docplayer.ru

Математика 9 класс, муниципальный этап (2 этап), г. Москва, 2016 год

Задание 1

В зоопарке есть 10 слонов и огромные чашечные весы. Известно, что если любые четыре слона встанут на левую чашу весов, а любые три – на правую, то левая чаша перевесит. Пять слонов встали на левую чашу и четыре – на правую. Обязательно ли левая чаша перевесит?

Ответ: не обязательно.

Решение

Приведём контрпример. Пусть пять слонов весят по 7 тонн, а ещё пять – по 9 тонн каждый.

Тогда любые четыре слона на левой чаше весов вместе весят не менее, чем 4∙7 = 28 тонн, а любые три слона на правой – не более, чем 3∙9 = 27 тонн, и левая чаша действительно перевесит.

Но если пять “лёгких” слонов общей массой 5∙7 = 35 тонн встанут на левую чашу весов, а четыре “тяжёлых” слона общей массой 4∙9 = 36 тонн на правую, то перевесит правая чаша.

Существует и много других контрпримеров. В приведенном примере масса слонов правдоподобна. От школьников этого не требуется.

Критерии проверки

• “+” – приведен любой верный контрпример с доказательством его пригодности
• “±” – приведен верный контрпример, но не объяснена его пригодность
• “–” – приведен верный ответ с неверным контрпримером
• “–” – приведен только ответ

Задание 2

На доске записаны двузначные числа. Каждое число составное, но любые два числа взаимно просты. Какое наибольшее количество чисел может быть записано?

Ответ: четыре числа.

Решение

Оценка. Так как любые два записанных числа взаимно просты, то каждое из простых чисел 2, 3, 5 и 7 может войти в разложение на множители не более, чем одного из них. Если же на доске пять или более чисел, то все простые множители в разложении какого-то из них должны быть не меньше, чем 11. Но это составное число, значит, оно не меньше, чем 121. Это противоречит условию: все записанные числа двузначные. Следовательно, на доске записано не более четырёх чисел.

Пример. 25, 26, 33, 49.

Существуют и другие примеры.

Критерии проверки

• “+” – приведено полное обоснованное решение
• “±” – приведена верная оценка, но пример не приведен или он неверен
• “ ” – приведены только верный ответ и верный пример
• “–” – приведен только ответ
• “–” – задача не решена или решена неверно

Задание 3

В остроугольном треугольнике  ABC  проведены высоты  AD  и  CE. Точки  M  и  N  –  основания перпендикуляров, опущенных на прямую DE из точек A и C соответственно. Докажите, что ME = DN.

Решение

Так как ∠ADC = ∠AЕC, то четырехугольник АЕDС – вписанный. Далее можно рассуждать по-разному.

Первый способ

По свойству вписанного четырехугольника ∠NDC  =  ∠ВАС  =  α,  ∠MEA  =  ∠ВСА  =  γ  (см. рис. 9.3а). Тогда, используя прямоугольные треугольники АМЕ и АЕС, получим: МЕ = АЕ∙cosγ = AC∙cosα∙cosγ. Аналогично, DN = DC∙cosα = AC∙cosγ∙ cosα.

Рис. 9.3а

Следовательно, ME = DN, что и требовалось.

Отметим, что использованные равенства углов можно получить из подобия треугольников  DВЕ и АВС, которое, в свою очередь, можно получить из подобия треугольников АВD и СВЕ (если не использовать окружность).

Второй способ

Воспользуемся тем, что центром окружности, описанной около АЕDС, является середина О стороны АС. Так как треугольник DOE – равнобедренный, то  его высота ОК является и его медианой, те есть ЕК = КD (см. рис. 9.3б). Прямые АМ, ОК и CN перпендикулярны прямой ED, поэтому  параллельны друг другу. Из того, что АО = ОС по теореме Фалеса следует, что МК = КN. Тогда ME = МК – ЕК = КN – КD = DN, что и требовалось.

Рис. 9.3б

И в этом способе решения необязательно “напрямую” использовать окружность. Равенство ОЕ = OD следует из того, что эти отрезки являются медианами прямоугольных треугольников с общей гипотенузой и проведены к ней.

Критерии проверки

• “+” – приведено полное обоснованное решение
• “±” – приведено верное в целом решение с пробелами в обосновании или с ошибкой, не меняющей логики доказательства (например, перепутаны синус и косинус)
• “–” – задача не решена или решена неверно

Задание 4

Критерии проверки

• “+” – приведено полное обоснованное решение
• “±” – приведены верные выкладки, но допущены неточности в обоснованиях или логические погрешности
• “–” – приведен только ответ
• “–” – задача не решена или решена неверно

Задание 5

Германн и Чекалинский разложили на столе 13 различных карт. Каждая карта может лежать в одном из двух положений: рубашкой вверх или рубашкой вниз. Игроки должны по очереди переворачивать по одной карте.

Проигрывает тот игрок, после хода которого повторится какая-то из предыдущих ситуаций (включая изначальную). Первый ход сделал Чекалинский. Кто сможет выиграть независимо от того, как будет играть соперник?

Ответ. Чекалинский.

Решение

Выигрышная стратегия Чекалинского состоит в том, чтобы каждый раз переворачивать одну и ту же карту (например, пиковую даму). Все возможные позиции можно разбить на пары, отличающиеся лишь расположением пиковой дамы. Если в ответ на ход Чекалинского Германн тоже перевернёт пиковую даму, то повторится предыдущая позиция, и он проиграет. Поэтому он вынужден переворачивать другую карту. А Чекалинский, перевернув в ответ пиковую даму, получит позицию, парную к той, которая только что была. Таким образом, каждым ходом Германну придётся “начинать” новую пару, и Чекалинский всегда сможет сделать ответный ход, “закончив” пару. Так как количество возможных позиций конечно, то рано или поздно Германн не сможет открыть новую пару и проиграет.

Критерии проверки

• “+” – приведена верная стратегия и доказано, что она выигрышная
• “±”  –  приведена верная стратегия, но доказательство того, что она выигрышная, недостаточно убедительно
• “ ” – приведена верная стратегия, но доказательство того, что она выигрышная, отсутствует или абсолютно неверно
• “–” – выигрышная стратегия не указана или проверяющему неясно, является ли приведённая стратегия выигрышной.
• “–” – задача не решена или решена неверно

Комментарий. В  некоторых математических играх можно определить победителя и без приведения конкретной стратегии. Но авторы варианта полагают, что в данной задаче это не так.

Задание 6

Высоты неравнобедренного остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке  H.  O  —  центр описанной окружности треугольника  BHC. Центр  I вписанной окружности треугольника ABC лежит на отрезке OA. Найдите угол BAC.

Ответ. 60⁰.

Решение

Из условия задачи следует, что точка O лежит на пересечении биссектрисы угла A и серединного перпендикуляра к стороне BC. Так как эти прямые пересекаются на описанной окружности треугольника ABC, то O лежит на этой окружности и является серединой дуги ВС (см. рис. 9.6 а, б). Кроме того, ∠ВНС = 180⁰ – ∠ВАС, так как Н – ортоцентр треугольника АВС. Далее можно рассуждать по-разному.

Первый способ

Обозначим углы треугольника АВС: ∠А = α, ∠В = β, ∠С = γ. (см. рис. 9.6а) Тогда ∠ОСВ = ∠ОАВ = α/2, ∠ВСН = 90⁰ – β, ∠ОСН = ∠ОСВ + ∠ВСН = 90⁰ + α/2 – β.

рис. 9.6а

В треугольнике  OHC:  OH  =  OC  (радиусы одной окружности), поэтому ∠ОНС = ∠ОСН = 90⁰ + α/2 – β. Аналогично, ∠ОНВ = ∠ОВН = 90⁰ + α/2 –γ. Тогда ∠ВНС = ∠ОНВ + ∠ОНС = 90⁰ + α/2 – γ + 90⁰ + α/2 – β = 180⁰ + α – γ – β = 2α.

Так как ∠ВНС = 180⁰ – α, то получим уравнение 2α = 180⁰ – α, откуда α = 60⁰.

Второй способ

Воспользуемся тем, что окружность, описанная около треугольника  BHC, симметрична описанной окружности треугольника  ABC относительно прямой ВС (см. рис. 9.6б). Тогда центр Р описанной окружности треугольника ABC лежит на дуге BHC. Следовательно, ∠ВНС = ∠ВРС = 2∠ВАС.

рис. 9.6б

Из того, что 180⁰ – ∠ВАС = 2∠ВАС, получим: ∠ВАС = 60⁰.

Критерии проверки

• “+” – приведено полное обоснованное решение
• “±” – приведено верное в целом решение с незначительными пробелами в обоснованиях
• “ ” – приведены верные рассуждения, но допущена ошибка в счете углов, которая привела к неверному ответу
• “ ” – доказано, что точка О принадлежит описанной окружности треугольника АВС, но других продвижений нет
• “–” – приведен только ответ
• “–” – задача не решена или решена неверно

olimpiadnye-zadanija.ru

Всероссийская олимпиада по математике 9 класс с ответами

1. Решить уравнение   ( х 2 + 6 х — 4)( х 2 + 6 х — 3) = 12

Решение. Раскрывать скобки не имеет смысла, так как получится уравнение четвертой степени. В таких случаях применяется метод подстановки, ведь в скобках присутствует одинаковый блок х 2 + 6 х .

Обозначая х 2 + 6 х = у , получим уравнение ( у — 4)( у — 3) = 12, отсюда у ( у — 7) = 0, у 1 = 0, у 2 = 7. Делаем обратную замену х 2 + 6 х = у . Если х 2 + 6 х = 0, то х 1 = 0, х 2 = — 6. Если х 2 + 6 х = 7, то, решая квадратное уравнение х 2 + 6 х — 7 = 0, получим х 1 = 0, х 2 = — 6,  х 3 = -7, х 4 = 1 . Ответ: 0, —6,  -7, 1

       2. В плоскости расположено 11 зубчатых колёс таким образом, что первое колесо сцеплено своими зубцами со вторым, второе — с третьим и т.д. Наконец, последнее, одиннадцатое, колесо сцеплено с первым. Могут ли вращаться колёса такой системы?
Решение: нет. Соседние колёса должны вращаться в противоположных направлениях. Поэтому колёса с номерами 1 и 11 должны вращаться в одном направлении (все колёса с нечётными номерами вращаются в одном направлении, а с чётными — в противоположном). С другой стороны, колёса с номерами 1 и 11 соседние, поэтому они должны вращаться в противоположных направлениях.

       3. В треугольнике АВС медиана ВМ в два раза меньше стороны АВ и образует с ней угол 40o . Найдите угол АВС .

 Решение Продлим медиану BM за точку M на ее длину и получим точку D (см. рис.). Так как AB = 2BM , то AB = BD , то есть треугольник ABD  — равнобедренный. Следовательно, BAD = BDA = (180o — 40o) : 2 = 70o .
Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, так как его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Значит, CBD = ADB = 70o . Тогда ABC = ABD + CBD = 110o . Ответ 110o .

       4. Какое наибольшее число белых и черных фишек можно расставить на шахматной доске так, чтобы на любой горизонтали и на любой вертикали белых фишек было ровно в два раза больше, чем черных?

Решение  Число фишек на каждой вертикали кратно 3, значит, их не больше 6, а на всей доске — не более 48. Пример расстановки 48 фишек: 32 белые фишки ставим на белые поля, а 16 черных — вдоль главной «черной» диагонали и вдоль двух параллельных диагоналей «длины» 4.Ответ48 фишек.

5. У подводного царя служат осьминоги с шестью, семью или восемью ногами. Те, у кого 7 ног, всегда лгут, а у кого 6 или 8 ног, всегда говорят правду. Встретились четыре осьминога. Синий сказал: «Вместе у нас 28 ног», зеленый: «Вместе у нас 27 ног», желтый: «Вместе у нас 26 ног», красный: «Вместе у нас 25 ног». У кого сколько ног?

     Решение Так как осьминоги противоречат друг другу, то возможны два случая: либо все осьминоги лгут, либо ровно один из них говорит правду. Если все осьминоги лгут, то у каждого из них по 7 ног. Значит, вместе у них 28 ног. Но тогда синий осьминог сказал правду — противоречие.
Если же три осьминога солгали, а четвёртый сказал правду, то у солгавших осьминогов должно быть по 7 ног, а у сказавшего правду — либо 6, либо 8. Поэтому вместе у них либо 27, либо 29 ног, то есть правду сказал зелёный осьминог. Таким образом, у зелёного осьминога 6 ног, а у остальных по 7 ног.

shkolnaya-olimpiada.ru

Задания школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике (9 класс)

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике,

9 класс (2016-2017 учебный год)

№1. Найдите сумму кубов корней квадратного уравнения

(7б)

№2. Сколько цифр содержит число ? (7б)

№3. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая y=m не имеет с графиком общих точек. (7б)

№4. Центры окружностей радиусами 2 и 4 удалены на расстояние 5. Найдите длину общей хорды этих окружностей. (7б)

№5. На столе в виде треугольника выложены 28 монет одинакового размера (рис.1). Известно, что суммарная масса любой тройки монет, которые попарно касаются друг друга, равна 10г. Найдите суммарную массу монет всех 18 монет на границе треугольника. (7б)

(рис.1)

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике,

9 класс (2016-2017 учебный год)

№1. Найдите сумму кубов корней квадратного уравнения

(7б)

№2. Сколько цифр содержит число ? (7б)

№3. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая y=m не имеет с графиком общих точек. (7б)

№4. Центры окружностей радиусами 2 и 4 удалены на расстояние 5. Найдите длину общей хорды этих окружностей. (7б)

№5. На столе в виде треугольника выложены 28 монет одинакового размера (рис.1). Известно, что суммарная масса любой тройки монет, которые попарно касаются друг друга, равна 10г. Найдите суммарную массу монет всех 18 монет на границе треугольника. (7б)

(рис.1)

infourok.ru