Задание 9 ОГЭ по математике. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств

Джамиля Агишева

При выполнении задания 9 ОГЭ по математике необходимо:

уметь решать линейные и квадратные уравнения, системы уравнений и неравенств.

Пример 1. Решите уравнение .

Решение. Уравнение линейное. Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые, все «иксы» переносим в левую часть равенства, всё без «иксов»  – вправо:

Ответ:   — 2.

Пример 2. Решите уравнение  . Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Решение. Уравнение является квадратным  , , . Вычисляем дискриминант и корни:

Ответ: .

Пример 3. Решите уравнение  . Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Решение. В левой части данного уравнения произведение двух множителей-скобок, и это произведение равно нулю. Это возможно тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, получаем два уравнения:

Тогда меньший из корней уравнения равен -0,75.

Ответ: -0,75.

Пример 4. Решите систему уравнений 

В ответе запишите значение .

Решение. Используем метод подстановки: из второго уравнения можно выразить y и подставить в первое уравнение.

 

Таким образом, .

Пример 5. На рисунке изображены графики функций  и . Вычислите ординату точки B.

Решение. Для нахождения координат точек пересечения графиков заданных функций необходимо решить систему уравнений.

Найдём корни первого уравнения системы.

 ̶ абсцисса точка B.

Тогда ордината точки В:

Ответ: -5.

Пример 6. Найдите наибольшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств:

Решение. Выразим из каждого неравенства переменную x. Не забываем, что при делении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства не меняется, при делении на отрицательное число  ̶  знак неравенства меняется на противоположный.

Используем числовую прямую. Решение первого неравенства отметим штриховкой («ёлочкой») с наклоном вправо, второго неравенства  ̶  штриховкой с наклоном влево. При этом точка -2 будет «закрашенной», т.к. знак первого неравенства нестрогий, а точка -5,5 будет «выколотой», т.к. знак второго неравенства строгий.

Решением системы неравенств является тот промежуток, на котором пересеклись две «ёлочки», то есть две штриховки. Это промежуток . «Выколотой» точке соответствует круглая скобка, «закрашенной» ̶ квадратная.

Ответим на вопрос задачи. Наибольшее значение

Ответ: .

Решение систем уравнений второй степени и решение задач с помощью таких систем 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком

Тема 8.

Решение систем уравнений второй степени и решение задач с помощью таких систем.

Какие основные способы решения систем уравнений вы знаете? (методы сложения, подстановки, графический)

Каким способом можно решить систему, одно из уравнений которой – уравнение второй степени?

Такие системы всегда можно решить способом подстановки. Для этого поступают следующим образом:

1. Выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую;
2. Подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной;
3. Решают получившееся уравнение с одной переменной;
4. Находят соответствующие значения второй переменной.

Рассмотрим пример:

Решим систему уравнений:

x2+y=14,y-x=8;

Выразим из первого уравнения переменную y и подставим во второе:

y=14-x2,14-x2-x=8;

Решим второе уравнение, относительно х:

x² + x — 6 = 0, корни которого равны (– 3) и 2.

Вернемся к системе:

x1=-3,y1=14—32;

x1=-3,y1=14—32;

x1=-3,y1=5;

x2=2,y2=10;

Рассмотрим еще один пример, решим систему

x2-y2=17,x-y=2;

Эту систему так же можно решить методом подстановки, выразив переменную x, но можно упростить первое уравнение.

Заметим, что левую часть первого уравнения можно разложить на множители по формуле разности квадратов, получим:

x-yx+y=17,x-y=2;

Из второго уравнения разность x — y = 2. Поэтому вместо первой скобки в первое уравнение подставим число 2, получим:

2x+y=17,x-y=2;

2x+y=17,x-y=2;

Разделим обе части первого уравнения на 2, получим:

x+y=8,5,x-y=2;

А эту систему давай решим методом сложения, сложим два уравнения, а затем из первого уравнения вычтем второе, получим:

2x=10,5,2y=6,5;

x=5,25,y=3,25.

А теперь решим несколько задач с помощью систем: уравнений второй системы:

Сумма двух чисел равна 12, а их произведение равно 35. Найдите эти числа.

Пусть число x – первое число, а

y – второе число. Тогда получим:

x+y=12,x∙y=35;

Выразим из первого уравнения переменную х и подставим во второе, получим:

x=12-y,x∙y=35;

x=12-y,12-yy=35;

Решим уравнение:

12y — y² — 35 = 0

y² — 12y + 35 = 0

Получим корни 5 и 7.

Возвращаемся к нашей системе:

y1=55x=35

y2=7,7x=35;

y1=5×1=7

y2=7×2=5

Ответ: (7;5) и (5;7)

Рассмотрим еще одну задачу:

Площадь прямоугольного треугольника равен 24 см², а его гипотенуза равна 10 см. Каковы катеты треугольника?

Пусть a – длина одного катета, а

b – длина второго катета.

Вспомним формулу площади прямоугольного треугольника и теорему Пифагора:

Итак, площадь равна половине произведения катетов.

А квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

12ab=24a2+b2=100

Решим эту систему, первое уравнение домножим на 2, получим:

ab=48a2+b2=100

Выразим переменную а из первого уравнения и подставим во второе, получим:

a=48b48b2+b2=100

Решим второе уравнение системы:

2304b2+b2-100=0,

b4-100b2+2304=0, решим это биквадратное уравнение:

Пусть b² = t, тогда получим:

t² — 100t + 2304 = 0, отсюда

t₁ = 64, t₂ = 36

Возвращаемся к нашей замене, получим:

b1,2=±8,b3,4=±6, так как b – это длина катета, то она не может быть отрицательной, следовательно, b равно 6 или 8, тогда второй катет равен 8 или 6 соответственно.

Системы линейных уравнений: три переменные

Результаты обучения

• Решить системы трех уравнений с тремя переменными.
• Найдите несовместимые системы уравнений, содержащие три переменные.
• Выразите решение системы зависимых уравнений, содержащей три переменные, используя стандартные обозначения.

Джон получил в наследство 12 000 долларов, которые он разделил на три части и вложил тремя способами: в фонд денежного рынка с выплатой 3% годовых; в муниципальных облигациях с выплатой 4% годовых; и во взаимных фондах, выплачивающих 7% годовых. Джон вложил в муниципальные фонды на 4000 долларов больше, чем в муниципальные облигации. В первый год он заработал 670 долларов в виде процентов. Сколько Джон инвестировал в каждый тип фонда?

(кредит: «Elembis», Wikimedia Commons)

Понимание правильного подхода к постановке задач, подобных этой, делает поиск решения вопросом следования образцу. В этом разделе мы решим эту и подобные задачи с тремя уравнениями и тремя переменными. При этом используются методы, аналогичные тем, которые используются для решения систем двух уравнений с двумя переменными. Однако поиск решений систем из трех уравнений требует большей организованности и некоторой визуальной гимнастики.

Решение систем трех уравнений с тремя переменными

Чтобы решить системы уравнений с тремя переменными, известные как системы «три на три», основная цель состоит в том, чтобы исключить одну переменную за раз для достижения обратной подстановки. Решение системы из трех уравнений с тремя переменными [латекс]\влево(х,у,г\вправо),\текст{}[/латекс] называется

упорядоченной тройкой .

Чтобы найти решение, мы можем выполнить следующие операции:

1. Поменять местами любые два уравнения.
2. Умножить обе части уравнения на ненулевую константу.
3. Добавить ненулевое кратное одного уравнения к другому уравнению.

Графически упорядоченная тройка определяет точку пересечения трех плоскостей в пространстве. Вы можете визуализировать такое пересечение, представив себе любой угол в прямоугольной комнате. Угол определяется тремя плоскостями: двумя примыкающими стенами и полом (или потолком). Любая точка, где встречаются две стены и пол, представляет собой пересечение трех плоскостей.

Общее примечание: количество возможных решений

Плоскости иллюстрируют возможные сценарии решения для систем три на три.

• Системы, имеющие единственное решение, это те, которые после исключения приводят к множеству решений
  , состоящему из упорядоченной тройки [латекс]\left\{\left(x,y,z\right)\right\} [/латекс]. Графически упорядоченная тройка определяет точку, являющуюся пересечением трех плоскостей в пространстве.
• Системы с бесконечным числом решений — это те, которые после исключения приводят к всегда истинному выражению, например [латекс]0=0[/латекс]. Графически бесконечное количество решений представляет собой линию или совпадающую плоскость, которая служит пересечением трех плоскостей в пространстве.
• Системы, не имеющие решения, — это те, которые после исключения приводят к утверждению, являющемуся противоречием, например [латекс]3=0[/латекс]. Графически система без решения изображается тремя плоскостями, не имеющими общих точек.

(a) Три плоскости пересекаются в одной точке, представляя систему три на три с единственным решением. (b) Три плоскости пересекаются по прямой, представляя систему три на три с бесконечными решениями.

Пример. Определение того, является ли упорядоченная тройка решением системы

Определить, является ли упорядоченная тройка [латекс]\влево(3,-2,1\вправо)[/латекс] решением системы.

[латекс]\begin{gathered}x+y+z=2 \\ 6x — 4y+5z=31 \\ 5x+2y+2z=13 \end{gathered}[/latex]

Показать решение

Как: Имея линейную систему из трех уравнений, найдите три неизвестных.

1. Выберите любую пару уравнений и решите одну переменную.
2. Выберите другую пару уравнений и решите для той же переменной.
3. Вы составили систему двух уравнений с двумя неизвестными. Решите полученную систему два на два.
4. Обратно подставьте известные переменные в любое из исходных уравнений и найдите отсутствующую переменную.

Пример. Решение системы из трех уравнений с тремя переменными методом исключения

Найдите решение следующей системы:

[latex]\begin{align}x — 2y+3z=9& &\text{(1)} \\ -x+3y-z=-6& &\text{(2)} \\ 2x — 5y+5z=17& &\text{(3)} \end{align}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Решите систему уравнений с тремя переменными.

[латекс]\begin{array}{l}2x+y — 2z=-1\hfill \\ 3x — 3y-z=5\hfill \\ x — 2y+3z=6\hfill \end{array} [/latex]

Показать решение

В следующем видео вы увидите визуальное представление трех возможных результатов для решений системы уравнений с тремя переменными. Существует также рабочий пример решения системы с помощью исключения.

 

Пример: решение реальной задачи с использованием системы трех уравнений с тремя переменными

В задаче, поставленной в начале раздела, Джон вложил свое наследство в размере 12 000 долларов в три разных фонда: часть в деньги- рыночный фонд, выплачивающий 3% годовых; участие в муниципальных облигациях с выплатой 4% годовых; а остальное в паевые инвестиционные фонды с выплатой 7% годовых. Джон вложил в паевые инвестиционные фонды на 4000 долларов больше, чем в муниципальные облигации. Общая сумма процентов, заработанных за один год, составила 670 долларов. Сколько он инвестировал в каждый тип фонда?

Показать решение

Попробуйте

Классифицировать решения систем с тремя переменными

Так же, как и с системами уравнений с двумя переменными, мы можем встретить противоречивую систему уравнений с тремя переменными, что означает, что она не имеет решения, которое удовлетворяет всем трем уравнениям. Уравнения могут представлять три параллельные плоскости, две параллельные плоскости и одну пересекающуюся плоскость или три плоскости, которые пересекают две другие, но не в одном и том же месте. Процесс исключения приведет к ложному утверждению, например, [латекс]3=7[/латекс] или другому противоречию.

Пример. Решение противоречивой системы из трех уравнений с тремя переменными

Решите следующую систему.

[латекс]\begin{align}x — 3y+z=4 && \left(1\right) \\ -x+2y — 5z=3 && \left(2\right) \\ 5x — 13y+13z =8 && \left(3\right) \end{align}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Решите систему из трех уравнений с тремя переменными.

[латекс]\begin{array}{l}\text{ }x+y+z=2\hfill \\ \text{ }y — 3z=1\hfill \\ 2x+y+5z=0\hfill \end{массив}[/латекс]

Показать решение

Выражение решения системы зависимых уравнений с тремя переменными

Из работы с системами уравнений с двумя переменными мы знаем, что зависимая система уравнений имеет бесконечное число решений. То же верно и для зависимых систем уравнений с тремя переменными. Бесконечное количество решений может быть результатом нескольких ситуаций. Три плоскости могут быть одинаковыми, так что решение одного уравнения будет решением двух других уравнений. Все три уравнения могут быть разными, но они пересекаются на прямой, имеющей бесконечные решения. Или два уравнения могут быть одинаковыми и пересекать третье по прямой.

Пример: Нахождение решения зависимой системы уравнений

Найдите решение данной системы трех уравнений с тремя переменными.

[латекс]\begin{align}2x+y — 3z=0 && \left(1\right)\\ 4x+2y — 6z=0 && \left(2\right)\\ x-y+z= 0 && \left(3\right)\end{align}[/latex]

Показать решение

Вопросы и ответы

Всегда ли общее решение для зависимой системы должно быть записано в терминах [латекс]х?[/латекс]

Нет, общее решение можно записать в терминах любой из переменных, но обычно его записывают в терминах [латекс]х[/латекс] и, при необходимости, [латекс]х[/латекс] и [ латекс]у[/латекс].

Попробуйте

Решите следующую систему.

[латекс]\begin{gathered}x+y+z=7 \\ 3x — 2y-z=4 \\ x+6y+5z=24 \end{gathered}[/latex]

Показать решение

Ключевые понятия

• Набор решений — это упорядоченная тройка [латекс]\влево\{\влево(х,у,г\вправо)\вправо\}[/латекс], представляющая собой пересечение трех плоскостей в пространстве.
• Система из трех уравнений с тремя переменными может быть решена с помощью ряда шагов, которые заставляют исключить переменную. Шаги включают изменение порядка уравнений, умножение обеих частей уравнения на ненулевую константу и добавление ненулевого кратного одного уравнения к другому уравнению.
• Системы трех уравнений с тремя переменными полезны для решения многих различных типов реальных задач.
• Система уравнений с тремя переменными несовместна, если не существует решения. После выполнения операций исключения получается противоречие.
• Противоречивые системы уравнений с тремя переменными могут быть результатом трех параллельных плоскостей, двух параллельных плоскостей и одной пересекающейся плоскости или трех плоскостей, которые пересекают две другие, но не в одном и том же месте.
• Система уравнений с тремя переменными является зависимой, если она имеет бесконечное число решений. После выполнения операций исключения результатом является тождество.
• Системы уравнений с тремя переменными, которые являются зависимыми, могут быть результатом трех одинаковых плоскостей, трех плоскостей, пересекающихся по прямой, или двух одинаковых плоскостей, пересекающих третью по прямой.

Глоссарий

Набор решений Набор всех упорядоченных пар или тройки, которые удовлетворяют всем уравнениям в системе уравнений

Система уравнений — Google Sucke

SalebildervideosnewsmapsShoppingBücher

SUSHOPTIDESNEWSNEWSMAPSSHOPPINGBücher

. — GeoGebra

www.geogebra.org › …

Практическая викторина — Системы уравнений. … Вопрос 1. Каково решение приведенной выше системы линейных уравнений? 𝜋. Проверьте мой ответ …

Решение систем уравнений | Алгебра I Викторина — Викторина

quizizz. com › admin › решение систем уравнений

Сыграйте в эту игру, чтобы просмотреть Алгебру I. График представляет собой систему уравнений. Сколько решений имеет система? Если есть решение, назовите его.

Системы уравнений, задачи и ответы для викторин и рабочих листов

quizizz.com › admin › викторина › системы уравнений

СЕССИЯ ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ Начать живую викторину … Если система уравнений не имеет решения , как выглядит график? варианты ответов. пересекающиеся линии.

Тест: решение систем уравнений (одновременных уравнений)

www.cliffsnotes.com › алгебра › алгебра-i › викторина-решение…

Тест: решение систем уравнений (одновременные уравнения). Чтобы решить для x в данной системе уравнений, какой из описанных шагов можно использовать …

[PDF] 511 викторина по системам решения

www.rcsdk12.org › cms › lib › Centricity › Domain

Система уравнений Возьмите домой Задание: Обязательно проверьте все работы. A: Решите системы графически: [по 3 балла]. 1) 2х + у = 4,

Системы уравнений | Алгебра 1 | Math — Khan Academy

www.khanacademy.org › математика › алгебра › x2f8bb1…

Повышайте уровень вышеперечисленных навыков и набирайте до 320 очков мастерства. Начать викторину. Решение систем уравнений с подстановкой · Системы уравнений с …

Решение систем линейных уравнений Викторина — ThatQuiz

www.thatquiz.org › Предварительный просмотр

Решите систему уравнений методом. на ваш выбор. Вот несколько предложений: путем построения графика на миллиметровой бумаге, путем замены или исключения.

Тест по решению систем линейных уравнений — ThatQuiz

www.thatquiz.org › Предварительный просмотр

Каково решение линейной системы? Решите систему уравнений методом. на ваш выбор. Опции: Графики на миллиметровой бумаге, Подстановка,.

Викторина по решению системы линейных уравнений — Вопросы с решениями

www.