Теорема Фалеса

Фалес Милетский

Древнегреческий философ, родоначальник античной

и вообще европейской философии и науки, основатель

милетской школы.

Сочинения Фалеса не сохранились, однако Аристотель

называет его первым ионийским философом.

Важнейшей заслугой Фалеса в области математики

считается перенесение им из Египта в Грецию первых

начал теоретической элементарной геометрии:

  •  Вертикальные углы равны.   • Углы при основании равнобедренного треугольника равны.   • Треугольник определяется стороной и прилежащими к ней двумя углами.   • Диаметр делит круг на две равные части.

Фалесу приписывается решение двух геометрических задач практического

характера: определения расстояния корабля на море от Милетской гавани и

определения высоты пирамиды по длине её тени.

Задача

Через середину М стороны АВ треугольника АВС проведена прямая,

параллельная стороне A С. Эта прямая пересекает сторону B С в точке N.

Докажите, что BN = NC.

Решение

B

Через точку С проведем С D || AB

3

AM = MB – по условию

AM = С D

( AMDC – параллелограмм)

M

N

1

M В = CD

2

D

В MN = CDN

4

A

C

BN = NC

Теорема Фалеса

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных

отрезков и через их вершины провести параллельные прямые, пересекающие

вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки

A

B

1

1

A

B

2

2

A

B

3

3

A

B

4

4

l

l

2

1

?

?

?

В

В

= …

В

В

A

A

В

A

= …

В

A

=

=

A

A

=

=

3

4

2

3

3

4

1

2

2

3

1

2

Теорема Фалеса

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных

отрезков и через их вершины провести параллельные прямые, пересекающие

вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки

A

B

1

1

Через точку В проведем

1

l

l

||

A

B

С

1

2

2

B

C

A

=

1

1

2

A

B

A

A

C

B

D

— параллелограмм

3

2

1

1

3

С D

A

A

=

2

3

A

B

A

CD

A

— параллелограмм

4

4

3

2

A

A

A

A

=

2

1

2

3

l

С D

В

С

l

l

=

2

1

1

A

A

A

= …

A

A

A

=

=

?

?

?

В

В

В

= …

В

В

В

=

=

3

4

2

3

1

2

3

4

2

3

1

2

Теорема Фалеса

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных

отрезков и через их вершины провести параллельные прямые, пересекающие

вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки

A

B

1

1

В треугольнике В D В

3

1

В

С D

С

=

A

B

1

С

2

2

CB || DB

2

3

A

B

D

3

3

=

В

В

В

В

A

B

2

3

1

2

4

4

Аналогично можно

доказать

В

В

=

В

В

l

3

4

2

3

l

l

2

1

A

A

= …

A

A

A

A

=

=

?

?

?

В

В

= …

В

В

В

В

=

=

Закрыть

3

4

2

3

1

2

3

4

2

3

1

2

Прямая CD параллельна к AB и пересекает угол BOA так, что O,B,D лежат на одной прямой, а также O,A,C лежат на одной прямой. Если AB=5, OB=3 и OD=12, найдите длину CD.

Решение: Прямые AB и CD являются праллельными, и согласно теоремы о пересечении мы имеем OD/OB=CD/AB =OD/OB=CD/AB,

Прямая CD параллельна к AB и пересекает угол BOA так, что O,B,D лежат на одной прямой, и на одной прямой лежат O,A,C. Если AB=5, OA=5 и OC=8, определите длину CD.

Прямая CD параллельна к AB и пересекает угол BOA так, что O,B,D лежат на одной прямой и O,A,C также лежат на одной прямой. Если OA=5, AC=3 и BD=6, определите длину OB.

Прямая CD параллельна к AB и пересекает угол BOA так, что O,B,D лежат на одной прямой, но и O,A,C лежат на одной прямой. Если OA=6, AC=3 и BD=1, найдите длину OD.

Прямая CD параллельна к AB и пересекает угол BOA так, что O,B,D лежат на одной прямой, но и O,A,C лежат на одной прямой. Если AB=6, CD=8 и OB=12, определите длину BD.

kopilkaurokov.ru

Презентация «Теорема Фалеса» — Математика

Просмотр содержимого документа
«Презентация «Теорема Фалеса»»

Теорема Фалеса

Геометрия

8 класс

Устный счет Найдите углы параллелограмма

В

С

?

?

В

С

?

107 °

?

64 °

D

А

?

?

А

D

Устный счет Найдите углы трапеции

В

С

?

107 °

45 °

D

А

В

С

?

?

32 °

74 °

А

D

Устный счет Найдите углы равнобедренной трапеции

В

С

?

?

В

С

?

101 °

?

47 °

А

D

?

?

D

А

Устный счет Найдите периметр параллелограмма

25 см

15 см

12 см

2,8 дм

Фалес Милетский

Древнегреческий философ, родоначальник античной и вообще европейской философии и науки, основатель милетской школы.

Важнейшей заслугой Фалеса в области математики считается перенесение им из Египта в Грецию первых начал теоретической элементарной геометрии:

• вертикальные углы равны;
• углы при основании равнобедренного треугольника равны;
• треугольник определяется стороной и прилежащими к ней двумя углами;
• диаметр делит круг на две равные части .

Фалесу приписывается решение двух геометрических задач практического характера: определение расстояния на море от корабля до Милетской гавани и определение высоты пирамиды по длине ее тени.

В

М

N

Задача . Через середину М стороны треугольника АВС проведена прямая, параллельная стороне АС. Эта прямая пересекает сторону ВС в точке N. Докажите, что ВN=NС.

А

С

Задача . Через середину М стороны треугольника АВС проведена прямая, параллельная стороне АС. Эта прямая пересекает сторону ВС в точке N. Докажите, что ВN=NС.

Доказательство : Через точку С проведем СD ║АВ.

АМ = МВ – по условию, АМ = СD по построению (АМDС – параллелограмм). Значит МВ = СD,

ВМN = CDN

ВN = NС.

В

3

D

N

М

1

2

4

С

А

Теорема Фалеса . Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их вершины провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки .

А1А2=А2А 3 =А 3 А 4 =… В1В2 ? В2В 3 ? В 3 В 4 ?…

Доказательство :

Через точку В1 проведем . А1А2 = В1С,

А2А1В1С – параллелограмм.

А2А 3 = СD,

А3А2СD – параллелограмм.

Т. к. А1А2 = А2А 3 , то В1С = СD.

В треугольнике В1DВ 3

В1С = СD и СВ2 DВ 3

Значит В1В2 = В2В 3 .

Аналогично можно доказать, что В2В 3 = В 3 В 4 = …

Теорема Фалеса до сих пор используется в морской навигации в качестве правила о том, что столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохранять курс судов друг на друга .

Решение задач по готовым чертежам А 1 В 1 ‖А 2 В 2 ‖А 3 В 3 ‖А 4 В 4 ; АА 1 =А 1 А 2 =А 2 А 3 =А 3 А 4 ; АВ 4 =20 см. Найти В 2 В 3.

Решение задач по готовым чертежам Дано: EF ‖AC. Найти: Р АВС

Решение задач по готовым чертежам ABCD – трапеция. Доказать: АО = ОС.

Решение задач по готовым чертежам ABCD – трапеция, МК ‖ ВЕ ‖ СD, АD = 16. Найти: АК.

multiurok.ru

Презентация к уроку геометрии по теме «Теорема Фалеса»

Теорема Фалеса.

Цели урока:

• представление о теореме Фалеса, средней линии треугольника, о признаке и свойстве средней линии треугольника;
• организовать деятельность, направленную на усвоение теорем, выражающих признак и свойство средней линии треугольника и применения их при решении задач;
• создать условия для развития логического мышления, умения вести доказательства, речи учащихся, содействовать формированию аккуратности в записи и оформлении решений.

Фалес Милетский

Карьеру он начинал как купец и ещё в молодости попал в Египет. В Египте Фалес застрял на много лет, изучая науки в Фивах и Мемфисе. Считается, что геометрию и астрономию в Грецию привёз он.

624-547г.г. до н.э.

• Великий учёный Фалес Милетский основал одну из прекраснейших наук- геометрию. Известно, что Фалес Милетский имел титул одного из семи мудрецов Греции, что он был поистине первым философом, первым математиком, астрономом и вообще первым по всем наукам в Греции. Короче: он был то же для Греции, что Ломоносов для России.

Фалес- математик. Он измерил по тени высоту пирамиды; установил, что окружность диаметром делится пополам, что углы при основании равнобедренного треугольника равны. Ему же принадлежит теорема, что вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности- прямой

(греч. Thales) (ок. 625-547 до н.э.) — греческий философ, математик, астроном и политический деятель; по одной версии, коренной милетянин из знатного рода, по другой — имел финикийское происхождение. Согласно преданию, Ф. был первым провозглашен мудрецом, а затем к нему присоединили еще шестерых. Первоосновой всех вещей Ф. считал воду и полагал, что космос полон божественных сил; он разработал теорию затмений, предсказав солнечное затмение 28 мая 585 г. до н.э., перенес в греческую практику египетское деление года на 365 дней.

Фалес был купцом. Он хорошо зарабатывал, умело торгуя оливковым маслом. Много путешествовал: посетил Египет, Среднюю Азию, Халдею. Всюду изучал опыт, накопленный жрецами, ремесленниками и мореходами; познакомился с египетской и вавилонской школами математики и астрономии.

До наших дней дошли изречения Фалеса, вот некоторые из них :

Помните, что дети ваши будут обходиться с вами так же, как вы обходитесь со своими родителями .

.

Теорема: если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Дано : угол, параллельные прямые пересекают стороны угла, А 1 А 2 =А 2 А 3

Доказать : В 1 В 2 =В 2 В 3

Доказательство.

• Проведём через точку В 2 прямую ЕF, параллельную прямой А 1 А 3 .
• По свойству параллелограмма А 1 А 2 =FВ 2 , А 2 А 3 =В 2 Е.
• Так как А 1 А 2 =А 2 А 3 , то FВ 2 =В 2 Е
• Треугольники В 2 В 1 F и В 2 В 3 Е равны по второму признаку ( у них В 2 F=В 2 Е по доказанному. Углы при вершине В 2 равны как вертикальные, а углы В 2 FВ 3 равны как внутренние накрест лежащие при параллельных А 1 В 1 и А 3 В 3 и секущей ЕF.)
• Из равенства треугольников следует равенство сторон: В 1 В 2 =В 2 В 3

В 3

В 2

F

E

В1

А 2

А 1

А 3

А1

А1

В1

А2

В1

А2

С

В2

А3

В2

А3

В3

D

А4

В3

А4

В4

В4

а

в

а

в

с

ЗАДАЧА : РАЗДЕЛИТЕ ДАННЫЙ ОТРЕЗОК НА n РАВНЫХ ЧАСТЕЙ

1.Проведём из точки А луч АО, не лежащий на отрезке АВ.

2.Отложим на луче АО равные отрезки:АА 1 , А 1 А 2 , А 2 А 3 , …, А n-1 А n .

3.Соединим отрезком точку А n с точкой В.

4.Через точки А 1 ,А 2 , … А n-1 проведём прямые, параллельные А n В.

5.По теореме Фалеса отрезки АВ 1 , В 1 В 2 , …,В n-1 В равны.

В

В n-1

В 3

В 2

В 1

А

А 1

А 2

А 3

О

А n-1

А n

Теорема: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Дано: Δ АВС, М N – средняя линия.

Доказать: М N || АС, М N = ½ АС

В

Доказательство:

т.к. ВМ:ВА = ВN:ВС=1:2 и угол В – общий.

М

N

2. Угол ВМN равен углу ВАС,

а они соответственные при прямых МN и АС и секущей АВ. Значит, МN || АС.

С

А

3. Т.к. ВМ:ВА =1:2, то и МN:АС=1:2.

11

Гимнастика для глаз.

• Глазки крепко закрываем,
• Дружно до пяти считаем.

Задачи на готовых чертежах

B

A 1

A 3

A 2

A 4

A

F

B 1

E

B 2

5

4

B 3

B 4

12

A

C

EF ║AC. Найти:Р АВС

АВ 4 =20. Найти:В 2 В 3 .

Отрезок М N является средней линией треугольника?

kopilkaurokov.ru

Урок геометрии в 8 классе на тему «Теорема Фалеса» по ТРКМ

1. Метод «Фишбон» по теореме Фалеса.

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они равные отрезки и на другой его стороне.

2. Метод «INSERT» стр. 34 Пример 1 «Разделить отрезок на 3 равные части»

Учащиеся читают текст, делая пометки на полях:

“v” – известная информация;

“+” – новая информация;

“–” – информация, идущая вразрез с имеющимися представлениями и знаниями;

“?” – непонятная информация.

После работы с текстом – обсуждение с обязательным обращением к исходному тексту и составление алгоритма.

Алгоритм деления данного отрезка на N равных частей без измерения длины

• Постройте отрезок АВ.

• Постройте луч АК, не совпадающий с АВ.

• На луче АК отложите N равных отрезков.

• Через точку В и последнюю точку на луче проведите прямую.

• Через концы отрезков, отложенных на луче АК, проведите прямые, параллельные первой прямой.

• Сравните отрезки, получившиеся на отрезке АВ.

• Сделать вывод и заполнить таблицу «З-Х-У» (заполнить столбик «У» — «Узнал»).

3. Критерии успеха (вырабатываются вместе с учащимися):

— верно построен луч, не совпадающий с данным отрезком

— верно на луче отложены N равных отрезков

— верно проведены параллельные прямые

— верно найдены точки пересечения параллельных прямых и отрезка

— верно сделан вывод о равенстве полученных отрезков

4. Метод «Перепутанная логическая цепочка» (групповая работа по алгоритму деления отрезка на части)

Приложение №1

(Количество правильных ответов – количество баллов, максимум — 10)

5. Выставление оценок в оценочные листы по набранным баллам Приложение №2

6. Домашнее задание:

1) Шыныбеков А.Н. Геометрия: Учебник для 8 класса. Стр. 33.

2) №№ 128.

3) Составить кластер по теореме Фалеса.

infourok.ru

Презентация на тему «Теорема Фалеса» 8 класс

Теорема Фалеса

Урок №9 по геометрии в 8 классе Учитель: Федорова Т.Ф. 2009-2010 уч. год.

5klass.net

Цели урока:

Рассмотреть теорему Фалеса и закрепить ее в процессе решения задач. Совершенствовать навыки решения задач на применение свойств равнобедренной трапеции, ее признаков, а также на применение знаний по теме « Трапеция»

Задачи на готовых чертежах

Найти углы трапеции

75 40 А В С D Е BC║CD 60 5 К Р AD=7.Найти: СМ

х 2х

2х +х+90 = 180 3х = 180 — 90 3х = 90 Х = 30  C = 30 + 90= 120. Ответ: А =  D = 60,  C =  B = 120.

Составим уравнение:

Ответы к задачам

1. A = D = 60, B = C =120. 2. A=40, D=65, C=115, B=140. 3. C = 100. 4. CM =2.

Великий учёный Фалес Милетский основал одну из прекраснейших наук- геометрию. Известно, что Фалес Милетский имел титул одного из семи мудрецов Греции, что он был поистине первым философом, первым математиком, астрономом и вообще первым по всем наукам в Греции. Короче: он был то же для Греции, что Ломоносов для России.

624-547г.г. до н.э.

Карьеру он начинал как купец и ещё в молодости попал в Египет. В Египте Фалес застрял на много лет, изучая науки в Фивах и Мемфисе. Считается, что геометрию и астрономию в Грецию привёз он.

Фалес- математик. Он измерил по тени высоту пирамиды; установил, что окружность диаметром делится пополам, что углы при основании равнобедренного треугольника равны. Ему же принадлежит теорема, что вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности- прямой

Фалес Милетский

До наших дней дошли изречения Фалеса, вот некоторые из них:

Слайд 9

Фалес известен как геометр. Ему приписывают открытие и доказательство ряда теорем: о делении круга диаметром пополам, о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника, о равенстве вертикальных углов, один из признаков равенства прямоугольных треугольников и другие. Он открыл любопытный способ определения расстояния от берега до видимого корабля.

Столь же остроумно Фалес предложил измерять высоту предметов. Став недалеко от предмета, надо дождаться пока тень человека не сделается равной его росту. Измерив тогда длину тени предмета, можно заключить, что она равно длине предмета. Говорят, что таким способом он измерял высоту египетских пирамид.

Задача № 384 М N 1 2 3 4

Дано: тр-к АВС АМ =МВ МN || АС Доказать: ВN =NC

Теорема: если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

А1 А3

Дано: угол, параллельные прямые пересекают стороны угла, А1А2=А2А3 Доказать: В1В2=В2В3 Доказательство. Проведём через точку В2 прямую ЕF, параллельную прямой А1А3. По свойству параллелограмма А1А2=FВ2, А2А3=В2Е. Так как А1А2=А2А3, то FВ2=В2Е Треугольники В2В1F и В2В3Е равны по второму признаку ( у них В2F=В2Е по доказанному. Углы при вершине В2 равны как вертикальные, а углы В2FВ3равны как внутренние накрест лежащие при параллельных А1В1 и А3В3 и секущей ЕF.) Из равенства треугольников следует равенство сторон: В1В2=В2В3

А2 В1 В2 В3 F E

Задача № 385 а

ЗАДАЧА: РАЗДЕЛИТЕ ДАННЫЙ ОТРЕЗОК НА n РАВНЫХ ЧАСТЕЙ

1.Проведём из точки А луч АО, не лежащий на отрезке АВ. 2.Отложим на луче АО равные отрезки:АА1, А1А2, А2А3, …, Аn-1Аn. 3.Соединим отрезком точку Аn с точкой В. 4.Через точки А1,А2, … Аn-1проведём прямые, параллельные АnВ. 5.По теореме Фалеса отрезки АВ1, В1В2, …,Вn-1В равны.

Аn-1 Аn Вn-1 О

A B C 12 EF║AC. Найти:РАВС A1 A2 A3 A4 B1 B2 B3 B4 АВ4=20. Найти:В2В3. O Доказать:АО = СО 10

МК║ВЕ║СD, AD=16. Найти:АК.

Задача №386

Докажите, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям трапеции.

M

Задача № 393 б) d1 d2 a

Дано:d1-диагональАС d2- диагональ ВD а- угол между диагоналями Построить: АВСD

Анализ

Допустим, что АВСD построен. СО = 0,5d1, ОD = 0,5d2, значит, треугольник СОD можем построить по двум сторонам и углу между ними, а затем достроим его до параллелограмма.

Доказательство

В четырёхугольнике АВСD диагонали точкой пересечения делятся пополам, значит АВСD- параллелограмм. АС=d1, ВD = d2 , угол СОD=a, значит АВСD – искомый параллелограмм.

Исследование

Задача имеет одно решение и всегда возможна.

Домашнее задание Задачи № 391, № 392

Дополнительная задача: В равнобедренной трапеции острый угол равен 60. Докажите, что меньшее основание равно разности большего основания и боковой стороны.

prezentacii.org

Презентация по теме теорема Фалеса (геометрия 8 класс)