Математика, 6 класс, Уравнения и неравенства, Решение проблем, связанных с пропорциями

Учащиеся решают задачи, используя уравнения вида x + p = q и px = q , а также задачи, связанные с пропорциями.

Учащиеся расширят свои знания о написании выражений для написания уравнений. Уравнение — это утверждение, что два выражения эквивалентны. Студенты напишут два эквивалентных выражения, которые представляют одинаковое количество.Одно выражение будет числовым, а другое — переменной.

Важно, чтобы, когда студенты пишут уравнение, они точно определяли переменную. Например, n представляет количество минут, которые Aiko побежал, или x представляет количество ящиков на полке.

Затем ученики решают уравнения и тем самым решают задачи.

Студенты будут решать проблемы пропорций, решая уравнения. Это имеет смысл, потому что такая пропорция, как xa = bc, на самом деле является просто уравнением вида xp = q , где p = 1a и q = bc.

Учащиеся также сравнят свои алгебраические решения с арифметическим решением задачи. Они увидят, например, что проблема, которая может быть решена арифметически путем вычитания 5 из 78, также может быть решена алгебраически путем решения x + 5 = 78, где 5 вычитается с обеих сторон — параллельное решение вычитания 5 из 78.

• Для решения задач используйте уравнения вида x + p = q и xp = q .
• Решить проблемы пропорций, используя уравнения.

ELL: ELL могут испытывать трудности с вербализацией своих рассуждений, особенно из-за того, что проблемы со словами сильно зависят от языка. Приспособьте ELLs, предоставляя им дополнительное время для обработки информации. Обратите внимание, что эта проблема является хорошей возможностью для ELLs развить свои навыки грамотности, поскольку она включает в себя навыки чтения, письма, аудирования и разговорной речи. Призовите студентов бросить вызов идеям друг друга и обосновать свое мышление, используя академический и специализированный математический язык.

,

Решения Пропорций: Слово Проблемы | Purplemath

Purplemath

Многие проблемы со словом «пропорция» могут быть решены с помощью других методов, поэтому они могут быть вам знакомы. Например, если вы узнали об уравнениях прямой, то вы узнали о наклоне прямой линии и о том, как этот наклон иногда называют «подъемом над бегом».

Но это слово «над» подсказывает, что да, мы говорим о дроби. А это значит, что «превышение скорости» можно обсуждать в контексте пропорций.

MathHelp.com

• Вы устанавливаете водосточные желоба в задней части вашего дома.В указаниях сказано, что желоба должны уменьшаться на ¹ / ₄ дюймов на каждые четыре фута бокового хода. Водостоки будут простираться на тридцать семь футов. Насколько ниже, чем начальная точка (то есть, насколько ниже, чем верхний предел) должен быть нижний конец желобов?

Водосточные желоба должны быть слегка наклонными, чтобы дождевая вода стекала в водосточную трубу, а затем в нее.Когда я иду от верхнего края желоба к нижнему краю, на каждые четыре фута длины, которые я иду вбок, желоба должны уменьшаться (быть ниже) на четверть дюйма. Итак, насколько должен уменьшиться водосточный желоб за тридцать семь футов? Я установлю пропорцию, используя « d », чтобы обозначить расстояние, которое мне нужно найти.

Существует переменная только в одной части моей пропорции, поэтому я могу использовать метод быстрого доступа для решения.

d = [(37) (1/4)] / 4

д = 9.25/4

д = 2,3125

Для удобства (поскольку моя рулетка не помечена в десятичных числах), я преобразую этот ответ в форму смешанного числа:

Нижний конец должен быть на 2 ⁵ / ₁₆ дюймов ниже верхнего конца.

---

Как всегда в случае с «решением» упражнений, мы можем проверить наши ответы, включив их обратно в исходную задачу.В этом случае мы можем проверить размер «капли» от одного конца дома к другому, проверяя произведения средних и крайних значений (то есть, подтверждая, что перекрестные умножения совпадают) законченной пропорции :

Преобразовав «одну четвертую» в «0,25», получим:

(0,25) (37) = 9,25

(4) (2,3125) = 9,25

Поскольку значения совпадают, пропорциональность должна быть решена правильно, и решение должно быть правильным.

---

• Биологам необходимо приблизительно знать, сколько рыб обитает в определенном озере, но они не хотят подчеркивать или иным образом вредить рыбе, осушая или осушая озеро. Вместо этого они спустили маленькие сети в нескольких разных местах вокруг озера, поймав, пометив и выпустив 96 рыб. Неделю спустя, после того, как помеченная рыба имела возможность тщательно перемешаться с населением в целом, биологи возвращаются и снова подводят свои сети.Они ловят 72 рыбы, из которых 4 помечены. Предполагая, что улов является репрезентативным, сколько рыб живет в озере?

Насколько я знаю, биологи и управляющие парками фактически используют эту технику для оценки популяций. Идея заключается в том, что после того, как выделенное время (как мы надеемся) достаточно для циркуляции помеченной рыбы по всему озеру, эти рыбы будут равномерно смешиваться с общей популяцией.Когда исследователи поймают немного рыбы позже, отношение помеченной рыбы в образце к непомеченной представляет соотношение 96 рыб, которые они пометили, с общей популяцией.

Я буду использовать « f », чтобы обозначить общее количество рыб в озере, и установлю мои соотношения с количеством «помеченных» рыб на верху. Тогда я настрою и решу пропорцию:

Поскольку переменная находится только в одной части пропорции, я могу использовать быстрый метод для ее решения.

f = [(96) (72)] / 4

f = 6912/4

f = 1728

Это говорит мне о том, что численность населения составляет:

---

Еще один тип проблемы слова «пропорция» — это преобразование единиц измерения, которое выглядит следующим образом:

• Сколько футов в секунду эквивалентно 60 милям в час?

Чтобы выполнить это упражнение, мне понадобятся коэффициенты пересчета, которые являются просто отношениями.(Если вы решаете проблему такого рода, то у вас должен быть доступ — например, в учебнике или в раздаточном материале — к основным коэффициентам преобразования. Если нет, то ваш инструктор, вероятно, ожидает, что вы запомните эти факторы.)

Я настрою все в длинном умножении, чтобы единицы отменялись:

Тогда мой ответ:

---

Обратите внимание на то, как я устанавливаю коэффициенты пересчета для моего мультипликатора (см. Выше) не обязательно стандартными способами.Например, обычно говорят «шестьдесят минут в час», а не «один час за шестьдесят минут». Так почему же я ввел коэффициент преобразования час-минута (во второй строке моих вычислений выше) как «один час на шестьдесят минут»?

Потому что при этом выстраивались дроби так, что единица «часы» в моем коэффициенте конверсии была бы отменена с «часами» в исходных «60 милях в час». Эта вещь об отмене юнитов является важной техникой, и вы должны рассмотреть ее дальше, если вам не удобно с ней.

---

• Конкретный рецепт печенья требует 225 грамм муки для одной партии из тридцати печенья. Джейд хотел бы приготовить как можно больше печенья для предстоящей вечеринки, и единственным препятствием для него является мука (у него много сахара, яиц и т. Д.). Если у него есть 1,206 килограмма муки, и если предположить, что все печенья имеют одинаковый размер, сколько приблизительно он может сделать? (Округлить до целого числа.)

У меня есть два элемента для моей пропорции: грамм муки и количество печенья. Сначала я прочитал «граммы», когда читал упражнение, поэтому я положу «граммы» сверху в моей пропорции.

Так как отношения даны мне в терминах граммов, а не килограммов, мне нужно будет также преобразовать имеющуюся меру Джейд в «1,206 грамма». Я буду использовать « с «, чтобы обозначить число, которое я пытаюсь разобраться за «печеньки».

(грамм) / (печенье): 225/30 = 1206/ c

Поскольку у меня есть неизвестный только в одной точке в этой пропорции, я могу использовать метод быстрого доступа для решения.

с = [(1206) (30)] / 225

с = 36180/225

с = 160.8

Оооо! Теперь я понимаю, почему в инструкции сказано округлить до «подходящего» целого числа: Джейд может делать только целые куки; «восьмая точка» печенья будет маленьким кусочком, который он съест, прежде чем отправиться на вечеринку.

В то время как обычно я округлял бы это число до , чтобы получить мой полный номер ответа, в этом случае мне нужно округлить до ; другими словами, в этом контексте (а именно, что все файлы cookie имеют одинаковый размер), я должен игнорировать дробную часть (то есть десятичную часть целого числа восемь), чтобы получить желаемый ответ.

---

• Кумар живет в Хорватии и посещает родственников в Индии. Текущий обменный курс составляет один евро (1 евро) к 80,45 индийских рупий (80,45)). Он хочет купить им подарок, который стоит 3759 фунтов стерлингов. Сколько евро будет стоить ему этот подарок? (Укажите свой ответ с точностью до двух знаков после запятой.)

Они дали мне обменный курс, который, по сути, является еще одним фактором пересчета, таким как упражнение «миль в час» выше.Так что я установлю свою пропорцию, с евро сверху, и буду использовать e , чтобы обозначить количество евро, которое ему понадобится.

(евро) / (рупии): 1 / 80,45 = и /3759

Я буду использовать ярлык для решения:

и = [(3759) (1)] / 80,45

и = 46.72467371 …

Округляя до двух знаков после запятой, Кумар будет тратить:

---

За исключением вышеописанного упражнения по преобразованию ставок, мы смогли решить все пропорции с помощью метода ярлыков. Скорее всего, вы также найдете это в своей домашней работе. Но всегда возможно, что у вас возникнет вопрос, где вам лучше использовать кросс-умножение.

• Джордж слышал из двух разных источников о диапазоне заработной платы в конкретной компании. Один источник говорит, что отношение самой низкой заработной платы к самой высокой заработной плате составляет 3: 7. Другой источник говорит, что самый высокий заработок ежегодно приносит на 57 000 долларов больше, чем самый низкий заработок. Каковы приблизительные зарплаты для самых высоких и самых низких заработков? (Округлить до ближайшей тысячи.)

Я знаю, что соотношение составляет 3: 7, поэтому я буду использовать дробь 3/7 для одной части моей пропорции.Если самая низкая ставка заработной платы в тысячах долларов составляет л , то самая высокая — л + 57. Моя пропорция:

(низший) / (высший): 3/7 = L / ( L + 57)

Поскольку в двух частях этой пропорции есть переменные, метод ярлыков не будет столь же полезен, как перекрестное умножение, чтобы очистить все дроби. Так что я буду кросс-умножить:

3/7 = L / ( L + 57)

3 ( L + 57) = 7 L

3 L + 171 = 7 L

171 = 4 L

42.75 = L

Вспоминая, что я отбросил конечные нули и считаю тысячи, приведенное выше число означает, что самая низкая зарплата (округленная до ближайшей тысячи) составляет приблизительно 43 000 долларов. Тогда самая высокая зарплата, составляющая около 57 тыс. Долларов, составляет примерно 100 тыс. Долларов.

, наименьшее: $ 43 000,
, наивысшее: $ 100 000,

---

URL: https: // www.purplemath.com/modules/ratio5.htm

,

Пропорции Решения

Этот урок посвящен решению пропорций с помощью перекрестного произведения для поиска неизвестных терминов.

Мы также покажем некоторые принципы, специальные приемы или ярлыки, которые можно использовать для быстрого решения пропорции.

Условия, которые необходимо знать:

x, y или любая другая буква используется для обозначения неизвестного числа.

Неизвестный термин: пропущенное или неизвестное число в пропорции.

Мы увидели в уроке о пропорциях, которые мы можем использовать для перекрестных произведений, чтобы определить, пропорциональны ли доли или соотношения.

Перекрестные продукты могут также использоваться, чтобы найти неизвестный термин в пропорции. Вот как!

с / d тогда a × d = b × c

с / d тогда a × d = b × c

Мы проиллюстрируем это на нескольких примерах.

Пример №1:

Поскольку эти две доли или соотношения находятся в пропорциях, мы знаем, что перекрестное произведение должно быть равным.

Используя перекрестное произведение, мы получим:

5 × 16 = x × 10

80 = 10x

Если вы знаете свою таблицу умножения, вы можете быстро получить ответ.

Если 10 × x = 80, то x должно быть 8, потому что 10 × 8 равно 80.

x = 8

Пропорция становится 5 / 8

Обратите внимание, что 5 × 16 = 8 × 10 = 80

Вы также можете разбить проблему на несколько этапов, если хотите, как показано ниже:

Первый перекрестный продукт: 5 × 16 = 80

Второй перекрестный продукт: 10 × x

Если равные перекрестные продукты равны, мы получим:

10 × x = 80

Существует более быстрый способ получить ответ при решении пропорций.Посмотрите на пропорцию снова:

Обратите внимание, что чтобы получить 10, 5 умножили на 2. По тому же токену, чтобы получить 16, нужно умножить что-то или число на 2. Какое число, умноженное на 2, даст вам 16? Без сомнения, это 8!

Пример № 2:

Используя перекрестное произведение, мы получаем:

8 × 25 = 10 × n

200 = 10n

Вместо того, чтобы спрашивать себя «10 раз, что равно 200?», Мы на этот раз решим уравнение, чтобы показать вам другое способ получить.

Разделите обе стороны на 10

200, деленное на 10 — это 20, а 10, деленное на 10 — это 1

20 = 1n

20 = n

Полезные эквивалентные пропорции, которые можно использовать при определении пропорций.

Принцип № 1:

Доказательство:

Добавьте 1 к обеим сторонам уравнения и выполните математические расчеты, как показано:

Выше может быть полезно, если вы решите

Вышеупомянутое уравнение становится

или

Вышесказанное, конечно, намного проще решить

Принцип # 2:

знак равно Икс / 4 тогда у = 4

знак равно 50 / 100 тогда у = 100

знак равно Икс / Y тогда х = 18

Принцип № 3:

Доказательство:

Перемножение:

b × c = a × d

bc = ad

Добавьте ab к обеим сторонам уравнения

ab + bc = ab + ad

Коэффициент b слева сторона.Фактор с правой стороны.

b (a + c) = a (b + d)

Перепишите вышеприведенное как пропорцию. Это как отмена перекрестного умножения.

Почему принцип # 3 полезен при определении пропорций?

Скажи, что у тебя есть х + 2 / 8 + 4

Это эквивалентно Икс / 8

Опять же, последний формат выглядит дружелюбно, и его можно решить быстрее.

Просто помните эти 3 принципа при определении пропорций, и это облегчит вам упражнение с пропорциями. Спасибо за прочтение!

Мы проиллюстрируем это на нескольких примерах.

Пример №1:

Поскольку эти две доли или соотношения находятся в пропорциях, мы знаем, что перекрестное произведение должно быть равным.

Используя перекрестный продукт, мы получим:

5 × 16 = x × 10

80 = 10x

Если вы знаете свою таблицу умножения, вы можете быстро получить ответ.

Если 10 × x = 80, то x должно быть 8, потому что 10 × 8 равно 80.

x = 8

Пропорция становится 5 / 8

Обратите внимание, что 5 × 16 = 8 × 10 = 80

Вы также можете разбить проблему на несколько этапов, если хотите, как показано ниже:

Первый перекрестный продукт: 5 × 16 = 80

Второй перекрестный продукт: 10 × x

Если равные перекрестные продукты равны, мы получим:

10 × x = 80

Существует более быстрый способ получить ответ при решении пропорций.Посмотрите на пропорцию снова:

Обратите внимание, что чтобы получить 10, 5 умножили на 2. По тому же токену, чтобы получить 16, нужно умножить что-то или число на 2. Какое число, умноженное на 2, даст вам 16? Без сомнения, это 8!

Пример № 2:

Используя перекрестное произведение, мы получаем:

8 × 25 = 10 × n

200 = 10n

Вместо того, чтобы спрашивать себя «10 раз, что равно 200?», Мы на этот раз решим уравнение, чтобы показать вам другое способ получить

разделить обе стороны на 10

200, деленное на 10 — это 20, а 10, деленное на 10 — это 1

20 = 1n

20 = n

Полезные эквивалентные пропорции, которые можно использовать при определении пропорций:

Принцип # 1:

Доказательство:

Добавьте 1 к обеим сторонам уравнения и выполните математические расчеты, как показано:

Выше может быть полезно, если вы решите

Вышеупомянутое уравнение становится

или

Вышесказанное, конечно, намного проще решить

Принцип # 2:

знак равно Икс / 4 тогда у = 4

Например,

знак равно 50 / 100 тогда у = 100

знак равно Икс / Y тогда х = 18

Принцип № 3:

Доказательство:

Перемножение:

b × c = a × d

bc = ad

Добавьте ab к обеим сторонам уравнения

ab + bc = ab + ad

Коэффициент b слева сторона.Коэффициент a с правой стороны

b (a + c) = a (b + d)

Перепишите вышеприведенное как пропорцию. Это как отмена перекрестного умножения

Почему принцип # 3 полезен при определении пропорций?

Скажи, что у тебя есть х + 2 / 8 + 4

Это эквивалентно Икс / 8

Опять же, последний формат выглядит дружелюбно, и его можно решить быстрее.

Просто помните эти 3 принципа при определении пропорций, и это облегчит вам упражнение с пропорциями. Спасибо за чтение

Решение викторины пропорций. Можете ли вы получить 100% по этой викторине?

Используйте этот калькулятор пропорций для решения задач пропорции

Новые уроки математики

Ваша электронная почта в безопасности с нами. Мы будем использовать его только для информирования вас о новых уроках математики.

,