Свойства перпендикулярных прямых 7 класс – Перпендикулярные прямые — урок. Геометрия, 7 класс.
Перпендикулярные прямые / Начальные геометрические сведения / Справочник по геометрии 7-9 класс
- Главная
- Справочники
- Справочник по геометрии 7-9 класс
- Начальные геометрические сведения
- Перпендикулярные прямые
Перпендикулярные прямые — это прямые, которые при пересечении образуют четыре прямых угла (Рис.1).
Перпендикулярность прямых обозначают специальным символом — , т.е. для Рис.1 можно записать HF NK (читается: «прямая HF перпендикулярна к прямой NK).
Чтобы начертить перпендикулярные прямые, используют чертежный угольник и линейку (Рис.2). С помощью линейки проводят прямую , далее к прямой прикладывают чертежный угольник так, чтобы одна из его сторон, образующих прямой угол, совпадала с прямой . Ко второй стороне чертежного угольника, образующей прямой угол, прикладывают линейку, вдоль которой проводят прямую , в итоге имеем .
Свойство перпендикулярных прямых:
Если две прямые перпендикулярны к третьей, то они не пересекаются.
На Рис.3 , поэтому (прямая не пересекает прямую ).
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Советуем посмотреть:
Точки, прямые, отрезки
Провешивание прямой на местности
Луч
Угол
Равенство геометрических фигур
Сравнение отрезков
Сравнение углов
Длина отрезка
Единицы измерения длины, расстояний
Градусная мера угла
Измерение углов на местности
Смежные углы
Вертикальные углы
Построение прямых углов на местности
Начальные геометрические сведения
Правило встречается в следующих упражнениях:
7 класс
Задание 69, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 70, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 6, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 178, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 669, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 7, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 730, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 774, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 816, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
© 2019 — budu5.com, Буду отличником!
budu5.comПерпендикуляр к прямой / Треугольники / Справочник по геометрии 7-9 класс
- Главная
- Справочники
- Справочник по геометрии 7-9 класс
- Треугольники
- Перпендикуляр к прямой
Возьмем прямую и точку А, не лежащую на этой прямой. Соединим точку А с точкой Н, лежащей на прямой (Рис.1).
Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой , если прямые АН и перпендикулярны.
Теорема
| Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр |
Доказательство:
1. Существование перпендикуляра.
Пусть точка А не лежит на прямой ВС. Проведем луч ВА. Затем от луча ВС отложим угол СВD, равный углу АВС. На луче ВD отложим отрезок ВК, равный отрезку ВА (Рис.2).
Проведем прямую АК, пусть Н — точка пересечения прямых ВС и АК (Рис.3).
АВН = КВН по первому признаку равенства треугольников: ВН — общая сторона, ВА = ВК, АВН =КBН (по построению), ВНА =ВНD. Но ВНА и ВНD — смежные углы, тогда по свойству смежных углов ВНА +ВНD = 1800, следовательно, каждый из смежных улов прямой, т.е. ВНА =ВНD = 900, а значит АНВС.
2. Единственность перпендикуляра.
Предположим, что через точку А можно провести еще один перпендикуляр АН1 к прямой ВС, тогда получим, что две прямые
Проведение перпендикуляра из точки к прямой
Для проведения перпендикуляра из точки к прямой, используют чертежный угольник (Рис.5). Чертежный угольник прикладывают так, чтобы одна из его сторон, образующих прямой угол угольника, располагалась вдоль прямой, к которой нужно провести перпендикуляр
. Вдоль второй стороны, образующей прямой угол угольника, проводим прямую так, чтобы она проходила через точку, из которой нужно провести перпендикуляр к прямой. Отрезок, соединяющий точку на прямой, к которой нужно провести перпендикуляр, и точку, из которой нужно провести перпендикуляр, и есть перпендикуляр проведенный из данной точки к данной прямой. На Рис.5 АН.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Советуем посмотреть:
Треугольник
Равенство треугольников
Первый признак равенства треугольников
Медианы треугольника
Биссектрисы треугольника
Высоты треугольника
Равнобедренный треугольник
Свойства равнобедренного треугольника
Второй признак равенства треугольников
Третий признак равенства треугольников
Окружность
Построения циркулем и линейкой
Треугольники
Правило встречается в следующих упражнениях:
7 класс
Задание 105, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 5, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 178, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 18, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 377, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, УчебникЗадание 17, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 22, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 816, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 819, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 855, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
© 2019 — budu5.com, Буду отличником!
| 1. |
Вертикальные углы
Сложность: лёгкое |
1 |
| 2. |
Смежные или вертикальные углы
Сложность: лёгкое |
2 |
| 3. |
Выбор вертикальных углов
Сложность: лёгкое |
1 |
| 4. |
Выбор смежных углов
Сложность: лёгкое |
1 |
| 5. |
Обоснование смежных углов
Сложность: лёгкое |
1 |
| 6. |
Перпендикуляр к прямой
Сложность: лёгкое |
1 |
| 7. |
Перпендикуляр, проведённый из точки к прямой
Сложность: лёгкое |
1 |
| 8. |
Перпендикулярные отрезки
Сложность: лёгкое |
1 |
| 9. |
Перпендикулярные отрезки в треугольнике
Сложность: лёгкое |
1 |
| 10. |
Вопросы по видам углов, по свойствам смежных и вертикальных углов
Сложность: лёгкое |
1 |
| 11. |
Вопросы по свойству смежных углов
Сложность: лёгкое |
1 |
| 12. |
Расстояние от точки до прямой в квадрате
Сложность: среднее |
3 |
| 13. |
Расстояние от точки до прямой в прямоугольнике
Сложность: среднее |
3 |
| 14. |
Смежные и вертикальные углы
Сложность: среднее |
3 |
| 15. |
Смежные и вертикальные углы, образованные при пересечении двух прямых третьей прямой
Сложность: среднее |
4 |
| 16. |
Смежные и вертикальные углы, дана сумма вертикальных углов
Сложность: среднее |
3 |
| 17. |
Смежные углы, дано их соотношение
Сложность: среднее |
4 |
www.yaklass.ru
| 1. | Вертикальные углы | 1 вид — рецептивный | лёгкое | 1 Б. | Вычисление градусной меры одного из вертикальных углов. |
| 2. | Смежные или вертикальные углы | 1 вид — рецептивный | лёгкое | 2 Б. | Вычисление однго из смежных или вертикальных углов. |
| 3. | Выбор вертикальных углов | 1 вид — рецептивный | лёгкое | 1 Б. | Выбор по рисунку вертикальных углов. |
| 4. | Выбор смежных углов | 1 вид — рецептивный | лёгкое | 1 Б. | Выбор по рисунку пар смежных углов. |
| 5. | Обоснование смежных углов | 1 вид — рецептивный | лёгкое | 1 Б. | Название и обоснование данной пары углов (смежные или нет). |
| 6. | Перпендикуляр к прямой | 1 вид — рецептивный | лёгкое | 1 Б. | Выбор по рисунку перпендикуляра к прямой. |
| 7. | Перпендикуляр, проведённый из точки к прямой | 1 вид — рецептивный | лёгкое | 1 Б. | Выбор по рисунку перпендикуляра, проведённого из данной точки к данной прямой. |
| 8. | Перпендикулярные отрезки | 1 вид — рецептивный | лёгкое | 1 Б. | Определение перпендикулярных отрезков по рисунку. |
| 9. | Перпендикулярные отрезки в треугольнике | 1 вид — рецептивный | лёгкое | 1 Б. | Определение по рисунку перпендикулярных отрезков в треугольнике. |
| 10. | Вопросы по видам углов, по свойствам смежных и вертикальных углов | 1 вид — рецептивный | лёгкое | 1 Б. | Теоретические вопросы по видам углов, по свойствам смежных и вертикальных углов. |
| 11. | Вопросы по свойству смежных углов | 1 вид — рецептивный | лёгкое | 1 Б. | Теоретические вопросы по свойству смежных углов. |
| 12. | Расстояние от точки до прямой в квадрате | 1 вид — рецептивный | среднее | 3 Б. | Определение расстояния от точки до прямой в данном квадрате. |
| 13. | Расстояние от точки до прямой в прямоугольнике | 1 вид — рецептивный | среднее | 3 Б. | Определение расстояния от точки до прямой в данном прямоугольнике. |
| 14. | Смежные и вертикальные углы | 1 вид — рецептивный | среднее | 3 Б. | Вычисление смежных и вертикальных углов, если дан один из них. |
| 15. | Смежные и вертикальные углы, образованные при пересечении двух прямых третьей прямой | 1 вид — рецептивный | среднее | 4 Б. | Вычисление смежных и вертикальных углов, образованных при пересечении двух прямых третьей прямой, если даны два из них. |
| 16. | Смежные и вертикальные углы, дана сумма вертикальных углов | 1 вид — рецептивный | среднее | 3 Б. | Вычисление смежных и вертикальных углов, если известна сумма вертикальных углов. |
| 17. | Смежные углы, дано их соотношение | 1 вид — рецептивный | среднее | 4 Б. | Вычисление градусной меры смежных углов, если дано их соотношение, составление уравнения. |
www.yaklass.ru
Перпендикулярные прямые.
Прежде, чем говорить о перпендикулярных прямых, выясним, какие углы называют смежными, а какие вертикальными.
Определение:
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие стороны этих углов являются противоположными лучами.
Например, углы АОВ и ВОС являются смежными:
Так как лучи ОА и ОС образуют развёрнутый угол, то АОВ+ВОС=АОС, градусная мера которого равна 180 градусам.
Свойство:
Сумма смежных углов равна 180 градусам.
Определение:
Вертикальными называются углы, если они имеют общую вершину и стороны одного угла являются лучами, противоположными сторонам другого.
Угол 2 является смежным с углом 1 и с углом 3.
А по свойству смежных углов:
Из этих двух равенств получаем:
Таким образом, получаем:
Аналогично можем доказать, что:
Следовательно, можно сказать, что вертикальные углы равны.
Определение:
Две прямые называют перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла.
Например, прямые АВ и СD образуют при пересечении четыре прямых угла, а значит, они являются взаимно перпендикулярными:
Перпендикулярность прямых АВ и CD обозначается следующим образом:
Отметим, что две прямые перпендикулярные к третьей не пересекаются.
Докажем это. Возьмём прямые АВ и перпендикулярные прямой СD:
Перегнём рисунок по прямой СD так, чтобы верхняя часть рисунка наложилась на нижнюю. Так как прямые углы равны, то луч СА наложится на луч СВ, а луч D наложится на луч D.
Если предположить, что АВ и пересекаются в некоторой точке О, то эта точка наложится на точку , которая также лежит на этих прямых. Тогда мы получим, что через две точки О и проходят две прямые АВ и , а это невозможно.
Следовательно, наше предположение неверно, а значит, прямые АВ и не пересекаются.
Для проведения перпендикулярных прямых используют чертёжный треугольник с линейкой.
А вот, чтобы построить прямой угол на местности, можно воспользоваться простейшим прибором, который называют экер. Данный прибор представляет собой два бруска, расположенных под прямым углом и укреплённых на треножнике. На концах брусков есть гвоздики, которые расположены так, что прямые проходящие через них взаимно перпендикулярны.
Чтобы построить прямой угол с заданной стороной ОА, устанавливают треножник с экером так, чтобы отвес находился над точкой О, а направление одного бруска совпало с направлением луча ОА. Затем провешивают линию по направлению другого бруска (прямая ОВ). В результате получается прямой угол АОВ.
В геодезии (в переводе с греческого «геодезия» означает «землеразделение»), науке, об измерениях на земной поверхности и в околоземном пространстве, для построения прямых углов используют наиболее совершенные приборы. Одним из таких является теодолит.
videouroki.net
Свойства перпендикулярных прямых
Поиск Лекций1. Через точку А (рис. 3) можно провести только одну перпендикулярную прямую АВ к прямой СD; остальные прямые, проходящие через точку А и пересекающие СD, называются наклонными прямыми (рис. 3, прямые АЕ и АF).
2. Из точки A можно опустить перпендикуляр на прямую CD; длина перпендикуляра (длина отрезка АВ), проведенного из точки А на прямую CD,— это самое короткое расстояние от A до CD (рис. 3).
3. Несколько перпендикуляров, проведенных через точки прямой к прямой, никогда между собой не пересекаются (рис. 4).
Признаки: На плоскости один признак — 4 прямых угла (90).
В 3-мерном пространстве: 2 прямые перпендикулярны, если они соотв. параллельны 2-м прямым, лежащим в одной плоскости и перпендикулярным друг другу.
Обычно говорят о признаках перп-сти прямой и плоскости…
Перпендикулярность плоскостей
| Определение Две пересекающиеся плоскости, называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым. | |
| Теорема 5 ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ. Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Доказательство. | |
| Теорема 5 ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ. Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. | |
| Доказательство: Пусть — плоскость , b — перпендикулярная ей прямая, — плоскость проходящая через прямую b, и с — прямая по которой пересекаются плоскости и . Докажем, что плоскости и перпендикулярны. Проведем в плоскости через точку пересечения прямой b с плоскостью прямую а, перпендикулярную прямой с. Проведем через прямые а и b плоскость . Она перпендикулярна прямой с, так как прямые а и b перпендикулярны, то плоскости и перпендикулярны. Теорема доказана. |
Перпендикулярность прямой и плоскости
| Определение Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения. Смотри также опорную задачу №1. | |
| Теорема 1 ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости. Доказательство. | |
| Теорема 2 1-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. Доказательство. | |
| Теорема 3 2-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны. Доказательство. |
Вопрос 2.
1. Параллельные прямые в пространстве
Две прямые в пространстве называются параллельными, если лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Параллельность прямых a и b обозначается так: a∥b илиb∥a.
Teорема 1. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и при том только одну.
Теорема 2. Через любую точку пространства вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной прямой, и при том только одну.
Теорема 3. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
(1. рис.)
(2. рис.)
Теорема 4. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.
Теорема 3.2.
Две прямые, параллельные третьей, параллельны.
Это свойство называется транзитивностью параллельности прямых.
Доказательство
Теорема 3.3.
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.
Доказательство
Свойство параллельных прямых задается следующей теоремой, обратной к теореме 3.1.
Теорема 3.4.
Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны.
Доказательство
На основании этой теоремы легко обосновываются следующие свойства.
- Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответствующие углы равны.
- Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.
Следствие 3.2.
Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Понятие параллельности позволяет ввести следующее новое понятие, которое в дальнейшем понадобится в 11-й главе.
Два луча называются одинаково направленными, если существует такая прямая, что, во-первых, они перпендикулярны этой прямой, во-вторых, лучи лежат в одной полуплоскости относительно этой прямой.
Два луча называются противоположно направленными, если каждый из них одинаково направлен с лучом, дополнительным к другому.
Одинаково направленные лучи AB и CD будем обозначать: а противоположно направленные лучи AB и CD –
Параллельность плоскостей
Рекомендуемые страницы:
Поиск по сайту
poisk-ru.ru
Перпендикулярные прямые — Математика — 7 класс
Филиал МКОУ « Октябрьская СОШ» « Алексеевская ООШ»
Касторенского района Курской области
План-конспект урока
по геометрии в 7 классе
на тему: «Перпендикулярные прямые»
Разработала:
Якушева Татьяна Николаевна
учитель математикb I категории
2016 г.
Тема урока: Перпендикулярные прямые.
Цель: добиться усвоения учениками определения перпендикулярных прямых, понимания доказательства теоремы о двух прямых перпендикулярных к третьей.
Сформировать умения:
· воспроизводить названные выше определения и теоремы, доказательства теоремы;
· находить на готовом рисунке и строить, используя чертежные принадлежности, перпендикулярные прямые и параллельные прямые;
· решать задачи, предусматривающие применение определение и свойство перпендикулярных прямых отдельно и в комплексе со свойствами смежных и вертикальных углов.
Тип урока: усвоение знаний, умений и навыков.
Наглядность и оборудование: набор демонстрационных чертежных принадлежностей.
ХОД УРОКА
И. Организационный момент
II. Проверка домашнего задания
Проверку домашнего задания можно осуществить само — или взаимопроверкой тетрадей учащихся по образцам.
Математический диктант
Вариант 1 [2]
1. Прямые AM и CE пересекаются в точке O, лежащей между точками A и M и между точками C и E. Или образовались при этом вертикальные углы? Если да, то назовите их. [Ученик построил два вертикальные углы. Сколько пар прямых при этом образовалось?]
2. Какова градусная мера угла, если вертикальный с ним угол равен 34°? [У двух углов общая вершина, каждый из них имеет градусные мере 60°. Обязательно ли эти углы вертикальные? Изобразите это на рисунке.]
3. Один из 4-х углов, образовавшийся при пересечении двух прямых, равен 140° [40°]. Какую градусную меру имеет каждый из оставшихся углов?
4. Два угла с общей вершиной равны [не равны]. Обязательно ли они вертикальные? [эти вертикальные углы?]
5. У двух углов общая вершина. Один угол 40°, второй 140°. Или эти вертикальные углы? [Которую градусную меру имеет угол, что является вертикальным с прямым углом?]
После выполнения заданий математического диктанта, обязательная проверка и обсуждение.
Ответы
Вариант 1
1. Так: и ; и .
2. 34°.
3. 40°; 140°; 40°.
4. Не обязательно:
5. Нет, потому что не равны.
Вариант 2
1. Одна пара.
2. Нет.
3. 140°; 40°; 140°.
4. Нет, потому что не равны.
5. 90°.
III. Мотивация учебной деятельности. Формулировка цели и задач урока
Мотивация осуществляется, как во время проверки домашнего задания, так и во время проверки выполнение математического диктанта (вариант 2, № 5).
После обсуждения возможности «особого» способа пересечения прямых учитель формулирует дидактическую цель урока и задачи на урок.
IV. Актуализация опорных знаний
Выполнение устных упражнений
1. Что можно сказать каждый из вертикальных углов, если их сумма:
а) больше 180°; б) меньше 180°; в) равна 180°?
2. Есть ли на рисунке прямые углы? Сколько их на каждом изображении? Ответ проверьте с помощью транспортира и угольника.
3. Сформулируйте утверждение, противоположное данному: а) две прямые имеют общую точку; б) две прямые параллельны; в) через две точки можно провести прямую и только одну.
V. Усвоение новых знаний
План изучения нового материала
1°. Определение перпендикулярных прямых; перпендикулярные отрезки и лучи.
2°. Теорема о двух прямые, перпендикулярные к третьей.
3°. Применение теорема две прямые, параллельные третьей для построения параллельных прямых с помощью угольника и линейки.
Методический комментарий.
В учебнике тема «Перпендикулярные прямые» логически вытекает из темы «Смежные и вертикальные углы». Однако авторы считают не целесообразным рассматривание на этом этапе теоремы о существование и единственность прямой, перпендикулярной к данной, проходящей через данную точку данной прямого. Вместо неё, вполне оправдано изучается теорема двух прямых, перпендикулярных третьей. Поэтому доказательство теоремы о двух прямых, перпендикулярных третьей, в учебнике есть несколько в нестандартном виде (используется, кроме метода доказательства от противного, симметрия относительно прямой в неявном виде).
Поэтому, чтобы облегчить ученикам восприятие доказательства, можно организовать совместную работу учителя и учащихся «конструирования» соображений, приведенных в доказательстве теоремы, например, раздать ученикам прозрачные пленки, на которых они будут выполнять рисунок к теореме и его «перегиб».
VI. Проверка усвоения знаний
Выполнение графических упражнений
Начертите перпендикулярные прямые a и b, которые пересекаются в точке O.
а) Отметьте на прямой a точку B. С помощью угольника проведите через эту точку прямую c, перпендикулярную к прямой a.
б) параллельные прямые b и c? Почему?
Выполнение письменных упражнений
1. Прямые a и b перпендикулярны. Прямая c проходит через точку их пересечения и образует с прямой a угол 70°. Найдите угол между прямыми c и b.
2. Даны прямые a, b, c и d, причем , a||d. Докажите, что прямые b и d параллельны.
3. (Дополнительная). Через точку пересечения двух перпендикулярных прямых проведена третья прямая. Найдите самый маленький из тупых углов, образовавшихся в результате пересечения этих трех прямых, если наибольший из образованных тупых углов равен 165°.
VII. Усвоение умений и навыков
Одновременно с работой по усвоению новых знаний необходимо отрабатывать знания, умения и навыки, которые обучающиеся приобрели на предыдущих уроках.
Выполнение письменных упражнений
В результате пересечения двух прямых образовались 4 угла, каждый из которых меньше развернутого. Найдите градусную меру каждого угла, если:
а) сумма двух углов равна 78°;
б) разность двух углов равна 42°;
в) один из углов в 5 раз меньше другого;
г) один из углов в 2 раза меньше суммы двух других;
д) сумма трех углов равна 300°;
е) сумма трех углов больше четвертого на 100°.
VIII. Подведение итогов урока
1. Углы 1 и 2 образовавшиеся в результате пересечения двух не перпендикулярных прямых. Определите, каковы данные углы являются ли они смежными или вертикальными, если:
а) их сумма больше 180°;
б) только один из них острый;
в) их сумма меньше, чем сумма других двух полученных углов.
2. α и β-градусные меры двух смежных углов. Могут α и β быть градусными мерами двух вертикальных углов? В каком случае?
3. В результате пересечения двух прямых образовались четыре угла, ни один из которых не является острым. Под каким углом пересекаются данные прямые?
IX. Домашнее задание
Изучить теорию.
Повторить ранее изученную теорию с контрольными вопросами.
Контрольные вопросы
1. Назовите основные геометрические фигуры на плоскости. Как они обозначаются?
2. Сформулируйте аксиому прямой.
3. Какая фигура называется лучом (прямой)? Как обозначаются лучи?
4. Какие лучи называются дополнительными?
5. Дайте определение отрезка. Как обозначается отрезок?
6. Какие отрезки называются равными? Как сравнить два отрезка?
7. Сформулируйте аксиомы измерения и откладывания отрезков. Как сравнить два отрезка с заданными длинами?
8. Дайте определение середины отрезка.
9. Дайте определение угла. Как обозначаются углы?
10. Угол называется развернутым?
11. Какие углы называются равными? Как сравнить два угла?
12. Сформулируйте аксиомы измерения и откладывания углов. Как сравнить два угла с заданными градусными мерами?
13. Назовите единицу измерения углов. Какие углы называются острыми, прямыми, тупыми?
14. Дайте определение биссектрисы угла.
15. Дайте определение параллельных прямых. Назовите два случая взаимного расположения прямых на плоскости. Какие отрезки (лучи) называются параллельными?
16. Сформулируйте аксиому параллельных прямых. В чем заключается отличие от аксиом теорем? Наведите примеры аксиом из курса геометрии.
17. Сформулируйте и докажите теорему о двух прямых, параллельных третьей.
18. В чем заключается метод доказательства от противного? Опишите этапы рассуждений в ходе доведения от противного.
19. Дайте определение смежных углов.
20. Сформулируйте и докажите теорему о смежных углах.
21. Сформулируйте последствия теоремы о смежных углах.
22. Дайте определение вертикальных углов.
23. Сформулируйте и докажите теорему о вертикальных углах.
24. Дайте определение перпендикулярных прямых.
25. Сформулируйте и докажите теорему о двух прямых, перпендикулярных к третьей.
Выполните домашнюю самостоятельную работу.
Вариант 1
Начальный уровень
1. Угол, смежный с углом A, больше угла, смежного с углом B. Сравните углы A и B.
Средний уровень
2. Могут ли градусные меры углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, относятся как 2 : 3 : 2 : 4?
Достаточный уровень
3. Углы 1 и 2 являются смежными, а углы 1 и 3 вертикальные. Сравните углы 2 и 3, если угол 1 острый.
Высокий уровень
4. Через точку пересечения двух перпендикулярных прямых проведено третью прямую. Сколько пар косвенных вертикальных углов при этом образовалось?
multiurok.ru