Замечательные точки треугольника 8 класс – Замечательные точки треугольника — урок. Геометрия, 8 класс.

Содержание

Замечательные точки треугольника — урок. Геометрия, 8 класс.

Теорема 1. Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.

Теорема 2. ( обратная).Точка, лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе этого угла.

Теорема 3. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов.

Теорема 4. (обратная) Точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Первая замечательная точка треугольника — точка пересечения биссектрис

Теорема 5. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

$AN$, $BM$ — биссектрисы, $O$ — точка их пересечения.

Является ли биссектрисой $CK$? Если точка $O$ равноудалена от сторон $AB$ и $AC$ и от сторон $BA$ и $BC$, то она лежит на биссектрисе угла &angmsd;C, так как равноудалена от сторон угла.

Эта точка и есть центр вписанной в треугольник окружности, всегда находится в треугольнике.

Вторая замечательная точка треугольника — точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника

Теорема 6. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Допустим, точка $O$ — точка пересечения двух серединных перпендикулярах сторон $AB$ и $BC$. Она равноудалена от точек $A$ и $B$, и от точек $B$ и $C$. Следовательно, она лежит на серединном перпендикуляре стороны $AC$, так как равноудалена от её конечных точек.

Эта точка и есть центр описанной около треугольника окружности, находится в треугольниках с острыми углами, вне треугольника с тупым углом и на гипотенузе прямоугольного треугольника.

Третья замечательная точка треугольника — точка пересечения медиан

Теорема 7. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Точка пересечения медиан является центром тяжести треугольника.

Четвёртая замечательная точка треугольника — точка пересечения высот треугольника

Теорема 8. Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

Точку пересечения высот называется ортоцентром треугольника.

В 1765 году немецкий математик Эйлер доказал, что в любом треугольнике ортоцентр, центр тяжести и центр описанной окружности лежат на одной прямой, названой позже прямой Эйлера.

В двадцатых годах XIX века французские математики Понселе, Брианшон и другие установили независимо друг от друга следующую теорему: основания медиан, основания высот и середины отрезков высот, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника, лежат на одной и той же окружности.

www.yaklass.ru

Четыре замечательные точки треугольника. Видеоурок. Геометрия 8 Класс

Тема: Повторение курса геометрии 8 класса

Урок: Четыре замечательные точки треугольника

Треугольник – это, прежде всего, три отрезка и три угла, поэтому свойства отрезков и углов являются основополагающими.

Задан отрезок АВ. У любого отрезка есть середина, и через нее можно провести перпендикуляр – обозначим его за р. Таким образом, р – серединный перпендикуляр.

Теорема (основное свойство серединного перпендикуляра)

Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, равноудалена от концов отрезка.

Доказать, что

Доказательство:

Рассмотрим треугольники и (см. Рис. 1). Они прямоугольные и равные, т.к. имеют общий катет ОМ, а катеты АО и ОВ равны по условию, таким образом, имеем два прямоугольных треугольника, равных по двум катетам. Отсюда следует, что гипотенузы треугольников тоже равны, то есть , что и требовалось доказать.

Рис. 1

Справедлива обратная теорема.

Теорема

Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Задан отрезок АВ, серединный перпендикуляр к нему р, точка М, равноудаленная от концов отрезка (см. Рис. 2).

Доказать, что точка М лежит на серединном перпендикуляре к отрезку.

Рис. 2

Доказательство:

Рассмотрим треугольник . Он равнобедренный, так как по условию. Рассмотрим медиану треугольника: точка О – середина основания АВ, ОМ – медиана. Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к его основанию, является одновременно высотой и биссектрисой. Отсюда следует, что . Но прямая р также перпендикулярна АВ. Мы знаем, что в точку О можно провести единственный перпендикуляр к отрезку АВ, значит, прямые ОМ и р совпадают, отсюда следует, что точка М принадлежит прямой р, что и требовалось доказать.

Если необходимо описать окружность около одного отрезка, это можно сделать, и таких окружностей бесконечно много, но центр каждой из них будет лежать на серединном перпендикуляре к отрезку.

Говорят, что серединный перпендикуляр есть геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка.

Треугольник состоит из трех отрезков. Проведем к двум из них серединные перпендикуляры и получим точку О их пересечения (см. Рис. 3).

Точка О принадлежит серединному перпендикуляру к стороне ВС треугольника, значит, она равноудалена от его вершин В и С, обозначим это расстояние за R: .

Кроме того, точка О находится на серединном перпендикуляре к отрезку АВ, т.е. , вместе с тем , отсюда .

Таким образом, точка О пересечения двух серединных

Рис. 3

перпендикуляров треугольника равноудалена от его вершин, а значит, она лежит и на третьем серединном перпендикуляре.

Мы повторили доказательство важной теоремы.

Три серединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке – центре описанной окружности.

Итак, мы рассмотрели первую замечательную точку треугольника – точку пересечения его серединных перпендикуляров.

Перейдем к свойству произвольного угла (см. Рис. 4).

Задан угол , его биссектриса AL, точка М лежит на биссектрисе.

Рис. 4

Если точка М лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон угла, то есть расстояния от точки М до АС и до ВС сторон угла равны.

Доказательство:

Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра. Проведем из точки М перпендикуляры МК к стороне АВ и МР к стороне АС.

Рассмотрим треугольники и . Это прямоугольные треугольники, и они равны, т.к. имеют общую гипотенузу АМ, а углы и равны, так как AL – биссектриса угла . Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу, отсюда следует, что , что и требовалось доказать. Таким образом, точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.

Справедлива обратная теорема.

Теорема

Если точка равноудалена от сторон неразвернутого угла, то она лежит на его биссектрисе (см. Рис. 5).

Задан неразвернутый угол , точка М, такая, что расстояние от нее до сторон угла одинаковое.

Доказать, что точка М лежит на биссектрисе угла.

Рис. 5

Доказательство:

Рассмотрим треугольники и . Это прямоугольные треугольники, и они равны, т.к. имеют общую гипотенузу АМ, катеты МК и МР равны по условию. Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов, против равных катетов лежат равные углы, таким образом, , следовательно, точка М лежит на биссектрисе данного угла.

Если необходимо вписать в угол окружность, это можно сделать, и таких окружностей бесконечно много, но их центры лежат на биссектрисе данного угла.

Говорят, что биссектриса есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.

Треугольник состоит из трех углов. Построим биссектрисы двух из них, получим точку О их пересечения (см. Рис. 6).

Точка О лежит на биссектрисе угла , значит, она равноудалена от его сторон АВ и ВС, обозначим расстояние за r: . Также точка О лежит на биссектрисе угла , значит, она равноудалена от его сторон АС и ВС: , , отсюда .

Несложно заметить, что точка пересечения биссектрис равноудалена от сторон третьего угла, а значит, она лежит на

Рис. 6

биссектрисе угла . Таким образом, все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Итак, мы вспомнили доказательство еще одной важной теоремы.

Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.

Итак, мы рассмотрели вторую замечательную точку треугольника – точку пересечения биссектрис.

Мы рассмотрели биссектрису угла и отметили ее важные свойства: точки биссектрисы равноудалены от сторон угла, кроме того, отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

Введем некоторые обозначения (см. Рис. 7).

Обозначим равные отрезки касательных через х, у и z. Сторона ВС, лежащая против вершины А, обозначается как а, аналогично АС как b, АВ как с.

Рис. 7

Задача 1: в треугольнике известны полупериметр и длина стороны а. Найти длину касательной, проведенной из вершины А – АК, обозначенную за х.

Очевидно, что треугольник задан не полностью, и таких треугольников много, но, оказывается, некоторые элементы у них общие.

Для задач, в которых речь идет о вписанной окружности, можно предложить следующую методику решения:

1. Провести биссектрисы и получить центр вписанной окружности.

2. Из центра О провести перпендикуляры к сторонам и получить точки касания.

3. Отметить равные касательные.

4. Выписать связь между сторонами треугольника и касательными.

5. Решить систему в соответствии с требованиями задачи.

Согласно условию, нам необходимо найти только касательную х, для этого сложим все три уравнения системы:

В левой части уравнения мы получили периметр треугольника :

interneturok.ru

Четыре замечательные точки треугольника

В треугольнике есть так называемые четыре замечательные точки: точка пересечения медиан. Точка пересечения биссектрис, точка пересечения высот и точка пересечения серединных перпендикуляров. Рассмотрим каждую из них.

Точка пересечения медиан треугольника

Теорема 1

О пересечении медиан треуголника: Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении $2:1$ начиная с вершины.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, где ${AA}_1,\ {BB}_1,\ {CC}_1$ его медианы. Так как медианы делят стороны пополам. Рассмотрим среднюю линию $A_1B_1$ (Рис. 1).

Рисунок 1. Медианы треугольника

По теореме 1, $AB||A_1B_1$ и $AB=2A_1B_1$, следовательно, $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Значит треугольники $ABM$ и $A_1B_1M$ подобны по первому признаку подобия треугольников. Тогда

Аналогично доказывается, что

Теорема доказана.

Точка пересечения биссектрис треугольника

Теорема 2

О пересечении биссектрис треугольника: Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, где $AM,\ BP,\ CK$ его биссектрисы. Пусть точка $O$ — точка пересечения биссектрис $AM\ и\ BP$. Проведем из этой точки перпендикуляры к сторонам треугольника (рис. 2).

Рисунок 2. Биссектрисы треугольника

Для доказательства нам потребуется следующая теорема.

Теорема 3

Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.

По теореме 3, имеем: $OX=OZ,\ OX=OY$. Следовательно, $OY=OZ$. Значит точка $O$ равноудалена от сторон угла $ACB$ и, значит, лежит на его биссектрисе $CK$.

Теорема доказана.

Точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника

Теорема 4

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство.

Пусть дан треугольник $ABC$, $n,\ m,\ p$ его серединные перпендикуляры. Пусть точка $O$ — точка пересечения серединных перпендикуляров $n\ и\ m$ (рис. 3).

Рисунок 3. Серединные перпендикуляры треугольника

Для доказательства нам потребуется следующая теорема.

Теорема 5

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов данного отрезка.

По теореме 3, имеем: $OB=OC,\ OB=OA$. Следовательно, $OA=OC$. Значит точка $O$ равноудалена от концов отрезка $AC$ и, значит, лежит на его серединном перпендикуляре $p$.

Теорема доказана.

Точка пересечения высот треугольника

Теорема 6

Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, где ${AA}_1,\ {BB}_1,\ {CC}_1$ его высоты. Проведем через каждую вершину треугольника прямую, параллельную противоположной вершине стороне. Получаем новый треугольник $A_2B_2C_2$ (рис. 4).

Рисунок 4. Высоты треугольника

Так как $AC_2BC$ и $B_2ABC$ параллелограммы с общей стороной, то $AC_2=AB_2$, то есть точка $A$ — середина стороны $C_2B_2$. Аналогично, получаем, что точка $B$ — середина стороны $C_2A_2$, а точка $C$ — середина стороны $A_2B_2$. Из построения мы имеем, что ${CC}_1\bot A_2B_2,\ {BB}_1\bot A_2C_2,\ {AA}_1\bot C_2B_2$. Следовательно, ${AA}_1,\ {BB}_1,\ {CC}_1$ — серединные перпендикуляры треугольника $A_2B_2C_2$. Тогда, по теореме 4, имеем, что высоты ${AA}_1,\ {BB}_1,\ {CC}_1$ пересекаются в одной точке.

Теорема доказана.

Пример задачи на использование 4 замечательных точек треугольника

Пример 1

Серединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $D$ стороны $BC$. Докажите, что

а) точка $D$ — середина стороны $BC$.

б) $\angle A=\angle B+\angle C$

Решение.

Изобразим рисунок.

Рисунок 5.

а) По теореме 4, все серединные перпендикуляры пересекаются в точке $D$. Следовательно, $D$ — основание серединного перпендикуляра к стороне $BC$. Значит точка $D$ — середина стороны $BC$.

б) Так как $X$ и $D$ — середины сторон, то $XD$ — средняя линия треугольника. Тогда, по теореме о средней линии треугольника $XD||AC$. Значит,$\angle A=\angle DXB$, как соответственные углы. Значит, $\angle A={90}^0$. Тогда$\angle B+\angle C={180}^0-\angle A={180}^0-{90}^0={90}^0=\angle A$

ч. т. д.

spravochnick.ru

Конспект урока по математике на тему «Замечательные точки треугольника» (8 класс)

Урок геометрии в 8 классе по теме: «Замечательные точки треугольника»

« Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и даёт нам возможность правильно мыслить и рассуждать»

Г.Галилей

Цели:

1. Выяснить какие точки в треугольнике являются «Замечательными» и каково их назначение;

2. Изучить и обобщить научные сведения по теме «Замечательные точки в треугольнике».

Задачи:

Рассмотреть основные теоремы, связанные с замечательными точками в треугольнике;
Рассмотреть пересечение линий в треугольнике, пользуясь техникой оригами;
Обобщить изученный материал при заполнении индивидуальных карточек.

Ход урока

Чтобы узнать о какой фигуре мы сегодня будем вести речь посмотрите рисунки и скажите какая фигура встречается чаще всего? (Треугольник) Правильный треугольник .

Удивительно, но треугольник, несмотря на свою кажущуюся простоту, является неисчерпаемым объектом изучения — никто даже в наше время не осмелится сказать, что изучил и знает все свойства треугольника. Действительно, кто не слышал о Бермудском треугольнике, в котором бесследно исчезают корабли и самолёты? А ведь сам треугольник таит в себе немало интересного и загадочного.

Тема нашего сегодняшнего урока «Замечательные точки треугольника» . Откройте тетради, запишите сегодняшнее число классная работа и тему урока. Скажите, а что означает слово «Замечательный» в нашей жизни?

А в математике с чем это связано? ( с какими то свойствами той или иной фигуры).

К знаниям мы будем идти различными путями, как вы думаете какими способами можно получить информацию по теме нашего урока?

Для того, чтобы начать изучение нового материала, нам придётся опереться на уже изученный материал, а так же мы будем учиться оформлять новый и пройденный материал схематически. Что за отрезок вы видите на рисунке?(Медиана)

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Любой треугольник имеет три медианы.

Биссектрисой называется отрезок биссектрисы любого угла от вершины до пересечения с противоположной стороной. Любой треугольник имеет три биссектрисы.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на ее продолжение. Любой треугольник имеет три высоты.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярно к нему. Любой треугольник имеет три серединных перпендикуляра.

Повторение определений основных линий в треугольнике (при помощи презентации), путём фронтальной беседы.

Мы вспомнили, что в треугольнике три медианы, три биссектрисы, три высоты, и три серединных перпендикуляра. Давайте с вами исследуем как эти отрезки пересекаются а треугольнике. Для этого мы проведем практическую работу.

II. Практическая работа

1) Работа с чертёжными инструментами на доске (4 ученика): построение биссектрис, медиан, высот, серединных перпендикуляров в треугольнике.(остальные работают в группах)

2) Работа с бумагой (работа по рядам)Каждый ряд получает задание (используя треугольный лист бумаги): построить сгибанием точку пересечения медиан, биссектрис.(2 человека).

Итак давайте посмотрим и сделаем вывод.

Что произошло с биссектрисами, медианами, высотами, серединными перпендикулярами? (они пересекаются в одной точке)

Ребята, именно эти точки называются « Замечательными точками треугольника»

III. Объяснение нового материала

Обратите внимание на слайд. Рассмотрим точку пересечения биссектрис. Подумайте, как можно вписать окружность в треугольник? Какого элемента не достаёт, для построения окружности? Конечно же – центра окружности.

Так вот ребята:

1. Точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности.

2. Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника является центром описанной окружности.

3.Точка пересечения медиан, называется центром тяжести треугольника.

4. Точка пересечения высот называется ортоцентр.

А сейчас докажем с вами одну из теорем.

IV. Закрепление (самостоятельная работа обучающего характера)

Откройте учебники и найдите №

V. Итог урока.

Итак давайте мы с вами подведём итог того, что мы сегодня узнали на уроке. На ваших столах лежат схемы, ваша задача заполнить её.

V. Рефлексия Скажите что мы сегодня делали на уроке, чтобы изучить тему?

VI. Домашнее задание №

Творческое задание: исследовать как пересекаются высоты в прямоугольном, тупоугольном и остроугольном треугольниках.

Ребята наш урок подходит к концу и сейчас я прошу вас на обратной стороне таблицы написать как вы оцениваете свою деятельность на уроке.

Спасибо вам большое за урок.

infourok.ru

Компьютерное сопровождение уроков геометрии в 8 классе «Замечательные точки треугольника»

Компьютерное сопровождение уроков геометрии по теме

«Замечательные точки в треугольнике» (8 класс)

Сформулировать гипотезы о равноудаленности точек биссектрисы угла до сторон угла, серединного перпендикуляра к отрезку до концов отрезка.
Сформулировать ряд гипотез на основе компьютерного эксперимента:

1. о пересечении:

1. о возможности вписать окружность в треугольник;
2. о возможности описать окружность около треугольника.

3. Провести доказательство выдвинутых гипотез.

Планируемые результаты

умение измерять расстояния от точек биссектрисы до сторон угла, от точек серединного перпендикуляра до концов отрезка с использованием возможностей специальных компьютерных инструментов;

умение исследовать взаимное расположение биссектрис в треугольнике;

умение исследовать взаимное расположение серединных перпендикуляров к сторонам треугольника;

умение вписывать окружность в треугольник и описывать окружность около треугольника;

применять свойство биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку при решении геометрических задач.

Личностные: формирование учебно-познавательного интереса к новому учебному материалу; позитивное отношение к результатам обучения в рамках изученной темы.

Регулятивные: выполнение учебного задания в соответствии с поставленной целью; работа с использованием алгоритма; проведение взаимопроверки, взаимооценки и корректировки учебного задания.

Коммуникативные: развивать умение сотрудничать со сверстниками; формировать уважительное отношение к иному мнению; обосновывать свое мнение, используя термины в рамках учебного диалога.

Познавательные: выделять и структурировать необходимую информацию; выделять признаки (анализ), осуществлять синтез, подведение под понятие, выбор критериев для сравнения; закреплять знание геометрических понятий, чертежные и графические умения и навыки.

ИКТ-компетенции: умение работать на персональном компьютере, выходить в поисковую сеть Интернет, работать в программе GeoGebra

1. Введение понятия серединного перпендикуляра к отрезку. Повторение свойства биссектрисы угла.

1. Постройте отрезок. Через середину проведите прямую, перпендикулярную отрезку. Получившаяся прямая получила название серединного перпендикуляра к отрезку. Как перпендикулярность отражается на свойствах точек?

2. Назовите похожее понятие для угла. (Понятие биссектрисы угла).

3. Назовите похожее понятие для окружности. (Центр окружности является серединой любого диаметра).

Все названные понятия связаны между собой.

Попробуйте сформулировать цель урока.

Целеполагание: продолжить изучение свойств точек биссектрисы угла и серединного перпендикуляра, установить возможную связь этих понятий с окружностью и треугольником.

2. Мотивационно-ориентировочный

Проблемный вопрос

1. Какое множество точек обладает свойством равноудаленности от одной и той же точки? (Точки окружности равноудалены от ее центра).

2. Исследуем еще два ГМ точек. (Используем для эксперимента средства программы GeoGebra).

Исследование свойства точек биссектрисы угла

— Постройте биссектрису угла. Известно, что биссектриса делит угол на равные части. Предположите средствами программы еще какое-нибудь равенство объектов.

— Исследуйте расстояния точек биссектрисы до сторон угла.

3. Выдвижение гипотезы

Точки биссектрисы угла равноудалены от сторон угла. (Использовать таблицу для сравнения расстояний; динамическая модель дает возможность изменять вид угла, расположение точки на биссектрисе).

— Что объединяет понятия окружности и биссектрисы угла? (равноудаленность точек в первом случае от центра окружности, во втором случае от сторон угла)

Проверка, доказательство, опровержение гипотезы. (Письменное доказательство утверждения, убеждаемся в истинности предположения).

— Сформулируйте обратное утверждение. Убедитесь или опровергнете опытным путем

— Исследуйте взаимное расположение биссектрис в треугольнике средствами программы.

(Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке)

В ходе эксперимента можно менять вид треугольника. Убеждаемся, что независимо от вида треугольника биссектрисы всегда пересекаются, причем точка пересечения всегда внутри треугольника.

— Сравните расстояния от точки пересечения биссектрис до сторон треугольника. (Динамическая модель демонстрирует равенство расстояний от точки пересечения биссектрис до сторон треугольника. Искомые расстояния фиксируются в таблице).

— Сделайте предположение о возможности вписать окружность в треугольник. (Динамическая модель подтверждает возможность вписать окружность в любой, независимо от его вида, треугольник).

Выдвижение гипотезы: в любой треугольник можно вписать окружность, центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис).

Исследование свойства точек серединного перпендикуляра к отрезку

Постройте серединный перпендикуляр к отрезку. Известно, что серединный перпендикуляр делит отрезок на равные части. Предположите средствами программы еще какое-нибудь равенство объектов.

— Исследуйте расстояния точек серединного перпендикуляра до концов отрезка.

Выдвижение гипотезы: точки серединного перпендикуляра равноудалены от концов отрезка (Использовать таблицу для сравнения расстояний).

— Исследуйте взаимное расположение серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. (Динамическая модель демонстрирует пересечение серединных перпендикуляров к сторонам треугольника).

— Сравните расстояния от точки пересечения серединных перпендикуляров до вершин треугольника. (Динамическая модель демонстрирует равенство расстояний от точки пересечения серединных перпендикуляров до вершин треугольника).

— Сделайте предположение о возможности описать окружность около треугольника. (Динамическая модель подтверждает возможность описать окружность около любого, независимо от его вида, треугольника).

Выдвижение гипотезы: около любого треугольника можно описать окружность, центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров.

Применение теорем, установление связи с другими теоремами, составление новых задач.

Выясните взаимное расположение биссектрис внутренних углов четырехугольника (для произвольного четырехугольника и, например, ромба (в него всегда можно вписать окружность).
Сделайте вывод о возможности вписать окружности в четырехугольник.

Придем к выводу: не в любом четырехугольнике биссектрисы пересекаются. А значит не в любой четырехугольник можно вписать окружность.

Выясните взаимное расположение серединных перпендикуляров к сторонам четырехугольника (для произвольного четырехугольника и, например, прямоугольника (около него всегда можно описать окружность).
Сделайте вывод о возможности описать окружность около четырехугольника.

Придем к выводу: не в любом четырехугольнике серединные перпендикуляры пересекаются. Окружность можно описать не около всякого четырехугольника.

Четырехугольники и окружности – тема следующего урока.

Докажите, что в равностороннем треугольнике точка пересечения медиан равноудалена от сторон и вершин.
Впишите окружность в правильный треугольник, опишите окружность около правильного треугольника.

infourok.ru

Конспект урока по геометрии 8 класс по теме «Четыре замечательные точки треугольника»

Конспект урока по теме

«Четыре замечательные точки треугольника»

Геометрия 8 класс

Тип урока: повторения и обобщения знаний.

Цели: систематизировать знания учащихся; устранить пробелы в знаниях. Задачи:

Обучающие:

Актуализировать опорные знания по теме урока
Обобщить сведения о замечательных точках треугольника и отработать умение применять получения знания при решении задач

Коррекционно-развивающие:

Способствовать развитию умений учащихся обобщать полученные знания, проводить анализ, синтез, сравнение, делать необходимые выводы
Развивать логическое мышление учащихся посредством решения задач

Воспитательные:

Воспитание мотивации к учению

Оборудование урока:

Учебник «Геометрия, 7-9» под редакцией Л.С.Атанасяна – М: Просвещение, 2012.

Набор чертежных инструментов, компьютер, проектор.

Ход урока

Организационный момент

Цель: создать позитивный психологический климат на уроке, подготовить обучающихся к продуктивной работе, определить тему и задачи урока.

Методы: словесный

Форма работы: коллективная

Приветствие, фиксация явки обучающихся заполнение учителем классного журнала, проверка готовности учащихся к уроку.

Учитель настраивает обучающихся на продуктивную деятельность во время урока, объявляет тему, учащиеся самостоятельно формулируют цель урока.

Проверка домашнего задания

Цель: установить правильность и осознанность выполнения обучающимися домашнего задания, устранить в ходе проверки обнаруженные пробелы в заданиях, актуализировать и скорректировать опорные знания

Метод: словесный, частично – поисковый

Форма работы: коллективная

Наличие домашней работы проверяют консультанты. Они докладывают учителю результаты проверки.

К доске вызываются двое учащихся, они показывают решение домашней задачи №679 (а,б).

№679. Серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника АВС пересекает сторону АС в точке D. Найдите: а) AD и CD, если ВD = 5см, АС = 8,5 см; б) АС, если ВD =11,4 см, АD = 3,2 см.

Актуализация ранее полученных знаний

Цель: включить учащихся в учебную деятельность; актуализировать учебное содержание, необходимое для закрепления ранее изученного; продолжить работу с четырьмя замечательными точками окружности

Методы: наглядный, частично – поисковый

Форма работы: индивидуальная, коллективная

Посмотрите на рис. 1. Посчитайте, сколько треугольников в данном прямоугольнике?

(Чертеж выводится на экран, Слайд 2)

(12 треугольников)

Посмотрите на рис. 2, сколько треугольников вы видите?

(64 треугольника)

Что называется медианой треугольника? (Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны)
Что называется биссектрисой угла? Биссектрисой треугольника? (биссектрисой треугольника называется луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла;

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны)

Что называется высотой треугольника? (Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону)
Что такое серединный перпендикуляр к отрезку? (Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему)
Сколько в треугольнике медиан? высот? биссектрис? серединных перпендикуляров? (В треугольнике три медианы, три высоты, три биссектрисы, три серединных перпендикуляра)
Какие виды треугольников вы знаете? (Треугольники бывают остроугольные, прямоугольные, тупоугольные)

Коррекция и закрепление стержневых знаний и умений

Цель: коррекция и закрепление ранее полученных знаний; выработка умений переносить стержневые знания в новые условия; развивать логическое мышление и умение аргументировать свой ответ.

Методы: частично – поисковый

Форма: индивидуальная, коллективная

Установите соответствие между рисунками и следующими понятиями:

(задание выводится на экран, Слайд 3)

1 2

3 4

А – биссектриса

Б – высота

В – серединный перпендикуляр

Г – медиана

Ответы записываются в таблицу:

Далее учащиеся меняются своими тетрадями и проверяют по готовому ключу:

Как связаны данные понятия с четырьмя замечательными точками треугольника?

(Существуют четыре замечательные точки треугольника: точка пересечения биссектрис, точка пересечения высот, точка пересечения медиан, точка пересечения серединных перпендикуляров).

Посмотрите на доску: что изображено на данном слайде? Ответ обоснуйте.(Слайд 5)

( На первом рисунке изображена одна из замечательных точек треугольника – точка пересечения медиан, по условным обозначениям мы видим, что точки Р, К, Х являются серединами сторон МF, FN, MN, значит отрезки FS, MK,PN – медианы

На втором рисунке – точка пересечения высот, на третьем – точка пересечения биссектрис, на четвертом– серединных перпендикуляров)

Класс делится на три группы.

Начертите треугольник:

1 группа – остроугольный; 2 группа – прямоугольный, 3 группа – тупоугольный. Постройте одну из замечательных точек треугольника — точку пересечения высот.

Выполненное задание проверяется каждым учащимся по анимационному изображению, отображающемуся на экране. (Слайд 6).

Какие выводы вы можете сделать на основе выполненного задания?

1) Высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине прямого угла С.

Высоты остроугольного треугольника пересекаются в точке О, которая лежит во внутренней области треугольника.
Высоты тупоугольного треугольника пересекаются в точке О, которая лежит во внешней области треугольника.

Закрепление ранее изученного материала

Цель: применить и отработать теоремы о замечательных точках треугольника при решении задач, развивать умение комментировать свои действия.

Методы: наглядный, частично – поисковый

Форма: индивидуальная, коллективная

Решение задачи по готовому чертежу (один учащийся комментирует решение данной задачи на месте, остальные записывают решение в тетради).

Задача: По данным на рисунке, где дуга ABD- полуокружность, докажите, что MN  AD . Чем является точка М для треугольника AND?

B C

Решить задачу по готовому чертежу.

N NMK = 60⁰, MO — ?

М К

№ 683 (с.180)

При решении данной задачи применяется метод от противного.

— Вспомните в чем заключается данный метод?

Задача разбирается, анализируется. К доске выходит один учащийся для решения данной задачи.

Информирование о домашнем задании

Цель: сообщить учащимся о домашнем задании, разъяснить методику его выполнения

Метод: словесный

Пункт 72,73 повторить основные понятия и формулировки теорем.

№684, №685 (на применение теорем о замечательных точках треугольника методом доказательства от противного)

Подведение итогов

Цель: проанализировать, дать оценку успешности и достижения цели

Метод: частично-поисковый

Форма: индивидуальная, коллективная

Какие замечательные точки треугольника вы знаете? (точка пересечения медиан, точка пересечения высот, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров)
Где находятся данные точки по отношению к треугольнику? (в его внутренней области)
Какая замечательная точка треугольника может находится в его внешней области? (точка пересечения высот тупоугольного треугольника)

Выставление отметок.

infourok.ru

Замечательные точки треугольника, формулы и примеры

Первая замечательная точка треугольника

Точка пересечения биссектрис (рис. 1).

Эта точка является центром вписанной в треугольник окружности и всегда находится внутри треугольника.

Вторая замечательная точка треугольника

Точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника (рис. 2)

Третья замечательная точка треугольника

Точка пересечения медиан (рис. 3).

ТЕОРЕМА

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Точка пересечения медиан является центром тяжести треугольника.

Четвёртая замечательная точка треугольника

Точка пересечения высот треугольника (рис. 4).

ТЕОРЕМА

Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

Точку пересечения высот называется ортоцентром треугольника.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com