Разложение на простые множители – способы (6 класс, математика)

4.3

Средняя оценка: 4.3

Всего получено оценок: 266.

4.3

Средняя оценка: 4.3

Всего получено оценок: 266.

Разложение на простые множители редко требуется для нахождения окончательного результата задач 6 класса. Но очень часто приходится использовать разложение на простые множители для того, чтобы решать примеры и задачи, связанные с дробями. Поэтому разберемся подробнее в том, как правильно раскладывать числа на простые множители.

Простые и сложные числа

Для начала разберемся в том, что же такое простое число. Итак, простым числом называют число, которое делиться только на 1 и на себя. Например, число 2 простое, так как его можно разделить только на 1 и на 2, то есть на само число.

Сложные же числа еще называют составными, потому что сложное число состоит из нескольких чисел перемноженных между собой.

Речь идет именно о делении чисел нацело. С дробным или целым остатком можно делить практически любые числа.

Разложение на простые множители

Разложение на простые множители проще и быстрее производить с помощью вертикальной черты. Для этого способа разложения чисел на простые множители слева от черты записывают изначальное число. Напротив него пишут простой множитель. Число делят на этот множитель, получают новое число и процесс продолжается до тех пор, пока не получится единица.

Приведем пример разложения числа на простые множители. Для этого в виде простых чисел представим число 3456.

• Для начала нужно определить, является ли число четным. Ведь если число четное, то оно делиться на 2, а 2 это наименьший простой множитель. Число 3456 является четным, значит делиться на 2.

3456:2=1728

• Получилось такое же четное число. Еще раз поделим его на 2 и будем делить до тех пор, пока не получится нечетное число.

1728:2=864

864:2=432

432:2=216

216:2=108

108:2=52

52:2=26

26:2=13

• В результате деления мы получили число 13.
  Существует таблица простых чисел, по которой можно проверить число 13 и узнать, что оно простое. Если бы первое полученное число не являлось четным, то следовало бы продолжить деление, но на другие простые числа. Нужно было бы проверить числа 3,5,7,11 и так далее, пока не удалось бы найти простое число, на которое разделился бы результат.

Так же стоит поступать, если изначально число не было четным. Результат разложения будет выглядеть так:

3456=2*2*2*2*2*2*2*2*13 – собираем все простые множители тщательно. Для проверки следует перемножить все числа заново и убедиться, что ни один простой множитель не был потерян в процессе сборки результата.

Чтобы не искать числа перебором, можно использовать признаки делимости чисел.

Таблицу простых чисел до 100 лучше знать наизусть. Для более крупных вычислений существуют таблицы простых чисел до 1000.

Зачем это нужно?

Это нужно в первую очередь для нахождения наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя. НОД и НОК используются в примерах на вычисление дробных выражений.

Числа 0 и 1 не относятся ни к простым, ни к сложным. А потому эти числа разложить на простые множители нельзя. А вот само простое число разложить на множители можно, хоть и условно. Так число 13=13*1

Что мы узнали?

Мы поговорили о разложении числа на простые множители. Привели алгоритм разложения. Рассказали, какие числа не относятся ни к простым, ни к сложным, сказали, что их раскладывать нельзя. Привели пример разложения числа на простые множители.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

• Никита Поцелуев

  5/5

Оценка статьи

4.3

Средняя оценка: 4.3

Всего получено оценок: 266.

---

А какая ваша оценка?

6 класс. Математика. Разложение числа на множители — Разложение числа на множители

Комментарии преподавателя

Опре­де­ле­ния:

Про­стым на­зы­ва­ют число, ко­то­рое имеет ровно два раз­лич­ных де­ли­те­ля.

Со­став­ным на­зы­ва­ют число, ко­то­рое имеет более двух де­ли­те­лей.

Раз­ло­жить на­ту­раль­ное число на мно­жи­те­ли – зна­чит пред­ста­вить его в виде про­из­ве­де­ния на­ту­раль­ных чисел.

Раз­ло­жить на­ту­раль­ное число на про­стые мно­жи­те­ли – зна­чит пред­ста­вить его в виде про­из­ве­де­ния про­стых чисел.

За­ме­ча­ния:

• В раз­ло­же­нии про­сто­го числа один из мно­жи­те­лей равен еди­ни­це, а дру­гой – са­мо­му этому числу.
• Го­во­рить о раз­ло­же­нии еди­ни­цы на мно­жи­те­ли не имеет смыс­ла.
• Со­став­ное число можно раз­ло­жить на мно­жи­те­ли, каж­дый из ко­то­рых от­ли­чен от 1.

	Раз­ло­жим число 150 на мно­жи­те­ли. На­при­мер, 150 – это 15 умно­жить на 10. 15 – это со­став­ное число. Его можно раз­ло­жить на про­стые мно­жи­те­ли 5 и 3. 10 – это со­став­ное число. Его можно раз­ло­жить на про­стые мно­жи­те­ли 5 и 2. За­пи­сав вме­сто 15 и 10 их раз­ло­же­ния на про­стые мно­жи­те­ли, мы по­лу­чи­ли раз­ло­же­ние числа 150.
	Число 150 можно по-дру­го­му раз­ло­жить на мно­жи­те­ли. На­при­мер, 150 – это про­из­ве­де­ние чисел 5 и 30. 5 – число про­стое. 30 – это число со­став­ное. Его можно пред­ста­вить как про­из­ве­де­ние 10 и 3. 10 – число со­став­ное. Его можно раз­ло­жить на про­стые мно­жи­те­ли 5 и 2. Мы по­лу­чи­ли раз­ло­же­ние числа 150 на про­стые мно­жи­те­ли дру­гим спо­со­бом.
	За­ме­тим, что пер­вое и вто­рое раз­ло­же­ние оди­на­ко­вы. Они от­ли­ча­ют­ся толь­ко по­ряд­ком сле­до­ва­ния мно­жи­те­лей. При­ня­то за­пи­сы­вать мно­жи­те­ли в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.
Вся­кое со­став­ное число можно раз­ло­жить на про­стые мно­жи­те­ли един­ствен­ным об­ра­зом с точ­но­стью до по­ряд­ка мно­жи­те­лей.

При раз­ло­же­нии боль­ших чисел на про­стые мно­жи­те­ли ис­поль­зу­ют за­пись в стол­бик:

	Наи­мень­шее про­стое число, на ко­то­рое де­лит­ся 216 – это 2. Раз­де­лим 216 на 2. По­лу­чим 108.
	По­лу­чен­ное число 108 де­лит­ся на 2. Вы­пол­ним де­ле­ние. По­лу­чим в ре­зуль­та­те 54.
	Со­глас­но при­зна­ку де­ли­мо­сти на 2 число 54 де­лит­ся на 2. Вы­пол­нив де­ле­ние, по­лу­чим 27.
	Число 27 за­кан­чи­ва­ет­ся на нечет­ную цифру 7 . Оно Не де­лит­ся на 2. Сле­ду­ю­щее про­стое число – это 3. Раз­де­лим 27 на 3. По­лу­чим 9. Наи­мень­шее про­стое Число, на ко­то­рое де­лит­ся 9, – это 3. Три – само яв­ля­ет­ся про­стым чис­лом, оно де­лит­ся на себя и на еди­ни­цу. Раз­де­лим 3 на себя. В итоге мы по­лу­чи­ли 1.

• Число де­лит­ся лишь на те про­стые числа, ко­то­рые вхо­дят в со­став его раз­ло­же­ния.
• Число де­лит­ся лишь на те со­став­ные числа, раз­ло­же­ние ко­то­рых на про­стые мно­жи­те­ли пол­но­стью в нем со­дер­жит­ся.

Рас­смот­рим при­ме­ры:

	4900 де­лит­ся на про­стые числа 2, 5 и 7. (они вхо­дят в раз­ло­же­ние числа 4900), но не де­лит­ся, на­при­мер, на 13.
1.                      2.                   .	11 550 75. Это так, по­то­му что раз­ло­же­ние числа 75 пол­но­стью со­дер­жит­ся в раз­ло­же­нии числа 11550. В ре­зуль­та­те де­ле­ния будет про­из­ве­де­ние мно­жи­те­лей 2, 7 и 11.   11550 не де­лит­ся на 4 по­то­му, что в раз­ло­же­нии че­ты­рех есть лиш­няя двой­ка.

	Раз­ло­же­ние числа b пол­но­стью со­дер­жит­ся в раз­ло­же­нии числа a.
	Ре­зуль­тат де­ле­ния a на b – это про­из­ве­де­ние остав­ших­ся в раз­ло­же­нии числа a трех чисел. Итак, ответ: 30.

источник конспекта — http://interneturok.ru/ru/school/matematika/6-klass/delimost-chisel/razlozhenie-chisla-na-mnozhiteli

источник видео — http://www.youtube.com/watch?v=_qNLLx9r3Q8

источник видео — http://www.youtube.com/watch?v=_p1q9NlMN9U

источник видео — http://www.youtube.com/watch?v=0qyAVdH-iaY

источник видео — http://www.youtube.com/watch?v=s-7EErDv7Eo

источник презентации — http://prezentacii.com/matematike/5900-razlozhenie-na-prostye-mnozhiteli.html

источник теста — http://testedu.ru/test/matematika/6-klass/prostyie-i-sostavnyie-chisla-razlozhenie-na-prostyie-mnozhiteli.html

Факторизация простых чисел — 6 класс

Примеры и вопросы Prime Factorization с подробными решениями и пояснениями, представлены для учащихся 6 класса. Обзор факторов и мультипликаторов было бы очень полезно понять первичную факторизацию.

Определение: Любое целое число, которое делится ТОЛЬКО на 1 и само на себя, называется простым числом.

Пример 1

2 простое число, почему?

2 можно разделить на 1     2 ÷ 1 = 2 с остатком, равным нулю

2 можно разделить на 2 (само себя)     2 ÷ 2 = 1 с остатком, равным нулю

Попробуйте найти другое целое число, которое делит 2 с нулем в остатке. Нет.

Пример 2

7 простое число, почему?

7 можно разделить на 1     7 ÷ 1 = 7 с остатком, равным нулю

7 можно разделить на 7 (само себя)     7 ÷ 7 = 1 с остатком, равным нулю

Попробуйте найти другое целое число, которое делит 7 с нулем в остатке. Нет.

Первые 10 простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Вы можете сгенерировать больше простых чисел и протестировать их.

Составные номера

Определение: Любое целое число, которое можно разделить (с остатком, равным нулю) на другое целое число, отличное от 1 и самого себя, называется составным числом.

4 составное число, почему?

4 можно разделить на 1, на себя и на 2.

6 составное число, почему?

6 можно разделить на 1, на себя, на 2 и на 3.

12 — составное число: его можно разделить на 1, на себя, на 2, 3, 4 и 6.

30 — составное число: его можно разделить на 1, на себя, на 2, 3, 5, 6, 10 и 15.

Факторизация

От деления к умножению и к факторингу.

Деление и умножение являются родственными операциями.

Деление 6 ÷ 3 = 2 можно записать как умножение: 6 = 2 × 3.

Разложить целое число на множители означает представить его как произведение двух или более целых чисел.

Примеры

1) 6 = 1 × 6; 6 = 2 × 3     1, 2, 3 и 6 называются делителями 6.

2) 12 = 12 × 1 = 3 × 4 = 6 × 2     1, 2, 3, 4, 6 и 12 называются делителями 12.

3) 20 = 1 × 20 = 2 × 10 = 2 × 2 × 5 = 4 × 5     1, 2, 3, 4, 5, 10 и 20 называются множителями 20.

Разложение на простые множители

Факторизация простых чисел заключается в записи составного целого числа в виде произведения только простых чисел.

Примеры

1) 6 = 2 × 3     делители 2 и 3 являются простыми числами.

2) 12 = 2 × 2 × 3     делители 2 и 3 — простые числа.

3) 20 = 2 × 2 × 5     делители 2 и 5 — простые числа.

Как найти простую факторизацию составного числа?

Пример 1

Запишите простую факторизацию числа 12.

1) Посмотрите, является ли первое простое число 2 делителем данного числа 12.

12 ÷ 2 = 6 с остатком = 0        2 в 12 раз больше        12 = 2 × 6

2) Посмотрите, является ли первое простое число 2 делителем 6.

6 ÷ 2 = 3 с остатком = 0        2 является коэффициентом 6        6 = 2 × 3        Следовательно, 12 = 2 × 6 = 2 × 2 × 3

12 = 2 × 2 × 3 полностью факторизуется с использованием только простых чисел 2 и 3.

Пример 2

Запишите простую факторизацию числа 21.

1) Посмотрите, является ли первое простое число 2 делителем данного числа 21.

21 ÷ 2 = 10, но остаток = 1, поэтому 2 не является множителем 21.

2) Является ли следующее простое число 3 множителем 21?

21 ÷ 3 = 7 с остатком 0        3 является коэффициентом 21        21 = 3 × 7

3 и 7 — простые числа, поэтому 21 = 3 × 7 полностью факторизуется с использованием только простых чисел 3 и 7.

Этот калькулятор простых множителей можно использовать для получения всех простых множителей заданного числа.

Фактор – Элементарная математика

Термины фактор и множитель иногда путают друг с другом. Факторы 15 включают 3 и 5; числа, кратные 15, включают 30, 45, 60 (и более). Подробнее см. ниже и в нескольких местах.

Значение

Factor может использоваться как глагол или существительное.

• Глагол: Разложить число на множители означает выразить его как произведение (других) целых чисел, называемых его множителями. Например, мы можем разложить 12 как 3 × 4, или как 2 × 6, или как 2 × 2 × 3. Таким образом, 2, 3, 4 и 6 — все это делители 12.
• Существительное: Множитель числа — назовем это число N — это число, которое можно умножить на что-то, чтобы получить N как произведение. Другими словами: делители числа — это его делители; то есть они могут разделить это число, не оставляя остатка.

Итак, например, 3 — это делитель 12, потому что 3 — счетное число, и его можно умножить на 4, чтобы получить 12. Опять же, 3 — это делитель 12, потому что 3 делит 12 без остатка. Делителями 12 являются 1, 2, 3, 4, 6 и 12, потому что каждый из них делит 12 без остатка (или, альтернативно, каждый из них является счетным числом, которое можно умножить на другое счетное число, чтобы получить 12).

Некоторые тонкости

• Факторы числа включают число, само себя и 1. Но это довольно тривиальные множители, и поэтому, когда мы говорим о разложении числа на множители, мы обычно не включаем факторизации, которые включают 1 или сам номер.
• В контексте чисел термины множитель (а также кратность и делимость) используются только в связи с целыми числами. Так, например, хотя 12 можно выразить в виде произведения с помощью дробей — например, 8 × 1 или 24 × — это не факторизация 12.
• Простые числа имеют два множителя, само себя и 1, но это тривиальные множители, которые есть у каждого числа. Поскольку они не могут быть факторизованы каким-либо другим способом, мы говорим, что они не могут быть факторизованы. Например, число 7 «нельзя разложить на множители» (даже несмотря на то, что оно имеет два делителя 1 и 7 или может быть выражено как произведение нецелых чисел различными способами).
• Составные числа (подсчет чисел, которые не являются ни простыми, ни единицами) часто можно разложить на множители (выразить в виде произведения целых чисел) более чем одним способом. Например, 12 можно разложить как 3 × 4, или как 2 × 6, или как 2 × 2 × 3. Однако не все составные числа можно разложить более чем одним способом. Например, 25 можно разложить только как 5 × 5.
• Порядок, в котором числа перечислены в факторизации, не имеет значения: 3 × 4 и 4 × 3 — это одна и та же факторизация 12.

Дополнительные сведения о математике

Простой множитель числа — это просто множитель этого числа, который также является простым. Итак, число 12 имеет шесть делителей — 1, 2, 3, 4, 6 и 12, — но только два из них (2 и 3) простые, поэтому оно имеет только два простых делителя.

Разложение числа на простые множители — это факторизация — способ представления этого числа в виде произведения — состоящая только из простых чисел. Таким образом, число 12 может быть выражено в виде произведения многими способами — 1 × 2 × 2 × 3, или 3 × 4, 2 × 2 × 3 или 2 × 6, — но только один из них состоит исключительно из простых чисел: 2 × 2 × 3. (Число 1 не является простым. См. «Простые», чтобы узнать, почему.) Числа 2 и 3 — единственные простые делители числа 12, но простая факторизация числа 12 должна содержать двойку дважды — 2 × 2 × 3 (или 22 × 3), потому что 2 × 3 само по себе не дает 12,

Хотя многие числа можно разложить на множители более чем одним способом, их разложение на простые множители уникально! Помимо порядка, есть только один способ разложить любое число на простые!

Что в слове?

Фактор относится к фабрике. Точно так же, как фабрика — это место, производящее различные продукты, фактор — это число, которое производит другие числа как продукты.