Как решать уравнения за 5 класс?

Уравнением называется равенство, в котором имеется неизвестный член — x. Его значение и надо найти.

Неизвестная величина называется корнем уравнения. Решить уравнение означает найти его корень, а для этого нужно знать свойства уравнений. Уравнения за 5 класс несложные, но если вы научитесь их правильно решать, у вас не будет проблем с ними и в дальнейшем.

Главное свойство уравнений

При изменении обеих частей уравнения на одинаковую величину оно продолжает оставаться тем же уравнением с тем же корнем. Давайте решим несколько примеров, чтобы лучше понять это правило.

Как решать уравнения: прибавление или вычитание

Предположим, у нас есть уравнение вида:

• a + x = b — здесь a и b — числа, а x — неизвестный член уравнения.

Если мы к обеим частям уравнения прибавим (или вычтем из них) величину с, оно не изменится:

• a + x + с = b + с
• a + x — с = b — с.

Пример 1

Воспользуемся этим свойством для решения уравнения:

Вычтем из обеих частей число 37:

получаем:

Корень уравнения х=14.

Если мы внимательно посмотрим на последнее уравнение, то увидим, что оно такое же, как первое. Мы просто перенесли слагаемое 37 из одной части уравнения в другую, заменив плюс на минус.

Получается, что любое число можно переносить из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.

Пример 2

Проведём то же действие, перенесём число 37 из левой части уравнения в правую:

Поскольку 37-37=0, то это мы просто сокращаем и получаем:

Одинаковые члены уравнения с одним знаком, находящиеся в разных частях уравнения, можно сокращать (вычёркивать).

Умножение и деление уравнений

Обе части равенства можно также умножать или делить на одно и то же число:

Если равенство а = b поделить или умножить на с, оно не изменится:

• а/с = b/с,
• ас = bс.

Пример 3

Поделим обе части уравнения на 5:

Поскольку 5/5 = 1, то эти множитель и делит

elhow.ru

Что такое уравнение? Как решать уравнения?

        Уравнение – одно из краеугольных понятий всей математики. Как школьной, так и высшей. Имеет смысл разобраться, правда? Тем более, что это очень простое понятие. Ниже сами убедитесь. 🙂 Так что же такое уравнение?

        То, что это слово однокоренное со словами «равный», «равенство», возражений, думаю, ни у кого не вызывает.

        Уравнение – это два математических выражения, соединённых между собой знаком «=» (равно).

        Но… не каких попало. А таких, в которых (хотя бы в одном) содержится неизвестная величина. Или, по-другому, переменная величина. Или, сокращённо, просто «переменная». Которая обычно обозначается буквой «х»

.

        Переменных может быть одна, может быть несколько. В школьной математике чаще всего рассматриваются уравнения с одной переменной. И мы тоже пока что будем рассматривать уравнения с одной переменной. С двумя переменными или более – в специальных уроках.

 

Что значит решить уравнение?

        Идём дальше.

        Переменная, входящая в уравнение, может принимать любые допустимые математикой значения. На то она и переменная. 🙂 При каких-то значениях переменной получается верное числовое равенство, а при каких-то – нет.

        Так вот:

        Решить уравнение означает найти ВСЕ такие значения переменной, при подстановке которых в исходное уравнение получается верное равенство. Или, более научно, верное тождество. Или доказать, что таких значений переменной не существует.

 

        Что такое

верное равенство? Это равенство, не вызывающее сомнений даже у человека, абсолютно не отягощённого глубокими математическими познаниями. Например, 5=5, 0=0, -10=-10. И так далее. 🙂

        Значения переменной, при подстановке которых достигается это самое верное равенство, называются очень красиво и научно — корни уравнения.

        Корень может быть один, может быть несколько. А может быть и бесконечно много корней – целый интервал или даже вообще вся числовая прямая от –∞ до +∞. Да, такое тоже бывает! Всё от конкретного уравнения зависит.)

        А бывает и такое, что нельзя найти такие иксы, которые давали бы нам верное равенство. Принципиально нельзя. По определённым причинам. Нету таких иксов…

        В таких случаях обычно говорят, что уравнение не имеет корней.

 

Для чего нужны уравнения?

        Вопрос смешной. Для жизни! В школе, как правило, уравнения нужны для решения текстовых задач. Это, напоминаю, задачи на движение, на работу, на проценты и многие другие.

        А во взрослой жизни без уравнений невозможны было бы ответить даже на самые обычные, но жизненно важные вопросы повседневности: какая будет погода завтра, выдержит ли заданную нагрузку здание. Или лифт. Или самолёт. Куда попадёт ракета… И не было бы сейчас среди нас ни синоптиков, ни инженеров, ни бухгалтеров, ни экономистов, ни программистов… За ненадобностью. Внушает?)

        Почему это так? А потому, что уравнениями описываются почти все известные человеку природные явления и процессы. Изменение давления и температуры воздуха с высотой, закон всемирного тяготения, размножение бактерий, радиоактивный распад, химические реакции, электричество, спрос и предложение – в основе всего этого лежат математические уравнения! Простые, сложные – всякие. Какое явление или ситуация, такое и уравнение.)

        Итак, запоминаем:

        Уравнения – очень мощный и универсальный инструмент для решения самых разных прикладных задач.

 

А какие бывают уравнения?

        Уравнений в математике несметное количество. Самых разных видов. Но всё многообразие уравнений можно условно разделить всего на 4 категории:

1. Линейные,

2. Квадратные,

3. Дробные (или дробно-рациональные),

4. Прочие.

        Разные категории уравнений требуют и разного подхода к их решению: линейные уравнения решаются одним способом, квадратные – другим, дробные – третьим, тригонометрические, логарифмические, показательные и прочие – тоже решаются своими методами.

        Прочих уравнений, разумеется, больше всего, да…) Это и иррациональные, и тригонометрические, и показательные, и

логарифмические, и многие другие уравнения. И даже дифференциальные уравнения (для студентов), где роль неизвестного играет не число, а функция. Или даже семейство функций. 🙂

        В соответствующих уроках мы подробно разберём все эти типы уравнений. А здесь у нас – базовые приёмы и правила.

        Называются эти правила – тождественные (или – равносильные) преобразования уравнений. Их всего два. И нигде их не обойти. Так что знакомимся!

 

Как решать уравнения? Тождественные (равносильные) преобразования уравнений.

        Решение любого уравнения заключается в поэтапном преобразовании входящих в него выражений. Но преобразований не абы каких, а таких, чтобы от шага к шагу суть всего уравнения не менялась. Несмотря на то, что после каждого преобразования уравнение будет видоизменяться и, в конечном счёте, станет совсем не похоже на исходное.

        Такие преобразования в математике называются

равносильными или тождественными. Их довольно много, но среди всего многообразия тождественных преобразований уравнений выделяется два базовых. О них и пойдёт речь в этом уроке. Да-да, всего два! Но – крайне важных! И каждое из них заслуживает отдельного внимания.

        Применение этих двух тождественных преобразований в том или ином порядке гарантирует успех в решении 99% уравнений математики. Заманчиво, правда?

        Итак, вперёд!

 

        Первое тождественное преобразование:

        К обеим частям уравнения можно прибавить (или отнять) любое (но одинаковое!) число или выражение (в том числе и с переменной). Суть уравнения от этого не изменится.

 

        Это преобразование вы применяете всюду, наивно думая, что переносите какие-то члены из одной части уравнения в другую, меняя знаки. 🙂

        Например, такое крутое уравнение:

        

        Тут и думать нечего, перебрасываем тройку вправо, меняя минус на плюс:

        

        А что же происходит в действительности? А на самом деле вы… прибавляете к обеим частям уравнения тройку!

        Вот что у вас происходит:

        

        И результат получается тем же самым:

        

        Вот и всё. Слева остаётся чистый икс (чего мы, собственно, и добиваемся), а справа – что уж получится. Но самое главное то, что от прибавления тройки к обеим частям суть всего уравнения не изменилась!

        Дело в том, что привычный нам перенос слагаемых из одной части в другую со сменой знака – это просто сокращённый вариант первого тождественного преобразования.

        И зачем нам так глубоко копать? В уравнениях – незачем. Переносите себе спокойно и не парьтесь. Только знаки менять не забывайте.) А вот в неравенствах привычка к переносу может и слегка обескуражить, да…

        Это было первое тождественное преобразование. Переходим ко второму.

 

        Второе тождественное преобразование:

        Обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение.

 

        Это тождественное преобразование мы вы постоянно применяете, когда решаете что-нибудь совсем уж жуткое типа:

        

        Тут каждому ясно, что х=3. А вот как вы получили этот ответ? Подобрали? Угадали?

        Чтобы не подбирать и не гадать (мы с вами математики, а не гадалки), нужно понять, что вы просто поделили обе части уравнения на четвёрку. Которая нам и мешает.

        Вот так:

        

        Эта палка с делением означает, что на четвёрку делятся обе части нашего уравнения. Через дроби эта процедура выглядит так:

        

        Слева четвёрки благополучно сокращаются, остаётся икс в гордом одиночестве. А справа при делении 12 на 4 получается, понятное дело, тройка. 🙂

        И все дела.)

        Звучит невероятно, но эти два (всего два!) простых преобразования лежат в основе решения всех уравнений математики! Да-да, именно всех, я нисколько не преувеличиваю! От линейных и квадратных в школе до дифференциальных в ВУЗе.)

        Ну что, посмотрим на тождественные преобразования уравнений в действии?

 

Применение тождественных преобразований к решению уравнений.

        Начнём с первого тождественного преобразования. Переноса вправо-влево.

        Пример для новичков:

        1 – х = 3 – 2х

        Дело нехитрое. Это линейное уравнение. Работаем прямо по заклинанию: «С иксами влево, без иксов – вправо».

        Эта мантра – универсальная инструкция по применению первого тождественного преобразования. Вот и смотрим на уравнение. Какое слагаемое с иксом у нас справа? Что? 2х? Не-а!) Справа у нас -2х (минус два икс)! Поэтому при переносе в левую часть минус поменяется на плюс:

        1 – х +2х = 3

        Полдела сделано, иксы собрали слева. Осталось все числа собрать справа. Слева в уравнении стоит единичка. Опять вопрос – с каким знаком? Ответ «с никаким» не катит.) Слева перед единицей и вправду ничего не написано. А это значит, что перед ней стоит знак «плюс». Так уж в математике повелось: ничего не написано – значит, плюс.)

        И поэтому вправо единичка перенесётся уже с минусом:

        -х + 2х = 3 — 1

        Вот почти и всё. Слева приводим подобные, а справа – считаем. И получаем:

        х = 2

        Это было совсем примитивное уравнение.

 

        Теперь пример покруче, для старшеклассников:

        Решить уравнение:

               

        Уравнение логарифмическое. Ну и что? Какая разница? Всё равно первым шагом делаем базовое тождественное преобразование («С иксами влево ….»). Для этого слагаемое с иксом (то есть, —log₃x) переносим влево. Со сменой знака:

               

        А числовое выражение (log₃4) переносим вправо. Также со сменой знака, разумеется:

               

        Вот и всё. Справа получилась чистая формула. Кто дружит с логарифмами, тот в уме дорешает уравнение и получит:

        х=3

       

        Что? Хотите синусы? Пожалуйста, вот вам синусы:

               

        И снова всё то же самое! Выполняем первое тождественное преобразование – переносим sin x влево (с минусом), а -0,25  переносим вправо (с плюсом):

               

        Получили простейшее тригонометрическое уравнение с синусом, решить которое (для знающих) также не составляет никакого труда.

        Видите, насколько универсально первое равносильное преобразование! Встречается везде и всюду и не обойти его никак… Именно поэтому так важно уметь его делать на автомате и без ошибок.

        Собственно, ошибиться здесь можно лишь в одном – забыть сменить знак при переносе. Что и происходит сплошь и рядом. Внимательность никто не отменял, да…)

 

        Ну что, продолжаем наши игры? Развлекаемся теперь со вторым преобразованием!)

        Решить уравнение:

        7х=28

        Крутяк, прямо скажем.) Ладно, это эмоции…

        Смотрим и соображаем: что нам мешает в этом уравнении? Что-что… Да семёрка мешает! Хорошо бы от неё избавиться. Да так, чтобы исходное уравнение не испортить.)

        Но как? Перенести вправо? Ээээ… Стоп! Нельзя.) Семёрка с иксом умножением связана. Коэффициент, видите ли.) Нельзя её оторвать от икса и вправо перенести. Вот всё выражение 7х целиком – пожалуйста (вопрос – зачем?). А семёрку отдельно – никак нет.

        Самое время про умножение/деление вспомнить! Нам ведь в ответе чистый икс нужен, не так ли? А семёрка – мешает. Вот и делим левую часть на семь. «Очищаем» икс от коэффициента. Так нам надо. Но тогда и правую часть тоже надо поделить на семь: этого уже математика требует. Что уж там получится, то и получится. Но пример хороший. Я старался.) 28 на 7 замечательно делится. Получится 4.

        Ответ: х=4

 

        Или такое уравнение:

        

        Что здесь нам мешает? Дробь 1/6, не так ли? Вот давайте и избавимся от неё. Безопасно для уравнения.) Как? Ну, можно поступить аналогично – поделить обе части на эту самую 1/6. Но в уме это не очень удобно. Кое-кто и запутается…

        Но мы же не только делить, мы ещё и умножать умеем!) Вспоминаем из младших классов, после какого действия у нас пропадает дробь? Правильно! Дробь у нас пропадает при умножении на число, равное (или кратное) её знаменателю. Вот и умножим обе части нашего уравнения на 6. Слева всё равно чистый икс получится, а умножение правой части на 6 – не самая трудная работа.)

        

        Вот и всё.) Умножение обеих частей уравнения на нужное число позволяет сразу избавляться от дробей, минуя промежуточные выкладки, в которых, между прочим, запросто можно и ошибок наляпать. Короче дорога – меньше ошибок!

 

        Теперь снова на машину времени и — в старшие классы:

        Решить уравнение:

        

        Чтобы добраться до икса и тем самым решить это крутое тригонометрическое уравнение, нам надо сначала получить слева чистый косинус, безо всяких коэффициентов. А двойка мешает. 🙂 Вот и делим на 2 всю левую часть:

        

        Но тогда и правую часть тоже придётся разделить на двойку: это уже МАТЕМАТИКЕ надо. Делим:

        

        Получили справа табличное значение косинуса. И теперь уравнение решается за милую душу.)

        

       

        Вот и вся премудрость. Как видите, тождественные преобразования уравнений – штука полезная. И при этом не самая сложная. Перенос да умножение/деление. Однако далеко не у всех они получаются с первого раза и без ошибок, ох не у всех… Основные проблемы здесь две.

        Проблема первая (для малоопытных):

        Иногда ученик думает, что упрощение уравнений делается по одному, раз и навсегда установленному правилу. И никак не может уловить и понять это правило: в каких-то примерах начинают с домножения (или деления), в каких-то – с переноса. Где-то три раза переносят и ни разу не домножают…

        Например, такое линейное уравнение:

        10х + 5 = 5х – 20

        С чего начинать? Можно начать с переноса:

        10х – 5х = -20 — 5

        А можно сначала поделить обе части на пятёрку, а затем уж переносить. Тогда сразу числа попроще станут:

               

        Как видим, и так и сяк решать можно. И это – в примитивном примере! Вот и возникает у неопытных учеников вопрос: «Как правильно?»

        По-всякому правильно! Кому как удобнее. 🙂 Универсального рецепта здесь нет и быть не может. Математика предлагает вам на выбор два вида преобразований уравнений. А порядок этих самых преобразований зависит исключительно от исходного уравнения, а также от личных предпочтений и привычек решающего.

 

        Проблема вторая (для всех…ну… почти):

        Ошибки в вычислениях. В преобразованиях постоянно приходится перемножать скобки. Заключать выражения в скобки и раскрывать скобки. Умножать и делить дроби. Работать со степенями… Короче, в наличии весь набор элементарных действий математики. Со всеми вытекающими…

        Обе эти проблемы устраняются только одним способом – практикой. Исчезают сомнения и ошибки. Примеры становятся проще, задания — легче. И в итоге не математика командует вами, а вы – математикой. 🙂

abudnikov.ru

Урок математики в 5-м классе по теме: «Уравнения»

Разделы: Математика

---

Учебник: Математика: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 1997 и последующие.

Цели урока:

• обучение работе в группах, формирование навыков общения “учитель – ученик”, “ученик – ученик”;
• формирование навыков математической речи, контроля и самоконтроля;
• обучение работе с учебником;
• проверка знаний теоретического и практического материала при решении уравнений с помощью компонентов.

Подготовка к уроку:

• разбить учащихся класса на группы по 4-5 человек так, чтобы в каждой группе были обучающиеся разных уровней;
• расстановка парт в классе таким образом, чтобы отдельно друг от друга могли работать пять групп по 4-5 человек в каждой;
• подготовка дидактического материала:

а) карточки с вопросами к зачету (для каждого ученика):

М-5. Зачет по теме “Уравнение”. 1. Что называется уравнением? 2. Что значит решить уравнение? 3. Что называется корнем уравнения? 4. Как найти неизвестное слагаемое? 5. Как найти неизвестное уменьшаемое? 6. Как найти неизвестное вычитаемое? 7. Решите уравнение: а) х + 24 = 45; б) 100 – y = 87; в) y – 65 = 45; г) 44  (a – 85) = 105.

б) лист самопроверки (один на группу):

М-5. Зачет по теме “Уравнение” 1. Уравнением называется равенство, содержащее букву, значение которой надо найти. 2. Решить уравнение – значит найти его корни или убедиться, что это уравнение не имеет ни одного корня. 3. Корнем уравнения называется значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство. 4. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое. 5. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность. 6. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

в) оценочный лист (один на группу):

Фамилия, имя	1	2	3	4	5	5	7а	7б	7в	7г	оценка

ХОД УРОКА

I. Проверка домашней работы (фронтально).

– Что называется уравнением?
– Что значит решить уравнение?
– Что называется корнем уравнения?

Проговорить решение домашних уравнений ( № 395 ):

Уравнение	Образец устного ответа
а) 395 + x = 864, x = 864 – 395, x = 469. Ответ: 469	395 + x = 864. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое. Корень уравнения – 469.
в) 300 – y = 206, y = 300 – 206, y = 94. Ответ: 94	300 – y = 206. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность. Корень уравнения – 94.
д) 166 = m – 34, m = 166 + 34, m = 200. Ответ: 200	166 = m – 34. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность. Корень уравнения – 200.

II. Работа в группах

Каждый ученик в группе решает уравнение индивидуально. На теоретические вопросы один ученик в группе отвечает учителю, второй – ученику, который уже ответил, третий – второму и т.д. Во время ответа заполняется “оценочный лист”. Если ученик отвечает правило без учебника, то напротив его фамилии в оценочном листе проставляется “+”, если отвечает с помощью учебника, то “”. При ответе ученика проверяющий, который нетвердо знает правило, пользуется листом самопроверки. Решение уравнений проверяет учитель, и общая оценка выставляется после того, как проверены все задания.

Критерии оценки:

• оценка “5” выставляется в том случае, если ученик проговорил все правила без помощи учебника и решил все уравнения без ошибок;
• оценка “4” выставляется в том случае, если ученик при устном ответе обратился к учебнику не более одного раза, допустил при решении уравнения не более одной ошибки;
• оценка “3” ставится в том случае, если ученик отвечал правила по учебнику, при решении уравнения сомневался в применении правил на нахождение компонентов.

III. Итог урока: оценки каждому ученику.

IV. Домашнее задание: № 396.

3.01.2007

Поделиться страницей:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

УРАВНЕНИЯ — это… Что такое УРАВНЕНИЯ?

где lg — логарифм по основанию 10.
Дифференциальные уравнения. Так называются уравнения, содержащие одну или несколько функций и их производные или дифференциалы. Дифференциальные уравнения оказались исключительно ценным средством точной формулировки законов природы.
Интегральные уравнения. Уравнения, содержащие неизвестную функцию под знаком интеграла, например, f (s) = тK (s, t) f (t) dt, где f (s) и K(s,t) заданы, а f (t) требуется найти.
Диофантовы уравнения. Диофантовым уравнением называется алгебраическое уравнение с двумя или более неизвестными с целыми коэффициентами, решение которого ищется в целых или рациональных числах. Например, уравнение 3x — 5y = 1 имеет решение x = 7, y = 4; вообще же его решениями служат целые числа вида x = 7 + 5n, y = 4 + 3n.
РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Для всех перечисленных выше типов уравнений общих методов решения не существует. И все же во многих случаях, особенно для алгебраических уравнений определенного типа, имеется достаточно полная теория их решения.
Линейные уравнения. Эти простые уравнения решаются путем их сведения к эквивалентному уравнению, из которого непосредственно видно значение неизвестного. Например, уравнение x + 2 = 7 можно свести к эквивалентному уравнению x = 5 вычитанием числа 2 из правой и левой частей. Шаги, совершаемые при сведении простого уравнения, например, x + 2 = 7, к эквивалентному, основаны на использовании четырех аксиом. 1. Если равные величины увеличить на одно и то же число, то результаты будут равны. 2. Если из равных величин вычесть одно и то же число, то результаты будут равны. 3. Если равные величины умножить на одно и то же число, то результаты будут равны. 4. Если равные величины разделить на одно и то же число, то результаты будут равны. Например, чтобы решить уравнение 2x + 5 = 15, мы воспользуемся аксиомой 2 и вычтем число 5 из правой и левой частей, в результате чего получим эквивалентное уравнение 2x = 10. Затем мы воспользуемся аксиомой 4 и разделим обе части полученного уравнения на 2, в результате чего исходное уравнение сведется к виду x = 5, что и является искомым решением.
Квадратные уравнения. Решения общего квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 можно получить с помощью формулы
Таким образом, существуют два решения, которые в частном случае могут совпадать.
Другие алгебраические уравнения. Явные формулы, аналогичные формуле для решения квадратного уравнения, можно выписать только для уравнений третьей и четвертой степеней. Но и эти формулы сложны и далеко не всегда помогают легко находит корни. Что же касается уравнений пятой степени или выше, то для них, как доказал Н.Абель в 1824, нельзя указать общую формулу, которая выражала бы корни уравнения через его коэффициенты при помощи радикалов. В отдельных частных случаях уравнения высших степеней удается легко решить, факторизуя их левую часть, т.е. разлагая ее на множители. Например, уравнение x3 + 1 = 0 можно записать в факторизованном виде (x + 1)(x2 — x + 1) = 0. Решения мы находим, полагая каждый из множителей равным нулю: Таким образом, корни равны x = -1,
, т.е. всего 3 корня. Если уравнение не факторизуется, то следует воспользоваться приближенными решениями. Основные методы нахождения приближенных решений были разработаны Горнером, Ньютоном и Греффе. Однако во всех случаях существует твердая уверенность в том, что решение существует: алгебраическое уравнение n-й степени имеет ровно n корней.
Системы линейных уравнений. Два линейных уравнения с двумя неизвестными можно записать в виде
Если же D = 0, то возможны два случая. (1) По крайней мере один из определителей
и
отличен от нуля. В этом случае решения уравнений не существует; уравнения несовместны. Численный пример такой ситуации — система

(2) Оба определителя равны нулю. В этом случае второе уравнение просто кратно первому и существует бесконечное число решений. Общая теория рассматривает m линейных уравнений с n переменными:
Если m = n и матрица (aij) невырожденна, то решение единственно и может быть найдено по правилу Крамера:
где Aji — алгебраическое дополнение элемента aij в матрице (aij). В более общем плане существуют следующие теоремы. Пусть r — ранг матрицы (aij), s — ранг окаймленной матрицы (aij; bi), которая получается из aij присоединением столбца из чисел bi. Тогда: (1) если r = s, то существует n — r линейно независимых решений; (2) если r См. также АЛГЕБРА.

Энциклопедия Кольера. — Открытое общество. 2000.

• ЧИСЛО e
• КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ

Смотреть что такое «УРАВНЕНИЯ» в других словарях:

• Уравнения — Уравнение равенство вида или , где f и g функции (в общем случае векторные) одного или нескольких аргументов, а также задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут… …   Википедия

• уравнения — решать дифференциальные уравнения • решение …   Глагольной сочетаемости непредметных имён

• Уравнения Эйлера — Лагранжа — Уравнения Эйлера  Лагранжа (в физике также уравнения Лагранжа Эйлера или уравнения Лагранжа) являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся стационарные точки и экстремумы функционалов. В частности, эти… …   Википедия

• Уравнения Навье — Стокса — Механика сплошных сред Сплошная среда Классическая меха …   Википедия

• Уравнения Рейнольдса — (англ. RANS (Reynolds averaged Navier Stokes))  уравнения Навье Стокса (уравнения движения вязкой жидкости) осредненные по Рейнольдсу. Используются для описания турбулентных течений. Метод осреднения Рейнольдса заключается в замене случайно… …   Википедия

• Уравнения Эйлера-Лагранжа — Уравнения Эйлера  Лагранжа являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся экстремумы функционалов. В частности, эти уравнения широко используются в задачах оптимизации, и, совместно с принципом действия,… …   Википедия

• Уравнения Прока — Уравнения Прока  обобщение уравнений Максвелла, призванное описывать массивные частицы со спином 1. Уравнения Прока обычно записываются в виде , где   антисимметричный тензор электромагнитного поля …   Википедия

• Уравнения Петерсона ― Кодацци — Уравнения Петерсона ― Майнарди ― Кодацци ― уравнения, составляющие вместе с уравнением Гаусса необходимые и достаточные условия интегрируемости системы, к которой сводится задача восстановления поверхности по её первой и второй квадратичным… …   Википедия

• Уравнения Рауса — Уравнения Рауса  дифференциальные уравнения движения механической системы в переменных Рауса. Предложены Э. Раусом (англ.)русск. в 1867 г. Для системы с s степенями свободы, находящейся под действием потенциальных сил, уравнения… …   Википедия

• Уравнения Фаддеева — Уравнения Фаддеева  это уравнения, которые описывают все возможные взаимодействия в системе трёх частиц в полной квантовомеханической формулировке. Установлены Л. Д. Фаддеевым. Уравнения могут быть решены итерационным способом. В… …   Википедия

Книги

• Уравнения и задачи математической физики в 2-х частях. Часть 1. Справочник для академического бакалавриата, Полянин А.Д., В справочнике приводятся уравнения и задачи математической физики с краткими формулировками и решениями. В справочнике рассматриваются уравнения параболического, гиперболического и… Серия: Бакалавр. Академический курс Издатель: Юрайт, Подробнее  Купить за 964 руб
• Уравнения и задачи математической физики в 2 ч. Часть 2 3-е изд., испр. и доп. Справочник для академического бакалавриата, Андрей Дмитриевич Полянин, В справочнике приводятся уравнения и задачи математической физики с краткими формулировками и решениями. В справочнике рассматриваются уравнения параболического, гиперболического и… Серия: Бакалавр. Академический курс Издатель: ЮРАЙТ, Подробнее  Купить за 719 руб электронная книга
• Уравнения и задачи математической физики в 2 ч часть 1 3-е изд., испр. и доп. Справочник для академического бакалавриата, Андрей Дмитриевич Полянин, В справочнике приводятся уравнения и задачи математической физики с краткими формулировками и решениями. В справочнике рассматриваются уравнения параболического, гиперболического и… Серия: Бакалавр. Академический курс Издатель: ЮРАЙТ, Подробнее  Купить за 579 руб электронная книга

Другие книги по запросу «УРАВНЕНИЯ» >>

dic.academic.ru

Урок математики в 5 классе по теме «Уравнения»

Характеристики урока

Уровень образования:  среднее (полное) общее образование

Класс: 5 класс

Предмет: Математика

Тема урока: Уравнения

Номер урока: 30

Цели урока: 

образовательные:

·          ввести понятие уравнения, его корней , вспомнить ( из начальной школы) способы решения простейших уравнений, научиться правильно оформлять решение уравнения.

развивающие:

·         развивать интерес к математике, логическое мышление и математическую грамотность речи, уметь объективно оценивать свои достижения.

воспитательные:

·          воспитывать познавательную активность, чувство ответственности, культуру общения и диалога.

Тип урока:  урок усвоения новых знаний и умений.

Используемые учебники и учебные пособия: 

Математика. 5 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И.  Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. – 30-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2012.

Используемая методическая литература: 

Поурочные разработки по математике: 5 класс. / Л. П. Попова – М.: ВАКО, 2012. – 496 с. – (В помощь школьному учителю).

Используемое оборудование: 

компьютер, презентация к уроку, электронная физминутка для глаз. 

Краткое описание: 

Урок математики 5 класс тема «Уравнение» первый урок по теме , включает в себя определение уравнения, его корней, повторение решения простейших уравнений.

План урока:

• Организационный момент

• Введение в тему урока

• Изучение новой темы (работа с презентацией)

• Физкультминутка

• Закрепление (работа с виртуальной доской)

• Итог урока

Ход урока

1. Организационная часть.

-Сообщение темы и цели урока. Слайд № 1,2

2. Усвоение нового материала ( работа с презентацией к уроку).

-Создание и решение проблемной ситуации (решение задачи). Слайд № 3,4,5

Для того, чтобы перейти к рассмотрению самого понятия уравнения, школьникам предлагается сначала рассмотреть задачу, решая которую они вводят буквенное обозначение неизвестной величины и составляют равенство. После чего учащимся объясняется, что, равенство, которое содержит букву, значение которой необходимо найти, называется уравнением. Указывается, что значение этой буквы, при котором получается верное числовое равенство, называется корнем уравнения, а решить уравнение – значит найти его корни (если они есть).

— Определение уравнения и его корней. Слайд № 6

— Из предложенных равенств , выбрать те, которые являются уравнениями. Слайд № 6

— Проверить, верно ли найдены корни уравнения. Слайд № 7

— Найти корень уравнения ( с записью в тетради). Слайд № 8

— Повторить как найти неизвестное слагаемое, рассмотреть на числовой прямой. Учащимся необходимо сформулировать правила нахождения неизвестного слагаемого. Слайд № 9,10

Для закрепления данных определений ученикам предлагается решить несколько уравнений. Выполняя решение первого, учащиеся получают правило, что для того, чтобы найти неизвестное слагаемое, необходимо из суммы вычесть известное слагаемое. Данное правило представлено не только в текстовом виде, но и рассмотрено на координатном луче с использованием буквенных выражений.

— Проверить правильно ли решено уравнение, если нужно исправить ошибки. Слайд № 11, 12

— Повторить как найти неизвестное уменьшаемое, рассмотреть на числовой прямой. Учащимся необходимо сформулировать правила нахождения неизвестного уменьшаемого. Слайд № 13,14

Следующий пример рассматривает уравнение, в ходе решения которого необходимо необходимое найти уменьшаемое. Правило его нахождения также записано на слайде и, аналогично предыдущему, наглядно представлено при помощи координатного луча и буквенных выражений.

— Проверить правильно ли решено уравнение, если нужно исправить ошибки. Слайд № 15, 16

— Повторить как найти неизвестное вычитаемое, рассмотреть на числовой прямой. Учащимся необходимо сформулировать правила нахождения неизвестного вычитаемого. Слайд № 17, 18

В уравнении по ходу решения рассматривается правило нахождения неизвестного вычитаемого (представлено в текстовом виде, на координатном луче и при помощи буквенного выражения).

— Проверить правильно ли решено уравнение, если нужно исправить ошибки. Слайд № 19,20

3. Физминутка для расслабления глаз. Слайд 21, 22, 23

4. Закрепление полученных знаний (работа с виртуальной доской), проверка пониманий у учащихся нового материала.

— Решение уравнений с проверкой в классе.

Учащиеся переходят по ссылке данной учителем и работаю с приложением google-диска. Они самостоятельно (если есть необходимость, то с помощью учителя) решают различные уравнения , обсуждают правильность решения друг у друга, закрепляют основные этапы решения уравнений.

5. Итог урока.

— Подведение итогов урока.

— Объявление оценок и домашнего задания.

infourok.ru

что такое? Определение термина, примеры

В курсе школьной математики, ребенок впервые слышит термин «уравнение». Что такое это, попробуем разобраться вместе. В данной статье рассмотрим виды и способы решения.

Математика. Уравнения

Для начала предлагаем разобраться с самим понятием, что это такое? Как гласят многие учебники математики, уравнение — это некоторые выражения, между которыми стоит обязательно знак равенства. В этих выражениях присутствуют буквы, так называемые переменные, значение которых и необходимо найти.

Что такое переменная? Это атрибут системы, который меняет свое значение. Наглядным примером переменных являются:

• температура воздуха;
• рост ребенка;
• вес и так далее.

В математике они обозначаются буквами, например, х, а, b, с… Обычно задание по математике звучит следующим образом: найдите значение уравнения. Это значит, что необходимо найти значение данных переменных.

Разновидности

Уравнение (что такое, мы разобрали в предыдущем пункте) может быть следующего вида:

• линейные;
• квадратные;
• кубические;
• алгебраические;
• трансцендентные.

Для более подробного знакомства со всеми видами, рассмотрим каждый в отдельности.

Линейное уравнение

Это первый вид, с которым знакомятся школьники. Они решаются довольно-таки быстро и просто. Итак, линейное уравнение, что такое? Это выражение вида: ах=с. Так не особо понятно, поэтому приведем несколько примеров: 2х=26; 5х=40; 1,2х=6.

Разберем примеры уравнений. Для этого нам необходимо все известные данные собрать с одной стороны, а неизвестные в другой: х=26/2; х=40/5; х=6/1,2. Здесь использовались элементарные правила математики: а*с=е, из этого с=е/а; а=е/с. Для того чтобы завершить решение уравнения, выполним одно действие (в нашем случае деление) х=13; х=8; х=5. Это были примеры на умножение, теперь просмотрим на вычитание и сложение: х+3=9; 10х-5=15. Известные данные переносим в одну сторону: х=9-3; х=20/10. Выполняем последнее действие: х=6; х=2.

Также возможны варианты линейных уравнений, где используется более одной переменной: 2х-2у=4. Для того чтобы решить, необходимо к каждой части прибавить 2у, у нас получается 2х-2у+2у=4-2у, как мы заметили, по левую часть знака равенства -2у и +2у сокращаются, при этом у нас остается: 2х=4-2у. Последним шагом делим каждую часть на два, получаем ответ: икс равен два минус игрек.

Задачи с уравнениями встречаются даже на папирусах Ахмеса. Вот одна из задач: число и четвертая его часть дают в сумме 15. Для ее решения мы записываем следующее уравнение: икс плюс одна четвертая икс равняется пятнадцати. Мы видим еще один пример линейного уравнения, по итогу решения, получаем ответ: х=12. Но эту задачу можно решить и другим способом, а именно египетским или, как его называют по-другому, способом предположения. В папирусе используется следующее решение: возьмите четыре и четвертую ее часть, то есть единицу. В сумме они дают пять, теперь пятнадцать необходимо разделить на сумму, мы получаем три, последним действием три умножаем на четыре. Мы получаем ответ: 12. Почему мы в решении пятнадцать делим на пять? Так узнаем, во сколько раз пятнадцать, то есть результат, который нам необходимо получить, меньше пяти. Таким способом решали задачи в средние века, он стал зваться методом ложного положения.

Квадратные уравнения

Кроме рассмотренных ранее примеров, существуют и другие. Какие именно? Квадратное уравнение, что такое? Они имеют вид ax²+bx+c=0. Для их решения необходимо ознакомиться с некоторыми понятиями и правилами.

Во-первых, нужно найти дискриминант по формуле: b²-4ac. Есть три варианта исхода решения:

• дискриминант больше нуля;
• меньше нуля;
• равен нулю.

В первом варианте мы можем получить ответ из двух корней, которые находятся по формуле: -b+-корень из дискриминанта разделенные на удвоенный первый коэфициент, то есть 2а.

Во втором случае корней у уравнения нет. В третьем случае корень находится по формуле: -b/2а.

Рассмотрим пример квадратного уравнения для более подробного знакомства: три икс в квадрате минус четырнадцать икс минус пять равняется нулю. Для начала, как и писалось ранее, ищем дискриминант, в нашем случае он равен 256. Отметим, что полученное число больше нуля, следовательно, мы должны получить ответ состоящих из двух корней. Подставляем полученный дискриминант в формулу нахождения корней. В результате мы имеем: икс равняется пяти и минус одной третьей.

Особые случаи в квадратных уравнениях

Это примеры, в которых некоторые значения равны нулю (а, b или с), а возможно и несколько.

Для примера возьмем следующее уравнение, которое является квадратным: два икс в квадрате равняется нулю, здесь мы видим, что b и с равны нулю. Попробуем его решить, для этого обе части уравнения делим на два, мы имеем: х²=0. В итоге получаем х=0.

Другой случай 16х²-9=0. Здесь только b=0. Решим уравнение, свободный коэфициент переносим в правую часть: 16х²=9, теперь каждую часть делим на шестнадцать: х²= девять шестнадцатых. Так как у нас х в квадрате, то корень из 9/16 может быть как отрицательным, так и положительным. Ответ записываем следующим образом: икс равняется плюс/минус три четвертых.

Возможен и такой вариант ответа, как у уравнения корней вовсе нет. Посмотрим на такой пример: 5х²+80=0, здесь b=0. Для решения свободный член перекидываете в правую сторону, после этих действий получаем: 5х²=-80, теперь каждую часть делим на пять: х²= минус шестнадцать. Если любое число возвести в квадрат, то отрицательное значение мы не получим. По этому наш ответ звучит так: у уравнения корней нет.

Разложение трехчлена

Задание по квадратным уравнениям может звучать и другим образом: разложить квадратный трехчлен на множители. Это возможно осуществить, воспользовавшись следующей формулой: а(х-х₁)(х-х₂). Для этого, как и в другом варианте задания, необходимо найти дискриминант.

Рассмотрим следующий пример: 3х²-14х-5, разложите трехчлен на множетели. Находим дискриминант, пользуясь уже известной нам формулой, он получается равным 256. Сразу отмечаем, что 256 больше нуля, следовательно, уравнение будет иметь два корня. Находим их, как в предыдущем пункте, мы имеем: х= пять и минус одна третья. Воспользуемся формулой для разложения трехчлена на множетели: 3(х-5)(х+1/3). Во второй скобке мы получили знак равно, потому что в формуле стоит знак минуса, а корень тоже отрицательный, пользуясь элементарными знаниями математики, в сумме мы имеем знак плюса. Для упрощения, перемножим первый и третий член уравнения, чтобы избавиться от дроби: (х-5)(х+1).

Уравнения сводящиеся к квадратному

В данном пункте научимся решать более сложные уравнения. Начнем сразу с примера:

(x² – 2x)² – 2(x² – 2x) – 3 = 0. Можем заметить повторяющиеся элементы: (x² – 2x), нам для решения удобно заменить его на другую переменную, а далее решать обычное квадратное уравнение, сразу отмечаем, что в таком задании мы получим четыре корня, это не должно вас пугать. Обозначаем повторение переменной а. Мы получаем: а²-2а-3=0. Наш следующий шаг — это нахождение дискриминанта нового уравнения. Мы получаем 16, находим два корня: минус один и три. Вспоминаем, что мы делали замену, подставляем эти значения, в итоге мы имеем уравнения: x² – 2x=-1; x² – 2x=3. Решаем их в первом ответ: х равен единице, во втором: х равен минусу одному и трем. Записываем ответ следующим образом: плюс/минус один и три. Как правило, ответ записывают в порядке возрастания.

Кубические уравнения

Рассмотрим еще один возможный вариант. Речь пойдет о кубических уравнениях. Они имеют вид: ax ³ + b x ² + cx + d =0. Примеры уравнений мы рассмотрим далее, а для начала немного теории. Они могут иметь три корня, так же существует формула для нахождения дискриминанта для кубического уравнения.

Рассмотрим пример: 3х³+4х²+2х=0. Как его решить? Для этого мы просто выносим х за скобки: х(3х²+4х+2)=0. Все что нам остается сделать — это вычислить корни уравнения в скобках. Дискриминант квадратного уравнения в скобках меньше нуля, исходя из этого, выражение имеет корень: х=0.

Алгебра. Уравнения

Переходим к следующему виду. Сейчас мы кратко рассмотрим алгебраические уравнения. Одно из заданий звучит следующим образом: методом группировки разложить на множетели 3х⁴+2х³+8х²+2х+5. Самым удобным способом будет следующая группировка: (3х⁴+3х²)+(2х³+2х)+(5х²+5). Заметим, что 8х² из первого выражения мы представили в виде суммы 3х² и 5х². Теперь выносим из каждой скобки общий множитель 3х²(х2+1)+2х(х²+1)+5(х²+1). Мы видим, что у нас есть общий множитель: икс в квадрате плюс один, выносим его за скобки: (х²+1)(3х²+2х+5). Дальнейшее разложение невозможно, так как оба уравнения имеют отрицательный дискриминант.

Трансцендентные уравнения

Предлагаем разобраться со следующим типом. Это уравнения, которые содержат трансцендентные функции, а именно логарифмические, тригонометрические или показательные. Примеры: 6sin²x+tgx-1=0, х+5lgx=3 и так далее. Как они решаются вы узнаете из курса тригонометрии.

Функция

Завершающим этапом рассмотрим понятие уравнение функции. В отличии от предыдущих вариантов, данный тип не решается, а по нему строится график. Для этого уравнение стоит хорошо проанализировать, найти все необходимые точки для построения, вычислить точку минимума и максимума.

fb.ru

Презентация к уроку алгебры (5 класс) по теме: Уравнения в 5 классе

Слайд 1

Уравнения, 5 класс.

Слайд 2

1) Что такое уравнение? Уравнение – это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти. 2) Что такое корень уравнения? Корень уравнения – это значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство. 3) Что значит решить уравнение? Решить уравнение – значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Слайд 3

3 + 2 = 5 1) Назовите компоненты при сложении. Слагаемое, слагаемое, сумма. 2) Как найти неизвестное слагаемое? Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое. = 3 5 — 2 2 = 5 — 3

Слайд 4

Решить уравнение: Х + 175 = 231 Х = 231 — 175 Х = 56 231 175 56 Проверка: Ответ: 56. 56 + 175 = 231 231 = 231 — верно

Слайд 5

Решите уравнения самостоятельно: 1) 851 + у = 1023; 2) m + 569 = 953 . 1) у = 172; 2) m = 384 . Проверь себя.

Слайд 6

7 1) Назовите компоненты при вычитании. Уменьшаемое, вычитаемое, разность. 2) Как найти неизвестное уменьшаемое? Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое. 7 = 3 + 4 — 4 = 3

Слайд 7

Решить уравнение: х — 592 = 112 х = 112 + 592 х = 704 112 592 Проверка: Ответ: 704. 704 — 592 = 112 112 = 112 — верно 704

Слайд 8

Как найти неизвестное вычитаемое? Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность. 4 = 7 — 3 7 — 4 = 3

Слайд 9

Решить уравнение: 600 — х = 397 Х = 600 — 397 Х = 203 600 397 Проверка: Ответ: 203. 600 — 203 = 397 397 = 397 — верно 203

Слайд 10

Решите уравнения самостоятельно: 1) 1023 – х = 817; 2) у – 390 = 2700. Проверь себя: 1) 206; 2) 3090.

Слайд 11

2 · 5 = 10 1) Назовите компоненты при умножении. Множитель, множитель, произведение. 2) Как найти неизвестный множитель? Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель. 2 = 10 : 5 5 = 10 : 2

Слайд 12

Решить уравнение: 23х = 1610 х = 1610 : 23 х = 70 Ответ: 70. 161 1610 23 70 0 Проверка: 23 · 70 = 1610 1610 = 1610

Слайд 13

Решите уравнения самостоятельно: 1) 12 у = 4860; 2) х  36 = 75600. Проверь себя: 1) У = 405; 2) Х = 2100.

Слайд 14

6 1) Назвать компоненты при делении. Делимое, делитель, частное. 2) Как найти неизвестное делимое? Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель. 6 = 2 · 3 : 3 = 2

Слайд 15

х : 590 = 62 х = 62  590 х = 36580 Ответ: 70. Решить уравнение: 590 62  118 354  36580

Слайд 16

Как найти неизвестный делитель? Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное. 6 : 3 = 2 3 = 6 : 2

Слайд 17

Решить уравнение: 7982 : у = 26 у = 7982 : 26 у = 307 26 7982 307 78 182 182 0 Ответ: 307.

Слайд 18

Решить уравнения самостоятельно: 1) х : 180 = 97; 2)33768 : у = 56. Проверь себя: 1) 17460; 2) 603.

Слайд 19

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В ДВА ДЕЙСТВИЯ. 1) (42 – х) + 89 = 104 Расставить порядок действий в левой части уравнения. 1 2 Определить последнее действие. Определить, какой компонент неизвестен. Как его найти? 42 – х = 104 — 89 42 – х = 15 х = 42 — 15 х = 27 Ответ: 27.

Слайд 20

2) (136 – х) – 16 = 52 1 2 Последнее действие – вычитание. Неизвестный компонент – уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое. 136 – х = 52 + 16 136 – х = 68 х = 136 — 68 х = 68 Ответ: 68.

Слайд 21

2 3) 1631 – 3  х = 89 1 Последнее действие – вычитание. Неизвестный компонент – вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность. 3  х = 1631 — 89 3  х = 1542 х = 1542 : 3 х = 514 Ответ: 514. Выполни проверку самостоятельно.

Слайд 22

4) х : 80 + 69 = 116 Последнее действие – сложение. Неизвестный компонент – слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть другое слагаемое. 1 2 х : 80 = 116 — 69 х : 80 = 47 х = 47  80 х = 3760 Ответ: 3760. Выполни проверку самостоятельно.

Слайд 23

5) (х – 78)  35 = 3640 1 2 Последнее действие – умножение. Неизвестный компонент – множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель. х – 78 = 3640 : 35 х – 78 = 104 х = 104 + 78 х = 182 Ответ: 182. Выполни проверку самостоятельно.

Слайд 24

6) 4575 : ( у + 18) = 15 2 1 у + 18 = 4575 : 15 у + 18 = 305 у = 305 — 18 у = 287 Ответ: 287.

Слайд 25

Вариант 1. 1) 4824 : z = 12 ; 2) ( х — 54) + 23 = 52; 3) (у – 56) : 120 = 37; 4) 124 – 9  х = 16. Вариант 2. 1) z : 220 = 700 2) (91 – х) – 28 = 29; 3) (у + 21)  40 = 1520; 4) 108 : х – 7 = 2. Проверь себя: 1) 402; 2) 83; 3) 4496; 4) 12. 1) 154000; 2) 34; 3) 17; 4) 12.

nsportal.ru