cart-icon Товаров: 0 Сумма: 0 руб.
г. Нижний Тагил
ул. Карла Маркса, 44
8 (902) 500-55-04

Что такое магический квадрат в математике 3 класс – Как решить магический квадрат (3 класс)? Пособия для школьников

Содержание

Как решить магический квадрат (3 класс)? Пособия для школьников

Математических загадок существует невообразимое количество. Каждые из них уникальны по-своему, но их прелесть заключается в том, что для решения неизбежно нужно приходить к формулам. Конечно же, можно попытаться решить их, как говорится, методом тыка, но это будет очень долго и практически безуспешно.

В данной статье будет говориться об одной из таких загадок, а чтобы быть точнее — о магическом квадрате. Мы детально разберем, как решить магический квадрат. 3 класс общеобразовательной программы, конечно, это проходит, но возможно не каждый понял или вовсе не помнит.

Что это за загадка?

Магический квадрат, или, как его еще называют, волшебный, — это таблица, в которой число столбцов и строк одинаково, и все они заполнены разными цифрами. Главная задача, чтобы эти цифры в сумме по вертикали, горизонтали и диагонали давали одинаковое значение.

Помимо магического квадрата, есть еще и полумагический. Он подразумевает то, что сумма чисел одинакова лишь по вертикали и горизонтали. Магический квадрат «нормальный» только в том случае, если для заполнения использовались натуральные числа от единицы.

Еще есть такое понятие, как симметричный магический квадрат — это когда значение суммы двух цифр равно, в то время, когда они располагаются симметрично по отношению к центру.

Важно также знать, что квадраты могут быть любой величины помимо 2 на 2. Квадрат 1 на 1 также считается магическим, так как все условия выполняются, хотя и состоит он из одного-единственного числа.

Итак, с определением мы ознакомились, теперь поговорим про то, как решить магический квадрат. 3 класс школьной программы вряд ли все так детально разъяснит, как эта статья.

Какие есть решения

Те люди, которые знают, как решить магический квадрат (3 класс точно знает), сразу же скажут, что решения только три, и каждое из них подходит для разных квадратов, но все же нельзя обойти стороной и четвертое решение, а именно «наугад». Ведь в какой-то мере есть вероятность того, что незнающий человек все же сможет решить данную задачку. Но данный способ мы отбросим в длинный ящик и перейдем непосредственно к формулам и методикам.

Первый способ. Когда квадрат нечетный

Данный способ подходит только для решения такого квадрата, у которого количество ячеек нечетное, например, 3 на 3 или 5 на 5.

Итак, в любом случае изначально необходимо найти магическую константу. Это число, которое получится при сумме цифр по диагонали, вертикали и горизонтали. Вычисляется она с помощью формулы:

В данном примере мы рассмотрим квадрат три на три, поэтому формула будет выглядеть так (n — число столбцов):

Итак, перед нами квадрат. Первое, что надо сделать — это вписать цифру один в центре первой строки сверху. Все последующие цифры необходимо располагать на одну клетку правей по диагонали.

Но тут сразу встает вопрос, как решить магический квадрат? 3 класс вряд ли использовал данный метод, да и у большинства появится проблема, как это сделать таким способом, если данной клетки нет? Чтобы сделать все правильно, необходимо включить воображение и дорисовать аналогичный магический квадрат сверху и получится так, что число 2 будет находиться в нем в нижней правой клетке. Значит, и в наш квадрат мы вписываем двойку в то же место. Это означает, что нам необходимо вписать цифры так, чтобы в сумме они давали значение 15.

Последующие цифры вписываются точно так же. То есть 3 будет находиться в центре первого столбца. А вот 4 по такому принципу вписать не удастся, так как на ее месте уже стоит единица. В таком случае цифру 4 располагаем под 3, и продолжаем. Пятерка — в центре квадрата, 6 — в правом верхнем углу, 7 — под 6, 8 — в верхний левый и 9 — по центру нижней строки.

Вы теперь знаете, как решить магический квадрат. 3 класс Демидова проходил, но у этого автора были чуть попроще задания, однако, зная данный способ, удастся разгадать любую подобную задачу. Но это, если число столбцов нечетное. А что же делать, если у нас, например, квадрат 4 на 4? Об этом дальше по тексту.

Второй способ. Для квадрата двойной четности

Квадратом двойной четности называют тот, у которого количество столбцов можно разделить и на 2, и на 4. Сейчас мы рассмотри квадрат 4 на 4.

Итак, как решить магический квадрат (3 класс, Демидова, Козлова, Тонких — задание в учебнике математики), когда количество его столбцов равно 4? А очень просто. Проще, чем в примере до этого.

В первую очередь находим магическую константу по той же формуле, что приводилась в прошлый раз. В данном примере число равно 34. Теперь надо выстроить цифры так, чтобы сумма по вертикали, горизонтали и диагонали была одинаковой.

В первую очередь надо закрасить некоторые ячейки, сделать это вы можете карандашом или же в воображении. Закрашиваем все углы, то есть верхнюю левую клеточку и верхнюю правую, нижнюю левую и нижнюю правую. Если квадрат был бы 8 на 8, то закрашивать надо не одну клеточку в углу, а четыре, размером 2 на 2.

Теперь необходимо закрасить центр этого квадрата, так, чтобы его углы касались углов уже закрашенных клеточек. В данном примере у нас получится квадрат по центру 2 на 2.

Приступаем к заполнению. Заполнять будем слева направо, в том порядке, в котором расположены ячейки, только вписывать значение будем в закрашенные клетки. Получается, что в верхний левый угол вписываем 1, в правый — 4. Потом центральный заполняем 6, 7 и дальше 10, 11. Нижний левый 13 и правый — 16. Думаем, порядок заполнения понятен.

Остальные ячейки заполняем точно так же, только в порядке убывания. То есть так как последняя вписанная цифра была 16, то вверху квадрата пишем 15. Далее 14. Потом 12, 9 и так далее, как показано на картинке.

Теперь вы знаете второй способ, как решить магический квадрат. 3 класс согласится, что квадрат двойной четности намного легче решается, чем другие. Ну а мы переходим к последнему способу.

Третий способ. Для квадрата одинарной четности

Квадратом одинарной четности называется, тот квадрат, число столбцов которого можно разделить на два, но нельзя на четыре. В данном случае это квадрат 6 на 6.

Итак, вычисляем магическую константу. Она равна 111.

Теперь нужно наш квадрат визуально поделить на четыре разных квадрата 3 на 3. Получится четыре маленьких квадрата размером 3 на 3 в одном большом 6 на 6. Верхний левый назовем А, нижний правый — В, верхний правый — С и нижний левый — D.

Теперь необходимо каждый маленький квадрат решить, используя самый первый способ, что приведен в этой статье. Получится так, что в квадрате А будут числа от 1 до 9, в В — от 10 до 18, в С — от 19 до 27 и D — от 28 до 36.

Как только вы решили все четыре квадрата, работа начнется над А и D. Необходимо в квадрате А визуально или при помощи карандаша выделить три ячейки, а именно: верхнюю левую, центральную и нижнюю левую. Получится так, что выделенные цифры — это 8, 5 и 4. Точно так же надо выделить и квадрат D (35, 33, 31). Все, что остается сделать, это поменять местами выделенные цифры из квадрата D в А.

Теперь вы знаете последний способ, как можно решить магический квадрат. 3 класс квадрат одинарной четности не любит больше всего. И это неудивительно, из всех представленных он самый сложный.

Вывод

Прочтя данную статью, вы узнали, как решить магический квадрат. 3 класс (Моро — автор учебника) предлагает подобные задачи только с несколькими заполненными ячейками. Рассматривать его примеры нет смысла, так как зная все три способа, вы с легкостью решите и все предлагаемые задачи.

fb.ru

Факультативное занятие по математике в 3-м классе: «Магические квадраты»

Разделы: Начальная школа

Класс:

#}

Задачи:

1. Научить заполнять магические квадраты.

2. Развивать наблюдательность, умение обобщать.

3. Прививать стремление к познанию нового, интерес к математике.

Оборудование: компьютер, мультимедиа проектор с экраном, презентация PowerPoint (Приложение 1).

В давние времена, научившись считать и выполнять арифметические действия, люди с удивление обнаружили, что числа имеют самостоятельную жизнь, удивительную и таинственную. Складывая различные числа, располагая их друг за другом  или одно под другим, они иногда получали одинаковую сумму. Наконец, разделив числа линиями так, чтобы каждое оказалось в отдельной клетке, увидели квадрат, любое из чисел которого принимало участие в двух суммах, а те, что расположены вдоль диагоналей – даже в трех, и все суммы равны между собой! Недаром древние китайцы, индусы, а вслед за ними и арабы приписывали таким конструкциям таинственные и магические свойства.

(слайд 1)

Магические квадраты появились на Древнем Востоке еще до нашей эры. Одна из сохранившихся легенд повествует о том, что когда император Ю из династии Шан (2000 г до н.э.) стоял на берегу Ло, притоке Желтой реки, вдруг появилась большая рыба (в других вариантах – огромная черепаха), у которой на спине был рисунок из двух мистических символов – черных и белых кружочков (слайд 2), который был осознан затем как изображение магического квадрата порядка 3. (слайд 3)

Первое специальное упоминание о таком квадрате найдено около 1 века до н.э. Вплоть до 10 века н.э. магические квадраты были воплощены в амулетах, заклинаниях. Они  использовались в качестве талисманов по всей Индии. Их рисовали на кувшинах удачи, медицинских кружках. До сих пор они используются у некоторых восточных народов как талисман. Их можно встретить на палубах больших пассажирских судов как площадку для игры.

Итак, под магическими будем понимать квадраты, в которых суммы чисел, стоящих в любом столбце или в любой строке, а также по диагоналям, одинаковы.

До сих пор вы использовали магические квадраты чаще всего для устного счета. При этом несколько чисел, в том числе и центральное, уже расставлены по клеткам квадрата. Требуется расставить остальные числа так, чтобы в любом направлении получилась определенная сумма.

Задача 1. Даны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Часть из них расставлена по клеткам Требуется расставить остальные числа, чтобы в сумме получалось 15. (слайд 4)

Находим необходимое число, вычитая из 15 сумму двух известных чисел, стоящих в одной строке, диагонали или столбце. Получаем следующий квадрат.

(слайд 5)

Оказывается, все другие магические квадраты, составленные из этих же чисел, можно получить из данного симметрией относительно строки, столбца или диагонали, поэтому во всех квадратах числа расставлены по одним и тем же правилам. (слайд 6)

Можно заметить ряд закономерностей, облегчающих заполнение клеток квадрата или дающих возможность решить задачу при меньшем числе данных в условии.

Например, в условиях задач, подобных предыдущей, не обязательно указывать, какая сумма должна получиться в любом направлении.

Задача 2.  Найдите способ, как сосчитать сумму по строчкам, столбцам и диагоналям из предыдущей задачи.

Можно рассуждать следующим образом: сумма чисел в каждой строке одинакова, таких строк 3, значит сумма чисел в каждой строке в три раза меньше суммы всех чисел. Следовательно, в нашем примере, сумма в каждой строке равна 15 (45 : 3). Но это число можно найти и другими способами: сложить три центральных числа 4, 5 и 6 или умножить центральное число 5 на 3.

Задача 3. Даны числа: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Требуется вписать их в клетки квадрата так, чтобы в любом направлении в сумме получилось одно и то же число. Часть чисел уже вписана в квадрат. (слайд 7)

Найдем вначале сумму чисел, которая будет получаться в строках и столбцах. Самый простой способ – умножить число 6 на 3, получим, что сумма равна 18.

Получаем следующий квадрат: (слайд 8)

Задача 4. Даны числа 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. Два их них вписаны в клетки квадрата. Впишите остальные так, чтобы в любом направлении получилось в сумме одно и то же число. (слайд 9)

Найдем сумму: 9 × 3 = 27. Заполняем квадрат: (слайд 10)

Посмотрим на все три заполненных квадрата и попробуем найти еще ряд закономерностей, которые помогут заполнить квадрат еще с меньшим чисел, вписанных в квадрат. (слайд 11)

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13

Посмотрите, какое число стоит в центре квадрата? Как оно расположено в ряду данных чисел? (слайд 12) (В центре квадрата всегда записывается число, стоящее на пятом месте нашей последовательности, т. е. одинаково удаленное с левого и правого ее краев.)

Можно заметить еще ряд особенностей: в квадрате по разные стороны от центрального числа стоят числа, одинаково удаленные от левого и правого краев последовательности. Покажем пары соответствующих чисел  на примере заполнения квадрата числами от 1 до 9:

(слайд 13)

Зная это, можно заполнить квадрат, почти не считая.

Посмотрите, как расположены в квадрате числа, стоящие рядом с центральным, а также числа, записанные от них через одно число. Они соединены линиями сверху. (Они расположены по диагоналям квадрата.) А где расположены остальные числа, которые соединены линиями снизу? (Они расположены по вертикали и по горизонтали.)

Давайте проверим, выполняются ли такие закономерности в других квадратах. (слайд 14)

(Да, такие закономерности выполняются.)

Итак, давайте подведем итог. Какие свойства магических квадратов мы выяснили?

1) Чтобы найти сумму чисел в каждом столбце или строке, можно центральное число умножить на 3.

2) В центре квадрата стоит число, записанное в ряду пятым.

3) В квадрате по разные стороны от центрального числа стоят числа, одинаково удаленные от левого и правого краев последовательности.

4) Числа, стоящие рядом с центральным и через одно от него, расположены по диагоналям квадрата. Числа, стоящие с краю и через одно от него, расположены в квадрате по вертикали и по горизонтали.

Задача 5. Даны числа: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. Впишите их в клетки квадрата так, чтобы в  любом направлении получилось одно и то же число. (слайд 15)

(Найдем, какая сумма должна получаться в каждом направлении. Для этого умножим центральное число 7 на 3. В результате получим 21. В центр квадрата поставим число 7, по одной диагонали числа 6 и 8, по другой – 4 и 10. Осталось расставить недостающие числа: сумма записанных в первой строке чисел равна 10, до 21 недостает 11, значит, в пустой клетке верхней строки запишем число 11 (первое справа). Тогда в нижней строке запишем число 3 (первое слева). В левый столбик запишем число 5 (21 – (6 + 10)), тогда в правом столбике останется записать число 9. Таким образом, мы расставили все 9 чисел в клетки магического квадрата, при этом ни одно число по условию задачи в квадрате не было поставлено.)

Задача имеет несколько решений, но все квадраты получаются из других симметрией относительно средних линий или диагонали. (слайд 16)

Задача 6. Даны числа 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18. Впишите их в клетки квадрата так, чтобы в любом направлении получилось в сумме одно и то же число.

Один из вариантов решения на слайде. (слайд 17)

Задача 7. Сравните условие задач 1 и 6 и подумайте, как можно было решить задачу, зная решение задачи 1.

(Числа из задачи 6 в два раза больше соответствующих чисел задачи 1. Поэтому можно каждое число квадрата из задачи 1 просто удвоить и получить искомый квадрат.)

Существуют различные способы построения магических квадратов. Рассмотрим метод террас, который придумали древние китайцы. Следуя этому методу надо «естественный» числовой квадрат повернуть относительно центра на половину прямого угла (слайд 19) и отделить квадратной рамкой таблицу 3´3. (слайд 20) Числами, записанными вне рамки, и образующими выступы («террасы»), заполняем пустые клетки у противоположной стороны таблицы. (слайд 21)

Аналогично можно построить любой квадрат нечетного порядка. Заполним клетки магического квадрата 5´5 числами от 1 до 25. (слайды 22, 23, 24)

Для построения магического квадрата 4´4 наиболее простым и доступным является следующий метод: в «естественном» квадрате меняются местами дополнительные числа на главных диагоналях, а остальные остаются без изменения.

(слайды 25, 26)

Подведение итогов занятия

Какую тайну магических квадратов вы открыли сегодня на занятии? Что вам в этом помогло?

16.03.2010

urok.1sept.ru

Внеклассное занятие по математике «Волшебные квадраты»

Разделы: Начальная школа, Внеклассная работа

Класс:

#}

Цели:

  • познакомить с историей возникновения «волшебных» квадратов, кросс-сумм;
  • научить составлять кросс-суммы и квадраты;
  • формировать интерес к изучению математики, развивать логическое мышление, интеллектуальные способности.

Оборудование:

  • гофрированная бумага голубого (синего) цвета;
  • рисунки: «водяная черепаха с «магическим» квадратом на панцире», «рыбки», цифры, арифметические знаки;
  • иллюстрация гравюры А.Дюрера «Меланхолия. 1514 г.» и «магические квадраты» для детей;
  • печенье с пожеланиями, письмо с заданием.

Музыкальное оформление: Музыка Фаусто Папетто «Сонный берег» или другая музыка со звуками журчащей воды.

Ход занятия

Организационный момент.

Звучит тихо музыка.

Вступительное слово учителя.

Здравствуйте, ребята. Вы подошли к водопаду чисел. Догадались ли вы, где он находится и в какой стране? (Презентация).

Послушайте музыку воды, а я поведаю вам историю. «Существует предание, согласно которому китайский император Ию, живший примерно 4000-5000 лет до нашей эры, однажды увидел на берегу реки священную черепаху с узором из черных и белых кружков на панцире.

Сообразительный император сразу понял смысл этого рисунка. Черными кружками в этом квадрате изображены (женские) четные числа, белыми - нечетные (мужские) числа.

Чтобы и нам стал понятен смысл, заменим каждую фигуру числом, показывающим, сколько в ней кружков.

В обычной записи он не так эффектен».

«Символ изображенный на черепахе, китайцы называли Ло Шу (в книге эпохи Мин) и считали магическим — он использовался при заклинаниях. Поэтому квадратные таблицы чисел с тех пор называют магическими квадратами.

Что же в нем магического?

Девять порядковых чисел размещены в девяти клетках квадрата так, что суммы чисел вдоль каждой строки, каждого столбца и каждой из двух диагоналей одинаковы — это основное свойство волшебного квадрата.

Магические квадраты почитались не только в Древнем Китае. Во времена средневековья в Европе свойства магических квадратов тоже считались волшебными. Магические квадраты служили талисманами, защищая тех, кто их носил, от разных бед.

Более поздние сведения о волшебных квадратах, относящиеся к I веку, получены из Индии. Вот один из таких древне индусских памятников почти 2000-летней давности.

Здесь 16 порядковых чисел расположенных в 16 клетках так, что выполняется основное свойство волшебного квадрата — сумма равна 34.

Недаром в ту далекую эпоху суеверий древние индусы, а следом за ними и арабы приписывали этим числовым сочетаниям таинственные и магические свойства.

Вся эта своеобразная мозаика чисел с ее постоянством сумм действительно придает волшебному квадрату «волшебную» силу произведения искусства. И это привлекло внимание не только математиков, но и художников.

В Западную Европу из Индии этот волшебный квадрат проник лишь в начале XVI века и так очаровал выдающегося немецкого художника, гравера и немного математика Альбрехта Дюрера, что художник даже воспроизвел его (в несколько измененном виде) в одной из своих гравюр на меди «Меланхолия» 1514 г.

Интересно, что в нижней строке этого магического квадрата средние числа изображают год создания гравюры — 1514. возможно, Дюрер знал этот квадрат, а может быть, начав именно с этих чисел, художник смог найти остальные методом подбора» [1, с.255-271].

Практическая работа

А) — Проверьте основные свойства магического квадрата Дюрера, посчитав суммы по строкам, столбцам и диагоналям.

— Исследуйте другие свойства этого квадрата, посчитав сумму чисел центрального квадрата и каждого из угловых квадратов.

— Впишите в пустые клетки квадрата такие числа, чтобы квадрат стал магическим.

— Восстановите магические квадраты.

Б) — Возьмите квадрат 4х4 и впишите в него числа от 1 до 16 по порядку. Теперь поменяйте местами числа стоящие в противоположных углах квадрата. А затем поменяйте местами числа, стоящие в противоположных углах центрального квадрата. Если вы все сделали правильно, должен получиться магический квадрат. Проверьте.

Итог и награждение.

Молодцы, вы замечательно справились с заданием. На прощание возьмите печенье с сюрпризом.

Литература

  1. Кордемский, Б.А. Математическая смекалка. / Б.А. Кордемский. — Государственное издательство технико-теоретической литературы. Москва. 1957. - 575 с.

21.07.2009

Поделиться страницей:

urok.1sept.ru

Как решить магический квадрат (3 класс)? Пособия для школьников

Образование 25 октября 2016

Математических загадок существует невообразимое количество. Каждые из них уникальны по-своему, но их прелесть заключается в том, что для решения неизбежно нужно приходить к формулам. Конечно же, можно попытаться решить их, как говорится, методом тыка, но это будет очень долго и практически безуспешно.

В данной статье будет говориться об одной из таких загадок, а чтобы быть точнее — о магическом квадрате. Мы детально разберем, как решить магический квадрат. 3 класс общеобразовательной программы, конечно, это проходит, но возможно не каждый понял или вовсе не помнит.

Что это за загадка?

Магический квадрат, или, как его еще называют, волшебный, — это таблица, в которой число столбцов и строк одинаково, и все они заполнены разными цифрами. Главная задача, чтобы эти цифры в сумме по вертикали, горизонтали и диагонали давали одинаковое значение.

Помимо магического квадрата, есть еще и полумагический. Он подразумевает то, что сумма чисел одинакова лишь по вертикали и горизонтали. Магический квадрат «нормальный» только в том случае, если для заполнения использовались натуральные числа от единицы.

Еще есть такое понятие, как симметричный магический квадрат — это когда значение суммы двух цифр равно, в то время, когда они располагаются симметрично по отношению к центру.

Важно также знать, что квадраты могут быть любой величины помимо 2 на 2. Квадрат 1 на 1 также считается магическим, так как все условия выполняются, хотя и состоит он из одного-единственного числа.

Итак, с определением мы ознакомились, теперь поговорим про то, как решить магический квадрат. 3 класс школьной программы вряд ли все так детально разъяснит, как эта статья.

Какие есть решения

Те люди, которые знают, как решить магический квадрат (3 класс точно знает), сразу же скажут, что решения только три, и каждое из них подходит для разных квадратов, но все же нельзя обойти стороной и четвертое решение, а именно «наугад». Ведь в какой-то мере есть вероятность того, что незнающий человек все же сможет решить данную задачку. Но данный способ мы отбросим в длинный ящик и перейдем непосредственно к формулам и методикам.

Первый способ. Когда квадрат нечетный

Данный способ подходит только для решения такого квадрата, у которого количество ячеек нечетное, например, 3 на 3 или 5 на 5.

Итак, в любом случае изначально необходимо найти магическую константу. Это число, которое получится при сумме цифр по диагонали, вертикали и горизонтали. Вычисляется она с помощью формулы:

В данном примере мы рассмотрим квадрат три на три, поэтому формула будет выглядеть так (n — число столбцов):

Итак, перед нами квадрат. Первое, что надо сделать — это вписать цифру один в центре первой строки сверху. Все последующие цифры необходимо располагать на одну клетку правей по диагонали.

Но тут сразу встает вопрос, как решить магический квадрат? 3 класс вряд ли использовал данный метод, да и у большинства появится проблема, как это сделать таким способом, если данной клетки нет? Чтобы сделать все правильно, необходимо включить воображение и дорисовать аналогичный магический квадрат сверху и получится так, что число 2 будет находиться в нем в нижней правой клетке. Значит, и в наш квадрат мы вписываем двойку в то же место. Это означает, что нам необходимо вписать цифры так, чтобы в сумме они давали значение 15.

Последующие цифры вписываются точно так же. То есть 3 будет находиться в центре первого столбца. А вот 4 по такому принципу вписать не удастся, так как на ее месте уже стоит единица. В таком случае цифру 4 располагаем под 3, и продолжаем. Пятерка — в центре квадрата, 6 — в правом верхнем углу, 7 — под 6, 8 — в верхний левый и 9 — по центру нижней строки.

Вы теперь знаете, как решить магический квадрат. 3 класс Демидова проходил, но у этого автора были чуть попроще задания, однако, зная данный способ, удастся разгадать любую подобную задачу. Но это, если число столбцов нечетное. А что же делать, если у нас, например, квадрат 4 на 4? Об этом дальше по тексту.

Второй способ. Для квадрата двойной четности

Квадратом двойной четности называют тот, у которого количество столбцов можно разделить и на 2, и на 4. Сейчас мы рассмотри квадрат 4 на 4.

Итак, как решить магический квадрат (3 класс, Демидова, Козлова, Тонких — задание в учебнике математики), когда количество его столбцов равно 4? А очень просто. Проще, чем в примере до этого.

В первую очередь находим магическую константу по той же формуле, что приводилась в прошлый раз. В данном примере число равно 34. Теперь надо выстроить цифры так, чтобы сумма по вертикали, горизонтали и диагонали была одинаковой.

В первую очередь надо закрасить некоторые ячейки, сделать это вы можете карандашом или же в воображении. Закрашиваем все углы, то есть верхнюю левую клеточку и верхнюю правую, нижнюю левую и нижнюю правую. Если квадрат был бы 8 на 8, то закрашивать надо не одну клеточку в углу, а четыре, размером 2 на 2.

Теперь необходимо закрасить центр этого квадрата, так, чтобы его углы касались углов уже закрашенных клеточек. В данном примере у нас получится квадрат по центру 2 на 2.

Приступаем к заполнению. Заполнять будем слева направо, в том порядке, в котором расположены ячейки, только вписывать значение будем в закрашенные клетки. Получается, что в верхний левый угол вписываем 1, в правый — 4. Потом центральный заполняем 6, 7 и дальше 10, 11. Нижний левый 13 и правый — 16. Думаем, порядок заполнения понятен.

Остальные ячейки заполняем точно так же, только в порядке убывания. То есть так как последняя вписанная цифра была 16, то вверху квадрата пишем 15. Далее 14. Потом 12, 9 и так далее, как показано на картинке.

Теперь вы знаете второй способ, как решить магический квадрат. 3 класс согласится, что квадрат двойной четности намного легче решается, чем другие. Ну а мы переходим к последнему способу.

Третий способ. Для квадрата одинарной четности

Квадратом одинарной четности называется, тот квадрат, число столбцов которого можно разделить на два, но нельзя на четыре. В данном случае это квадрат 6 на 6.

Итак, вычисляем магическую константу. Она равна 111.

Теперь нужно наш квадрат визуально поделить на четыре разных квадрата 3 на 3. Получится четыре маленьких квадрата размером 3 на 3 в одном большом 6 на 6. Верхний левый назовем А, нижний правый — В, верхний правый — С и нижний левый — D.

Теперь необходимо каждый маленький квадрат решить, используя самый первый способ, что приведен в этой статье. Получится так, что в квадрате А будут числа от 1 до 9, в В — от 10 до 18, в С — от 19 до 27 и D — от 28 до 36.

Как только вы решили все четыре квадрата, работа начнется над А и D. Необходимо в квадрате А визуально или при помощи карандаша выделить три ячейки, а именно: верхнюю левую, центральную и нижнюю левую. Получится так, что выделенные цифры — это 8, 5 и 4. Точно так же надо выделить и квадрат D (35, 33, 31). Все, что остается сделать, это поменять местами выделенные цифры из квадрата D в А.

Теперь вы знаете последний способ, как можно решить магический квадрат. 3 класс квадрат одинарной четности не любит больше всего. И это неудивительно, из всех представленных он самый сложный.

Вывод

Прочтя данную статью, вы узнали, как решить магический квадрат. 3 класс (Моро — автор учебника) предлагает подобные задачи только с несколькими заполненными ячейками. Рассматривать его примеры нет смысла, так как зная все три способа, вы с легкостью решите и все предлагаемые задачи.

Источник: fb.ru

monateka.com

Исследовательская работа по математике Магические квадраты

Межрайонные соревнования юных исследователей

«Шаг в будущее. Юниор»

Исследовательская работа на тему:

«Магические квадраты»

Автор работы: Кудьяров Иван учащийся 8 класса МАОУ «СОШ№3»

Научный руководитель: учитель математики МАОУ «СОШ№3»

Дремухина Татьяна Александровна

г.Северобакальск.

декабрь 20016г

Магические квадраты

Содержание стр.

  1. Введение 2

  2. Что такое «магический квадрат» 3

  3. История появления магических квадратов 3-4

  4. Виды магических квадратов 4-5

  5. Методы заполнения магических квадратов 6

  6. Применение магических квадратов 7

  7. Вывод по теме 8

  8. Приложение 9-12

  9. Список литературы и Интернет-ресурсов­­­­­­­­­­ 13

  1. Введение.

«Я не знаю ничего более прекрасного в арифметике, чем эти числа, называемые некоторыми планетными, а другими — магическими» — писал о них Пьер де Ферма.

Мне очень нравится разгадывать кроссворды «Судоку», но я и не догадывался что это, ни что иное — как магический квадрат!

Само понятие «магические квадраты» содержит тайну, загадку, а после знакомства с историей и некоторыми свойствами этих квадратов, возникает желание продолжать исследование.

Я постараюсь отразить самые впечатляющие, важные и интересные факты из теории и практики составления магических квадратов.

В ходе исследовательской работы я не только расширил свои знания по данной теме и повысил свои вычислительные навыки,  но и научился составлять различные М.К, в том числе зеркальный магический квадрат, а также магический квадрат Пифагора. С его помощью можно познать характер человека, состояние его здоровья, потенциальные возможности, раскрыть достоинства и недостатки. 

Великие учёные древности считали количественные отношения основой сущности мира. Они увидели, что числа имеют какую-то самостоятельную жизнь, свои тайны. Позже выяснилось, что располагая числа правильными рядам, в случае «магии» можно, складываю слева направо и сверху вниз, каждый раз получаются равные числа. Так в ходе времени образовался магический квадрат, который мы встречаем по сей день.

Проблема: заполнение магических квадратов.

Цель: изучение магических квадратов: их видов, способов заполнения и применения на практике.

Задачи:

  • познакомиться с историей появления магических квадратов;

  • выяснить виды магических квадратов и способы их заполнения;

  • выявить области применения  магических квадратов.

Актуальность В настоящее время очень актуальна тема — защита информации, магические квадраты используются как один из способов защиты. Так же я считаю, что магические квадраты являюстся одной из наиболее интересных головоломок. выдвинутые мной проблемы заключаются в умение составлять магические квадраты, повышать и развивать интерес к новым загадочным головоломкам, к предмету математики и истории ее развития, развивать любознательность и логическое мышление. Привлечение учащихся к решению нестандартных задач, которые часто можно встретить в Олимпиадных заданиях, в современных учебниках по математике.

Гипотеза:  Если существуют способы заполнения магических квадратов, то изучив их, я смогу составить магический квадрат любого порядка.

При выполнении работы я пользовался следующими методами:

  • поисковый метод

  • практический метод

  • исследовательский метод

  • анализ полученных в ходе исследования данных.

Объект исследования: магические квадраты.

Предмет исследования: процесс развития теории магических квадратов, свойства, практическое применение.

Для того чтобы выяснить, знают ли современные школьники, что такое магические квадраты, а так же Судоку. Я провел анкетирование. Было опрошено 25 человек об Магических квадратах. Опрос показал, что 6 человек знают что такое магические квадраты; 18 – слышали о магических квадратах; остальные 9 – ничего не известно о магических квадратах.

Относительно Судоку было опрошено так же 25 учеников: этот опрос показал, что 9 человек знают что такое Судоку и решают, 16 не знают, что такое Судоку и соответственно не решают, но хотели бы научиться. Этот опрос показал, что нынешняя молодёжь довольно мало интересуется решением занимательных задач и редко обращается к материалу, находящемуся за пределами школьной программы.

  1. Что такое «магический квадрат»?

Магическим квадратом n-го порядка называется квадратная таблица размером n х n, заполненная натуральными числами от 1 до n2, суммы которых по всем строкам, столбцам и обеим диагоналям одинаковы. Различают магические квадраты четного и нечетного порядка (в зависимости oт четности n), Поля таблицы, в которые записывают числа, называются клетками магического квадрата, а сумма чисел, стоящих в любой строке, столбце или на диагонали, — его постоянной. (рис. 1)

”Я не знаю ничего более прекрасного в арифметике, чем эти числа, называемые некото­рыми планетными, а другими — магическими»” — писал о них Пьер де Ферма.

  1. История появления магических квадратов.

По легенде магический квадрат появился около 2200 лет до нашей эры в Древнем Китае, когда на берег из реки Ло вылезла большая черепаха, на панцире которой был странный узор из точек, упорядочив который обнаружили 9 секторов с цифрами, расположенными в определенной последовательности. Причем при последовательном соединение линиями цифр от 1 до 9  получается символ «печать планеты Сатурн», который использовался в древнекитайской магии. Этот символ также называется символом Девяти императоров, считается, что он обладает очень мощной защитной силой и в качестве талисмана способен защитить хозяина от преждевременной смерти. (рис. 2)

Жители Поднебесной считали таблицу Ло-Шу священной, у них даже не возникало мысли о составлении аналогичных квадратов большего размера, поэтому последние стали появляться только три тысячелетия спустя.

Название «магические» квадраты получили от арабов, Из Китая магические квадраты распространи­лись сначала в Индию, затем в Японию и другие страны. На востоке их считали волшебными, полными тайного смысла символами, и использовали при заклинаниях.

В древности магические квадраты очень уважали и приписывали им различные мистические свойства. Говорят, если надо было решиться на какое-то опасное дело, их с магическими целями рисовали на бумажке и съедали. Такое же кушанье предлагали в качестве панацеи от всех болезней. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.

  1. Магический квадрат «Ло-шу» 3*3.

Полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сего времени.

Магических квадратов 2*2 не существует, т.к. квадрат с таким количеством клеток должен был бы состоять и чисел 1,2,3,4. Значит постоянная такого квадрата должна равняться 5. Что бы квадрат был магическим, нужно составить 6 комбинаций( слева направо(начиная от верхнего левого квадратика, сверху вниз, справа на лево, снизу вверх и о двум диагоналям). Для числа 5 существует только 2 комбинации (1+4 и 2+3)из этого следует, что такой квадрат составить нереально. Поэтому считается, что квадрат 3-го порядка самый простой. Он единственный, т.к. другой квадрат будет образован перемещением строк или столбцов, поворотом на 90 или 180.

  1. Виды магических квадратов.

Нормальный МК — магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n2. (рис. 3)

Полумагический квадрат — квадрат, заполненный числами от 1 до n2, если сумма чисел по горизонталям и вертикалям равна магической постоянной, а по диагоналям это условие не выполняется. (рис.4)

Aссоциативный, или симметричный МК, такой магический квадрат, у которого сумма любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центра квадрата, равна одному и тому же числу: 1+n2. (рис. 5)

Пандиагональный (дьявольский) МК — такой магический квадрат, в котором сумма чисел по разломанным диагоналям также равна константе квадрата. Существует 48 дьявольских квадратов 4×4 с точностью до поворотов и отражений, но только 3 существенно различных квадрата. (рис. 6)

Идеальный МК — магический квадрат, который одновременно пандиагональный и ассоциативный. (рис.7)

Совершенный МК — магический пандиагональный квадрат порядка 4k, обладающий дополнительными свойствами.
Бимагический квадрат — такой магический квадрат, который остаётся магическим при замене всех его элементов на их квадраты. Бимагических квадратов 3,4,5 порядка несуществует.
Мультимагический квадарат –обобщение бимагических квадратов на произвольную степень n.

Нетрадиционный — если в таблицу заносится не строго натуральный ряд чисел. (рис. 8)

Латинским квадратом называется квадрат n х n клеток, в которых написаны числа 1, 2,…, n, притом так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу. (рис. 9)

Магический квадрат Пифагора

Великий ученый Пифагор, считал, что всем на свете управляют числа. Поэтому сущность человека заключается тоже в числе — дате рождения. Он создал метод построения квадрата, по которому можно познать характер человека, состояние его здоровья и его потенциальные возможности, раскрыть достоинства и недостатки и тем самым выявить, что следует предпринять для его совершенствования. Во времена Пифагора магические квадраты на каждого человека создавались индивидуально с помощью сложения и вычитания некоторых чисел в дате его рождения. Сейчас есть специальная программа, где вводится дата рождения человека, а на экран выводится готовый магический квадрат, с индивидуальными числами.

Для того, чтобы понять, что такое магический квадрат Пифагора и как подсчитываются его показатели, сделаю его расчет на своем примере.. Итак, моя дата рождения 11.07.2002. Сложим цифры дня, месяца и года рождения (без учета нулей):1+1+7+2+2=13. Далее складываем цифры результата:1+3=4. Затем из первой суммы вычитаем удвоенную первую цифру дня рождения: 37-13-2=11. И вновь складываем цифры последнего числа: 1+1=2. Осталось сделать последние сложения – 1-й и 3-й и 2-й и 4-й сумм:13+11=24, 4+2=6. Получили числа 11.07.2002, 13, 4, 11, 2, 24,6 и составляем магический квадрат так, чтобы все единицы этих чисел вошли в ячейку 1, все двойки – в ячейку 2 и т. д. Нули при этом во внимание не принимаются. В результате мой квадрат будет выглядеть следующим образом: (рис11.) То есть я: диктатор, обладаю сильным знаком экстрасенса, я точен, аккуратен, пунктуален. У меня крепкое здоровье. Я могу, заниматься точными науками и чем больше я буду работать, тем больше получу впоследствии.

  1. Методы заполнения магических квадратов.

Магические квадраты нечетного порядка.

  1. Метод достроения, на примере МГ 5*5.

  • Построим квадрат с 25 клетками и временно построим его до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры. Достроенные клеточки обозначим символом * (рис. 10)

  • В полученной фигуре расположим по порядку косыми рядами сверху-вниз-направо 25 целых чисел от 1 до 25.

  • Каждое число, расположенное вне исходного (выделенного) квадрата следует перенести вдоль того же ряда или столбца ровно на столько клеток от той клетки, которую оно занимает, каков порядов квадрата, в нашем примере – на пять.

1 — вниз под 13 5 — влево

2 — вниз под 14    4 – влево

6 — вниз под 18 10 — влево

21 — вправо за 13 25 — вверх

22 — вправо за 14 24 — вверх

16 — вправо за 8 20 – вверх

  • Таким образом, все ячейки квадрата заполнены. Сумма чисел в столбцах, строках и диагоналях равна 65.

Магические квадраты четно-четного порядка.

  1. Порядок 2n. Этот метод удобно рассматривать на примере магического квадрата 8*8.

  • Исходный  квадрат  разделю  на     соответствующее число квадратов порядка 4. В данном случае таких квадратов будет 4. В каждом подквадрате отмечу диагональные элементы символом. Остальные элементы построчно заполню порядковыми целыми числами в направлении слева-направо и сверху-вниз. Числа, приходящиеся на выделенные диагональные элементы, должны быть пропущены. (рис. 13)

  • Отмеченные * диагональные элементы квадрата заполняю пропущенными целыми числами в порядке возрастания в направлении справа-налево и снизу-вверх, причем числа, приходящиеся на недиагональные элементы, должны быть пропущены. Сумма чисел по строкам, столбцам и диагоналям равна 260.

  1. Метод Раус – Бола. Для примера возьму квадрат 8-го порядка.

  • Квадрат заполняется слева направо и сверху вниз числами от 1 до n2 в их естественном порядке. Разделить заполненный числами от 1 до 64  квадрат на четыре равных квадрата порядка 4. (рис. 15)

  • В каждой строке и столбце верхнего левого квадрата порядка 4 отметить2 (8=2*2*2) клетки ( всего 8 клеток). Это можно сделать, применив «шахматный» порядок.

  • Для каждой из отмеченных клеток отметить симметричную ей относительно вертикальной оси клетку.

  • Содержимое каждой из отмеченных клеток переставить с содержимым соответствующей центрально-симметричной ей клетки. После этих перестановок получится магический квадрат. Сумма его элементов равна 260.

Магические квадраты четно-нечетного порядка.

Диагональный метод  Для примера возьмем квадрат 10*10.

  • Разделить заполненный числами от 1 до 100 квадрат на четыре квадрата порядка 5 осями симметрии.

  • В левом верхнем квадрате закрашу разным цветом три группы клеток, при этом в каждой строке и в каждом столбце отмечу по две клет­ки из первой группы и по одной — из второй и третьей групп. Одинаковым цветом выделю клет­ки, расположенные вдоль диагонали квадрата и прямых, ей параллельных.

  • Клетки, симметричные клеткам первой груп­пы относительно вертикальной оси, закрашу та­ким же цветом.

  • Число, стоящее в каждой из отмеченных в пункте 2 клеток, переставлю с числом из соответ­ствующей центрально-симметричной клетки.

  • Содержимое каждой клетки второй группы обменяю с содержимым симметричной ей относительно горизонтальной оси клетки.

  • Содержимое каждой клетки третьей группы обменяю с содержимым симметричной ей относительно вертикальной оси клетки. Получится четно-нечетный магический квадрат с суммой, равной 505.

  1. Применение магических квадратов.

1)Защита информации. Сегодня очень актуальна проблема защиты информации. С помощью магического квадрата можно закодировать информацию. Например, получится : «всем удачи».

2)Судоку – Мудрость Востока. Считается, что популярная игра «судоку» берет свое начало именно из магического квадрата.

3)Магические квадраты находят своё применение и в агротехнике. Сегодня очень актуальным становится вопрос о защите информации. Например, на уроке информатики мы изучали тему кодирование. С помощью магических квадратов так же можно закодировать информацию. Криптография (тайнопись) это наука о шифровании информации.

Так же очень популярна японская головоломка судоку она помогает нам развивать логическое мышление и вычислительные навыки. В настоящее время много газет печатают эти головоломки вместе с кроссвордами и другими логическими задачами. Не меньшую популярность завоевали судоку и в сети Интернет.

Англичане используют площадку для игры в шаффлборд, размеченную в виде магического квадрата.

Ну, и, конечно же, в нумерологии. Еще великий ученый Пифагор, считал, что всем на свете управляют числа. Поэтому сущность человека заключается тоже в числе — дате его рождения. Он создал метод построения квадрата, по которому можно познать характер человека, состояние его здоровья и его потенциальные возможности, раскрыть достоинства и недостатки и тем самым выявить, что следует предпринять для его совершенствования.

Магические квадраты находят своё применение и в агротехнике.

9. Вывод по теме.

  • Магический квадрат – древнекитайского происхождения.

  • Универсального способа заполнения магических квадратов нет.

  • Способ заполнения магического квадрата зависит от его порядка

  • МГ является популярной головоломкой, часто встречается в олимпиадных заданиях.

  • С помощью МГ можно кодировать информацию.

  • Существует много видом МГ.

  • Для каждого МГ определенного порядка существуют различные способы заполнения.

Приложение

МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ ПИФАГОРА

Ячейка 1 – целеустремленность, воля, упорство, эгоизм.

1- законченные эгоисты, стремятся из любого положения извлечь максимальную выгоду.

11 – характер, близкий к эгоистическому.

111 – «золотая середина». Характер спокойный, покладистый, коммуникабельный.

1111 – люди сильного характера, волевые. Мужчины с таким характером подходят на роль военных – профессионалов, а женщины держат свою семью в кулаке.

11111 – диктатор, самодур.

111111 – человек жестокий, способный совершить невозможное; нередко попадает под влияние какой – то идеи.

Ячейка 2 – биоэнергетика, эмоциональность, душевность, чувственность. Количество двоек определяет уровень биоэнергетики.

Двоек нет – открыт канал для интенсивного набора биоэнергетики. Эти люди воспитаны и благородны от природы.

2 – обычные в биоэнергетическом отношении люди. Такие люди очень чувствительны к изменениям в атмосфере.

22 – относительно большой запас биоэнергетики. Из таких людей получаются хорошие врачи, медсестры, санитары. В семье таких людей редко у кого бывают нервные стрессы.

222 – знак экстрасенса.

Ячейка 3 – точность, конкретность, организованность, аккуратность, пунктуальность, чистоплотность, скупость, наклонность к постоянному «восстановлению справедливости».

Нарастание троек усиливает все эти качества. С ними человеку есть смысл искать себя в науках, особенно точных. Перевес троек порождает педантов, людей в футляре.

Ячейка 4 – здоровье. Это связано с экгрегором, то есть энергетическим пространством, наработанным предками и защищающим человека. Отсутствие четверок свидетельствует о болезненности человека.

4 – здоровье среднее, необходимо закалять организм. Из видов спорта рекомендуются плавание и бег.

44 – здоровье крепкое.

444 и более – люди с очень крепким здоровьем.

Ячейка 5 – интуиция, ясновидение, начинающееся проявляться у таких людей уже на уровне трех пятерок.

Пятерок нет – канал связи с космосом закрыт. Эти люди часто ошибаются.

5 – канал связи открыт. Эти люди могут правильно рассчитать ситуацию извлечь из нее максимальную пользу.

55 – сильно развита интуиция. Когда видят «вещие сны», могут предугадывать ход событий. Подходящие для них профессии – юрист, следователь.

555 – почти ясновидящие.

5555 – ясновидящие.

Ячейка 6 – заземленность, материальность, расчет, склонность к количественному освоению мира и недоверие к качественным скачкам и тем более к чудесам духовного порядка

Шестерок нет – этим людям необходим физический труд, хотя они его, как правило, не любят. Они наделены неординарным воображением, фантазией, художественным вкусом. Тонкие натуры, они тем не менее способны на поступок.

6 – могут заниматься творчеством или точными науками, но физический труд является обязательным условием существования.

66 – люди очень заземлены, тянутся к физическому труду, хотя как раз для них он не обязателен; желательна умственная деятельность либо занятия искусством.

666 – знак Сатаны, особый и зловещий знак. Эти люди обладают повышенным темпераментом, обаятельны, неизменно становятся в обществе центром внимания.

6666 – эти люди в своих предыдущих воплощениях набрали слишком много заземленности, они очень много трудились и не представляют свою жизнь без труда. Если в их квадрате есть девятки, им обязательно нужно заниматься умственной деятельностью, развивать интеллект, хотя бы получить высшее образование.

Ячейка 7 – количество семерок определяет меру таланта.

7 – чем больше они работают, тем больше получают впоследствии.

77 – очень одаренные, музыкальные люди, обладают тонким художественным вкусом, могут иметь склонность к изобразительному искусству.

777 – эти люди, как правило, приходят на Землю ненадолго. Они добры, безмятежны, болезненно воспринимают любую несправедливость. Они чувствительны, любят мечтать, не всегда чувствуют реальность.

7777 – знак Ангела. Люди с таким знаком умирают в младенчестве, а если и живут, то их жизни постоянно угрожает опасность.

Ячейка 8 – карма, долг, обязанность, ответственность. Количество восьмерок определяет степень чувства долга.

Восьмерок нет – у этих людей почти полностью отсутствует чувство долга.

8 – натуры ответственные, добросовестные, точные.

88 – у этих людей развитое чувство долга, их всегда отличает желание помочь другим, особенно слабым, больным, одиноким.

888 – знак великого долга, знак служения народу. Правитель с тремя восьмерками добивается выдающихся результатов.

8888 – эти люди обладают парапсихологическими способностями и исключительной восприимчивостью к точным наукам. Им открыты сверхъестественные пути.

Ячейка 9 – ум, мудрость. Отсутствие девяток — свидетельство того, что умственные способности крайне ограничены.

9 – эти люди должны всю жизнь упорно трудиться, чтобы восполнить недостаток ума.

99 – эти люди умны от рождения. Учатся всегда неохотно, потому что знания даются им легко. Они наделены чувством юмора с ироничным оттенком, независимые.

999 – очень умны. К учению вообще не прикладывают никаких усилий. Прекрасные собеседники.

9999 – этим людям открывается истина. Если у них к тому же развита интуиция, то они гарантированы от провала в любом из своих начинаний. При всем этом они, как правило, довольно приятны, так как острый ум делает их грубыми, немилосердными и жестокими.

Я провел исследование, и выяснял насколько утверждение Пифагора верно. Для этого я составил магические квадраты на моих одноклассников. Всего 21 человек. Затем мы подсчитали, на сколько процентов качества, показанные в магическом квадрате, совпадают с представлениями каждого из них о себе. Результаты исследования представлены в таблице и диаграмме (рисунок 28-29-приложения).

Итак, составив магический квадрат Пифагора и зная значение всех комбинаций цифр, входящих в его ячейки, вы сможете в достаточной мере оценить те качества вашей натуры, которыми наделила матушка – природа.На основании полученных результатов можно сделать вывод, что не следует слепо верить всему магическому. Может быть некоторые черты характера и заложены в дате рождения человека, но человек всегда может найти способы что-то изменить в своей судьбе.

Приложение

Рис. 1 рис. 2 рис. 3

Рис.4 Рис. 5

Рис.6 Рис.7

Рис.8 Рис.9

Рис.11

Используемая литература и интернет ресурсы:

Климченко Д.В. Задачи для любознательных: Кн. для учащихся 5-6 кл.-М.: Просвещение, 1999. 

Сарвина Н.М. Неожиданная математика // Математика для школьников 2005, №4

Судоку №5 · 11.05.2016

Судоку №19 · 2.09.2016

Файнштейн В. А. Заполним магический квадрат // Математика в школе, 2000, №3

www.gamesday.ru/2668-sudoku-yaponskie-golovolomki.html

http://rk6.bmstu.ru/electronic_book/posapr/zadanpo/kvadrat.htm 

http://www.krugosvet.ru/articles/15/1001543/print.htm

 

http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_colier/6333/МАГИЧЕСКИЙ

https://ru.wikipedia.org/wiki/Магический_квадрат

http://www.informio.ru/publications/id192/Informacionnyi-proekt-po-matematike-Magicheskie-kvadraty

infourok.ru

Как решить магический квадрат (3 класс)? Пособия для школьников

Математических загадок существует невообразимое количество. Каждые из них уникальны по-своему, но их прелесть заключается в том, что для решения неизбежно нужно приходить к формулам. Конечно же, можно попытаться решить их, как говорится, методом тыка, но это будет очень долго и практически безуспешно.

В данной статье будет говориться об одной из таких загадок, а чтобы быть точнее — о магическом квадрате. Мы детально разберем, как решить магический квадрат. 3 класс общеобразовательной программы, конечно, это проходит, но возможно не каждый понял или вовсе не помнит.

Что это за загадка?

Магический квадрат, или, как его еще называют, волшебный, — это таблица, в которой число столбцов и строк одинаково, и все они заполнены разными цифрами. Главная задача, чтобы эти цифры в сумме по вертикали, горизонтали и диагонали давали одинаковое значение.

Помимо магического квадрата, есть еще и полумагический. Он подразумевает то, что сумма чисел одинакова лишь по вертикали и горизонтали. Магический квадрат «нормальный» только в том случае, если для заполнения использовались натуральные числа от единицы.

Еще есть такое понятие, как симметричный магический квадрат — это когда значение суммы двух цифр равно, в то время, когда они располагаются симметрично по отношению к центру.

Важно также знать, что квадраты могут быть любой величины помимо 2 на 2. Квадрат 1 на 1 также считается магическим, так как все условия выполняются, хотя и состоит он из одного-единственного числа.

Итак, с определением мы ознакомились, теперь поговорим про то, как решить магический квадрат. 3 класс школьной программы вряд ли все так детально разъяснит, как эта статья.

Какие есть решения

Те люди, которые знают, как решить магический квадрат (3 класс точно знает), сразу же скажут, что решения только три, и каждое из них подходит для разных квадратов, но все же нельзя обойти стороной и четвертое решение, а именно «наугад». Ведь в какой-то мере есть вероятность того, что незнающий человек все же сможет решить данную задачку. Но данный способ мы отбросим в длинный ящик и перейдем непосредственно к формулам и методикам.

Первый способ. Когда квадрат нечетный

Данный способ подходит только для решения такого квадрата, у которого количество ячеек нечетное, например, 3 на 3 или 5 на 5.

Итак, в любом случае изначально необходимо найти магическую константу. Это число, которое получится при сумме цифр по диагонали, вертикали и горизонтали. Вычисляется она с помощью формулы:

В данном примере мы рассмотрим квадрат три на три, поэтому формула будет выглядеть так (n — число столбцов):

Итак, перед нами квадрат. Первое, что надо сделать — это вписать цифру один в центре первой строки сверху. Все последующие цифры необходимо располагать на одну клетку правей по диагонали.

Но тут сразу встает вопрос, как решить магический квадрат? 3 класс вряд ли использовал данный метод, да и у большинства появится проблема, как это сделать таким способом, если данной клетки нет? Чтобы сделать все правильно, необходимо включить воображение и дорисовать аналогичный магический квадрат сверху и получится так, что число 2 будет находиться в нем в нижней правой клетке. Значит, и в наш квадрат мы вписываем двойку в то же место. Это означает, что нам необходимо вписать цифры так, чтобы в сумме они давали значение 15.

Последующие цифры вписываются точно так же. То есть 3 будет находиться в центре первого столбца. А вот 4 по такому принципу вписать не удастся, так как на ее месте уже стоит единица. В таком случае цифру 4 располагаем под 3, и продолжаем. Пятерка — в центре квадрата, 6 — в правом верхнем углу, 7 — под 6, 8 — в верхний левый и 9 — по центру нижней строки.

Вы теперь знаете, как решить магический квадрат. 3 класс Демидова проходил, но у этого автора были чуть попроще задания, однако, зная данный способ, удастся разгадать любую подобную задачу. Но это, если число столбцов нечетное. А что же делать, если у нас, например, квадрат 4 на 4? Об этом дальше по тексту.

Второй способ. Для квадрата двойной четности

Квадратом двойной четности называют тот, у которого количество столбцов можно разделить и на 2, и на 4. Сейчас мы рассмотри квадрат 4 на 4.

Итак, как решить магический квадрат (3 класс, Демидова, Козлова, Тонких — задание в учебнике математики), когда количество его столбцов равно 4? А очень просто. Проще, чем в примере до этого.

В первую очередь находим магическую константу по той же формуле, что приводилась в прошлый раз. В данном примере число равно 34. Теперь надо выстроить цифры так, чтобы сумма по вертикали, горизонтали и диагонали была одинаковой.

В первую очередь надо закрасить некоторые ячейки, сделать это вы можете карандашом или же в воображении. Закрашиваем все углы, то есть верхнюю левую клеточку и верхнюю правую, нижнюю левую и нижнюю правую. Если квадрат был бы 8 на 8, то закрашивать надо не одну клеточку в углу, а четыре, размером 2 на 2.

Теперь необходимо закрасить центр этого квадрата, так, чтобы его углы касались углов уже закрашенных клеточек. В данном примере у нас получится квадрат по центру 2 на 2.

Приступаем к заполнению. Заполнять будем слева направо, в том порядке, в котором расположены ячейки, только вписывать значение будем в закрашенные клетки. Получается, что в верхний левый угол вписываем 1, в правый — 4. Потом центральный заполняем 6, 7 и дальше 10, 11. Нижний левый 13 и правый — 16. Думаем, порядок заполнения понятен.

Остальные ячейки заполняем точно так же, только в порядке убывания. То есть так как последняя вписанная цифра была 16, то вверху квадрата пишем 15. Далее 14. Потом 12, 9 и так далее, как показано на картинке.

Теперь вы знаете второй способ, как решить магический квадрат. 3 класс согласится, что квадрат двойной четности намного легче решается, чем другие. Ну а мы переходим к последнему способу.

Третий способ. Для квадрата одинарной четности

Квадратом одинарной четности называется, тот квадрат, число столбцов которого можно разделить на два, но нельзя на четыре. В данном случае это квадрат 6 на 6.

Итак, вычисляем магическую константу. Она равна 111.

Теперь нужно наш квадрат визуально поделить на четыре разных квадрата 3 на 3. Получится четыре маленьких квадрата размером 3 на 3 в одном большом 6 на 6. Верхний левый назовем А, нижний правый — В, верхний правый — С и нижний левый — D.

Теперь необходимо каждый маленький квадрат решить, используя самый первый способ, что приведен в этой статье. Получится так, что в квадрате А будут числа от 1 до 9, в В — от 10 до 18, в С — от 19 до 27 и D — от 28 до 36.

Как только вы решили все четыре квадрата, работа начнется над А и D. Необходимо в квадрате А визуально или при помощи карандаша выделить три ячейки, а именно: верхнюю левую, центральную и нижнюю левую. Получится так, что выделенные цифры — это 8, 5 и 4. Точно так же надо выделить и квадрат D (35, 33, 31). Все, что остается сделать, это поменять местами выделенные цифры из квадрата D в А.

Теперь вы знаете последний способ, как можно решить магический квадрат. 3 класс квадрат одинарной четности не любит больше всего. И это неудивительно, из всех представленных он самый сложный.

Вывод

Прочтя данную статью, вы узнали, как решить магический квадрат. 3 класс (Моро — автор учебника) предлагает подобные задачи только с несколькими заполненными ячейками. Рассматривать его примеры нет смысла, так как зная все три способа, вы с легкостью решите и все предлагаемые задачи.

autogear.ru

Магический квадрат. Интересное из математики

Одной из самых загадочных и популярных математических «головоломок» является знаменитый магический (волшебный) квадрат, который представляет собой табличку с равным количеством столбцов и строк, особенность которой заключается в том, что суммы чисел каждой строки, каждого столбца и каждой диагонали равны — это число называется «магической константой». Классические магические квадраты могут быть нормальными (используются целые числа от 1 и до n2), построенными для всех порядков, кроме второго, а также ассоциативными (сумма двух чисел, расположенных с соблюдением симметрии относительно центра квадрата равна n2 + 1). В том случае, если в «магии» задействованы только числа строк и столбцов, квадрат становится полумагическим.

Помимо классических, существуют нетрадиционные магические квадраты, самым известным из которых считается дьявольский (пандиагональный) магический квадрат. Особенность этого квадрата заключается в том, что к числам основных диагоналей добавляются еще и ломаные, т.е. те диагонали, которые, достигнув края, продолжаются параллельно первому отрезку от противолежащего края квадрата.

Если верить древнекитайской легенде, то первый магический квадрат Ло Шу, содержащий три строки и три столбца, числа которых в сумме составляли 15, был начертан на панцире священной черепахи, обитающей в водах Желтой реки. В Индии известен свой древнейший (XI века) магический квадрат, считающийся «дьявольским», сумма магических чисел которого равна 34. В Европе магический квадрат появился лишь в Средние века благодаря византийскому писателю Мосхопулосу, однако вся слава европейских волшебных квадратов досталась А. Дюреру, который первым придумал и изобразил его в своей гравюре «Меланхолия». Квадрат Дюрера в сумме 34 дает не только по вертикали, горизонтали и по диагонали: Дюрер пошел намного дальше — малые квадраты, составленные из четырех клеточек, расположенных по углам большого, квадрат из четырех клеточек в центре, сумма чисел в угловых клетках, квадраты, имитирующие «ход коня» и пр. — все дает в сумме 34. XYI век добавил в копилку «магии» и астрологии квадраты от 3 до 9 порядков, автором которых стал астролог Корнелий Генрих Агриппа. Благодаря ему магический квадрат с тех пор и поныне является символом магов и чародеев. Последние магические квадраты были построены в начале XX века Генри Дьюдени, Аланом Джонсоном (ими были созданы нетрадиционные магические квадраты, в которых используются не только натуральные числа) и Дж.Манси, который, за небольшим исключением, использовал последовательные простые числа.

Легко ли построить магический квадрат? Ученые считают, что, возможно, существует общий метод, зная который, достаточно просто создать любой магический квадрат, однако, к сожалению, он неизвестен, но, тем не менее, широко распространены частые схемы, авторами которых стали известные математики (Ф.де ла Ир, Л.Эйлер), один из которых — французский геометр А.де ла Лубера — предлагает строить магические квадраты пятого порядка (5×5) следующим образом. После того, как центр верхней строки заняло число 1, все натуральные числа помещаются по порядку снизу вверх в клетки диагоналей справа налево. Достигнув верха квадрата (клетки, соседствующей с единицей), необходимо заняться заполнением диагонали, которая берет начало от нижней клеточки следующего столбца. Оказавшись в пятой клетке второго ряда снизу, заполняется числами диагональ, следующая от первой клетки средней строки. После того, как будет заполнена последняя клетка верхней строки, необходимо спуститься на нижнюю строку и подобным образом продолжить построение магического квадрата.

Поделиться ссылкой

sitekid.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.