотен заставляет нас замечать и удивляться. Найдите минутку и проведите мозговой штурм для себя. (Дэн Финкель, создатель игры Prime Climb, рассказывает об этом изображении в своем замечательном выступлении на TED «Пять принципов экстраординарного преподавания математики». На просмотр стоит потратить примерно 15 минут.) от моих учеников
Я попросил свою группу из почти пятидесяти учителей до начала работы рассказать мне о пяти вещах, которые они заметили, и об одной вещи, которая их удивила. Как группа, это потенциально 250 различных вещей, которые они замечают, и 50 вещей, которым они удивляются! Вот сопоставленный список из примерно 100 их идей (с небольшими поправками на неверную терминологию), небрежно сгруппированных по моим собственным заголовкам разделов. Я попросил их сделать это как индивидуально. Я уверен, что в групповом обсуждении они развили бы и расширили идеи друг друга. В следующий раз!
Приятного чтения; Я, конечно, сделал.
I
уведомление что …Цвет и структура
- Круги пронумерованы от 1 до 100.
- Диаграмма организована по системе 10×10.
- Числа возрастают.
- Числа в каждом столбце увеличиваются на десять по мере продвижения вниз по списку.
- Цвет как-то связан с числом, и наоборот.
- Есть разные цвета: синий, оранжевый, желтый, красный, зеленый.
- Некоторые круги имеют только один цвет.
- За исключением целых красных кругов, каждый другой цвет появляется как целый круг только один раз.
- Каждый круг состоит из одного или нескольких цветов.
- Цвет используется для демонстрации отношений между числами.
- В каждом втором числе есть оранжевый (и аналогичные утверждения о других цветах).
- Все четные числа окрашены в желтый/оранжевый цвет.
- Дружественные числа (5 и 10) выделены синим цветом.
- Кружки с синим концом на 5 или 0.
- Много красных кругов/цифр.
- Есть 21 сплошной красный кружок/цифра.
- Красный — самый заметный цвет.
- Фиолетовый – наименее используемый цвет.
- Полностью зеленые числа кратны 3 (и аналогичные утверждения о других цветах).
- Кольца разбиты на части, которые варьируются от целого до 1/6.
- В некоторых красных секциях есть маленькие белые цифры.
- Все маленькие белые числа, которые появляются «случайно» в нижней части кругов, являются нечетными числами.
- Красные полные кружки появляются только на нечетных числах.
- Числа с оранжевым цветом (кратные 2) расположены по вертикали, как и числа с синим цветом (кратные 5). Но числа с зеленым цветом (кратные 3) расположены по диагонали (справа налево), если смотреть сверху вниз.
- Если вы поместите палец на число с фиолетовым цветом, затем переместите палец вверх на одну строку, а затем переместите его на три столбца вправо, вы окажетесь на другом числе с фиолетовым цветом (работает с большинством фиолетовых чисел, если это не слишком близко к край).
- Наибольшее количество цветных секторов вокруг числа равно шести.
- Наибольшее количество различных цветов, содержащихся в секторах, окружающих любое число, равно трем.
- Ни один номер/круг не содержит всех цветов.
- Кажется, что в цветах нет закономерности.
Число 1
- Число 1 не имеет цвета, потому что оно не является ни простым, ни составным числом.
- Число 1 имеет собственный цвет и не является частью какой-либо конкретной фигуры на графике. Каждое целое число имеет делитель 1,
- 1 не является простым числом, поэтому оно не окрашено.
Простые числа
- Полноцветные кружки — это простые числа.
- Все простые числа имеют одну сплошную окружность.
- 97 — наибольшее простое число меньше 100.
- Простые числа имеют свой особый цвет до значения 7.
- Числа в красных кружках также являются простыми числами от 11 и выше.
- Все простые числа от 1 до 100, кроме 2, являются нечетными.
- Существует 25 простых чисел от 1 до 100.
- Если внизу круга написано меньшее число, обозначающее большее число, то это означает, что большее число делится на простое число. Например, число 92 имеет маленькую цифру 23, написанную внизу круга, это означает, что 92 делится на простое число 23.
- Между 91 и 100 есть только одно простое число. Все остальные блоки из десяти имеют по крайней мере два простых числа.
- В столбце «3» больше всего простых чисел от 1 до 100.
Составные числа
- Непростые числа представляют собой смесь цветов. Например, 15 — это 5×3, где 5 — синий, а 3 — зеленый, поэтому 15 — это наполовину синий и наполовину зеленый.
- Все числа, кратные 6, должны быть оранжевого (2) и зеленого (3) цвета.
- Любое число, оканчивающееся на 4,6,8 или 0, не является простым числом.
- Некоторые непростые числа состоят из множителей, которые являются просто (только) простыми числами.
Квадратные числа
- Все квадратные числа состоят из нескольких частей одного цвета.
- Сумма всех квадратных чисел равна 385.
Ориентирован на умножение
- Мы можем использовать цвета вокруг каждого числа и перемножать их «представляющие числа» вместе, чтобы получить число в середине.
- Фрагменты круга символизируют, сколько раз произошло умножение. Например, число 8 состоит из трех фрагментов желтого круга, обозначающих 2×2×2.
- Цвета каждого круга представляют собой числа, на которые можно разделить большее число. Например, число 95 окрашено в синий и красный цвета. Эти цвета представляют 5 и простое число 19. При умножении их сумма равна 95.
Делитель и множитель
- На этой диаграмме есть только 2 числа, которые представлены кружком, разделенным на шестые. Им 64 и 96.
- Для составления чисел до 100 требуется не более шести множителей.
- Нечетные числа чаще всего имеют делители, являющиеся простыми числами.
- Круги делятся на секции в зависимости от того, сколько у них делителей.
- Множители каждого числа очевидны по раскраске.
- Различные цветные части круга означают, что число делится более чем на одно число.
- Нечетные числа обычно имеют меньше делителей, даже если они не простые.
Простые множители
- Цвета, окружающие число, представляют собой простые множители числа. Например, число 96 состоит из пяти оранжевых сегментов и одного зеленого сегмента, что предполагает, что простые множители числа 96 равны 2×2×2×2×2×3.
Другое
- Все числа, делящиеся на 11, имеют число 11 в нижнем индексе и находятся в диагональной строке.
- Рассмотрите числа с одинаковыми цифрами (11, 22, …). Сумма цифр – все четные числа.
- Нет явных инструкций или «ключа», объясняющего, что на самом деле показывает диаграмма.
- Сумма первых девяти простых чисел равна 100.
- Если вы прищуритесь, вы начнете видеть цветовые узоры, а не числа, как я заметил некоторые из моих предыдущих пунктов.
Интересно…
Цвет и структура
- Почему 1 — единственная цифра серого цвета?
- Почему на некоторых кругах есть лишние цифры белого цвета?
- Что означают сечения кругов?
- Почему разные числа делятся на разные «дроби»? Есть ли в этом основная причина?
- Почему некоторые числа имеют части своего цвета, даже если эти части одного цвета? Например, число 64 состоит из шести частей оранжевого цвета, а оранжевый ассоциируется только с 2.
- Как им удалось разделить внешний круг числа 24 на четыре сегмента? И почему три из них оранжевые, а один зеленый?
- Какой цвет используется чаще всего?
- Было бы легче читать диаграмму, если бы все простые числа имели свой цвет, а не первые 10?
- Почему числа 96 и 64 имеют больше всего делений?
- Есть ли несколько «решений» этой проблемы?
Выкройки
- Если есть выкройка? А если бы я разобрался?
- Есть ли закономерность между числами и количеством частей в их цветном круге, которую можно использовать для вычисления любого числа?
- Почему они не написали, сколько раз конкретное число входит в большое число внутри соответствующей цветовой секции?
- Почему числа окрашены случайным образом (без определенного шаблона)?
- Можете ли вы использовать эту числовую таблицу и расширить ее, чтобы найти каждое простое число без ручных и утомительных вычислений?
- Существует ли систематический способ определения наибольшего количества секторов или различных цветов, которые могут окружать любое число в наборе (например, от 1 до 1 000 000), без необходимости садиться и умножать простые числа?
Расширение диаграммы
- Если бы получилось 1000, какое число имело бы наибольшее количество разных цветов?
- Если бы это число увеличилось до 1000, стали бы мы видеть все больше и больше красного цвета по сравнению с другими цветами?
- Интересно, как будут выглядеть следующие 100 чисел, разложенные таким образом на простые множители? Я бы предположил, что количество видимого красного уменьшится.