2-5x+2>0$.

Решение линейных и квадратных неравенств 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Определение линейного неравенства

 

Линейные неравенства – это неравенства вида  и они решаются двумя способами: эквивалентными преобразованиями либо с помощью графика функции. Рассмотрим второй способ на примерах:

 

 

Решение линейного неравенства графическим способом

 

 

1. Решить неравенство

 

Построим график функции. Графиком является прямая, она пересекает ось oy в точке 1, ось ox в т. Корень функции разбивает ось ox на два различных промежутка. На первом промежутке функция отрицательна, на втором – положительна.

Этого достаточно, чтобы решить линейное неравенство.

Ответ:

Линейные неравенства эффективно решаются путем выбора интервалов, на которых функция сохраняет знак, т.е. до корня и после корня. Решением линейного неравенства, как правило, является луч.

 

Решение квадратного неравенства графическим способом

 

 

Рассмотрим квадратное неравенство

 

Оно решается с помощью свойств квадратичной функции

Рассмотрим на примере.

2. Решить неравенство

Рассмотрим функцию  Построим ее график, для этого вначале найдем корни. По теореме Виета

Схематически изобразим параболу и определим интервалы знакопостоянства и знаки на них. Ветви параболы направлены вверх.

Вне интервала корней функция положительна, внутри интервала корней – отрицательна.

Ответ:

Рассмотрим квадратичную функцию и её свойства в общем виде.

 

 

Квадратичная функция в общем виде, D>0

 

 

1.

 

Функция имеет вид

 значит, корни квадратного трехчлена различны,

Графиком квадратичной функции является парабола, пересекающая ось ox в точках с абсциссами

 ветви параболы направлены вверх.

Вне интервала корней функция имеет положительный знак, внутри интервала корней – отрицательный.

Что можно сказать о функции, если  Прежде всего, что она разлагается на линейные множители:

Также для нее справедлива теорема Виета:

Найдем координаты вершины параболы.

Для квадратичной функции есть два возможных варианта неравенств:

 

Множество значений функции – луч от  в положительном направлении.  Точка пересечения с осью oy – т..

 

Квадратичная функция в общем виде, D=0

 

 

2.

 

Как и в предыдущем случае, многочлен раскладывается на множители.

График функции – парабола, ветви направлены вверх.

Парабола касается оси ox в одной точке, которая и является вершиной параболы.

Рассмотрим возможные варианты неравенств:

Множество значений функции:

График функции пересекается с осью oy в т.

 

Квадратичная функция в общем виде, D<0

 

 

3.

 

Рассмотрим функцию

 означает, что уравнение не имеет корней, трехчлен нельзя разложить на множители и не выполняется теорема Виета.

Найдем координаты вершины:  

Схематически изобразим график – параболу, ветви направлены вверх.

В этом случае часто допускается стандартная ошибка – нет корней, значит, нет решений. Корней нет у квадратного уравнения, а решением неравенства является любое действительное число.

Множество значений функции

Для более глубокого рассмотрения рекомендуется самостоятельно изучить случаи, когда

1.

2.

3.

Необходимо построить графики и расписать решения стандартных неравенств самостоятельно.

 

Решение задач

 

 

Мы подробно рассмотрели свойства квадратичной функции, которые лежат в основе решения задач.

 

Рассмотрим примеры.

1.  Найти область определения функции.

Область определения функции задается неравенством  т.к. трехчлен находится под корнем и в знаменателе.

Умножим обе части неравенства на .

Рассмотрим функцию  найдем ее корни.

По теореме Виета

Изобразим график функции. Точки -2 и 1 выколотые, т.к. неравенство строгое.

Поставленному условию удовлетворяет промежуток внутри интервала корней.

Ответ:

Мы увидели на примере, что многие задачи сводятся к решению квадратного уравнения.

 

Решение неравенства с параметром

 

 

2.  При каких значениях p данное уравнение имеет

 

два различных корня?

один корень?

не имеет корней?

Если p принимает конкретное значение, мы имеем конкретный квадратный трехчлен с конкретным значением дискриминанта,

Найдем дискриминант.

Рассмотрим функцию

Найдем корни по теореме Виета.

Рассмотрим ось p и график функции  Графиком является парабола, ветви направлены вверх.

Функция сохраняет положительный знак вне интервала корней, отрицательный знак – внутри интервала.

Ответ: Уравнение имеет

1. два различных корня, когда

2. один корень, когда

3. не имеет корней, когда

 

19.

Заключение

 

 

Мы рассмотрели решение линейных и квадратичных неравенств, некоторые свойства квадратичной функции, которые используются при решении квадратных неравенств.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. — М., 2011. — 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Портал Естественных Наук (Источник).

2. Центр образования «Технология обучения» (Источник).

3. Электронный учебно-методический комплекс для подготовки 10-11 классов к вступительным экзаменам по информатике, математике, русскому языку (Источник).

4. Виртуальный репетитор (Источник).

5. Раздел College.ru по математике (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1.Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.№№ 8; 9; 15.

 

Решение квадратных неравенств

Решение квадратных неравенств

Квадратное неравенствоМатематическое утверждение, которое связывает квадратное выражение как меньшее или большее другого. это математическое утверждение, которое связывает квадратное выражение как меньшее или большее другого. Ниже приведены некоторые примеры квадратных неравенств, решаемых в этом разделе.

x2−2x−11≤0

2×2−7x+3>0

9−x2>0

Решением квадратного неравенства является действительное число, которое даст истинное утверждение при замене переменной.

Пример 1

Являются ли −3, −2 и −1 решениями x2−x−6≤0?

Решение:

Замените данное значение на x и упростите.

x2−x−6≤0x2−x−6≤0x2−x−6≤0(−3)2−(−3)−6≤0(−2)2−(−2)−6≤0( −1)2−(−1)−6≤09+3−6≤04+2−6≤01+1−6≤06≤0✗0≤0✓−4≤0✓

Ответ: −2 и −1 являются решениями, а −3 — нет.

Квадратные неравенства могут иметь бесконечно много решений, одно решение или не иметь решения. Если существует бесконечно много решений, изобразите набор решений на числовой прямой и/или выразите решение, используя интервальную запись. Построив график функции f(x)=x2−x−6, найденной в предыдущем примере, мы получим

. Результат вычисления любого значения x будет отрицательным, нулевым или положительным.

f(−3)=6Положительныйf(x)>0f(−2)=0Нольof(x)=0f(−1)=−4Отрицательныйf(x)<0

Значения области определения функции, разделяющей области, дающие положительные или отрицательные результаты, называются критическими числами. Значения области определения функции, разделяющей области, дающие положительные или отрицательные результаты.. В случае квадратичной функции критические числа — это корни, иногда называемые нулями. Например, f(x)=x2−x−6=(x+2)(x−3) имеет корни −2 и 3. Эти значения ограничивают области, в которых функция положительна (выше оси x ). или отрицательный (ниже x -ось).

Следовательно, x2−x−6≤0 имеет решения, где −2≤x≤3, используя интервальную запись [−2,3]. Кроме того, x2−x−6≥0 имеет решения, где x≤−2 или x≥3, используя интервальные обозначения (−∞,−2]∪[−3,∞).

Пример 2

По графику f определите решения f(x)>0:

Решение:

Из графика видно, что корни равны −4 и 2. График функции лежит выше ось x (f(x)>0) между этими корнями.

Из-за строгого неравенства множество решений заштриховано открытой точкой на каждой из границ. Это указывает на то, что эти критические числа фактически не включены в набор решений. Этот набор решений может быть выражен двумя способами:

{x|−4

В этом учебнике мы продолжим представлять ответы в интервальной записи.

Ответ: (−4,2)

Попробуйте! По графику f определите решения f(x)<0:

Ответ: (−∞,−4)∪(2,∞)

(нажмите, чтобы посмотреть видео)

Решение квадратных неравенств

Next мы обрисовываем в общих чертах технику, используемую для решения квадратных неравенств без построения графика параболы. Для этого мы используем диаграмму знаков — модель функции, использующую числовую прямую и знаки (+ или —) для обозначения областей в области, где функция положительна или отрицательна. который моделирует функцию, используя числовую прямую, которая представляет x — ось и знаки (+ или -), чтобы указать, где функция положительная или отрицательная. Например,

Знак плюс указывает на то, что функция положительна в регионе. Отрицательные знаки указывают на то, что функция отрицательна на области. Границами являются критические числа, в данном случае −2 и 3. Диаграммы со знаками полезны, когда подробное изображение графика не требуется, и широко используются в математике более высокого уровня. Шаги решения квадратного неравенства с одной переменной показаны в следующем примере.

Пример 3

Решите: −x2+6x+7≥0.

Решение:

Важно отметить, что это квадратное неравенство имеет стандартную форму с нулем на одной стороне неравенства.

Шаг 1 : Определите критические числа. Для квадратного неравенства в стандартной форме критическими числами являются корни. Поэтому приравняйте функцию к нулю и решите.

−x2+6x+7=0−(x2−6x−7)=0−(x+1)(x−7)=0x+1=0orx−7=0x=−1x=7

Критический числа -1 и 7,

Шаг 2 : Создайте диаграмму знаков. Поскольку критические числа ограничивают области, в которых функция положительна или отрицательна, нам нужно проверить только одно значение в каждой области. В этом случае критические числа разбивают числовую прямую на три области, и мы выбираем тестовые значения x=−3, x=0 и x=10.

Тестовые значения могут отличаться. На самом деле нам нужно только определить знак (+ или -) результата при вычислении f(x)=-x2+6x+7=-(x+1)(x-7). Здесь мы оцениваем, используя факторизованную форму.

f(−3)=−(−3+1)(−3−7)=−(−2)(−10)=−отрицательныйf(0)=−(0+1)(0−7)= −(1)(−7)=+Положительноf(10)=−(10+1)(10−7)=−(11)(3)=−Отрицательно

Поскольку результат вычисления для −3 был отрицательным, мы размещаем отрицательные знаки над первой областью. Результат оценки на 0 был положительным, поэтому мы размещаем положительные знаки над средней областью. Наконец, результат оценки для 10 был отрицательным, поэтому мы помещаем отрицательные знаки над последней областью, и диаграмма знаков завершена.

Шаг 3 : Используйте таблицу знаков, чтобы ответить на вопрос. В этом случае нас просят определить, где f(x)≥0, или где функция положительна или равна нулю. Из таблицы знаков мы видим, что это происходит, когда значения x находятся в диапазоне от -1 до 7 включительно.

Используя запись интервала, затененная область выражается как [-1,7]. График не требуется; однако для полноты он приведен ниже.

Действительно, функция больше или равна нулю, выше или на x -ось, для x -значений в указанном интервале.

Ответ: [−1,7]

Пример 4

Решите: 2×2−7x+3>0.

Решение:

Начните с поиска критических чисел, в данном случае корней f(x)=2×2−7x+3.

2×2−7x+3=0(2x−1)(x−3)=02x−1=0orx−3=02x=1x=3x=12

Критические числа равны 12 и 3. Из-за строгого неравенства > мы будем использовать открытые точки.

Затем выберите тестовое значение в каждой области и определите знак после оценки f(x)=2×2−7x+3=(2x−1)(x−3). Здесь мы выбираем тестовые значения −1, 2 и 5,

f(−1)=[2(−1)−1](−1−3)=(−)(−)=+f(2)=[2(2)−1](2−3) =(+)(-)=-f(5)=[2(5)−1](5−3)=(+)(+)=+

И мы можем заполнить таблицу знаков.

Вопрос просит нас найти x значений, которые дают положительные результаты (больше нуля). Поэтому заштрихуйте области со знаком + над ними. Это набор решений.

Ответ: (−∞,12)∪(3,∞)

Иногда квадратичная функция не учитывается. В этом случае можно воспользоваться квадратичной формулой.

Пример 5

Решите: x2−2x−11≤0.

Решение:

Найдите критические числа.

x2−2x−11=0

Определите a , b и c для использования в квадратичной формуле. Здесь a=1, b=-2 и c=-11. Подставьте соответствующие значения в квадратную формулу и затем упростите.

x=−b±b2−4ac2a=−(−2)±(−2)2−4(1)(−11)2(1)=2±482=2±432=1±23

Следовательно критические числа равны 1−23≈−2,5 и 1+23≈4,5. Используйте закрытую точку на числе, чтобы указать, что эти значения будут включены в набор решений.

Здесь мы будем использовать тестовые значения −5, 0 и 7.

f(−5)=(−5)2−2(−5)−11=25+10−11=+f(0)= (0)2−2(0)−11=0+0−11=−f(7)=(7)2−2(7)−11=49−14−11=+

После заполнения таблицы знаков заштрихуйте значения, где функция отрицательна, как указано в вопросе (f (x) ≤ 0).

Ответ: [1−23,1+23]

Попробуйте! Решите: 9−x2>0.

Ответ: (−3,3)

(нажмите, чтобы посмотреть видео)

Возможно, критических чисел нет.

Пример 6

Решите: x2−2x+3>0.

Решение:

Чтобы найти критические числа,

x2−2x+3=0

Подставим a=1, b=−2 и c=3 в квадратичную формулу, а затем упростим.

x=−b±b2−4ac2a=−(−2)±(−2)2−4(1)(3)2(1)=2±−82=2±2i22=1+i2

Потому что решения недействительны, заключаем, что действительных корней нет; следовательно, критических чисел нет. В этом случае график не имеет точек пересечения x и находится полностью выше или ниже x — ось. Мы можем протестировать любое значение, чтобы создать диаграмму знаков. Здесь мы выбираем х=0.

f(0)=(0)2−2(0)+3=+

Поскольку тестовое значение дало положительный результат, таблица знаков выглядит следующим образом:

Мы ищем значения, при которых f(x) >0; таблица знаков подразумевает, что любое действительное число для x будет удовлетворять этому условию.

Ответ: (−∞,∞)

Функция из предыдущего примера показана ниже.

Мы видим, что у него нет x — перехватывает и всегда выше оси x (положительно). Если бы вопрос заключался в том, чтобы решить x2−2x+3<0, то ответом было бы отсутствие решения. Функция никогда не бывает отрицательной.

Попробуйте! Решите: 9×2−12x+4≤0.

Ответ: Одно решение, 23.

(нажмите, чтобы посмотреть видео)

Пример 7

Найдите область определения: f(x)=x2−4.

Решение:

Напомним, что аргумент функции извлечения квадратного корня должен быть неотрицательным. Следовательно, домен состоит из всех действительных чисел для x , так что x2−4 больше или равно нулю.

x2−4≥0

Должно быть ясно, что x2−4=0 имеет два решения x=±2; это критические значения. Выберите тестовые значения в каждом интервале и оцените f(x)=x2−4.

f(−3)=(−3)2−4=9−4=+f(0)=(0)2−4=0−4=−f(3)=(3)2−4= 9−4=+

Затенение значений x , которые дают положительные результаты.

Ответ: Область применения: (−∞,−2]∪[2,∞)

Ключевые выводы

• Квадратные неравенства могут иметь бесконечно много решений, одно решение или ни одного решения.
• Мы можем решать квадратные неравенства графически, сначала переписав неравенство в стандартной форме с нулем на одной стороне. Постройте график квадратичной функции и определите, где она выше или ниже оси x . Если неравенство включает «меньше чем», то определите значения x , где функция находится ниже оси x . Если неравенство включает «больше чем», то определите значения x , где функция выше x — ось.
• Мы можем упростить процесс решения квадратных неравенств, используя диаграмму знаков. Диаграмма знаков дает нам визуальную ссылку, которая указывает, где функция находится выше оси x с использованием положительных знаков или ниже оси x с использованием отрицательных знаков. Заштрихуйте соответствующие значения x в зависимости от исходного неравенства.
• Чтобы создать диаграмму знаков, используйте функцию и проверочные значения в каждой области, ограниченной корнями. Нас интересует только положительная или отрицательная функция, поэтому полный расчет не требуется.

Упражнения по теме

Часть A.

Решения квадратных неравенств

Определить, является ли заданное значение решением.

1. х2-х+1<0; х=-1

2. х2+х-1>0; х=−2

3. 4×2−12x+9≤0; х=32

4. 5×2-8x-4<0; х=-25

5. 3×2-x-2≥0; х=0

6. 4×2−x+3≤0; х=-1

7. 2-4x-x2<0; х=12

8. 5-2x-x2>0; х=0

9. -x2-x-9<0; х=−3

10. -x2+x-6≥0; х=6

По графику f определите набор решений.

11. f(x)≤0;

12. f(x)≥0;

13. f(x)≥0;

14. f(x)≤0;

15. f(x)>0;

16. f(x)<0;

17. f(x)>0;

18. f(x)<0;

19. f(x)≥0;

20. f(x)<0;

Используйте преобразования, чтобы построить следующий график, а затем определите набор решений.

21. x2−1>0

22. х2+2>0

23. (х-1)2>0

24. (х+2)2≤0

25. (х+2)2−1≤0

26. (х+3)2−4>0

27. −x2+4≥0

28. −(х+2)2>0

29. −(х+3)2+1<0

30. −(x−4)2+9>0

Часть B.

Решение квадратных неравенств

Используйте диаграмму знаков для решения и построения графика набора решений. Представьте ответы, используя интервальную запись.

31. х2-х-12>0

32. х2-10х+16>0

33. х2+2х-24<0

34. х2+15х+54<0

35. x2−23x−24≤0

36. x2−12x+20≤0

37. 2×2-11x-6≥0

38. 3×2+17x−6≥0

39. 8×2-18x-5<0

40. 10×2+17x+6>0

41. 9×2+30x+25≤0

42. 16×2−40x+25≤0

43. 4×2−4x+1>0

44. 9×2+12x+4>0

45. −x2−x+30≥0

46. −x2−6x+27≤0

47. x2−64<0

48. x2−81≥0

49. 4×2−9≥0

50. 16×2−25<0

51. 25−4×2≥0

52. 1−49×2<0

53. x2−8>0

54. x2−75≤0

55. 2×2+1>0

56. 4×2+3<0

57. х-х2>0

58. 3x−x2≤0

59. х2-х+1<0

60. х2+х-1>0

61. 4×2−12x+9≤0

62. 5×2-8x-4<0

63. 3×2−x−2≥0

64. 4×2−x+3≤0

65. 2-4x-x2<0

66. 5−2x−x2>0

67. −x2−x−9<0

68. −x2+x−6≥0

69. −2×2+4x−1≥0

70. −3×2−x+1≤0

Найдите область определения функции.

71. f(x)=x2−25

72. ф(х)=х2+3х

73. г(х)=3х2-х-2

74. г(х)=12х2-9х-3

75. ч(х)=16−x2

76. ч(х)=3-2х-х2

77. f(x)=x2+10

78. f(x)=9+x2

79. Компания-производитель робототехники определила, что ее недельная прибыль в тысячах долларов смоделирована как P(n)=−n2+30n−200, где

    n представляет количество единиц, которые она производит и продает. Сколько единиц продукции должна произвести и продать компания, чтобы сохранить прибыльность. (Подсказка: прибыльность возникает, когда прибыль больше нуля.)

80. Высота в футах снаряда, выпущенного прямо в воздух, определяется как h(t)=−16t2+400t, где t представляет время в секундах после выстрела. Через какие промежутки времени снаряд находится ниже 1000 футов? Округлить до десятых долей секунды.

Часть C: Дискуссионная доска

81. Всегда ли чередуется таблица знаков для любой заданной квадратичной функции? Объясните и проиллюстрируйте свой ответ несколькими примерами.

82. Исследуйте и обсудите другие методы решения квадратного неравенства.

83. Объясните разницу между квадратным уравнением и квадратным неравенством. Как мы можем определить и решить каждую из них? Какова геометрическая интерпретация каждого из них?

Ответы

1. №

3. Да

5. №

7. Да

9. Да

11. [−4,2]

13. [−1,3]

15. (-∞,∞)

17. (-∞,4)∪(8,∞)

19. {−10}

21. (-∞,-1)∪(1,∞)

23. (-∞,1)∪(1,∞)

25. [−3,−1]

27. [−2,2]

29. (-∞,-4)∪(-2,∞)

31. (-∞,-3)∪(4,∞)

33. (−6,4)

35. [−1,24]

37. (-∞,-12]∪[6,∞)

39. (−14,52)

41. −53

43. (-∞,12)∪(12,∞)

45. [−6,5]

47. (−8,8)

49. (-∞,-32]∪[32,∞)

51. [−52,52]

53. (-∞,-22)∪(22,∞)

55. (-∞,∞)

57. (0,1)

59. Ø

61. 32

63. (-∞,-23]∪[1,∞)

65. (-∞,-2-6)∪(-2+6,∞)

67. (-∞,∞)

69. [2−22,2+22]

71. (-∞,-5]∪[5,∞)

73. (-∞,-23]∪[1,∞)

75. [−4,4]

77. (−∞,∞)

79. Компания должна производить и продавать более 10 единиц и менее 20 единиц каждую неделю.

81. Ответ может отличаться

83. Ответ может отличаться

Решение квадратных неравенств

… и более …

Квадратичный

Квадратное уравнение (в стандартной форме) выглядит так:

Квадратное Уравнение в стандартной форме
( a , b и c могут иметь любое значение, за исключением того, что a не может быть 0.)

 

Вышеупомянутое уравнение (=) но иногда нам нужно решать неравенства вроде этого:

Символ		Слова		Пример
>		больше		x 2 + 3x > 2
<		меньше		7x 2 < 28
≥		больше или равно		5 ≥ х 2 — х
≤		меньше или равно		2 года 2 + 1 ≤ 7 лет

Решение

Решение неравенств очень похоже на решение уравнений. .. мы делаем почти то же самое.

При решении уравнений мы пытаемся найти точек , таких как отмеченные «=0»

Но при решении неравенств мы пытаемся найти интервалов , , таких как те, которые отмечены «> 0» или «<0»

Вот что мы делаем:

• найти «=0» точек
• между точками «=0» — это интервалов , которые либо
  • больше нуля (>0) или
  • меньше нуля (<0)
• затем выберите тестовое значение, чтобы узнать, какое оно (>0 или <0)

Вот пример:

Пример: x

² − x − 6 < 0

x ² − x − 6 имеет следующие простые множители (какая удача!):

(x+2)(x−3) < 0

 

Сначала , найдем, где равно нулю:

(x+2)(x−3) = 0

Равен нулю при x = −2 или x = +3
потому что, когда x = −2, тогда (x+2) равно нулю
или когда x = +3, то (x−3) равно нулю

 

Итак, между −2 и +3, функция будет либо

• всегда больше нуля, либо
• всегда меньше чем ноль

Мы не знаем, какой. .. пока!

Давайте выберем значение между (скажем, x=0) и проверим его:

начнем с: −6

Итак, между x=−2 и x=+3 функция на меньше нуля на .

И это та область, которая нам нужна, так что…

x ² − x − 6 < 0 в интервале (−2, 3)

 

> 0   в интервале (−∞, −2) и (3, +∞)

А вот график х 2 — х — 6: Уравнение равно нулю при −2 и 3 Неравенство «<0" верно между −2 и 3.

Попробуйте также графическую программу Inequality Grapher.

Что делать, если он не проходит через ноль?

	Вот сюжет х 2 − х + 1 Нет точек «=0»! Но так проще!
Поскольку линия не пересекает y=0, она должна быть либо: всегда > 0 или всегда < 0 Итак, все, что нам нужно сделать, это проверить одно значение (скажем, x=0), чтобы увидеть, выше оно или ниже.

Пример «Реального мира»

Каскадер прыгает с 20-метрового здания.

Высокоскоростная камера готова снимать его на высоте от 15 до 10 метров над землей.

Когда камера должна снимать его?

Мы можем использовать эту формулу для расстояния и времени:

d = 20 − 5t ²

• d = расстояние над землей (м) и
• t = время от прыжка (секунды)

(Note: if you are curious about the formula, it is simplified from d = d ₀ + v ₀ t + ½a ₀ t ² , where d ₀ = 20 , v ₀ = 0 и a ₀ = −9,81 в ускорение под действием силы тяжести.)

Хорошо, поехали.

Первый , давайте набросим вопрос:

Расстояние, которое мы хотим, от 10 м до 15 м :

10 <15

и мы знаем :

10 < 20 − 5t ² < 15

 

Теперь решим!

Сначала вычтем 20 из обеих частей:

−10 < −5t ² <−5

 Теперь умножьте обе части на −(1/5). Но поскольку мы умножаем на отрицательное число, неравенства изменят направление… прочитайте Решение неравенств, чтобы понять, почему.

2 > t ² > 1

Для аккуратности меньшее число должно стоять слева, а большее — справа. Давайте поменяем их местами (и убедимся, что неравенства по-прежнему указывают правильно):

1 < t ² < 2

Наконец, мы можем безопасно извлекать квадратные корни, так как все значения больше нуля:

√1 < t < √2

Можем сообщить съемочной группе:

«Снимать с 1,0 до 1,4 секунды после прыжка»

выше квадратичного

Те же самые идеи могут помочь нам решить более сложные неравенства:

Пример: x

³ + 4 ≥ 3x ² + x

Сначала давайте поместим его в стандартную форму:

x ³ — 3x ² — x + 4 ≥ 0

Это кубическое уравнение (наивысший показатель — куб, т.е. x ³ ), и его трудно решить, поэтому давайте вместо этого нарисуем его:

1,3

2,9

И на графике мы можем видеть интервалы, где он больше (или равен) нулю:

• От −1,1 до 1,3 и
• С версии 2.