НОД и НОК

Продолжаем изучать деление. В данном уроке мы рассмотрим такие понятия, как НОД и НОК.

НОД — это наибольший общий делитель.

НОК — это наименьшее общее кратное.

Тема довольно скучная, но разобраться в ней нужно обязательно. Не понимая этой темы, не получится эффективно работать с дробями, которые являются настоящей преградой в математике.

Наибольший общий делитель

Определение. Наибольшим общим делителем чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка.

Чтобы хорошо понять это определение, подставим вместо переменных a и b любые два числа. Например, вместо переменной a подставим число 12, а вместо переменной b — число 9. Теперь попробуем прочитать это определение:

Наибольшим общим делителем чисел 12 и 9 называется наибольшее число, на которое

Из определения понятно, что речь идёт об общем делителе чисел 12 и 9. Причем делитель является наибольшим из всех существующих делителей. Этот наибольший общий делитель (НОД) нужно найти.

Для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, используется три способа. Первый способ довольно трудоёмкий, но зато позволяет хорошо понять суть темы и прочувствовать весь ее смысл.

Второй и третий способы довольны просты и дают возможность быстро найти НОД. Рассмотрим все три способа. А какой применять на практике — выбирать вам.

Первый способ заключается в поиске всех возможных делителей двух чисел и в выборе наибольшего из них. Рассмотрим этот способ на следующем примере: найти наибольший общий делитель чисел 12 и 9.

Сначала найдём все возможные делители числа 12. Для этого разделим 12 на все делители в диапазоне от 1 до 12. Если делитель позволит разделить 12 без остатка, то мы будем выделять его синим цветом и в скобках делать соответствующее пояснение.

12 : 1 = 12
(12 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 12)

12 : 2 = 6
(12 разделилось на 2 без остатка, значит 2 является делителем числа 12)

12 : 3 = 4
(12 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 12)

12 : 4 = 3
(12 разделилось на 4 без остатка, значит 4 является делителем числа 12)

12 : 5 = 2 (2 в остатке)
(12 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 12)

12 : 6 = 2
(12 разделилось на 6 без остатка, значит 6 является делителем числа 12)

12 : 7 = 1 (5 в остатке)
(12 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 12)

12 : 8 = 1 (4 в остатке)
(12 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 12)

12 : 9 = 1 (3 в остатке)
(12 не разделилось на 9 без остатка, значит 9 не является делителем числа 12)

12 : 10 = 1 (2 в остатке)
(12 не разделилось на 10 без остатка, значит 10 не является делителем числа 12)

12 : 11 = 1 (1 в остатке)
(12 не разделилось на 11 без остатка, значит 11 не является делителем числа 12)

12 : 12 = 1
(12 разделилось на 12 без остатка, значит 12 является делителем числа 12)

Теперь найдём делители числа 9. Для этого проверим все делители от 1 до 9

9 : 1 = 9
(9 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 9)

9 : 2 = 4 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 2 без остатка, значит 2 не является делителем числа 9)

9 : 3 = 3
(9 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 9)

9 : 4 = 2 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 4 без остатка, значит 4 не является делителем числа 9)

9 : 5 = 1 (4 в остатке)
(9 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 9)

9 : 6 = 1 (3 в остатке)
(9 не разделилось на 6 без остатка, значит 6 не является делителем числа 9)

9 : 7 = 1 (2 в остатке)
(9 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 9)

9 : 8 = 1 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 9)

9 : 9 = 1
(9 разделилось на 9 без остатка, значит 9 является делителем числа 9)

Теперь выпишем делители обоих чисел. Числа выделенные синим цветом и являются делителями. Их и выпишем:

Выписав делители, можно сразу определить какой является наибольшим и общим.

Согласно определению, наибольшим общим делителем чисел 12 и 9, является число, на которое 12 и 9 делятся без остатка. Наибольшим и общим делителем чисел 12 и 9 является число 3

И число 12 и число 9 делятся на 3 без остатка:

12 : 3 = 4

9  : 3 = 3

Значит НОД (12 и 9) = 3

Второй способ нахождения НОД

Теперь рассмотрим второй способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, чтобы разложить оба числа на простые множители и перемножить общие из них.

Пример 1. Найти НОД чисел 24 и 18

Сначала разложим оба числа на простые множители:

Теперь перемножим их общие множители. Чтобы не запутаться, общие множители можно подчеркнуть.

Смотрим на разложение числа 24. Первый его множитель это 2. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что он там тоже есть. Подчеркиваем обе двойки:

Снова смотрим на разложение числа 24. Второй его множитель тоже 2. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что его там второй раз уже нет. Тогда ничего не подчёркиваем.

Следующая двойка в разложении числа 24 также отсутствует в разложении числа 18.

Переходим к последнему множителю в разложении числа 24. Это множитель 3. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что там он тоже есть. Подчеркиваем обе тройки:

Итак, общими множителями чисел 24 и 18 являются множители 2 и 3. Чтобы получить НОД, эти множители необходимо перемножить:

2 × 3 = 6

Значит НОД (24 и 18) = 6

Третий способ нахождения НОД

Теперь рассмотрим третий способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, что числа подлежащие поиску наибольшего общего делителя раскладывают на простые множители. Затем из разложения первого числа вычеркивают множители, которые не входят в разложение второго числа. Оставшиеся числа в первом разложении перемножают и получают НОД.

Пример 1. Найти НОД чисел 28 и 16.

В первую очередь, раскладываем числа 28 и 16 на простые множители:

Получили два разложения:  и 

Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит семёрка. Её и вычеркнем из первого разложения:

Теперь перемножаем оставшиеся множители и получаем НОД:

Число 4 является наибольшим общим делителем чисел 28 и 16. Оба этих числа делятся на 4 без остатка:

28 : 4 = 7

16 : 4 = 4

 НОД (28 и 16) = 4

Пример 2. Найти НОД чисел 100 и 40

Раскладываем на множители число 100

Раскладываем на множители число 40

Получили два разложения: 2 × 2 × 5 × 5 и 2 × 2 × 2 × 5

Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит одна пятерка (там только одна пятёрка). Её и вычеркнем из первого разложения

Перемножим оставшиеся числа:

Получили ответ 20. Значит число 20 является наибольшим общим делителем чисел 100 и 40. Эти два числа делятся на 20 без остатка:

100 : 20 = 5

40 : 20 = 2

 НОД (100 и 40) = 20.

Пример 3. Найти НОД чисел 72 и 128

Раскладываем на множители число 72

Раскладываем на множители число 128

Получили два разложения: 2 × 2 × 2 × 3 × 3 и 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2.

Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входят две тройки (там их вообще нет). Их и вычеркнем из первого разложения:

Перемножим оставшиеся числа:

Получили ответ 8. Значит число 8 является наибольшим общим делителем чисел 72 и 128. Эти два числа делятся на 8 без остатка:

72 : 8 = 9

128 : 8 = 16

 НОД (72 и 128) = 8

Нахождение НОД для нескольких чисел

Наибольший общий делитель можно находить и для нескольких чисел, а не только для двух. Для этого числа, подлежащие поиску наибольшего общего делителя, раскладывают на простые множители, затем находят произведение общих простых множителей этих чисел.

Например, найдём НОД для чисел 18,  24  и  36

Разложим на множители число 18

Разложим на множители число 24

Разложим на множители число 36

Получили три разложения:

Теперь найдём и подчеркнём общие множители:

Мы видим, что общие множители для чисел 18, 24 и 36 это множители 2 и 3. Эти множители входят во все три разложения. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:

2 × 3 = 6

Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 18, 24 и 36. Эти три числа делятся на 6 без остатка:

18 : 6 = 3

24 : 6 = 4

36 : 6 = 6

 НОД (18, 24 и 36) = 6

Пример 2. Найти НОД для чисел 12, 24, 36 и 42

Разложим на простые множители каждое число. Затем найдём произведение общих простых множителей.

Разложим на множители число 12

Разложим на множители число 24

Разложим на множители число 36

Разложим на множители число 42

Получили четыре разложения:

Теперь найдём и подчеркнём общие множители:

Мы видим, что общие множители для чисел 12, 24, 36, и 42 это множители 2 и 3. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:

2 × 3 = 6

Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 12, 24, 36 и 42. Эти числа делятся на 6 без остатка:

12 : 6 = 2

24 : 6 = 4

36 : 6 = 6

42 : 6 = 7

 НОД (12, 24 , 36 и 42) = 6

Наименьшее общее кратное

Из предыдущего урока мы знаем, что если какое-то число без остатка разделилось на другое, его называют кратным этого числа.

Оказывается, кратное может быть общим у нескольких чисел. И сейчас нас будет интересовать кратное двух чисел, причем оно должно быть максимально маленьким.

Определение. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел a и b — это наименьшее число, которое кратно a и b. Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число a и число b.

Определение содержит две переменные

Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 9 и 12 — это наименьшее число, которое кратно 9 и 12. Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число 9 и на число 12.

Из определения понятно, что наименьшее общее кратное это наименьшее число, которое делится без остатка на 9 и на 12. Это наименьшее общее кратное требуется найти.

Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) можно пользоваться тремя способами. Первый способ заключается в том, что можно выписать первые кратные двух чисел, а затем выбрать среди этих кратных такое число, которое будет общим для обоих чисел и маленьким. Давайте применим этот способ.

В первую очередь, найдем первые кратные для числа 9. Чтобы найти кратные для 9, нужно эту девятку поочерёдно умножить на числа от 1 до 9. Получаемые ответы будут кратными для числа 9.

Итак, начнём. Кратные будем выделять синим цветом:

Теперь находим кратные для числа 12. Для этого поочерёдно умножим число 12 на все числа 1 до 12:

Теперь выпишем кратные обоих чисел:

Теперь найдём общие кратные обоих чисел. Найдя, сразу подчеркнём их:

Общими кратными для чисел 9 и 12 являются кратные 36 и 72. Наименьшим же из них является 36.

Значит наименьшее общее кратное для чисел 9 и 12 это число 36. Данное число делится на 9 и 12 без остатка:

36 : 9 = 4

36 : 12 = 3

НОК (9 и 12) = 36

Второй способ нахождения НОК

Второй способ заключается в том, что числа для которых ищется наименьшее общее кратное раскладываются на простые множители. Затем выписываются множители, входящие в первое разложение, и добавляют недостающие множители из второго разложения. Полученные множители перемножают и получают НОК.

Применим данный способ для предыдущей задачи. Найдём НОК для чисел 9 и 12.

Разложим на множители число 9

Разложим на множители число 12

Выпишем первое разложение:

Теперь допишем множители из второго разложения, которых нет в первом разложении. В первом разложении нет двух двоек. Их и допишем:

Теперь перемножаем эти множители:

Получили ответ 36. Значит наименьшее общее кратное чисел 9 и 12 это число 36. Данное число делится на 9 и 12 без остатка:

36 : 9 = 4

36 : 12 = 3

НОК (9 и 12) = 36

Говоря простым языком, всё сводится к тому, чтобы организовать новое разложение куда входят оба разложения сразу. Разложением первого числа 9 являлись множители 3 и 3, а разложением второго числа 12 являлись множители 2, 2 и 3.

Наша задача состояла в том, чтобы организовать новое разложение куда входило бы разложение числа 9 и разложение числа 12 одновременно. Для этого мы выписали разложение первого числа и дописали туда множители из второго разложения, которых не было в первом разложении. В результате получили новое разложение 3 × 3 × 2 × 2. Нетрудно увидеть воочию, что в него одновременно входят разложение числа 9 и разложение числа 12

Пример 2. Найти НОК чисел 50 и 180

Разложим на множители число 50

Разложим на множители число 180

Выпишем первое разложение:

Теперь допишем множители из второго разложения, которых нет первом разложении. В первом разложении нет ещё одной двойки и двух троек. Их и допишем:

Теперь перемножаем эти множители:

Получили ответ 900. Значит наименьшее общее кратное чисел 50 и 180 это число 900. Данное число делится на 50 и 180 без остатка:

900 : 50 = 18

900 : 180 = 5

НОК (50 и 180) = 900

Пример 3. Найти НОК чисел 8, 15 и 33

Разложим на множители число 8

Разложим на множители число 15

Разложим на множители число 33

Выпишем первое разложение:

Теперь допишем множители из второго и третьего разложения, которых нет первом разложении. Допишем множители 3 и 5 из второго разложения, и множитель 11 из третьего разложения:

Теперь перемножаем эти множители:

Получили ответ 1320. Значит наименьшее общее кратное чисел 8, 15 и 33 это число 1320. Данное число делится на 8, 15 и 33 без остатка:

1320 : 8 = 165

1320 : 15 = 88

1320 : 33 = 40

НОК (8, 15 и 33) = 1320

Третий способ нахождения НОК

Есть и третий способ нахождения наименьшего общего кратного. Он работает при условии, что его ищут для двух чисел и при условии, что уже найден наибольший общий делитель этих чисел.

Данный способ разумнее использовать, когда одновременно нужно найти НОД и НОК двух чисел.

К примеру, пусть требуется найти НОД и НОК чисел 24 и 12. Сначала найдем НОД этих чисел:

Теперь для нахождения наименьшего общего кратного чисел 24 и 12, нужно перемножить эти два числа и полученный результат разделить на их наибольший общий делитель.

Итак, перемножим числа 24 и 12

Разделим полученное число 288 на НОД чисел 24 и 12

Получили ответ 24. Значит наименьшее общее кратное чисел 24 и 12 равно 24

НОК (24 и 12) = 24

Пример 2. Найти НОД и НОК чисел 36 и 48

Найдем НОД чисел 36 и 48

Перемножим числа 36 и 48

Разделим 1728 на НОД чисел 36 и 48

Получили 144. Значит наименьшее общее кратное чисел 36 и 48 равно 144

НОК (36 и 48) = 144

Для проверки можно найти НОК обычным вторым способом, которым мы пользовались ранее. Если мы всё сделали правильно, то должны получить 144

Не расстраивайтесь, если сразу не научитесь находить НОД и НОК. Главное понимать, что это такое и как оно работает. А ошибки вполне естественны на первых порах. Как говорят: «На ошибках учимся».

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите НОД чисел 12 и 16

Решение:

Задание 2. Найдите НОК чисел 12 и 16

Решение:

Задание 3. Найдите НОД чисел 40 и 32

Решение:

Задание 4. Найдите НОК чисел 40 и 32

Решение:

Задание 5. Найдите НОД чисел 54 и 86

Решение:

Задание 6. Найдите НОК чисел 54 и 86

Решение:

Задание 7. Найдите НОД чисел 98 и 35

Решение:

Задание 8. Найдите НОК чисел 98 и 35

Решение:

Задание 9. Найдите НОД чисел 112 и 82

Решение:

Задание 10. Найдите НОК чисел 112 и 82

Решение:

Задание 11. Найдите НОД чисел 24, 48, 64

Решение:

Задание 12. Найдите НОК чисел 24, 48, 64

Решение:

Задание 13. Найдите НОД чисел 18, 48, 96

Решение:

Задание 14. Найдите НОК чисел 18, 48, 96

Решение:

Задание 15. Найдите НОД чисел 28, 24, 76

Решение:

Задание 16. Найдите НОК чисел 28, 24, 76

Решение:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Как найти наибольший общий делитель (НОД)

Рассмотрим два способа нахождения наибольшего общего делителя.

Нахождение путём разложения на множители

Первый способ заключается в нахождении наибольшего общего делителя путём разложения данных чисел на простые множители.

Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно, разложить их на простые множители и перемножить между собой те из них, которые являются общими для всех данных чисел.

Пример 1. Найдём НОД (84, 90).

Раскладываем числа  84  и  90  на простые множители:

Итак, мы подчеркнули все общие простые множители, осталось перемножить их между собой:

1 · 2 · 3 = 6.

Таким образом, НОД (84, 90) = 6.

Пример 2. Найдём НОД (15, 28).

Раскладываем  15  и  28  на простые множители:

Числа  15  и  28  являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель — единица.

НОД (15, 28) = 1.

Алгоритм Евклида

Второй способ (иначе его называют способом Евклида) заключается в нахождении НОД путём последовательного деления.

Сначала мы рассмотрим этот способ в применении только к двум данным числам, а затем разберёмся в том, как его применять к трём и более числам.

Если большее из двух данных чисел делится на меньшее, то число, которое меньше и будет их наибольшим общим делителем.

Пример 1. Возьмём два числа  27  и  9.  Так как  27  делится на  9  и  9  делится на  9,  значит,  9  является общим делителем чисел  27  и  9.  Этот делитель является в тоже время и наибольшим, потому что  9  не может делиться ни на какое число, большее  9.  Следовательно:

НОД (27, 9) = 9.

В остальных случаях, чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел используется следующий порядок действий:

1. Из двух данных чисел большее число делят на меньшее.
2. Затем, меньшее число делят на остаток, получившийся от деления большего числа на меньшее.
3. Далее, первый остаток делят на второй остаток, который получился от деления меньшего числа на первый остаток.
4. Второй остаток делят на третий, который получился от деления первого остатка на второй и т. д.
5. Таким образом деление продолжается до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель как раз и будет наибольшим общим делителем.

Пример 2. Найдём наибольший общий делитель чисел  140  и  96:

1) 140 : 96 = 1 (остаток 44)

2) 96 : 44 = 2 (остаток 8)

3) 44 : 8 = 5 (остаток 4)

4) 8 : 4 = 2

Последний делитель равен  4  — это значит:

НОД (140, 96) = 4.

Последовательное деление так же можно записывать столбиком:

Чтобы найти наибольший общий делитель трёх и более данных чисел, используем следующий порядок действий:

1. Сперва находим наибольший общий делитель любых двух чисел из нескольких данных.
2. Затем находим НОД найденного делителя и какого-нибудь третьего данного числа.
3. Затем находим НОД последнего найденного делителя и четвёртого данного числа и так далее.

Пример 3. Найдём наибольший общий делитель чисел  140,  96  и  48.  НОД чисел  140  и  96  мы уже нашли в предыдущем примере (это число  4).  Осталось найти наибольший общий делитель числа  4  и третьего данного числа —  48:

1) 48 : 4 = 12

48  делится на  4  без остатка. Таким образом:

НОД (140, 96, 48) = 4.

Онлайн урок: Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа по предмету Математика 6 класс

Давайте разберёмся с некоторыми натуральными числами.

Число 15 имеет делители 1, 3, 5, а число 16 имеет делители 1, 2, 4, 8

У этих чисел единственный одинаковый делитель — это число 1 , поэтому они будут называться взаимно простыми.

Рассмотрев этот и другие примеры, не сложно догадаться, что натуральные числа, у которых НОД равен 1, называются взаимно простые.

 

Пример 1

Возьмем две пары чисел 12 и 18, 13 и 21. Выясним, есть ли среди них взаимно простые числа. Для этого каждое из чисел распишем по простым делителям.

12 имеет делители 1, 2, 3, 4, 6, 12

18 имеет делители 1, 2, 3, 6, 9, 18

Значит, числа 12 и 18 кроме единицы имеют общие делители 2, 3, 6, поэтому они не являются взаимно простыми числами. Повторим действия с другой парой чисел 13 и 21.

Число 13 делится нацело на 1, 13, а число 21 делится нацело на 1, 3, 7, 21.

Тут уже ситуация другая. 13 и 21 имеют единственный общий делитель — 1.

Значит, вторая пара чисел состоит из взаимно простых.

 

Пример 2 

Пусть у нас есть два числа 45 и 32, которые являются натуральными и составными.

Первое из них 45 имеет делители 1, 3, 5, 9, 15, 45, а натуральное число 32 имеет делители 1, 2, 4, 8, 16, 32

Оба числа из этой пары имеют единственный общий делитель- 1

Значит, числа 45 и 32 являются взаимно простыми. Запишем оба числа в виде разложения на простые множители

$$\mathbf{45 = 3\cdot3\cdot5}$$

$$\mathbf{32 = 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2}$$

Числа из нашего примера, 45 и 32, в записи на множители не содержат равных чисел. Значит, разложения на простые множители двух и более взаимно простых чисел не включают одинаковых простых множителей.

 

Пример 3

Являются ли взаимно простыми числа:

А) 55 и 40

Б) 77 и 92

В) 14, 32 и 41

Г) 231 и 298

Д) 68 и 137

Решение:

А)

$$\mathbf{55 = 5\cdot11}$$

$$\mathbf{40 = 2\cdot2\cdot2\cdot5}$$

$$\mathbf{НОД (55; 40)  = 5}$$

Нет, не являются взаимно простыми числами

Б)

$$\mathbf{77 = 7\cdot11}$$

$$\mathbf{92 = 2\cdot2\cdot23}$$

$$\mathbf{НОД (77; 92) = 1}$$

Да, являются взаимно простыми числами

В)

$$\mathbf{14 = 2\cdot7}$$

$$\mathbf{32 = 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2}$$

$$\mathbf{41 — простое\:число}$$

$$\mathbf{НОД (14; 32; 41) = 1}$$

Да, являются взаимно простыми числами

Г)

$$\mathbf{231 = 3\cdot7\cdot11}$$

$$\mathbf{298 = 2\cdot149}$$

$$\mathbf{НОД (231; 298) = 1}$$

Да, являются взаимно простыми числами

Д)

$$\mathbf{68 = 2\cdot2\cdot17}$$

$$\mathbf{137- простое}$$

$$\mathbf{НОД (68; 137) = 1}$$

Да, являются взаимно простыми числами

 

Пример 4

Найдите разложение на простые множители наибольшего общего делителя чисел a и b, если:

А) \(\mathbf{a = 2\cdot3\cdot5\cdot2\cdot3}\) и  \(\mathbf{b = 2\cdot2\cdot5\cdot7}\)

Б) \(\mathbf{a = 3\cdot5\cdot5\cdot7\cdot17}\) и \(\mathbf{b = 5\cdot3\cdot3\cdot17}\)

Решение

А) \(\mathbf{НОД (a; b) = НОД (2\cdot3\cdot5\cdot2\cdot3; 2\cdot2\cdot5\cdot7) = 2\cdot2\cdot5 = 20}\)

Б) \(\mathbf{НОД (a; b) = НОД (3\cdot5\cdot5\cdot7\cdot17; 5\cdot3\cdot3\cdot17) = 5\cdot3\cdot17 = 255}\)

Признак делимости на произведение взаимно простых чисел: если данное натуральное число делится на каждое из взаимно простых чисел, то оно делится и на их произведение.

Рассмотрим этот признак на примере трех взаимно простых чисел.

Возьмем, например, 420.

Число 420 без остатка делится на 2, на 5 и на 7.

Числа 2, 5, 7 являются взаимно простыми (так как их НОД равен 1). Проверим, будет ли делиться 420 на произведение взаимно простых чисел 2, 5 и 7.

\(\mathbf{2\cdot5\cdot7 = 70}\)

\(\mathbf{\frac{420}{70} = 6}\)

Очевидно, что 420 делится нацело на произведение чисел двух, пяти и семи.

Правило можно применять для любого количества множителей.

Презентация к уроку по алгебре (6 класс) на тему: Урок в 6 классе. Наибольший общий делитель

Этап  урока, формирование УУД	Деятельность учителя	Деятельность ученика
Организационно-мотивационный  момент. Регулятивные: -нацеливание на успешную деятельность. Личностные: — проявляют готовность к работе на уроке, эмоциональную отзывчивость на слова учителя. Коммуникативные: — формирование  умения слушать и слышать	Приветствие учащихся. Добрый день! Я рада встрече с вами и приготовила для вас  много интересных заданий, вопросов для размышления, занимательных задач для проверки своих знаний. Итак, мы начинаем.	Стоя приветствуют учителя, садятся за парты.
Актуализация знаний учащихся 1) Познавательные: — общеучебные умения структурировать знания, контроль и оценка процесса и результатов деятельности. 2) Логические: — анализ, сравнение, синтез. 3) Регулятивные: — контроль и оценка прогнозирования (при анализе учебного действия).	Внимание на экран. Выдающийся французский философ, учёный Блез Паскаль утверждал: «Величие человека заключается в его способности мыслить». Сегодня мы попытаемся подтвердить это высказывание, почувствовать себя великими людьми, открывая новые знания. -Повторим базовый материал. Вспомним, какую тему вы изучили на последних уроках? -Можно ли произведение  назвать разложением на простые множители? Ответ обоснуйте  -Какие числа называются простыми	Разложение чисел на простые множители Да, т.к. множители – простые числа Натуральные числа, имеющие только два делителя называются простыми
	— Что можно сказать о числе, зная данное разложение? -Остановимся на делителях числа. Что называется делителем натурального числа а? -Некоторое число х разложили на простые множители. Получили . Какие ещё могут быть делители у числа х, кроме 2, 3, 5?	Число составное, делители числа Делитель натурального числа а – это такое натуральное число, на которое данное натуральное число а делится без остатка 6, 10, 15, 30
Постановка проблемы. Регулятивные:  — постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимися и того, что еще не известно; Познавательные: — постановка и решение проблемы; Личностные: — развитие познавательных интересов учебных мотивов; Коммуникативные: — умение ясно и четко излагать свое мнение, выстраивать речевые конструкции.	Решить задачу: Для подарков детям купили 40 апельсинов и 100 шоколадных конфет. Какое наибольшее количество одинаковых подарков можно будет сделать?	Ответы учащихся. (Выяснить, какую величину надо найти.) Ребята через рассуждения приходят к формулировке темы урока: Наибольший общий делитель»
Формулировка темы и постановка целей урока. Регулятивные:  — целеполагание. Познавательные: — самостоятельное  выделение учебной цели и способ решения проблемы; Личностные: — развитие познавательных интересов учебных мотивов; Коммуникативные: — формулировать собственное мнение и позицию; — договариваться приходить к общему решению	— Ребята, сформулируем тему нашего урока, откроем тетради и запишем её: «Наибольший общий делитель»».  Тема определена, давайте подумаем, что же мы будем делать на уроке?	Дети сами формулируют тему, записывают её  в тетради. Надо выработать правило,  с помощью которого будем находить Наибольший общий делитель
5. Исследовательская работа совместно с практической работой. Р – принимают и сохраняют цель, учебную задачу. Выполняют учебные действия по намеченному плану; адекватно воспринимают оценку своей работы учителем, товарищами. П – самостоятельно находят в учебнике необходимую информацию и используют ее для выполнения учебных заданий К – ориентируются на позицию партнера в общении и взаимодействии. Пр. – воспринимают смысл читаемых текстов, выделяют необходимую информацию.	-Какие у вас будут предложения по выработке правила нахождения наибольшего общего делителя?   Разбираем  второй способ решения,  формируем алгоритм решения. На доске учитель записывает алгоритм, предложенный учеником — Проанализируем два способа решения первой задачи. Каким способом удобнее записывать решение задачи? Почему? Работа с информацией. А теперь найдите в учебнике (стр.199), какой способ нахождения НОД предлагает автор учебника Ребята замечают, что в учебнике добавлен 3 пункт. Учитель его разъясняет	Ребята предлагают два способа решения задачи. Двое ребят работают у доски одновременно. 1способ: выписать делители каждого числа, затем среди них найти наибольший общий.  У доски ребёнок.  Делители 40: 1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 40 Делители 100: 1; 2; 4; 5; 10; 20; 25; 50; 100 НОД (40; 100)=20 Ответ: 20 букетов. 2 способ: 1. Разложить числа на простые множители 2.Выписать все простые числа, которые одновременно входят в каждое из полученных разложений 3.Записать произведение полученных степеней 1способ не удобен тем, что долго выписывать делители у больших чисел, можно пропустить делитель. Второй способ удобнее. Дети работают  с учебником Разложить данные числа на простые множители Выписать все простые числа, которые одновременно входят в каждое из полученных разложений Каждое из выписанных простых чисел взять с наименьшим из показателем степени, с которыми оно входит в разложения данных чисел Записать произведение полученных степеней.
6.Физкультминутка. Л – осуществляют профилактику утомления, ориентируются на здоровый образ жизни, придерживаются здорового режима дня, активно участвуют в физкультминутке
	1.Круг. Представьте себе большой круг. Обводите его глазами по часовой стрелке, потом против часовой стрелке. 2.Квадрат. Представьте себе квадрат. Переводите взгляд из правого верхнего угла в левый нижний, в левый верхний, в правый нижний. Еще раз одновременно посмотреть в углы воображаемого квадрата. 3.Расширение поля зрения. Указательные пальцы обеих рук поставить перед собою, причем за каждым пальчиком следит свой глаз: за правым пальцем — правый глаз, за левым — левый. Развести пальчики в стороны и свести вместе. Свести их и направить в противоположные стороны на чужие места: правый пальчик (и с ним правый глаз) в левую сторону, а левый пальчик (и с ним левый глаз) в правую сторону. Вернуться на свои места. 4.Часики. Развести пальчики и начать вращать. Левый пальчик — по часовой стрелке, а правый — против часовой стрелки. Следить глазами за своими пальчиками. Потом вращение в обратную сторону.
7. Закрепление нового материала Регулятивные:  — умение действовать по плану и планировать свою деятельность; — умение контролировать процесс и результаты своей деятельности, включая осуществление предвосхищающего контроля в сотрудничестве с учителем и сверстниками; Познавательные: — поиск и выделение необходимой информации; — анализ, построение логической цепи  рассуждений. Личностные: — готовность к сотрудничеству, оказанию помощи, распределение ролей; — оценивание усваиваемого содержания, обеспечивающие личностный моральный выбор; Коммуникативные: — планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.	Пользуясь сформулированным алгоритмом, решите задачу «На соревнованиях по гимнастике участвовали равные по количественному составу команды, в которых всего 54 мальчиков и 36 девочек. Во всех командах было одинаковое число мальчиков и одинаковое число девочек. Сколько  команд участвовало в соревнованиях? Творческое задание: Из трёх предложенных задач выбрать задачу, которая решается путём нахождения наибольшего общего делителя и решить её.  (См. приложение 1). В это время слабым ученикам предлагается практическая работа: 30 леденцов и 18 ирисок разложить пакеты, чтобы в каждом пакете было равное количество леденцов и равное количество ирисок. Причём даётся большее количество пакетов, чем надо. (Итог: 6 пакетов по 5 леденцов и 3 ириски)	У доски ученик решает задачу, остальные работают в тетрадях Работа в парах
8. Итог урока. Самостоятельная работа. Познавательные: — общеучебные умения структурировать знания, контроль и оценка процесса и результатов деятельности. 2) Логические: — анализ, сравнение, синтез. 3) Регулятивные: — контроль и оценка прогнозирования (при анализе учебного действия).	Эффективность нашей работы, т.е. усвоили ли вы материал урока мы определим, выполнив самостоятельную работу (приложение 2)
	3 варианта, по 2(3 в более сложном варианте) задания Учащимся выдаются карточки, им нужно выполнить задания. При проверке полученное число заменить соответствующей буквой. Один знаменитый математик учил: числа управляют миром. Он считал, что всемогущество чисел проявляется в том, что всё в мире подчиняется числовым отношениям. Автора этого учения мы сейчас узнаем (Работа с презентацией, приложение 3): Пифагор.
	Первые два числа ответы 1 варианта, вторые два числа – 2 варианта, последние 3 числа – 3 вариант	Мы познакомились с понятием наибольшего делителя, вывели алгоритм нахождения наибольшего общего делителя. Ребята склеивают памятку
9. Рефлексия.  Регулятивные:  — оценивать совместно с учителем и одноклассниками результат своих действий. Коммуникативные: — умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации. Личностные: — оценивание усваиваемого содержания, обеспечивающие личностный моральный выбор	— Ребята, какая была цель нашего цель урока? Достигли ли мы её?   Ваша задача составить и склеить  памятку с правилом нахождения НОД.
10. Домашнее задание. Р – принимают учебное задание в соответствии с уровнем своего развития	Откройте дневники, запишите  домашнее задание:                           учебник: параграф 31,  выучить алгоритм нахождения НОД чисел. №931(а, б), 933(а, б). Комментируется домашнее задание
	Благодарю вас за работу. Думаю, что сегодня за урок можно поставить несколько положительных оценок. Как вы считаете кому, за что и какую оценку?	Учащиеся включаются во взаимооценку работы на уроке

Урок по математике на тему «Наибольший общий делитель» (6 класс) Инфоурок › Математика ›Конспекты›Урок по математике на тему «Наибольший общий делитель» (6 класс)

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ конспект урока.doc

Выбранный для просмотра документ презентация к уроку.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Описание слайда:

Наибольший общий делитель 6 класс

2 слайд Описание слайда:

Верно ли высказывание ? Некоторые составные числа нельзя разложить на простые множители. Число 96 – простое. Числа 8 и 10 взаимно простые.

3 слайд Описание слайда:

Проверьте правильно ли выполнено разложение на простые множители 285 2850 10 5 95 3 19 19 1 2·5 2850=2 ·3 ·52 ·19 2850=2 ·3 ·5·5 ·19

4 слайд Описание слайда:

Найдите ошибку 11 99 9 11 1 9 18 2 9 1 НОД (99, 18) = 9 33 99 3 11 1 11 3 9 18 2 3 1 3 3 НОД (99, 18) = 3·3=9

5 слайд Описание слайда:

Что неверно? 14 28 2 7 2 7 21 3 7 1 НОД (28, 21) = 7·7=49 НОД (28, 21) = 7 2 1

6 слайд Описание слайда:

Найдите наибольший общий делитель чисел 72, 54 и 36. Являются ли взаимно простыми числа 64 и 81. Выполните задание

7 слайд Описание слайда:

Задача Для первоклассников купили 270 фломастеров и 675 карандашей. Какое наибольшее число подарков можно приготовить, чтобы в них было одинаковое число фломастеров и одинаковое число карандашей? Сколько фломастеров и карандашей будет в каждом подарке?

8 слайд Описание слайда:

Задача В депо из одинаковых вагонов было сформировано 2 поезда. Первый – на 456 пассажиров, второй – на 494 пассажира. Сколько вагонов в каждом поезде, если известно, что общее число вагонов не превышает 30?

9 слайд Описание слайда:

Самостоятельная работа 1 вариант Найдите наибольший общий делитель чисел 60 и 165. Найдите наибольший общий делитель чисел 49 и 9. Являются ли взаимно простыми числа 8 и 25. 2 вариант Найдите наибольший общий делитель чисел 75 и 135. Найдите наибольший общий делитель чисел 16 и 25. Являются ли взаимно простыми числа 4 и 27. Будьте внимательны, работая самостоятельно!

10 слайд Описание слайда:

Проверка самостоятельной работы 1 вариант НОД (60, 165) = 15 НОД (9, 49) = 1 – взаимно простые числа Да, т.к. НОД (8, 25) = 1 2 вариант НОД (75,135) = 15 НОД (16,25) = 1 – взаимно простые числа Да, т.к. НОД (4, 27) = 1

11 слайд Описание слайда:

Домашнее задание п. 6 стр.21 № 161 с. 25 № 182 с. 29 № 192 (устно) с.29

Курс повышения квалификации

Курс повышения квалификации

Курс профессиональной переподготовки

Учитель математики и информатики

Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

Выберите категорию: Все категорииАлгебраАнглийский языкАстрономияБиологияВнеурочная деятельностьВсеобщая историяГеографияГеометрияДиректору, завучуДоп. образованиеДошкольное образованиеЕстествознаниеИЗО, МХКИностранные языкиИнформатикаИстория РоссииКлассному руководителюКоррекционное обучениеЛитератураЛитературное чтениеЛогопедия, ДефектологияМатематикаМузыкаНачальные классыНемецкий языкОБЖОбществознаниеОкружающий мирПриродоведениеРелигиоведениеРодная литератураРодной языкРусский языкСоциальному педагогуТехнологияУкраинский языкФизикаФизическая культураФилософияФранцузский языкХимияЧерчениеШкольному психологуЭкологияДругое

Выберите класс: Все классыДошкольники1 класс2 класс3 класс4 класс5 класс6 класс7 класс8 класс9 класс10 класс11 класс

Выберите учебник: Все учебники

Выберите тему: Все темы

также Вы можете выбрать тип материала:

Общая информация

Номер материала: ДБ-328666

Похожие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

План-конспект урока по алгебре (6 класс) на тему: Конспект урока математики в 6 классе «Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа.»

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА
Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа.

	ФИО (полностью): Синдякова Наиля Равильевна
	Место работы: МОУ «СОШ №12» г.Воркуты
	Должность: учитель математики и информатики
	Предмет: математика
	Класс: 6
	Тема и номер урока в теме: Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа (п.6) Урок №1
	Базовый учебник: «Математика» , 6 класс, Виленкин Н.Я., Жохов В.И., и др.

1. Цель урока: создать условия для самостоятельной разработки учащимися алгоритма нахождения НОД и сформировать умения использовать этот алгоритм.

9. Задачи:

— обучающие:   а)ввести понятие наибольшего общего делителя;

                        б)разработка алгоритма нахождения НОД;

                        в)признаки делимости на 2, 5, 10, 3, 9;

         — развивающие: а) развивать познавательный интерес у учащихся;

                        б)развивать правильную математическую речь;

                        в)развивать логическое мышление

         — воспитательные : а)воспитывать у учащихся ответственное отношение к

                        учению;

                         б)формировать умения, организующие деятельность:                   ставить цели и задачи, определять способы их реализации, планировать свои действия, реализовать действия и проверить результат;

                           в)развивать самостоятельность, добросовестность и

                           аккуратность.

10. Тип урока: Урок изучения и первичного закрепления новых знаний
11. Практическая реализация: 1 четверть, сентябрь
12. Формы работы учащихся: фронтальная беседа, самостоятельная, взаимопроверка, индивидуальная.
13. Необходимое техническое оборудование: компьютер, проектор, экран.
14. Структура и ход  урока

1. Самоопределение к деятельности.  

— Здравствуйте, ребята!

— Тема нашего урока: (С  л  а  й  д  № 1)

«Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа»

(Записано на доске)

— Чему мы учились на предыдущем уроке?

(Раскладывали числа на простые множители.)

— Сегодня на уроке мы продолжим работу с делителями числа, и я думаю, что у вас всё сегодня получится!

2. Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности.          

— У вас на столах у каждого лежат по две карточки: зелёного и красного цвета. Карточка зелёного цвета означает – верно, красного – не верно. Приготовили их.

С  л  а  й  д  № 2.

— Задание: если утверждение на слайде, верно, поднимите зелёную карточку, если нет – красную.

— Посмотрите на экран

С  л  а  й  д  № 3.

— Назовите простые делители числа 240 (2; 3; 5) и  числа 108 (2; 3).

С  л  а  й  д  № 4.

— Назовите составные делители числа 240 (4; 6; 8; 10; 12; 16; 40; 80; 24, …) (Записать на доске) 

 и числа 108 (4; 6; 9; 12; 27, …) (Записать на доске)

— Как получили составные делители чисел?

(Перемножали простые делители, входящие в разложение чисел).

— А есть ли общие делители у чисел 240 и 108?

— Назовите (4; 6; 12) и запишите в тетради (записать на доске).

— Назовите и подчеркните наибольший общий делитель этих чисел (12)

— Итак, что такое наибольший общий делитель любых натуральных чисел?

С  л  а  й  д  №  5.

— Обозначают: НОД (а; b) (Записать на доске)

— Запишите в тетрадь  НОД(240; 108) =  (12)

— Задание:

 запишите и найдите НОД (7;12) = ?

С  л  а  й  д  № 6.

— Какой ответ получился? Правильно, 1.

— Приведите свои примеры, чтобы ответ был 1. (фронтальная работа)

— Объясните почему?

— Посмотрите на экран.

С  л  а  й  д  № 7.

3. Выявление причин затруднения и постановка цели деятельности.                                                                      

— Почему не получается в последнем примере, что не так?

 (Большие числа, не подходят ни для какого известного случая)

— Исходя из темы урока, попробуйте сформулировать цель нашего урока.

 (Найти способ нахождения наибольшего общего делителя для любых натуральных чисел)

— Записать на доске цель урока

4. Построение проекта выхода из затруднения

— Давайте вспомним задание, которое выполнено было на доске в начале урока.

С  л  а  й  д  № 8.

— Вы назвали наибольший общий делитель 240 и 108 это 12.

— А как его нашли?

(Выбрали наибольший из общих делителей)

— Сейчас вы будете работать в группах по 4 человека (3 мин. на обсуждения)

— Ваша задача – Найти и записать в тетрадь способ нахождения НОД (240; 108) по шагам.

— На доске от одной из групп один ученик  записывает способ по шагам.

— Итак, обсуждаем, какие дополнения, кто не согласен?

— А можно ли с помощью этого алгоритма найти наибольший общий делитель для других натуральных чисел? (да).

— А для любых натуральных чисел? (да)

— Итак, мы создали универсальный способ нахождения НОД (a; b).

 На экране

 С  л  а  й  д  № 9.

— Запишите универсальный способ нахождения НОД (а; b) себе в тетрадь.

Физкультминутка

— Встали из-за парт. С  л  а  й  д  № 10.

— Вдохните и поднимите руки вверх, медленно присядьте, выдохните, опустите руки, встаньте. Повторите действия.

— Можете садиться.

— Продолжаем урок.

5. Первичное закрепление во внешней речи.

— Ну, а сейчас попробуем найти НОД (150; 315), применяя новый способ.

— Кто хочет попробовать свои силы? Прошу к доске.

— Проговариваем каждый шаг.

( 1. Разложим числа на простые множители.

150   2×5                  315    3   

15     3                      105    3

5       5                      35      5

1                               7        7

  2. Выделим общие простые множители.

      — Это  3 и 5.

  3. Найдём их произведение

       НОД (150; 315) = 3×5 = 15

— Молодец!

5. Самостоятельная работа с проверкой по эталону.

— На доске задание.

— Будьте внимательны, выполняя работу самостоятельно.       

   С  л  а  й  д  № 11.

                       1 в.                                        2 в.

        НОД (75; 135)                             НОД (60; 165)

 

— Сверяем решение в тетрадях с решением на доске (2 человека выполняли работу на доске)

— Если выполнили задание, верно, то  поднимите зелёную карточку.  У кого неверно, поднимаем красную.

— Обсуждим, почему не получилось, проговарим причины ошибок.

7. Включение в систему знаний и повторение.

— Ребята, скоро первоклассников будут посвящать в УЧЕНИКИ. Спонсоры приготовили подарки, привезли 270 яблок и 675 мандаринов. Надо разделить поровну фрукты и  число подарков должно быть наибольшим.

-Давайте поможем первоклассникам, чтобы ни кто не остался без подарка.

— Попробуйте перевести эту задачу на математический язык.

( Найти НОД (270; 675)).

— Решаем задачу самостоятельно.

(Фронтальная работа)

— Какое число подарков получили? (135 подарков)

— Сколько яблок в подарке? (2 яблока)

— Как нашли? (270÷135=2)

— Сколько мандаринов в подарке? (5 мандаринов)

— Как получили? (675÷135=5)

— У кого тот же ответ поднимите зелёную карточку.

— Молодцы!

8. Рефлексия деятельности.

— Ну, а теперь подведём итоги нашего урока.

— Какую цель поставили? (найти новый способ нахождения НОД)

— Как вы считаете, добились мы её?

— Что ещё нового узнали на уроке? (Какие числа называются взаимно простыми — те, у которых наибольший общий делитель равен 1)

— Что больше всего понравилось на уроке?

— Что не понравилось?

— Кого надо отметить за хорошую работу?

(Отметки за работу на уроке)

— А теперь запишем домашнее задание.

На доске:

п.6. Уметь отвечать на вопросы в конце пункта.

№№ 170, 171,169*.

— Спасибо за работу на уроке.

 Урок окончен. Всего доброго!

С  л  а  й  д  № 13.

90000 What is the greatest common factor of 60 and 72? 90001 90002 90003 90004 90005 Prealgebra 90006 Science 90007 90002 90003 Anatomy & Physiology 90004 90003 Astronomy 90004 90003 Astrophysics 90004 90003 Biology 90004 90003 Chemistry 90004 90003 Earth Science 90004 90003 Environmental Science 90004 90003 Organic Chemistry 90004 90003 Physics 90004 90005 .90000 LCM Calculator — Least Common Multiple 90001 90002 Calculator Use 90003 90004 The Least Common Multiple (90005 LCM 90006) is also referred to as the Lowest Common Multiple (90007 LCM 90006) and Least Common Divisor (90009 LCD) 90006. For two integers a and b, denoted LCM (a, b), the LCM is the smallest positive integer that is evenly divisible by both a and b. For example, LCM (2,3) = 6 and LCM (6,10) = 30. 90011 90004 The LCM of two or more numbers is the smallest number that is evenly divisible by all numbers in the set.90011 90014 Least Common Multiple Calculator 90003 90004 Find the LCM of a set of numbers with this calculator which also shows the steps and how to do the work. 90011 90004 Input the numbers you want to find the LCM for. You can use commas or spaces to separate your numbers. But do not use commas within your numbers. For example, enter 90019 2500, 1000 90020 and not 90019 2,500, 1,000 90020. 90011 90024 90014 How to Find the Least Common Multiple LCM 90003 90004 This LCM calculator with steps finds the LCM and shows the work using 5 different methods: 90011 90029 90030 Listing Multiples 90031 90030 Prime Factorization 90031 90030 Cake / Ladder Method 90031 90030 Division Method 90031 90030 Using the Greatest Common Factor GCF 90031 90040 90024 90014 How to Find LCM by Listing Multiples 90003 90029 90030 List the multiples of each number until at least one of the multiples appears on all lists 90031 90030 Find the smallest number that is on all of the lists 90031 90030 This number is the LCM 90031 90040 90004 Example: LCM (6,7,21) 90011 90029 90030 Multiples of 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 90019 42 90020, 48, 54, 60 90031 90030 Multiples of 7: 7, 14, 21, 28, 35, 90019 42 90020, 56, 63 90031 90030 Multiples of 21: 21, 90019 42 90020, 63 90031 90030 Find the smallest number that is on all of the lists.We have it in bold above. 90031 90030 So LCM (6, 7, 21) is 42 90031 90040 90024 90014 How to find LCM by Prime Factorization 90003 90029 90030 Find all the prime factors of each given number. 90031 90030 List all the prime numbers found, as many times as they occur most often for any one given number. 90031 90030 Multiply the list of prime factors together to find the LCM.90031 90040 90004 The 90005 LCM 90006 (a, b) is calculated by finding the prime factorization of both a and b. Use the same process for the LCM of more than 2 numbers. 90011 90004 90019 For example, for 90005 LCM 90006 (12,30) we find: 90020 90011 90029 90030 Prime factorization of 12 = 2 × 2 × 3 90031 90030 Prime factorization of 30 = 2 × 3 × 5 90031 90030 Using all prime numbers found as often as each occurs most often we take 2 × 2 × 3 × 5 = 60 90031 90030 Therefore 90005 LCM 90006 (12,30) = 60.90031 90040 90004 90019 For example, for 90005 LCM 90006 (24,300) we find: 90020 90011 90029 90030 Prime factorization of 24 = 2 × 2 × 2 × 3 90031 90030 Prime factorization of 300 = 2 × 2 × 3 × 5 × 5 90031 90030 Using all prime numbers found as often as each occurs most often we take 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 600 90031 90030 Therefore 90005 LCM 90006 (24,300) = 600.90031 90040 90024 90014 How to find LCM by Prime Factorization using Exponents 90003 90029 90030 Find all the prime factors of each given number and write them in exponent form. 90031 90030 List all the prime numbers found, using the highest exponent found for each. 90031 90030 Multiply the list of prime factors with exponents together to find the LCM. 90031 90040 90004 Example: LCM (12,18,30) 90011 90029 90030 Prime factors of 12 = 2 × 2 × 3 = 2 90138 2 90139 × 3 90138 1 90139 90031 90030 Prime factors of 18 = 2 × 3 × 3 = 2 90138 1 90139 × 3 90138 2 90139 90031 90030 Prime factors of 30 = 2 × 3 × 5 = 2 90138 1 90139 × 3 90138 1 90139 × 5 90138 1 90139 90031 90030 List all the prime numbers found, as many times as they occur most often for any one given number and multiply them together to find the LCM 90029 90030 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 180 90031 90040 90031 90030 Using exponents instead, multiply together each of the prime numbers with the highest power 90031 90030 So LCM (12,18,30) = 180 90031 90040 90004 Example: LCM (24,300) 90011 90029 90030 Prime factors of 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 2 90138 3 90139 × 3 90138 1 90139 90031 90030 Prime factors of 300 = 2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 2 90138 2 90139 × 3 90138 1 90139 × 5 90138 2 90139 90031 90030 List all the prime numbers found, as many times as they occur most often for any one given number and multiply them together to find the LCM 90029 90030 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 600 90031 90040 90031 90030 Using exponents instead, multiply together each of the prime numbers with the highest power 90031 90030 So LCM (24,300) = 600 90031 90040 90024 90014 How to Find LCM Using the Cake Method (Ladder Method) 90003 90004 The cake method uses division to find the LCM of a set of numbers.People use the cake or ladder method as the fastest and easiest way to find the LCM because it is simple division. 90011 90004 The cake method is the same as the ladder method, the box method, the factor box method and the grid method of shortcuts to find the LCM. The boxes and grids might look a little different, but they all use division by primes to find LCM. 90011 90004 Find the LCM (10, 12, 15, 75) 90011 90029 90030 Write down your numbers in a cake layer (row) 90031 90040 90029 90030 Divide the layer numbers by a prime number that is evenly divisible into two or more numbers in the layer and bring down the result into the next layer.90031 90040 90029 90030 If any number in the layer is not evenly divisible just bring down that number. 90031 90040 90029 90030 Continue dividing cake layers by prime numbers. 90031 90030 When there are no more primes that evenly divided into two or more numbers you are done. 90031 90040 90029 90030 The LCM is the product of the numbers in the L shape, left column and bottom row.1 is ignored. 90031 90030 LCM = 2 × 3 × 5 × 2 × 5 90031 90030 LCM = 300 90031 90030 Therefore, LCM (10, 12, 15, 75) = 300 90031 90040 90024 90014 How to Find the LCM Using the Division Method 90003 90004 Find the LCM (10, 18, 25) 90011 90029 90030 Write down your numbers in a top table row 90031 90040 90029 90030 Starting with the lowest prime numbers, divide the row of numbers by a prime number that is evenly divisible into at least one of your numbers and bring down the result into the next table row.90031 90040 90029 90030 If any number in the row is not evenly divisible just bring down that number. 90031 90040 90029 90030 Continue dividing rows by prime numbers that divide evenly into at least one number. 90031 90030 When the last row of results is all 1’s you are done. 90031 90040 90029 90030 The LCM is the product of the prime numbers in the first column.90031 90030 LCM = 2 × 3 × 3 × 5 × 5 90031 90030 LCM = 450 90031 90030 Therefore, LCM (10, 18, 25) = 450 90031 90040 90024 90014 How to Find LCM by GCF 90003 90004 The formula to find the LCM using the Greatest Common Factor GCF of a set of numbers is: 90011 90004 LCM (a, b) = (a × b) / GCF (a, b) 90011 90004 Example: Find LCM (6,10) 90011 90029 90030 Find the GCF (6,10) = 2 90031 90030 Use the LCM by GCF formula to calculate (6 × 10) / 2 = 60/2 = 30 90031 90030 So LCM (6,10) = 30 90031 90040 90004 A factor is a number that results when you can evenly divide one number by another.In this sense, a factor is also known as a divisor. 90011 90004 The greatest common factor of two or more numbers is the largest number shared by all the factors. 90011 90287 The greatest common factor GCF is the same as: 90288 90029 90030 HCF — Highest Common Factor 90031 90030 GCD — Greatest Common Divisor 90031 90030 HCD — Highest Common Divisor 90031 90030 GCM — Greatest Common Measure 90031 90030 HCM — Highest Common Measure 90031 90040 90024 90014 How to Find LCM of Decimal Numbers 90003 90029 90030 Find the number with the most decimal places 90031 90030 Count the number of decimal places in that number.Let’s call that number D. 90031 90030 For each of your numbers move the decimal D places to the right. All numbers will become integers. 90031 90030 Find the LCM of the set of integers 90031 90030 For your LCM, move the decimal D places to the left. This is the LCM for your original set of decimal numbers. 90031 90040 90024 90014 Properties of 90005 LCM 90006 90003 90287 The LCM is associative: 90288 90004 LCM (a, b) = LCM (b, a) 90011 90287 The LCM is commutative: 90288 90004 LCM (a, b, c) = LCM (LCM (a, b), c) = LCM (a, LCM (b, c)) 90011 90287 The LCM is distributive: 90288 90004 LCM (da, db, dc) = dLCM (a, b, c) 90011 90287 The LCM is related to the greatest common factor (GCF): 90288 90004 LCM (a, b) = a × b / GCF (a, b) and 90011 90004 GCF (a, b) = a × b / LCM (a, b) 90011 90014 References 90003 90004 [1] Zwillinger, D.(Ed.). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 31st Edition, New York, NY: CRC Press, 2003 p. 101. 90011 90004 [2] Weisstein, Eric W. Least Common Multiple. From 90344 MathWorld 90345 —A Wolfram Web Resource. 90011 90004 The Math Forum: LCM, GCF. 90011 .90000 Playing with Numbers Class 6 90001 90002 NCERT Solutions of all exercise questions and examples of Chapter 3 Class 6 available free at teachoo. All answers have been solved with video, and concept videos are also given for your understanding. 90003 90002 90003 90002 In this chapter, we will learn 90003 90008 90009 What are 90010 factors 90011 of a number, 90012 90009 and 90010 Properties 90011 of Factor 90012 90009 What are 90010 multiples 90011 of a number 90012 90009 and 90010 Properties 90011 of Multiple 90012 90009 What are 90010 prime 90011 and 90010 composite 90011 numbers 90012 90009 Prime numbers 90010 upto 100 90011 90012 90009 Checking if a number is 90010 divisible 90011 by 90008 90009 Divisible by 1 (Every number is divisible by 1) 90012 90009 Divisible by 2 90012 90009 Divisible by 3 90012 90009 Divisible by 4 90012 90009 Divisible by 5 90012 90009 Divisible by 6 90012 90009 Divisible by 7 90012 90009 Divisible by 8 90012 90009 Divisible by 9 90012 90009 Divisible by 10 90012 90009 Divisible by 11 90012 90009 Divisible by 12 90012 90009 Divisible by 13 90012 90065 90012 90009 Finding 90010 Common Multiples 90011 of numbers 90012 90009 Finding 90010 Common Factors 90011 of numbers 90012 90009 Some 90010 Special Divisibility rules 90011 90012 90009 90010 Factor Tree 90011 of a number 90012 90009 90010 Prime Factorisation 90011 of a number 90012 90009 Finding Highest Common Factor (90010 HCF 90011), or Greatest Common Divisor (90010 GCD 90011) of numbers 90012 90009 Finding Least Common Multiple (90010 LCM 90011) 90012 90009 Identifying w 90010 hen to use LCM and 90011 when to use 90010 HCF 90011 90012 90009 And then, doing 90010 Statement questions 90011 on LCM and HCF 90012 90065 90002 90003 90002 Click on an exercise link below to study from the NCERT.90003 90002 Or you can also click on a concept link below Concept Wise. The chapters is divided into different concepts, and each concept is explained first. And then questions related the concept is solved. Easiest question first, hardest question in the end. 90003 90002 90003 90002 Click on a link below to begin. 90003 .