Упрощение выражений – формулы и примеры алгоритма в таблице (5 класс, математика)

4.7

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 176.

4.7

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 176.

Упрощение выражений – это возможность быстро посчитать достаточно сложный пример или свернуть сложный многочлен, выведя за скобки некоторые его члены. Навыки упрощения помогают в решении уравнений, развитии умения быстрого счета и сокращении дробей. Поговорим подробнее о методах упрощения численных выражений и многочленов.

Распределительное свойство умножения

Распределительное свойство геометрии состоит в том, что при умножении суммы на число, можно умножить каждое из слагаемых на это число, а полученные результаты сложить. Благодаря этому свойству можно раскрывать скобки в некоторых выражениях.

Раскроем скобки в следующем примере: $31а(2+3с)=62а+93ас$

Сочетательное свойство умножения

Сочетательное свойства гласит: при умножении трех чисел умножать одно число на другое можно в любом порядке. 2}\over{(a+b)(b+d)}}= {(a+b)(b+d)\over{(a+b)(b+d)}}=1$$

Вот и все.

Очень часто при упрощении выражений получается небольшой многочлен, 1 или 0, но это не значит, что других результатов быть не может. Просто так легче сделать первые шаги в обучении данному навыку.

Если в результате решения получается что-либо «простое», то сразу возникает уверенность в собственных силах. Специальной формулы нет хотя есть таблицы формул сокращенного умножению, которые начинают учить примерно с математики 5 класса.

Что мы узнали?

Мы узнали, какие методы существуют для упрощения выражений и разобрали эти методы и алгоритмы на практике. Решили несколько примеров, подробно разобрав алгоритм размышлений при решении.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

Пока никого нет. Будьте первым!

Оценка статьи

4.7

Средняя оценка: 4.

7

Всего получено оценок: 176.

---

А какая ваша оценка?

Урок математики в 5-м классе «Упрощение выражений»

Тип урока: изучение нового материала.

Цель урока: формировать у учащихся умение упрощать буквенные выражения на основе распределительного свойства умножения, ввести понятия подобных членов, числового множителя; способствовать формированию детского коллектива, воспитывать самостоятельность, развивать у учащихся интерес к предмету, знакомить учащихся с историей развития математики.

Задачи урока
Образовательные: обеспечить в ходе урока умение применять распределительное свойство умножения для упрощения буквенных выражений, ввести понятие подобных членов, числового множителя – коэффициента; формировать умение применять распределительное свойство умножения при решении уравнений; продолжить формирование общих учебных умений и навыков: навыки планирования ответа, навыки самоконтроля.

Воспитательные: воспитывать у учащихся интерес к предмету, умение работать в парах, умение слушать товарища, отстаивать свою точку зрения, самостоятельность, навыки самоконтроля.
Развивающие: развивать восприятие, логическое и математическое мышление, умение связывать изученный материал с новым, анализировать, выделять главное; знакомить учащихся с историей развития математики.

Метод обучения: беседа, самостоятельная работа

Оборудование: иллюстрация, плакат с готовым решением 1 и 2 задания IV этапа, плакат с заданием 2 VI этапа, портрет Франсуа Виета, тесты.

Ход урока

I этап. Организация начала урока.
Цель этапа: подготовка к работе на уроке.

Содержание деятельности: приветствие, определение отсутствующих; проверка готовности учащихся к уроку; готовность наглядных пособий, доски, мела и т. д.
Раскрытие общей цели урока.
II этап. Актуализация знаний учащихся
Цель этапа: подготовить учащихся к изучению нового материала

Содержание деятельности
1) Вычислите:

а)   30 + 20 .  2 : 20 +19

б) 60 + 30 : 3 + 15 : 9

в) 100 – 90 . 8 : 20 +14

2) Вычислите, применяя законы арифметических действий:
 а) 372 + 2444 + 1628;

 б) 156 + 1037 + 2063 + 844;
 в) 125 . 53 . 8;
 г) 52 . 138 + 48 . 138;
 д) 67 . 149 + 149 . 33;
 е) 150 . 97 – 57 . 150.

3) Решите уравнение: а) х – 2041 = 3059; б) 289 + у = 301; в) z . 93 = 186; г) 100 : a = 25.
4) Сформулируйте распределительное свойство умножения относительно сложения и относительно вычитания.

III этап. Изучение нового материала
Цель этапа: объяснить понятие «упрощение выражения», ввести понятие подобных членов, числового множителя.
Содержание деятельности
1) Задача.
На столе стоят три вазы с гвоздиками. В первой вазе х гвоздик, во второй – в 2 раза больше, а в третьей – в 3 раза больше, чем в первой. Сколько гвоздик во второй и третьей вазах?
1 ваза – х;
2 ваза – 2 . х

3 ваза – 3 . х
Всего во второй и третьей вазах — 2 . х + 3 . х
Преобразуем выражение, применяя распределительное свойство умножения
2 . х + 3 . х = х . ( 2 + 3) = х . 5 = 5х
Итак, распределительное свойство умножения позволяет упрощать буквенные выражения
3а + 7а = а(3 + 7) = 10а
27у – 12у = у(27 – 12) = 15у
49х + х = х(49 + 1) = 50х
63b – b = b(63 – 1) = 62b
Таким образом, данные выражения мы записали в более простом виде, или, как говорят математики, упростили. Такие преобразования, в результате которых получаются более простые выражения называют упрощением выражений.
2) Рассмотрим выражение 3у. Это произведение числа 3 и буквы у. Говорят, что число 3 – числовой множитель, а буква у – буквенный множитель. Числовой множитель обычно в таких выражениях называют коэффициентом.

Упрощая выражения, мы складывали коэффициенты, а буквенный множитель мы оставляли без изменения. Обычно промежуточные записи не делают, а просто пишут 8у – 3у = 5у; 17х + х = 18х.
3) Мы рассмотрели буквенные выражения, у которых одинаковая буквенная часть. Такие выражения называют подобными.
А выражение 27х + 7у упростить нельзя, потому что у них буквенная часть разная.
4) Отметим, что распределительный закон умножения верен не только для двух, а для любого числа слагаемых.
Далее учащимся предлагается Рисунок,

на которой множитель за скобкой сравнивается с предупредительным официантом, который обслуживает всех клиентов в ограниченном скобками зале.
5) Примеры.
Упростить выражение:
а) 2(а + 6) + 3(а + 2) = 2а + 12 + 3а + 6 = 5а + 18

б) 3(а + 2b + 4) + 7(2a + 4b +1) = 3a + 6b + 12 + 14a + 28b + 7 = 17a + 34b + 19

IV этап. Первичная проверка понимания новых знаний и способов деятельности.
Цель этапа: установление обратной связи между учителем и учениками по вопросам содержания нового учебного материала.

Содержание деятельности
1. Упростите следующие выражения. Назовите в полученных выражениях числовой и буквенный множитель. Как называются эти слагаемые?
27х + 29х
12у + 78у
103а – 87а
12b – b
13z + 2z + z – 5z

2. Упростите выражения
2а + 1 + а + 11
7b – 5b + 13 + 2b + 10
13у – у + х + 2х

3. Какое свойство мы использовали при упрощении данных выражений? Почему нельзя упростить выражение 17у – 13а? 2у + 1?

V этап.

Закрепление полученных знаний и способов деятельности.

Цель этапа: сформировать у учащихся на основе знаний умение упрощать выражения по «образцу»
Содержание деятельности
1. Упростить выражение:
а) 23а + 37а; д) 27р – 27р; и) 3а + 17 + 3а + 14;
б) 4у + 26у; е) 84b – 80b; к) к + 35 + 4к + 26.
в) 48х + х; ж) 32q – q;
г) у + 56у; з) 1000к – к;

 Учащимся дается время для самостоятельного решения для самостоятельного решения этого задания, а затем по готовым ответам проверяют свое решение.

VI этап. Применение знаний и способов деятельности.
Цель этапа: освоение способов деятельности в изменённых условиях
Содержание деятельности

1. Решите уравнение:
а) 4х + 4х = 424;
б) 10к – к = 702;
в) 3х + 7х + 18 = 178;
г) 6у – 2у + 25 = 65.

2. Далее учащимся предлагается самостоятельно решить уравнения и расшифровать слово:

1. 15у – 8у = 714;
2. 9z + z = 900;
3. 4к + 5к + к = 1260;
4. 7z + 6z – 13 = 130.

9	102	100	90	140	12	126	11
с	в	а	и	у	г	е	т

Учащимся показывают портрет Ф. Виета.
Франсуа Виет – французский математик. Одним из первых стал числа обозначать буквами.
3. Составьте выражение по условию задачи и упростите получившееся выражение:
1) На книжной полке стояли книги. Из них а книг – сказки, а приключенческих повестей в 5 раз больше. Сколько всего книг на книжной полке?
2) В ящике было у кг яблок, а в мешке в 4 раза больше. На сколько яблок в ящике меньше, чем в мешке?
3) Ниф – Ниф, Нуф – Нуф и Наф — Наф собирали желуди. Ниф – Ниф собрал х желудей, Нуф – Нуф в 3 раза больше,а Наф — Наф в 5 раз больше, чем Ниф – Ниф. Сколько всего желудей собрали три поросенка?
4. Чему равны стороны треугольника АВС, если сторона АС в 3 раза больше стороны АВ, а сторона ВС на 4 см меньше АС, а его периметр равен 24 см?

VII этап. Контроль и самоконтроль знаний и способов деятельности.
Цель этапа: получение информации для сравнения достигнутых результатов учебного занятия с первоначально запланированными задачами.

Содержание деятельности: учащимся предлагается тест на 5минут
1. Упростите выражение: 34х – х + 5х
а) 39х; б) 38х; в) 37х

 2. В одном мешке было х кг картофеля, а во втором в 2 раза больше. Сколько
килограммов картофеля было в двух мешках?
а) х; б) 2х; в) 3х; г) 4х.

 3. Вася решил у задач, а Миша – на 4 задачи больше. Сколько задач решили Миша и
Вася всего?
а) 4у; б) 6у; в) 2у + 4; г) у + 4.

 4. Упростите выражение:
4b + 15 + 3b -10 + b
a) 8b + 5; б) 7b + 5; в) 13b; г) 13

 5. Даны два выражения:
9(856 + 342) и 9 .856 + 8 . 856. Какое из выражений больше?
а) равны; б) первое; в) второе.

Далее учащимся предлагается обменяться тетрадями и проверить тесты по готовым ответам на доске. Учащиеся выставляют друг другу оценки.
Ответы.

№ задания	1	2	3	4	5
Ответ	б	в	в	а	б

VII этап. Подведение итогов урока.
VIII этап. Домашнее задание: учащимся раздаются карточки с домашним заданием

Упрощение выражений — определение, с показателями, примеры

Упрощение выражений означает переписывание одного и того же алгебраического выражения без похожих членов и в компактной форме. Для упрощения выражений мы объединяем все подобные члены и раскрываем все заданные скобки, если они есть, и тогда в упрощенном выражении у нас останутся только непохожие члены, которые не могут быть сокращены дальше. Давайте узнаем больше об упрощении выражений в этой статье.

1.	Как упростить выражения?
2.	Упрощение выражений с показателями
3.	Упрощение выражений с помощью распределительного свойства
4.	Упрощение выражений с дробями
5.	Часто задаваемые вопросы об упрощении выражений

Как упростить выражения?

Прежде чем изучать упрощение выражений, давайте быстро рассмотрим значение выражений в математике. Выражения относятся к математическим утверждениям, содержащим как минимум два термина, содержащих либо числа, либо переменные, либо и то, и другое, соединенные оператором сложения/вычитания между ними. Общее правило для упрощения выражений — PEMDAS — означает Скобки, Экспоненты, Умножение, Деление, Сложение, Вычитание. В этой статье мы больше сосредоточимся на том, как упростить алгебраические выражения. Давайте начнем!

Нам нужно научиться упрощать выражения, так как это позволит нам более эффективно работать с алгебраическими выражениями и упростить наши вычисления. Чтобы упростить алгебраические выражения, выполните шаги, указанные ниже:

• Шаг 1: Решите скобки, добавляя/вычитая одинаковые члены внутри скобок и умножая члены в скобках на множитель, написанный снаружи. Например, 2x (x + y) можно упростить как 2x ² + 2xy.
• Шаг 2: Используйте правила экспоненты, чтобы упростить термины, содержащие экспоненты.
• Шаг 3: Добавьте или вычтите одинаковые члены.
• Шаг 4: Наконец, запишите полученное выражение в стандартной форме (от высшей степени к низшей степени).

Для лучшего понимания возьмем пример. Упростите выражение: х (6 – х) – х (3 – х). Здесь есть две круглые скобки, каждая из которых содержит два разных термина. Итак, сначала мы будем решать скобки, умножая x на члены, написанные внутри. x(6 — x) можно упростить как 6x — x ² и -x(3 — x) можно упростить как -3x + x ² . Теперь объединение всех членов даст 6x — x ² — 3x + x ² . В этом выражении 6x и -3x подобны термам, а -x ² и x ² подобны термам. Таким образом, сложение этих двух пар одинаковых членов даст (6x — 3x) + (-x ² + x ² ). Путем дальнейшего упрощения мы получим 3x, что и будет окончательным ответом. Следовательно, х (6 – х) – х (3 – х) = 3х.

Посмотрите на приведенное ниже изображение, показывающее еще один пример упрощенного выражения.

Правила упрощения алгебраических выражений

Основное правило упрощения выражений состоит в том, чтобы объединять одинаковые термины вместе и писать непохожие термины как есть. Некоторые из правил упрощения выражений перечислены ниже:

1. Чтобы добавить два или более одинаковых членов, добавьте их коэффициенты и запишите с ними общую переменную.
2. Используйте распределительное свойство, чтобы открыть скобки в выражении, которое говорит, что a (b + c) = ab + ac.
3. Если сразу за скобками стоит знак минус, измените знак всех терминов, написанных внутри этой скобки, чтобы упростить ее.
4. Если за скобками стоит знак «плюс» или положительный знак, просто снимите скобку и напишите термины как есть, сохранив их первоначальные знаки.

Упрощение выражений с показателями

Упрощение выражений с показателями степени осуществляется путем применения правил показателей степени к терминам. Например, (3x ² )(2x) можно упростить как 6x ³ . Таблица правил экспоненты, которую можно использовать для упрощения алгебраических выражений, приведена ниже:

Правило нулевой экспоненты	а 0 = 1
Правило экспоненты идентичности	1 =
Правило продукта	a м × a n = a m+n
Частное правило	a м /a n = a m-n
Отрицательные степени Правило	а -м = 1/а м ; (а/б) -м = (б/а) м
Сила силы Правило	(а м ) н = а мн
Сила продукта Правило	(ab) м = a м b м
Степень частного правила	(a/b) м = a м /b м

Пример: Упростить: 2ab + 4b (b ² — 2a).

Чтобы упростить это выражение, давайте сначала раскроем скобку, умножив 4b на оба слагаемых, написанных внутри. Отсюда следует, что 2ab + 4b (b ² ) — 4б (2а). Используя правило произведения показателей, можно записать как 2ab + 4b ³ — 8ab, что равно 4b ³ — 6ab.

Вот как мы можем упростить выражения с показателями, используя правила показателей.

Упрощение выражений с помощью распределительного свойства

Распределительное свойство утверждает, что выражение, заданное в форме x (y + z), может быть упрощено как xy + xz. Это может быть очень полезно при упрощении выражений. Посмотрите на приведенные выше примеры и посмотрите, использовали ли мы это свойство для упрощения выражений и как. Возьмем еще один пример упрощения 4(2a + 3a + 4) + 6b с использованием дистрибутивного свойства.

Следовательно, 4(2a + 3a + 4) + 6b упрощается как 20a + 6b + 16. Теперь давайте узнаем, как использовать распределительное свойство для упрощения выражений с дробями.

Упрощение выражений с помощью дробей

Когда дроби даны в выражении, мы можем использовать распределительное свойство и правила экспоненты, чтобы упростить такое выражение. Например, 1/2 (x + 4) можно упростить как x/2 + 2. Давайте возьмем еще один пример, чтобы понять это.

Пример: Упростите выражение: 3/4x + y/2 (4x + 7).

Используя распределительное свойство, данное выражение можно записать как 3/4x + y/2 (4x) + y/2 (7). Теперь, чтобы умножить дроби, мы умножаем числители и знаменатели отдельно. Итак, y/2 × 4x/1 = (y × 4x)/2 = 4xy/2 = 2xy. И у/2 × 7/1 = 7у/2. Следовательно, 3/4x + y/2 (4x + 7) = 3/4x + 2xy + 7y/2. Все три не похожи друг на друга термины, поэтому это упрощенная форма данного выражения.

При упрощении выражений с дробями мы должны следить за тем, чтобы дроби были в простейшей форме и в упрощенном выражении присутствовали только непохожие члены. Например, (2/4)x + 3/6y не является упрощенным выражением, поскольку дроби не приводятся к наименьшей форме. С другой стороны, x/2 + 1/2y имеет упрощенную форму, так как дроби имеют сокращенную форму, и оба термина отличаются друг от друга.

► Похожие темы:

Ознакомьтесь с интересными статьями, посвященными концепции упрощения выражений в математике.

• Калькулятор упрощения выражений
• Упрощение рациональных выражений
• Упрощение подкоренных выражений

Часто задаваемые вопросы об упрощении выражений

Что такое упрощение выражений в математике?

В математике упрощение выражений — это способ записи выражения в самой низкой форме путем объединения всех похожих терминов вместе. Это требует от человека знакомства с понятиями арифметических операций над алгебраическими выражениями, дробями и показателями. Мы следуем тому же правилу PEMDAS для упрощения алгебраических выражений, что и для простых арифметических выражений. Наряду с PEMDAS, правила экспоненты и знания об операциях над выражениями также необходимо использовать при упрощении алгебраических выражений.

Какие математические понятия важны для упрощения выражений?

Математические понятия, важные для упрощения алгебраических выражений, приведены ниже:

• Знакомство с похожими и разными алгебраическими терминами.
• Требуется базовое знание алгебраических выражений.
• Сложение и вычитание алгебраических выражений.
• Умножение и деление выражений.
• Понимание терминов с показателями степени и правил степени.
• Алгебраические тождества и свойства.

Каковы правила упрощения выражений?

Ниже приведены правила упрощения выражений:

• Следуйте правилу PEMDAS, чтобы определить порядок упрощения терминов в выражении.
• Распределительное свойство можно использовать для упрощения умножения двух членов в алгебраическом выражении.
• Правила экспоненты можно использовать для упрощения терминов с экспонентами.
• Сначала раскрываем скобки, если они есть. Затем упростим члены, содержащие показатели.
• После этого соедините все подобные термины.
• Упрощенное выражение будет содержать только непохожие члены, связанные операторами сложения/вычитания, которые нельзя упростить дальше.

Как упростить выражения?

Следуйте приведенным ниже шагам, чтобы научиться упрощать выражения:

• Раскройте скобки, если они есть. Если за скобкой стоит положительный знак, то снять скобку и записать все термины, сохраняя их первоначальные знаки. Если за скобкой стоит знак минус, то снять скобку и поменять знаки всех написанных внутри терминов с + на -, а — на +. И если есть число или переменная, написанная сразу за скобкой, то умножьте ее на все члены внутри, используя распределительное свойство.
• Используйте правила экспоненты для упрощения терминов с экспонентами, если таковые имеются.
• Добавить/вычесть все одинаковые термины.
• Запишите упрощенное выражение в стандартной форме (от члена с наибольшей степенью к члену с наименьшей степенью).

Чем отличаются упрощение выражений и решение уравнений?

Уравнения относятся к операторам, которые имеют знак равенства «=» между терминами, написанными слева, и терминами, написанными справа. Решение уравнений означает нахождение значения заданной неизвестной переменной. С другой стороны, упрощение выражений означает только приведение выражения к самой низкой форме. Он не предназначен для нахождения значения неизвестной величины.

Что такое пример упрощения выражений?

Упрощение алгебраических выражений относится к процессу приведения выражения к наименьшей форме. Пример упрощения алгебраических выражений приведен ниже:

2x + 6x (y — 7) — 8

= 2x + 6xy — 42x — 8

= 6xy — 40x — 8

Темы алгебры: Упрощение выражений

1 9 7: Упрощение выражений

/en/алгебра-темы/письмо-алгебраические-выражения/контент/

Упрощение выражений

Упрощение выражения — это еще один способ сказать решение математической задачи . Когда вы упрощаете выражение, вы, по сути, пытаетесь записать его простейшим способом. В конце концов, не нужно больше ничего складывать, вычитать, умножать или делить. Например, возьмем это выражение:

4 + 6 + 5

Если вы упростите , объединив члены до тех пор, пока не останется ничего, выражение будет выглядеть так:

15

Другими словами, 15 — это простейший способ записать 4 + 6 + 5. Обе версии выражения равны одной и той же сумме; один просто намного короче.

Упрощение алгебраических выражений — это та же идея, за исключением того, что в вашем выражении есть переменные (или буквы). По сути, вы превращаете длинное выражение во что-то легко понятное. Итак, такое выражение…

(13x + -3x) / 2

… можно упростить следующим образом:

5x

Если это кажется большим скачком, не волнуйтесь! Все, что вам нужно для упрощения большинства выражений, — это базовая арифметика — сложение, вычитание, умножение и деление — и порядок операций.

Порядок операций

Как и в любой задаче, вам нужно будет следовать порядку операций при упрощении алгебраического выражения. Порядок операций — это правило, которое говорит вам правильный порядок для выполнения вычислений. Согласно порядку действий, вы должны решить задачу в таком порядке:

1. Скобки
2. Экспоненты
3. Умножение и деление
4. Сложение и вычитание

Давайте рассмотрим задачу, чтобы увидеть, как это работает.

В этом уравнении вы должны начать с упрощения части выражения в круглых скобках : 24 — 20. 20 равно 4. В соответствии с порядком операций далее мы упростим любые показателей . В этом уравнении есть один показатель степени: 4 ² или четыре во второй степени .

2 ⋅ 4 ² + 18 / 6 — 30

4 ² равно 16. Далее нам нужно позаботиться о умножении и делении . Сделаем слева направо: 2 ⋅ 16 и 18 / 6.

2 ⋅ 16 + 18 / 6 — 30

2 ⋅ 16 равно 32, а 18 / 6 равно 3. Все, что слева последний шаг в порядке операций: сложение и вычитание .

32 + 3 — 30

32 + 3 равно 35, а 35 — 30 равно 5. Наше выражение упростилось — больше ничего не нужно делать.

5

Это все, что нужно! Помните, вы должны следовать порядку операций при выполнении вычислений, иначе вы можете не получить правильный ответ.

Все еще немного запутались или нужно больше практики? Мы написали целый урок о порядке действий. Вы можете проверить это здесь.

Добавление одинаковых переменных

Чтобы добавить одинаковые переменные, вы можете просто добавить коэффициенты . Итак, 3 x + 6 x равно 9 x . Вычитание работает так же, поэтому 5 y — 4 y = 1 y или просто y .

5y — 4y = 1y

Вы также можете умножить и разделить переменных с коэффициентами. Чтобы умножить переменные на коэффициенты, сначала умножьте коэффициенты, затем запишите переменные рядом друг с другом. Так 3 x ⋅ 4 y равно 12 xy .

3x ⋅ 4y = 12xy

Распределительное свойство

Иногда при упрощении выражений можно увидеть что-то вроде этого:

3(x+7)-5

внутри сначала круглые скобки. Однако в этом случае x+7 нельзя упростить, поскольку мы не можем добавить переменную и число. Итак, каков наш первый шаг?

Как вы помните, цифра 3 за скобками означает, что нам нужно умножить все внутри скобок на 3. В скобках две вещи: x и 7 . Нам нужно умножить их и на 3.

3(x) + 3(7) — 5

3 · x равно 3x и 3 · 7 равно 21 .