2-4, -1<x≤2. \end {cases}$

Что такое Функция в Алгебре?

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

138.5K

Мы знаем, как соответствовать определенным чертам: быть вежливым, опрятным, инициативным. А как быть соответствиям между числовыми множествами — узнаем в этой статье про математические функции.

Понятие функции

Определение функции можно сформулировать по-разному. Рассмотрим несколько вариантов, чтобы усвоить наверняка.

1. Функция — это взаимосвязь между величинами, то есть зависимость одной переменной величины от другой.

Знакомое обозначение y = f (x) как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины х по определенному закону, или правилу, которое обозначается f.

Вывод: меняя х (независимую переменную, или аргумент) — меняем значение у.

2. Функция — это определенное действие над переменной.

Значит, можно взять величину х, как-то над ней поколдовать — и получить соответствующую величину

у.

В технической литературе можно встретить такие определения функции для устройств, в которых на вход подается х — на выходе получается у. Схематично это выглядит так:

В этом значении слово «функция» используют и в далеких от математики областях. Например, так говорят о функциях ноутбука, костей в организме или даже о функциях менеджера в компании. В каждом перечисленном случае речь идет именно о неких действиях.

3. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества. Это самое популярное определение в учебниках по математике.

Например, функция у = 2х каждому действительному числу x ставит в соответствие число y, которое в два раза больше, чем х.

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида

область определения выглядит так:

• х ≠ 0 (потому что на ноль делить нельзя)

И записать это можно так: D (y): х ≠ 0.

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Для примера рассмотрим соответствие между двумя множествами — человек-владелец странички в инстаграм и сама страничка, у которой есть владелец. Такое соответствие можно назвать взаимно-однозначным — у человека есть страничка, и это можно проверить. И наоборот — по аккаунту в инстаграм можно проверить, кто им владеет.

В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция у = 3х +2. Каждому значению х соответствует одно и только одно значение у. И наоборот — зная у, можно сразу найти х.

х	-3	-2	-1	0	1	2
у = 3х +2	-7	-4	-1	2	5	8

Рассмотрим другие типы соответствий между множествами.

Например, фрукты и цвет каждого:

У каждого фрукта есть свой цвет. Но такое соответствие нельзя назвать взаимно-однозначным. Например, яблоко может быть и красным, и желтым и даже зеленым.

Пример такого соответствия в математике — функция у = х2. Один и тот же элемент второго множества у = 4 соответствует двум разным элементам первого множества: х = 2 и х = -2.

Так на примере с фруктами можно показать соответствие, которое нельзя назвать функцией:

Видно, что в первом множестве есть элементы, которым соответствует два или три элемента из второго множества. Описать такое соответствие математически было бы сложнее.

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Способы задания функции

Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» является переменной или

аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

• Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
• Графический способ — самый наглядный. На графике сразу видно возрастание и убывание функции, наибольшие и наименьшие значения, точки максимума и минимума.
• Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
• Словесный способ.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Задать функцию формулой

Через аналитический способ задания функции можно сразу по конкретному значению аргумента «x» найти значение функции «y».

Пример. Дана функция: y(x) = 32x + 5.

Найти: значения функции «y» при x = 0.

Как рассуждаем:

Подставим в формулу вместо «x» число «0». Запишем расчет.

y(0) = 32 * 0 + 5 = 5

Ответ: y = 5.

Задать функцию таблицей

Любую функцию можно записать с помощью таблицы. Для этого достаточно найти несколько значений «y» для произвольно выбранных значений «x».

Пример. Дана функция: y(x) = −x + 4.

Найти: значения «y» при x = -1, x = 0 и x = 1.

Как рассуждаем:

1. Подставим в функцию y(x) = −x + 4 вместо «x» первое число -1.

2. Продолжим подставлять в функцию y(x) = −x + 4 данные значения x (0 и 1).
y(0) = −0 + 4 = 4
y(1) = −1 + 4 = 3

Не путаем знаки!

Когда в функцию нужно подставить отрицательное число — включаем внимательность на максимум. Возьмите нужное число в скобки, чтобы точно не потерять знак минус.

3. Запишем полученные результаты в таблицу:

x	y
−1	5
0	4
1	3

Так мы получили табличный способ задания функции y(x) = −x + 4.

Задать функцию графиком

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.

График функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числовые значения вместо «x».

Пример. Дана функция: y(x) = −2x + 1.

Найти: значения «y» для произвольных «x», а именно −1, 0, 1.

Как рассуждаем:

1. Подставим данные значения х в функцию и запишем результаты:

x	Рассчет
−1	y(−1) = −2 * (−1) + 1 = 2 + 1 = 3
0	y(0) = −2 * 0 + 1 = 0 + 1 = 1
1	y(1) = −2 * 1 + 1 = −2 + 1 = −1

2.

Каждая пара значений «x» и «y» — это координаты точек по оси Ox (абсцисса точки) и Oy (ордината точки).

Дадим названия каждой точке и запишем их координаты:

Имя точки	x	y
A	−1	3
B	0	1
C	1	−1

3. Отметим точки А (-1; 3), B (0; 1) и С (1; -1) на прямоугольной системе координат.

4. Соединим отмеченные точки прямой.

Проведенная прямая будет графиком функции y(x) = −2x + 1.

 

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Лидия Казанцева

Автор Skysmart

К предыдущей статье

Иррациональные числа

К следующей статье

113.6K

Как найти координаты точки?

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

2. Расскажем, как проходят занятия

3. Подберём курс

Математика 8 класс | Функции

Учащиеся учатся представлять, интерпретировать и анализировать функции в различных формах, что приводит к пониманию таких характеристик, как скорость изменения, начальные значения и интервалы возрастания и убывания.

Раздел 4

8-й класс

Краткое содержание раздела

---

В Разделе 4 учащиеся восьмого класса знакомятся с концепцией функции, которая связывает входы и выходы. Они начинают с изучения всех типов взаимосвязей между множествами, такими как число учеников и количество их братьев и сестер, количество монет и количество минут стоянки на метре, расстояние и время, потраченное на пробежку, и т. д. Они учатся представлять и интерпретировать функции в различных форм, включая таблицы, уравнения, графики и словесные описания (МП.2). По мере прохождения модуля учащиеся анализируют функции, чтобы лучше понять такие характеристики, как скорость изменения, начальные значения и интервалы увеличения или уменьшения, что, в свою очередь, позволяет учащимся сравнивать функции, даже если они не представлены в одном и том же формате. . Учащиеся анализируют реальные ситуации на предмет скорости изменения и начальных значений и используют эти функции для построения уравнений для моделирования взаимосвязей функций (MP. 4). Учащиеся также проводят время, сравнивая линейные функции с нелинейными функциями, формируя понимание базовой структуры функции, которая делает ее линейной (MP.7), настраивая их для модуля 5. Наконец, учащиеся устанавливают связи между историями и графиками, моделируя ситуации. как расстояние или скорость во времени.

В шестом и седьмом классах ученики изучали коэффициент и константу пропорциональности в пропорциональных отношениях. Они разработали понимание того, как одна величина изменяется по отношению к другой. Учащиеся опираются на эти знания, когда исследуют взаимосвязь величин в таблицах, уравнениях и графиках, а также исследуют линейные и нелинейные отношения.

Сразу после этого раздела учащиеся восьмого класса приступают к изучению линейных отношений. В этом блоке они пересмотрят и расширят многие темы, представленные в этом блоке «Функции». Учащиеся будут интерпретировать скорость изменения как наклон, а начальное значение – как точку пересечения $$y-$$ линейного уравнения $$y=mx+b$$. В старшей школе изучение функций распространяется на несколько тем и областей обучения, включая квадратичные, экспоненциальные и тригонометрические функции.

Темп: 16 учебных дней (12 уроков, 3 гибких дня, 1 контрольный день)

Fishtank Plus для математики

Разблокируйте функции, чтобы оптимизировать время подготовки, планировать увлекательные уроки и следить за успеваемостью учащихся.

Узнать больше

Оценка

---

Следующие оценки сопровождают Раздел 4.

Предварительная часть

Предложите учащимся пройти предварительную оценку и самооценку перед началом модуля. Используйте Руководство по анализу предварительной оценки, чтобы определить пробелы в фундаментальном понимании и наметить план ускорения обучения на протяжении всего модуля.

Промежуточный этап

Предложите учащимся пройти промежуточный этап оценки.

Post-Unit

Используйте приведенные ниже ресурсы для оценки усвоения учащимися содержания модуля и плана действий для будущих модулей.

• Постмодальная оценка

• Ключ к ответам после модульной оценки

• Руководство по анализу послемодульной оценки
  92F25A3F-8529-4314-9899-6EE68694E3D0

• Последипломная самооценка студентов

Расширенный пакет оценивания

Используйте данные учащихся для управления планированием с помощью расширенного набора модульных оценок, помогающих оценить уровень владения учащимися базовыми навыками и понятиями, а также их прогресс в изучении содержания модуля.

Скачать образец

Подготовка блока

---

Интеллектуальная подготовка

Предложения по подготовке к обучению данного модуля

A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950

Запуск модуля

Подготовьтесь к преподаванию этого модуля, погрузившись в стандарты, большие идеи и связи с предыдущим и будущим содержанием. Запуск модулей включает в себя серию коротких видеороликов, целевую литературу и возможности для планирования действий.

Обновление до Plus

Интернализация стандартов с помощью итоговой оценки

• Пройдите итоговую оценку. Аннотировать для:
  • Стандарты, которым соответствует каждый вопрос
  • Стратегии и представления, используемые на ежедневных уроках
  • Связь с основными понятиями модуля
  • Уроки, на которые Оценка указывает

Интернализация траектории отряда

• Прочитайте и аннотируйте сводку отряда.
• Обратите внимание на продвижение понятий по блоку, используя карту урока.
• Выполнить все целевые задачи. Аннотируйте целевые задачи для:
  • Основные понятия
  • Связь с вопросами послемодульной оценки
• Определите ключевые возможности для вовлечения учащихся в академический дискурс. Прочтите наш Инструмент для учителя на Академический дискурс и обращаться к нему на протяжении всего раздела.

Интеллектуальная подготовка для конкретного модуля

• Прочтите ход выполнения общих основных государственных стандартов по математике, 8 класс, старшая школа, функции для стандартов, относящихся к этому разделу.
• Также полезно ознакомиться с разделами Progressions для Common Core State Standards in Mathematics, 6–8, Expressions and Equations, в частности для 8.EE.5 и 8.EE.6, поскольку они тесно связаны со стандартами функций. .
• Прочтите следующую таблицу, в которой указаны модели, используемые во всем устройстве.

Модель	Пример
Таблица функций ввода/вывода
Уравнение функции	градусов по Фаренгейту является функцией градусов по Цельсию $$F=\frac{9}{5}C+32$$
График функции	Температура является функцией времени.
Вербальное представление функции	Общее расстояние, пройденное бегуном, зависит от времени, потраченного на бег.

Основные понятия

Основные математические концепции, которые учащиеся поймут в этом модуле

A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950

• Функция – это правило, которое назначает каждому входу ровно один выход. Функции могут быть представлены в виде таблиц, уравнений, графиков и словесных описаний.
• Линейные функции состоят из упорядоченных пар, которые при графическом отображении лежат на прямой линии; нелинейные функции состоят из упорядоченных пар, которые на графике не лежат на одной прямой.
• Функции можно анализировать, чтобы понять скорость их изменения, их начальное значение или интервалы, в которых они могут увеличиваться или уменьшаться, быть линейными или нелинейными.
• Функции можно использовать для моделирования отношений между значениями и отображать в виде уравнений, графиков, таблиц или качественных описаний.

Материалы

Материалы, иллюстрации и инструменты, которые потребуются преподавателям и учащимся для работы с этим модулем

A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950

• Дополнительно : Сухостираемый маркер (1 на учащегося)
• Дополнительно : Белая доска (1 на учащегося)

Чтобы ознакомиться со всеми материалами, необходимыми для этого курса, ознакомьтесь с нашим Обзором материалов курса для 8-го класса.

Словарный запас

Термины и обозначения, которые учащиеся изучают или используют на уроке

A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950

функция

ввод/вывод

начальное значение

линейная функция

нелинейная функция

скорость изменения 90 003

Чтобы увидеть весь словарный запас для модуля 4, просмотрите наш глоссарий лексики для 8-го класса.

Карта урока

---

Тема A: Определение функций

Определение и идентификация функций.

8.Ф.А.1

Использовать функциональный язык для описания функций. Определите функциональные правила.

8.Ф.А.1

Создайте бесплатную учетную запись, чтобы получить доступ к тысячам планов уроков.

Уже есть учетная запись? Войти

Тема B: Представление и интерпретация функций

Определите свойства функций, представленных в таблицах, уравнениях и словесных описаниях. Оцените функции.

8.Ф.А.1 8.Ф.А.2 8.Ф.Б. 4

Представление функций уравнениями.

8.Ф.А.1 8.Ф.Б.4

Чтение входов и выходов в графиках функций. Определить, являются ли графики функциями.

8.Ф.А.1

Определите свойства функций, представленных на графиках.

8.Ф.А.1 8.Ф.Б.4

Создайте бесплатную учетную запись, чтобы получить доступ к тысячам планов уроков.

Уже есть учетная запись? Войти

Тема C: Сравнение функций

Определение линейных и нелинейных функций и построение графиков.

8.Ф.А.3

Определите, являются ли функции линейными или нелинейными, если они представлены в виде таблиц, графиков и уравнений.

8.Ф.А.1 8.Ф.А.3

Сравните функции, представленные разными способами (Часть 1).

8.Ф.А.2

Сравните функции, представленные разными способами (Часть 2).

8.Ф.А.2

Создайте бесплатную учетную запись, чтобы получить доступ к тысячам планов уроков.

Уже есть учетная запись? Войти

Тема D: Описание и построение графиков функций

Описывать функции, анализируя графики. Определите интервалы возрастающей, убывающей, линейной или нелинейной активности.

8.Ф.Б.5

Эскизные графики функций с качественными описаниями отношений.

8.Ф.Б.5

Создайте бесплатную учетную запись, чтобы получить доступ к тысячам планов уроков.

Уже есть учетная запись? Войти

Общие базовые стандарты

---

Ключ

Основной кластер

Вспомогательный кластер

Дополнительный кластер

Основные стандарты

Стандарты контента, рассматриваемые в этом разделе

A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950

Функции

• 8.F.A.1 — Поймите, что функция — это правило, которое назначает каждому входу ровно один выход. График функции представляет собой набор упорядоченных пар, состоящих из входа и соответствующего выхода. Обозначение функции не требуется в 8 классе.

• 8. F.A.2 — Сравните свойства двух функций, каждая из которых представлена ​​по-разному (алгебраически, графически, численно в таблицах или словесными описаниями). Например, если задана линейная функция, представленная таблицей значений, и линейная функция, представленная алгебраическим выражением, определите, какая функция имеет большую скорость изменения.

• 8.Ф.А.3 — интерпретировать уравнение y = mx + b как определяющее линейную функцию, график которой представляет собой прямую линию; приведите примеры функций, которые не являются линейными. Например, функция A = s², определяющая площадь квадрата как функцию длины его стороны, не является линейной, поскольку ее график содержит точки (1,1), (2,4) и (3,9), которые не лежат на прямой.

• 8.Ф.Б.4 — Создайте функцию для моделирования линейной зависимости между двумя величинами. Определить скорость изменения и начальное значение функции по описанию зависимости или по двум значениям (x, y), в том числе прочитать их из таблицы или из графика. Интерпретируйте скорость изменения и начальное значение линейной функции с точки зрения ситуации, которую она моделирует, и с точки зрения ее графика или таблицы значений.

• 8.Ф.Б.5 — Качественно описать функциональную связь между двумя величинами, анализируя график (например, где функция возрастает или убывает, линейна или нелинейна). Нарисуйте график, демонстрирующий качественные характеристики функции, описанной словесно.

Основополагающие стандарты

Стандарты, изучаемые в предыдущих разделах или классах, которые являются важной основой для текущего раздела

A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950

Выражения и уравнения

• 6.EE.A.2.C

• 7.EE.B.4

Соотношения и отношения пропорциональности

• 6. РП.А.2

• 7.РП.А.2

• 7.РП.А.2.Б

• 7.РП.А.2.С

• 7.РП.А.2.Д

Будущие стандарты

Стандарты будущих классов или разделов, которые связаны с содержанием данного раздела

A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950

Функции здания

• F.BF.A.1

Выражения и уравнения

• 8.EE.B.5

• 8.EE.B.6

Функции интерпретации

• Ф.ИФ.А.1

• Ф.И.Ф.А.2

• Ф. И.Б.4

Стандарты математической практики

• CCSS.MATH.PRACTICE.MP1 — Разбираться в проблемах и настойчиво их решать.

• CCSS.MATH.PRACTICE.MP2 — Рассуждайте абстрактно и количественно.

• CCSS.MATH.PRACTICE.MP3 — Придумывайте жизнеспособные аргументы и критикуйте рассуждения других.

• CCSS.MATH.PRACTICE.MP4 — Модель с математикой.

• CCSS.MATH.PRACTICE.MP5 — Стратегически используйте соответствующие инструменты.

• CCSS.MATH.PRACTICE.MP6 — Следите за точностью.

• CCSS.MATH.PRACTICE.MP7 — Ищите и используйте структуру.

• CCSS.MATH.PRACTICE.MP8 — Ищите и выражайте закономерность в повторяющихся рассуждениях.

значок/стрелка/вправо/крупная копия

Модуль 3

Преобразования и отношения углов

значок/стрелка/вправо/крупный

Модуль 5

Линейные отношения

Согласованность между 8 классом и алгеброй 1

Кортни Ортега, IM Certified® Facilitator

Недавно я был на собрании, на котором один из участников заявил: «8 класс и алгебра 1 в основном имеют одинаковые стандарты». Вы когда-нибудь задумывались об этом сами? Слышали ли вы, что коллеги разделяют это мнение?

На первый взгляд стандарты содержания для 8-го класса и 1-го класса по алгебре кажутся очень похожими. Учителя 8-го класса часто говорят, что бывает трудно понять, где остановиться, а учителя алгебры 1 часто говорят, что бывает трудно понять, с чего начать. Изучая язык стандартов, мы можем искать глаголы и другие нюансы, помогающие нам принимать решения. Мы также можем изучить учебную программу IM 6–12 по математике, чтобы изучить последовательное развитие идей и ожиданий от 8 класса и алгебры 1.

Видение структуры эквивалентных уравнений

Как в 8 классе, так и в 1 классе учащиеся рассуждают об уравнениях, ища и используя математическую структуру. Это основано на понимании, полученном в предыдущие годы, включая работу в 6 и 7 классах по поддержанию равенства в уравнениях с одной переменной или рассуждения об уравнениях, записанных в более простых формах, таких как px + q = r .

В 8 классе учащиеся решают линейные уравнения с переменными по обе стороны от знака равенства. Расширяя свои возможности по работе с алгебраическими уравнениями, учащиеся обнаруживают, что уравнения могут не иметь решений, иметь только одно решение или иметь бесконечно много решений.

В Алгебре 1 учащиеся продолжают изучение структуры уравнений и определяют условия, при которых вы можете захотеть написать уравнение в определенных формах. Им нужно переписать и рассуждать об уравнениях, чтобы найти решения, и обосновать, почему каждый ход сохраняет истинность каждого последующего уравнения и сохраняет решения исходного уравнения.

Как в 8-м классе, так и в 1-м классе работа с уравнениями будет выглядеть очень похоже, но наша причина для этого немного отличается. Мы видим это в Разделе 4, Уроке 7. Во время занятия «Что такое уравнение» учащиеся используют структуру, чтобы доказать, что уравнения, которые всегда верны для любого значения переменной, имеют эквивалентные выражения с каждой стороны.

В Алгебре 1 Раздел 2 учащиеся продолжают переписывать уравнения, используя свое понимание структуры уравнений. В Уроке 6, Упражнении 3, «Что допустимо», учащиеся определяют ходы, которые создают уравнения с одним и тем же решением. Вот часть этой задачи:

В задаче 8 класса учащиеся используют знания об эквивалентности для создания эквивалентных выражений. Их просят «интерпретировать решения в контексте, из которого возникли уравнения». В Алгебре 1 учащиеся анализируют, приводит ли алгебраическое движение к уравнениям с одним и тем же решением и почему. Они исследуют «различные способы выражения одних и тех же отношений или ограничений путем анализа и написания эквивалентных уравнений». Идея логического рассуждения о выражениях и написания эквивалентных выражений присутствует в Алгебре 1, потому что она более сложная и больше не ограничивается линейными выражениями. Алгебра 1 предлагает учащимся больше возможностей для применения понятий и навыков, полученных в 8 классе.

Решение систем линейных уравнений методом замены

Учащиеся 8-го и 1-го классов алгебры изучают разные способы решения систем линейных уравнений. В 8 классе учащимся впервые напоминают, что координаты точки, лежащей на графике линейного уравнения, делают это уравнение верным. Затем они исследуют значение точки пересечения графика двух линейных уравнений. В Алгебре 1 учащиеся пересматривают свое понимание систем линейных уравнений в 8 классе. Они быстро осознают ограничения решения систем путем построения графиков и замены и открывают новую стратегию: исключение. Поскольку замещение является стратегией, которая присутствует в обоих курсах, легко случайно переучить или недоучить ее. Полезно знать роль, которую замещение играет в каждом курсе, чтобы учащиеся Алгебры 1 не чувствовали, что это избыточный опыт обучения.

В 8-м классе, Раздел 4, Урок 13, Задание 1, «Верно или неверно: две линии», учащиеся используют свои знания об эквивалентности, чтобы сделать вывод, что если y=2x+4 и y=-x+10 пересекаются в точке, где y =8, тогда 2x+4=8 и -x+10=8. Поэтому мы также можем сказать, что 2x+4=-x+10. Теперь у учащихся есть новая стратегия поиска решения системы уравнений: подстановка.

В алгебре 1, Раздел 2, Урок 13, Задание 3, «Что теперь?», учащиеся опираются на то, что они знают о решении подстановкой из 8 класса, и изучают другие способы использования подстановки по мере того, как они сталкиваются с уравнениями, записанными в более разнообразных формах. .

В системе, в которой учащиеся решают d и f, учащиеся могут использовать свои знания 8-го класса, чтобы заменить 18-4f на 2d в первом уравнении. Применив другой подход к системе, в которой учащиеся решают m и p, учащиеся могут заменить p на 2m+10 в первом уравнении. Оба подхода верны и показывают глубокое понимание того, что означает решение системы.

Концепция подстановки сложна, поскольку требует понимания эквивалентных выражений, а также стратегии использования эквивалентных выражений для перезаписи систем таким образом, чтобы их можно было решить. Поскольку эта концепция объединяет так много больших идей, учащимся полезно использовать ее в обоих курсах с возрастающим уровнем сложности. Знание того, что у учеников будет больше времени для работы с заменой в следующем году, снижает нагрузку на учителей 8-го класса. Это также означает, что студенты, изучающие алгебру 1, не начинают с нуля, поэтому у них есть предварительные знания, на которые можно опираться.

Изучение функций

Еще одна тема, которую изучают ученики 8-го и 1-го классов алгебры, — это функции. В 8 классе учащиеся знакомятся с функциями, как с правилом, которое назначает каждому входу ровно один выход. Они интерпретируют графики функций, описывая их как возрастающие или убывающие между определенными точками на графике. В Алгебре 1 учащиеся расширяют свое понимание функций, чтобы интерпретировать и использовать обозначения функций, а также сравнивать ключевые характеристики графиков, включая домен и диапазон.

Мы видим, что основное внимание уделяется пропорциональным отношениям между двумя величинами в 8-м классе, Раздел 5, Урок 8, Задание 2 «Пропорциональные отношения определяют линейные функции». Учащиеся понимают, что наклон и вертикальная точка пересечения линейной функции являются скоростью изменения и начальным значением функции.

В Алгебре 1, Раздел 4, Урок 10, учащиеся сосредотачиваются на входных и выходных значениях, чтобы изучить термины домен и диапазон , как показано в синтезе деятельности для Упражнения 3 «Что насчет результатов?»

На обоих уроках учащиеся связывают то, что они уже знают о характеристиках линейных уравнений, с новыми отношениями, такими как линейные функции и другие функции. Прочная основа линейных функций с 8-го класса имеет решающее значение, чтобы учащиеся могли устанавливать связи между множеством различных видов функций. Алгебра 1 переходит к абсолютному значению и обратным функциям, а также к экспоненциальным и квадратичным дробям. Алгебра 2 продолжает это путешествие с экспоненциальными, логарифмическими и тригонометрическими функциями. В каждом курсе студенты расширяют свои знания о функциях, но всегда опираются на то, что они уже знают о функциях. Как знание того, как идентифицировать ключевые особенности графиков линейных функций, помогает им изучать другие виды функций? Опять же, мы видим, что существует четкая согласованность концепций, которые строятся, а не отдельные темы, которые начинаются и заканчиваются в рамках одного курса.

Заключение

8-й класс и 1-й класс — это разные курсы; Алгебра 1 предназначена для обучения с 8-го класса. Мы видим намеренный способ, которым учащиеся продолжают углублять свое концептуальное понимание и имеют множество возможностей для повторного изучения понятий с возрастающим уровнем сложности.

Чем может отличаться инструкция учителей, если развитие этих понятий понимается как часть более длительного путешествия по классам? Что, если бы учителя 8 класса и учителя алгебры 1 вместе изучали единицы и занимались математикой? Как укрепление сотрудничества между преподавателями этих двух курсов может способствовать планированию?

Кортни Ортега

Кортни Ортега является сертифицированным учителем Национального совета и преподавала математику и естественные науки в средних и старших школах по всему заливу, прежде чем перейти к руководству округа.