Как найти наибольший общий делитель (НОД) + Свойства, Формулы

Понятие наибольшего общего делителя

Начнем с самого начала и вспомним, что такое общий делитель. У целого числа может быть несколько делителей. А сейчас нам особенно интересно, как обращаться с делителями сразу нескольких целых чисел.

Делитель натурального числа — это такое натуральное число, которое делит данное число без остатка. Если у натурального числа больше двух делителей, его называют составным.

Общий делитель нескольких целых чисел — это такое число, которое может быть делителем каждого числа из указанного множества. Например, у чисел 12 и 8 общим делителем будет четверка. Чтобы это проверить, напишем верные равенства: 8 = 4 * 2 и 12 = 3 * 4. Но у этой пары чисел есть и другие общие делители: 1, -1 и -4.

Любое число можно разделить на 1, -1 и на само себя. Значит у любого набора целых чисел будет как минимум три общих делителя. Если общий делитель больше 0 — противоположное ему значение со знаком минус также является общим делителем.

Если b — делитель целого числа a, которое не равно нулю, то модуль числа b не может быть больше модуля числа a. Значит любое число, не равное 0, имеет конечное число делителей.

 

Наибольшим общим делителем двух чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка. Для записи может использоваться аббревиатура НОД. Для двух чисел можно записать вот так: НОД (a, b).

Например, для 4 и -16 НОД будет 4. Как мы к этому пришли:

 

1. Зафиксируем все делители четырех: ±4, ±2, ±1.


2. А теперь все делители шестнадцати: ±16, ±8, ±4, ±3 и ±1.


3. Выбираем общие: это -4, -2, -1, 1, 2 и 4. Самое большое общее число: 4. Вот и ответ.

Наибольшим общим делителем трех чисел и более будет самое большое целое число, которое будет делить все эти числа одновременно.

Найдем наибольший общий делитель нескольких целых чисел: 10, 6, 44, -18. Он будет равен трем. Ответ можно записать так: НОД (12, 6, 42, -18) = 3. А чтобы проверить правильность ответа, нужно записать все делители и выбрать из них самые большие.

Взаимно простые числа — это натуральные числа, у которых только один общий делитель — единица. Их НОД равен 1.

Помимо НОД есть еще и НОК, что расшифровывается, как наименьшее общее кратное и означает наименьшее число, которое делится на каждое из исходных чисел без остатка.

Еще один пример. Рассчитаем НОД для 28 и 64.

Как находим:

 

1. Распишем простые множители для каждого числа и подчеркнем одинаковые

   Д (28) = 2 * 2 * 7

   Д (64) = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2



2. Найдем произведение одинаковых простых множителей и запишем ответ

   НОД (28; 64) = 2 * 2 = 4

Ответ: НОД (28; 64) = 4

Оформить поиск НОД можно в строчку, как мы сделали выше или в столбик, как на картинке.

Свойства наибольшего общего делителя

У наибольшего общего делителя есть ряд определенных свойств. Опишем их в виде теорем и сразу приведем доказательства.

Важно! Все свойства НОД будем формулировать для положительных целых чисел, при этом будем рассматривать делители только больше нуля.

Свойство 1. Наибольший общий делитель чисел а и b равен наибольшему общему делителю чисел b и а, то есть НОД (a, b) = НОД (b, a). Перемена мест чисел не влияет на конечный результат.

Доказывать свойство не имеет смысла, так как оно напрямую исходит из самого определения НОД.

Свойство 2. Если а делится на b, то множество общих делителей чисел а и b совпадает со множеством делителей числа b, поэтому НОД (a, b) = b.

Доказательство   Любой общий делитель чисел а и b является делителем каждого из этих чисел, в том числе и числа b. Так как а кратно b, то любой делитель числа b является делителем и числа а, благодаря свойствам делимости. Из этого следует, что любой делитель числа b является общим делителем чисел а и b.   Значит, если а делится на b, то совокупность делителей чисел а и b совпадает с совокупностью делителей одного числа b. А так как наибольшим делителем числа b является само число b, то наибольший общий делитель чисела и b также равен b, то есть НОД (а, b) = b.   В частности, если a = b, то НОД (a, b) = НОД (a, a) = НОД (b, b) = a = b. Например, НОД (25, 25) = 25.

Доказанное свойство наибольшего делителя можно использовать, чтобы найти НОД двух чисел, когда одно из них делится на другое. При этом НОД равен одному из этих чисел, на которое делится другое число.

• Например, НОД (4, 40) = 4, так как 40 кратно 4.

Свойство 3. Если a = bq + c, где а, b, с и q — целые числа, то множество общих делителей чисел а и b совпадает со множеством общих делителей чисел b и с. Равенство НОД (a, b) = НОД (b, c) справедливо.

Доказательство   Существует равенство a = bq + c, значит всякий общий делитель чисел а и b делит также и с, исходя из свойств делимости. По этой же причине, всякий общий делитель чисел b и с делит а. Поэтому совокупность общих делителей чисел а и b совпадает с совокупностью общих делителей чисел b и c.   Поэтому должны совпадать и наибольшие из этих общих делителей, и равенство НОД (a, b) = НОД (b, c) можно считать справедливым.

Свойство 4. Если m — любое натуральное число, то НОД (mа, mb) = m * НОД(а, b).

Доказательство Если умножить на m обе стороны каждого из равенств алгоритма Евклида, то получим, что НОД (mа, mb)= mr, где r — это НОД (а, b). На этом свойстве наибольшего общего делителя основан поиск НОД с помощью разложения на простые множители.

Свойство 5. Пусть р — любой общий делитель чисел а и b, тогда НОД (а : p, b : p) = НОД (а, b) : p. А именно, если p = НОД (a, b) имеем НОД (a : НОД (a, b), b: НОД (a, b)) = 1, то есть, числа a : НОД (a, b) и b : НОД (a, b) — взаимно простые.

Так как a = p(a : p) и b = p(b : p), и в силу предыдущего свойства, мы можем записать цепочку равенств вида НОД (a, b) = НОД (p(a : p), p(b : p)) = p * НОД (a : p, b : p), откуда и следует доказываемое равенство.

Способы нахождения наибольшего общего делителя

Найти наибольший общий делитель можно тремя способами. Рассмотрим все три, чтобы при решении задач выбирать самую оптимальную последовательность действий.

1. Разложение на множители

Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно разложить их на простые множители и перемножить между собой общие множители для всех чисел.

Пример 1. Найти НОД (84, 90).

Как решаем:

 

1. Разложим числа 84 и 90 на простые множители:

    



2. Подчеркнем все общие множители и перемножим их между собой:

   2 * 3 = 6.

 

Ответ: НОД (84, 90) = 6.

Пример 2. Найти НОД (15, 28).

Как решаем:

 

1. Разложим 15 и 28 на простые множители:

    



2. Числа 15 и 28 являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель — единица.

 

Ответ: НОД (15, 28) = 1.

2. Разложение двух чисел на простые множители

С последующим перемножением общих из них.

Пример 1. Найти НОД для 24 и 18.

Как решаем:

 

1. Разложим оба числа на простые множители:

    



2. Найдем общие множители чисел 24 и 18: 2 и 3. Для удобства общие множители можно подчеркнуть.

    



3. Перемножим общие множители:

   НОД (24, 18) =2 * 3 = 6

 

Ответ: НОД (24, 18) = 6

3. Алгоритм Евклида

Способ Евклида помогает найти НОД через последовательное деление. Сначала посмотрим, как работает этот способ с двумя числами, а затем применим его к трем и более.

Алгоритм Евклида заключается в следующем: если большее из двух чисел делится на меньшее — наименьшее число и будет их наибольшим общим делителем. Использовать метод Евклида можно легко по формуле нахождения наибольшего общего делителя.

Формула НОД: НОД (a, b) = НОД (b, с), где с — остаток от деления a на b.

Пример 1. Найти НОД для 24 и 8.

Как рассуждаем:

Так как 24 делится на 8 и 8 тоже делится на 8, значит, 8 — общий делитель этих чисел. Этот делитель является наибольшим, потому что 8 не может делиться ни на какое число, большее его самого. Поэтому: НОД (24, 8) = 8.

В остальных случаях для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел нужно соблюдать такой порядок действий:

 

1. Большее число поделить на меньшее.


2. Меньшее число поделить на остаток, который получается после деления.


3. Первый остаток поделить на второй остаток.


4. Второй остаток поделить на третий и т. д.


5. Деление продолжается до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель и есть наибольший общий делитель.

Пример 2. Найти наибольший общий делитель чисел 140 и 96:

Как решаем:

 

1. 140 : 96 = 1 (остаток 44)


2. 96 : 44 = 2 (остаток 8)


3. 44 : 8 = 5 (остаток 4)


4. 8 : 4 = 2

Последний делитель равен 4 — это значит: НОД (140, 96) = 4.

Ответ: НОД (140, 96) = 4

Пошаговое деление можно записать столбиком:

Чтобы найти наибольший общий делитель трех и более чисел, делаем в такой последовательности:

 

1. Найти наибольший общий делитель любых двух чисел из данных.


2. Найти НОД найденного делителя и третьего числа.


3. Найти НОД последнего найденного делителя и четвёртого числа и т. д.

Знакомство с темой наибольшего общего делителя начинается в 5 классе с теории и закрепляется в 6 классе на практике. В этой статье мы узнали все основные определения, свойства и их доказательства, а также как найти НОД.

Как найти наибольший общий делитель (НОД)

Рассмотрим два способа нахождения наибольшего общего делителя.

Нахождение путём разложения на множители

Первый способ заключается в нахождении наибольшего общего делителя путём разложения данных чисел на простые множители.

Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно, разложить их на простые множители и перемножить между собой те из них, которые являются общими для всех данных чисел.

Пример 1. Найти НОД (84, 90).

Решение: Раскладываем числа  84  и  90  на простые множители:

Итак, мы подчеркнули все общие простые множители, осталось перемножить их между собой:

2 · 3 = 6.

Таким образом, НОД (84, 90) = 6.

Пример 2.

Найти НОД (15, 28).

Решение: Раскладываем  15  и  28  на простые множители:

Числа  15  и  28  являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель — единица.

НОД (15, 28) = 1.

Алгоритм Евклида

Второй способ (иначе его называют способом Евклида) заключается в нахождении НОД путём последовательного деления.

Сначала мы рассмотрим этот способ в применении только к двум данным числам, а затем разберёмся в том, как его применять к трём и более числам.

Если большее из двух данных чисел делится на меньшее, то число, которое меньше и будет их наибольшим общим делителем.

Пример 1. Возьмём два числа  27  и  9.  Так как  27  делится на  9  и  9  делится на  9,  значит,  9  является общим делителем чисел  27  и  9.  Этот делитель является в тоже время и наибольшим, потому что  9  не может делиться ни на какое число, большее  9.  Следовательно:

НОД (27, 9) = 9.

В остальных случаях, чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел используется следующий порядок действий:

1. Из двух данных чисел большее число делят на меньшее.
2. Затем, меньшее число делят на остаток, получившийся от деления большего числа на меньшее.
3. Далее, первый остаток делят на второй остаток, который получился от деления меньшего числа на первый остаток.
4. Второй остаток делят на третий, который получился от деления первого остатка на второй и т. д.
5. Таким образом деление продолжается до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель как раз и будет наибольшим общим делителем.

Пример 2. Найдём наибольший общий делитель чисел  140  и  96:

1) 140 : 96 = 1 (остаток 44)

2) 96 : 44 = 2 (остаток 8)

3) 44 : 8 = 5 (остаток 4)

4) 8 : 4 = 2

Последний делитель равен  4  — это значит:

НОД (140, 96) = 4.

Последовательное деление так же можно записывать столбиком:

Чтобы найти наибольший общий делитель трёх и более данных чисел, используем следующий порядок действий:

1. Сперва находим наибольший общий делитель любых двух чисел из нескольких данных.
2. Затем находим НОД найденного делителя и какого-нибудь третьего данного числа.
3. Затем находим НОД последнего найденного делителя и четвёртого данного числа и так далее.

Пример 3. Найдём наибольший общий делитель чисел  140,  96  и  48.  НОД чисел  140  и  96  мы уже нашли в предыдущем примере (это число  4).  Осталось найти наибольший общий делитель числа  4  и третьего данного числа —  48:

48 : 4 = 12

48  делится на  4  без остатка. Таким образом:

НОД (140, 96, 48) = 4.

Наибольший общий делитель / Обыкновенные дроби / Справочник по математике 5-9 класс

Число 36 имеет такие делители: 1, 2, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Число 126 имеет такие делители: 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63, 126.

Синим цветом мы выделили числа 1, 2, 6, 9, 18, которые являются общими делителями чисел 36 и 126. Наибольшим из данных множителей является 18.

Наибольший общий делитель чисел и обозначают так: НОД(; ), то есть мы можем записать НОД(36; 126) = 18.

Предварительно разложив числа на простые множители, мы упростим нахождение наибольшего общего делителя многозначных чисел.

Найдем НОД(240; 165).

                                                

240 = 222235                       165 = 3511.

Синим мы выделили все общие простые делители рассматриваемых чисел, это 3 и 5. Значит, оба данных числа делятся и на произведение данных чисел, то есть на 35 = 15, оно и будет являться наибольшим общим делителем чисел 240 и 165, то есть НОД(240; 165) = 35 = 15.

Найдем НОД(2520; 4620).

                                               

2 520 = 2223357                 4 620 = 2235711.

Рассмотрев разложения данных чисел, мы можем заметить, что некоторые простые множители повторяются, например, число 2 в разложении числа 2520 повторяется трижды, а в разложении числа 4620 — дважды. Заметим, что число 4 = 22 является делителем и числа 2520, и числа 4620, а число 8 = 222, является делителем только числа 2520. Так же число 3 является множителем рассматриваемых чисел, а число 9 = 33 является только делителем числа 2520. Кроме чисел 4 и 3, общими делителями данных чисел являются числа 5 и 7.

Мы получили, что числа 2520 и 4620 делятся без остатка на каждое из чисел 4, 3, 5, 7, на их произведение 4357  рассматриваемые числа тоже делятся без остатка, то есть мы получили, что НОД(2520; 4620) = 4357 = 420.

Таким образом, можно найти НОД, разложив числа на простые множители и выписав те, что входят в разложение обоих чисел (или можно просто зачеркнуть те множители, которые есть только в разложении одного числа, например, в разложении числа 2520 нам надо вычеркнуть одну 2 и одну 3, а в разложении числа 4620 число 11).

Таким же образом можно найти НОД трех и более чисел.

Чтобы найти НОД нескольких натуральных чисел, надо: разложить их на простые множители; из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел; найти произведение оставшихся множителей.

Заметим, что если все данные числа делятся на одно из них, то это число и является НОД данных чисел.

Натуральные числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.

Нам известно, что разложение на простые множители, мы можем записать в виде произведения степеней, то есть в последнем примере мы можем записать, что:

2 520 = 2³3²5¹7¹

4 620 = 2²3¹5¹7¹11¹.

Тогда НОД мы можем найти по следующему правилу:

Определить степени, основания которых являются общими простыми делителями данных чисел. Из каждой пары степеней с одинаковыми основаниями выбрать степень с меньшим показателем. Перемножить выбранные степени. Полученное произведение является искомым наибольшим общим делителем.

 Найдем НОД(2520; 4620):

1.  Выписываем общие основания: 2, 3, 5, 7.
2. Выбираем наименьшие показатели данных степеней: 2², 3¹, 5¹, 7¹.
3. Находим произведение данных степеней, то есть искомый наибольший общий делитель: НОД(2520; 4620) = 2²3¹5¹7¹ = 420.

Урок-презентация по теме «Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа» (6 класс)

Учебник: «Математика», Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.

Тема: 3.5. Наибольший общий делитель

Учебник: «Математика», Зубарева И.И., Мордкович А.Г.

Тема: § 31. Наибольший общий делитель

Учебник: «Математика», Зубарева И.И., Мордкович А.Г.

Тема: § 32. Взаимно простые числа. Признак делимости на произведение. Наименьшее общее кратное

Учебник: «Математика», Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.

Тема: § 5. Наибольший общий делитель

Учебник: «Математика», Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.

Тема: § 6. Наименьшее общее кратное

Учебник: «Математика (в 2 частях)», Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И.

Тема: 6. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа

Учебник: «Математика», Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.

Урок 43. наибольший общий делитель (нод) — Математика — 5 класс

Математика

5 класс

Урок № 43

Наибольший общий делитель (НОД)

Перечень рассматриваемых вопросов:

– делители числа;

– кратные числа;

– разложение на простые множители;

– НОД.

Тезаурус

Простое число – это натуральное число, которое больше 1 и делится только на 1 и само на себя.

Составные числа – это непростые натуральные числа больше 1.

Взаимно простые числа – это числа, которые не имеют общих простых делителей.

Обязательная литература:

1. Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. ФГОС // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. ­– 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Начнём наше занятие словами известной поговорки: «Учить – ум точить». Сегодня мы будем оттачивать умение находить общие делители сразу нескольких чисел.

Итак, рассмотрим два числа: 12 и 15. Выпишем все делители этих чисел. 12 – делители 1, 2, 3, 4, 6, 12.

15 – делители 1, 3, 5, 15.

Найдём общие делители этих чисел – это числа 1 и 3. Введём новое понятие – «наибольший общий делитель», который кратко обозначают НОД.

У этих чисел наибольший общий делитель равен 3.

Записывается – НОД (12; 15) = 3. НОД чисел двенадцать и пятнадцать равен трём.

Правило нахождения НОД:

1. разложим числа на простые множители;
2. подчеркнём одинаковые множители этих чисел;
3. перемножим общие множители одного из чисел, это и будет НОД заданных чисел.

Найдём НОД чисел 15 и 16.

НОД (15; 16) = ?

Разложим числа на простые множители.

Видно, что из всех множителей – общий лишь 1.

Такие числа, которые не имеют общих простых делителей, называются взаимно простыми числами. Любые два простых числа или два соседних натуральных числа будут взаимно простыми.

Найдём НОД (10; 100).

Разложим числа на простые множители.

Выделим общие делители у этих чисел, это 2 и 5.

Умножим их и получим наибольший общий делитель: НОД (10; 100) = 2 · 5 = 10.

Обратите внимание на то, что 100 делится нацело на 10 и НОД тоже равен 10. Поэтому можно сделать вывод: если одно из двух чисел делится нацело на другое, то НОД этих чисел равен меньшему из них.

Найдём наибольший общий делитель трёх чисел.

НОД (42; 70; 98) = ?

Разложим числа на простые множители:

Выделим общие делители у этих чисел, это 2 и 7.

Умножим их и получим наибольший общий делитель: НОД (42; 70; 98) = 2 · 7 = 14

Некоторые задачи можно решить при помощи НОД проще, чем каким-либо другим способом.

Например, решим такую задачу.

Для участия в соревнованиях нужно разделить 35 детей в возрасте 14 лет и 21 ребёнка в возрасте 12 лет на команды так, чтобы они состояли только из одновозрастных спортсменов. Какое наибольшее число участников одного возраста может быть в команде?

Решение: чтобы решить эту задачу нужно найти НОД (21; 35).

Разложим числа на простые множители:

Следовательно, НОД (21; 35) = 7 – это и будет наибольшим числом участников в команде.

Ответ: 7 человек.

Тренировочные задания

№ 1. Какую цифру нужно подставить в число НОД (7; 2_) вместо пропуска, чтобы получить НОД = 7?

Варианты ответов: 1, 2, 3.

Решение: разложим на множители оба числа, при этом вместо пропуска подставим по порядку все цифры. А далее найдём подходящий НОД этих чисел, равный 7. Получим следующее разложение:

Из всех разложений на множители под НОД (7; 2) = 7 подходит только число 21.

Ответ: искомая цифра – 1.

№ 2. В продуктовых наборах должно быть одинаковое количество груш и апельсинов. Всего приготовили 120 груш и 126 апельсинов. В какое наибольшее количество наборов можно разложить их поровну?

Решение: чтобы решить эту задачу, нужно найти НОД заданных чисел, он и будет являться искомым ответом, т. е. наибольшим количеством наборов при равном разложении фруктов.

НОД (120; 126) = 2 · 3 = 6

Ответ: 6 наборов.

Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа. 6 класс

Наибольший общий делитель.
Взаимно простые числа
1
Решите уравнения, записывая только ответы.
3
д
84 : л = 14;
84 : т = 7;
84 : е = 21;
84 : л = 4;
84 : ь = 3;
84 : д = 28;
84 : е = 6;
84 : и = 12;
4
е
6
л
л=6
т = 12
е=4
л = 21
ь = 28
д=3
е = 14
и=7
7 12 14 21 28
и т е л ь
Расположите ответы в порядке возрастания.
Назовите, какое слово получилось. Дайте определение
делителя натурального числа.
2
3
875
175
35
7
1
5
5
5
7
Назовите наибольший делитель, отличный
от самого числа. Как его найти?
4
2376
1188
594
297
99
33
11
1
2
2
2
2
3
3
11
Назовите наибольший делитель, отличный
от самого числа. Как его найти?
5
5625
1875
625
125
25
5
1
3
3
5
5
5
5
Назовите наибольший делитель, отличный
от самого числа. Как его найти?
6
Для каждой пары чисел: 18 и 9; 10 и 7; 15 и 20; 14 и 35; 48 и 36;
Найдите все делители каждого числа.
Подчеркните их общие делители.
Выделите их наибольший общий делитель.
18: 1, 2, 3, 6, 9,18. 14:
35:
9: 1, 3, 9.
15:
10: 1, 10.
20:
7: 1, 7.
48:
36:
1, 2, 7, 14.
1, 5, 7, 35.
1, 3, 5, 15.
1, 2, 4, 5, 10, 20.
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
1, 2, 3, 4, 6, 9,12, 18, 36.
7
наибольшее натуральное число, на которое
делятся без остатка числа а и b, называют
наибольшим общим делителем этих чисел.
Обозначают: НОД (48; 36) = 12
Запишем НОД для чисел
НОД (18; 9) = 9,
НОД (15; 20) = 5,
НОД (10; 7) = 1,
НОД (14; 35) = 7,
НОД (48; 36) = 12.
Этот способ удобен, когда количество делителей,
хотя бы у одного из чисел, невелико (способ 1).
8
Способ 2.
1. Разложите числа на простые множители.
2. Выпишите общие простые множители.
3. Найдите произведение полученных простых
множителей.
24 2
60 2
12 2
30 2
6 2
15 3
3 3
55
1
1
24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3;
60 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5
НОД(24;60) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.
9
50 2
25 5
5 5
1
50 = 2 ∙ 5 ∙ 5;
175 5
35 5
77
1
175 = 5 ∙ 5 ∙ 7
НОД(50;175) = 5 ∙ 5= 25
10
675 3
225 3
75 3
25 5
5 5
1
675 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5;
875 5
175 5
35 5
77
1
875 = 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 7
НОД(675;875) = 5 ∙ 5= 25
11
7920 2
3960 2
1980 2
990 2
495 3
165 3
55 5
11 11
1
594 2
297 3
99 3
33 3
11 11
1
7920 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 11
594 = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11
НОД(7920;594) = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 = 198
12
Чтобы найти наибольший общий делитель
нескольких натуральных чисел, надо:
1) разложить их на простые множители;
2) из множителей, входящих в каждое разложение
подчеркнуть общие множители;
3) найти произведение подчеркнутых множителей.
Если все данные числа делятся на одно из них, то
это число и является наибольшим общим
делителем данных чисел.
13
В одной корзине 32 яблока, в другой корзине 40 груш. Какое наибольшее
количество одинаковых наборов можно составить, используя эти фрукты.
Найти
наибольшее
число,
на
Что нужно
сделать, чтобы
ответить
на вопрос
задачи?
которое делятся
числа
32 и 40, то
есть найти их наибольший общий
делитель.
40 груш
32 яблока
НОД (32; 40) = 8.
Ответ: 8 наборов.
14
Для каждой пары чисел: 35 и 88; 25 и 9; 5 и 3; 7 и 8;
Найдите все делители каждого числа.
Подчеркните их общие делители.
Выделите их наибольший общий делитель.
35: 1, 5, 7, 35
88: 1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88
НОД (35; 88) = 1.
25: 1, 5, 25
9: 1, 3, 9
НОД (25; 9) = 1;
5: 1, 5
3: 1, 3
НОД( 5; 3) = 1;
7: 1, 7
8: 1, 8
НОД (7; 8) = 1.
15
НОД (35; 88) = 1
НОД( 5; 3) = 1
НОД (25; 9) = 1
НОД (7; 8) = 1
16
Древние греки придумали замечательный способ,
позволяющий искать наибольший общий делитель двух
натуральных чисел без разложения на множители. Он носил
название «Алгоритма Евклида».
Он заключается в том, что наибольшим общим
делителем двух натуральных чисел является последний,
отличный от нуля, остаток при последовательном делении
чисел.
Положим, требуется найти НОД (455; 312), Тогда
455 : 312 = 1 (ост. 143), получаем 455 = 312 ∙ 1 + 143
312 : 143 = 2 (ост. 26),
312 = 143 ∙ 2 + 26
143 : 26 = 5 (ост. 13),
143 =26 ∙ 5 + 13
26: 13 = 2 (ост. 0),
26 = 13 ∙ 2
Последний делитель или последний, отличный от нуля
остаток 13 будет искомым НОД (455; 312) = 13.
17
Ребята получили на новогодней елке одинаковые подарки.
Во всех подарках вместе было 123 апельсина и 82 яблока.
Сколько ребят присутствовало на елке? Сколько апельсинов
и сколько яблок было в каждом подарке?
82 яблока
123 апельсина
Сколько ребят -?
Сколько яблок — ?
Сколько апельсинов -?
апельсинов
и яблок
Как Количество
узнать,НОД
сколько
ребят
Найти
чисел
123 было
и 82. на елке?
должно делиться на одно и то же
наибольшее число.
НОД (123; 82) = 41, значит, 41 человек.
123 : 41 = 3 (ап.)
82 : 41 = 2 (ябл.)
Ответ: ребят 41, апельсинов 3, яблок 2.
18
Найдите наибольший общий делитель числителя и
знаменателя дробей.
20
30
13
26
8
24
24
60
15
35
8
9
19
Для поездки за город работникам завода было выделено несколько автобусов, с
одинаковым числом мест в каждом автобусе. 424 человека поехали в лес, а 477
человек — на озеро. Все места в автобусах были заняты, и ни одного человека не
осталось без места. Сколько автобусов было выделено и сколько пассажиров было
в каждом автобусе?
Найти НОД чисел
424 и 477. 424 2
НОД (424; 477) = 53,
212 2
значит, 53 пассажира в
106 2
одном автобусе.
53 53
424 : 53 = 8 (авт.) — в лес.
1
477 3
159 3
53 53
1
477 : 53 = 9 (авт.) — на озеро.
8 + 9 = 17 (авт.)
Ответ: 17 автобусов, 53 пассажира в каждом.
20
Какое число называют общим делителем данных
натуральных чисел?
Какое число называют наибольшим общим делителем
двух натуральных чисел?
Какие числа называют взаимно простыми?
Как найти наибольший общий делитель нескольких
натуральных чисел?
Если числа взаимно простые, то какому числу равен их
наибольший общий делитель?
Верно ли: «Если числа простые, то они взаимно
простые»? Ответ обоснуйте.
21

Тест по математике Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа. Наименьшее общее кратное для 6 класса

Тест по математике Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа. Наименьшее общее кратное для 6 класса. Тест включает 2 варианта, в каждом варианте по 7 заданий.

1 вариант

A1. Разложите число 84 на простые множители.

1) 12 · 7
2) 2 · 3 · 3 · 7
3) 2 · 2 · 3 ·7
4) 2 · 6 ·7

А2. Укажите пару взаимно простых чисел.

1) 5 и 60
2) 9 и 40
3) 6 и 18
4) 8 и 52

А3. Найдите НОД (a; b), если

a = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7;
b = 2 · 2 · 2 · 3 · 7.

1) 1
2) 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7
3) 2 · 3 · 5 · 7
4) 2 · 2 · 3 · 7

А4. Найдите НОК (a; b), если

a = 2 · 3 · 3 · 5 · 5;
b = 3 · 5 · 7 · 7 · 7.

1) 1
2) 3 · 5
3) 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7
4) 2 · 3 · 5 · 7 · 7 · 7

B1. Найдите НОК (12; 15).

В2. Вычислите: 1,763 : 0,086 − 0,34 · 16.

С1. Сколько различных четырехзначных чисел, кратных 5, можно составить из цифр 0, 1, 3 и 5? (Цифры в числе могут повторяться.)

2 вариант

A1. Разложите число 350 на простые множители.

1) 2 · 175
2) 35 · 10
3) 2 · 5 · 5 · 7
4) 2 · 5 · 35

А2. Укажите пару взаимно простых чисел.

1) 12 и 20
2) 99 и 18
3) 40 и 32
4) 10 и 27

А3. Найдите НОД (a; b), если

a = 2 · 3 · 3 · 7 · 7 · 7;
b = 2 · 5 · 5 · 5 · 7 · 7.

1) 1
2) 2 · 3 · 5 · 7
3) 2 · 7. 7
4) 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7

А4. Найдите НОК (a; b), если

a = 2 · 2 · 3 · 11;
b =2 · 3 · 3 · 7 · 11.

1) 1
2) 2 · 2 · 3 · 3 · 7 · 11
3) 7 · 11
4) 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 · 11 · 11

B1. Найдите НОК (20; 35).

В2. Вычислите: 2,867 : 0,094 + 0,31 · 15.

С1. Сколько различных четырехзначных чисел, кратных 10, можно составить из цифр 0, 1, 5 и 7? (Цифры в числе могут повторяться.)

Ответы на тест по математике Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа. Наименьшее общее кратное для 6 класса
1 вариант
А1-3
А2-2
А3-4
А4-3
В1. 60
В2. 15,06
С1. 96
2 вариант
А1-3
А2-4
А3-3
А4-2
В1. 140
В2. 35,15
С1. 48

Наибольший общий коэффициент

Наибольшее число, которое делится точно на два или более числа.
Это «величайшая» штука для упрощения дробей!

Начнем с примера …

Наибольший общий множитель 12 и 16

1. Найдите все Факторы каждого числа,
2. Обведите Общие множители,
3. Выберите Самый большой из тех

Итак… что такое «Фактор»?

Факторы — это числа, которые мы можем умножить, чтобы получить другое число:

Число может иметь много факторов:

Факторы 12: 1, 2, 3, 4, 6 и 12 …

… потому что 2 × 6 = 12, или 4 × 3 = 12, или 1 × 12 = 12.

(Прочтите, как найти все множители числа.В нашем случае отрицательные нам не нужны.)

Что такое «общий фактор»?

Допустим, мы вычислили множители двух чисел:

Пример: множители 12 и 30

Факторы 12: 1, 2, 3, 4, 6 и 12

Факторы 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 и 30

Тогда общие множители — это те, которые встречаются в обоих списки:

• Обратите внимание, что 1, 2, 3 и 6 появляются в обоих списках?
• Итак, общие множители для 12 и 30: 1, 2, 3 и 6

Это общий коэффициент , когда он является множителем двух (или более) чисел.

Вот еще один пример с тремя числами:

Пример: общие множители 15, 30 и 105

Факторы 15: 1, 3, 5, и 15

Факторы 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 и 30

Коэффициенты 105: 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35 и 105

Общие для всех трех чисел множители: 1, 3, 5 и 15

Другими словами, общие множители из 15, 30 и 105 равны 1, 3, 5 и 15

Что такое «наибольший общий фактор»?

Это просто наибольших общих множителей.

В нашем предыдущем примере наибольший из общих множителей равен 15, поэтому наибольший общий множитель из 15, 30 и 105 равен 15

«Наибольший общий множитель» — это наибольший из общих множителей (двух или более чисел)

Почему это полезно?

Одна из самых полезных вещей — это когда мы хотим упростить дробь:

Пример: как упростить

12 30 ?

Ранее мы обнаружили, что общие множители 12 и 30 равны 1, 2, 3 и 6, поэтому наибольший общий множитель равен 6 .

Таким образом, наибольшее число , на которое мы можем разделить как 12, так и 30, равно 6 , например:

	÷ 6
12 30	=	2 5
	÷ 6

Наибольший общий множитель 12 и 30 равен 6 .

Итак, 12 30 можно упростить до 2 5

В поисках наибольшего общего фактора

Вот три способа:

1. Мы можем:

• найти все множители обоих чисел (использовать Калькулятор всех множителей),
• затем найдите те, которые общие для обоих, и
• , затем выберите наибольший .

Пример:

Два числа	Факторы	Общие факторы	Наибольший Общий коэффициент	Упрощенный пример Дробь
9 и 12	9 : 1, 3, 9 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12	1, 3	3	9 12 = 3 4

А другой пример:

Два числа	Факторы	Общие факторы	Наибольший Общий коэффициент	Упрощенный пример Дробь
6 и 18	6 : 1, 2, 3, 6 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18	1, 2, 3, 6	6	6 18 = 1 3

2 .Или мы можем найти простые множители и объединить общие:

Два числа	Мышление …	Наибольший Общий коэффициент	Упрощенный пример Дробь
24 и 108	2 × 2 × 2 × 3 = 24 и 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 108	2 × 2 × 3 = 12	24 108 = 2 9

3. Или иногда мы можем просто поиграть с коэффициентами , пока не обнаружим его:

Два числа	Мышление …	Наибольший Общий коэффициент	Упрощенный пример Дробь
9 и 12	3 × 3 = 9 и 3 × 4 = 12	3	9 12 = 3 4

Но в этом случае мы должны проверить, что мы нашли наибольший общий множитель .

Калькулятор наибольшего общего коэффициента

Хорошо, есть также очень простой метод : мы можем использовать Калькулятор наибольшего общего коэффициента, чтобы найти его автоматически.

Другие названия

«Наибольший общий коэффициент» часто сокращается до « GCF » и также известен как:

• «Наибольший общий делитель (НОД)», или
• «Высший общий коэффициент (HCF)»

Как найти наибольший общий множитель 9 6 и математику класса 6 CBSE

Подсказка: Чтобы найти наибольший общий множитель, также известный как наибольший общий множитель, необходимо определить все числа, которые могут быть множителями рассматриваемые числа, а затем найдите, какие из них общие, и умножьте их, чтобы получить наивысший коэффициент.

Полное пошаговое решение:
У нас есть числа 9, 6 и 42. Чтобы продолжить, сначала нам нужно разбить каждое число на его кратные. Сначала мы начнем с 9.
$ 9 = 1 \ times 3 \ times 3 $
Далее мы наблюдаем кратные 6.
$ 6 = 1 \ times 2 \ times 3 $
Затем мы наблюдаем 42.
$ 42 = 1 \ times 2 \ times 3 \ times 7 $
Во всех трех приведенных выше случаях мы находим, что 1 является общим множителем, так что это будет наш первый общий множитель. Затем мы обнаруживаем, что 3 также является общим множителем, поэтому 3 также является вторым общим множителем.
Помимо них, мы находим 2 как общий множитель как в 6, так и в 42, но его нет в 9, поэтому его нельзя рассматривать как общий множитель. Кроме этого, мы не можем найти ничего общего в множителях трех чисел: 9, 6 и 42, поэтому мы переходим к поиску наивысшего общего множителя.
$ {\ text {H}} {\ text {.C}} {\ text {.F}} {\ text {. = 1}} \ times {\ text {3 = 3}} $
Итак, наибольший общий множитель равен 3.
Более традиционный метод нахождения наибольшего общего множителя —
$ \
3 \ left | \! {\ underline {\,
{9,6,42} \,}} \ right.\\
\, \, \, \, \, 3,2,14 \\
\ $
Здесь, в левой части полосы, мы используем числа для деления, а справа — числа, HCF которых предстоит выяснить. Затем мы умножаем числа, указанные слева, чтобы найти HCF. В этом случае есть только одно число, равное 3, но если бы были другие общие кратные, деление продолжалось бы дальше, пока не осталось бы общего множителя.

Примечание:
Этот же метод используется для нахождения наименьшего общего кратного, где после нахождения HCF все остальные левые кратные были бы умножены на HCF для нахождения LCM.

наибольший общий множитель и наименьшее общее кратное

наибольшее общее кратное и наименьшее общее кратное

Наибольший общий множитель и наименьшее общее кратное
GCF и LCM

Какие факторы участвуют в следующем сценарии?

У Гэри 20 мячей для настольного тенниса и 16 ракеток. Он хочет продавать упаковки обычных размеров, содержащие как лопатки, так и мячи. Какое наибольшее количество упаковок он может продать без остатков мячей или ракеток?

Мы используем факторы для поиска решения первой проблемы.

1 · 20 = 20 и 1 · 16 = 16	В одной упаковке 20 мячей и 16 ракеток.
2 · 10 = 20 и 2 · 8 = 16	Две упаковки по 10 мячей и 8 лопастей.
4 · 5 = 20 и 4 · 4 = 16	Четыре упаковки по 5 мячей и 4 лопатки в каждой.

На этот вопрос можно ответить, найдя наибольший общий множитель . Если Гэри хочет разделить шары и ракетки на пакеты, каждая из которых содержит одинаковое количество мячей, мы ищем число, которое является множителем обоих. Это то, что мы назвали бы общим множителем . На приведенном выше рисунке показано, что у Гэри есть три варианта упаковки мячей и ракеток в одну, две или четыре упаковки. Если мы хотим создать как можно больше пакетов, мы ищем наиболее общий фактор.

Пример:

Набор множителей 20: {1, 2, 4 , 5, 10, 20}

Набор множителей 16: {1, 2, 4 , 8, 16}

Из этих двух списков мы видим, что наибольший общий делитель 20 и 16 равен 4, поэтому Гэри сможет продать четыре упаковки, каждая из которых содержит четыре ракетки и пять мячей.

Эта проблема мотивирует необходимость определения наибольшего общего множителя для двух или более значений.

Определение наибольшего общего множителя (GCF) :

Наибольший общий делитель (GCF) двух натуральных чисел n и m — это наибольшее натуральное число k , которое является множителем как n , так и m . Мы обозначим это как GCF ( n , m ) = k .

Пример:

Связав это определение с проблемой, которую мы решили на предыдущей странице, мы видим, что два числа n и m — это числа 20 и 16.Мы можем символически записать решение как GCF (20, 16) = 4. Это говорит о том, что «наибольший общий делитель 20 и 16 равен 4».

Число k в определении соответствует 4 в задаче. Это фактор наибольшей ценности, который разделяют как n, , так и m. Число k — наибольший общий множитель 20 и 16.

Один из методов нахождения наибольшего общего множителя — выбрать значение, которое является наибольшим значением на пересечении наборов общих множителей .

Пример: найдите GCF (20, 16).

Набор множителей 20 равен {1, 2, 4, 5, 10, 20}, а набор множителей 16 равен {1, 2, 4, 8, 16}.

{1, 2, 4, 5, 10, 20} ∩ {1, 2, 4, 8, 16} = {1, 2, 4}, имеющее наибольшее значение 4.

Итак, GCF (20, 16) = 4.

Обратите внимание, что промежуточный шаг в этом методе, примененный к задаче в начале занятия, дает все возможности для упаковки всех мячей и ракеток: одну, две или четыре упаковки.

Пример: найти GCF (18, 24).

Набор множителей 18 равен {1, 2, 3, 6, 9, 18}
а набор множителей 24 равен {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.

{1, 2, 3, 6, 9, 18} ∩ {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} = {1, 2, 3, 6}, имеющее наибольшее значение 6.

ЗКФ (18, 24) = 6.

По мере того, как количество факторов становится больше, нецелесообразно перечислять все факторы и искать наиболее важные. Вместо этого мы можем использовать то, что мы знаем о разложении на простые множители , чтобы найти наибольший общий делитель .

Пример: найти GCF (308, 1176).

Сначала мы находим факторизации чисел на простые множители.

308 = 2 ² · 7 · 11 и 1176 = 2 ³ · 3 · 7 ²

Далее мы исследуем, как соотносятся факторы. А пока мы расширим обозначение экспоненты и выровняем совпадающие факторы, оставив любые другие факторы в конце факторизации.

Мы видим, что 2 · 2 · 7 — множители, которые есть в обеих факторизациях.

Следовательно, GCF (308, 1176) = 2 · 2 · 7 = 28.

Далее, обратите внимание, что когда факторы сопоставлены, есть три фактора 2 из 1176, но есть только два фактора 2 из 308. Мы смогли сопоставить только меньшее количество 2. Это соответствует наименьшему показателю коэффициента 2.

Итак, чтобы получить ОКФ двух чисел, нам нужно только взять общие простые множители из простых множителей и сравнить их показатели. В каждом случае мы берем экспоненциальное выражение с наименьшим показателем степени и умножаем их вместе.

Пример: мы пересматриваем предыдущий пример, чтобы проиллюстрировать использование экспонент.

Найдите GCF (308, 1176).

Сначала мы находим факторизации чисел на простые множители.

308 = 2 ² · 7 · 11

1176 = 2 ³ · 3,7 ²

Для общих простых множителей наименьший показатель степени 2 равен 2, а наименьший показатель степени 7 равен 1. Итак, в этом случае мы имеем GCF (308, 1176) = 2 ² · 7 ¹ = 4 · 7 = 28.

Пример: найти GCF (4950, 7020)

4950 = 2 · 3 ² · 5 ² · 11

7020 = 2 ² · 3 ³ · 5 · 13

Общие простые множители — 2, 3 и 5. Наименьший показатель для 2 и 5 равен единице (2 ¹ = 2 и 5 ¹ = 5), а для 3 равен двум.

Таким образом, GCF (4950, 7020) = 2 · 3 ² · 5 = 90.

Пример: найти GCF (7920, 92664)

7920 = 2 ⁴ · 3 ² · 5 · 11

92664 = 2 ³ · 3 ⁴ · 11 · 13

Общие простые множители — 2, 3 и 11.Наименьший показатель степени для 2 равен 3 (2 ³ ), для 3 равен 2 (3 ² ), а для 11 равен 1 (11 ¹ ).

Таким образом, GCF (7920, 92664) = 2 ³ · 3 ² · 11 = 792.

Как мультипликаторы задействованы в следующем сценарии?

В станке две шестерни. Одна шестерня имеет 12 зубьев, а другая — 20 зубцов. Шестерни выровнены по отметке, проведенной от центра первой шестерни к центру второй шестерни.Какое наименьшее количество оборотов первой передачи необходимо для совмещения отметки?

Мы начинаем с перечисления для каждой шестерни количества зубьев, которые пройдут начальную отметку после первого, второго, третьего и т. Д.

Первая передача: 12, 24, 36, 48, 60 , 72, 84, 96, 108, 120 , 132, 144, 156, 168, 180 , 192,…

Вторая передача: 20, 40, 60 , 80, 100, 120 , 140, 160, 180 , 200, 220, 240 , 260, 280, 300 ,…

Обратите внимание, что мы перечисляем числа, кратные 12 и 20.Первая передача будет согласована со второй передачей после пяти оборотов. (Также обратите внимание, что вторая передача сделает три оборота.)

Ответ на этот вопрос был дан с использованием наименьшего общего кратного . Обратите внимание, что метка на первой передаче возвращается в исходное положение после каждого полного оборота. Это произойдет, когда она пройдет через 12 зубьев, 24 зуба, 36 зубцов и т. Д. Метка на второй шестерне вернется в исходное положение после того, как она совершит любое количество полных оборотов.Это произойдет, когда пройдет 20 зубов, 40 зубов, 60 зубов, 80 зубов и т. Д.

Обратите внимание, что 12, 24, 36,… кратны 12 и 20, 40, 60,… кратны 20.

Метка будет повторно выровнена только тогда, когда будет достигнуто значение, кратное 12 и 20. Отметка будет перестроена в первый раз, когда будет достигнуто первое такое кратное. Следовательно, мы ищем наименьшее общее кратное 12 и 20.

Определение наименьшего общего кратного (LCM) :

Наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел n и m является наименьшим числом h , так что h кратно как n , так и m .Мы обозначим это как LCM ( n , m ) = h .

Пример:

Связывая это определение с проблемой, которую мы решили на предыдущей странице, мы видим, что два числа n и m — это числа 12 и 20. Мы можем записать решение символически как LCM (12, 20) = 60. Это говорит о том, что «наименьшее общее кратное 12 и 20 равно 60».

Число h в определении соответствует 60 в задаче.Он имеет наименьшее значение, если кратные значения разделяются как на n, так и на m. Число h — это наименьшее общее кратное 12 и 20.

Один из методов нахождения наименьшего общего кратного — выбрать значение, равное минимальному значению на пересечении множеств кратных.

Пример: найдите НОК (12, 20).

Мы находим набор их натуральных чисел, кратных, а затем находим наименьшее значение на пересечении двух наборов.

Набор кратных 12 равен A = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120,…}

Набор кратных 20 равен B = {20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180,…}

A ∩ B = {60, 120, 180,…} с наименьшим значением 60.

НОК (12, 20) = 60.

Обратите внимание, что промежуточный шаг в задаче дает все общие множители.

Поскольку мы нашли наименьшее общее кратное, 60, для проблемы с шестеренкой, теперь мы можем ответить на вопрос о проблеме с шестерней.Был задан вопрос, сколько оборотов нужно, чтобы выровнять отметку. Поскольку мы знаем, что первая шестерня должна пройти 60 зубцов и после каждых 12 она сделает один оборот, мы знаем, что она должна сделать 5 оборотов, прежде чем метки будут совмещены в первый раз (60 ÷ 12 = 5). (Также обратите внимание, что вторая шестерня должна сделать три оборота, чтобы 60 зубьев прошли отметку, 60 ÷ 20 = 3.)

Как и в случае с GCF, найти НОК больших чисел путем перечисления кратных не очень практично.Кроме того, как и в случае с GCF, мы можем использовать разложение на простые множители , чтобы помочь.

Пример: найти НОК (308,1176).

Мы снова перечисляем основные множители значений.

308 = 2 ² · 7 · 11

1176 = 2 ³ · 3,7 ²

Поскольку мы ищем кратные, каждое кратное 308 должно содержать 2 ² · 7 · 11 в качестве множителей, а каждое кратное 1176 должно содержать 2 ³ · 3 · 7 ² в качестве множителей.Это означает, что 2, 3, 7 и 11 должны быть простыми делителями в любом общем кратном. Для 2 и 7, которые появляются в обоих списках, нам нужна наибольшая степень этого простого числа в качестве множителя для создания НОК, поскольку 2 ³ автоматически кратно 2 ² . Таким образом, используя наибольшую степень каждого простого числа, LCM (308,1176) = 2 ³ · 3 · 7 ² · 11 = 12 936.

Шутка или цитата

Объекты не следует без надобности умножать.

— Вильгельм Оккам (1300-1439)

Общие множители

Общие множители двух чисел называются общими множителями этих чисел.

Пример:
Каковы общие множители 20 и 25?
Факторы 20 равны 1 , 2, 4, 5 и 20.
Факторы 25 равны 1 , 5 и 25.
Общие множители 20 и 25 равны 1 и 5. .

Пример:
Каковы общие множители 15 и 30?
Множители 15 равны 1 , 3 , 5 и 15 .
Множители 30 равны 1 , 2, 3 , 5 , 10, 15 и 30.
Общие множители 15 и 30 равны 1, 3, 5 и 15.

Пример:
Каковы общие множители 9 и 20?
Множители 9: 1 , 3 и 9.
Факторы 20 равны 1 , 2, 4, 5 и 20.
Единственный общий делитель 9 и 20 равен 1.

Наибольшие общие множители

Наибольший общий делитель двух чисел называется их наибольшим общий множитель или наивысший общий множитель .

Пример:
Какой наибольший общий делитель 20 и 25?
Общие делители 20 и 25 равны 1 и 5. (см. Выше)
Наибольший общий делитель равен 5.

Пример:
Какой наибольший общий делитель 15 и 30?
Общие делители 15 и 30 равны 1, 3, 5 и 15.
Наибольший общий делитель равен 15.

Пример:
Каков наибольший общий делитель 9 и 20?
Единственный общий делитель 9 и 20 равен 1.
Наибольший общий множитель равен 1.

Метод № 2: простые множители

Другой метод нахождения наибольшего общего множителя использует простые множители каждого числа.Вместо того, чтобы смотреть на все факторы, простые или нет, чтобы найти единственное наивысшее из них, общее, мы умножаем все простые множители, которые у них общие, для достижения тех же результатов.

Пример:
Какой наибольший общий делитель 20 и 25?
Простые множители 20 равны 2 x 2 x 5 .
Простые делители 25 равны 5 x 5.
Их общий делитель равен 5.
Наибольший общий делитель равен 5.

Пример:
Какой наибольший общий делитель равен 15 и 30?
Простые множители 15 равны 3 x 5 .
Простые множители 30 равны 2 x 3 x 5 .
Их общие простые множители равны 3 x 5.
3 x 5 = 15.
Наибольший общий делитель равен 15.

Когда два числа не имеют общих простых множителей, их наибольший общий делитель равен 1.

Пример:
Какой наибольший общий делитель 9 и 20?
Простые множители 9 равны 3 x 3.
Простые множители 20 равны 2 x 2 x 5.
9 и 20 не имеют общих простых множителей.
Наибольший общий множитель равен 1.

Основные факторы Наименьшие общие множители

.com / ipa / 0/9/3/3/3/5 / A0933353.html

Как найти наибольший общий фактор — Видео и стенограмма урока

Что такое фактор?

Проще говоря, множители числа — это меньшие числа, составляющие исходное число. С математической точки зрения это звучит так: множители числа — это разные числа, которые вы можете перемножить, чтобы получить исходное число.Но многие математические темы лучше всего показать на примерах, и это, наверное, один из них.

Давайте начнем с рассмотрения множителей 6. Факторы 6 будут 2 и 3, потому что 2 x 3 = 6. Также верно, что 1 и 6 являются множителями, потому что 1 x 6 также равно до 6. Это дает нам полный список множителей 6 как 1, 2, 3 и 6.

А как насчет множителей 60? Ну, я знаю, что всегда могу сделать в 1 раз больше, так что это сработает. Кроме того, 60 — четное, поэтому я знаю, что 2 работает, а 2 x 30 = 60.Если мы попробуем разделить 60 на 3, мы получим 20, так что это означает, что я могу добавить 3 и 20 в список. Если мы продолжим движение вверх, то обнаружим, что работают 4 и 15, 5 и 12, 6 и 10, но следующие работают 10 и 6, и это в основном просто повторение 6 и 10. Итак, на этом этапе мы можем остановиться, потому что остальные задачи умножения, которые мы выполняем, — это просто повторение чисел, которые мы уже включили в наш список. Таким образом, множители 60 составляют все числа, которые вы видите здесь: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.Их довольно много.

Наибольший общий фактор

Итак, теперь мы готовы поговорить о том, чему на самом деле посвящен этот урок: наибольший общий фактор или GCF. Чтобы найти GCF, нам нужно посмотреть на два числа, скажем, 10 и 22. Затем мы просто задаемся вопросом о множителях, которые имеют эти два числа, и какое из них самое большое, что у них общего?

Ну, множители 10 — это 1 и 10, 2 и 5, а множители 22 — это 1 и 22, 2 и 11. Это дает наибольший общий делитель 10 и 22 2, потому что это наибольшее число, которое я вижу на оба списка.Вот и все!

Примеры

Давайте попробуем еще несколько примеров, чтобы убедиться, что они у вас есть. Может быть, этот: найдите GCF 27 и 45. Мы начнем с перечисления факторов каждого из этих чисел по отдельности, как мы узнали ранее.

Если посмотреть сначала на 27, 1 всегда будет работать, так что мы можем начать с него. 27 — это нечетно, поэтому 2 не сработает, но мы можем сделать 3 x 9. Следующее, что работает, — 9 x 3, так что вы начали повторять, и мы можем остановиться. Таким образом, наш список факторов для 27 довольно короткий — всего 1, 3, 9 и 27.

Далее с 45 — после того, как мы посчитаем 1 и 45, мы можем снова исключить 2, но 3 и 15 — это хорошо, 4 не работает, но 5 x 9 работает, а следующее — 9 x 5, поэтому мы попали в нашу повторяющуюся точку. Это делает наш список факторов из 45 того, что вы видите здесь: 1, 3, 5, 9, 15, 45.

Итак, ответить на исходный вопрос «Каков GCF этих двух чисел?» Так же просто, как выбирая самое большое число, которое есть в обоих этих списках. Похоже, 9 — наш победитель!

Последний пример: Найдите наибольший общий делитель между 4 и 16.Мы снова начинаем с того, что записываем все множители этих двух чисел. Для 4 мы получаем 1, 2 и 4, а для 16 мы получаем 1, 2, 4, 8 и 16. Итак, наибольший общий множитель 4 и 16 — это наибольшее число в обоих списках. Это 4.

Обратите внимание, что 4 было одним из исходных чисел из задачи. Это нормально! Некоторые люди немного пугаются, что это запрещено, и решают вместо этого использовать 2, потому что это следующий в списке. Не делай этого! Ничего страшного, если GCF является одним из исходных чисел из задачи.

Обзор урока

Для повторения: множители числа — это разные числа, которые вы можете умножить вместе, чтобы получить исходное число. Наибольший общий делитель двух чисел — это самый большой общий фактор, который у них обоих, и часто для краткости обозначается как GCF. Это нормально, если GCF двух чисел будет самим одним из исходных чисел. И, наконец, в качестве примечания: место в математике, где вы будете использовать это чаще всего, — это упрощение дробей.

Результаты обучения

После этого урока вы сможете:

• Объяснять, каковы множители числа
• Опишите, как найти наибольший общий делитель двух чисел
• Определите, когда вам, вероятно, потребуется найти наибольший общий множитель

Какой наибольший общий множитель и наименьшее общее кратное?

Наибольший общий множитель и наименьшее общее кратное

Привет, и добро пожаловать в это видео, посвященное наименьшему общему кратному и наибольшему общему множителю!

Как вы знаете, бывают случаи, когда нам нужно алгебраически «скорректировать» способ отображения числа или уравнения, чтобы продолжить нашу математическую работу.Для этого мы можем использовать наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Наибольшее общее кратное (НОК) — это наибольшее число, которое является множителем двух или более чисел, а наименьшее общее кратное (НОК) (НОК) — наименьшее число, кратное двум или более числам.

Чтобы увидеть, насколько полезны эти концепции, давайте посмотрим на сложение дробей. Прежде чем мы сможем сложить дроби, мы должны убедиться, что знаменатели совпадают, создав эквивалентную дробь:

\ (\ frac {2} {3} + \ frac {1} {6} \ rightarrow \ frac {2 } {3} \ times \ frac {2} {2} + \ frac {1} {6} \ rightarrow \) \ (\ frac {4} {6} + \ frac {1} {6} = \ frac { 5} {6} \)

В этом примере необходимо определить наименьшее общее кратное 3 и 6.Другими словами: «Какое наименьшее число, которое можно разделить на 3 и 6 равномерно?» Немного подумав, мы понимаем, что 6 — наименьшее общее кратное, потому что 6, разделенное на 3, равно 2, а 6, разделенное на 6, равно 1. Затем дробь \ (\ frac {2} {3} \) приводится к эквивалентному значению. дробь \ (\ frac {4} {6} \), умножив числитель и знаменатель на 2. Теперь две дроби с общими знаменателями можно сложить для получения окончательного значения \ (\ frac {5} {6} \) .

В контексте сложения или вычитания дробей наименьшее общее кратное называется наименьшим общим знаменателем .

В общем, вам нужно определить число, большее или равное двум или более числам, чтобы найти их наименьшее общее кратное.

Важно отметить, что существует несколько способов определения наименьшего общего кратного. Один из способов — просто перечислить все кратные рассматриваемых значений и выбрать наименьшее общее значение, как показано здесь:

Наименьшее общее кратное 8, 4, 6

\ (8 \ rightarrow 8, 16,24,32,40,48 \)
\ (4 \ rightarrow 4,8,12,16,20,24,28,32 \)
\ (6 \ rightarrow 6,12,18,24,30, 36 \)

Это показывает, что наименьшее общее кратное 8, 4 и 6 равно 24, потому что это наименьшее число, на которое 8, 4 и 6 могут делиться равномерно.

Другой распространенный метод включает разложение на простые множители каждого значения. Помните, что простое число делится только на 1 и само себя.

После определения простых множителей перечислите общие множители один раз, а затем умножьте их на другие оставшиеся простые множители. Результатом является наименьшее общее кратное:

\ (30 = 2 \ times 2 \ times 3 \ times 3 \)
\ (90 = 2 \ times 3 \ times 3 \ times 5 \)

LCM \ ( = 2 \ times 3 \ times 3 \ times 2 \ times 5 \)

Наименьшее общее кратное также можно найти путем общего (или повторяющегося) деления.Этот метод иногда считается более быстрым и эффективным, чем перечисление , кратное и поиск простых множителей. Вот пример нахождения наименьшего общего кратного 3, 6 и 9 с помощью этого метода:

Разделите числа на множители любого из трех чисел. 6 имеет множитель 2, поэтому давайте возьмем 2. Девять и 3 нельзя разделить на 2, поэтому мы просто перепишем здесь 9 и 3. Повторяйте этот процесс, пока все числа не уменьшатся до 1. Затем умножьте все множители вместе, чтобы получить наименьшее общее кратное.

НОК \ (= 2 \ times 3 \ times 3 = 18 \)

Теперь, когда были введены методы нахождения наименьших общих кратных, нам нужно изменить наше мышление на поиск наибольшего общего делителя двух или более чисел. . Мы будем определять значение, меньшее или равное рассматриваемым числам. Другими словами, спросите себя: «Какое наибольшее значение делит оба этих числа?» Понимание этой концепции необходимо для деления и разложения многочленов на множители.

Факторизация на простые множители также может использоваться для определения наибольшего общего множителя.Однако вместо того, чтобы умножать все простые множители, как мы делали для наименьшего общего кратного, мы будем умножать только те простые множители, которые разделяют числа. Полученный продукт является самым общим фактором.

---

Обзор

Давайте подведем итоги парой проверочных вопросов:

1. Наименьшее общее кратное 45 и 60 равно 15.


Ответ неверный. Наибольший общий делитель 45 и 60 равен 15, а наименьший общий делитель — 180.

2. Наименьшее общее кратное — это число, большее или равное рассматриваемым числам.


Ответ верный. Наименьшее общее кратное больше или равно рассматриваемым числам, в то время как наибольшее общее кратное равно или меньше рассматриваемых чисел.

Спасибо за просмотр и удачной учебы!

HCF и LCM- Заметки по математике класса 6 CBSE с примерами

HCF и LCM

Когда число выражается как произведение его множителей, мы говорим, что
число было факторизовано.

Теперь мы разложим 36 на множители тремя разными способами, используя дерево
диаграммный метод.

При всех приведенных выше факторизациях 36 мы в конечном итоге получаем только
одно разложение на множители 2 × 2 × 3 × 3.
Пример: напишите наибольшее 4-значное число и выразите его в терминах
его основных факторов.
Наибольшее четырехзначное число — 9999.

Следовательно, 9999 = 3 × 3 × 11 × 101

Пример. Напишите наименьшее пятизначное число и выразите его в виде
. форма его основных факторов.
Наименьшее пятизначное число — 10000.

Следовательно, 10000 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5 × 5

Наивысший общий коэффициент (HCF)
Наивысший общий коэффициент (HCF) двух или более заданных чисел равен
высший (или наибольший) из их общих факторов. Также известен
как наибольший общий делитель (НОД).
Чтобы найти HCF двух или более чисел, мы можем использовать любое из
следующий метод.

• Метод общих коэффициентов
• Метод факторизации на простые числа

HCF методом общих коэффициентов
Давайте найдем HCF 18, 24 и 42.

Сначала найдите все множители данных чисел по отдельности.

Факторы 18 = 1 , 2 , 3, 6 , 9, 18

Факторы 24 = 1 , 2 , 3, 4, 6 , 8, 12, 24

Коэффициенты 42 = 1 , 2 , 3, 6 , 7, 14, 21, 42

Мы видим, что общие множители 18, 24 и 42 равны 1, 2, 3 и 6.

Поскольку 6 является наивысшим из этих общих факторов.

Следовательно, HCF 18, 24 и 42 равняется 6.

HCF методом первичной факторизации

Теперь мы найдем HCF 27 и 45 путем простой факторизации
. Метод.

Простые множители 27 = 3 × 3 × 3
Простые множители 45 = 3 × 3 × 5
Общие простые делители данных чисел — 3 (встречается
дважды)

HCF из 27 и 45 = 3 x 3 = 9

Пример: найти HCF следующих чисел с помощью общего множителя
Метод
i) 18, 48 ii) 18, 60 iii) 36, 84 iv) 70, 105, 175

i) 18, 48

Факторы 18 = 1 , 2 , 3 , 6 , 9, 18

Факторы 48 = 1 , 2 , 3 , 4, 6 , 8, 12, 24, 48

Мы видим, что общие множители 18 и 48 равны 1, 2, 3 и 6.

Поскольку, 6 — самый высокий из этих общих факторов. Таким образом, ЛКФ 18
а 48 — 6.

ii) 18, 60

Факторы 18 = 1, 2, 3, 6 , 9, 18

Факторы 60 = 1, 2, 3 , 4, 5, 6 , 12, 15, 20, 30, 60

Мы видим, что общие множители 18 и 48 равны 1, 2, 3 и 6.

Так как 6 является наивысшим из этих общих множителей.Следовательно, ЛКФ
18 и 48 — 6.

iii) 36, 84

Факторы 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12 , 18, 36

Факторы 60 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 12 , 15, 20, 30, 60

Мы видим, что общие множители 36 и 84 равны 1, 2, 3, 4, 6 и
. 12.

Поскольку 12 является наивысшим из этих общих факторов.Следовательно, ЛКФ
36 и 84 равно 12.

iv) 70, 105 и 175

Факторы 70 = 1 , 2, 5 , 7 , 10, 14, 35 , 70

Коэффициенты 105 = 1 , 3, 5, 7 , 15, 21, 35 , 105

Мы видим, что общие множители 36 и 84 равны 1, 5, 7 и 35.

Так как 35 — это наивысший из этих общих факторов. Следовательно, ЛКФ
70, 105 и 175 — это 35.

Пример: найти HCF следующих чисел простым
Метод факторизации
i) 30, 42 ii) 27, 63 iii) 34, 102 iv) 91, 112, 49

i) 30, 42

Простые множители 30 = 2 × 3 × 5

Простые множители 42 = 2 × 3 × 7

Общие простые множители данных чисел — 2 и 3

HCF 30 и 42 = 2 x 3 = 6

ii) 27, 63

Простые множители 27 = 3 × 3 × 3

Простые множители 63 = 3 × 3 × 7

Общие простые множители данных чисел равны 3 (встречается
дважды)

HCF из 27 и 63 = 3 x 3 = 9

iii) 34 и 102

Простые множители 34 = 2 × 17

Простые множители 102 = 2 × 3 × 17

Общие простые множители данных чисел — 2 и 17.
Следовательно, HCF 34 и 102 = 2 x 17 = 34

iv) 91, 112, 49

Простые множители 91 = 7 × 13

Простые множители 112 = 2 × 2 × 2 × 2 × 7

Простые множители 49 = 7 × 7

Общие простые множители данных чисел равны 7. Следовательно,
HCF 91, 112 и 49 = 7

Наименьшее общее кратное
Наименьшее общее кратное (НОК) двух или более заданных чисел
является наименьшим (или наименьшим или наименьшим) из их общих кратных.

Если два числа являются взаимно простыми, то НОК является произведением
. два числа.

Рассмотрим числа 7 и 13

7 = 7 x 1 и 13 = 1 x 13

Итак, LCM составляет 7 x 13 = 91

LCM общим множественным методом

Наименьшее общее кратное двух или более чисел —
наименьшее число, кратное каждому из чисел.

Рассмотрим числа 8, 12 и 18.

Кратное 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80 …….

Число, кратное 12, равно 12, 24, 36, 48, 60, 72 , 84, 96, 108, 120 …….

, кратное 18 18, 36, 54, 72 , 90, 108 …..

Наименьшее общее кратное 8, 12 и 18 равно 72

L.C.M. из 8, 12 и 18 это 72.

LCM методом первичной факторизации

Чтобы найти НОК методом разложения на простые множители, запишем простое число
факторизации заданных чисел.Тогда требуемый НОК
эти числа являются произведением всех различных простых множителей числа
. числа, которые встречаются максимальное количество раз.

Рассмотрим числа 40, 48 и 45.

Простые множители 40 = 2 × 2 × 2 × 5

Простые множители 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3

Простые множители 45 = 5 × 3 × 3

Простой множитель 2 встречается максимум четыре раза в
при простом разложении 48 получается простой множитель 3 максимум
число два в разложении на простые множители 45.Прайм
Фактор 5 появляется один раз при разложении на простые множители 40 и 45,
мы берем его только один раз.

Следовательно, требуется LCM = (2 × 2 × 2 × 2) × (3 × 3) × 5 = 720

LCM по методу деления

Рассмотрим числа 12, 15 и 20.

Шаг 1: Записываем заданные числа в ряд:

Шаг 2: Разделите на наименьшее простое число, которое делит любое из
данные числа и перенесите числа, отличные от
делимый.В этом случае наименьшее простое число — 2.

Шаг 3: Снова разделите на 2. Продолжайте так, пока у нас не будет числа, кратного
. 2.

Шаг 4: Разделить на следующее простое число, равное 3.

Шаг 5: Разделите на следующее простое число, равное 5.

Итак, LCM = 2 × 2 × 3 × 5 = 60

Пример: Рупа покупает два мешка с удобрениями весом 75 и
кг. 69 кг.Найдите максимальное значение веса, которое может измерить
вес удобрения точное количество раз.

Чтобы найти максимальный вес, мы должны найти HCF, равный 75 и 69.

Следовательно,

75 = 3 × 5 × 5

69 = 3 × 23

Итак, HCF 75 и 69 равно 3.

Следовательно, необходимая масса = 3 кг

Пример: светофоры на трех разных перекрестках дороги меняются
через каждые 48 секунд, 72 секунды и 108 секунд соответственно.Если
они меняются одновременно в 10 часов утра, в какое время они будут
снова поменять одновременно?

Нам нужно найти НОК 48, 72 и 108.

LCM 48, 72 и 108 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 432

432 секунды = 7 минут 12 секунд

Следовательно, светофоры меняются одновременно через 7 минут
12 секунд

Требуемое время = 10 а.м. + 7 минут 12 секунд или 7 минут 12
секунд после 10 утра

Связь между HCF и LCM

Пусть два числа будут и b, тогда произведение этих чисел равно
равны произведению их HCF и LCM.