Урок 23. целые выражения — Алгебра — 7 класс

Конспект урока

Алгебра

7 класс

Урок № 23

Целые выражения

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Алгебраические выражения; многочлен.
• Произведение, сумма, разность многочленов.
• Стандартный вид многочлена.
• Целые выражения.

Тезаурус:

Алгебраическое выражение, в котором несколько многочленов соединены знаками сложения, вычитания и умножения, называется целым выражением.

Сумма многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены этих многочленов.

Разность двух многочленов – это сумма уменьшаемого и многочлена, противоположного вычитаемому.

Произведение одночлена и многочлена равно многочлену, членами которого являются произведения этого одночлена и каждого члена многочлена.

Правило приведения многочлена к стандартному виду:

1)каждый член многочлена привести к стандартному виду;

2)привести подобные члены.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Перед нами несколько выражений, можно ли из них составить общее выражение, соединяя их знаками сложения, вычитания и умножения?

(17 + с)

(16а – 15х)

(3 + 4ас)

(х + у)

Безусловно. Данные действия мы научились выполнять на предыдущих занятиях.

Одно из выражений, которое может быть получено: (17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у)

Мы узнаем, как называется полученное выражение, и научимся упрощать подобные выражения.

Начнём с определения.

Алгебраическое выражение, в котором несколько многочленов соединены знаками сложения, вычитания и умножения, называется целым выражением.

Например, полученное при выполнении задания выражение является целым, т.к. многочлены соединены знаками сложения, вычитания и умножения:

(17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у) – целое выражение.

Выражение, которое содержит многочлены, соединённые знаком деления, не будет являться целым.

Например, выражение (7 + 14а) + (23 – с) : (х + у) – не является целым.

8х + 12 – целое выражение.

Целые выражения можно упрощать, используя правила сложения, вычитания и умножения многочленов.

Вспомним их.

Во-первых, произведение многочленов равно многочлену, членами которого являются произведения каждого члена одного многочлена и каждого члена другого многочлена Т.е. чтобы найти произведение многочленов, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена, а полученные одночлены сложить.

Например, так выполняется умножение многочленов.

(а + с)(х + у) = ах + ау + сх +су

Во-вторых, сумма многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены данных многочленов.

Например, так находится сумма многочленов:

(а + с) + (к + х) = а + с + к + х

И, наконец, разность двух многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены уменьшаемого и, взятые с противоположными знаками, все члены вычитаемого.

Например, так находится разность двух многочленов.

(а + с) – (к + х) = а + с – к – х

Выражение, полученное в результате выполнения этих действий, нужно приводить к стандартному виду.

Любое целое выражение можно преобразовать в многочлен стандартного вида.

Рассмотрим, как упрощать целое выражение.

Упростите выражение: (17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у).

Сначала выполним умножение двух первых многочленов, затем раскроем скобки у оставшихся многочленов. Т.к. перед третьей скобкой стоит знак минус, то знаки членов данного многочлена поменяются на противоположные.

(17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у) = 17 · 16а + 17·(-15)х + 16ас +(-15)сх – 3 – 4ас + х+ у =

Далее приведём полученный многочлен к стандартному виду

= 272а – 255х + 16ас – 15сх – 3 – 4ас + х + у = 272а – 254х + 12ас –15сх + у –3

Итак, сегодня мы получили представление о том, что такое целое выражение, научились его упрощать.

Рассмотрим дополнительно, как доказать, что целое выражение является нулевым многочленом.

Докажите, что целое выражение является нулевым многочленом.

(2х + у)(2х – у) – ( к + 2х)(к – 2х) + (к² + у² – 8х²)

Доказательство.

Для доказательства этого утверждения упростим выражение.

Для этого раскроем скобки и приведем к стандартному виду полученное выражение.

(2х + у)(2х – у) – ( к + 2х)(к – 2х) + (к² + у² – 8х²) = 2х2х + 2х(-у) + 2ху – уу – (кк + к( -2х) + 2кх + 2х(-2х)) + к² + у² – 8х² = 4х² – у² – (к² – 4х²) + к² + у² – 8х² = 4х² – у² – к² + 4х² + к² + у²– 8х^{2= (4 + 4 – 8)х2 + (1 – 1)у2 + (1 – 1)к2 = 0х2 + 0у2 + 0к2 = 0}

Полученный многочлен является нулевым, что и требовалось доказать.

Разбор заданий тренировочного модуля.

1. Задача.

Составьте целое выражение по тексту задачи.

Найдите площадь прямоугольника со сторонами (а + с) и (к + х).

Для решения задачи, нужно вспомнить, что площадь прямоугольника находят как произведение двух его смежных сторон. Исходя из условия задачи, площадь находим как (а + с)(к + х). Это и есть искомый ответ.

Ответ: (а + с)(к + х).

2. Упростите целое выражение и найдите его степень: 3 · (х + 3)(х – 6) – 5х²

Решение.

Вначале упростим целое выражение, используя свойства умножения многочлена на многочлен и одночлена на многочлен. Далее приведём полученный многочлен к стандартному виду, а затем найдём степень полученного многочлена.

3 · (х + 3)(х –6) – 5х² = 3(хх + х·(-6) + 3х + 3·(-6)) – 5х² = 3·(х² –6х + 3х –18) – 5х² = 3х² + 3·(-6)х + 3 · 3х + 3 · (-18) – 5х² = 3х² – 18х + 9х – 54 – 5х² = -2х² – 9х – 54

Ответ: 2.

выражение со степенями

Вы искали выражение со степенями? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и выражения со степенями, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «выражение со степенями».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как выражение со степенями,выражения со степенями,выражения со степенями примеры решения,вычисление со степенями,как найти значение выражения со степенями,как решать выражения со степенями,как решать с степенями примеры,как решать со степенью примеры,как решать со степенями,как решать со степенями примеры,как решать степенные выражения,как решать степень,как решить выражение со степенями,как решить пример со степенями,как упростить выражение со степенями,найдите значение выражения со степенями,найти значение выражения с дробями и степенями,найти значение выражения со степенями,найти значения выражения со степенями,пример решить со степенями,примеров со степенью решение,примеры с степенями как решать,примеры со степенями 7 класс с решениями,примеры со степенями 9 класс с решениями,примеры со степенями как решать,решение выражений со степенями,решение дробей с степенями,решение дробей со степенями,решение примеров с дробными степенями,решение примеров с степенями,решение примеров со степенью,решение примеров со степенями,решение примеров со степенями 7 класс,решение с степенями примеров,решение со степенями,решение степеней,решить пример со степенями,сложение дробей со степенями,сократить выражение со степенями,степенные выражения как решать,степень как решать,упростите выражение 7 класс алгебра примеры со степенями,упростите выражение 7 класс алгебра со степенями примеры,упростите выражение с дробями и степенями,упростите выражение со степенями,упростить выражение со степенями,упрощение выражений со степенями,упрощение дробей со степенями. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и выражение со степенями. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, выражения со степенями примеры решения).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же выражение со степенями Онлайн?

Решить задачу выражение со степенями вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

7 класс. Алгебра. Формулы сокращенного умножения. — Формулы сокращенного умножения.

Комментарии преподавателя

На данном уроке мы познакомимся с формулами квадрата суммы и квадрата разности и выведем их. Формулу квадрата суммы докажем геометрически. Кроме того, решим много различных примеров с применением этих формул.

 

Рас­смот­рим фор­му­лу квад­ра­та суммы:

.

Итак, мы вы­ве­ли фор­му­лу квад­ра­та суммы:

.

Сло­вес­но эта фор­му­ла вы­ра­жа­ет­ся так: квад­рат суммы равен квад­ра­ту пер­во­го числа плюс удво­ен­ное про­из­ве­де­ние пер­во­го числа на вто­рое плюс квад­рат вто­ро­го числа.

Дан­ную фор­му­лу легко пред­ста­вить гео­мет­ри­че­ски.

Рас­смот­рим квад­рат со сто­ро­ной :

 – пло­щадь квад­ра­та.

С дру­гой сто­ро­ны, этот же квад­рат можно пред­ста­вить иначе, раз­бив сто­ро­ну на а и b (рис. 1).

Рис. 1. Квад­рат

Тогда пло­щадь квад­ра­та можно пред­ста­вить в виде суммы пло­ща­дей:

.

По­сколь­ку квад­ра­ты были оди­на­ко­вы, то их пло­ща­ди равны, зна­чит:

 .

Итак, мы до­ка­за­ли гео­мет­ри­че­ски фор­му­лу квад­ра­та суммы.

Рас­смот­рим при­ме­ры:

При­мер 1:

.

Ком­мен­та­рий: при­мер решен с при­ме­не­ни­ем фор­му­лы квад­ра­та суммы.

При­мер 2:

.

При­мер 3:

+1.

Вы­ве­дем фор­му­лу квад­ра­та раз­но­сти:

.

Итак, мы вы­ве­ли фор­му­лу квад­ра­та раз­но­сти:

.

Сло­вес­но эта фор­му­ла вы­ра­жа­ет­ся так: квад­рат раз­но­сти равен квад­ра­ту пер­во­го числа минус удво­ен­ное про­из­ве­де­ние пер­во­го числа на вто­рое плюс квад­рат вто­ро­го числа.

Рас­смот­рим при­ме­ры:

При­мер 4:

.

При­мер 5:

.

При­мер 6:

.

Фор­му­лы квад­ра­та суммы и квад­ра­та раз­но­сти могут ра­бо­тать как слева на­пра­во, так и спра­ва на­ле­во. При ис­поль­зо­ва­нии слева на­пра­во это будут фор­му­лы со­кра­щен­но­го умно­же­ния, они при­ме­ня­ют­ся при вы­чис­ле­нии и пре­об­ра­зо­ва­нии при­ме­ров. А при ис­поль­зо­ва­нии спра­ва на­ле­во – фор­му­лы раз­ло­же­ния на мно­жи­те­ли.

Рас­смот­рим при­ме­ры, в ко­то­рых нужно раз­ло­жить за­дан­ный мно­го­член на мно­жи­те­ли, при­ме­няя фор­му­лы квад­ра­та суммы и квад­ра­та раз­но­сти. Для этого нужно очень вни­ма­тель­но по­смот­реть на мно­го­член и опре­де­лить, как имен­но его пра­виль­но раз­ло­жить.

При­мер 7:

.

Ком­мен­та­рий: для того, чтобы раз­ло­жить мно­го­член на мно­жи­те­ли, нужно опре­де­лить, что пред­став­ле­но в дан­ном вы­ра­же­нии. Итак, мы видим квад­рат  и квад­рат еди­ни­цы. Те­перь нужно найти удво­ен­ное про­из­ве­де­ние – это . Итак, все необ­хо­ди­мые эле­мен­ты есть, нужно толь­ко опре­де­лить, это квад­рат суммы или раз­но­сти. Перед удво­ен­ным про­из­ве­де­ни­ем стоит знак плюс, зна­чит, перед нами квад­рат суммы.

При­мер 8:

.

При­мер 9:

.

Ком­мен­та­рий: для ре­ше­ния дан­но­го при­ме­ра нужно вы­не­сти минус за скоб­ки, чтобы можно было уви­деть нуж­ную нам фор­му­лу.

Пе­рей­дем к ре­ше­нию урав­не­ний:

При­мер 10:

;

;

;

;

;

.

Ком­мен­та­рий: для ре­ше­ния дан­но­го урав­не­ния нужно упро­стить левую часть, при­ме­няя фор­му­лу раз­но­сти квад­ра­тов и квад­ра­та раз­но­сти, после этого при­ве­сти по­доб­ные члены. После этого пе­ре­не­сти все неиз­вест­ные в левую часть, а сво­бод­ный член в пра­вую и ре­шить эле­мен­тар­ное ли­ней­ное урав­не­ние.

При­мер 11:

Вы­чис­лить: .

Ком­мен­та­рий: для ре­ше­ния дан­но­го при­ме­ра нужно при­ме­нить фор­му­лы раз­но­сти квад­ра­тов и квад­ра­та суммы, после этого со­кра­тить по­лу­чен­ную дробь.

При­мер 12:

До­ка­зать ра­вен­ство:

.

Раз­ло­жим на мно­жи­те­ли :

.

Из каж­до­го мно­жи­те­ля вы­не­сем минус еди­ни­цу за скоб­ки:

.

Мы до­ка­за­ли ра­вен­ство (a — b)2 = (b — a)2.

Дан­ное ра­вен­ство яв­ля­ет­ся очень по­лез­ным при упро­ще­нии вы­ра­же­ний. Рас­смот­рим при­мер.

При­мер 13:

Раз­ло­жить на мно­жи­те­ли: .

При­мер 14:

До­ка­жи­те, что квад­рат вся­ко­го нечет­но­го числа, умень­шен­ный на еди­ни­цу, де­лит­ся на во­семь.

Пред­ста­вим про­из­воль­ное нечет­ное число как , а его квад­рат, со­от­вет­ствен­но, как . За­пи­шем вы­ра­же­ние со­глас­но усло­вию:

.

Упро­стим по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние:

.

Чтобы до­ка­зать, что по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние крат­но вось­ми, нам нужно до­ка­зать, что оно де­лит­ся на 2 и на 4. Оче­вид­но, что вы­ра­же­ние крат­но че­ты­рем, так как в нем есть мно­жи­тель 4. По­это­му нам нужно до­ка­зать, что  де­лит­ся на 2.

За­пись  – это про­из­ве­де­ние двух по­сле­до­ва­тель­ных чисел, а оно все­гда крат­но двум, так как из двух по­сле­до­ва­тель­ных чисел одно все­гда будет чет­ным, а вто­рое, со­от­вет­ствен­но, нечет­ным, а про­из­ве­де­ние чет­но­го числа на нечет­ное крат­но двум, зна­чит, вы­ра­же­ние  крат­но вось­ми. Итак, мы до­ка­за­ли, что квад­рат вся­ко­го нечет­но­го числа, умень­шен­ный на еди­ни­цу, де­лит­ся на во­семь.

Вывод: на дан­ном уроке мы вы­ве­ли фор­му­лы квад­ра­та суммы и квад­ра­та раз­но­сти и на­учи­лись ре­шать самые раз­но­об­раз­ные за­да­чи на при­ме­не­ние этих фор­мул.

На данном уроке мы вспомним выученные ранее формулы сокращенного умножения, а именно квадрата суммы и квадрата разности. Выведем формулу разности квадратов и решим много различных типовых задач на применение этой формулы. Кроме того, решим задачи на комплексное применение нескольких формул.

 

На­пом­ним, что на преды­ду­щем уроке мы рас­смот­ре­ли фор­му­лы квад­ра­та суммы и квад­ра­та раз­но­сти. За­пи­шем их:

.

Вы­ве­дем фор­му­лу раз­но­сти квад­ра­тов. Вы­пол­ним умно­же­ние дву­чле­нов по пра­ви­лу:

.

Итак, .

Сло­вес­но дан­ная фор­му­ла вы­гля­дит так: раз­ность квад­ра­тов двух вы­ра­же­ний равна про­из­ве­де­нию суммы этих вы­ра­же­ний на их раз­ность.

 мы на­зы­ва­ем раз­но­стью квад­ра­тов.

 мы на­зы­ва­ем квад­ра­том раз­но­сти, не сле­ду­ет пу­тать два этих вы­ра­же­ния.

Рас­смот­рим при­ме­не­ние фор­мул в ти­по­вых за­да­чах. Нач­нем с задач на пря­мое при­ме­не­ние фор­му­лы.

При­мер 1: .

При­мем  за ,  за , по­лу­чим:

.

Рас­пи­шем со­глас­но фор­му­ле:

.

Пе­рей­дем к ис­ход­ным пе­ре­мен­ным:

.

Стан­дарт­ная ошиб­ка:

по­ме­ня­ем в скоб­ке со зна­ком плюс сла­га­е­мые ме­ста­ми, по­лу­чим:

.

Часто при такой за­пи­си пу­та­ют, какой квад­рат сле­ду­ет вы­честь из ка­ко­го:

.

При­мер 2:

.

Ком­мен­та­рий: если воз­ни­ка­ют за­труд­не­ния, можно, ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му при­ме­ру, за­ме­нить одно из вы­ра­же­ний на а, а вто­рое на b, чтобы легче было уви­деть нуж­ную фор­му­лу.

При­мер 3:

.

Ком­мен­та­рий: в дан­ном при­ме­ре сле­ду­ет быть вни­ма­тель­ны­ми и не до­пу­стить ти­по­вую ошиб­ку, опи­сан­ную выше. Для этого удоб­но в пер­вой скоб­ке по­ме­нять сла­га­е­мые ме­ста­ми.

Пе­рей­дем к за­да­чам на об­рат­ное при­ме­не­ние фор­му­лы – раз­ло­же­ние на мно­жи­те­ли.

При­мер 4:

.

Ком­мен­та­рий: при­мер решен из опре­де­ле­ния раз­но­сти квад­ра­тов. Нужно толь­ко опре­де­лить, квад­ра­том ка­ко­го вы­ра­же­ния яв­ля­ет­ся пер­вый од­но­член и вто­рой.

При­мер 5:

.

При­мер 6:

Ком­мен­та­рий: в дан­ном при­ме­ре нужно несколь­ко раз при­ме­нить изу­ча­е­мую фор­му­лу. Может быть за­да­но из по­лу­чен­ной в конце длин­ной фор­му­лы по­лу­чить стан­дарт­ный вид мно­го­чле­на, тогда нужно по­сте­пен­но пе­ре­мно­жать скоб­ки между собой и сво­ра­чи­вать вы­ра­же­ние до про­стей­ше­го.

Сле­ду­ю­щий тип задач – ком­би­ни­ро­ван­ное при­ме­не­ние несколь­ких фор­мул.

При­мер 7 – упро­стить:

.

Ком­мен­та­рий: в дан­ном при­ме­ре нужно при­ме­нить две фор­му­лы: раз­но­сти квад­ра­тов и квад­ра­та раз­но­сти, в по­лу­чен­ном вы­ра­же­нии при­ве­сти по­доб­ные члены.

При­мер 8:

.

Пе­рей­дем к ре­ше­нию урав­не­ний.

При­мер 9:

.

Рас­смот­рим вы­чис­ли­тель­ные за­да­чи.

При­мер 10:

.

При­мер 11:

.

Вывод: на дан­ном уроке мы вы­ве­ли фор­му­лу раз­но­сти квад­ра­тов и ре­ши­ли много раз­лич­ных при­ме­ров, а имен­но урав­не­ния, вы­чис­ли­тель­ные за­да­чи, за­да­ния на пря­мое и об­рат­ное ис­поль­зо­ва­ние вы­ве­ден­ной фор­му­лы и дру­гие. Кроме того, ре­ши­ли несколь­ко задач на ком­плекс­ное при­ме­не­ние несколь­ких фор­мул.

На данном уроке мы продолжим изучать формулы сокращенного умножения, а именно рассмотрим формулы разности и суммы кубов. Кроме того, мы решим различные типовые задачи на применение данных формул.

 

При изу­че­нии фор­мул со­кра­щен­но­го умно­же­ния мы уже изу­чи­ли:

 – квад­рат суммы и раз­но­сти;

 – раз­ность квад­ра­тов.

Вы­ве­дем фор­му­лу раз­но­сти кубов.

.

Наша за­да­ча – до­ка­зать, что при рас­кры­тии ско­бок в пра­вой части и при­ве­де­нии по­доб­ных сла­га­е­мых мы при­дем в ре­зуль­та­те к левой части.

Вы­пол­ня­ем умно­же­ние мно­го­чле­нов:

.

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Вы­ра­же­ние  на­зы­ва­ет­ся непол­ным квад­ра­том суммы, так как от­сут­ству­ет двой­ка перед про­из­ве­де­ни­ем вы­ра­же­ний.

Опре­де­ле­ние

Раз­ность кубов двух вы­ра­же­ний есть про­из­ве­де­ние раз­но­сти этих вы­ра­же­ний на непол­ный квад­рат их суммы.

Вы­ве­дем фор­му­лу суммы кубов.

.

Вы­пол­ня­ем умно­же­ние мно­го­чле­нов:

.

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Вы­ра­же­ние  на­зы­ва­ет­ся непол­ным квад­ра­том раз­но­сти, так как от­сут­ству­ет двой­ка перед про­из­ве­де­ни­ем вы­ра­же­ний.

Опре­де­ле­ние

Сумма кубов двух вы­ра­же­ний есть про­из­ве­де­ние суммы этих вы­ра­же­ний на непол­ный квад­рат их раз­но­сти.

При­мер 1 – упро­стить вы­ра­же­ние:

.

Пусть  и , имеем:

.

Это изу­ча­е­мая фор­му­ла – раз­но­сти кубов:

.

При­мер 2 – упро­стить вы­ра­же­ние:

.

Пусть  и , имеем:

.

Это изу­ча­е­мая фор­му­ла – суммы кубов:

.

При­мер 3 – раз­ло­жить на мно­жи­те­ли:

.

Неслож­но за­ме­тить фор­му­лу раз­но­сти кубов:

.

При­ме­ня­ем изу­ча­е­мую фор­му­лу:

.

При­мер 4 – раз­ло­жить на мно­жи­те­ли:

.

Неслож­но за­ме­тить фор­му­лу раз­но­сти кубов:

.

При­ме­ня­ем изу­ча­е­мую фор­му­лу:

.

 

При­мер 5 – ре­шить урав­не­ние:

.

Пусть  и , имеем:

.

Это изу­ча­е­мая фор­му­ла – раз­но­сти кубов:

.

При­мер 6 – ре­шить урав­не­ние:

.

Пусть  и , имеем:

.

Это изу­ча­е­мая фор­му­ла – раз­но­сти кубов:

z3 = -13

z = -1

При­мер 7 – вы­чис­лить при :

.

Пусть  и , имеем:

.

Это изу­ча­е­мая фор­му­ла – раз­но­сти кубов:

.

Под­ста­вим зна­че­ние пе­ре­мен­ной:

.

При­мер 8: до­ка­жи­те, что .

До­ка­за­тель­ство.

При­ме­ним фор­му­лу раз­но­сти кубов и раз­ло­жим за­дан­ное вы­ра­же­ние на мно­жи­те­ли:

.

Вто­рую скоб­ку оста­вим без из­ме­не­ний, вы­пол­ним вы­чис­ле­ния в пер­вой скоб­ке:

.

По­лу­чи­ли про­из­ве­де­ние чисел, со­дер­жа­щее мно­жи­тель 25, оче­вид­но, что дан­ное вы­ра­же­ние крат­но 25.

Вывод: на дан­ном уроке мы рас­смот­ре­ли фор­му­лы раз­но­сти и суммы кубов и их при­ме­не­ние для раз­лич­ных типов задач.

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/mnogochleny-arifmeticheskie-operacii-nad-nimi/formuly-sokraschyonnogo-umnozheniya-kvadrat-summy-i-kvadrat-raznosti?konspekt&chapter_id=7

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/mnogochleny-arifmeticheskie-operacii-nad-nimi/formuly-sokraschyonnogo-umnozheniya-raznost-kvadratov?konspekt&chapter_id=7

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/mnogochleny-arifmeticheskie-operacii-nad-nimi/formuly-sokraschyonnogo-umnozheniya-raznost-kubov-i-summa-kubov?konspekt&chapter_id=7

Источник видео: https://www.youtube.com/watch?v=mSYTBWaQIfA

Источник теста: Алгебра. 7-9 классы. Тесты для учащихся общеобразовательных учреждений. А.Г.Мордкович, Е.Е.Тульчинская.

правила и примеры (7 класс)

Основная функция скобок – менять порядок действий при вычислениях значений числовых выражений. Например, в числовом выражении \(5·3+7\) сначала будет вычисляться умножение, а потом сложение: \(5·3+7 =15+7=22\). А вот в выражении \(5·(3+7)\) сначала будет вычислено сложение в скобке, и лишь потом умножение: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Однако если мы имеем дело с алгебраическим выражением, содержащим переменную — например таким: \(2(x-3)\) – то вычислить значение в скобке не получается, мешает переменная. Поэтому в таком случае скобки «раскрывают», используя для этого соответствующие правила.

Правила раскрытия скобок

Если перед скобкой стоит знак плюс, то скобка просто снимается, выражение в ней при этом остается неизменным. Иначе говоря: 

\((a-b)=a-b\)

Здесь нужно пояснить, что в математике для сокращения записей принято не писать знак плюс, если он стоит в выражении первым. Например, если мы складываем два положительных числа, к примеру, семь и три, то пишем не \(+7+3\), а просто \(7+3\), несмотря на то, что семерка тоже положительное число. Аналогично если вы видите, например, выражение \((5+x)\) – знайте, что перед скобкой стоит плюс, который не пишут.

Пример. Раскройте скобку \((1+y-7x)\).
Решение: \((1+y-7x)=1+y-7x\).

Пример. Упростите выражение: \(3+(5-2x)\).
Решение: Раскрываем скобку согласно правилу, а затем приводим подобные слагаемые:

Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые: \((x-11)+(2+3x)\).
Решение: \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Если перед скобкой стоит знак минус, то при снятии скобки каждый член выражения внутри нее меняет знак на противоположный:

\(-(a-b)=-a+b\)

Здесь нужно пояснить, что у \(a\), пока оно стояло в скобке, был знак плюс (просто его не писали), и после снятия скобки этот плюс поменялся на минус.

Пример: Упростите выражение \(2x-(-7+x)\).
Решение: внутри скобки два слагаемых: \(-7\) и \(x\), а перед скобкой минус. Значит, знаки поменяются – и семерка теперь будет с плюсом, а икс – с минусом. Раскрываем скобку и приводим подобные слагаемые.

Пример. Раскройте скобку: \(-(4m+3)\).
Решение: \(-(4m+3)=-4m-3\).

Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Решение: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Если перед скобкой стоит множитель, то каждый член скобки умножается на него, то есть: 

\(c(a-b)=ca-cb\)

Пример. Раскройте скобки \(5(3-x)\).
Решение: В скобке у нас стоят \(3\) и \(-x\), а перед скобкой — пятерка. Значит, каждый член скобки умножается на \(5\) — напоминаю, что знак умножения между числом и скобкой в математике не пишут для сокращения размеров записей.

Пример. Раскройте скобки \(-2(-3x+5)\).
Решение: Как и в предыдущем примере, стоящие в скобке \(-3x\) и \(5\) умножаются на \(-2\).

Пример. Упростить выражение: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Решение: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Осталось рассмотреть последнюю ситуацию.

При умножении скобки на скобку, каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Пример. Раскройте скобки \((2-x)(3x-1)\).
Решение: У нас произведение скобок и его можно раскрыть сразу по формуле выше. Но чтобы не путаться, давайте сделаем всё по шагам.
Шаг 1. Убираем первую скобку — каждый ее член умножаем на скобку вторую:

Шаг 2. Раскрываем произведения скобки на множитель как описано выше:
— сначала первое…

— потом второе.

Шаг 3. Теперь перемножаем и приводим подобные слагаемые:

Так подробно расписывать все преобразования совсем необязательно, можно сразу перемножать. Но если вы только учитесь раскрывать скобок – пишите подробно, меньше будет шанс ошибиться.

Примечание ко всему разделу. На самом деле, вам нет необходимости запоминать все четыре правила, достаточно помнить только одно, вот это: \(c(a-b)=ca-cb\). Почему? Потому что если в него вместо c подставить единицу, получиться правило \((a-b)=a-b\). А если подставить минус единицу, получим правило \(-(a-b)=-a+b\). Ну, а если вместо c подставить другую скобку – можно получить последнее правило.

Скобка в скобке

Иногда в практике встречаются задачи со скобками, вложенными внутрь других скобок. Вот пример такого задания: упростить выражение \(7x+2(5-(3x+y))\).

Чтобы успешно решать подобные задания, нужно:
— внимательно разобраться во вложенности скобок – какая в какой находиться;
— раскрывать скобки последовательно, начиная, например, с самой внутренней.

При этом важно при раскрытии одной из скобок не трогать все остальное выражение, просто переписывая его как есть. 
Давайте для примера разберем написанное выше задание.

Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(7x+2(5-(3x+y))\).
Решение:

\(7x+2(5\)\(-(3x+y)\)\()=\)		Выполнять задание начнем с раскрытия внутренней скобки (той, что внутри). Раскрывая ее, имеем дело только с тем, что к ней непосредственно относиться – это сама скобка и минус перед ней (выделено зеленым). Всё остальное (не выделенное) переписываем также как было.
\(=7x+2(5\)\(-3x-y\)\()=\)		Теперь раскрываем вторую скобку, внешнюю.
\(=7x+2·5-2·3x-2·y=\)		Упрощаем получившееся выражение…
\(=7x+10-6x-2y=\)		…и приводим подобные.
\(=x+10-2y\)		Готово.

Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Решение:

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\)\())\)		Здесь тройная вложенность скобок. Начинаем с самой внутренней (выделено зеленым). Перед скобкой плюс, так что она просто снимается.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\)\())\)		Теперь нужно раскрыть вторую скобку, промежуточную. Но мы перед этим упростим выражение привидением подобный слагаемых в этой второй скобке.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\)\()=\)		Вот сейчас раскрываем вторую скобку (выделено голубым). Перед скобкой множитель – так что каждый член в скобке умножается на него.
\(=-(x\)\(+9x-18\)\()=\)		Вновь приводим подобные.
\(=-(10x-18)=\)		И раскрываем последнюю скобку. Перед скобкой минус – поэтому все знаки меняются на противоположные.
\(=-10x+18\)		Готово.

Раскрытие скобок — это базовое умение в математике. Без этого умения невозможно иметь оценку выше тройки в 8 и 9 классе. Поэтому рекомендую хорошо разобраться в этой теме.

Смотрите также:
Вынесение общего множителя за скобки

Скачать статью

7 класс. Алгебра

7 класс. Алгебра.Тождество — что это такое в математике

26 ноября 20201.2k.

Очень часто в математике встречаются такие слова «тождество», «тождественно равные», «тождественное преобразование»

7 класс. Алгебра.7.2.3. Действия с одночленами и многочленами

24 марта 2013578

I. Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить на этот одночлен каждый член многочлена и полученные произведения сложить. Пример 1.

7 класс. Алгебра.

21 марта 2013530

I.  Сумма одночленов называется многочленом. Одночлены, из которых составлен многочлен, называются членами многочлена. Например, многочлен 2a+3a2b-6b4+3,5a3b

7 класс. Алгебра.

19 марта 2013503

 I. Выражения, которые составлены из чисел, переменных и их степеней, при помощи действия умножения называются одночленами. Примеры одночленов:  а) a;

7 класс. Алгебра.7.1.2. Стандартный вид числа

11 марта 20132.2k.

Очень большие и очень малые числа принято записывать в стандартном виде: a∙10n, где 1≤а<10 и n  (натуральное или целое) – есть порядок числа, записанного

7 класс. Алгебра.7.1.1. Степень с целым показателем

1 декабря 20121.2k.

 I. Определение.  (- n)-й степенью (n – натуральное) числа а, не равного нулю, считается число, обратное n-й степени числа а: Примеры. Вычислить: Решение.

7 класс. Алгебра.7.1. Степень с натуральным показателем

29 ноября 2012432

I. Произведение n сомножителей, каждый из которых равен а называется n-й степенью числа а и обозначается аn. Примеры. Записать произведение в виде степени. 1) mmmm;

7 класс. Алгебра.7.2.6. Кубическая функция

15 июня 2012190

Функцию вида y=x3 называют кубической функцией. Графиком кубической функции является кубическая парабола, проходящая через начало координат.

7 класс. Алгебра.7.2.5. Квадратная функция

14 июня 201290

Функцию вида y=x2 называют квадратной функцией. Графиком квадратной функции является парабола с вершиной в начале координат. Ветви параболы y=x2 направлены вверх.

7 класс. Алгебра.7.3.1. Примеры для закрепления формул сокращенного умножения

19 мая 20127.2k.

1)    Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО АЛГЕБРЕ, 7 класс

Контрольная работа №7 по теме: «Одночлены и многочлены». ВАРИАНТ 1 (1 группа) Найдите значение выражения при х=-2, у=-3: Представьте в виде многочлена: Упростите выражение: Представьте в виде квадрата двучлена: Упростите выражение: Контрольная работа №7 по теме: «Одночлены и многочлены». ВАРИАНТ 1 (2 группа) Найдите значение выражения при х=-2, у=-3: Представьте в виде многочлена: Упростите выражение: Представьте в виде квадрата двучлена: Упростите выражение: Контрольная работа №7 по теме: «Одночлены и многочлены». ВАРИАНТ 1 (3 группа) Найдите значение выражения при х=-2, у=-3: Представьте в виде многочлена: Упростите выражение: Представьте в виде квадрата двучлена: Упростите выражение: Контрольная работа №7 по теме: «Одночлены и многочлены». ВАРИАНТ 1 (4 группа) Найдите значение выражения при х=-2, у=-3: Представьте в виде многочлена: Упростите выражение: Представьте в виде квадрата двучлена: Контрольная работа №7 по теме: «Одночлены и многочлены». ВАРИАНТ 1 (5 группа) Найдите значение выражения при х=-2, у=-3: Представьте в виде многочлена: Упростите выражение: Представьте в виде квадрата двучлена: Контрольная работа №7 по теме: «Одночлены и многочлены». ВАРИАНТ 1 (6 группа) Найдите значение выражения при х=-2, у=-3: Представьте в виде многочлена: Упростите выражение: Представьте в виде квадрата двучлена:

Контрольная работа №7 по теме: «Одночлены и многочлены». ВАРИАНТ 2 (1 группа) Найдите значение выражения при х=-5: Представьте в виде многочлена: Упростите выражение: Представьте в виде квадрата двучлена: Упростите выражение: Контрольная работа №7 по теме: «Одночлены и многочлены». ВАРИАНТ 2 (2 группа) Найдите значение выражения при х=-5: Представьте в виде многочлена: Упростите выражение: Представьте в виде квадрата двучлена: Упростите выражение: Контрольная работа №7 по теме: «Одночлены и многочлены». ВАРИАНТ 2 (3 группа) Найдите значение выражения при х=-5: Представьте в виде многочлена: Упростите выражение: Представьте в виде квадрата двучлена: Упростите выражение: Контрольная работа №7 по теме: «Одночлены и многочлены». ВАРИАНТ 2 (4 группа) Найдите значение выражения при х=-5: Представьте в виде многочлена: Упростите выражение: Представьте в виде квадрата двучлена: Контрольная работа №7 по теме: «Одночлены и многочлены». ВАРИАНТ 2 (5 группа) Найдите значение выражения при х=-5: Представьте в виде многочлена: Упростите выражение: Представьте в виде квадрата двучлена: Контрольная работа №7 по теме: «Одночлены и многочлены». ВАРИАНТ 2 (6 группа) Найдите значение выражения при х=-5: Представьте в виде многочлена: Упростите выражение: Представьте в виде квадрата двучлена:

Степенные выражения (выражения со степенями) и их преобразование

Рассмотрим тему преобразования выражений со степенями, но прежде остановимся на ряде преобразований, которые можно проводить с любыми выражениями, в том числе со степенными. Мы научимся раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, работать с основанием и показателем степени, использовать свойства степеней.

Что представляют собой степенные выражения?

В школьном курсе мало кто использует словосочетание «степенные выражения», зато этот термин постоянно встречается в сборниках для подготовки к ЕГЭ. В большинства случаев словосочетанием обозначаются выражения, которые содержат в своих записях степени. Это мы и отразим в нашем определении.

Определение 1

Степенное выражение – это выражение, которое содержит степени.

Приведем несколько примеров степенных выражений, начиная со степени с натуральным показателем и заканчивая степенью с действительным показателем.

Самыми простыми степенными выражениями можно считать степени числа с натуральным показателем: 32, 75+1, (2+1)5, (−0,1)4, 2233, 3·a2−a+a2, x3−1, (a2)3. А также степени с нулевым показателем: 50, (a+1)0, 3+52−3,20. И степени с целыми отрицательными степенями: (0,5)2+(0,5)-22.

Чуть сложнее работать со степенью, имеющей рациональный  и иррациональный показатели: 26414-3·3·312, 23,5·2-22-1,5, 1a14·a12-2·a-16·b12, xπ·x1-π, 233+5.

В качестве показателя может выступать переменная 3x-54-7·3x-58 или логарифм x2·lgx−5·xlgx.

С вопросом о том, что такое степенные выражения, мы разобрались. Теперь займемся их преобразованием.

Основные виды преобразований степенных выражений

В первую очередь мы рассмотрим основные тождественные преобразования выражений, которые можно выполнять со степенными выражениями.

Пример 1

Вычислите значение степенного выражения 23·(42−12).

Решение

Все преобразования мы будем проводить с соблюдением порядка выполнения действий. В данном случае начнем мы с выполнения действий в скобках: заменим степень на цифровое значение и вычислим разность двух чисел. Имеем 23·(42−12)=23·(16−12)=23·4.

Нам остается заменить степень 23 ее значением 8 и вычислить произведение 8·4=32. Вот наш ответ.

Ответ: 23·(42−12)=32.

Пример 2

Упростите выражение со степенями 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7.

Решение

Данное нам в условии задачи выражение содержит подобные слагаемые, которые мы можем привести: 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7=5·a4·b−7−1.

Ответ: 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7=5·a4·b−7−1.

Пример 3

Представьте выражение со степенями 9-b3·π-12 в виде произведения.

Решение

Представим число 9 как степень 32 и применим формулу сокращенного умножения:

9-b3·π-12=32-b3·π-12==3-b3·π-13+b3·π-1

Ответ: 9-b3·π-12=3-b3·π-13+b3·π-1.

А теперь перейдем к разбору тождественных преобразований, которые могут применяться именно в отношении степенных выражений. 

Работа с основанием и показателем степени

Степень в основании или показателе может иметь и числа, и переменные, и некоторые выражения. Например, (2+0,3·7)5−3,7 и (a·(a+1)−a2)2·(x+1). Работать с такими записями сложно. Намного проще заменить выражение в основании степени или выражение в показателе тождественно равным выражением.

Проводятся преобразования степени и показателя по известным нам правилам отдельно друг от друга. Самое главное, чтобы в результате преобразований получилось выражение, тождественное исходному.

Цель преобразований – упростить исходное выражение или получить решение задачи. Например, в примере, который мы привели выше, (2+0,3·7)5−3,7 можно выполнить действия для перехода к степени 4,11,3. Раскрыв скобки, мы можем привести подобные слагаемые в основании степени (a·(a+1)−a2)2·(x+1) и получить степенное выражение более простого вида a2·(x+1).

Использование свойств степеней

Свойства степеней, записанные в виде равенств, являются одним из главных инструментов преобразования выражений со степенями. Приведем здесь основные из них, учитывая, что a и b – это любые положительные числа, а r и s — произвольные действительные числа:

Определение 2

• ar·as=ar+s;
• ar:as=ar−s;
• (a·b)r=ar·br;
• (a:b)r=ar:br;
• (ar)s=ar·s.

В тех случаях, когда мы имеем дело с натуральными, целыми, положительными показателями степени, ограничения на числа a и b могут быть гораздо менее строгими. Так, например, если рассмотреть равенство am·an=am+n, где m и n – натуральные числа, то оно будет верно для любых значений a, как положительных, так и отрицательных, а также для a=0.

Применять свойства степеней без ограничений можно в тех случаях, когда основания степеней положительные или содержат переменные, область допустимых значений которых такова, что на ней основания принимают лишь положительные значения. Фактически, в рамках школьной программы по математике задачей учащегося является выбор подходящего свойства и правильное его применение.

При подготовке к поступлению в Вузы могут встречаться задачи, в которых неаккуратное применение свойств будет приводить к сужению ОДЗ и другим сложностям с решением. В данном разделе мы разберем всего два таких случая. Больше информации по вопросу можно найти в теме «Преобразование выражений с использованием свойств степеней».

Пример 4

Представьте выражение a2,5·(a2)−3:a−5,5 в виде степени с основанием a.

Решение

Для начала используем свойство возведения в степень и преобразуем по нему второй множитель (a2)−3 . Затем используем свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием:

a2,5·a−6:a−5,5= a2,5−6:a−5,5=a−3,5:a−5,5= a−3,5−(−5,5)=a2.

Ответ: a2,5·(a2)−3:a−5,5=a2.

Преобразование степенных выражений согласно свойству степеней может производиться как слева направо, так и в обратном направлении.

Пример 5

Найти значение степенного выражения 313·713·2123.

Решение

Если мы применим равенство (a·b)r=ar·br, справа налево, то получим произведение вида 3·713·2123 и дальше 2113·2123. Сложим показатели при умножении степеней с одинаковыми основаниями: 2113·2123=2113+23=211=21.

Есть еще один способ провести преобразования:

313·713·2123=313·713·(3·7)23=313·713·323·723==313·323·713·723=313+23·713+23=31·71=21

Ответ: 313·713·2123=31·71=21

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание   Пример 6

Дано степенное выражение a1,5−a0,5−6, введите новую переменную t=a0,5.

Решение

Представим степень a1,5 как a0,5·3 . Используем свойство степени в степени (ar)s=ar·s справа налево и получим (a0,5)3: a1,5−a0,5−6=(a0,5)3−a0,5−6. В полученное выражение можно без проблем вводить новую переменную t=a0,5: получаем t3−t−6.

Ответ: t3−t−6.

Преобразование дробей, содержащих степени

Обычно мы имеем дело с двумя вариантами степенных выражений с дробями: выражение представляет собой дробь со степенью или содержит такую дробь. К таким выражениям применимы все основные преобразования дробей без ограничений. Их можно сокращать, приводить к новому знаменателю, работать отдельно с числителем и знаменателем. Проиллюстрируем это примерами.

Пример 7

Упростить степенное выражение 3·523·513-5-231+2·x2-3-3·x2.

Решение

Мы имеем дело с дробью, поэтому проведем преобразования и в числителе, и в знаменателе:

3·523·513-5-231+2·x2-3-3·x2=3·523·513-3·523·5-23-2-x2==3·523+13-3·523+-23-2-x2=3·51-3·50-2-x2

Поместим минус перед дробью для того, чтобы изменить знак знаменателя: 12-2-x2=-122+x2

Ответ:  3·523·513-5-231+2·x2-3-3·x2=-122+x2

Дроби, содержащие степени, приводятся к новому знаменателю точно также, как и рациональные дроби. Для этого необходимо найти дополнительный множитель и умножить на него числитель и знаменатель дроби. Подбирать дополнительный множитель необходимо таким образом, чтобы он не обращался в нуль ни при каких значениях переменных из ОДЗ переменных для исходного выражения.

Пример 8

 

Приведите дроби к новому знаменателю: а) a+1a0,7 к знаменателю a, б) 1×23-2·x13·y16+4·y13 к знаменателю x+8·y12.

Решение

а) Подберем множитель, который позволит нам произвести приведение к новому знаменателю. a0,7·a0,3=a0,7+0,3=a, следовательно, в качестве дополнительного множителя мы возьмем a0,3. Область допустимых значений переменной а включает множество всех положительных действительных чисел. В этой области степень a0,3 не обращается в нуль.

Выполним умножение числителя и знаменателя дроби на a0,3:

a+1a0,7=a+1·a0,3a0,7·a0,3=a+1·a0,3a

б) Обратим внимание на знаменатель:

x23-2·x13·y16+4·y13==x132-x13·2·y16+2·y162

Умножим это выражение на x13+2·y16, получим сумму кубов x13 и 2·y16, т.е. x+8·y12. Это наш новый знаменатель, к которому нам надо привести исходную дробь.
 

Так мы нашли дополнительный множитель x13+2·y16. На области допустимых значений переменных x и y выражение x13+2·y16 не обращается в нуль, поэтому, мы можем умножить на него числитель и знаменатель дроби:
1×23-2·x13·y16+4·y13==x13+2·y16x13+2·y16x23-2·x13·y16+4·y13==x13+2·y16x133+2·y163=x13+2·y16x+8·y12

Ответ: а) a+1a0,7=a+1·a0,3a , б) 1×23-2·x13·y16+4·y13=x13+2·y16x+8·y12.  

Пример 9

Сократите дробь: а) 30·x3·(x0,5+1)·x+2·x113-5345·x0,5+12·x+2·x113-53, б) a14-b14a12-b12.

Решение

а) Используем наибольший общий знаменатель (НОД), на который можно сократить числитель и знаменатель. Для чисел 30 и 45 это 15. Также мы можем произвести сокращение на x0,5+1 и на x+2·x113-53.

Получаем:

30·x3·(x0,5+1)·x+2·x113-5345·x0,5+12·x+2·x113-53=2·x33·(x0,5+1)

б) Здесь наличие одинаковых множителей неочевидно. Придется выполнить некоторые преобразования для того, чтобы получить одинаковые множители в числителе и знаменателе. Для этого разложим знаменатель, используя формулу разности квадратов:

a14-b14a12-b12=a14-b14a142-b122==a14-b14a14+b14·a14-b14=1a14+b14

Ответ:  а)30·x3·(x0,5+1)·x+2·x113-5345·x0,5+12·x+2·x113-53=2·x33·(x0,5+1), б) a14-b14a12-b12=1a14+b14.

К числу основных действий с дробями относится приведение к новому знаменателю и сокращение дробей. Оба действия выполняют с соблюдением ряда правил. При сложении и вычитании дробей сначала дроби приводятся к общему знаменателю, после чего проводятся действия (сложение или вычитание) с числителями. Знаменатель остается прежним. Результатом наших действий является новая дробь, числитель которой является произведением числителей, а знаменатель есть произведение знаменателей.

Пример 10

Выполните действия x12+1×12-1-x12-1×12+1·1×12.

Решение

Начнем с вычитания дробей, которые располагаются в скобках. Приведем их к общему знаменателю:

x12-1·x12+1

Вычтем числители:

x12+1×12-1-x12-1×12+1·1×12==x12+1·x12+1×12-1·x12+1-x12-1·x12-1×12+1·x12-1·1×12==x12+12-x12-12×12-1·x12+1·1×12==x122+2·x12+1-x122-2·x12+1×12-1·x12+1·1×12==4·x12x12-1·x12+1·1×12

Теперь умножаем дроби:

4·x12x12-1·x12+1·1×12==4·x12x12-1·x12+1·x12

Произведем сокращение на степень x12, получим 4×12-1·x12+1.

Дополнительно можно упростить степенное выражение в знаменателе, используя формулу разности квадратов: квадратов: 4×12-1·x12+1=4×122-12=4x-1.

Ответ: x12+1×12-1-x12-1×12+1·1×12=4x-1

Пример 11

Упростите степенное выражение x34·x2,7+12x-58·x2,7+13.
Решение

Мы можем произвести сокращение дроби на (x2,7+1)2. Получаем дробь x34x-58·x2,7+1.

Продолжим преобразования степеней икса x34x-58·1×2,7+1. Теперь можно использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями:  x34x-58·1×2,7+1=x34—58·1×2,7+1=x118·1×2,7+1.

Переходим от последнего произведения к дроби x138x2,7+1.

Ответ: x34·x2,7+12x-58·x2,7+13=x138x2,7+1.

Множители с отрицательными показателями степени в большинстве случаев удобнее переносить из числителя в знаменатель и обратно, изменяя знак показателя. Это действие позволяет упростить дальнейшее решение. Приведем пример: степенное выражение (x+1)-0,23·x-1 можно заменить  на x3·(x+1)0,2.

Преобразование выражений с корнями и степенями

В задачах встречаются степенные выражения, которые содержат не только степени с дробными показателями, но и корни. Такие выражения желательно привести только к корням или только к степеням. Переход к степеням предпочтительнее, так как с ними проще работать. Такой переход является особенно предпочтительным, когда ОДЗ переменных для исходного выражения позволяет заменить корни степенями без необходимости обращаться к модулю или разбивать ОДЗ на несколько промежутков.

Пример 12

Представьте выражение x19·x·x36 в виде степени.

Решение

Область допустимых значений переменной x определяется двумя неравенствами  x≥0  и x·x3≥0 ,  которые задают множество [0, +∞).

На этом множестве мы имеем право перейти от корней к степеням: 

x19·x·x36=x19·x·x1316

Используя свойства степеней, упростим полученное степенное выражение.

x19·x·x1316=x19·x16·x1316=x19·x16·x1·13·6==x19·x16·x118=x19+16+118=x13

Ответ: x19·x·x36=x13.

Преобразование степеней с переменными в показателе

Данные преобразования достаточно просто произвести, если грамотно использовать свойства степени. Например, 52·x+1−3·5x·7x−14·72·x−1=0.

Мы можем заменить произведением степени, в показателях которых находится сумма некоторой переменной и числа. В левой части это можно проделать с первым и последним слагаемыми левой части выражения:

52·x·51−3·5x·7x−14·72·x·7−1=0, 5·52·x−3·5x·7x−2·72·x=0.

Теперь поделим обе части равенства на 72·x. Это выражение на ОДЗ переменной x принимает только положительные значения:

5·5-3·5x·7x-2·72·x72·x=072·x,5·52·x72·x-3·5x·7×72·x-2·72·x72·x=0,5·52·x72·x-3·5x·7x7x·7x-2·72·x72·x=0

Сократим дроби со степенями, получим: 5·52·x72·x-3·5x7x-2=0.

Наконец, отношение степеней с одинаковыми показателями заменяется степенями отношений, что приводит к уравнению 5·572·x-3·57x-2=0 , которое равносильно 5·57×2-3·57x-2=0.

Введем новую переменную t=57x, что сводит решение исходного показательного уравнения к решению квадратного уравнения 5·t2−3·t−2=0.

Преобразование выражений со степенями и логарифмами

Выражения, содержащие с записи степени и логарифмы, также встречаются в задачах. Примером таких выражений могут служить: 141-5·log23 или log3279+5(1-log35)·log53. Преобразование подобных выражений проводится с использованием разобранных выше подходов и свойств логарифмов, которые мы подробно разобрали в теме «Преобразование логарифмических выражений».

Упрощение выражений — хитрости и примеры

Умение упрощать выражения — самый важный шаг в понимании и овладении алгеброй. Упрощение выражений — удобный математический навык, потому что он позволяет нам преобразовывать сложные или неудобные выражения в более простые и компактные формы. Но перед этим мы должны знать, что такое алгебраическое выражение.

Алгебраическое выражение — это математическая фраза, в которой переменные и константы объединяются с помощью операционных символов (+, -, × & ÷).Например, 10x + 63 и 5x — 3 являются примерами алгебраических выражений.

В этой статье мы узнаем несколько уловок на , как упростить любое алгебраическое выражение.

Как упростить выражения?

Упрощение алгебраического выражения можно определить как процесс записи выражения в наиболее эффективной и компактной форме без изменения значения исходного выражения.

Процесс влечет за собой сбор одинаковых терминов, что подразумевает добавление или вычитание терминов в выражении.

Напомним некоторые важные термины, используемые при упрощении выражения:

• Переменная — это буква, значение которой неизвестно в алгебраическом выражении.
• Коэффициент — это числовое значение, используемое вместе с переменной.
• Константа — это термин, имеющий определенное значение.
• Подобные термины — это переменные с одинаковой буквой и мощностью. Подобные термины могут иногда содержать разные коэффициенты. Например, 6x ² и 5x ² похожи на термы, потому что у них есть переменная с аналогичным показателем степени.Точно так же термины 7yx и 5xz отличаются, потому что каждый член имеет разные переменные.

Чтобы упростить любое алгебраическое выражение, следующие основные правила и шаги:

• Удалите все символы группировки, такие как квадратные и круглые скобки, путем умножения.
• Используйте правило экспоненты, чтобы удалить группировку, если термины содержат экспоненты.
• Объединить похожие термины путем сложения или вычитания
• Объедините константы

Пример 1

Упростить 3 x ² + 5 x ²

Решение

Поскольку оба члена в выражении имеют одинаковые показатели степени, мы объединяем их;

3 x ² + 5 x ² = (3 + 5) x ² = 8 x ²

Пример 2

Упростите выражение: 2 + 2x [2 (3x + 2) +2)]

Решение

Сначала вычислите все члены в скобках, умножив их;

= 2 + 2x [6x + 4 +2] = 2 + 2x [6x + 6]

Теперь удалите круглые скобки, умножив любое число вне их;

2 + 2x [6x + 6] = 2 + 12x ² + 12x

Это выражение можно упростить, разделив каждый член на 2 как;

12x ² /2 + 12x / 2 + 2/2 = 6 x ² + 6x + 1

Пример 3

Упростить 3 x + 2 ( x -4)

Решение

В этом случае невозможно объединить термины, если они все еще заключены в круглые скобки или какой-либо знак группировки.Поэтому удалите скобку, умножив любой множитель вне группы на все члены внутри нее.

Следовательно, 3 x + 2 ( x — 4) = 3 x + 2 x — 8

= 5 x — 8

Знак минус перед группировкой обычно влияет на все операторы в круглых скобках. Это означает, что знак минус перед группой изменит операцию сложения на вычитание и наоборот.

Пример 4

Упростить 3 x — (2 — x )

Решение

3 x — (2 — x ) = 3 x + (–1) [2 + (- x )]

= 3 x + (–1) (2) + (–1) (- x )

= 3 x — 2 + x

= 4 x — 2

Однако, если перед группировкой стоит только знак «плюс», то круглые скобки просто стираются.

Например, , чтобы упростить 3 x + (2 — x ), скобки удаляются, как показано ниже:

3x + (2 — x) = 3x + 2 — x

Пример 5

Упростить 5 (3x-1) + x ((2x) / (2)) + 8 — 3x

Решение

15x — 5 + x (x) + 8 — 3x

15x — 5 + x ² + 8 — 3x.

Теперь объедините одинаковые термины, добавляя и вычитая их;

x ² + (15x — 3x) + (8-5)

х ² + 12x + 3

Пример 6

Упростить x (4 — x) — x (3 — x)

Решение

х (4 — х) — х (3 — х)

4x — x ² — x (3 — x)

4x — x ² — (3x — x ² )

4x — x ² — 3x + x ² = x

Практические вопросы

Упростите каждое из следующих выражений:

1. 2-й + 3-й — + 5-й + 4-й
2. 2a — 4b + 3ab -5a + 2b
3. x (2x + 3y -4) — x ² + 4xy — 12
4. 4 (2x + 1) — 3x
5. 4 (п — 5) +3 (п +1)
6. [2x ³ y ² ] ³
7. 6 (p + 3q) — (7 + 4q)
8. 4rs -2s — 3 (rs +1) — 2s
9. [(3 — x) (x + 2) + (-x + 4) (7x + 2) — (x — y) (2x — y)] — 3x ² — 7x + 5

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Бесплатные рабочие листы для упрощения выражений (предалгебра и алгебра 1)

Вы здесь: Главная → Рабочие листы → Упростить выражения

С помощью этого генератора рабочих листов вы можете создавать рабочие листы для печати для упрощения выражений переменных для курсов предварительной алгебры и алгебры 1.Рабочие листы могут быть созданы в виде файлов PDF или html (последние можно редактировать в текстовом редакторе).

Выражения включают те, в которых вам нужно объединить одинаковые термины (например, 2 t — 9 — 6 t + 2), использовать свойство распределения (например, 9-2 ( x + 7)) и для умножения и деления одночленов, например 2 x ² · (−5 x ³ ) и −4 x ² · y ² /3 x ⁵ .

Основные инструкции для рабочих листов

Каждый рабочий лист генерируется случайным образом и поэтому уникален. Ключ ответа создается автоматически и помещается на вторую страницу файла.

Вы можете создавать рабочие листы либо в формате html, либо в формате PDF — и то, и другое легко распечатать. Чтобы получить рабочий лист PDF, просто нажмите кнопку с названием « Создать PDF » или « Создать рабочий лист PDF ». Чтобы получить рабочий лист в формате html, нажмите кнопку « Просмотреть в браузере » или « Сделать html-лист ».Это имеет то преимущество, что вы можете сохранить рабочий лист прямо из браузера (выберите «Файл» → «Сохранить»), а затем отредактировать его в Word или другом текстовом редакторе.

Иногда сгенерированный рабочий лист не совсем то, что вам нужно. Просто попробуйте еще раз! Чтобы получить другой рабочий лист с теми же параметрами:

• Формат PDF: вернитесь на эту страницу и снова нажмите кнопку.
• Формат Html: просто обновите страницу рабочего листа в окне браузера.

Рабочие листы готовые

Используйте эти быстрые ссылки, чтобы создать несколько распространенных типов рабочих листов для упрощения выражений.Ниже, с фактическим генератором, вы можете создавать рабочие листы в соответствии с вашими точными спецификациями.

См. Также

Рабочие листы для вычисления выражений с переменными

Рабочие листы для написания выражений с переменными из словесных выражений

Рабочие листы для линейных уравнений

Рабочие листы для линейных неравенств

Генератор

Используйте генератор, чтобы настроить листы по своему усмотрению. Вы можете сделать их в виде файлов PDF или HTML.Файлы html доступны для редактирования: просто сохраните лист в браузере, а затем откройте его в своем любимом текстовом редакторе.

Чтобы настроить рабочие листы, вы можете контролировать количество задач, уровень сложности, диапазон чисел, используемых в качестве коэффициентов и констант, использование десятичных знаков, количество рабочего пространства, границу вокруг проблем и дополнительные инструкции.

Для задач уровня 1 можно дополнительно исключить использование отрицательных целых чисел (оставить все неотрицательным).

Ключ к учебным пособиям по алгебре

Key to Algebra предлагает уникальный проверенный способ познакомить студентов с алгеброй. Новые концепции объясняются простым языком, а примеры легко следовать. Задачи со словами связывают алгебру с знакомыми ситуациями, помогая учащимся понять абстрактные концепции. Учащиеся развивают понимание, интуитивно решая уравнения и неравенства, прежде чем будут представлены формальные решения. Студенты начинают изучение алгебры с книг 1–4, используя только целые числа.Книги 5-7 вводят рациональные числа и выражения. Книги 8-10 охватывают реальную систему счисления.

=> Узнать больше

вопросов и задач по алгебре для 7 класса

Представлены вопросы и задачи по алгебре 7-го класса с подробным решением. Включены вопросы по упрощению выражений, решению уравнений, факторингу выражений и т. Д.

1. Оцените каждое из выражений для данного значения (значений) переменной (ей).
   1. 12 x ³ + 5 x ² + 4 x — 6 для x = -1
   2. 2 a ² + 3b ³ — 10 для a = 2 и b = -2
   3. (- 2 x — 1) / (x + 3) для x = 2
   4. 2 + 2 | x — 4 | для x = — 4
2. Расширьте и упростите каждое из приведенных ниже выражений.
   1. — 2 (х — 8) + 3 (х — 7)
   2. 2 (а + 1) + 5b + 3 (а + b) + 3
   3. а (б + 3) + б (а — 2) + 2 а — 5 б + 8
   4. (1/2) (4x + 4) + (1/3) (6x + 12)
   5. 4 (- х + 2 — 3 (х — 2))
3. Упростите каждое из приведенных ниже выражений.
   1. х / у + 4 / у
   2. (2 х / 4) (1/2)
   3. (3 х / 5) (х / 5)
4. Упростите каждое из приведенных ниже выражений.
   1. 3 х ² 5 х ³
   2. [(2 y) ⁴ 9 x ³ ] [4 y ⁴ (3 x) ² ]
5. Полностью разложите на множители каждое из приведенных ниже выражений.
   1. 9 х — 3
   2. 24 х + 18 лет
   3. б х + д х
6. Решите каждое из приведенных ниже уравнений и проверьте свой ответ.
   1. 2 х + 5 = 11
   2. 3 х = 6/5
   3. 3 (2 х + 2) + 2 = 20
7. Перепишем выражения 3 a a a — 5 b b с использованием экспоненты.
8. Прямоугольник имеет длину 2 x + 3 единицы, где x — переменная. Ширина прямоугольника равна x + 1 единицам. Найдите значение x, если периметр прямоугольника равен 32.
9. Прямоугольник имеет длину 2x — 1 единиц, где x — переменная. Ширина прямоугольника равна 3 единицам. Найдите значение x, если площадь прямоугольника равна 27.
10. 45% учеников в школе — мужчины? Найдите отношение количества девочек к общему количеству учеников мужского пола в этой школе.
11. Автомобиль едет со скоростью x + 30 километров за час, где x неизвестно. Найти x, если эта машина преодолевает 300 километров за 3 часа?
12. Решите пропорцию: 4/5 = a / 16
13. Найдите a, если упорядоченная пара (2, a + 2) является решением уравнения 2 x + 2 y = 10?
14. Найдите наибольший общий делитель чисел 25 и 45.
15. Напишите число «один миллиард двести тридцать четыре миллиона семьсот пятьдесят тысяч два», используя цифры.
16. Напишите прописью число 393 234 000 034.
17. Найдите наименьшее общее кратное чисел 15 и 35.
18. Найти x, если 2/3 x равно 30?
19. Что такое 20% от 1/3?
20. Заказывайте 12/5, 250%, 21/10 и 2.3 от наименьшего к наибольшему.
21. Сумма 3 последовательных положительных целых чисел равна 96.Найдите наибольшее из этих чисел.
22. Дэни набрал 93 балла по физике, 88 баллов по математике и результат по химии, который вдвое превышает его балл по географии. Средний балл по всем 4 курсам — 79. Какие у него были баллы по химии и географии?
23. Линда набрала 265 баллов по математике, физике и английскому языку. По математике она набрала на 7 баллов больше, чем по английскому, а по физике на 5 баллов больше, чем по математике. Найдите ее баллы по всем трем предметам.
24. На стоянке есть велосипеды и автомобили.Всего имеется 300 колес, в том числе 100 маленьких колес для велосипедов. Сколько машин и сколько велосипедов?
25. Разница между двумя числами равна 17, а их сумма равна 69. Найдите наибольшее из этих двух чисел.

Больше математики в средней школе (6, 7, 8, 9 классы) — бесплатные вопросы и проблемы с ответами
Больше математики в средней школе (10, 11 и 12 классы) — бесплатные вопросы и задачи с ответами
Больше начальной математики (4 и 5 классы) ) с бесплатными вопросами и проблемами с ответами
Автор — e-mail
Домашняя страница сообщить об этом объявлении

Упрощение алгебраических выражений

Распределительная собственность

Свойства действительных чисел важны в нашем изучении алгебры, потому что переменная — это просто буква, представляющая действительное число.В частности, свойство распределения: для любых действительных чисел a , b и c , a (b + c) = ab + ac или (b + c) a = ba + ca. заявляет, что при любых действительных числах a , b и c ,

Это свойство применяется при упрощении алгебраических выражений. Чтобы продемонстрировать, как это используется, мы упростим 2 (5−3) двумя способами и получим тот же правильный результат.

Конечно, если содержание круглых скобок можно упростить, сделайте это в первую очередь.С другой стороны, если содержание круглых скобок не может быть упрощено, умножьте каждый член в круглых скобках на множитель вне скобок, используя свойство распределения. Применение дистрибутивного свойства позволяет умножать и убирать круглые скобки.

Пример 1: Упростить: 5 (7y + 2).

Решение: Умножьте 5 раз каждый член в круглых скобках.

Ответ: 35лет + 10

Пример 2: Упростить: −3 (2×2 + 5x + 1).

Решение: Умножьте −3 на каждый из коэффициентов членов в круглых скобках.

Ответ: −6×2−15x − 3

Пример 3: Упростить: 5 (−2a + 5b) −2c.

Решение: Примените свойство распределения, умножив на 5 только термины, сгруппированные в круглых скобках.

Ответ: −10a + 25b − 2c

Поскольку умножение коммутативно, мы также можем записать свойство распределения следующим образом: (b + c) a = ba + ca.

Пример 4: Упростить: (3x − 4y + 1) ⋅3.

Решение: Умножьте каждый член в скобках на 3.

Ответ: 9x − 12y + 3

Деление в алгебре часто обозначается чертой дроби, а не символом (÷). А иногда бывает полезно переписать выражения с разделением на продукты:

Переписывание алгебраических выражений как продуктов позволяет нам применить свойство распределенности.

Пример 5: Разделить: 25×2−5x + 105.

Решение: Сначала обработайте это как 15-кратное выражение в числителе, а затем распределите.

Альтернативное решение: Думайте о 5 как о общем знаменателе и разделите каждое из членов числителя на 5:

Ответ: 5×2 − x + 2

Мы обсудим разделение алгебраических выражений более подробно по мере прохождения курса.

Попробуй! Упростить: 13 (−9x + 27y − 3).

Ответ: −3x + 9y − 1

Объединение одинаковых терминов

Термины с одинаковыми переменными частями называются как термины. Постоянные термины или термины с одинаковыми переменными частями., Или аналогичные термины. Используемые при обращении к аналогичным элементам. Более того, постоянные термины считаются аналогичными терминами. Если алгебраическое выражение содержит похожие термины, примените свойство распределения следующим образом:

Другими словами, если переменные части терминов в точности совпадают с , то мы можем складывать или вычитать коэффициенты, чтобы получить коэффициент одного члена с той же переменной частью.Этот процесс называется объединением схожих терминов. Добавление или вычитание схожих терминов в алгебраическом выражении для получения одного члена с той же самой переменной частью. Например,

Обратите внимание, что переменные множители и их показатели не меняются. Комбинирование похожих терминов таким образом, чтобы выражение не содержало других похожих терминов, называется упрощением выражения. Процесс объединения похожих терминов до тех пор, пока выражение не перестанет содержать похожие термины.. Используйте эту идею для упрощения алгебраических выражений с помощью нескольких одинаковых терминов.

Пример 6: Упростить: 3a + 2b − 4a + 9b.

Решение: Определите похожие термины и объедините их.

Ответ: −a + 11b

В предыдущем примере перестановка терминов обычно выполняется мысленно и не отображается в представлении решения.

Пример 7: Упростить: x2 + 3x + 2 + 4×2−5x − 7.

Решение: Определите похожие термины и сложите соответствующие коэффициенты.

Ответ: 5×2−2x − 5

Пример 8: Упростить: 5x2y − 3xy2 + 4x2y − 2xy2.

Решение: Не забудьте оставить переменные множители и их показатели неизменными в итоговом комбинированном члене.

Ответ: 9x2y − 5xy2

Пример 9: Упростить: 12a − 13b + 34a + b.

Решение: Чтобы сложить дробные коэффициенты, используйте эквивалентные коэффициенты с общими знаменателями для каждого подобного члена.

Ответ: 54a + 23b

Пример 10: Упростить: −12x (x + y) 3 + 26x (x + y) 3.

Решение: Рассмотрим переменную часть как x (x + y) 3. Тогда в этом выражении есть два одинаковых члена с коэффициентами −12 и 26.

Ответ: 14x (x + y) 3

Попробуй! Упростить: −7x + 8y − 2x − 3y.

Ответ: −9x + 5y

Распределительная собственность и подобные термины

При упрощении нам часто придется комбинировать одинаковые термины после применения свойства распределения. Этот шаг соответствует порядку операций: умножение перед сложением.

Пример 11: Упростить: 2 (3a − b) −7 (−2a + 3b).

Решение: Распределите 2 и −7, а затем объедините одинаковые члены.

Ответ: 20a − 23b

В приведенном выше примере важно отметить, что вы можете убрать скобки и собрать похожие термины, потому что вы умножаете вторую величину на -7, а не только на 7. Чтобы правильно применить свойство распределения, представьте это как добавление — В 7 раз больше заданного количества, 2 (3a − b) + (- 7) (- 2a + 3b).

Попробуй! Упростить: −5 (2x − 3) + 7x.

Ответ: −3x + 15

Часто мы встречаем алгебраические выражения вроде + (a + b) или — (a + b).Как мы видели, коэффициенты фактически подразумеваются как +1 и -1, соответственно, и поэтому свойство распределения применяется с использованием +1 или -1 в качестве множителя. Умножьте каждый член в скобках на следующие множители:

Это приводит к двум полезным свойствам:

Пример 12: Упростить: 5x — (- 2×2 + 3x − 1).

Решение: Умножьте каждый член в круглых скобках на -1, а затем объедините похожие члены.

Ответ: 2×2 + 2x + 1

При распределении отрицательного числа все знаки в круглых скобках изменятся. Обратите внимание, что 5x в приведенном выше примере — это отдельный термин; следовательно, свойство распределения на него не распространяется.

Пример 13: Упростить: 5−2 (x2−4x − 3).

Решение: Порядок операций требует умножения перед вычитанием.Следовательно, распределите −2, а затем объедините постоянные члены. Вычитание 5–2 сначала приводит к неверному результату, как показано ниже:

Ответ: −2 x ² + 8 x + 11

Осторожно

Стоит повторить, что вы должны соблюдать порядок операций : умножение и деление перед сложением и вычитанием!

Попробуй! Упростить: 8−3 (−x2 + 2x − 7).

Ответ: 3×2−6x + 29

Пример 14: Вычтем 3x − 2 из удвоенного количества −4×2 + 2x − 8.

Решение: Сначала сгруппируйте каждое выражение и обработайте каждое как количество:

Затем определите ключевые слова и переведите их в математическое выражение.

Наконец, упростим полученное выражение.

Ответ: −8×2 + x − 14

Основные выводы

• Свойства действительных чисел применимы к алгебраическим выражениям, потому что переменные — это просто представления неизвестных действительных чисел.
• Объединяйте одинаковые термины или термины с одной и той же переменной частью, чтобы упростить выражения.
• Используйте свойство распределенности при умножении сгруппированных алгебраических выражений: a (b + c) = ab + ac.
• Лучше всего применять свойство распределения только тогда, когда выражение внутри группировки полностью упрощено.
• После применения свойства распределения удалите скобки, а затем объедините любые похожие термины.
• При упрощении всегда используйте порядок операций.

Тематические упражнения

Часть A: Распределительная собственность

Умножить.

1. 3 (3x − 2)

2. 12 (−5y + 1)

3. −2 (х + 1)

4. 5 (а-б)

5. 58 (8x − 16)

6. −35 (10x − 5)

7.(2x + 3) ⋅2

8. (5x − 1) ⋅5

9. (−x + 7) (- 3)

10. (−8x + 1) (- 2)

11. — (2a − 3b)

12. — (х − 1)

13. 13 (2x + 5)

14. −34 (y − 2)

15. −3 (2a + 5b − c)

16. — (2y2−5y + 7)

17. 5 (y2−6y − 9)

18. −6 (5×2 + 2x − 1)

19. 7×2− (3x − 11)

20.- (2a − 3b) + c

21. 3 (7×2−2x) −3

22. 12 (4a2−6a + 4)

23. −13 (9y2−3y + 27)

24. (5×2−7x + 9) (- 5)

25. 6 (13×2−16x + 12)

26. −2 (3×3−2×2 + x − 3)

27. 20x + 30y − 10z10

28. −4a + 20b − 8c4

29. 3×2−9x + 81−3

30. −15y2 + 20y − 55

Переведите следующие предложения в алгебраические выражения, а затем упростите.

31. Упростим дважды выражение 25×2−9.

32. Упростим выражение, противоположное выражению 6×2 + 5x − 1.

33. Упростим произведение 5 и x2−8.

34. Упростим произведение −3 и −2×2 + x − 8.

Часть B: Объединение одинаковых терминов

Упростить.

35. 2х − 3х

36. −2a + 5a − 12a

37.10лет − 30−15лет

38. 13x + 512x

39. −14x + 45 + 38x

40. 2x − 4x + 7x − x

41. −3y − 2y + 10y − 4y

42. 5x − 7x + 8y + 2y

43. −8α + 2β − 5α − 6β

44. −6α + 7β − 2α + β

45. 3x + 5−2y + 7−5x + 3y

46. –y + 8x − 3 + 14x + 1 − y

47. 4xy − 6 + 2xy + 8

48. −12ab − 3 + 4ab − 20

49.13x − 25y + 23x − 35y

50. 38a − 27b − 14a + 314b

51. −4×2−3xy + 7 + 4×2−5xy − 3

52. x2 + y2−2xy − x2 + 5xy − y2

53. x2 − y2 + 2×2−3y

54. 12×2−23y2−18×2 + 15y2

55. 316a2−45 + 14a2−14

56. 15y2−34 + 710y2−12

57. 6x2y − 3xy2 + 2x2y − 5xy2

58. 12x2y2 + 3xy − 13x2y2 + 10xy

59. −ab2 + a2b − 2ab2 + 5a2b

60.m2n2 − mn + mn − 3m2n + 4m2n2

61. 2 (х + у) 2 + 3 (х + у) 2

62,15 (x + 2) 3−23 (x + 2) 3

63. −3x (x2−1) + 5x (x2−1)

64,5 (x − 3) −8 (x − 3)

65. −14 (2x + 7) +6 (2x + 7)

66. 4xy (x + 2) 2−9xy (x + 2) 2 + xy (x + 2) 2

Часть C: Смешанная практика

Упростить.

67,5 (2x − 3) +7

68. −2 (4y + 2) −3y

69.5x − 2 (4x − 5)

70. 3- (2х + 7)

71. 2x− (3x − 4y − 1)

72. (10y − 8) — (40x + 20y − 7)

73. 12y − 34x− (23y − 15x)

74. 15a − 34b + 315a − 12b

75,23 (x − y) + x − 2y

76. −13 (6x − 1) +12 (4y − 1) — (- 2x + 2y − 16)

77. (2×2−7x + 1) + (x2 + 7x − 5)

78. 6 (−2×2 + 3x − 1) + 10×2−5x

79. — (x2−3x + 8) + x2−12

80.2 (3a − 4b) +4 (−2a + 3b)

81. −7 (10x − 7y) −6 (8x + 4y)

82,10 (6x − 9) — (80x − 35)

83. 10−5 (x2−3x − 1)

84. 4 + 6 (y2−9)

85. 34x− (12×2 + 23x − 75)

86. −73×2 + (- 16×2 + 7x − 1)

87. (2y2−3y + 1) — (5y2 + 10y − 7)

88. (−10a2 − b2 + c) + (12a2 + b2−4c)

89. −4 (2×2 + 3x − 2) +5 (x2−4x − 1)

90. 2 (3×2−7x + 1) −3 (x2 + 5x − 1)

91.x2y + 3xy2− (2x2y − xy2)

92. 3 (x2y2−12xy) — (7x2y2−20xy + 18)

93. 3−5 (ab − 3) +2 (ba − 4)

94. −9−2 (xy + 7) — (yx − 1)

95. −5 (4α − 2β + 1) +10 (α − 3β + 2)

96,12 (100α2−50αβ + 2β2) −15 (50α2 + 10αβ − 5β2)

Переведите следующие предложения в алгебраические выражения, а затем упростите.

97. В чем разница между 3x − 4 и −2x + 5?

98.Вычтем 2x − 3 из 5x + 7.

99. Вычтем 4x + 3 из удвоенного количества x − 2.

100. Вычтем трижды величину −x + 8 из 10x − 9.

Часть D. Темы дискуссионной доски

101. Нужно ли нам распределительное свойство для деления, (a + b) ÷ c? Объяснять.

102. Нужно ли нам отдельное распределительное свойство для трех членов, a (b + c + d)? Объяснять.

103. Объясните, как вычесть одно выражение из другого.Приведите несколько примеров и продемонстрируйте важность порядка, в котором выполняется вычитание.

104. Учитывая алгебраическое выражение 8−5 (3x + 4), объясните, почему вычитание 8−5 не является первым шагом.

105. Можно ли применить свойство распределенности к выражению 5 (abc)? Объясните, почему или почему нет, и приведите несколько примеров.

106. Как проверить, правильно ли вы упростили выражение? Приведите несколько примеров.

ответов

1: 9x − 6

3: −2x − 2

5: 5x − 10

7: 4x + 6

9: 3x − 21

11: −2a + 3b

13: 23x + 53

15: −6a − 15b + 3c

17: 5y2−30y − 45

19: 7×2−3x + 11

21: 21×2−6x − 3

23: −3y2 + y − 9

25: 2×2 − x + 3

27: 2x + 3y − z

29: −x2 + 3x − 27

31: 50×2−18

33: 5×2-40

35: −x

37: −5y − 30

39: 18x + 45

41: y

43: −13α − 4β

45: −2x + y + 12

47: 6xy + 2

49: х-у

51: −8xy + 4

53: 3×2 − y2−3y

55: 716a2−2120

57: 8x2y − 8xy2

59: 6a2b − 3ab2

61: 5 (х + у) 2

63: 2x (x2−1)

65: −8 (2x + 7)

67: 10x − 8

69: −3x + 10

71: −x + 4y + 1

73: −1120x − 16y

75: 53x − 83y

77: 3×2−4

79: 3x − 20

81: −118x + 25y

83: −5×2 + 15x + 15

85: −12×2 + 112x + 75

87: −3y2−13y + 8

89: −3×2−32x + 3

91: −x2y + 4xy2

93: −3ab + 10

95: −10α − 20β + 15

97: 5x − 9

99: −2x − 7

Тем по алгебре: Упрощение выражений

Урок 7: Упрощение выражений

/ ru / algebra-themes / написание-алгебраических-выражений / содержание /

Упрощение выражений

Упростить выражение — это еще один способ сказать , решая математическую задачу .Когда вы упрощаете выражение , вы в основном пытаетесь записать его простейшим из возможных способов . В конце концов, больше не должно быть ничего сложения, вычитания, умножения или деления. Например, возьмите это выражение:

4 + 6 + 5

Если вы упростили , объединив термины до тех пор, пока ничего не останется, выражение будет выглядеть так:

15

Другими словами, 15 — это простейший способ записать 4 + 6 + 5.Обе версии выражения равны одной и той же сумме; один намного короче.

Упрощение алгебраических выражений — та же идея, за исключением того, что в вашем выражении есть переменные (или буквы). По сути, вы превращаете длинное выражение во что-то, что вам легко понять. Итак, такое выражение …

(13x + -3x) / 2

… можно упростить так:

5x

Если это кажется большим скачком, не волнуйтесь! Все, что вам нужно для упрощения большинства выражений, — это базовая арифметика — сложение, вычитание, умножение и деление — и порядок операций.

Порядок работы

Как и в случае с любой другой задачей, вам необходимо соблюдать порядок операций при упрощении алгебраических выражений. Порядок операций — это правило, которое сообщает вам правильный порядок для выполнения вычислений. По порядку действий решать задачу следует в таком порядке:

1. Круглые скобки
2. Показатели
3. Умножение и деление
4. Сложение и вычитание

Давайте посмотрим на задачу, чтобы увидеть, как это работает.

В этом уравнении вы должны начать с упрощения части выражения в скобках : 24 — 20.

2 ⋅ (24 — 20) ² + 18/6 — 30

24 минус 20 равно 4. В соответствии с порядком операций, далее упростим любые экспоненты . В этом уравнении один показатель степени: 4 ² , или , четыре в второй степени .

2 ⋅ 4 ² + 18/6 — 30

4 ² — 16.Далее нам нужно позаботиться о умножении и делении . Сделаем это слева направо: 2 ⋅ 16 и 18/6.

2 ⋅ 16 + 18/6 — 30

2 ⋅ 16 равно 32, а 18/6 равно 3. Остается только последний шаг в порядке операций: сложение и вычитание .

32 + 3 — 30

32 + 3 равно 35, а 35 — 30 равно 5. Наше выражение было упрощено — больше нечего делать.

5

Это все, что нужно! Помните, что вы должны соблюдать порядок операций при выполнении вычислений — в противном случае вы можете не получить правильный ответ.

Все еще немного запутались или нужно попрактиковаться? Мы написали целый урок по порядку действий. Вы можете проверить это здесь.

Добавление подобных переменных

Чтобы добавить одинаковые переменные, вы можете просто добавить коэффициенты . Таким образом, 3 x + 6 x равно 9 x .Вычитание работает точно так же, поэтому 5 y — 4 y = 1 y , или просто y .

5–4 года = 1 год

Вы также можете умножить и разделить переменных на коэффициенты. Чтобы умножить переменные на коэффициенты, сначала умножьте коэффициенты, а затем запишите переменные рядом друг с другом. Итак, 3 x ⋅ 4 y равно 12 xy .

3x ⋅ 4y = 12xy

Распределительная собственность

Иногда при упрощении выражений можно увидеть что-то вроде этого:

3 (х + 7) -5

Обычно с Порядком операций мы сначала упростили бы внутри скобками.В этом случае, однако, нельзя упростить x + 7, поскольку мы не можем добавить переменную и число. Итак, каков наш первый шаг?

Как вы, возможно, помните, 3 за пределами круглых скобок означает, что нам нужно умножить все внутри скобок на 3. В скобках две вещи : x и 7 . Нам нужно будет умножить их , оба на 3.

3 (х) + 3 (7) — 5

3 · x равно 3x и 3 · 7 составляет 21 .Мы можем переписать выражение как:

3x + 21–5

Далее мы можем упростить вычитание 21-5. 21-5 равно 16 .

3x + 16

Поскольку невозможно складывать переменные и числа, мы не можем дальше упрощать это выражение. Наш ответ: 3x + 16 . Другими словами, 3 (x + 7) — 5 = 3x + 16.

/ ru / algebra-themes / решения-уравнений / содержание /

Основы алгебры — Упрощение — Подробно

Раньше вы оцениваете алгебраическое выражение, вам нужно его упростить.Это сделает все ваши расчеты намного проще. Вот основные шаги, которые нужно выполнить, чтобы упростить алгебраическое выражение:

1. убрать скобки путем умножения
2. использовать показатель степени правила удаления скобок в показателях степени
3. объединить как условия добавлением коэффициентов
4. объединить константы

Проработаем пример.

При упрощении выражение, первое, что нужно искать, — это можно ли убрать скобки. Часто вы можете использовать свойство распределения, чтобы очистить круглые скобки, умножив множители умножают на члены в скобках. В этом выражении мы можно использовать свойство distributive, чтобы избавиться от первых двух наборов круглых скобок.

Теперь мы можем получить избавиться от скобок в члене с показателями степени с помощью показателя степени правила, которые мы узнали ранее.Когда член с показателем степени возводится в степень, мы умножаем экспоненты, так что (x ² ) ² становится x ⁴ .

Следующий шаг в упрощении — искать похожие термины и комбинировать их. Условия 5x и 15x похожи на термины, потому что у них одна и та же переменная возведена в одно и то же степень, а именно первая степень, поскольку экспонента понимается равной 1. Мы можем объединить эти два члена, чтобы получить 20x.

Наконец, мы ищите любые константы, которые мы можем комбинировать. Здесь есть константы 10 и 12. Мы можем объединить их, чтобы получить 22.

Теперь наше выражение упрощено. Еще одна вещь — обычно мы пишем алгебраическое выражение в определенном порядке. Начнем с терминов с наибольшими показателями. и переходим к константам. Используя свойство коммутативности кроме того, мы можем переставить термины и расположить это выражение в правильном порядке, как это.

назад наверх

Расширение и упрощение алгебраических выражений — видео и стенограмма урока

Порядок действий

Точно так же, как возбуждение от вождения отличной машины не возникло бы, если бы вы не знали, как ее завести, настоящая математика не может произойти без соблюдения некоторых основных, но важных правил. Эти правила и есть порядок действий.

Некоторые из вас, возможно, выучили аббревиатуру «PEMDAS», которая означает:

P — Скобки (скобки)

E — Экспоненты

M & D — Умножение и деление по мере их появления (слева направо)

A & S — сложение и вычитание по мере их появления (слева направо)

Это порядок, которому вы должны следовать при вычислении любого алгебраического выражения.Конечно, у вас может не быть всех этих операций одновременно в одном выражении.

Расширение алгебраических выражений

Когда мы расширяем алгебраическое выражение, мы объединяем более одного числа или переменной, выполняя данную алгебраическую операцию (операции). Мы делаем это, используя свойство distributive для удаления скобок и скобок и комбинируя похожие термины.

Умножение

Чтобы развернуть выражения, которые включают умножение, следуйте правилам распределительного свойства , которые гласят, что любое число можно умножить на любое число.Итак, числа можно умножать на переменную, на другое число или на себя.

Когда мы расширяем термины по распределению, нам может потребоваться объединить похожие термины для упрощения. Одинаковые термины — числа из одной группы (4, 0, 5 или 89), или они имеют одну и ту же переменную и показатель степени (3 x 2 и 5 x 2 являются примерами похожих терминов). Давайте посмотрим на несколько примеров.

Пример

Начнем с простого расширения с помощью свойства распределения:

Используя PEMDAS, мы сначала начинаем с круглых или квадратных скобок.Поскольку числа в скобках не похожи на термины ( x — это переменная, а 3 — это число), мы не смогли объединить их путем сложения, и не было показателей степени. Итак, мы затем использовали свойство распределения, чтобы умножить все, что находится в круглых скобках, на все, что находится снаружи. Поэтому мы умножили x и 3 в скобках на 5.

Другой пример

Вот еще один пример. Как видим, имеем:

Опять же, используя PEMDAS и свойство распределения, мы видим, что числа в скобках похожи на термины, поэтому мы сначала объединяем их, а затем распределяем 5.

Правила знаков

Не забудьте правила знаков для умножения и деления:

• Когда два знака совпадают, результат будет положительным, и
• Если два знака разные, результат отрицательный

Примеры можно увидеть здесь:

Кроме того, при распределении отрицательного числа этот отрицательный знак изменит знаки каждого числа, на которое оно распространяется, что вы можете увидеть здесь:

Два набора скобок

Чтобы раскрыть два набора скобок или скобок, вам нужно умножить каждый член в первой скобке на каждый член во второй.Затем вы объедините похожие термины. Не забывайте следить за своими знаками!

Деление

Теперь, когда дело доходит до деления, оно следует тем же правилам, что и умножение; в конце концов, они являются обратными друг другу операциями. Другими словами, если вы умножите число, скажем, 5 x, на другое число, а затем разделите на то же число, у вас все равно будет 5 x . Звучит маловероятно? Что ж, посмотрите здесь:

Деление можно выразить с помощью символа деления, умножения на десятичное число от 0 до 1 или дробью.Как видим:

Пример

В следующем примере у нас есть похожие термины в скобках, поэтому сначала мы их объединяем. Затем мы делим каждый член в скобке на внешний член. Как видите, получается всего 2/3. Все просто, правда?

Показатели

Наконец, помните, что показатель степени — это математический символ, который выражается в виде небольшого числа в правом верхнем углу другого числа (его основания) и представляет, во сколько раз умножается основание.

Взгляните на эти три примера, представленных здесь. Экспоненты могут быть такими же простыми, как первый пример простого умножения 5 на себя три раза и получения 125, или столь же сложными, как получение длинного выражения типа 4 x в квадрате минус 28 x плюс сорок девять.

Упрощение алгебраических выражений

Упрощение выражений означает, что вы комбинируете одинаковые термины, чтобы упростить выражения.

Помните, что при добавлении или вычитании терминов в выражении вы можете комбинировать только одинаковые термины. Давайте взглянем.

Пример

Как видите, 5 x и 2 x были похожими терминами, поэтому мы добавили их. Точно так же 12 и -4 были подобны термам, и когда они были вычтены, результат был 8.

Комбинация операций

Когда алгебраическое выражение содержит более одной операции, вам определенно нужно следовать порядку операций, чтобы обе операции раскрылись. и упростить.Давайте посмотрим на эту таблицу, которая появляется здесь. Как видите, у нас есть множество различных методов, основанных на различных примерах, представленных здесь. Например:

Не стесняйтесь сделать паузу, чтобы поближе познакомиться с другими примерами в этой таблице, пока не почувствуете, что вы их усвоили.

Краткое изложение урока

Хорошо, давайте теперь ненадолго проанализируем важную информацию, которую мы узнали.