Урок системы нелинейных неравенств с одной переменной 9 класс: «Решение систем неравенств с одной переменной»
Урок в 9 классе по теме «Решение систем неравенств с двумя переменными»
Открытый урок по алгебре
Класс: 9 класс
Тема: «Решение систем неравенств с двумя переменными»
Цель: Закрепление понятия о системах неравенств с одной и двумя переменными, вспомнить свойства и признаки, отработка навыков решения примеров, содержащих системы неравенств с одной и двумя переменными.
Тип урока: урок закрепления знаний
Форма: групповая
Методы: репродуктивные, частично-поисковые.
Приемы: работа в группах, самопроверка, взаимопроверка
Оборудование: карточки с заданиями, учебник, тетрадь
План урока:
Организационный момент.
Сообщение темы и цели урока. (1 мин)
Проверка домашней работы (2 мин)
Работа с терминами (2 мин)
Актуализация знаний обучающихся:
Работа с карточками (7 мин)
Отработка навыков решения
а.
Устная проверочная работа (3 мин)
б. Решение примеров (5 мин)
в. Самостоятельная работа. (15 мин)
г. Физкультминутка (1 мин)
Контрольные вопросы (3 мин)
Объявление домашнего задания (1 мин)
Рефлексия (2 мин)
Итог урока. (3 мин)
Ход занятия:
1 этап Сообщение темы и цели урока
а) Здравствуйте, дети. Сегодня на уроке мы с вами закрепим знания по теме «Решение систем неравенств с двумя переменными». Данная тема очень важна, так как встречается в контрольной работе. Так же сегодня мы с вами порешаем задания из «Решу ОГЭ».
Ян Амос Каменский сказал: «Считай несчастным тот день или тот час, в котором ты не усвоил ничего, ничего не прибавил к своему образованию».
И я надеюсь, что сегодняшний урок, и день не будет для вас несчастным и потерянным.
б) Работа с терминами:
Чтобы настроиться на урок вспомним, какие понятия вам известны (Открываю левую часть доски с терминами):
Линейное уравнение с двумя переменными – это …
Система – это …
Способы решения систем — …
Решение систем неравенств с одной переменной это.
.
Решение систем неравенств двумя переменными это …
2 этап Актуализация знаний
(Подготовка к экзаменам)
Но прежде чем перейдем к основной части урока мы с вами вспомним, что такое «Системы неравенств», и как они решаются.
Ученик решает пример у доски (раздаю индивидуальные карточки с заданиями)
Пример с решением | Задания для обучающихся |
7. Задание 14 № 348486 Укажите решение системы неравенств:
Выбираем ответ — 4 | Карточки с заданиями в Приложении. |
3 этап Отработка навыков решения
а) Закрепление знаний (фронтальный опрос):
1) какие неравенства являются неравенствами с одной переменной?
2) приведите примеры систем неравенств с двумя переменными
3) приведите примеры систем неравенств с одной переменной
4) ответом систем неравенств с одной переменной является…?
5) ответом системы неравенств с двумя переменными являются…?
б) Пример решения у доски
б) Изобразим на координатной плоскости множество решений систем неравенств
Первое неравенство системы задает на координатной плоскости круг с центром в начале координат и радиусом, равным 1.
Второе неравенство задает полуплоскость, расположенную ниже прямой 2х+у=0. Итак решением данной системы являеются точки полукруга (они заштрихованы).
в) Самостоятельная работа (деление на группы)
Задание: раздаются карточки с примерами обучающиеся должны прорешать данные примеры на заготовленных карточках
Карточка 1 | |
Слабые обучающиеся | |
Сильные обучающиеся | |
Карточка 2 | |
Слабые обучающиеся | |
Сильные обучающиеся | |
Физкультминутка, включающая специальную гимнастику для глаз.
Цель: снятие зрительного утомления.
Вертикальные движения глаз вверх-вниз.
Горизонтальное вправо-влево.
Закрыть глаза. Вращение глазами по часовой стрелке и против.
4 этап Контрольные вопросы
Вы хорошо поработали , давайте закрепим наши знания. Еще раз на примере вспомним алгоритм решения систем неравенств с двумя переменными
— Изобразить на координатной плоскости множество решений системы неравенств
Определить графики функций – в нашем случае это прямые
Построить графика данных функций
Найти общую область на координатной прямой
5 этап – объявление домашнего задания
Домашнее задание №500.
6 этап – рефлексия
Ну и в конце урока хотелось бы обратить ваше внимание на то, что все таки учиться надо на каждом уроке, потому что вы в этом году сдаете экзамен, а чтобы благополучно его сдать надо учиться каждый день, потому что осталось очень мало времени, а если вы мне не верите слушайте:
Шутка
Я докажу, что в течение целого года вам почти некогда учиться в школе.
В году 365 дней. Из них 52 воскресенья, 10 других дней отдыха. Отпадает 62 дня. Летние и зимние каникулы — не менее 100. Минус еще 100 дней. Ночью в школу не посещают, а ночи составляют половину года, следовательно, еще 183 дня минус. Остается 20 дней, но ведь не весь день продолжаются занятия, а не более четверти дня. Остается всего 5 дней. Многому ли тут можно научиться.
365-52=313, 313-10=303, 303-100=203, 203-183=20, 20*0,25=5
7 этап – итог урока
Какие трудности возникли у вас сегодня на уроке?
Главное отличие систем нелинейных неравенств с одной и двумя переменными?
Оценить работу обучающихся
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
МАРШРУТНЫЙ ЛИСТ УРОКА
Виды деятельности обучающегося на уроке | |||
Фамилия, имя: | Класс | Число | |
Тема урока: | |||
№ п/п | Самооценка | Оценка | |
1 | Проверка домашней работы | ||
2 | Работа с терминами | ||
3 | Работа по карточкам (задания ОГЭ) | ||
4 | Повторение (ответы на вопросы) | ||
5 | Работа у доски | ||
6 | Самостоятельная работа в парах, выполнение по карточкам | ||
7 | Участие в обобщении знаний ( ответы на контрольные вопросы) | ||
8 | Отметка итоговая | ||
9 | Рефлексия (анализ собственной деятельности на уроке, мотивация успехов) | ||
Открытый урок по алгебре «Решение систем неравенств с одной переменной» 8 класс
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Курасовская основная общеобразовательная школа»
Курского района Курской области
Открытый урок
по алгебре
«Решение систем неравенств с одной переменной»
8 класс
15.
04.21г
Учитель математики Бартенева Т.А.
Курасово,2021г.
Тема урока: _Решение систем неравенств с одной переменной
Учебник: Макарычев Ю. Н, Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.; Под ред. С. А. Теляковского, Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений /-М.:Просвещение,2020г.
Тип урока: урок формирования предметных навыков.
Цель: повторить решение линейных неравенств; решения систем линейных неравенств; закрепить умение решать системы линейных неравенств любой сложности.
Планируемые образовательные результаты:
Предметные:
уметь решать линейные неравенства и системы;
графически изображать множество их решений, а также записывать решения в виде числового промежутка;
производить отбор решений по заданному условию (целые решения, наибольшее/наименьшее целое решение).
Метапредметные:
Увидеть роль и место математики в других дисциплинах и окружающей жизни;
уметь обрабатывать информацию; выбирать способы решения неравенств в зависимости от конкретных условий; контролировать и оценивать процесс и результаты своей деятельности
Личностные:
Умение аргументировать свою точку зрения,
общаться в коллективе,
слушать собеседника и вести диалог;
Развивать активность и находчивость при решении задач,.
Задачи:
— образовательные (формирование познавательных УУД):
Расширить, обобщить и систематизировать знания о линейных неравенствах и системах линейных неравенств; сформировать умение:
решать системы линейных неравенств, графически изображать множество их решений;
находить все целые числа, являющиеся решением системы неравенств;
находить наибольшее/наименьшее целое решение системы неравенств;
наблюдать, анализировать, делать выводы, осмысливать и обобщать учебный материал;
объективно оценивать свою деятельность и деятельность других;
закреплять и повторять ранее пройденный материал.
— воспитательные (формирование коммуникативных и личностных УУД):
умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, воспитывать ответственность и аккуратность.
— развивающие (формирование регулятивных УУД)
развивать умение анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развивать внимание, математическую речь, формировать коммуникативную компетенцию учащихся; выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.
Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная,парная.
Оборудование: ноутбук, карточки, учебник, тетрадь.
Тип урока:
Структура урока:
Орг. момент.
Сообщение темы и цели урока.
Актуализация опорных умений и навыков.
3. Закрепление материала.
Решение заданий из контрольно-измерительных материалов ОГЭ.
Итог урока.
Рефлексия.
Домашнее задание.
Ход урока
1. Орг. момент-2 мин
Здравствуйте, ребята Сегодня у нас присутствуют гости, давайте поприветствуем их.
На уроке нам предстоит очень большая и интересная работа. Итак, все настроились на работу, открыли тетради и записали число, классная работа.
Учитель задает вопрос:
Скажите, какими качествами должен обладать ученик , чтобы он проявил и развил свои способности, может сделал для себя какое-то открытие? (Нужно быть внимательным, наблюдательным, активным, уметь поддерживать товарища)
Показываю коробку.
Учитель задает вопрос: Как узнать, что находится в коробке? Вы можете достоверно и правильно сразу ответить на этот вопрос? а что нужно сделать, чтобы точно ответить на мой вопрос?
«Нужно посмотреть со всех сторон, а еще внутрь заглянуть- что там находится?»
Вопрос: Как вы думаете, ребята, что я хотела этим опытом вам сказать?
Чтобы правильно ответить на вопрос, на проблему нужно взглянуть со всех сторон,- чтобы получить верное представление., заглянуть внутрь пробемы.
Итак, напомните тему, которую мы изучаем
Учитель: Записали тему урока в тетрадь «Решение систем неравенств с одной переменной». Слайд 2
Учитель: Итак, давайте сформулируем цель урока. «Повторить решение линейных неравенств; решения систем линейных неравенств; закрепить умение решать системы линейных неравенств любой сложности».
2.
Актуализация опорных умений и навыков
Урок хотелось бы начать со слов Декарта «Математика учит преодолевать трудности и исправлять собственные ошибки». Слайд 3
Я, желаю вам сегодня, как можно меньше допускать ошибок.
У каждого на столах оценочный лист, где указаны основные испытания урока и как они оцениваются в баллах. Запишите там своё имя. Я думаю, что вы будете выставлять себе баллы честно и справедливо. Посмотрите в конце на шкалу баллов. В конце урока мы подведём итоги и выставим оценки.
Имя____________класс________
Задание 1 Математический диктант | Задание 2 «Найдите ошибку» | Задание 3 Алгоритм | Задание 4 Соответствие. | Задание 5 Соотнесите | Задание 6 ОГЭ | |
Кол-во баллов | 1-4 | 1-4 | 1-4 | 1-4 | 1-4 | 1-4 |
Итого | ||||||
Задание № 1
Математический диктант:
«Верю — не верю» с последующей проверкой -2 мин
Каждое задание теста предполагает ответ «Да» или «Нет».
«Да» -1 «Нет» — 0.
В результате выполнения теста получится какое-то число.
1)Является ли число 12 решением неравенства 2х10?
2) Является ли число (-6) решением неравенства 4х12?
3) Является ли неравенство 5х-154х+14 строгим?
4) Существует ли целое число принадлежащее промежутку [-2,8;-2,6]?
5) При любом ли значении переменной а верно неравенство а² +4 о?
6) Верно ли, что при умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства не меняется? Слайд 4
Назовите число, которое у вас получилось.
Давайте проверим ответ.
101010. Слайд 5
Следующее задание № 2 «Найдите ошибку» Слайд 6.
Ваша задача проверить верно, ли решена система неравенств с одной переменной. Посмотрите слайд 3. если не верно, то необходимо записать правильное решение в тетрадях.
Слайд 3
Проверти пожалуйста правильность решения. На слайде 7.
Слайд 4.
правильное решение.
Ответ: ( -2;0].
Перед вами лежит лист самооценки, поставьте себе баллы за это задание по данным критериям.
Следующее задание № 3 Алгоритм. Слайд 8.
Каждому необходимо проговорить алгоритм решения систем неравенств с одной переменной.
Проговорить алгоритм решения систем неравенств с одной переменной.
Решаем в системе параллельно оба неравенства, выполняя все преобразования по свойствам неравенст.
Отмечаем на числовой прямой решение первого неравенства, а затем на этой же числовой прямой, отмечаем решение всех числовых неравенств с одной переменной.
Пересечение решений является решением системы неравенств.
Решением системы неравенств с одной переменной является множество чисел, удовлетворяющих всем неравенствам входящим в систему.
Перед вами лежит лист самооценки, поставьте себе баллы за это задание по данным критериям.
3. Закрепление материала.
Следующее задание № 4 слайд 9.
Карточки по вариантам, с взаимопроверкой.
Вариант I
Для каждой системы найдите графическое решение и запись множества её решений в виде промежутка. Ответ запишите трехзначным числом.
1
1
1
[ 2; 3 ]
2
х › 2,23
2
х ‹ 3 ( — ∞; 2 )
х ‹ 2,
3
3
3
х ‹ 3 ( — ∞; 2 ]
4
х ≤ 2,4
4
х › 3 ( 2; 3 )
5
х ≤ 2,5
5
х ‹ 3 [ 3; + ∞ )
6
х › 2,6
6
х ≥ 3 [ 2; 3 )
7
х ≥ 2,7
7
х ‹ 3
х ≥ 2,
х ≤ 3
Вариант II
Для каждой системы найдите графическое решение и запись множества её решений в виде промежутка.
Ответ запишите трехзначным числом.
1
1
1
[ 5; 6 ]
2
х › 5,23
2
х ‹ 6 [ 6; + ∞ )
х ‹ 5,
3
3
3
х ‹ 6 ( — ∞; 5 ]
4
х ≤ 5,4
4
х › 6 ( 5; 6 )
5
х ≤ 5,5
5
х ‹ 6 ( — ∞; 5 )
6
х › 5,
6
х ≥ 6 [ 5; 6 )
6
7
х ≥ 5,7
х ‹ 6
7
х ≥ 5,х ≤ 6
Ответы на слайде 10.
Поменялись листочками и с помощью слайда 6 выполнили проверку, но если одна цифра в ответе не верно, то этот номер не верен и ставите «-«.
Ответы:
Вариант I Вариант II
164 174
242 235
317 327
473 463
525 512
636 646
751 751
Поменялись обратно листочками.
Перед вами лежит лист самооценки, поставьте себе баллы за это задание по данным критериям.
Закрепление материала, контроль знаний.
Ребята, а вы любите цветы? На урок я принесла растения, которые вам очень хорошо знакомы. Посмотрите на доску и назовите их. У Вас наверно возник вопрос: «Как связаны цветы и система неравенств?»
Следующее задание № 5 Слайд 11
А теперь закрепим решение систем неравенств с одной переменной более сложными заданиями.
Учитель: В Японии искусство расстановки цветов в вазы – икебана – в переводе означает «жизнь цветов». Сочетания различных растений в букетах образуют символические благопожелания.
Решите системы неравенств и по совпадающим ответам соотнесите цветочные композиции с пожеланиями, которые они передают. Раздаются карточки.
с лайд 12
1 )
Слайд 13
Ответ: пожелание мира и процветания на языке цветов можно передать букетом из ____________________, а пожелание радости — ___________________________.
Оставшееся сочетание растений — _________________________- означает пожелание долголетия. Икебаны показываются одновременно на правильный ответ.
слайд 14-16
Решение производите в тетрадях и потом записываете ответ.
Перед вами лежит лист самооценки, поставьте себе баллы за это задание по данным критериям.
Следующее задание № 6 ОГЭ слайд 17
3. № 886 (б, г)
5.Итоги урока.
— С какие важными понятиями мы с вами познакомились?
— Какие факты из истории мы узнали?
Я надеюсь эти знания пригодятся в вашей дальнейшей жизни.
Подсчитайте каждый количество своих баллов и поставьте себе оценку. И огласите её.
Завершая сегодняшний урок, мне хотелось бы узнать Ваше мнение о нем. Откройте слайд 11 перед вами даны следующие предложение, поправившее предложение продолжите.
Рефлексия.
Продолжите предложение: Слайд 18
Сегодня я узнал…
Было интересно…
Было трудно…
Я понял, что…
У меня получилось…
Урок дал мне для жизни…
Я попробую…
Домашнее задание.
П.35 — повторить, № 876 (а, в, д), 879 (а, в) Слайд 19
И хотелось бы закончить урок известными словами Гёте, который говорил «Цифры (числа) не управляют миром, но они показывают, как управляется мир» слайд 20.
Спасибо за внимание! Успехов! Слайд 21.
Урок «Решение неравенств с одной переменной и их систем»
| 12+ Свидетельство СМИ ЭЛ № ФС 77 — 70917 Лицензия на образовательную деятельность №0001058 | Пользовательское соглашение Контактная и правовая информация |
Педагогическое сообщество | Бесплатные всероссийские конкурсы | Бесплатные сертификаты | Нужна помощь? Инструкции для новых участников | Бесплатная онлайн-школа для 1-4 классов |
РФВсё для аттестацииПубликация в сборникеВебинарыЛэпбукиПрофтестыЗаказ рецензийНовости
Библиотека▪Публикации▪Статьи▪Презентации
Материал опубликовала
#9 класс #Математика #ФГОС #Методические разработки #Урок #Все учителя #Школьное образование #УМК Ю. Н. Макарычева
Решение неравенств с одной переменной и их систем 9 класс Учитель Шубина О.В. КОГОБУ СШ г. Орлов
Знаю свойства неравенств Различаю линейные и квадратные неравенства с одной переменной Умею применять свойства неравенств при решении линейных неравенств Умею решать квадратные неравенства методом параболы Умею решать неравенства методом интервалов Знаю, как записать решение неравенства Могу записать решение неравенства несколькими способами Знаю, как решать системы неравенств Умею определять решение системы неравенств V – знаю — новая информация — есть вопросы
Что нужно повторить? Свойства неравенств Какие бывают неравенства и как их решать Что является решением неравенства и системы неравенств
Свойства неравенств
Неравенства получаются равносильные, если
1.
Перенести с противоположным знаком слагаемое из одной части неравенства в другую
6
2. Умножить или разделить обе части неравенства на одно и тоже положительное число
3. Умножить или разделить обе части неравенства на одно и тоже отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный
Неравенства с одной переменной и их системы Неравенства с одной переменной Линейные неравенства Квадратные неравенства Метод параболы Метод интервалов Системы неравенств с одной переменной
Решение линейных неравенств
Решение неравенств второй степени
или
Находим корни квадратного трехчлена
Если трехчлен имеет корни, отмечаем их на оси х и через отмеченные точки схематично проводим параболу (направление ветвей вверх при и вниз при )
Если трехчлен не имеет корней, парабола выше оси х () или ниже оси х ()
Выделяем промежутки, соответствующие решению нашего неравенства:
– выше оси х, – ниже оси х.
-2 0,2 x
Метод интервалов Находим нули функции и отмечаем их на оси х Разбиваем ось х на интервалы Определяем знак функции на каждом интервале Выделяем промежутки, соответствующие решению нашего неравенства + — + -2 0,2 х
Решение неравенств второй степени
Решение систем неравенств Решаем каждое неравенство отдельно Изображаем решение всех неравенств на одном числовом луче Находим объединение промежутков
Самостоятельная работа «5» – 4 задания «4» – 3 задания «3» – 2 задания Дополнительное задание: решить систему неравенств Ответ: Ответ:
Знаю свойства неравенств Различаю линейные и квадратные неравенства с одной переменной Умею применять свойства неравенств при решении линейных неравенств Умею решать квадратные неравенства методом параболы Умею решать неравенства методом интервалов Знаю как записать решение неравенства Могу записать решение неравенства несколькими способами Знаю как решать системы неравенств Умею определять решение системы неравенств V – знаю — новая информация — есть вопросы
Домашнее задание По результатам самостоятельной работы «2» — работа над ошибками своего варианта + ещё 2 варианта «3» — работа над ошибками своего варианта + ещё 1 вариант «4-5» — Решить неравенство: а) б) Решить систему неравенств:
Удачи!!! Если что-то не получается, посмотри еще раз решение предыдущих задач , всё получится!
Технологическая карта урока алгебры в 8-м классе «Решение систем неравенств с одной переменной»
org/Person»>
Ожерельева Анастасия Ивановна, учитель математикиРазделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»
Класс: 8
Ключевые слова: Решение систем неравенств
Презентация к уроку
Загрузить презентацию (3 МБ)
Предмет: Алгебра. 8 класс
Тема и номер урока в теме: Система неравенства с одной переменной, 3 урок
Базовый учебник: Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк К.И.Нешков, С.Б.Суворова. Алгебра: учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений. Под редакцией С.А.Теляковского — 19-е изд., перераб. — М.
Цели урока:
- Содержательная: выявление уровня знаний учеников по теме, систематизация знаний, формулирование обобщения знаний по теме «Решение системы неравенств с одной переменной».
- Деятельностная: формирование у учащихся способностей к рефлексии и реализации коррекционных норм (другими словами — научить фиксировать собственные трудности, выявлять причины этих затруднений и находить способы их преодоления).
Задачи:
образовательные:
- Расширить, обобщить и систематизировать знания о линейных неравенствах и системах линейных неравенств;
- Повторить понятие неравенства, алгоритм решения неравенства с одной переменной и системы неравенств с одной переменной;
- Закрепить свойства, использующиеся при решении неравенств с одной переменной;
- Совершенствовать умения решать неравенства и системы линейных неравенств, графически изображать множество их решений, а также записывать решения в виде числового промежутка.
воспитательные (формирование коммуникативных и личностных УУД):
- умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, воспитывать ответственность и аккуратность.
развивающие (формирование регулятивных УУД)
- развивать умение анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развивать внимание, математическую речь, формировать коммуникативную компетенцию учащихся;
- выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий;
- рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.
Тип урока: урок рефлексии.
Методы обучения: личностно-деятельностный,частично-поисковой, репродуктивно-поисковой, проблемный, словесно-наглядный.
Формы работы учащихся: Фронтальная, индивидуальная, групповая.
Структура урока.
- Самоопределение.
- Актуализация знаний и фиксирование затруднений.
- Постановка учебной задачи и построение выхода из ситуации.
- Локализация индивидуальных затруднений.
- Обобщение затруднений во внешней речи.
- Включение в систему знаний и повторение.
- Рефлексия деятельности на уроке.
- Домашнее задание.
- Рефлексия соседу по парте
Необходимое оборудование: компьютер, электронная доска, учебники по математике, тетрадь.
Структура и ход урока
Деятельность учителя | Деятельность учащихся | ||||||||||||||
| 1. Самоопределение Цель — «включить» всех учащихся в учебную деятельность, определить содержательные рамки урока.  Повторить алгоритм решения системы неравенств. Настроить на получение положительных эмоций и результата. | — Ученики включаются в деловой ритм урока. | ||||||||||||||
| Организация учебного процесса на этапе 1: Слайд 1 Обратите внимание на высказывание великого русского писателя Льва Толстого — Как вы думаете, почему именно это высказывание я выбрала для урока? — Какое ключевое слово вы мне можете указать? | — Предполагаемые ответы: мы сегодня будем обобщать изученный материал, самостоятельно работать, проверять свои знания. Ключевое слово «обобщение» | ||||||||||||||
| — По какой теме будет происходить наша работа? Что мы изучали на прошлом уроке? | — Говорят учащиеся: «Решение систем неравенств с одной переменной». — Учащиеся записывают тему рока в тетрадь. | ||||||||||||||
| — Какие вы ставите перед собой цели? Продолжите следующее предложение «Сегодня на уроке я …» (учитель фиксирует на доске несколько ответов, чтобы в конце урока вернуться к ним) Слайд 2 | — Учащиеся выдвигают варианты формулировок цели для урока и для себя. | ||||||||||||||
— А вы задумывались когда-нибудь, когда появились знаки неравенства и линейные неравенства и системы неравенств. Слайд 3. (Историческая справка) 2. Актуализация знаний и фиксирование затруднений 1.»Без теории нет практики» Слайд 4 Вопросы:
| — Предполагают откуда могли появиться знаки неравенства | ||||||||||||||
Лист опроса по теории.
| — Учащиеся работают в парах и отвечают на вопросы. В листе опроса ставят 0 — ответ не верный, 1 — ответ верный. Проверка осуществляется по «Сорбонкам» — карточкам памяти (Приложение 1) | ||||||||||||||
2. «Найди ошибку». Фронтальная работа. | — Находят ошибки на слайдах презентации и аргументируют свой ответ. | ||||||||||||||
«По графической иллюстрации найди пересечение множеств». Работа, с последующей взаимопроверкой. Комментарии учителя: Запишите у себя в тетради ответ. Затем обменяйтесь тетрадями и проверьте по готовому слайду. Взаимопроверка. Слайд 9 | — Самостоятельно работают в тетради. Затем обмениваются тетрадями и осуществляют взаимопроверку. Ставят количество баллов в лист контроля (Приложение 2), в зависимости от правильности ответов. (0 — ошибка, 1 — верно). — Проговаривают ошибки и фиксируют затруднения. | ||||||||||||||
| 3. Локализация индивидуальных затруднений Цель — научить детей шаг за шагом анализировать свои действия и понять, почему именно этот пример / правило / упражнение вызвали затруднения. Организация учебного процесса на этапе 3. | |||||||||||||||
Самостоятельная работа. Слайд 10 (самопроверка по эталону, приложение 3) Критерии оценивания на слайде | — Выполняют самостоятельную работу — Проверяют по эталону (Приложение 3) — Фиксируют ошибки (подчеркивают и ставят на полях 0 — ошибка, 1 — верно) — Оценивают себя и ставят в лист контроля (Приложение 2): 3б — «5» 2б — «4» 1б — «3» | ||||||||||||||
4. Построение проекта выхода из затруднения Учащиеся самостоятельно выполняют работу над ошибками, учитель на данном этапе выступает в качестве консультанта. Класс делится на две группы. | |||||||||||||||
1 группа выполняет задание продвинутого уровня «Шаг вперед». Слайд 11 10 -4х ≥3(1 — х), | — 1 группа — работает над решением продвинутого задания. Записывают в лист контроля, что выполняли задание «Шаг вперед» — 2 группа — самостоятельно выполняет работу над ошибками, выбирая задания с ошибками, фиксируя тип ошибки (Приложение 4).  — Записывают в листе контроля (Приложение 2) знаком «+», что выполняли работу над ошибками | ||||||||||||||
| 5. Обобщение затруднений во внешней речи Цель— зафиксировать в речи правила, в которых были допущены ошибки. Организация учебного процесса на этапе 5: -Учитель последовательно выясняет, у кого из детей и на какие правила были допущены ошибки, и правила проговариваются во внешней речи. В этой работе могут принять участие все учащиеся. На данном этапе работает весь класс. | |||||||||||||||
| — Какие ошибки были допущены в работе? (Называются типы ошибок, допущенных в работе.) Проговариваются алгоритмы, на которые были допущены ошибки. Составляется кластер ошибок Слайд 12 | — Говорят ошибки — Записывают на электронной доске | ||||||||||||||
6. Включение в систему знаний и повторение Цель — тренировать навыки оценки периметра прямоугольника, зная диапазон сторон с использованием правил решения систем неравенств. Организация учебного процесса на этапе 6: -Учитель показывает практическое применение знаний по теме «Система неравенств» Слайд 13 | |||||||||||||||
| Измеряя длину a и ширину b (в см), нашли, что 5,4 < a < 5,5 и 3,6 < b < 3,7. Оцените периметр прямоугольника. | — Учащиеся повторяют формулу периметра прямоугольника и записываю с помощью системы условие и решение задачи. | ||||||||||||||
| 7. Рефлексия деятельности на уроке Цель — зафиксировать, где были допущены ошибки, способ исправления допущенных ошибок; зафиксировать содержание, которое повторили на уроке, оценить собственную деятельность; записать домашнее задание.  Организация учебного процесса на этапе 8: — Учитель организует работу по заполнению листа контроля и рефлексии. (Приложение 2) Слайд 14 | — Учащиеся заполняют листы контроля и рефлексии. | ||||||||||||||
| 8. Домашнее задание п.6. Решить № 173(5, 6), 179(7, 8). | — Записывают домашнее задание | ||||||||||||||
9. Рефлексия соседу по парте | — Выбирают подходящую фразу для своего соседа по парте. |
Применение теории на практике.
Системы линейных неравенств с одной переменной
Примеры решения систем линейных неравенств с одной переменной
Несколько линейных неравенств, удовлетворяющих одним и тем же решениям, образуют систему.
Рассмотрим простейший пример. Система состоит из двух неравенств, которые уже решены.
Решениями первого неравенства являются все числа, которые больше 4. Решениями второго неравенства являются все числа, которые меньше 9.
Изобразим множество решений каждого неравенства на координатной прямой и запишем ответы к ним в виде числовых промежутков:
Но дело в том, что неравенства x > 4 и x < 9 соединены знаком системы, а значит зависимы друг от друга. Им не дозволяется раскидываться решениями как им захочется. Наша задача указать решения, которые одновременно будут удовлетворять и первому неравенству и второму.
Говоря по-простому, нужно указать числа, которые больше 4, но меньше 9. Очевидно, что речь идет о числах, находящихся в промежутке от 4 до 9.
Значит решениями системы являются числа от 4 до 9. Границы 4 и 9 не включаются во множество решений системы, поскольку неравенства x > 4 и x < 9 строгие. Ответ можно записать в виде числового промежутка:
x ∈ ( 4 ; 9 )
Также, нужно изобразить множество решений системы на координатной прямой.
Для системы линейных неравенств решение на координатной прямой изображают так:
Сначала указывают границы обоих неравенств:
На верхней области отмечают множество решений первого неравенства x > 4
На нижней области отмечают множество решений второго неравенства x < 9
Нас интересует область, которая отмечена штрихами с обеих сторон. В этой области и располагаются решения системы . Видно, что эта область располагается в промежутке от 4 до 9. Для наглядности выделим эту область красным цветом:
Для проверки можно взять любое число из этого промежутка и подставить его в исходную систему . Возьмем, например, число 6
Видим, что решение 6 удовлетворяет обоим неравенствам. Возьмём ещё какое-нибудь число из промежутка (4; 9), например, число 8
Видим, что решение 8 удовлетворяет обоим неравенствам.
Исходя из рассмотренного примера, можно сформировать правило для решения системы линейных неравенств:
Чтобы решить систему линейных неравенств, нужно по отдельности решить каждое неравенство, и указать в виде числового промежутка множество решений, удовлетворяющих каждому неравенству.
Пример 2. Решить систему неравенств
Решениями первого неравенства являются все числа, которые больше 17. Решениями второго неравенства являются все числа, которые больше 12.
Решениями же обоих неравенств являются все числа, которые больше 17.
Изобразим множество решений системы на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка.
Для начала отметим на координатной прямой границы обоих неравенств:
На верхней области отметим множество решений первого неравенства x > 17
На нижней области отметим множество решений второго неравенства x > 12
Нас интересует область, которая отмечена штрихами с обеих сторон. В этой области и располагаются решения системы . Видно, что эта область располагается в промежутке от 17 до плюс бесконечности. Запишем ответ в виде числового промежутка:
x ∈ ( 17 ; +∞ )
Пример 3. Решить систему неравенств
Решим каждое неравенство по отдельности.
Делать это можно внутри системы. Если испытываете затруднения при решении каждого неравенства, обязательно изучите предыдущий урок
Получили систему . На этом решение завершается. Осталось изобразить множество решений системы на координатной прямой и записать ответ в виде числового промежутка.
Как и в прошлом примере, сначала нужно отметить границы обоих неравенств, затем отметить множество решений каждого неравенства (x > 6 и x > 3). Область координатной прямой, отмеченная с обеих сторон, будет промежутком, в котором располагается множество решений системы
x ∈ ( 6 ; + ∞ )
Пример 4. Решить систему неравенств
Решим каждое неравенство по отдельности:
Изобразим множество решений системы на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Пример 5. Решить неравенство
Решим каждое неравенство по отдельности:
Изобразим множество решений системы на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Когда решений нет
Если неравенства, входящие в систему, не имеют общих решений, то говорят, что система не имеет решений.
Пример 1. Решить неравенство
Решим каждое неравенство по отдельности:
Решениями первого неравенства являются все числа, которые больше 7, включая число 7. Решениями второго неравенства являются все числа, которые меньше −3, включая число −3.
Видим, что у данных неравенств нет общих решений. Увидеть это наглядно позволит координатная прямая. Отметим на ней множество решений каждого неравенства:
На координатной прямой нет областей, которые отмечены штрихами с обеих сторон. Это говорит о том, что неравенства y ≥ 7 и y ≤ −3 не имеют общих решений. Значит не имеет решений система
А если не имеет решений приведённая равносильная система , то не имеет решений и исходная система
Ответ: решений нет.
Пример 2. Решить систему неравенств
Решим каждое неравенство по отдельности:
Изобразим множество решений неравенств x ≤ −3 и x ≥ 9 на координатной прямой:
Видим, что на координатной прямой нет областей, которые отмечены штрихами с обеих сторон.
Значит неравенства x ≤ −3 и x ≥ 9 не имеют общих решений. А значит не имеет решений система
А если не имеет решений приведённая равносильная система , то не имеет решений и исходная система
Ответ: решений нет.
Пример 3. Решить систему неравенств
Решим каждое неравенство по отдельности:
Получили неравенства 0 < −0,2 и a > 5. Первое неравенство не является верным и не имеет решений. Решением второго неравенство a > 5 являются все числа, которые больше 5. Но поскольку первое неравенство не будет верным ни при каком a, то можно сделать вывод, что у неравенств нет общих решений. А значит не имеет решений исходная система
Ответ: решений нет.
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Решите неравенство:
Решение:
Показать решение
Задание 2. Решите неравенство:
Решение:
Показать решение
Задание 3.
Решите неравенство:
Решение:
Показать решение
Задание 4. Решите неравенство:
Решение:
Показать решение
Задание 5. Решите неравенство:
Решение:
Показать решение
Задание 6. Решите неравенство:
Решение:
Показать решение
Задание 7. Решите неравенство:
Решение:
Показать решение
Задание 8. Решите неравенство:
Решение:
Решений нет
Показать решение
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
АЛГЕБРА — Уроки для 9 классов — конспекты уроков — План урока — Конспект урока — Планы уроков
АЛГЕБРА — Уроки для 9 классов — конспекты уроков — План урока — Конспект урока — Планы уроков — разработки уроков по математике
|
|
gif» title=»Математика»>
Математика
Тема. Числовые неравенства. Доказательство числовых неравенств
Тема. Решение систем и совокупностей) линейных неравенств с одной переменной
Решение квадратных неравенств
Тема. Решение текстовых задач составлением систем уравнений с двумя переменными
Тема. Числовые последовательности. Свойства числовых последовательностей
Тема. Функции и их свойства. Квадратичная функцияОбъяснение урока: Квадратные неравенства с одной переменной
В этом объяснении мы научимся решать квадратные неравенства с одной переменной алгебраически и графически.
Вспомните, что в уравнении у нас есть два выражения, которые равны друг другу, и мы поставить знак равенства, =, между ними. Когда у нас есть два выражения, которые не равны друг другу, мы можем связать выражения с помощью знака неравенства.
У нас могут быть такие неравенства, как 𝑥≥4,6≤𝑥,2𝑥−7>5.
В каждом из этих неравенств 𝑥 имеет ряд возможных решений. Когда мы есть неравенство, такое как 𝑥≥4, мы можем сказать это словами как «𝑥 больше или равно четырем». Это означает, что значение 𝑥, равное четырем и более, удовлетворяет этому неравенству. Мы используем четыре символа неравенства: >, ≥, ≤. Больше чем больше, чем равно меньше, чем меньше, чем равно
. Мы можем решать неравенства в процессе, аналогичном решению уравнений, гарантируя, что мы
выполнить одну и ту же математическую операцию с обеими частями неравенства. Однако, как
неравенства имеют направление, мы должны тщательно рассмотреть, какая сторона неравенства
выражение включено.
Когда мы умножаем или делим на отрицательное число, мы должны переключать
неравенство. Например, если у нас есть −𝑥≤−2,
то при делении на −1 мы должны изменить неравенство, чтобы получить
𝑥≥2.
Давайте теперь посмотрим, как решить неравенство и представить ответ в виде интервала. До для этого нам нужно повторить некоторые обозначения. Если рассматривать интервал чисел от 0 до 10, который включает 0, но не 10, мы могли бы представить это с помощью неравенства как 0≤𝑥10.
Строгое неравенство справа говорит нам, что 10 не входит в неравенство, и нестрогое неравенство слева говорит нам, что 0 включен. Другой способ запись этого интервала будет [0,10[.
Здесь закрытая квадратная скобка говорит нам о том, что 0 включен, а открытая квадратная скобка
говорит нам, что 10 не включено. Здесь также стоит напомнить, что символ бесконечности
∞. Это часто используется для представления интервалов, которые больше или
меньше одного числа.
Например, 𝑥>3 в
обозначение интервала будет ]3,∞[.
В этом объяснении мы сосредоточимся на квадратных неравенствах. Это отличается от линейных неравенств, которые выглядят примерно так: −2𝑥+3≤5.
Напомним, что процедура решения неравенств этой формы достаточно проста. Первое, что мы хотим сделать, это изменить неравенство так, чтобы все 𝑥-термы находятся на одной стороне, а все постоянные члены — на другой. Мы делаем это, вычитая 3 с обеих сторон: −2𝑥≤2.
Затем, чтобы получить это с точки зрения только 𝑥, мы делим каждую сторону на −2, помня, что когда мы делим неравенство на отрицательное число, нам нужно поменять знак неравенства. Это дает нам 𝑥≥−1.
Итак, 𝑥 — это все числа, большие или равные −1. Это также может быть выражено в виде интервала, как [−1,∞[.
Точно так же, как у нас есть различные уравнения, такие как линейные и квадратные уравнения, мы
могут иметь квадратные неравенства в следующих формах.
Определение: квадратное неравенство
Квадратное неравенство может быть представлено в одной из следующих форм: , где 𝑎, 𝑏 и 𝑐 — константы, а 𝑎≠0.
Когда мы решаем квадратное неравенство, нам нужно найти диапазон решений или интервалы, для которого верно неравенство. По сравнению с линейным случаем это сложнее и может включать более одного отдельного интервала. Мы можем решить квадратные неравенства, используя шаги процесса, описанные ниже.
Как решить квадратное неравенство алгебраически 𝑓(𝑥), с одной стороны, с неравенством, связывающим это с нулем. За например, 𝑓(𝑥)≤0 или 𝑓(𝑥)>0.
В следующем примере мы рассмотрим, как мы можем использовать диаграмму знаков для определения положительных и отрицательные значения интервалов неравенства.
Пример 1. Решение квадратного неравенства с помощью таблицы знаков
Опишите все решения неравенства 15−𝑥−2𝑥0.
Ответ
Чтобы начать решать неравенство 15−𝑥−2𝑥0, сначала преобразовать и переставить это, чтобы получить положительный коэффициент 𝑥. Мы можно умножить все члены коэффициента на −1, вспомнив, что когда мы умножив неравенство на отрицательное число, мы должны переставить неравенство. Это дает нам 15−𝑥−2𝑥0𝑥+2𝑥−15>0,
Теперь нам нужно решить 𝑓(𝑥)=0, где 𝑓(𝑥)=𝑥+2𝑥−15. Мы можем разложить наше уравнение, чтобы получить 𝑥+2𝑥−15=0(𝑥−3)(𝑥+5)=0.
Следовательно, 𝑥=3𝑥=−5.or
Чтобы решить неравенство (𝑥−3)(𝑥+5)>0, нам нужно
определите регионы, где это действительно так.
Так или иначе
(𝑥−3)(𝑥+5)>0 зависит от знаков факторов
(𝑥−3) и (𝑥+5).
Мы можем создать сетку, чтобы определить, будет ли каждый фактор положительным или отрицательным в интервалы меньше, больше и между нашими решениями 𝑥=−5 и 𝑥=3. В сетке мы можем разместить интервалы между нашими решениями по горизонтали и наши факторы 𝑓(𝑥) по вертикали, с произведением приведенные ниже факторы. Затем мы можем вычислить, будет ли произведение факторов положительный или отрицательный.
| 𝑥 — 5 | −5𝑥3 | 𝑥> 3 | ||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| (𝑥 — 3) | — | — | + | — | — | + | — | — | + | — | — | — | — | — | — | 98 +— | — | .— | — | ( | — | |
| ( | — | |||||||||||||||||||||
| . + | + | |||||||||||||||||||||
| (𝑥−3)(𝑥+5) | + | − | + |
, наши значения (𝑥−3) и (𝑥+5) будут равны
отрицательное, поэтому произведение этих двух отрицательных значений,
(𝑥−3)(𝑥+5) будет положительным.
Проверяя знак (𝑥−3)(𝑥+5) в сетке, мы видим что оно будет положительным, то есть (𝑥−3)(𝑥+5)>0, когда 𝑥−5 или 𝑥>3. Другими словами, неравенство 15−𝑥−2𝑥0 выполняется, когда 𝑥 не удовлетворяет −5≤𝑥≤3. В интервальных обозначениях мы можем выразить наш ответ как ℝ−[−5,3].
В первом примере мы смогли точно проследить процесс решения квадратного неравенства, сначала решив квадратное, а затем используя таблицу знаков, но мы должны знать, что это не всегда то, что желательно или необходимо. В следующем примере мы рассмотрим квадратное неравенство, которое нельзя разложить на множители.
Пример 2. Решение квадратного неравенства
Найдите все решения неравенства 𝑥+121≤0. Запишите ответ в виде интервала.
Ответ
Поскольку это неравенство было дано нам со всеми членами в одной части уравнения, никакой перестановки не потребуется. Обычно, чтобы начать поиск решений,
мы попытаемся решить 𝑓(𝑥)=0, где 𝑓(𝑥)=𝑥+121.
Однако на самом деле это не имеет решений,
поскольку 𝑥 всегда будет больше нуля для любого действительного значения 𝑥. То есть у нас есть
𝑥≥0⟹𝑥+121≥121𝑥+121>0.
Таким образом, левая часть неравенства всегда будет строго больше нуля, а это означает, что 𝑥+121≤0 никогда не будет истинным.
Графически это можно увидеть, если учесть, что график 𝑓(𝑥)=𝑥+121 никогда не пересекает 𝑥-ось, как показано ниже.
Записанное в виде интервала решение представляет собой пустое множество ∅.
В предыдущих двух примерах мы решали квадратные неравенства, где правая часть неравенства равна
равен нулю. Когда обе части неравенства содержат ненулевые выражения, нам нужно сначала
упростить неравенство до точки, где одна его часть равна нулю. В следующем примере мы будем
рассмотрим пример, когда обе части неравенства содержат квадратные выражения. После
упрощая это неравенство, будем решать его как алгебраически, так и графически.
Пример 3. Решение квадратного неравенства
Определите множество решений неравенства (𝑥+3)≤(5𝑥−9).
Ответ
Чтобы начать решать это неравенство, сначала упростим его так, чтобы одна сторона была равна нулю. Хотя это заманчиво, мы не можем просто взять здесь квадратный корень из каждой стороны равенства. Поскольку квадратный корень может принимать как положительные, так и отрицательные значения, извлечение квадратного корня из неравенство может привести к неверному ответу. Вместо этого мы можем умножать через круглые скобки в обе части неравенства, чтобы получить (𝑥+3)≤(5𝑥−9)𝑥+6𝑥+9≤25𝑥−90𝑥+81.
Теперь нам нужно собрать все члены на одной стороне неравенства. Для того, чтобы сохранить
положительный коэффициент при 𝑥, мы можем вычесть все члены на
левая часть каждой части неравенства, что дает нам также можно написать это как
24𝑥−96𝑥+72≥0,
отметив, что две стороны неравенства поменялись местами.
Поскольку 24 — общий множитель, мы можем разделить все слагаемые на 24, что дает нам
| 𝑥−4𝑥+3≥0. | (1) |
Мы упростили данное неравенство до такой степени, что одна его сторона равна нулю. В настоящее время, мы закончим решать это неравенство, используя два различных метода: алгебраический метод и графический метод.
Метод 1
Сначала решим это неравенство алгебраически. Установка нашего 𝑓(𝑥)=0 и факторинг дают нам 𝑥−4𝑥+3=0(𝑥−1)(𝑥−3)=0,
Следовательно, 𝑥=1𝑥=3.or
В факторизованном виде неравенство (1) записывается как (𝑥−1)(𝑥−3)≥0, и нам нужно определить регионы, в которых это неравенство верно. Независимо от того, (𝑥−1)(𝑥+3)≥0 зависит от факторов (𝑥−1) и (𝑥−3).
Мы можем создать сетку, чтобы определить, будет ли каждый фактор положительным или отрицательным в
интервалы меньше, больше и между нашими решениями 𝑥=1 и
𝑥=3.
Поскольку у нас есть нестрогое неравенство, мы также можем записать
значения, когда 𝑥=1 и 𝑥=3. Затем мы можем вычислить, является ли
произведение факторов будет положительным или отрицательным.
| 𝑥1 | 𝑥=1 | 1𝑥3 | 𝑥=3 | 𝑥>3 | |
|---|---|---|---|---|---|
| (𝑥−1) | − | 0 | + | + | + |
| (𝑥−3) | − | − | − | 0 | + |
| (𝑥−1)(𝑥−3) | + | 0 | − | 0 | + |
Из сетки видно, что интервалы, где (𝑥−1)(𝑥−3)≥0, соответствуют 𝑥≤1 и когда 𝑥≥3. В других словами, неравенство (𝑥+3)≤(5𝑥−9) выполняется, когда 𝑥 не удовлетворяет 1𝑥3. В интервальных обозначениях мы можем выразить наш ответ как ℝ−]1,3[.
Метод 2
Рассмотрим, как решить неравенство (1) графически. Начнем с построения графика
𝑓(𝑥)=𝑥−4𝑥+3.
Учитывая, что коэффициент при 𝑥
положительна, мы знаем, что кривая параболы откроется вверх. В методе 1 мы идентифицировали корни
равенство 𝑥=1 и 𝑥=3, это означает, что кривая
пройдет через координаты (1,0) и (3,0).
Для решения неравенства 𝑥−4𝑥+3≥0 рассмотрим точки на график 𝑓(𝑥)=𝑥−4𝑥+3, где 𝑓(𝑥)≥0. Это будет выше оси 𝑥, при значениях, где 𝑥≤1 и где 𝑥≥3. Как показано в методе 1, наш ответ в интервальной записи можно записать как ℝ−]1,3[.
В предыдущем примере мы решили квадратное неравенство как алгебраически, так и графически. Требуются оба метода упрощая данное неравенство до точки, где одна его часть равна нулю. Отсюда легко решить квадратное неравенство графически, пока мы можем набросать график квадратичной функции. Мы будем использовать графический метод решения квадратных неравенств в остальных примерах.
Рассмотрим еще один пример графического решения квадратного неравенства.
Пример 4. Решение квадратного неравенства с помощью графика
Решите неравенство 2𝑥≤15𝑥−27.
Ответ
Начнем с упрощения данного неравенства до такой степени, что одна его сторона равна нулю. Мы можем вычесть 15𝑥 с обеих сторон, что дает нам 2𝑥≤15𝑥−272𝑥−15𝑥≤−27.
Затем мы можем добавить 27 к обеим частям неравенства, что даст нам 2𝑥−15𝑥+27≤0.
Чтобы решить неравенство графически, нарисуем график 𝑓(𝑥)=2𝑥−15𝑥+27. Для этого сначала нужно найти точки пересечения уравнения 𝑥-ось, часто называемая корнями уравнения.
Установив 𝑓(𝑥)=0, мы можем разложить это на множители, что даст нам 2𝑥−15𝑥+27=0(2𝑥−9)(𝑥−3)=0,
Итак, 𝑥=4,5𝑥=3.или
Теперь нам нужно установить форму кривой 𝑓(𝑥)= 2𝑥−15𝑥+27. Поскольку коэффициент при 𝑥, 2, положителен, это означает, что кривая параболы разомкнется вверх.
Итак, поскольку корни уравнения равны 𝑥=4,5 и 𝑥=3,
мы можем построить координаты (4.
5,0) и (3,0) и
нарисуйте кривую параболы, как показано ниже.
Далее нам нужно определить области, для которых неравенство 2𝑥−15𝑥+27≤0 Справедливо. Из скетча видно, что 𝑓(𝑥)=2𝑥−15𝑥+27 находится в значениях меньше нуля между значениями 𝑥=3 и 𝑥=4,5. Следовательно, 𝑥 должно удовлетворять 3≤𝑥≤4,5. В интервальных обозначениях мы можем записать это как [3,4.5].
Рассмотрим еще один пример графического решения квадратного неравенства.
Пример 5. Решение квадратного неравенства с помощью графика
Решите неравенство (𝑥−5)(𝑥−7)≥−5𝑥+35.
Ответ
Начнем с упрощения данного неравенства до такой степени, что одна его сторона равна нулю. Умножая через скобки, получаем (𝑥−5)(𝑥−7)≥−5𝑥+35𝑥−12𝑥+35≥−5𝑥+35𝑥−7𝑥+35≥35𝑥−7𝑥≥0.
Чтобы решить неравенство графически, нарисуем график 𝑓(𝑥)=𝑥−7𝑥. Для этого сначала нужно найти корни квадратичной функции 𝑓(𝑥). Эти корни можно найти, установив 𝑓(𝑥)=0 и решив, что даст нам 𝑥−7𝑥=0,
Факторинг, имеем 𝑥(𝑥−7)=0.
Следовательно, 𝑥=0𝑥=7.или
Как коэффициент при 𝑥 в уравнении 𝑓(𝑥)=𝑥−7𝑥 равно 1, это значение больше нуля; поэтому кривая параболы будет открываться вверх. Как корни уравнения равны 𝑥=0 и 𝑥=7, это означает, что кривая пройдет через координаты (0,0) и (7,0). Мы можем сделать набросок график, показанный ниже.
Для решения неравенства 𝑥−7𝑥≥0 рассмотрим точки на график 𝑓(𝑥)=𝑥−7𝑥, где 𝑓(𝑥)≥0. Это будет выше оси 𝑥 при значениях, где 𝑥 меньше 0 и где 𝑥 больше 7. Поскольку у нас нет строгого неравенства, 𝑥 также может быть точно равно до 0 или 7. Другой способ выразить это — сказать, что 𝑥 — это все значения, исключая точки, где 0𝑥7. Мы можем выразите этот окончательный ответ в интервальной записи как ℝ−(0,7).
Давайте закончим повторением нескольких важных понятий из объяснения.
Ключевые моменты
- Решением квадратного неравенства является интервал или объединение интервалов. Когда это объединение двух интервалов, мы можем использовать обозначение множества разностей для
запишите его как дополнение одного интервала.
- Чтобы решить квадратное неравенство алгебраически, выполните следующие шаги:
- Перестройте неравенство так, чтобы все члены выражения находились на одной стороны, с неравенством, связывающим это с нулем, например, 𝑓(𝑥)>0.
- Умножьте неравенство, установив 𝑓(𝑥)=0, чтобы определить корни выражения 𝑓(𝑥).
- Определите интервалы, удовлетворяющие неравенству, используя контрольные точки в каждом интервальная или знаковая диаграмма. Мы также можем нарисовать график функции.
- Чтобы решить квадратное неравенство графически, выполните следующие действия.
- Переформулируйте неравенство так, чтобы все члены выражения находились на одном
сторона с неравенством, связывающим это с нулем; Например
𝑓(𝑥)>0.
- Умножьте неравенство, установив 𝑓(𝑥)=0, чтобы определить корни выражения 𝑓(𝑥).
- Нарисуйте график уравнения 𝑓(𝑥)=0, используя корни уравнения и нахождение направления кривой параболы. Возьмите специальные неважно, изменили ли вы исходное неравенство, чтобы изменить знак 𝑥 значение: используйте коэффициент 𝑥 в переставил форму неравенства, чтобы определить форму кривой, а не исходное неравенство.
- Определите интервалы, удовлетворяющие неравенству.
- Переформулируйте неравенство так, чтобы все члены выражения находились на одном
сторона с неравенством, связывающим это с нулем; Например
𝑓(𝑥)>0.
Когда это объединение двух интервалов, мы можем использовать обозначение множества разностей для
запишите его как дополнение одного интервала.
Решение линейных неравенств с одной переменной
Линейные неравенства
Линейное неравенствоЛинейные выражения, связанные с символами ≤, <, ≥ и >. это математическое утверждение, которое связывает линейное выражение как меньшее или большее, чем другое. Ниже приведены некоторые примеры линейных неравенств, все они решаются в этом разделе:
Решение линейного неравенстваВещественное число, которое дает истинное утверждение, когда его значение подставляется вместо переменной.
это действительное число, которое даст истинное утверждение при замене переменной. Линейные неравенства либо имеют бесконечно много решений, либо не имеют решений. Если существует бесконечно много решений, изобразите набор решений на числовой прямой и/или выразите решение, используя интервальную запись.
Пример 1
Являются ли x=−4 и x=6 решениями уравнения 5x+7<22?
Решение:
Подставим значения вместо x , упростим и проверим, получим ли мы верное утверждение.
Ответ: x=−4 является решением, а x=6 — нет.
Все методы решения линейных уравнений, кроме одного, применимы и к решению линейных неравенств. Вы можете прибавлять или вычитать любое действительное число к обеим сторонам неравенства, а также умножать или делить обе части на любое 90 328 положительное 90 329 действительное число, чтобы получить эквивалентные неравенства. Например:
10> −510−7> −5–7 Вычитание 7 с обеих сторон.3> −12 ✓ True
10> −5105> −55 Разделите обе стороны на 5,2> −1 ✓ True
Установка 7 сторона и деление каждой стороны на положительные 5 приводит к истинному неравенству.
Пример 2
Решите и нарисуйте набор решений: 5x+7<22.
Решение:
5x+7<225x+7−7<22−75x<155x5<155x<3
Полезно потратить минуту и выбрать несколько значений из набора решений, подставить их в исходное неравенство, а затем проверить результаты. Как указано, вы должны ожидать, что x=0 решит исходное неравенство, а x=5 — нет.
Такая проверка показывает, что мы правильно решили неравенство.
Мы можем выразить это решение двумя способами: используя запись набора и запись интервала.
{x|x<3} Set notation (−∞,3) Interval notation
В этом тексте мы предпочитаем представлять ответы, используя интервальную запись.
Ответ: (−∞, 3)
При работе с линейными неравенствами при умножении или делении на отрицательное число применяется другое правило. Чтобы проиллюстрировать проблему, рассмотрим истинное утверждение 10>−5 и разделим обе части на −5.
10> −510–5> −5–5 Разделите обе стороны на −5,i2> 1 ✗ False
Разделение на -5 приводит к ложному утверждению.
Чтобы сохранить истинное утверждение, неравенство должно быть обращено.
10>−510−5<−5−5 Обратное неравенство.−2<1 ✓При умножении отрицательного числа на
возникает та же проблема. Это приводит к следующему новому правилу: при умножении или делении на отрицательное число инвертировать неравенство . Это легко забыть сделать, поэтому будьте особенно внимательны и следите за отрицательными коэффициентами. В общем, учитывая алгебраические выражения A и B , где c положительное ненулевое действительное число, мы имеем следующие свойства неравенств Свойства, используемые для получения эквивалентных неравенств и используемые в качестве средства для их решения.:
Мы используйте эти свойства, чтобы получить эквивалентное неравенство, которое имеет один и тот же набор решений, один с тем же набором решений, где переменная изолирована. Процесс аналогичен решению линейных уравнений.
Пример 3
Решите и нарисуйте набор решений: −2(x+8)+6≥20.
Решение:
−2 (x+8)+6ц .20 Распределение. — 2x — 16+6≥20 Комбинируйте, как термины. — 2x — 10,20 Решайте для x.2x ≥30 Разделите обе стороны на 2. –2x — 2≤30–2 Обратите внимание на неравенство. X≤15
Ответ: Интервальная нотация (−∞, −15]
Пример 4
Решение и график набор решений: −2 (4x-5 )<9−2(x−2).
Решение: 9Обратное неравенство.x>−12
Ответ: Обозначение интервала (−12, ∞)
Пример 5
Решите и нарисуйте набор решений: 12x−2≥12(74x−9)+1.
Решение:
12x — 2≥12 (74x — 9) +1 12x — 2≥78x — 92+1 12x — 78x≥ — 72+2–38x–32 (−83) ( — 38x) ≤ ( −83)(−32) Обратное неравенство. x≤4
Ответ: Обозначение интервала: (−∞, 4]
Попробуйте! Решите и нарисуйте набор решений: 10−5(2x+3)≤25.
Ответ: [−3, ∞);
(нажмите, чтобы посмотреть видео)
Составные неравенства
Ниже приведены некоторые примеры составных линейных неравенств:
Эти составные неравенства Два или более неравенства в одном утверждении, соединенные словом «и» или словом «или».
на самом деле два неравенства в одном утверждении, соединенные словом и или словом или . Например,
−13<3x−7<17
является составным неравенством, поскольку его можно разложить следующим образом:
−13<3x−7 и 3x−7<17
Мы можем решить каждое неравенство по отдельности; пересечение двух наборов решений решает исходное составное неравенство. Хотя этот метод работает, есть еще один метод, который обычно требует меньшего количества шагов. Примените свойства этого раздела ко всем трем частям составного неравенства с целью выделения переменной в середине .0329 утверждения для определения границ множества решений.
Пример 6
Решите и нарисуйте набор решений: −13<3x−7<17.
Решение:
−13<3x−7<17−13 +7<3x−7 +7<17 +7−6<3x<24−63<3x3<243−2 Ответ: Обозначение интервала: (−2,8) Решите и нарисуйте набор решений: 56≤13(12x+4)<2. Решение: 56≤13(12x+4)<256≤16x+43<26⋅(56)≤6⋅(16x+43)<6⋅(2)5≤x+8<125−8≤ х+8−8<12−8−3≤x<4 Ответ: интервальная запись [−3,4) Важно отметить, что при умножении или делении всех трех частей составного неравенства на отрицательное число необходимо обратить все неравенства в утверждении. Попробуйте! Решите и нарисуйте набор решений: −3≤−3(2x−3)<15. Ответ: (−1,2]; (щелкните, чтобы посмотреть видео) Для составных неравенств со словом « или » вы работаете с обоими неравенствами по отдельности, а затем рассматриваете объединение наборов решений. union решает любое неравенство Решите и начертите набор решений: 4x+5≤−15 или 6x−11>7 Решение: Решите каждое неравенство и сформируйте объединение, объединив наборы решений. Ответ: интервальная нотация (−∞,−5]∪(3,∞) Попробуйте! <1. Ответ: (−∞,−1)∪(32, ∞) (нажмите, чтобы посмотреть видео) Некоторые ключевые слова и фразы, обозначающие неравенства, приведены ниже. Как и во всех приложениях, внимательно прочитайте задачу несколько раз и найдите ключевые слова и фразы. Определите неизвестные и назначьте переменные. Затем переведите формулировку в математическое неравенство. Наконец, используйте свойства, которые вы узнали, для решения задачи. неравенство и выразить решение графически или в интервальной записи. Семь меньше, чем сумма числа, умноженная на 3, и 5 не больше 11. Найдите все числа, удовлетворяющие этому условию. Решение: Сначала выберите переменную для неизвестного числа и определите ключевые слова и фразы. Пусть n представляют неизвестное, обозначенное как « число ». Найдите n . 3(n+5)−7≤113n+15−7≤113n+8≤113n≤3n≤1 Ответ: Любое число, меньшее или равное 1, будет удовлетворять утверждению. Чтобы получить оценку B по курсу математики, средний результат теста должен быть не менее 80% и менее 90%. Решение: Задайте составное неравенство, в котором среднее значение теста находится в диапазоне от 80% до 90%. В этом случае включите нижнюю границу, 80. Пусть x представляет результат пятого теста. 80≤испытание среднее<9080≤92+96+79+83+x5<905⋅80≤5⋅350+x5<5⋅ Ответ: Она должна набрать не менее 50% и менее 100%. В предыдущем примере верхняя граница 100% не входила в набор решений. Что произойдет, если она заработает 100% на пятом тесте? среднее=92+96+79+83+1005=4505=90 Как мы видим, ее среднее значение будет 90%, что принесет ей пятерку. решения. Решения представлены графически на числовой прямой или с использованием интервальной записи, или и того, и другого. Определить, является ли заданное значение решением. 5x-1<-2; х=−1 −3x+1>−10; х=1 2x−3<−5; х=1 5x−7<0; х=2 9y−4≥5; у=1 −6y+1≤3; у=-1 12а+3≤-2; а=-13 25а-2≤-22; а=-45 −10<2x−5<−5; х=-12 3x+8<−2 или 4x−2>5; х=2 Нанесите все решения на числовую прямую и задайте соответствующее обозначение интервала. 3x+5>−4 2x+1>−1 5–6 лет <–1 7−9 лет>43 6−a≤6 −2а+5>5 5x+63≤7 4x+116≤12 12 лет+54≥14 112г+23≤56 2(3x+14)<−2 5(2г+9)>−15 5-2(4+3г)≤45 −12+5(5−2x)<83 6(7−2а)+6а≤12 2а+10(4-а)≥8 9(2t−3)−3(3t+2)<30 −3(t−3)−(4−t)>1 12(5x+4)+56x>−43 25+16(2x−3)≥115 5x−2(x−3)<3(2x−1) 3(2x−1)−10>4(3x−2)−5x −3y≥3(y+8)+6(y−1) 12≤4(у-1)+2(2у+1) −2(5t−3)−4>5(−2t+3) −7(3t−4)>2(3−10t)−t 12(х+5)−13(2х+3)>76х+32 −13(2x−3)+14(x−6)≥112x−34 4(3x+4)≥3(6x+5)−6x 1−4(3x+7)<−3(x+9)−9x 6−3(2a−1)≤4(3−a)+1 12-5(2а+6)≥2(5-4а)-а Нанесите все решения на числовую прямую и укажите соответствующее обозначение интервала. −1<2x+1<9 −4<5x+11<16 −7≤6y−7≤17 −7≤3г+5≤2 −7<3x+12≤8 −1≤2x+73<1 −4≤11−5t<31 15<12−t≤16 −13≤16a+13≤12 −16<13a+56<32 5x+2<−3 или 7x−6>15 4x+15≤−1 или 3x−8≥−11 8x−3≤1 или 6x−7≥8 6x+1<−3 или 9x−20>−5 8x−7<1 или 4x+11>3 10x−21<9 или 7x+9≥30 7+2 года <5 или 20−3 года>5 5−y<5 или 7−8y≤23 15+2x<−15 или 10−3x>40 10−13x≤5 или 5−12x≤15 9−2x≤15 и 5x−3≤7 5−4x>1 и 15+2x≥5 7 лет-18<17 и 2 года-15<25 13 лет+20≥7 и 8+15 лет>8 5−4x≤9 и 3x+13≤1 17−5x≥7 и 4x−7>1 9 лет+20≤2 и 7 лет+15≥1 21−6y≤3 и −7+2y≤−1 −21<6(x−3)<−9 0≤2(2x+5)<8 −15≤5+4(2y−3)<17 5<8−3(3−2 года)≤29 5<5−3(4+t)<17 −3≤3−2(5+2t)≤21 −40<2(x+5)−(5−x)≤−10 −60≤5(x−4)−2(x+5)≤15 −12<130(x−10)<13 −15≤115(x−7)≤13 −1≤a+2(a−2)5≤0 0<5+2(а-1)6<2 Найдите все числа, удовлетворяющие заданному условию. На три меньше, чем удвоенная сумма числа, а 6 не больше 13. Пять меньше, чем сумма числа, умноженная на 3, и 4 не больше 10. Пятикратная сумма числа и 3 не меньше 5. Трехкратная разница между числом и 2 не менее 12. Сумма трех чисел, умноженных на 8, составляет от 2 до 20. На восемь меньше, чем удвоенное число, находится в диапазоне от -20 до -8. Четыре вычесть из трех, умноженных на некоторое число от -4 до 14. Девять вычитается из 5, умноженного на некоторое число от 1 до 11. Составьте алгебраическое неравенство и решите его. При членстве в гольф-клубе стоимостью 120 долларов в месяц каждый раунд игры в гольф стоит всего 35 долларов. Сколько раундов в гольф может сыграть участник, если он хочет сохранить свои расходы максимум на 270 долларов в месяц? Аренда грузовика стоит 95 долларов в день плюс 0,65 доллара за милю. Сколько миль можно проехать за однодневную аренду, чтобы стоимость не превышала 120 долларов? Марк заработал 6, 7 и 10 баллов из 10 в первых трех тестах. Что он должен набрать в четвертом тесте, чтобы в среднем было не менее 8? Джо получил 78, 82, 88 и 70 баллов за свои первые четыре экзамена по алгебре. Гимнастка набрала 13,2, 13,0, 14,3, 13,8 и 14,6 балла в первых пяти упражнениях. Что он должен набрать в шестом соревновании, чтобы средний балл был не менее 14,0? Танцор получил 7,5 и 8,2 балла от первых двух судей. Какой должна быть ее оценка от третьего судьи, если она должна получить в среднем 8,4 или выше? Если два раза угол составляет от 180 до 270 градусов, то каковы границы исходного угла? Периметр квадрата должен быть от 120 до 460 дюймов. Найдите длины всех возможных сторон, удовлетворяющих этому условию. Компьютер настроен на отключение, если температура превышает 45°C. Определенный антифриз эффективен в диапазоне температур от −35°C до 120°C. Найдите эквивалентный диапазон в градусах Фаренгейта. Часто учащиеся обращают неравенство, решая 5x+2<−18? Как вы думаете, почему это распространенная ошибка? Объясните начинающему студенту алгебры, почему мы этого не делаем. Выполните поиск в Интернете по запросу «решение линейных неравенств». Поделитесь ссылкой на веб-сайт или видеоурок, которые вы считаете полезными. Напишите свои собственные 5 ключевых выводов для всей этой главы. Да № Да № Да (-3,∞); (1,∞); [0,∞); (-∞,3]; [−2,∞); (-∞,-5); [−8,∞); [5,∞); (-∞,7); (-1,∞); (3,∞); (-∞,-32]; (-∞,0); [−2,∞); (-1,4); [0,4]; (−5,5]; (−4,3]; [−4,1]; (-∞,-1)∪(3,∞); (-∞,12]∪[52,∞); (-∞,5); (-∞,-10); [−3,2]; (-∞,5); (-12,32); [−1,3); (-8,-4); (-15,-5]; (-5,20); [−13, 43]; (-∞,2] [−2,∞) (−2,4) (0,6) Участник может сыграть 4 раунда или меньше. Марк должен заработать не менее 9 баллов в четвертом тесте. Он должен набрать 15,1 балла в шестом событии. Угол между 90 и 135 градусами. Компьютер выключится, когда температура превысит 113°F. Ответ может отличаться Ответ может отличаться Математика Фигурный посох Чтение через 10 мин Для многих учащихся 8-х классов и старше числа и фигуры, которые они узнали, действительно начинают складываться воедино, когда они составляют и решают линейные уравнения. Эта тема объединяет идеи об алгебре, геометрии и функциях, и многим детям — и взрослым! — может быть трудно усвоить ее. В этой статье объясняется, что такое линейное уравнение, и рассматриваются различные примеры. Затем он предлагает уроки для введения и развития концепции линейных уравнений с одной переменной для ваших студентов. Как и любое другое уравнение, линейное уравнение состоит из двух выражений, равных друг другу. Есть некоторые ключевые особенности, общие для всех линейных уравнений: Линейное уравнение с двумя переменными может быть описано как линейная зависимость между х и y , то есть двумя переменными, в которых значение одной из них (обычно y ) зависит от значение другого (обычно x ). В этом случае х является независимой переменной, а х зависит от нее, поэтому х называется зависимой переменной. Независимо от того, помечено ли это значение x , независимая переменная обычно откладывается по горизонтальной оси. Большинство линейных уравнений являются функциями. Другими словами, каждому значению x соответствует только одно значение y . Когда вы присваиваете значение независимой переменной x , вы можете вычислить значение зависимой переменной y . Затем вы можете нанести точки, названные каждой парой ( x , y ) на координатной сетке. Учащиеся уже должны знать, что любые две точки определяют прямую. Таким образом, для построения графика линейного уравнения на самом деле требуется только найти две пары значений и провести линию через точки, которые они описывают. Все остальные точки на линии дадут значения x и y , которые удовлетворяют уравнению. Графики линейных уравнений всегда являются линиями. Однако важно помнить, что не каждая точка на линии, описываемой уравнением, обязательно будет решением задачи, описываемой уравнением. Например, задача может не иметь смысла для отрицательных чисел (скажем, если независимой переменной является время) или очень больших чисел (скажем, для чисел больше 100, если зависимой переменной является оценка в классе). В этом уравнении для любой фиксированной скорости зависимость между расстоянием и временем будет линейной. В этом уравнении, поскольку количество воды в ведре никогда не будет отрицательным, на графике первый квадрант. Обратите внимание, что направление линии на этом графике — сверху слева вниз справа. Линии, стремящиеся в этом направлении, имеют отрицательный наклон. А отрицательный наклон указывает на то, что значения на оси y- уменьшаются по мере увеличения значений на оси x-. Опять же, на этом графике мы связываем значения, которые имеют смысл только в том случае, если они положительны, поэтому мы показываем точки только в первом квадранте. Поскольку совершенно разумно иметь как положительные, так и отрицательные температуры, мы наносим точки на этом графике на полной координатной сетке. (Хотя это и не видно на графике, самая низкая возможная физическая температура составляет около –460° по Фаренгейту, поэтому не каждое решение на графике полезно!) линия относится к y- ось и наклон линии вверх или вниз, если смотреть на нее слева направо. С технической точки зрения, наклон показывает скорость, с которой зависимая переменная изменяется по отношению к изменению независимой переменной. Выберите любые две точки на линии. Если мы обозначим точку A в качестве первой точки и Point B в качестве второй точки, наклон линии равен (–2 – 4)/(–1 – 2) = –6/–3 или 2. Не имеет значения какие точки на линии вы обозначили как A и B , при условии, что мы согласны с тем, какая точка является «первой» ( x 1 , y 1 ), а какая «второй» ( x 2 , y 2 ). Уравнение прямой можно записать в форме, которая делает наклон очевидным и позволяет рисовать линию без каких-либо вычислений. Если учащимся удобно решать простое линейное уравнение, состоящее из двух шагов, они могут написать линейные уравнения в форме пересечения наклона. Форма линейного уравнения с пересечением наклона: y = m x + b . В уравнении x и y являются переменными. Числа m и b дают наклон линии ( m ) и значение y , когда x равно 0 ( b ). Значение y , когда x равно 0, называется y -перехватом , потому что (0, y ) — точка, в которой линия пересекает ось y . Вы можете нарисовать линию для уравнения, соответствующего этой линейной формуле, построив (0, b ), а затем используя м , найти другую точку. Например, если м равно 1/2, вы можете интерпретировать это как разницу в 1 между координатами и для каждой разницы в 2 среди координат x (то есть ( y 2 – y 1 )/( x 2 – x 1 ) = 1/2). Отсчитайте +2 по оси x-, затем +1 по оси y-, чтобы добраться до другой точки: (2, b + 1). Уравнение этой прямой: y + 3 = 2 x . В форме пересечения уклона уравнение имеет вид y = 2 x – 3. В этой форме вы можете легко увидеть, что уклон м = 2. Глядя на график, уклон действительно равен 2, так как для каждого + 2 изменение в и , есть +1 изменение в x . Теперь посмотрите на b в уравнении: –3 должно быть там, где линия пересекает ось y , и это так. Когда линия наклоняется вверх слева направо, она имеет положительный наклон. Это означает, что положительное изменение х связано с положительным изменением х . Чем круче наклон, тем больше скорость изменения y по отношению к изменению х . Уклон 6 круче, чем уклон 1, который, в свою очередь, круче, чем уклон 1/6. Когда линия представляет точки реальных данных, нанесенные на координатную плоскость, положительный наклон указывает на положительную корреляцию, и чем круче наклон, тем сильнее положительная корреляция. Рассмотрим линейное уравнение, в котором независимая переменная g представляет собой количество использованного газа в галлонах, а зависимая переменная d представляет собой пройденное расстояние в милях. Если вы водите большую старую машину, у вас будет плохой расход бензина. Количество пройденных миль мало по сравнению с количеством израсходованного газа, поэтому значение м — малое число. Когда линия наклонена вниз слева направо, она имеет отрицательный наклон. Это означает, что отрицательное изменение y связано с положительным изменением x . Когда линия представляет точки реальных данных, нанесенные на координатную плоскость, отрицательный наклон указывает на отрицательную корреляцию, и чем круче наклон, тем сильнее отрицательная корреляция. Рассмотрим линию, представляющую количество перцев, оставшихся для посадки после нескольких минут, проведенных в саду. Если в саду может поместиться 18 кустов перца, и вы сажаете 1 куст перца в минуту, то скорость, с которой садовая квартира опустеет, довольно высока, поэтому абсолютное значение м — число большее, а линия круче. Когда y не изменяется при изменении x , график линии горизонтален. Горизонтальная линия имеет нулевой наклон. Когда x не изменяются при изменении y , график линии является вертикальным. Вы не можете вычислить наклон этой линии, потому что вам нужно разделить на 0. Обратите внимание, что вы можете думать об этих линиях как о «бесконечно крутых», либо положительно 90 328, либо 90 329 отрицательно. Наклон вертикальной линии не определяется. Две линии с одинаковым уклоном имеют одинаковую крутизну. Это означает одно из двух: либо линии параллельны, либо они являются одной и той же линией. Во всех этих трех строках каждое изменение на 1 единицу в y связано с изменением на 1 единицу в x . Все три имеют наклон 1. Когда линейное уравнение имеет две переменные (как это обычно и бывает), оно имеет бесконечное число решений. Каждое решение представляет собой пару чисел ( x , y ), которые делают уравнение верным. Решение линейного уравнения обычно означает нахождение значения y для заданного значения x . When the Equation Is Already in Slope-Intercept Form If the equation is already in the form y = mx + b , with x and y variables and m and b рациональных чисел, решение для конкретных значений несложно. Выберите значение для x, и вычислите соответствующее значение для y . Двухэтапные уравнения включают поиск значений для выражений, которые имеют более одного члена . Терм может быть числом, переменной или числами и переменными, перемноженными вместе. Члены выражения разделяются символами сложения или вычитания. 2 x — это выражение с одним членом. 2 x + 6 имеет два члена. Чтобы найти значение y по заданному значению x , подставьте в выражение значение x . Рассмотрим уравнение y = 2 x + 6. Найдите значение для y , когда x = 5: Когда уравнение не имеет форму пересечения наклона + b ), учащиеся все еще могут составить таблицу значений, чтобы найти решения уравнения, но может быть проще сначала представить уравнение в форме пересечения наклона. Это требует зеркального отображения операций с каждой стороны уравнения до y само по себе находится на одной стороне уравнения и равно линейному выражению, включающему x . Вы можете манипулировать уравнением таким образом из-за свойств равенства: Рассмотрим 2 x + y – 6 = 0. Это уравнение не в форме пересечения наклона, но вы можете использовать свойства равенства, чтобы получить y на одной стороне уравнения. Пример 7
Например:
−10<−2x<20−10−2>−2x−2>20−25> x >−10
Ответ выше можно записать в эквивалентной форме, где меньшие числа лежат слева, а большие числа лежат справа, как они появляются на числовой прямой.
−10 Пример 8
Применение линейных неравенств
: Пример 9
Пример 10
Если учащийся набрал 92 %, 96 %, 79 % и 83 % на первых четырех тестах, сколько он должен набрать на пятом тесте, чтобы получить четверку?
Если вы разделите или умножите неравенство на отрицательное число, переверните неравенство, чтобы получить эквивалентное неравенство. Тематические упражнения
Часть A. Линейные неравенства
Часть B: Составные неравенства
Часть C: Приложения
Что он должен набрать на пятом экзамене, чтобы средний балл был не менее 80?
Приведите эквивалентное утверждение, используя градусы Фаренгейта. Подсказка: C=59(F−32). Часть D: Дискуссионная доска
Что вы считаете обзором, а что новым? Поделитесь своими мыслями на доске обсуждений. Ответы
Преподавание линейных уравнений по математике
Вернуться к форме Что такое линейное уравнение?
График линейного уравнения представляет собой прямую линию. 
Описание линейных отношений
Как выглядит линейное уравнение?
Пример 1: расстояние = скорость × время 
Однако расстояние обычно выражается положительным числом, поэтому на большинстве графиков этого отношения точки отображаются только в первом квадранте. Обратите внимание, что направление линии на графике ниже — снизу слева направо вверх. Линии, стремящиеся в этом направлении, имеют положительные склон . Положительный наклон указывает, что значения по обеим осям увеличиваются слева направо.
Кроме того, в этом случае, поскольку ни один многоугольник не имеет менее 3 сторон или углов, а количество сторон или углов многоугольника должно быть целым числом, мы показываем график, начинающийся с (3,3), и указываем пунктирной линией, что точки между нанесенными на график не имеют отношения к задаче. Расчет уклона
Чтобы найти скорость изменения y , вычтите значение y первой точки из значения y второй точки: ( y 2 – y 1 ). Чтобы узнать, насколько быстро изменяется x , вычтите значение x первой точки из значения x второй точки: ( x 2 – x 1 ). Чтобы найти скорость, с которой y изменяется по отношению к изменению x , вычислите отношение: ( y 2 – y 1 )/( y 9049 81449 х 1 ).
Если мы обозначим точку B как первую точку, а точку A в качестве второй точки, значение наклона такое же: (4 – -2)/(2 – -1) = 6/3 или 2. Это также то же значение, которое вы получите, если выберете любую другую пару точек на линии для вычисления уклона.
Наклон линии достаточно плавный. Если вместо этого вы едете на легком экономичном автомобиле, вы увеличиваете расход бензина. Вы проезжаете больше миль относительно того же количества потребляемого газа, поэтому значение м больше, а линия круче. Обе ставки положительны, потому что вы по-прежнему проезжаете положительное количество миль на каждый галлон бензина, который вы потребляете.
Если вместо этого вы сажаете только 1 растение перца каждые 2 минуты, вы все равно опустошите садовую квартиру, но скорость, с которой вы это делаете, будет ниже. Абсолютное значение м ниже (1/2 вместо 1), и линия не такая крутая.
Вы заметите, что легко выбрать значение x равно 0, потому что в этом случае y = b . Студентам может быть предложено составить таблицы значений для линейных уравнений. Это просто T-таблицы со списками значений для x с соответствующими значениями для y . x . у = 2(5) + 6 Умножить. 
y = 10 + 6 Доп. y = 16 
| Переместительное свойство сложения | –2x + 6 = y эквивалентно 6 – 2 x = y . |
| Симметричное свойство равенства | 6 – 2 x = y эквивалентно y = 6 – 2 х . |
Линейные уравнения: знакомство с концепцией
Материалы: Координатная сетка, которую могут видеть все учащиеся (сетка должна идти как минимум от –10 до +10 по обеим осям), инструмент для разметки сетки точками и линии
Подготовка: Поскольку учащиеся будут считывать точки с графиков и рисовать линии из списков точек, они (и вы) должны быть готовы использовать линейку для создания точных прямых линий. При онлайн-обучении используйте цифровой инструмент, способный генерировать точки и линии.
Необходимые навыки и понятия: Учащиеся должны уметь наносить точки на координатную плоскость и должны быть знакомы с различными способами обозначения умножения и деления в уравнении. Они также должны быть знакомы с порядком операций и свойствами равенства.
- Аккуратно проведите линию через (0,0) и (2,2) на сетке. Не забудьте расширить его в обоих направлениях, чтобы на нем было много точек, которые легко назвать.
- Произнесите: Назовите несколько точек на этой линии. Учащиеся должны составить список точек с целочисленными координатами. Если нет, потратьте некоторое время на присвоение имен точкам на сетке, прежде чем продолжить этот урок. Если учащиеся называют нецелые точки, например (1,5, 1,5), уделите время объяснению, почему они тоже находятся на прямой.
- Спросите: Можете ли вы дать мне правило, как найти y, когда мы знаем x в этой строке? Обсудите, как связаны координаты, затем попросите учащихся записать правило в виде уравнения. Уравнение этой линии равно г = х .
- Скажем: Это была линия для уравнения y = x. H Как бы вы нарисовали линию для уравнения y = x + 3? Предложите учащимся самостоятельно провести линию. Если это возможно, попросите их объединиться в пары и сравнить их линии. Организуйте обсуждение различных линий, нарисованных учащимися, выделяя сходства и различия. Затем покажите один из способов рисования линии: подставьте несколько значений вместо 9.0328 x в уравнение, найдите соответствующие значения для y , а затем постройте эти пары координат. Две точки дают вам достаточно информации для проведения линии, но поскольку возможны ошибки, а человеческий рисунок не идеален, безопаснее создать по крайней мере три точки. Отобразите T-таблицу со связанными значениями x и y и нарисуйте график линии.
- Скажем: Теперь, как бы вы нарисовали линию для уравнения у = 2 х + 3? Учащиеся, скорее всего, будут использовать стратегию составления Т-таблицы и вычисления баллов. Если они забыли умножить свои значения x на 2 перед добавлением 3, напомните им о порядке операций (умножение или деление слева направо, затем сложение или вычитание слева направо). Попросите разных учащихся сформулировать разные точки зрения, обсуждая их рассуждения по ходу дела.
- Спросите: Кто-нибудь может дать мне число от –5 до 5? А как насчет числа от –10 до 10? Используйте эти числа для создания линейных уравнений. Первое число будет коэффициентом х , а второе будет добавлено к терму х . Создавайте уравнения, находите точки, затем рисуйте линии. Вы можете сделать это упражнение более похожим на игру, попросив учащихся бросать кубики с реальными или виртуальными числами. Если вы работали с наклоном, эти задачи также дадут вам возможность укрепить эту концепцию. (Спросите: Как вы думаете, будет ли наклон этой линии положительным или отрицательным? Как вы думаете, он будет очень крутым или не таким крутым? Пройдет ли эта линия через начало координат?)
Если это возможно, попросите их объединиться в пары и сравнить их линии. Организуйте обсуждение различных линий, нарисованных учащимися, выделяя сходства и различия. Затем покажите один из способов рисования линии: подставьте несколько значений вместо 9.0328 x в уравнение, найдите соответствующие значения для y , а затем постройте эти пары координат. Две точки дают вам достаточно информации для проведения линии, но поскольку возможны ошибки, а человеческий рисунок не идеален, безопаснее создать по крайней мере три точки. Отобразите T-таблицу со связанными значениями x и y и нарисуйте график линии.
Попросите разных учащихся сформулировать разные точки зрения, обсуждая их рассуждения по ходу дела.Линейные уравнения: развитие концепции
Материалы: Координатная сетка, которую могут видеть все учащиеся (сетка должна идти не менее от –10 до +10 по обеим осям), инструмент для разметки сетки точками и линиями
- Произнесите Когда мы создавали точки для линий на прошлом уроке, наши уравнения всегда выглядели одинаково. Другими словами, они всегда были в одной и той же форме. Сегодня мы рассмотрим, как они могут выглядеть по-разному.
- Скажем, Может кто-нибудь описать, как найти некоторые пары координат для линейного уравнения, 2 x + y = 15? Это двухшаговое уравнение. Решения включают присвоение значения x , затем умножение этого значения на 2, прежде чем попытаться выяснить, какое значение y удовлетворяло бы уравнению. Учащиеся могут использовать метод проб и ошибок или преобразовать уравнение, используя свойства равенства:
Напишите уравнение. 2 x + y = 15 Присвойте значение x . 2(3) + y = 15 Умножить. 6 + y = 15 Вычесть 6 с каждой стороны. 6 – 6 + y = 15 – 6 Вычесть. y = 9 Это решение дает нам точку (3,9). Продолжайте находить решения или согласовывать пары для этого уравнения до тех пор, пока вы не будете удовлетворены тем, что учащиеся довольны процессом. Затем нанесите точки на сетку и нарисуйте линию.
Скажем, Может кто-нибудь описать, как найти некоторые точки на линии, описываемой уравнением y + x/3 = 5?
Это решение дает нам точку (3,4).Напишите уравнение. y + x /3 = 5 Присвойте значение x . у + 3/3 = 5 Разделить. y + 1 = 5 Вычтите по 1 с каждой стороны. y + 1 – 1 = 5 – 1 Вычесть. y = 4 Студенты могут заметить, что это не похоже на предыдущие линейные уравнения. Объясните, что, поскольку x /3 — это то же самое, что (1/3) x , x /3 по-прежнему является обычным термином. Продолжайте находить решения или согласовывать пары для этого уравнения до тех пор, пока вы не будете удовлетворены тем, что учащиеся довольны процессом. Затем нанесите точки на сетку и нарисуйте линию.- Скажем, Может ли кто-нибудь описать, как найти некоторые точки на линии, описываемой уравнением y – 6 = 2x?
Напишите уравнение. г – 6 = 2 x Присвойте значение x . y – 6 = 2(3)
Умножить. y – 6 = 6 Добавьте по 6 с каждой стороны. у – 6 + 6 = 6 + 6 Доп. y = 12 Это решение дает нам точку (3,12).
- К настоящему времени учащиеся должны были заметить, что простая замена x равна 0. Эта замена даст вам точку, в которой линия пересекает ось y . Предложите учащимся прийти к этому пониманию, если они не делают этого самостоятельно.
Другими словами, они всегда были в одной и той же форме. Сегодня мы рассмотрим, как они могут выглядеть по-разному. 
Студенты могут заметить, что это не похоже на предыдущие линейные уравнения. Объясните, что, поскольку x /3 — это то же самое, что (1/3) x , x /3 по-прежнему является обычным термином. Продолжайте находить решения или согласовывать пары для этого уравнения до тех пор, пока вы не будете удовлетворены тем, что учащиеся довольны процессом. Затем нанесите точки на сетку и нарисуйте линию.
Когда учащиеся решают многошаговые уравнения, обратите особое внимание на то, соблюдают ли они порядок операций. Это важное алгебраическое понятие.
Кроме того, следите за тем, действительно ли учащиеся понимают, что свойства равенства говорят о том, что если вы делаете что-то с одной частью уравнения, вы ДОЛЖНЫ сделать то же самое с другой частью уравнения. То, что вы делаете, определяется действием, указанным уравнением. Если число вычитается из и и вы хотите y , чтобы быть само по себе, добавьте это число к каждой части уравнения, и его противоположное число «переместится» на другую часть уравнения.
Точно так же, если y умножить на число, деление поможет вам получить y само по себе.
***
Ищете решение для учащихся 5-х классов и старше, которое поможет разблокировать изучение уравнений и формул линейных отношений и не только? Исследуйте Math 180 , революционный подход к математическому вмешательству.
Математика Мероприятия и уроки 6-8 классы 9-12 классы Вмешательство
Связанные материалыРичард Бланкман
Фасонный РедакторДженнифер Прескотт
Форма УчастникДженнифер Прескотт
Форма Участник
Математика Мероприятия и уроки 6-8 классы 9 класс-12 Вмешательство
Подпишитесь на нашу рассылку новостей
Будьте первым, кто прочитает последние новости от Shaped .
Подписаться
Неравенства Пошаговое решение математических задач
Неравенства
9.1 Основные свойства
Из главы 1 мы помним, что действительные числа рассматриваются геометрически, глядя на линию действительных чисел. Множество действительных чисел представляет собой объединение трех непересекающихся множеств:
P : положительные действительные числа
N: отрицательные действительные числа
{0}: множество с нулевым элементом
3 9000 , каждое действительное число a либо положительно, либо равно 0, либо -a положительно, а умножение и сложение подчиняются следующим правилам вычисления:
(положительно) ⋅ (положительно) = (положительно)
(отрицательно) ⋅ (отрицательно) = (положительно)
(положительно) ⋅ (отрицательно) = (отрицательно)
(отрицательно) ⋅2(положительно)1 = (
(отрицательно) ⋅2(положительно)1 = (отрицательно) 2(положительно) (положительное) + (положительное) = (положительное)
(отрицательное) + (отрицательное) = (отрицательное)
Отношение порядка меньше, чем в действительной системе счисления, определяется с помощью набора положительных действительных чисел.
Пусть a и b — любые действительные числа.
a меньше, чем b, обозначаемое (a)<(b), тогда и только тогда, когда b-a положительно
Три других отношения порядка:
a меньше или равно b, обозначается как a<=b, тогда и только тогда, когда (a)<(b) или a=b
a больше, чем b, обозначается как a>b, если и только если (b)<(a)
a больше или равно b, обозначаемому как a>=b, если (b)<(a) или b=a
Иногда мы хотим чтобы подчеркнуть, что отношение порядка a к b равно <, а не ≤ , и в этом случае мы говорим, что a строго меньше, чем b.
Любое утверждение, использующее одно из четырех отношений порядка, называется неравенством. В вычислениях с неравенствами используются пять основных правил.
I.1 Если a и b — любые действительные числа, то верно ровно одно из следующих
:
(a)<(b), a=b, (b)<(a) Если (a)<(b) и (b)<(c), то (a)<(c).
I.3 Если (a)<(b) и c — любое действительное число, то a+c=b+c.
I.
4 Если (a)<(b) и c>0, тогда (ac)<(bc).
I.5 Если (a)<(b) и (c)<0, то ac>bc.
В наших вычислениях наиболее полезными являются правила I.3, I.4 и I.5.
В более продвинутых курсах доказывается, что правила с I.1 по I.5 верны для действительных чисел, используя определение < и свойства P, N. и {0}, перечисленные выше. Для интересующихся мы приводим в качестве образца доказательство 1.2.
Если (a) < (b) и (b) < (c), то по определению b-a положительно, а c-b положительно. Из того свойства P, что (положительное) + (положительное) = (положительное), следует, что (c — b) + (b — a) положительно. Но
(c-b)+(b-a)=c-b+b-a=c-a
Таким образом, с — а положительно, поэтому по определению (а) < (с).
Используя прямую с действительными числами, мы видим, что (a) < (b) тогда и только тогда, когда a находится левее b. Другие отношения порядка имеют аналогичную интерпретацию. Используя геометрическую интерпретацию <, мы можем интерпретировать пять основных правил.
I.1 Если a и b — точки на прямой с действительными числами, то ровно одна из
верно следующее:
a находится слева от b, a = b, b находится слева от a
I.2 Если a находится слева от b и b слева от c, то a находится слева от c
I.3 Если a находится слева от b и c — любое действительное число, то a+c находится слева от b+c.
I.4 Если a находится слева от b и c больше 0, то ac находится слева от bc.
I.5 Если a находится слева от b, а c меньше 0, то be находится слева от ac.
В главах 6 и 7 мы рассмотрели методы решения уравнений с одной или несколькими переменными. В этой главе мы рассмотрим методы решения неравенств с одной или двумя переменными. Под множеством решений неравенства с одной переменной мы понимаем все те действительные числа, которые удовлетворяют неравенству. Часто такие наборы решений представляют собой объединение отрезков и полустрок на прямой с действительными числами. Некоторые условные обозначения показаны ниже:
Первые три подмножества линии — это интервалы, а четвертое — полупрямая или луч.
Множество решений неравенства с двумя переменными – это множество всех пар чисел, удовлетворяющих неравенству. Его график представляет собой область координатной плоскости.
Два неравенства, имеющие одно и то же множество решений, эквивалентны. Как и в случае с уравнениями, решение данного неравенства получается путем поиска эквивалентного неравенства, набор решений которого известен.
Мы завершим этот раздел несколькими примерами, связанными с отношениями неравенства.
Пример 1. Что из следующего верно? (а) -1/2<-3/7, (б) 3,2>=17/5.
(a) Компьютер -3/7-(-1/2).
-3/7-(-1/2)
=-3/7+1/2
=-6/14+7/14
=1/14
/-3/(-1/2)=1/14 положительно, неравенство верно.
(b) Вычислить 3.2-17/5.
3,2-17/5
=32/10-17/5
=16/5-17/5
=-1/5
Поскольку 3,2-17/5=-1/5 отрицательно, неравенство неверно.
Пример 2. График каждый из следующих и записи в интервальной записи,
(a)
(b)
(c)
(A)
= (-3.
+∞) {recsect} (-∞, 1)
= (-3,1)
(b)
= (1,4) {Union} [2,5
= ( 1,5)
Давайте посмотрим, как наш математический решатель решает эту и подобные задачи. Нажмите кнопку «Решить подобное», чтобы увидеть больше примеров.
Решите Similiar Pressumenter вашу собственную проблему
(c)
= (1,+∞) {Union} (-3,0)
Из графа мы видим, что дальнейшая упрощение не может быть
9.2 Линейные неравенства с одной переменной
Мы можем использовать свойства неравенств, которые мы перечислили в предыдущем разделе, для решения линейных неравенств с одной переменной, то есть любого неравенства, которое может быть преобразовано элементарными операциями к одному из следующих видов .
AX+B <0
AX+B <= 0
AX+B> 0
AX+B> = 0
Пример 1. Решите неравенство
4x-3> = 2x+5
Добавить -2x на обе стороны (I.
3)
2x-3> = 5
Добавить 3 к обеим сторонам (I.3)
2x> = 8
Умножение обеих сторон на 1/2 (i .4)
x>=4
Следовательно, набор решений равен
= (4,+∞)
Геометрически это представлено числом
Пример 2. Решите неравенство
(2x+1)/(-3) <= 2
Умножение на -3
2x+1> =-6
Обратите внимание, что умножение на отрицательный число обращает неравенство.
Добавьте -1 к обеим сторонам, затем умножьте на 1/2. (I.3, i.4)
x> =-7/2
Набор решения, следовательно,
= (-7/2,+∞)
Это иллюстрируется геометрически
Пример 3. Решите неравенство
-3 <3x-2 <= 7
Это неравенство означает, что x должен удовлетворить систему неравенства
-2 <3x-2
3x-2 <= 7
Однако мы можем решить оба неравенства одновременно.
-2<3x-2<=7
Прибавьте 2 ко всем трем выражениям
0<3x<=9
Умножьте все три выражения на 1/3.
0<(x)<=3
Таким образом, набор решений равен
= (0,3)
Это представлено геометрически
Пример 4. Решайте неравенство
-8 <= 2-3x <6
Добавить -2 ко всем трем выражениям.
-10<=-3x<4
Умножить на -1/3, изменив направление обоих неравенств.
10/3>=x>-4/3
Набор решений, таким образом, равен0003
Давайте посмотрим, как наш решатель неравенств решает эту и подобные задачи. Нажмите кнопку «Решить подобное», чтобы увидеть больше примеров.
Решите аналогичную задачуВведите свою задачу
9.3 Неравенства, включающие абсолютные значения
Вспомните из главы 1, что расстояние между x и a на прямой с действительными числами равно |x-a|. Если x, a и b — действительные числа и |x-a| < (b), то x должен находиться на расстоянии меньшем, чем b, от a. Геометрически это представлено на рис. 1.
Рисунок 1
Мы видим, что неравенство
|x- a| < (b)
имеет своим решением множество
=(a-b,a+b)
Аналогично, если x удовлетворяет неравенству
|-x a| < (b)
тогда x должен находиться на расстоянии, большем чем b, от a.
Это представлено на рис. 2.
Рис. 2.
Мы видим, что неравенство |x- a| < (b) имеет в качестве решения множество
= (-∞, A-B) {Union} (A+B,+∞)
Пример 1. Решите неравенство
| X-1/2 | <5
График.
Набор решений составляет
= (-9/2,11/2)
Пример 2. Решение неравенства
| X-2 |> 3
График. Мы имеем
Набор решений равен
=(-∞,-1) {union} (5,+∞)
Пример 3. Решите неравенство
|x+1|<=3
Сначала заметим, что
|x+1|=|x-(-1)|
, так что |x+1| Расстояние от x до -1
График. Решите неравенство
|4-x|>5
Заметим, что |4-x| есть расстояние между 4 и x, такое же, как расстояние между x и 4, а именно |x-4|. Таким образом, приведенное выше неравенство эквивалентно неравенству
| x-4 |> 5
чей график составляет
Набор решения составляет
= (-∞, -1) {Union} (9,+∞)
с | U | = |u-0|, которое является расстоянием от u до 0, неравенство
|u|<(a)
эквивалентно
|u-0|<(a)
что эквивалентно
(-a)<(u)<(a)
Если u=ax+b, мы видим, что
|ax+b|<(c)
эквивалентно
(-c)<(ax+b)<(c)
, которое можно решить, как в предыдущем разделе.
Аналогично
| AX+B |> (C)
эквивалентен
Пример 5. Решение неравенства
| 2x-3 | <4
Это неравенство эквивалентно
-4 <4
. 2x-3<4
Прибавляем 3 и умножаем на 1/2.
-1<(2x)<7
-1/2<(x)<7/2
Набор решений равен
=(-1/2,7/2)
Давайте посмотрим, как наш решатель неравенств решает эту и подобные задачи. Нажмите кнопку «Решить подобное», чтобы увидеть больше примеров.
Решить похожую задачуВведите свою задачу
Пример 6. Выразите -1<(x)<5 в виде |x-a|<(b).
График -1<(x)<5 равен
Середина этого интервала равна
(5+(-1))/(2)=2
3, которая находится на расстоянии a 3 конечные точки -1 и 5. Таким образом, x должно быть a. расстояние менее 3 от середины 2, что дает нам 92+2x+c>=0
где a!=0. Любое неравенство, которое с помощью наших элементарных операций может быть преобразовано в неравенство указанного выше типа, конечно, может быть обработано теми же методами.
Мы будем использовать следующие свойства действительных чисел.
R.1 Если AB<0, то возможны два случая:
(a) A<0 и B>0
(b) A>0 и тогда есть два случая:
(a) А>0 и В>0
92+5x-3> 0 Мы впереди коэффициент получения
(2x-1) (x+3)> 0
Из R.2 Существуют два случая:
(a) 2x- 1>0 и x+3>0
(b) 2x-1<0 и x+3<0
Поскольку число x является решением исходного неравенства тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет либо (a), либо ( б) полный набор решений исходного неравенства представляет собой объединение набора решений (а) с набором решений (б).
(a) 2x-1>0 и x+3>0
Следовательно,
2x-1>0 и x+3>0
2x>1 и x>-3
x>1/2 и x>-3
Поскольку оба условия должны удовлетворять множеству решений, Для (a) IS
=
= (1/2,+∞)
ГЕЙОМЕТРИЧЕСКИЙ
Следовательно,
2x-1<0 и x+3<0
2x<1 и x<-3
x <1/2 и x <-3
Набор решения для (b) составляет
=
= (-∞, -3)
Геометрически,
Напомним, что
.
множеством решений исходного уравнения является объединение множеств, полученных в пунктах (б) и (а), а именно,
S=S_b {объединение} S_a
=(-∞,-3) {объединение} (12, +∞)
Геометрически,
Еще один метод решения квадратного неравенства заключается в указании на числовой прямой, где каждый множитель положительный, отрицательный или нулевой. Применяя этот метод к примеру 1, мы имеем
Поскольку произведение (x+3)(2x-1) должно быть положительным, набор решений задается областями, в которых оба множителя имеют одинаковый знак. Из диаграммы видно, что это S = (-∞, -3) {union} (1/2,+∞)
Этот метод проще в использовании, чем первый, особенно если линейных множителей больше двух.
Пример 2. Решите неравенство
(x-2)(x+1)(x-1)<=0 — те числа, у которых хотя бы один из сомножителей равен нулю или нечетное число сомножителей отрицательно.
Таким образом, набор решений равен
S=(-∞,-1) {union} [1,2
Этот метод также применим к рациональному выражению, числитель и знаменатель которого можно разложить на линейные множители.
Пример 3. Решите неравенство
(x-1)/(x+2)<=2
Сначала преобразуем это неравенство в эквивалентное неравенство с нулем в правой части.
(x-1)/(x+2)-2<=2
(x-1-2(x+2))/(x+2)<=0
(-x-5)/(x+2)<=0
Как и прежде,
Обратите внимание, что -2 исключается, поскольку знаменатель здесь равен нулю. Набор решений:
S=(-∞,-5) {union} (-2,+∞)
Давайте посмотрим, как наш решатель неравенств решает эту и подобные задачи. Нажмите кнопку «Решить подобное», чтобы увидеть больше примеров.
Решить похожую задачуВведите свою задачу
9.5 Линейные неравенства с двумя переменными
Неравенство любого вида и b не равно нулю, называется линейным неравенством с двумя переменными.
Множеством решений такого неравенства является одна из двух полуплоскостей, определяемых линией ax+ по формуле + c = 0.
2x-y+2<0
Первый график
Чтобы убедиться, что множество решений на самом деле является одной из полуплоскостей прямой, решим неравенство для y, получив
y>2x+2
Точки (x,y), удовлетворяющие y>2x+2, это те, которые находятся выше точек на прямой y = 2x +2, а именно, точки в полуплоскости над прямой .
Поскольку неравенство строгое, точки на прямой не входят в множество решений. Обозначим это пунктирной линией.
Алгебраически, набор решения составляет
Пример 2. Решение неравенства
X-3Y+2> = 0
Решите неравенство для x, полученного
x>=3y-2
Поскольку x больше справа, множество решений представляет собой полуплоскость справа от прямой x-3y+2=0. Поскольку неравенство не является строгим, точки прямой включаются в множество решений. Сначала мы рисуем линию, а затем заштриховываем полуплоскость.
Альтернативный метод обнаружения полуплоскости решения состоит в том, чтобы подставить в неравенство координаты точки, не лежащей на прямой. Если неравенство выполнено, множество решений представляет собой полуплоскость, включающую эту точку, и другую полуплоскость в противном случае. Точку (0,0) легко использовать, если она не находится на прямой. В примере 2 подставляя (0,0) получаем
x-3y+2>0
(0)-3(0)+2>0
2>0
Поскольку (0,0) удовлетворяет неравенству, множество решений представляет собой полуплоскость, содержащую (0 ,0).
С системами неравенств можно работать аналогичным образом. Мы получаем набор решений графически, находя пересечение полуплоскостей решений отдельных неравенств в системе.
Пример 3. Решить неравенство0003
График Соответствующие строки L_1L_2:
L_1 Y-2x+3 = 0
L_2 2y+x-1 = 0
на один или другой из вышеупомянутых методов мы останавливаем, что решение установлено S_1, из (1) представляет собой полуплоскость над l_1, тогда как набор решений S_2 из (2) представляет собой полуплоскость ниже l_2. Набор решений S_1 показан вертикальными линиями, а S_2 показан горизонтальными линиями. Следовательно, множество решений S системы равно
S=S_1 {пересечение} S_2
=
— область, в которой пересекаются горизонтальные и вертикальные линии.
Пример 4. Решение системы
(1) x-y+1> = 0
(2) x <1
(3) y> =-3
Рассмотрим следующие уравнения.
l_1: x-y+1=0
l_2: x=1
l_3: y=-3
l_3: y=-3
набор S_2 из (2) — это полуплоскость слева от l_2, а набор решений S_3 из (3) — это полуплоскость над la.
Набор решений равен 9.2
Множество решений S_p — это множество всех точек над параболой и на ней, а множество решений S_l — это множество всех точек внутри и на окружности. Таким образом, набор решений исходной системы составляет
s = s_p {recsect} s_l
2,2 Линейные уравнения в одной переменной — Алгебра колледжа 2E
Учебные цели
В этом разделе вы:
- 779
В этом разделе вы:
- 777 Решайте уравнения с одной переменной алгебраически.
- Решите рациональное уравнение.
- Найдите линейное уравнение.
- Имея уравнения двух прямых, определите, параллельны ли их графики или перпендикулярны.
- Напишите уравнение прямой, параллельной или перпендикулярной данной прямой.
Кэролайн учится на дневном отделении колледжа и планирует провести весенние каникулы. Чтобы заработать достаточно денег для поездки, она устроилась на неполный рабочий день в местный банк, где платят 15 долларов в час, и 15 января открыла сберегательный счет с первоначальным депозитом в размере 400 долларов.
Она договорилась о прямом перечислении своей заработной платы. чеки. Если весенние каникулы начнутся 20 марта и поездка обойдется примерно в 2500 долларов, сколько часов ей придется работать, чтобы заработать достаточно, чтобы оплатить отпуск? Если она может работать только 4 часа в день, сколько дней в неделю она должна будет работать? Сколько недель это займет? В этом разделе мы исследуем такие проблемы, как эта и другие, которые генерируют графики, подобные линии на рис. 1.Рисунок 1
Решение линейных уравнений с одной переменной
Линейное уравнение – это уравнение прямой, записанное с одной переменной. Единственная степень переменной равна 1. Линейные уравнения с одной переменной могут иметь вид ax+b=0ax+b=0 и решаются с использованием основных алгебраических операций.
Начнем с классификации линейных уравнений с одной переменной по одному из трех типов: тождественные, условные и несовместные. Уравнение тождества верно для всех значений переменной.
Вот пример тождественного уравнения.3х=2х+х3х=2х+х
Набор решений состоит из всех значений, которые делают уравнение верным. Для этого уравнения множество решений состоит из действительных чисел, потому что любое действительное число, подставленное вместо xx, сделает уравнение верным.
Условное уравнение верно только для некоторых значений переменной. Например, если нам нужно решить уравнение 5x+2=3x−6,5x+2=3x−6, мы получим следующее:
5x+2=3x−62x=−8x=−45x+2=3x −62x=−8x=−4
Набор решений состоит из одного числа: {−4}.{−4}. Это единственное решение, поэтому мы решили условное уравнение.
Несовместимое уравнение приводит к ложному утверждению. Например, если мы должны решить 5x−15=5(x−4),5x−15=5(x−4), мы получим следующее:
5x−15=5x−205x−15−5x=5x−20−5xВычесть 5x с обеих сторон.−15≠−20Ложное утверждение5x−15=5x−205x−15−5x=5x−20−5xВычесть 5x с обеих сторон.−15 ≠−20Ложное утверждение
Действительно, −15≠−20,−15≠−20. Решения нет, потому что это несовместное уравнение.
Решение линейных уравнений с одной переменной включает фундаментальные свойства равенства и основные алгебраические операции. Ниже приводится краткий обзор этих операций.
Линейное уравнение с одной переменной
Линейное уравнение с одной переменной можно записать в виде
ax+b=0ax+b=0
где a и b — действительные числа, a≠0.a≠0.
Как
Имея линейное уравнение с одной переменной, решите его с помощью алгебры.
Следующие шаги используются для манипулирования уравнением и выделения неизвестной переменной так, чтобы последняя строка читалась как x=_________,x=_________, если x неизвестно. Нет установленного порядка, так как используемые шаги зависят от того, что дано:
- Мы можем складывать, вычитать, умножать или делить уравнение на число или выражение, пока мы делаем одно и то же с обеими частями уравнения. знак равенства. Обратите внимание, что мы не можем делить на ноль.
- При необходимости примените распределительное свойство: a(b+c)=ab+ac.a(b+c)=ab+ac.
- Изолируйте переменную в одной части уравнения.
- Когда переменная умножается на коэффициент на последнем этапе, умножьте обе части уравнения на обратную величину коэффициента.
Пример 1
Решение уравнения с одной переменной
Решите следующее уравнение: 2x+7=19,2x+7=19.
Решение
Это уравнение можно записать в виде ax+b=0ax+b=0, вычитая 1919 из обеих частей. Однако мы можем приступить к решению уравнения в его исходной форме, выполняя алгебраические операции.
2x+7=192x=12Вычтите 7 из обеих сторон.x=6Умножьте обе стороны на 12или разделите на 2,2x+7=192x=12Вычтите 7 из обеих сторон.x=6Умножьте обе стороны на 12или разделите на 2.
Решение 6.
Попытайся #1
Решите линейное уравнение с одной переменной: 2x+1=-9,2x+1=-9.
Пример 2
Алгебраическое решение уравнения, когда переменная присутствует с обеих сторон
Решите следующее уравнение: 4(x−3)+12=15−5(x+6).4(x−3)+12=15−5 (х+6).
Решение
Применение стандартных алгебраических свойств.
4(x−3)+12=15−5(x+6)4x−12+12=15−5x−30Применить распределительное свойство.4x=−15−5xОбъединить подобные термины.9x=−15Поместите x-члены на одну сторону и упростите.x=−159Умножьте обе стороны на 19, обратную величину 9.x=−534(x−3)+12=15−5(x+6)4x−12 +12=15−5x−30Применить распределительное свойство.4x=−15−5xОбъединить одинаковые члены.9x=−15Поместить x членов на одну сторону и упростить.x=−159Умножить обе части на 19, обратную величину 9.x= −53
Анализ
Эта задача требует, чтобы распределительное свойство применялось дважды, а затем использовались свойства алгебры, чтобы получить последнюю строку, x=−53.x=−53.
Попытайся #2
Решите уравнение с одной переменной: −2(3x−1)+x=14−x.
−2(3x−1)+x=14−x.Решение рационального уравнения
В этом разделе мы рассмотрим рациональные уравнения, которые после некоторых манипуляций приводят к линейному уравнению. Если уравнение содержит хотя бы одно рациональное выражение, оно считается рациональным уравнением .
Напомним, что рациональное число — это отношение двух чисел, например 2323 или 72,72. Рациональное выражение — это отношение или частное двух многочленов. Вот три примера.
x+1×2−4,1x−3,или4×2+x−2x+1×2−4,1x−3,или4×2+x−2
Рациональные уравнения имеют переменную в знаменателе хотя бы в одном из членов. Наша цель — выполнить алгебраические операции так, чтобы переменные появились в числителе. На самом деле, мы исключим все знаменатели, умножив обе части уравнения на наименьший общий знаменатель (LCD).
Нахождение LCD означает определение выражения, которое содержит наибольшую мощность всех множителей во всех знаменателях. Мы делаем это, потому что, когда уравнение умножается на LCD, общие множители в LCD и в каждом знаменателе будут равны единице и сокращаются.
Пример 3
Решение рационального уравнения
Решите рациональное уравнение: 72x−53x=223,72x−53x=223.
Решение
У нас есть три знаменателя; 2x, 3x, 2x, 3x и 3. ЖК-дисплей должен содержать 2x, 3x, 2x, 3x и 3. ЖК-дисплей 6x6x содержит все три знаменателя. Другими словами, каждый знаменатель можно разделить на ЖК поровну. Затем умножьте обе части уравнения на LCD 6x.6x.
(6x)(72x−53x)=(223)(6x)(6x)(72x)−(6x)(53x)=(223)(6x)Использовать свойство распределения.(6x)(72x)−( 6x)(53x)=(223)(6x) Сократить общие множители.3(7)−2(5)=22(2x)Умножить оставшиеся множители на каждый числитель.21−10=44×11=44×1144=x14=x (6x)(72x−53x)=(223)(6x)(6x)(72x)−(6x)(53x)=(223)(6x)Используй распределительное свойство.(6x)(72x)−(6x) (53x)=(223)(6x)Сократить общие множители.3(7)−2(5)=22(2x)Умножить оставшиеся множители на каждый числитель.21−10=44×11=44×1144=x14=x
Распространенная ошибка, допускаемая при решении рациональных уравнений, заключается в том, чтобы найти LCD, когда один из знаменателей является биномиальным (два слагаемых или вычитаемых), например (x+1).
(x+1). Всегда рассматривайте бином как отдельный фактор — термины не могут быть разделены. Например, предположим, что в задаче три члена, а знаменатели равны x,x,x-1,x-1 и 3x-3,3x-3. Сначала факторизовать все знаменатели. Тогда у нас есть x,x,(x−1),(x−1) и 3(x−1)3(x−1) в качестве знаменателей. (Обратите внимание на круглые скобки вокруг второго знаменателя.) Только два последних знаменателя имеют общий делитель (x−1).(x−1). Xx в первом знаменателе отделен от xx в (x−1)(x−1) знаменателях. Эффективный способ запомнить это — записать факторизованный и биномиальный знаменатели в скобках и рассматривать каждую скобку как отдельную единицу или отдельный множитель. LCD в этом случае находится путем умножения x,x, одного коэффициента (x−1),(x−1) и 3. Таким образом, LCD выглядит следующим образом:x(x-1)3=3x(x-1)x(x-1)3=3x(x-1)
Итак, обе части уравнения умножаются на 3x(x-1). 3х(х-1). Оставьте ЖК-дисплей в факторизованной форме, так как это облегчает просмотр того, как уравновешивается каждый знаменатель в задаче.
Другой пример — задача с двумя знаменателями, такими как xx и x2+2x.x2+2x. После разложения второго знаменателя на множители x2+2x=x(x+2),x2+2x=x(x+2) общий множитель равен x в обоих знаменателях, а LCD равен x(x+2). ).х(х+2).
Иногда мы имеем рациональное уравнение в виде пропорции; то есть когда одна дробь равна другой дроби и в уравнении нет других членов.
аб=кдаб=кд
Мы можем использовать другой метод решения уравнения, не находя LCD: перекрестное умножение. Мы умножаем члены, перечеркивая знак равенства.
Умножьте a(d)a(d) и b(c),b(c), чтобы получить ad=bc.ad=bc.
Любое решение, которое делает знаменатель в исходном выражении равным нулю, должно быть исключено из возможных.
Рациональные уравнения
Рациональное уравнение содержит хотя бы одно рациональное выражение, в котором переменная стоит хотя бы в одном из знаменателей.
Как
Дано рациональное уравнение, решить его.
- Фактор всех знаменателей в уравнении.
- Найти и исключить значения, каждый знаменатель которых равен нулю.
- Найдите ЖК-дисплей.
- Умножьте все уравнение на ЖК-дисплей. Если ЖКИ правильный, знаменателей не останется.
- Решите оставшееся уравнение.
- Не забудьте проверить решения в исходных уравнениях, чтобы избежать решения, дающего ноль в знаменателе.
Пример 4
Решение рационального уравнения без факторинга
Решите следующее рациональное уравнение:
2x−32=72x2x−32=72x
Решение
У нас есть три знаменателя: x,x,2,2 и 2x.2x. Факторинг не требуется. Произведение первых двух знаменателей равно третьему знаменателю, поэтому ЖК-дисплей равен 2x.2x. Из набора решений исключается только одно значение, 0. Затем умножьте все уравнение (обе части знака равенства) на 2x.2x.
2x(2x−32)=(72x)2x2x(2x)−2x(32)=(72x)2xРаспределить 2x.
2(2)−3x=7Знаменатели сокращаются.4−3x=7−3x=3x=− 1или{−1}2x(2x−32)=(72x)2x2x(2x)−2x(32)=(72x)2xРаспределение 2x.2(2)−3x=7Знаменатели сокращаются.4−3x=7−3x= 3x=−1or{−1}Предлагаемое решение равно −1, что не является исключенным значением, поэтому набор решений содержит одно число −1, −1 или {−1}{−1}, записанное в наборе обозначение.
Попытайся #3
Решите рациональное уравнение: 23x=14−16x.23x=14−16x.
Пример 5
Решение рационального уравнения путем факторизации знаменателя
Решите следующее рациональное уравнение: 1x=110−34x.1x=110−34x.
Решение
Сначала найдите общий знаменатель. Три знаменателя в факторизованной форме: x, 10 = 2 ⋅ 5, x, 10 = 2 ⋅ 5 и 4 x = 2 ⋅ 2 ⋅ x, 4 x = 2 ⋅ 2 ⋅ x. Наименьшее выражение, которое делится на каждый из знаменателей, равно 20x.20x. Только x=0x=0 является исключенным значением. Умножьте все уравнение на 20x.
20x.20x(1x)=(110-34x)20×20=2x-1535=2×352=x20x(1x)=(110-34x)20×20=2x-1535=2×352=x
Решение 352.352.
Попытайся #4
Решите рациональное уравнение: −52x+34x=−74.−52x+34x=−74.
Пример 6
Решение рациональных уравнений с биномом в знаменателе
Решите следующие рациональные уравнения и укажите исключенные значения:
- ⓐ 3x−6=5x3x−6=5x
- ⓑ хх-3=5х-3-12хх-3=5х-3-12
- ⓒ хх-2=5х-2-12хх-2=5х-2-12
Решение
- ⓐ
Знаменатели xx и x−6x−6 не имеют ничего общего. Следовательно, LCD представляет собой произведение x(x−6).x(x−6). Однако для этой задачи мы можем перекрестно умножить.
3x-6=5x3x=5(x-6)Распределить.3x=5x-30-2x=-30x=153x-6=5x3x=5(x-6)Распределить.3x=5x-30-2x=-30x =15
Решение равно 15. Исключены значения 66 и 0,0.
- ⓑ
ЖК-дисплей равен 2(x−3).
2(x−3). Умножьте обе части уравнения на 2(x−3).2(x−3).2(x−3)(xx−3)=(5x−3−12)2(x−3)2(x−3)xx−3=2(x−3)5x−3−2(x− 3)22x=10−(x−3)2x=10−x+32x=13−x3x=13x=1332(x−3)(xx−3)=(5x−3−12)2(x−3) 2(x−3)xx−3=2(x−3)5x−3−2(x−3)22x=10−(x−3)2x=10−x+32x=13−x3x=13x=133
Решение 133.133. Исключенное значение равно 3,3.
- ⓒ
Наименьший общий знаменатель равен 2(x−2).2(x−2). Умножьте обе части уравнения на x(x−2).x(x−2).
2(x−2)(xx−2)=(5x−2−12)2(x−2)2x=10−(x−2)2x=12−x3x=12x=42(x−2)( xx−2)=(5x−2−12)2(x−2)2x=10−(x−2)2x=12−x3x=12x=4
Решение равно 4. Исключенное значение равно 2,2.
Попытайся #5
Решите -32x+1=43x+1.-32x+1=43x+1. Укажите исключенные значения.
Пример 7
Решение рационального уравнения с факторизованными знаменателями и указанием исключенных значений
Решите рациональное уравнение после факторизации знаменателей: 2x+1−1x−1=2xx2−1,2x+1−1x−1=2xx2−1.
Укажите исключенные значения.Решение
Мы должны разложить знаменатель x2−1.x2−1. Мы признаем это как разность квадратов и факторизуем как (x−1)(x+1).(x−1)(x+1). Таким образом, LCD, который содержит каждый знаменатель, равен (x-1)(x+1).(x-1)(x+1). Умножьте все уравнение на LCD, сократите знаменатели и решите оставшееся уравнение.
(х-1)(х+1)(2х+1-1х-1)=(2х(х-1)(х+1))(х-1)(х+1)2(х-1 )−1(x+1)=2x2x−2−x−1=2xРаспределить знак минус.−3−x=0−3=x(x−1)(x+1)(2x+1−1x−1 )=(2x(x−1)(x+1))(x−1)(x+1)2(x−1)−1(x+1)=2x2x−2−x−1=2xРаспределить отрицательное знак-3-х=0-3=х
Решение -3.-3. Исключены значения 11 и -1,-1.
Попытайся #6
Решите рациональное уравнение: 2x−2+1x+1=1×2−x−2,2x−2+1x+1=1×2−x−2.
Нахождение линейного уравнения
Возможно, наиболее знакомой формой линейного уравнения является форма пересечения наклона, записанная как y=mx+b,y=mx+b, где m=slopem=наклон и b=y-пересечение.
b=y-пересечение. Начнем со склона.Наклон линии
Наклон линии относится к отношению вертикального изменения х к горизонтальному изменению х между любыми двумя точками на линии. Он указывает направление наклона линии, а также ее крутизну. Уклон иногда описывается как подъем над пробегом.
м=у2-у1х2-х1м=у2-у1х2-х1
Если наклон положительный, линия наклоняется вправо. Если наклон отрицательный, линия наклоняется влево. По мере увеличения наклона линия становится круче. Некоторые примеры показаны на рисунке 2. Линии обозначают следующие наклоны: m=-3, m=-3, m=2, m=2 и m=13.m=13.
Рисунок 2
Наклон линии
Наклон линии, м , представляет собой изменение y по сравнению с изменением x. Для двух точек (x1,y1)(x1,y1) и (x2,y2),(x2,y2) следующая формула определяет наклон линии, содержащей эти точки:
m=y2−y1x2−x1m =y2-y1x2-x1
Пример 8
Нахождение наклона прямой через две точки
Нахождение наклона прямой, проходящей через точки (2,−1)(2,−1) и (−5,3).
(−5,3) .Решение
Подставляем в формулу значения y- и значения x-.
м=3-(-1)-5-2=4-7=-47м=3-(-1)-5-2=4-7=-47
Наклон -47.-47.
Анализ
Неважно, какая точка называется (x1,y1)(x1,y1) или (x2,y2).(x2,y2). Пока мы согласны с порядком членов х и порядком членов х в числителе и знаменателе, вычисление даст тот же результат.
Попытайся #7
Найдите наклон прямой, проходящей через точки (−2,6)(−2,6) и (1,4).(1,4).
Пример 9
Определение наклона и точки пересечения
y- линии с учетом уравненияОпределение наклона и точки пересечения y- с учетом уравнения y=−34x−4.y=−34x−4.
Решение
Поскольку линия имеет форму y=mx+by=mx+b, данная линия имеет наклон m=−34.
m=−34. г- 9Перехват 0329 равен b=−4.b=−4.Анализ
Точка пересечения y — это точка, в которой линия пересекает ось y-. На оси y- x=0.x=0. Мы всегда можем идентифицировать точку пересечения y-, когда линия находится в форме пересечения наклона, поскольку она всегда будет равна b. Или просто подставьте x=0x=0 и найдите y.
Формула «точка-уклон»
Учитывая наклон и одну точку на линии, мы можем найти уравнение линии, используя формулу точка-наклон.
у-у1=м(х-х1)у-у1=м(х-х1)
Это важная формула, так как она будет использоваться в других областях университетской алгебры и часто в математических вычислениях для нахождения уравнения касательной. Нам нужна только одна точка и наклон линии, чтобы использовать формулу.
Подставив в формулу наклон и координаты одной точки, упростим ее и запишем в виде наклон-пересечение.Формула точки-наклона
Учитывая одну точку и наклон, формула точка-наклон приведет к уравнению прямой:
у-у1=м(х-х1)у-у1=м(х-х1)
Пример 10
Нахождение уравнения прямой с заданным наклоном и одной точкой
Напишите уравнение прямой с наклоном m=−3m=−3 и проходящей через точку (4,8).(4,8). Запишите окончательное уравнение в форме пересечения наклона.
Решение
Используя формулу точка-уклон, замените -3−3 на м и точку (4,8)(4,8) на (x1,y1).(x1,y1).
y−y1=m(x−x1)y−8=−3(x−4)y−8=−3x+12y=−3x+20y−y1=m(x−x1)y−8=− 3(х-4)у-8=-3х+12у=-3х+20
Анализ
Обратите внимание, что любую точку на линии можно использовать для нахождения уравнения. Если все сделано правильно, то получится такое же итоговое уравнение.
Попытайся #8
При заданных m=4,m=4 найдите уравнение прямой в форме точки пересечения, проходящей через точку (2,5).(2,5).
Пример 11
Нахождение уравнения прямой, проходящей через две заданные точки
Найдите уравнение прямой, проходящей через точки (3,4)(3,4) и (0,−3).(0,−3). Запишите окончательное уравнение в форме пересечения наклона.
Решение
Сначала мы вычисляем наклон, используя формулу наклона и две точки.
м=-3-40-3=-7-3=73м=-3-40-3=-7-3=73
Далее используем формулу точка-наклон с наклоном 73,73, и любой точки. Выберем точку (3,4)(3,4) для (x1,y1).(x1,y1).
y−4=73(x−3)y−4=73x−7Распределить 73.y=73x−3y−4=73(x−3)y−4=73x−7Распределить 73.y=73x− 3
В форме пересечения наклона уравнение записывается как y=73x−3.y=73x−3.
Анализ
Чтобы доказать, что можно использовать любую точку, воспользуемся второй точкой (0,−3)(0,−3) и посмотрим, получим ли мы то же самое уравнение.
y−(−3)=73(x−0)y+3=73xy=73x−3y−(−3)=73(x−0)y+3=73xy=73x−3
Мы видим, что одна и та же линия будет получена с использованием любой точки. Это имеет смысл, потому что мы использовали обе точки для расчета наклона.
Стандартная форма линии
Другой способ представления уравнения прямой — в стандартной форме. Стандартная форма дается как
Ax+By=CAx+By=C
, где A,A,B,B и CC — целые числа. Члены x- и y- находятся по одну сторону от знака равенства, а постоянный член — по другую сторону.
Пример 12
Нахождение уравнения прямой и запись его в стандартной форме
Найдите уравнение прямой с m=−6m=−6 и проходящей через точку (14,−2).(14,−2). Запишите уравнение в стандартной форме.
Решение
Мы начинаем использовать формулу точка-наклон.
y-(-2)=-6(x-14)y+2=-6x+32y-(-2)=-6(x-14)y+2=-6x+32
Отсюда, мы умножаем на 2, так как в стандартной форме дроби не допускаются, а затем перемещаем обе переменные влево от знака равенства и перемещаем константы вправо.
2(y+2)=(-6x+32)22y+4=-12x+312x+2y=-12(y+2)=(-6x+32)22y+4=-12x+312x+2y =−1
Теперь это уравнение записывается в стандартной форме.
Попытайся #9
Найдите уравнение прямой в стандартной форме с наклоном m=−13m=−13 и проходящей через точку (1,13).(1,13).
Вертикальные и горизонтальные линии
Уравнения вертикальных и горизонтальных линий не требуют ни одной из предыдущих формул, хотя мы можем использовать формулы, чтобы доказать, что уравнения верны. Уравнение вертикальной линии задается как
х=сх=с
, где c — константа. Наклон вертикальной линии не определен, и независимо от значения y- любой точки на линии координата x- точки будет равна с .
Предположим, что мы хотим найти уравнение прямой, содержащей следующие точки: (−3,−5),(−3,1),(−3,3),(−3,−5),(−3 ,1),(−3,3) и (−3,5).
(−3,5). Сначала найдем наклон.m=5−3−3−(−3)=20m=5−3−3−(−3)=20
Нуль в знаменателе означает, что наклон не определен и, следовательно, мы не можем использовать точку — формула наклона. Тем не менее, мы можем нанести точки. Обратите внимание, что все координаты x- одинаковы, и мы находим вертикальную линию, проходящую через x=−3.x=−3. См. рис. 3 .
Уравнение горизонтальной линии задается как
у=си=с
, где c — константа. Наклон горизонтальной линии равен нулю, и для любого значения x- точки на линии координата y- будет равна c .
Предположим, мы хотим найти уравнение прямой, содержащей следующий набор точек: (−2,−2),(0,−2),(3,−2),(−2,−2),( 0,−2),(3,−2) и (5,−2).(5,−2). Мы можем использовать формулу точка-наклон. Во-первых, мы находим наклон, используя любые две точки на линии.
м=-2-(-2)0-(-2)=02=0м=-2-(-2)0-(-2)=02=0
Используйте любую точку для (x1,y1)(x1,y1) в формуле или используйте точку пересечения y .
у-(-2)=0(х-3)у+2=0у=-2у-(-2)=0(х-3)у+2=0у=-2
График представляет собой горизонтальную линию, проходящую через точку y=−2.y=−2. Обратите внимание, что все координаты y- одинаковы. См. рис. 3.
Рисунок 3 Линия x = −3 является вертикальной линией. Линия y = −2 является горизонтальной линией.
Пример 13
Нахождение уравнения прямой, проходящей через заданные точки
Нахождение уравнения прямой, проходящей через заданные точки: (1,−3)(1,−3) и (1,4).(1,4) ).
Решение
Координата x- обеих точек равна 1. Следовательно, у нас есть вертикальная линия, x=1.
x=1.Попытайся #10
Найдите уравнение прямой, проходящей через (−5,2)(−5,2) и (2,2).(2,2).
Определение того, являются ли графики линий параллельными или перпендикулярными
Параллельные линии имеют одинаковый наклон и разные точки пересечения и . Прямые, параллельные друг другу, никогда не пересекутся. Например, на рис. 4 показаны графики различных линий с одинаковым наклоном m=2.m=2.
Рисунок 4 Параллельные линии
Все линии, показанные на графике, параллельны, потому что они имеют одинаковый наклон и разные точки пересечения и .
Перпендикулярные прямые пересекаются, образуя угол 90°90°. Наклон одной линии является обратной отрицательной величиной другой. Мы можем показать, что две прямые перпендикулярны, если произведение двух наклонов равно −1:m1⋅m2=−1,−1:m1⋅m2=−1. Например, на рис. 5 показан график двух перпендикулярных линий.
Одна линия имеет наклон 3; другая линия имеет наклон −13,−13.м1⋅м2=-13⋅(-13)=-1м1⋅м2=-13⋅(-13)=-1
Рисунок 5 Перпендикулярные линии
Пример 14
Построение графика двух уравнений и определение того, являются ли линии параллельными, перпендикулярными или ни теми, ни другими
Изобразите уравнения заданных линий и укажите, являются ли они параллельными, перпендикулярными или ни тем, ни другим: 3y=−4x+33y=−4x+ 3 и 3x−4y=8,3x−4y=8.
Решение
Первое, что мы хотим сделать, это переписать уравнения так, чтобы оба уравнения были в форме пересечения наклона.
Первое уравнение:
3y=-4x+3y=-43x+13y=-4x+3y=-43x+1
Второе уравнение:
3x-4y=8-4y=-3x+8y=34x- 23x−4y=8−4y=−3x+8y=34x-2
См. график обеих линий на рисунке 6
Рисунок 6
Из графика видно, что линии кажутся перпендикулярными, но мы должны сравнить наклоны.
м1=-43м2=34м1⋅м2=(-43)(34)=-1м1=-43м2=34м1⋅м2=(-43)(34)=-1
Наклоны являются отрицательными обратными величинами, подтверждая, что линии перпендикулярны.
Попытайся #11
Изобразите две линии и определите, параллельны они, перпендикулярны или ни те, ни другие: 2y-x=102y-x=10 и 2y=x+4,2y=x+4.
Написание уравнений прямых, параллельных или перпендикулярных заданной прямой
Как мы узнали, определение того, параллельны или перпендикулярны две прямые, зависит от нахождения наклонов. Чтобы написать уравнение прямой, параллельной или перпендикулярной другой прямой, мы следуем тем же принципам, что и при нахождении уравнения любой прямой. Найдя наклон, используйте формулу точка-наклон, чтобы написать уравнение новой линии.
Как
Имея уравнение прямой, напишите уравнение прямой, параллельной или перпендикулярной ей.
- Найдите наклон данной прямой. Самый простой способ сделать это — записать уравнение в форме пересечения наклона.
- Используйте наклон и заданную точку с формулой точка-наклон.
- Упростите линию до формы пересечения наклона и сравните уравнение с данной линией.
Пример 15
Написание уравнения прямой, параллельной заданной прямой, проходящей через заданную точку
Напишите уравнение прямой, параллельной 5x+3y=15x+3y=1 и проходящей через точку (3,5).(3, 5).
Решение
Во-первых, мы напишем уравнение в форме пересечения наклона, чтобы найти наклон.
5x+3y=13y=-5x+1y=-53x+135x+3y=13y=-5x+1y=-53x+13
Наклон m=-53.m=-53. Точка пересечения y- равна 13,13, но это действительно не входит в нашу проблему, поскольку единственное, что нам нужно, чтобы две прямые были параллельны, — это одинаковый наклон.
Единственным исключением является то, что если y- перехватов совпадают, тогда две строки являются одной и той же линией. Следующим шагом является использование этого наклона и заданной точки с формулой точка-наклон.y-5=-53(x-3)y-5=-53x+5y=-53x+10y-5=-53(x-3)y-5=-53x+5y=-53x+10
Уравнение прямой: y=−53x+10.y=−53x+10. См. рис. 7 .
Рисунок 7
Попытайся #12
Найдите уравнение прямой, параллельной 5x=7+y5x=7+y и проходящей через точку (−1,−2).(−1,−2).
Пример 16
Нахождение уравнения прямой, перпендикулярной заданной прямой, проходящей через заданную точку
Найти уравнение прямой, перпендикулярной 5x−3y+4=05x−3y+4=0 и проходящей через точку (−4,1).(−4,1).
Решение
Первым шагом является запись уравнения в форме пересечения наклона.
5x−3y+4=0−3y=−5x−4y=53x+435x−3y+4=0−3y=−5x−4y=53x+43
Видим, что наклон m=53.
m =53. Это означает, что наклон линии, перпендикулярной данной линии, является обратной отрицательной величиной, или −35,−35. Затем мы используем формулу точка-наклон с этим новым наклоном и заданной точкой.y-1=-35(x-(-4))y-1=-35x-125y=-35x-125+55y=-35x-75y-1=-35(x-(-4))y −1=−35x−125y=−35x−125+55y=−35x−75
2.2 Секционные упражнения
устно
1.
Что означает, когда мы говорим, что две прямые параллельны?
2.
Каково соотношение между наклонами перпендикулярных линий (при условии, что они не горизонтальны и не вертикальны)?
3.
Как узнать, когда уравнение, например y=4x+3,y=4x+3, будет прямой линией (линейной) на графике?
4.
Что имеется в виду, когда мы говорим, что линейное уравнение несовместно?
5.
При решении следующего уравнения:
2x−5=4x+12x−5=4x+1
объясните, почему мы должны исключить x=5x=5 и x=−1x=−1 как возможные решения из набора решений .
Алгебраический
Для следующих упражнений решите уравнение для x.x.
6.
7x+2=3x−97x+2=3x−9
7.
4x−3=54x−3=5
8.
3(х+2)−12=5(х+1)3(х+2)−12=5(х+1)
9.
12−5(x+3)=2x−512−5(x+3)=2x−5
10.
12−13x=4312−13x=43
11.
х3-34=2х+312х3-34=2х+312
12.
23x+12=31623x+12=316
13.
3(2x−1)+x=5x+33(2x−1)+x=5x+3
14.
2×3-34=x6+2142×3-34=x6+214
15.
х+24-х-13=2х+24-х-13=2
В следующих упражнениях решите каждое рациональное уравнение относительно x.x. Укажите все x — значения, которые исключаются из набора решений.
16.
3x−13=163x−13=16
17.
2−3x+4=x+2x+42−3x+4=x+2x+4
18.
3x−2=1x−1+7(x−1)(x−2)3x−2=1x−1+7(x−1)(x−2)
19.
3xx-1+2=3x-13xx-1+2=3x-1
20.
5x+1+1x-3=-6×2-2x-35x+1+1x-3=-6×2-2x-3
21.
1x=15+32x1x=15+32x
Для следующих упражнений найдите уравнение линии, используя формулу точка-наклон. Запишите все окончательные уравнения, используя форму пересечения наклона.
22.
(0,3)(0,3) с уклоном 2323
23.
(1,2)(1,2) с уклоном −45−45
24.
x — точка пересечения равна 1, а (−2,6)(−2,6)
25.
y — точка пересечения равна 2, а (4,−1)(4,−1)
26.
(−3,10)(−3,10) и (5,−6)(5,−6)
27.
(1,3) и (5,5)(1,3) и (5,5)
28.
параллельно y=2x+5y=2x+5 и проходит через точку (4,3)(4,3)
29.
перпендикулярно 3y=x−43y=x−4 и проходит через точку (−2,1)(−2,1) .
Для следующих упражнений найдите уравнение прямой, используя данную информацию.
30.
(-2,0)(-2,0) и (-2,5)(-2,5)
31.
(1,7)(1,7) и (3,7)(3,7)
32.
Наклон не определен и проходит через точку (2,3).(2,3).
33.
Наклон равен нулю и проходит через точку (1,−4).(1,−4).
34.
Наклон равен 3434 и проходит через точку (1,4)(1,4).
35.
(–1,3)(–1,3) и (4,–5)(4,–5)
Графический
Для следующих упражнений начертите пару уравнений на одних и тех же осях и укажите, являются ли они параллельными, перпендикулярными или ни теми, ни другими.
36.
у=2х+7у=-12х-4у=2х+7у=-12х-4
37.
3x-2y=56y-9x=63x-2y=56y-9x=6
38.
у=3х+14у=3х+2у=3х+14у=3х+2
39.
х=4у=-3х=4у=-3
Цифровой
В следующих упражнениях найдите наклон прямой, проходящей через заданные точки.
40.
(5,4)(5,4) и (7,9)(7,9)
41.
(−3,2)(−3,2) и (4,−7)(4,−7)
42.
(−5,4)(−5,4) и (2,4)(2,4)
43.
(−1,−2)(−1,−2) и (3,4)(3,4)
44.
(3,−2)(3,−2) и (3,−2)(3,−2)
Для следующих упражнений найдите наклон линий, проходящих через каждую пару точек, и определите, параллельны ли линии или перпендикулярны.
45.
(−1,3) и (5,1)(−2,3) и (0,9)(−1,3) и (5,1)(−2,3) и (0,9)
46.
(2,5) и (5,9)(−1,−1) и (2,3)(2,5) и (5,9)(−1,−1) и (2,3)
Технология
Для следующих упражнений выразите уравнения в форме пересечения наклона (округлив каждое число до тысячных). Введите это значение в графический калькулятор как Y1, затем отрегулируйте значения ymin и ymax для вашего окна, чтобы они включали y -происходит перехват.
Укажите свои значения ymin и ymax.47.
0,537x−2,19y=1000,537x−2,19y=100
48.
4 500x−200y=9 5284 500x−200y=9 528
49.
200−30yx=70200−30yx=70
Расширения
50.
Начиная с формулы точка-наклон y−y1=m(x−x1),y−y1=m(x−x1), решите это выражение для xx через x1,y,y1,x1,y,y1 , и мм.
51.
Начиная со стандартной формы уравнения Ax+By=CAx+By=C, решите это выражение для yy через A,B,CA,B,C и xx. Затем поместите выражение в форму пересечения наклона.
52.
Используйте приведенную выше производную формулу, чтобы представить следующее стандартное уравнение в форме пересечения наклона: 7x−5y=25,7x−5y=25.
53.
Учитывая, что следующие координаты являются вершинами прямоугольника, докажите, что это действительно прямоугольник, показав, что наклоны пересекающихся сторон перпендикулярны.
(–1,1),(2,0),(3,3)(–1,1),(2,0),(3,3) и (0,4)(0,4)
54.
Найдите наклоны диагоналей в предыдущем упражнении. Они перпендикулярны?
Реальные приложения
55.
Уклон пандуса для инвалидных колясок в доме должен быть 112.112. Если расстояние по вертикали от земли до низа двери составляет 2,5 фута, найдите расстояние, на которое пандус должен простираться от дома, чтобы соответствовать необходимому уклону.
56.
Если уравнение прибыли для малого бизнеса, продающего xx количество единиц товара один и yy количество товаров два, равно p=3x+4y,p=3x+4y, найдите значение yy, когда p=453$ и x=75.p= 453 долл. США и x = 75.
Для следующих упражнений используйте следующий сценарий: Стоимость аренды автомобиля составляет 45 долларов США в неделю плюс 0,25 доллара США за милю, пройденную в течение этой недели. Уравнение для представления стоимости будет выглядеть так: y=45+0,25x, y=45+0,25x, где xx — количество пройденных миль.
57.
Какова будет ваша стоимость, если вы проедете 50 миль?
58.
Если бы ваша стоимость составляла 63,75 долл. США, 63,75 долл. США, сколько миль вы заплатили за поездку?
59.
Предположим, у вас есть максимум 100 долларов, которые вы можете потратить на аренду автомобиля. Какое максимальное количество миль вы могли бы проехать?
Системы линейных уравнений: две переменные
Результаты обучения
- Решайте системы уравнений с помощью графиков, подстановок и сложений.
- Найдите несовместимые системы уравнений, содержащие две переменные.
- Выразите решение системы зависимых уравнений, содержащей две переменные, используя стандартные обозначения.
Производитель скейтбордов представляет новую линейку досок. Производитель отслеживает свои затраты, которые представляют собой сумму, которую он тратит на производство плат, и свой доход, который представляет собой сумму, которую он зарабатывает на продаже своих плат.
Как компания может определить, получает ли она прибыль от своей новой линии? Сколько скейтбордов нужно произвести и продать, чтобы можно было получить прибыль? В этом разделе мы рассмотрим линейные уравнения с двумя переменными, чтобы ответить на эти и подобные вопросы.(кредит: Томас Сёренес)
Введение в системные решения
Чтобы исследовать ситуации, подобные ситуации с производителем скейтбордов, мы должны понимать, что имеем дело с более чем одной переменной и, вероятно, с более чем одним уравнением. Система линейных уравнений состоит из двух или более линейных уравнений, состоящих из двух или более переменных, так что все уравнения в системе рассматриваются одновременно. Чтобы найти единственное решение системы линейных уравнений, мы должны найти числовое значение для каждой переменной в системе, которое будет удовлетворять всем уравнениям в системе одновременно. Некоторые линейные системы могут не иметь решения, а другие могут иметь бесконечное число решений.
Чтобы линейная система имела единственное решение, в ней должно быть не меньше уравнений, чем переменных. Тем не менее, это не гарантирует уникальности решения.В этом разделе мы рассмотрим системы линейных уравнений с двумя переменными, которые состоят из двух уравнений, содержащих две разные переменные. Например, рассмотрим следующую систему линейных уравнений с двумя переменными.
[латекс]\begin{align}2x+y&=15\\[1mm] 3x-y&=5\end{align}[/latex]
Решение системы линейных уравнений с двумя переменными: любая упорядоченная пара, удовлетворяющая каждому уравнению независимо. В этом примере упорядоченная пара [латекс](4,7)[/латекс] является решением системы линейных уравнений. Мы можем проверить решение, подставив значения в каждое уравнение, чтобы увидеть, удовлетворяет ли упорядоченная пара обоим уравнениям. Вскоре мы исследуем методы нахождения такого решения, если оно существует.
[латекс]\begin{align}2\left(4\right)+\left(7\right)&=15 &&\text{True} \\[1mm] 3\left(4\right)-\ left(7\right)&=5 &&\text{True} \end{align}[/latex]
Помимо учета количества уравнений и переменных, мы можем классифицировать системы линейных уравнений по количеству решений.
непротиворечивая система уравнений имеет хотя бы одно решение. Непротиворечивая система считается независимой системой , если она имеет единственное решение, как в примере, который мы только что рассмотрели. Две линии имеют разные наклоны и пересекаются в одной точке плоскости. Непротиворечивая система считается зависимая система , если уравнения имеют одинаковый наклон и одинаковые и -перехваты. Другими словами, прямые совпадают, поэтому уравнения представляют одну и ту же прямую. Каждая точка на прямой представляет собой пару координат, удовлетворяющую системе. Таким образом, существует бесконечное множество решений.Другим типом системы линейных уравнений является противоречивая система , в которой уравнения представляют две параллельные линии. Линии имеют одинаковый наклон и разные г- перехватов. Нет общих точек для обеих прямых; следовательно, система не имеет решений.
Общее примечание: Типы линейных систем
Существует три типа систем линейных уравнений с двумя переменными и три типа решений.
- Независимая система имеет ровно одну пару решений [латекс]\влево(х,у\вправо)[/латекс]. Точка пересечения двух прямых является единственным решением.
- Несогласованная система не имеет решения. Обратите внимание, что две линии параллельны и никогда не пересекаются.
- Зависимая от система имеет бесконечно много решений. Линии совпадают. Это одна и та же линия, поэтому каждая пара координат на линии является решением обоих уравнений.
Ниже приведено сравнение графических представлений каждого типа системы.
Как: Имея систему линейных уравнений и упорядоченную пару, определить, является ли упорядоченная пара решением.
- Подставьте упорядоченную пару в каждое уравнение в системе.
- Определить, верны ли утверждения в результате замены в обоих уравнениях; если да, то упорядоченная пара является решением.
Пример. Определение того, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений
Определить, является ли упорядоченная пара [латекс]\влево(5,1\вправо)[/латекс] решением данной системы уравнений.
[латекс]\begin{align}x+3y&=8\\ 2x-9&=y \end{align}[/latex]
Показать решение
Попробуйте
Определите, является ли упорядоченная пара [латекс]\левый(8,5\правый)[/латекс] решением следующей системы.
[латекс]\begin{align}5x-4y&=20\\ 2x+1&=3y\end{align}[/latex]
Показать решение
Решение систем уравнений с помощью графика
Существует несколько методов решения систем линейных уравнений. Для системы линейных уравнений с двумя переменными мы можем определить как тип системы, так и решение, построив график системы уравнений на одном и том же наборе осей.
Пример. Решение системы уравнений с двумя переменными с помощью графика
Решите следующую систему уравнений с помощью графика. Определите тип системы.
[латекс]\begin{align}2x+y&=-8\\ x-y&=-1\end{align}[/latex]
Показать решение
Попробуйте
Решите следующую систему уравнений с помощью графика.
[латекс]\begin{gathered}2x — 5y=-25 \\ -4x+5y=35 \end{gathered}[/latex]
Показать решение
Вопросы и ответы
Можно ли использовать графику, если система непоследовательна или зависима?
Да, в обоих случаях мы все еще можем построить график системы, чтобы определить тип системы и решения. Если две прямые параллельны, то система не имеет решений и несовместна. Если две линии идентичны, система имеет бесконечные решения и является зависимой системой.
Попробуйте
Постройте график трех различных систем с помощью графического онлайн-инструмента. Классифицируйте каждое решение как последовательное или непоследовательное. Если система непротиворечива, определите, зависима она или независима. Возможно, вам будет проще построить каждую систему по отдельности, а затем очистить свои записи, прежде чем строить следующую.
1)
[латекс]5x-3y = -19[/латекс]
[латекс]x=2y-1[/латекс]2)
[латекс]4x+y=11[/латекс]
[латекс ]-2y=-25+8x[/latex]3)
[латекс]y = -3x+6[/latex]
[латекс]-\frac{1}{3}y+2=x[/ латекс]Показать решение
Решение систем уравнений путем подстановки
Решение линейной системы с двумя переменными с помощью графика хорошо работает, когда решение состоит из целых значений, но если наше решение содержит десятичные дроби или дроби, это не самый точный метод.
Рассмотрим еще два метода решения система линейных уравнений более точная, чем построение графика. Одним из таких методов является решение системы уравнений методом подстановки , в котором мы решаем одно из уравнений для одной переменной, а затем подставляем результат во второе уравнение для решения второй переменной. Напомним, что мы можем решать только для одной переменной за раз, поэтому метод подстановки ценен и практичен.Как: Имея систему из двух уравнений с двумя переменными, решите ее методом подстановки.
- Решите одно из двух уравнений для одной из переменных относительно другой.
- Подставьте выражение для этой переменной во второе уравнение, затем найдите оставшуюся переменную.
- Подставьте это решение в любое из исходных уравнений, чтобы найти значение первой переменной. Если возможно, запишите решение в виде упорядоченной пары.
- Проверьте решение обоих уравнений.
Пример.
Решение системы уравнений с двумя переменными путем заменыРешите следующую систему уравнений путем замены.
[латекс]\begin{align}-x+y&=-5 \\ 2x-5y&=1 \end{align}[/latex]
Показать решение
Попробуйте
Решите следующую систему уравнений методом замены.
[латекс]\begin{align}x&=y+3 \\ 4&=3x — 2y \end{align}[/latex]
Показать решение
Вопросы и ответы
Можно ли использовать метод подстановки для решения любой линейной системы с двумя переменными?
Да, но метод работает лучше всего, если одно из уравнений содержит коэффициент 1 или –1, чтобы нам не приходилось иметь дело с дробями.
Следующее видео длится около 10 минут и содержит мини-урок по использованию метода подстановки для решения системы линейных уравнений. Мы представляем три разных примера, а также используем инструмент построения графиков, чтобы обобщить решение для каждого примера.
Решение систем уравнений с двумя переменными методом сложения
Третий метод решения систем линейных уравнений — это метод сложения, этот метод также называется методом исключения . В этом методе мы добавляем два слагаемых с одной и той же переменной, но с противоположными коэффициентами, так что сумма равна нулю. Конечно, не во всех системах два члена одной переменной имеют противоположные коэффициенты. Часто нам приходится корректировать одно или оба уравнения путем умножения, чтобы исключить одну переменную путем сложения.
Как: Имея систему уравнений, решить ее методом сложения.
- Напишите оба уравнения с x — и y -переменными слева от знака равенства и константами справа.
- Напишите одно уравнение над другим, выстраивая соответствующие переменные. Если одна из переменных в верхнем уравнении имеет противоположный коэффициент той же переменной в нижнем уравнении, сложите уравнения вместе, исключив одну переменную. Если нет, используйте умножение на ненулевое число, чтобы одна из переменных в верхнем уравнении имела коэффициент, противоположный той же переменной в нижнем уравнении, затем добавьте уравнения, чтобы исключить переменную.
- Решите полученное уравнение для оставшейся переменной.
- Подставьте это значение в одно из исходных уравнений и найдите вторую переменную.
- Проверьте решение, подставив значения в другое уравнение.
Пример: Решение системы методом сложения
Решите данную систему уравнений методом сложения.
[латекс]\begin{align}x+2y&=-1 \\ -x+y&=3 \end{align}[/latex]
Показать решение
Попробуйте IT
Пример: Использование метода сложения при необходимости умножения одного уравнения
Решите данную систему уравнений методом сложения .
[латекс]\begin{align}3x+5y&=-11 \\ x — 2y&=11 \end{align}[/latex]
Показать решение
Попробуйте
Решите систему уравнений сложением.
[латекс]\begin{align}2x — 7y&=2\\ 3x+y&=-20\end{align}[/latex]
Показать решение
Пример: Использование метода сложения, когда требуется умножение обоих уравнений
Решите данную систему уравнений с двумя переменными методом сложения.
[латекс]\begin{align}2x+3y&=-16 \\ 5x — 10y&=30\end{align}[/latex]
Показать решение
Пример: Использование метода сложения в системах уравнений, содержащих дроби
Решите данную систему уравнений с двумя переменными методом сложения.
[латекс]\begin{align}\frac{x}{3}+\frac{y}{6}&=3 \\[1 мм] \frac{x}{2}-\frac{y}{ 4}&=1 \end{выравнивание}[/latex]
Показать решение
Попробуйте
Решите систему уравнений сложением.
[латекс]\begin{align}2x+3y&=8\\ 3x+5y&=10\end{align}[/latex]
Показать решение
в следующем видео мы представляем больше примеров того, как использовать метод сложения (исключения) для решения системы двух линейных уравнений.
Классификация решений систем
Теперь, когда у нас есть несколько методов решения систем уравнений, мы можем использовать эти методы для выявления несовместных систем. Напомним, что несогласованная система состоит из параллельных линий, имеющих одинаковый наклон, но разные [латекс]у[/латекс] -перехваты. Они никогда не пересекутся. При поиске решения для несогласованной системы мы придем к ложному утверждению, например [латекс]12=0[/латекс].
Пример. Решение противоречивой системы уравнений
Решите следующую систему уравнений.
[латекс]\begin{gathered}&x=9 — 2y \\ &x+2y=13 \end{gathered}[/latex]
Показать решение
Попробуйте
Решите следующую систему уравнений с двумя переменными.
[латекс]\begin{gathered}2y — 2x=2\\ 2y — 2x=6\end{gathered}[/latex]
Показать решение
Выражение решения системы зависимых уравнений с двумя переменными
Напомним, что зависимая система уравнений с двумя переменными — это система, в которой два уравнения представляют одну и ту же прямую. Зависимые системы имеют бесконечное число решений, потому что все точки на одной прямой находятся также и на другой прямой. После использования подстановки или сложения результирующее уравнение будет тождеством, например [латекс]0=0[/латекс].
Пример: поиск решения зависимой системы линейных уравнений
Найдите решение системы уравнений методом сложения .
[латекс]\begin{gathered}x+3y=2\\ 3x+9y=6\end{gathered}[/latex]
Показать решение
Написание общего решения
В предыдущем примере мы представили анализ решения следующей системы уравнений:
[латекс]\begin{gathered}x+3y=2\\ 3x+9y=6\ конец {собрано}[/латекс]
После недолгих вычислений мы обнаружили, что эти два уравнения совершенно одинаковы.
Затем мы записали общее решение как [латекс]\влево(х, -\фракция{1}{3}х+\фракция{2}{3}\право)[/латекс]. Почему мы должны писать решение таким образом? В некотором смысле это представление говорит нам о многом. Он говорит нам, что x может быть чем угодно, x это x . Это также говорит нам, что y будет зависеть от x , точно так же, как когда мы пишем функциональное правило. В этом случае, в зависимости от того, что вы положили на x , y будет определено через x как [латекс]-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}[/latex].Другими словами, существует бесконечно много ( x , y ) пар, удовлетворяющих этой системе уравнений, и все они попадают на прямую [latex]f(x)-\frac{1}{3 }x+\frac{2}{3}[/latex].
Попробуйте
Решите следующую систему уравнений с двумя переменными.
[латекс]\begin{собран}y — 2x=5 \\ -3y+6x=-15 \end{собран}[/latex]
Показать решение
Использование систем уравнений для исследования прибылиИспользуя то, что мы узнали о системах уравнений, мы можем вернуться к проблеме производства скейтбордов в начале раздела.
Функция дохода производителя скейтбордов — это функция, используемая для расчета суммы денег, поступающей в бизнес. Его можно представить уравнением [латекс]R=xp[/латекс], где [латекс]х=[/латекс] количество и [латекс]р=[/латекс] цена. Функция дохода показана оранжевым цветом на графике ниже.Функция затрат — это функция, используемая для расчета затрат на ведение бизнеса. Он включает постоянные затраты, такие как арендная плата и заработная плата, и переменные затраты, такие как коммунальные услуги. Функция стоимости показана синим цветом на графике ниже. Ось x представляет количество в сотнях единиц. Ось y представляет либо затраты, либо доход в сотнях долларов.
Точка, в которой пересекаются две линии, называется точкой безубыточности . Из графика видно, что при производстве 700 единиц стоимость составляет 3300 долларов, а выручка также составляет 3300 долларов. Другими словами, компания безубыточна, даже если она произведет и продаст 700 единиц.
Они не зарабатывают и не теряют деньги.Заштрихованная область справа от точки безубыточности представляет объемы, при которых компания получает прибыль. Заштрихованная область слева представляет объемы, по которым компания несет убытки. Функция прибыли представляет собой функцию дохода минус функция затрат, записанную как [латекс]P\left(x\right)=R\left(x\right)-C\left(x\right)[/latex]. Очевидно, что знание количества, при котором затраты равны выручке, имеет большое значение для бизнеса.
Пример: нахождение точки безубыточности и функции прибыли с помощью подстановки
Учитывая функцию затрат [латекс]C\влево(х\вправо)=0,85x+35{,}000[/латекс] и функцию дохода [латекс]R\влево(х\вправо)=1,55x[/ латекс], найти точку безубыточности и функцию прибыли.
Показать решение
Написание системы линейных уравнений с учетом ситуации
Редко можно получить уравнения, которые точно моделируют поведение, с которым вы сталкиваетесь в бизнесе, скорее, вы, вероятно, столкнетесь с ситуацией, для которой вам известна ключевая информация, как в примере выше.
Ниже мы суммируем три ключевых фактора, которые помогут вам преобразовать ситуацию в систему.Как сделать: Дана ситуация, представляющая систему линейных уравнений, напишите систему уравнений и найдите решение.
- Определите вход и выход каждой линейной модели.
- Определите наклон и y — точку пересечения каждой линейной модели.
- Найдите решение, установив две линейные функции равными другой и найдя x , или найдите точку пересечения на графике.
Теперь давайте попрактикуемся в применении этих ключевых факторов. В следующем примере мы определяем, сколько различных типов билетов продано, учитывая информацию об общем доходе и количестве билетов, проданных на мероприятие.
Пример: Написание и решение системы уравнений с двумя переменными
Стоимость билета в цирк составляет 25 долларов США для детей и 50 долларов США для взрослых. В определенный день посещаемость цирка составляет 2000 человек, а общий доход от продажи билетов составляет 70 000 долларов.
Сколько детей и сколько взрослых купили билеты?Показать решение
Попробуйте
Билеты в цирк стоят 4 доллара для детей и 12 долларов для взрослых. Если было куплено 1650 талонов на питание на общую сумму 14 200 долларов, сколько детей и сколько взрослых купили талоны на питание?
Показать решение
Иногда решение может принимать система уравнений. В нашем следующем примере мы помогаем ответить на вопрос: «Какая компания по аренде грузовиков даст наибольшую ценность?»
Пример: построение системы линейных моделей для выбора компании по аренде грузовиков
Джамал выбирает между двумя компаниями по аренде грузовиков. Первый, Keep on Trucking, Inc., взимает авансовый платеж в размере 20 долларов, а затем 59 центов за милю. Второй, Move It Your Way, взимает авансовый платеж в размере 16 долларов, а затем 63 цента за милю. [1] Когда компания Keep on Trucking, Inc.
станет лучшим выбором для Джамала?Показать решение
Приложения для систем кажутся почти бесконечными, но мы покажем еще одно. В следующем примере мы определяем количество 80% раствора метана, которое нужно добавить к 50% раствору, чтобы получить окончательный раствор 60%.
Пример. Решение задачи о химической смеси
У химика есть 70 мл 50% раствора метана. Какое количество 80%-ного раствора она должна добавить, чтобы конечный раствор состоял из 60%-ного метана?
Показать решение
Try IT
Ключевые понятия
- Система линейных уравнений состоит из двух или более уравнений, состоящих из двух или более переменных, так что все уравнения в системе рассматриваются одновременно.
- Решением системы линейных уравнений с двумя переменными является любая упорядоченная пара, удовлетворяющая каждому уравнению независимо.
- Системы уравнений классифицируются как независимые с одним решением, зависимые с бесконечным числом решений и несовместные без решения.
- Одним из методов решения системы линейных уравнений с двумя переменными является построение графика. В этом методе мы наносим уравнения на один и тот же набор осей.
- Еще один метод решения системы линейных уравнений — подстановка. В этом методе мы находим одну переменную в одном уравнении и подставляем результат во второе уравнение.
- Третий метод решения системы линейных уравнений — сложение, в котором мы можем исключить переменную, добавляя противоположные коэффициенты соответствующих переменных.
- Часто бывает необходимо умножить одно или оба уравнения на константу, чтобы облегчить удаление переменной при сложении двух уравнений.
- Любой метод решения системы уравнений приводит к ложному утверждению о несовместимых системах, поскольку они состоят из параллельных линий, которые никогда не пересекаются.
- Решение системы зависимых уравнений всегда будет верным, поскольку оба уравнения описывают одну и ту же прямую.
- Системы уравнений можно использовать для решения реальных задач, включающих более одной переменной, например связанных с доходом, затратами и прибылью.
Глоссарий
метод сложения алгебраический метод, используемый для решения систем линейных уравнений, в котором уравнения складываются таким образом, что исключается одна переменная, что позволяет решить полученное уравнение для оставшейся переменной; Затем подстановка используется для определения первой переменной
точки безубыточности точки, в которой функция затрат пересекает функцию дохода; где прибыль равна нулю
непротиворечивая система система, для которой существует единственное решение всех уравнений в системе и которая является независимой системой, или если существует бесконечное число решений, и она является зависимой системой
функция стоимости функция, используемая для расчета затраты на ведение бизнеса; обычно состоит из двух частей: постоянных затрат и переменных затрат
зависимая система система линейных уравнений, в которой два уравнения представляют одну и ту же прямую; существует бесконечное число решений зависимой системы
несовместная система система линейных уравнений, не имеющая общего решения, поскольку они представляют собой параллельные прямые, не имеющие общих точек и прямых
независимая система система линейных уравнений, имеющая ровно одно решение, пара [латекс]\слева (x,y\right)[/latex]
функция прибыли функция прибыли записывается как [latex]P\left(x\right)=R\left(x\right)-C\left(x\ справа)[/latex], доход минус стоимость
функция дохода функция, используемая для расчета дохода, просто записывается как [latex]R=xp[/latex], где [latex]x=[/latex] количество и [latex]p=[/latex] цена
замена метод алгебраический метод, используемый для решения систем линейных уравнений, в котором одно из двух уравнений решается для одной переменной, а затем подставляется во второе уравнение для решения второй переменной
система линейных уравнений набор из двух или несколько уравнений с двумя или более переменными, которые необходимо рассматривать одновременно.
Она договорилась о прямом перечислении своей заработной платы. чеки. Если весенние каникулы начнутся 20 марта и поездка обойдется примерно в 2500 долларов, сколько часов ей придется работать, чтобы заработать достаточно, чтобы оплатить отпуск? Если она может работать только 4 часа в день, сколько дней в неделю она должна будет работать? Сколько недель это займет? В этом разделе мы исследуем такие проблемы, как эта и другие, которые генерируют графики, подобные линии на рис. 1.
Вот пример тождественного уравнения.
знак равенства. Обратите внимание, что мы не можем делить на ноль.
−2(3x−1)+x=14−x.
(x+1). Всегда рассматривайте бином как отдельный фактор — термины не могут быть разделены. Например, предположим, что в задаче три члена, а знаменатели равны x,x,x-1,x-1 и 3x-3,3x-3. Сначала факторизовать все знаменатели. Тогда у нас есть x,x,(x−1),(x−1) и 3(x−1)3(x−1) в качестве знаменателей. (Обратите внимание на круглые скобки вокруг второго знаменателя.) Только два последних знаменателя имеют общий делитель (x−1).(x−1). Xx в первом знаменателе отделен от xx в (x−1)(x−1) знаменателях. Эффективный способ запомнить это — записать факторизованный и биномиальный знаменатели в скобках и рассматривать каждую скобку как отдельную единицу или отдельный множитель. LCD в этом случае находится путем умножения x,x, одного коэффициента (x−1),(x−1) и 3. Таким образом, LCD выглядит следующим образом:
2(2)−3x=7Знаменатели сокращаются.4−3x=7−3x=3x=− 1или{−1}2x(2x−32)=(72x)2x2x(2x)−2x(32)=(72x)2xРаспределение 2x.2(2)−3x=7Знаменатели сокращаются.4−3x=7−3x= 3x=−1or{−1}
20x.
2(x−3). Умножьте обе части уравнения на 2(x−3).2(x−3).
Укажите исключенные значения.
b=y-пересечение. Начнем со склона.
(−5,3) .
m=−34. г- 9Перехват 0329 равен b=−4.b=−4.
Подставив в формулу наклон и координаты одной точки, упростим ее и запишем в виде наклон-пересечение.
(−3,5). Сначала найдем наклон.