Решение задач по теме «Кинематика». Видеоурок. Физика 10 Класс

Первая задача, которую мы рассмотрим, будет посвящена равномерному движению вдоль одной оси. Эта задача будет связана с относительностью движения тел.

Условие:

Из точки  в точку  и обратно движется вертолет. В первый раз из точки  в точку  и обратно он летит в безветренную погоду. А второй раз он летит уже при ветре, направление которого совпадает с направлением первоначального движения, то есть из точки  в точку . В каком случае – в первом, когда безветренная погода, или во втором случае, когда есть ветер – вертолет затратит больше времени на преодоление этого расстояния?

Решение:

Обозначим скорость вертолета как , а скорость ветра – . А расстояние из точки  до точки  обозначим буквой . В результате нам надо исследовать, во сколько раз время  будет больше, чем время . То есть найти отношение .

Чтобы найти время , то есть время, за которое вертолет летит из точки  в точку  и обратно в безветренную погоду, мы запишем следующее выражение:

 – это время полета из точки  в точку , а  – время полета из точки  в точку , когда вертолет летит обратно.

Учитывая, что движение равномерное, можно записать:

Рассмотрим теперь второй случай. Запишем выражение для времени полета  из точки  в точку  и обратно при наличии ветра:

 – это время полета из точки  в точку  при условии, что ветер дует по направлению движения вертолета.  – это время полета при условии, что ветер дует против направления движения вертолета.

Обратите внимание, что время  определяется как , поскольку скорости направлены в одну сторону. А  определяете как . То есть ветер тормозит движение вертолета, замедляет его движение, поэтому в данном случае мы берем разность скоростей (рис. 1).

Рис. 1. Направление скоростей вертолета и ветра

Обратите внимание на то, что если бы скорость ветра была больше скорости вертолета, то время получилось бы отрицательным, а это значит, что вертолет обратно бы никогда не прилетел.

Сложим полученные выражения:

Найдем отношение  к :

Видно, что числитель больше, чем знаменатель, значит, отношение будет больше единицы . Следовательно, можно говорить о том, что время полета в первом случае меньше времени полета во втором случае. Так что при наличии ветра вертолет будет в любом случае двигаться медленнее и затратит большее количество времени.

Также эту задачу можно было решить другим способом, с помощью вычисления средней скорости.

Ответ: .

Вторая задача связана с равнопеременным движением вдоль прямой. То есть движение будет с постоянным ускорением.

Условие:

Материальная точка движется вдоль прямой согласно уравнению . Определите пройденный путь  этой точкой за  секунды.

Решение:

Сравним уравнение Галилея  с уравнением движения данной материальной точки.

Рассматривая эти два уравнения, можно сделать вывод, что . Точка начинает свое движение из начала координат. Начальная скорость – это величина, которая стоит перед буквой . В нашем случае начальная скорость будет равна . Обратите внимание, что эта скорость положительна и, следовательно, тело начинает движение вдоль оси  в том же самом направлении, что и сама ось .

Рассматривая ускорение, мы можем записать следующее: . Это означает, что ускорение равно . В данном случае знак минус говорит о том, что ускорение направлено против оси . Движение является замедленным (рис. 2).

Рис. 2. Направление скорости и ускорения материальной точки

Также мы можем записать уравнение скорости .

Для определения пройденного пути необходимо исследовать траекторию движения.

Итак, для того чтобы исследовать траекторию движения тела, нужно определить, в какой же точке произойдет остановка тела, то есть скорость тела будет равна нулю. Для этого в уравнение скорости подставим конечную скорость, равную нулю, и получим время .

То есть это означает, что тело через 2,5 секунды остановится. Определим координату точки, в которой тело остановится:

То есть, пройдя расстояние 1,25 метра, тело остановилось.

Следующий шаг, который мы должны сделать для исследования траектории, это определить конечную координату, то есть координату тела по истечении 4 секунд движения.

То есть координата точки в конце движения составит .

Обратите внимание на то, что если бы мы сразу определили конечную координату, то, следуя формуле, мы должны были бы сказать, что тело прошло 0,8 метра, хотя это совсем не так. Ведь  – это проекция перемещения. Она совпадает с пройденным путем только в том случае, если направление скорости не изменяется, а в нашей задаче направление скорости через 2,5 секунды меняется на противоположное.

Итак, траектория движения тела является ломаной линией. Тело первые  секунды двигалось в одну сторону, затем оно остановилось и при сохранении ускорения начало движение в противоположную сторону (рис. 3).

Рис. 3. Пройденный путь материальной точки

Пройденный путь определяется:

Ответ: .

Третья задача посвящена равномерному движению по окружности, то есть движению по окружности с постоянной скоростью.

Условие:

Имеется вращающийся с постоянной скоростью диск некоторого радиуса. При этом крайние точки этого диска обладают линейной скоростью . А точки, которые располагаются на  ближе к центру вращения, обладают скоростью . Необходимо определить центростремительное ускорение крайних точек этого диска (рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к задаче № 3

Решение:

Угловая скорость всех точек на этом вращающемся теле будет одинакова, поэтому для крайних точек мы записываем уравнение:

Аналогично для точек, которые смещены к центру, можно записать:

Разница радиусов равна:

Отсюда можно выразить :

Исходя из того, что угловая скорость одинакова для всех точек, можно записать:

Решая это уравнение, мы можем найти радиус траектории крайних точек:

А для определения центростремительного ускорения достаточно использовать формулу:

Ответ:.

Ускорение получилось достаточно большим. Вообще при движении тел по окружности центростремительное ускорение бывает очень большим. Например, колесо автомобиля на средней скорости имеет центростремительное ускорение более .

 

Список литературы

1. Соколович Ю.А., Богданова Г.С. Физика: справочник с примерами решения задач. – 2-е издание, передел. – X.: Веста: издательство «Ранок», 2005. – 464 с.
2. Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н. Физика 10 кл.: базовый уровень. – М.: Просвещение, 2014. – 416 с.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «physics.ru» (Источник)
2. Интернет-портал «fizmat.by» (Источник)
3. Интернет-портал «educon.by» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Определить среднюю скорость автомобиля на всем пути, если первую половину времени автомобиль двигался со скоростью , а вторую – со скоростью .
2. Радиус колеса 30 см. Определите линейную скорость точек обода колеса, если оно вращается с частотой 2 Гц.
3. Уравнение движения материальной точки вдоль прямой имеет вид: . Охарактеризуйте это движение. Через какое время материальная точка остановится?

interneturok.ru

Движение с постоянным ускорением и решение задач. Кинематика — 10 класс

Движение с постоянным ускорением и решение задач. Кинематика — 10 класс

Кинематика — это просто!

В общем случае движение может быть криволинейным и неравномерным.
Тогда вектор скорости будет меняться и по направлению, и по величине, а это значит, что тело движется с ускорением.
Ускорение показывает быстроту изменения скорости.

Ускорение — это векторная величина, которая характеризуется модулем и направлением.

Единица измерения ускорения в системе СИ:

Частным случаем такого движения является прямолинейное движение с постоянным ускорением.
Постоянное ускорение — это когда ускорение не меняется ни по модулю, ни по направлению.

Прямолинейное движение с постоянным ускорением подразделяется на:
1. равноускоренное, когда при движении модуль скорости тела увеличивается (тело разгоняется).

Здесь векторы скорости и ускорения совпадают по направлению.

2. равнозамедленное, когда при движении модуль скорости тела уменьшается (тело тормозит).
Здесь векторы скорости и ускорения направлены противоположно друг другу.

Формула ускорения:
1. в векторном виде

2. расчетная формула в координатной форме (для решения задач)

Отсюда «вытекает» уравнение скорости, которое выражает мгновенную скорость тела в любой момент времени:
1. в векторном виде

2. расчетная формула в координатной форме

Графики ускорения

Перемещение

1. формула перемещения в векторном виде

2. Расчетная формула в координатной форме

Графики перемещения

Уравнение движения (или иначе уравнение координаты)

1. в векторном виде

2. расчетная формула в координатной форме

Примеры решения задач на движение с постоянным ускорением

Задача 1

Тело движется согласно уравнению х=2-4t-2t².
Дать описание движения тела.
Составить уравнение скорости движущегося тела.
Определить скорость тела и координату через 10 секунд после начала движения.

Решение

Сравниваем заданное уравнение движения х=2-4t-2t² с формулой:

тогда

По полученным данным даем описание движения тела:

— тело движется из точки с координатами 2 метра относительно начала координат с начальной скоростью 4 м/с противоположно направлению координатной оси ОХ с постоянным ускорением 4 м/с², разгоняется, т.к. направление вектора скорости и вектора ускорения совпадают.

Составляем уравнение скорости, глядя на расчетную формулу для скорости:

Расчитываем скорость и координату тела через 10 секунд после начала движения:

Задача 2

Уравнение движения тела x=-3+t+t²
Дать описание движения тела.
Определить скорость и координату тела через 2 секунды после начала движения.

Решение

Рассуждаем аналогично вышерассмотренной задаче:

Тело движется из точки с координатами -3 метра относительно начала координат с начальной скоростью 1 м/с в направлении координатной оси ОХ с постоянным ускорением 2м/с², разгоняется, т.к. проекции вектора скорости и ускорения имеют одинаковые знаки, значит оба векторв направлены одинаково.

Кинематика — Класс!ная физика

Прямолинейное равномерное движение и решение задач — Закон сложения скоростей и решение задач — Движение с постоянным ускорением и решение задач — Свободное падение — Движение тела, брошенного под углом к горизонту — Решение задач. Тело, брошенное под углом к горизонту — Криволинейное движение

class-fizika.ru

§ 7. Примеры решения задач «Кинематика абсолютно твердого тела»

Задача 1. Какую угловую скорость имеет колесо мотоцикла диаметром 64 см, если точки колеса движутся с центростремительным ускорением 2 м/с²? С какой частотой вращается колесо?

Краткая запись условия задачи: см = м,м/с².

Найти: ,

Решение: Центростремительное ускорение рассчитывается по формуле:

Учитывая, что ,получим:

Тогда

(рад/с)

Учитывая, что , получим:

Следовательно, искомая частота

(с^-1)

Задача 2. Два шкива соединены ременной передачей, передающей вращение от одного шкива к другому. Ведущий шкив вращается с частотой , ведомый шкив — с частотой . Ведомый шкив имеет диаметр мм. Какой диаметримеет ведущий шкив?

Краткая запись условия задачи: , ,мм.

Найти:

Решение: Ведущий шкив вращается с угловой скоростью

,

а ведомый — со скоростью

.

Тогда линейные скорости точек на ободе ведущего и ведомого шкива:

Учитывая, что шкивы соединяются посредством ременной передачи,

Следовательно

Таким образом, искомый диаметр

(мм)

§ 8. Алгоритм решения задач по «Закону сложения скоростей»

Задача. Теплоход движется относительно берега со скоростью 10 м/с. По палубе идёт пассажир со скоростью 1,25 м/с. Какова скорость пассажира относительно берега?

Прежде чем кратко записать условие задачи, давайте попробуем разобраться, что является неподвижной, подвижной системой отсчета и телом, которое движется относительно двух систем отсчета. Давайте попробуем поступить так:

подвижная система отсчета – теплоход,

неподвижная система отсчета – берег,

тело – пассажир.

Тогда:

— скорость пассажира относительно берега;

— скорость пассажира относительно теплохода;

— скорость теплохода относительно берега.

Краткая запись условия задачи:1,25 м/с, 10 м/с.

Найти:

Решение. Вы думаете, что ответ . Не спешите с этим ответом: ведь закон сложения скоростей векторный, значит, вектора складываются только геометрически! А в условие задачи еще не сказано, в какую сторону движется пассажир.

1. Пусть пассажир идет от кормы к носу теплохода (рис. 11).

Запишем закон сложения скоростей в векторном виде:

В скалярном виде

(8.1)

Найдем проекции скоростей на ось OX:

; ;

Подставляя в уравнение (8.1), получим:

Следовательно, скорость пассажира относительно берега равна:

= 1,25 + 10 = 11,25 (м/с)

2. Пусть пассажир идет от носа к корме теплохода (рис. 12).

Найдем проекции скоростей на ось OX:

; ;

Подставляя в уравнение (8.1), получим:

или

Следовательно, скорость пассажира относительно берега равна:

=10 – 1,25 = 8,75 (м/с)

3. Пусть пассажир идет перпендикулярно бортам теплохода (рис. 13, вид сверху). Тогда из уравнения (8.1) следует

Отсюда , но проекция скорости,проекция скорости ,поэтому скорость

= = 10,1 (м/с)

Примечание. Поскольку условие задачи не даёт направление скоростей и, то и решений у этой задачи бесконечно много (мы рассмотрели только три случая из всех возможных).

Итак, алгоритм решения задач по «закону сложения перемещений и скоростей» можно сформу­лировать следующим образом:

studfiles.net

Методы решения кинематических задач

Наиболее распространенным в кинематике является координатный метод решения задач, который уже применялся выше. Суть его отражается в пунктах следующего предписания.

• Выберите систему: тело отсчета, начало отсчета времени. Свяжите с телом отсчета систему координат.
• Изобразите в выбранной системе отсчета все кинематические характеристики движения каждого из рассматриваемых тел в начальный, конечный, промежуточные моменты времени – координаты, перемещения, скорости, ускорения.
• Запишите для каждого из рассматриваемых тел уравнения движения в координатной форме
• Запишите для каждого из рассматриваемых тел уравнение скорости в проекциях на выбранные направления (υ_x = υ_0x + a_x ∙ Δt).
• При необходимости запишите дополнительные уравнения.
• Решите полученную систему уравнений относительно неизвестных величин.

Следует иметь в виду, что данное предписание содержит лишь пункты, касающиеся только кинематической части задачи. В нем отсутствуют такие обязательные для решения каждой задачи пункты, как, например, анализ условия, поиск рационального или оригинального подхода к решению, поверка ответа. Кроме того, надо отдавать себе отчет в том, что данное предписание не является алгоритмом и не дает никакой гарантии на получение результата в случае его точного исполнения. Более того, некоторые указания в конкретных случаях могут и не выполняться. Например, если отсутствует требование найти скорость тела в заданный момент времени, четвертый пункт может быть опущен. Может не изображаться на чертеже часть кинематических характеристик. Вместе с тем, следование предписанию может оказаться весьма полезным.

Пример 1Задача об автомобиле

Автомобиль, имеющий скорость 10 м/c, в некоторый момент времени начинает двигаться с отрицательным ускорением –2 м/с2. С таким ускорением продолжает двигаться в течение 6 секунд. Какой путь пройдет автомобиль за это время?

Казалось бы, задачу можно решить просто, воспользовавшись известной формулой  

Однако по приведенной формуле находится перемещение тела. Путь же, даже при прямолинейном движении тела не всегда численно совпадает с его перемещением.

Не будем торопиться и применим к решению приведенное выше предписание.

Будем решать задачу в системе отсчета, неподвижной относительно Земли. Начнем отсчитывать время с момента появления у автомобиля ускорения.

Свяжем точку отсчета с положением автомобиля в этот момент времени. Ось координат направим в сторону начальной скорости автомобиля.

Отобразим на чертеже все необходимые кинематические характеристики движения тела (координаты, перемещения, скорости и ускорения) в начальный, конечный и промежуточные моменты времени.

Начальная координата автомобиля 0, в этот момент времени у автомобиля имеется скорость направленная по оси X, и в этот же момент у автомобиля появляется ускорение направленное в противоположную выбранной оси сторону. Знак минус говорит о том, что ускорение направлено против установленного нами направления. И не более того.

Автомобиль, двигаясь с ускорением –2 м/с², уменьшает свою скорость.

Прежде, чем рассуждать дальше, произведем несложные расчеты.

Скорость автомобиля уменьшается и через одну секунду она будет равна 8 м/с, через 2 секунды – 6 м/с, через 3 секунды – 4 м/с, через 4 секунды – 2 м/с. Через 5 секунд автомобиль остановится.

Может показаться, что раз автомобиль остановился, то условие задачи сформулировано неверно.

В связи с этим, один из вариантов решения рассматриваемой задачи может быть таким: мы, воспользовавшись данным уравнением, подставляем в него значение времени 5 с, в течение которого, как нам кажется, автомобиль двигался, и рассчитываем перемещение. Это можно сделать устно. Производим подстановку значений в уже использованную ранее формулу. После несложных вычислений получаем

Но на самом деле текст задачи несколько иной. В задаче четко сказано, что автомобиль двигался не 5, а 6 секунд, и требуется найти путь, пройденный им в течение 6 секунд.

Одним из вариантов такого движения, когда автомобиль действительно мог бы двигаться еще одну секунду, является движение автомобиля в горку.

Представим себе следующую ситуацию. Автомобиль разогнался и у основания горки водитель выключил двигатель. Автомобиль въезжает на горку, его скорость действительно уменьшается, он движется с отрицательным ускорением. Через 5 с автомобиль останавливается и начинает двигаться назад, то есть скатываться с горки. Он может двигаться еще некоторое время: секунду, две, три и так далее, но он движется уже назад. При этом скорость автомобиля по величине возрастает. Вектор же ускорения направлен против оси, и поэтому даже для случая увеличения скорости, мы обязаны считать это ускорение отрицательным.

Отобразим на чертеже координату точки остановки. В этой точке ускорение у автомобиля все равно есть, оно по-прежнему направлено против оси и равно –2 м/с².

В нашем случае автомобиль через 5 с остановился, потом начал движение в обратном направлении и через секунду он оказалось ближе к началу координат.

Автомобиль совершил перемещение до остановки, потом он совершил перемещение в обратном направлении.

Пройденный автомобилем путь оказался равным сумме модулей перемещений и  

Сначала мы рассчитываем по формуле, которую уже использовали, перемещение автомобиля за 5 с (это перемещение мы уже определили – оно равно 25 м).

Затем решаем вторую задачу.

Тело имеет начальную скорость 0 и начинает двигаться с ускорением 2 м/с2. Какое перемещение оно совершит за оставшуюся секунду?

Воспользуемся тем же самым уравнением, только начальную скорость примем равной нулю. Рассчитаем перемещение    

Окончательно: L = 25 м + 1 м = 26 м.

В качестве вывода отметим, что в задачах по кинематике не следует пренебрегать общими указаниями к решению данного класса задач.

Необходимость следования предписанию по решению задач, а также влияние выбора системы отсчета на ход решения ярко проявляется при анализе следующей задачи.

Пример 2Задача о воздушном шаре.

Из гондолы воздушного шара, поднимающегося вертикально вверх с постоянной скоростью 10 м/с, выпал предмет, который упал на Землю через 5 с. На какой высоте находился шар в тот момент, когда предмет коснулся Земли?

Очень часто такую задачу решают поэтапно:

Такое решение является достаточно простым. Но основные рассуждения при его выполнении построены на знании скорости подъема шара. Стоит из условия задачи исключить данные об этой скорости, как решение данным способом уже не может быть выполнено. Следовательно, приведенные рассуждения иллюстрируют всего лишь частный подход к решению одной конкретной задачи. Этот подход не распространяется на решение других задач и поэтому служит лишь иллюстрацией того, как не следует решать кинематические задачи.

Универсальным для решения задач по кинематике является координатный метод. Проиллюстрируем его применительно к данной задаче.

Свяжем точку отсчета с поверхностью Земли. Начнем отсчет времени в тот момент, когда предмет отделился от шара. Координатную ось направим вертикально вверх.

Запишем уравнения движения шара и тела в системе отсчета, связанной с Землей:  

По условию задачи, в искомый момент времени

Отсюда: Численно:

Задача имеет и более рациональное решение.

Если связать систему отсчета с движущимся шаром и ось 0Y направить вертикально вниз, то уравнение движения тела запишется:  H = 125 м.

Такое решение редко приводится в силу того, что мы «привыкли» связывать систему отсчета с Землей, каким-то неподвижным телом.

Координатный метод позволяет решать и более сложные задачи на движение тела, брошенного под углом к горизонту. Одной из таких задач является следующая.

Пример 3Задача о движении тела, брошенного под углом к горизонту.

Снаряд выпущен из орудия со скоростью под углом к горизонту. Через какое время снаряд окажется на высоте h? Какова дальность полета снаряда? Какое время снаряд будет находиться в полете? На какую максимальную высоту он поднимется? Под каким углом к горизонту необходимо произвести выстрел, чтобы дальность полета снаряда была максимальной? Какова форма траектории снаряда?

При решении задачи учитывать сопротивление воздуха не будем. Сразу оговоримся, что в реальных условиях пренебрегать сопротивлением воздуха можно только при очень небольших скоростях, сообщаемых брошенным под углом к горизонту телам, да и то, если нас интересуют лишь приближенные ответы на поставленные выше вопросы. При больших же начальных скоростях тел сопротивление их движению настолько велико, что реальные значения искомых величин значительно отличаются от соответствующих теоретических значений, полученных без учета сопротивления воздуха. Однако, чтобы научиться решать реальные сложные задачи, надо начать с анализа более простых идеализированных ситуаций. Именно такой анализ и представлен в данной задаче.

Свяжем систему отсчета с местом броска камня. Начнем отсчитывать время в момент броска. Камень участвует в сложном движении. Он одновременно смещается горизонтально и движется в вертикальном направлении, сначала поднимается вверх, потом падает.

Горизонтальное и вертикальное движения происходят независимо друг от друга, что следует из принципа независимости движений. Данный принцип позволяет рассмотреть вместо сложного движения два простых: движение горизонтальное и движение вертикальное.

В связи с этим, ось абсцисс направим горизонтально вправо, ось ординат – вертикально вверх. Вектор начальной скорости разложим на две векторных составляющих: и спроецируем эти составляющие на выбранные направления.

Вдоль оси абсцисс тело движется равномерно со скоростью υ_0x = υ₀ ∙ cos α.

Вдоль оси ординат тело движется с ускорением a = g = –9,8 м/с². Ускорение отрицательно и на восходящем, и на нисходящем участках траектории, поскольку его вектор направлен против оси 0Y. Вертикальная составляющая начальной скорости равна υ_0y = υ₀ ∙ sin α.

Запишем уравнения движения для двух его составляющих в проекциях на выбранные направления:  

С учетом того, что       перепишем уравнения в виде:  

Из второго уравнения находим время:

Из решения следует, что на высоте h камень окажется дважды: на восходящем и нисходящем участках траектории.

Если конечная координата тела вдоль оси 0Y равна нулю, то второе уравнение перепишем:

Из этого уравнения получаем:  

Подставляя значение времени полета в уравнение движения тела вдоль горизонтальной оси, имеем:

Поскольку то

Если угол α = 45°, то sin 90° = 1. Это означает, что при броске под данным углом дальность полета камня максимальна. Она равна:

Максимальной высоты тело достигнет через время в два раза меньшее общего времени полета: Подставляя значение этого времени в уравнение для нахождения высоты подъема тела, имеем:

Кроме того, если в уравнение для высоты подъема тела подставить время, выраженное из уравнения для дальности полета в горизонтальном направлении, получим:

Сопоставление этого уравнения с уравнением позволяет утверждать, что траекторией тела, брошенного под углом к горизонту, является парабола.

Наряду с координатным методом решения кинематических задач, удобно пользоваться векторным методом. Суть этого метода заключается в следующем.

Записывается уравнение для расчета перемещения тела в виде

Вектор равен геометрической сумме двух векторов и

Одной из распространенных операций над векторами является их сложение по правилу треугольника

Решение кинематических задач векторным методом начинается с построения треугольника, сторонами которого являются вектора  

Далее мы «забываем», что имеем дело с векторами и решаем обычную геометрическую задачу.

При решении геометрической задачи часто приходится выполнять дополнительные построения. Желательно, чтобы при этом на чертеже появились прямоугольные треугольники, соотношение между сторонами которых проще, чем для косоугольных треугольников.

Применим приведенные рассуждения, например, к нахождению времени движения камня, брошенного под углом к горизонту, до заданной точки.

Камень брошен из точки O и движется по параболе. Через некоторое время t он оказывается в точке A на высоте h. Нарисуем три вектора:     Вектор перемещения соединяет начальную точку O и заданную точку A. Вектор имеет начало в точке броска O и сонаправлен с вектором начальной скорости. Вектор направлен вертикально вниз и оканчивается в заданной точке A. Все три вектора образуют треугольник OAB.

Опустив из точки A перпендикуляр на горизонтальное направление, получаем прямоугольный треугольник OAC. Катет, противолежащий углу равен

Он связан с гипотенузой соотношением:

Это уравнение можно переписать в более привычном виде: В общем виде, уравнение имеет два корня. Как уже пояснялось выше, на высоте h, камень может находиться дважды: на восходящем и на нисходящем участках траектории.

Рассмотрим, как векторный метод применяется к решению более сложной задачи.

Пример 4Задача о теннисном шаре

С высоты h на наклонную плоскость падает теннисный шарик и упруго отскакивает от нее. Угол наклона плоскости к горизонту – α. Где шарик второй раз коснется плоскости?

Выполним чертеж.

β = β^′, т. к. угол падения равен углу отражения.

α = β, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами.

Шарик, по условию задачи, касается плоскости дважды, пусть в точках A и B. При этом он совершает перемещение

Так как движение происходит в поле тяжести, то a = g и

О векторе мы знаем, что он направлен вертикально вниз и заканчивается в точке B.

О векторе мы знаем, что он направлен вдоль вектора и длина его ограничивается точкой пересечения с вектором

Достроим чертеж. Опустим из точки C на основание треугольника ABC перпендикуляр.

ACD = α, как вертикальные накрест лежащие.

CAD = π/2 – α.

CBD = π/2 – α.

Отсюда: CAD = CBD.

Это означает, что ΔACB – равнобедренный.

Таким образом,    

Это и есть ответ к данной задаче. Но так как нам неизвестна начальная скорость шарика при отскоке, но известна высота, с которой он упал, необходимо решить еще одну задачу, которая позволила бы установить связь между этими величинами. Для этого можно воспользоваться уравнением, связывающим начальную скорость тела (в данном случае она равна нулю), конечную скорость (скорость непосредственно перед ударом о плоскость), и ускорение движения тела (ускорением свободного падания): α = β.

Окончательно: S = 8 ∙ h ∙ sin α.

files.school-collection.edu.ru

Методическая разработка по физике (10 класс) на тему: Методическая разработка «Кинематика. Вопросы теории и решения задач»

Методическая разработка «Кинематика»

1. Основные понятия кинематики.

Основная задача кинематики – определение положения тела в любой момент времени (Уравнение, выражающее зависимость координаты тела от времени его движения, называется уравнением движения)

Материальной точкой называется тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь.

Линия, вдоль которой движется тело, называется траекторией.  Длина траектории называется путем.

Путь – это длина участка траектории, пройденного материальной точкой за данный промежуток времени.

Для определения положения тела в пространстве через начало отсчета проводятся три взаимно перпендикулярные координатные оси, с одинаковыми масштабами по осям.

Система отсчета – это тело отсчета, связанная с ней система координат и прибор для фиксации момента времени, в который мы рассматриваем положение тела – часы.

Тело, относительно которого рассматривается движение, называется телом отсчёта или началом отсчета. Покой и движение – понятия относительные.

Механическое движение – изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.

Перемещение – это вектор, проведенный из начального положения материальной точки в конечное.

 

Определение модуля вектора по его проекциям:

Sx = x – x0

Sy = y – y0

2. Виды механического движения.

Вид движения	Ускорение	Скорость	Перемещение	Координата	Пройденный путь
Покой	=0	=0	=0	x=const 1 1-координата тела положительная; 2- координата тела отрицательная.	=0
Прямолиней-ное равномерное движение- это движение с постоянной по модулю и направлению скоростью.	=0	=const =         1 2 1-движение по направлению оси Х 2-движение против направления оси Х. v1>v2.	1 2 1-движение по направлению оси Х 2-движение против направления оси Х.	1 2 1-движение по направлению оси Х, 2-движение против оси Х,
Прямолинейное равноус- коренное движение-движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется одинаково.	1 1-ускорение направлено по оси Х. 2-ускорение направлено против оси Х.	1 2 1-движение по направлению оси Х, 2-движение против направления оси Х.		t	если скорость увеличивается ( сонаправлены).  если Скорость уменьшается  ( противоположно направлены).

     

3. Алгоритм решения задач по кинематике.

1. При аварийном торможении автомобиль, движущийся со скоростью 72, остановился через 5. Найти тормозной путь.

Алгоритм	Применение алгоритма
1.Записать краткое условие задачи и перевести единицы измерения в единицы СИ (при решении всех задач необходимо переводить единицы измерения в одну систему).	Дано: S-? Решение: 72=
2. Выбрать ось, вдоль которой движется тело, изобразить вектора скорости, ускорения, перемещения.	Вектора скорости и ускорения направлены в противоположные стороны, т. к. Скорость тела уменьшается.
3. Записать в векторном виде формулы, необходимые для решения задачи (если в задаче идет речь о перемещении и времени, то используется формула для перемещения с учетом времени  ,если в задаче говорится о перемещении и не говорится о времени, то используется формула для перемещения без учета времени ).
4. Вычеркнуть из формул величины, значения которых равны нулю.
5. Переписать формулы в скалярном виде с учетом знаков проекций векторов  на выбранную ось.
6. Выразить из формул искомые величины и вычислить их.

2. Алгоритм решения задач, по условию которых происходит встреча тел.

     В момент начала наблюдения расстояние между двумя телами равно 6, 9 . Первое тело движется из состояния покоя с ускорением 0,2 . Второе движется вслед за ним, имея начальную скорость 2  и ускорение 0,4.Когда и где второе тело догонит первое?

Алгоритм	Применение алгоритма
1. Записать краткое условие задачи и перевести единицы измерения в одну систему.	Дано: Решение:
2.Выбрать ось, вдоль которой движутся тела, изобразить направления векторов скорости и ускорения движущихся тел.
3. Выбрать (произвольно) тело отсчета.	Тело отсчета выбираем в месте нахождения второго тела в начальный момент времени.
4. Определить начальные координаты тел. (начальные координаты определяются для того момента времени, когда оба тела находятся в движении).
5. Записать уравнения движения для каждого тела: . При записи уравнений вместо , если возможно, подставляются числовые значения. Уравнения записываются для того момента времени, когда оба тела находятся в движении.
6. Записанные уравнения движения приравнять, если необходимо, дополнить их другими формулами кинематики, выразить и вычислить искомые величины.

4. Геометрический способ определения

1. Определить  можно с помощью графика зависимости . Для этого надо вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком, осями и абсциссой времени, для которого определяется скорость. .

>

2. Определить можно аналогично с помощью графика зависимости .

3. Координата определяется после геометрического нахождения по формуле: .

4. Пройденный путь определяется с помощью графика , при этом значения берутся по модулю.

5. Средняя скорость движения тела.

     При неравномерном движении тел иногда определяют среднюю скорость движения, которая равна отношению всего пути, пройденного телом ко всему промежутку времени, затраченному на прохождение этого пути.

5.1. Пример решения задачи на нахождение средней скорости движения тела.

    Автомобиль проехал первую половину пути со скоростью 10, а вторую половину пути со скоростью 15. Найти среднюю скорость на всем пути.

Дано:

Решение:

Т. к. в задаче идет речь о пути , то определяем время , которое складывается из времени движения на первом и втором участках пути.

Ответ:

nsportal.ru

Задачи по кинематике с решениями — Задачи по кинематике с решениями

Задачи по кинематике с решениями
скачать (256.5 kb.)

Доступные файлы (1):

содержание

---

1.doc

Реклама MarketGid:

Задачи по кинематике с решениями

Задачи с решениями по кинематике по следующим темам:

1. 
   Равномерное прямолинейное движение: 13 задач
   
2. 
   Равноускоренное (равнозамедленное) движение: 2 задачи
   
3. 
   Свободное падение: 1 задача
   
4. 
   Криволинейное движение: 3 задачи
   
5. 
   Движение по окружности: 3 задачи
   

1. Равномерное прямолинейное движение

1.1.Решение задачи 1 о графике зависимости координаты от времени

На рисунке представлены графики зависимости координаты двух тел от времени. Графики каких зависимостей показаны? Какой вид имеют графики зависимости скорости и пути пройденного телом, от времени?

Решение

На рисунке показаны графики равномерного движения тел.

1) В начальный момент времени t = 0 первое тело имеет начальную координату х_о1 = 1 м, второе тело — координату х_о2 = 0.

2) Оба тела движутся в направлении оси Х, так как координата возрастает с течением времени.

3) Уравнение движения для равномерного прямолинейного движения имеет вид: x=x_о+v_хt.

Тогда для первого, второго тела соответственно:
x₁=x_о1+v_1хt   и   x₂=x_о2+v_2хt

или x₁=1+v_1хt,   x₂=v_2хt.

Определим скорости первого и второго тела:

v1x	=	x1 − 1	=	2 − 1	= 0,5 м/с.
		t		2

v2x	=	x2	=	1	= 0,5 м/с.
		t		2

Уравнения скорости имеют вид: v_1х=v_2х=0,5 м/с.
Так как S=v_хt, то уравнение пути S=0,5t.

^

Графики каких движений показаны на рисунке? Как отличаются скорости движения этих тел? В какой момент времени тела встретились? Какие пути тела прошли до встречи?

Решение

Так как изменение координаты тела происходит прямо пропорционально времени, то можно утверждать, что движение равномерное и прямолинейное. По отношению к точке отсчета (0; 0) у первого тела координата убывает, а у второго наоборот — возрастает. Первое тело движется против оси х, второе — по направлению оси координат.

а) Чтобы ответить на вопрос об отличии скоростей, определим их из уравнения координаты:

vx	=	x − xo	, тогда
		t

v1x	=	3 − 6	м/с = −0.75 м/с.
		4

v2x	=	3 − 0	м/с = 0.75 м/с.
		4

Скорости тел равны по абсолютному значению, но противоположны по направлению.

б) Зная также, что v=tg α (геометрический смысл скорости) и сравнивая углы наклонов графиков движения тел к оси t, приходим к выводу, что углы одинаковы, следовательно, скорости равны.

в) Точка пересечения двух прямых означает, что тела встретились в одно и то же время в одной и той же точке, т. е. время встречи t = 4 c, а координата x = 3 м.

г) Так как движение равномерное и прямолинейное, то S = x − x_o. Находим пути, пройденные телами до встречи:
S₁= | x₁ − x_o1 | = | (3−6) м | = 3 м,
S₂= | x₂ − x_o2 | = | (3−0) м | = 3 м.
Оба тела, двигаясь с одинаковыми скоростями, за одно и тоже время прошли равное расстояние.

^
Точка движется с постоянной скоростью v_o под углом α к оси x. В начальный момент времени t = 0 точка имела координаты (х_o; у_o). Написать уравнения движения точки и уравнение траектории.

Решение

уравнение движения имеет вид:
x = x_o + v_xt   по оси x и
y = y_o + v_yt   по оси Y.

Начальные координаты заданы x_o, y_o. Проекции скорости найдем из прямоугольного треугольника АВС:

v_x = −v_ocos α, знак минус указывает на то, что направление проекции вектора скорости не совпадает с направлением оси x;

v_y = v_osin α, проекция скорости положительна, так как направление вектора скорости, совпадает с направлением оси Y.

Тогда, подставляя проекции скоростей в соответствующие уравнения движения, имеем:
x = x_o − v_ot·cos α,
y = y_o + v_ot·sin α.

Решая совместно эти два уравнения, напишем уравнение траектории. Для этого из уравнения движения точки вдоль оси x выразим время и подставим в уравнение движения точки вдоль оси Y:

t =	xo − x	, тогда
	vo cos α

y = yo + vo sin α	xo − x	=	yo + xotg α − x tg α.
	vo cos α

^
Даны уравнения движения тела: x = v_xt   и   y = y_o + v_yt. Запишите уравнение траектории и постройте график, если v_x = 25 см/с, v_y = 1 м/с, y_o = 0,2 м.

Решение

решая совместно уравнения x = v_xt   и   y = y_o+v_yt,
получим уравнение траектории:

Если теперь мы подставим исходные данные, то уравнение траектории примет вид: y = 0.2 + 4x.

Сравним уравнение траектории с уравнением вида y = kx + b. Проводя аналогию, делаем вывод, что траектория движения тела представляет собой прямую.

Начальное положение точки при t = 0   x_o = 0.2 м, вторую точку возьмем, например, при t = 1 c у = 4.2 м.

^
Первую половину пути автомобиль проехал со средней скоростью v₁ = 60 км/ч, а вторую — со средней скоростью v₂ = 40 км/ч. Определить среднюю скорость V автомобиля на всем пути.

Решение: проанализируем условие задачи: первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 60 км/ч и затратил время, равное

Вторую половину пути автомобиль проехал со скоростью 40 км/ч и затратил время, равное

По определению, средняя скорость V при равномерном прямолинейном движении равна отношению всего пройденного пути ко всему затраченному времени.
Подставляя значения скорости в формулу средней скорости, получим:

V =	2 • 60 • 40	= 48 км/ч.
	60 + 40

Средняя скорость равна 48 км/ч.

^
Первую половину времени автомобиль двигался со средней скоростью v₁ = 40 км/ч, а вторую — со средней скоростью v₂ = 60 км/ч. Определить среднюю скорость автомобиля на всем пути.

Решение: в отличие от предыдущий задачи, автомобиль движется первую половину времени с одной скоростью 40 км/ч, а вторую половину времени — со скоростью 60 км/ч. Следовательно, автомобиль проходит за равные промежутки времени разные расстояния.

и

тогда средняя скорость

V =	S1 + S2	=	v1t/2 + v2t/2	=	v1 + v2	.
	t		t		2

Средняя скорость для этого случая оказалась равной среднему арифметическому значению скоростей.
Подставим значения скоростей и проведем вычисления:

V =	40 + 60	= 50 км/ч.
	2

Средняя скорость равна 50 км/ч.

^
Автомобиль проходит первую треть пути со скоростью v₁, а оставшуюся часть пути — со скоростью v₂ = 50 км/ч. Определить скорость на первом участке пути, если средняя скорость на всем пути V = 37,5 км/ч.

Решение: обозначим весь путь через S; время, затраченное на прохождение первого участка пути, — через t₁; время движения на втором участке пути — через t₂. Очевидно, что

t1 + t2	=	S	+	2S	.
		3v1		3v2

Отсюда

v1	=	Vv2	= 25 км/ч.
		3v2 − 2V

^
Катер прошел первую половину пути со средней скоростью в n = 2 раза большей, чем вторую. Средняя скорость на всем пути составила V_c = 4 км/ч. Каковы скорости катера на первой и второй половинах пути?

Решение: катер проходит одинаковые отрезки пути с разной скоростью, следовательно, будет разным и затраченное время. Примем скорость на втором участке пути за v, тогда на первом участке скорость 2v. Средняя скорость на всем пути:

где

t1	=	S		и	t2	=	S	.
		2·2v					2v

Подставляем в формулу средней скорости время:

Vc	=	S	=	4vv	=	4v	.
		S/(4v) + S/(2v)		3v		3

Из последней формулы выразим скорость второго участка пути:

Подставляя значение средней скорости на всем пути в последнюю формулу, имеем v = 3 км/ч, тогда скорость на первом участке пути в v = 2 раза больше, чем на втором, и равна 6 км/ч.

^
Катер, двигаясь вниз по течению, затратил время в n = 3 раза меньше, чем на обратный путь. Определить, с какими скоростями относительно берега двигался катер, если средняя скорость на всем пути составила V = 3 км/ч.

Решение: двигаясь вниз по течению, катер затратил время в n = 3 раза меньше, т. к. его скорость относительно берега равна сумме его скорости относительно воды (собственная скорость) и скорости течения v₁=v_k+v_T. Путь, проходимый катером, одинаков туда и обратно, обозначим его через S. Время, затраченное им при движении по течению вниз:

Обратно катер плывет против течения и его скорость относительно берега будет равна разности собственной скорости и скорости течения v₂=v_k−v_T. Тогда затраченное время при движении катера против течения равно:

По условию задачи время движения катера против течения в три раза больше времени движения катера по течению:

t2	=	S(vk + vT)	=	vk + vT		и	vk + vT	= 3.
t1		S(vk − vT)		vk − vT			vk − vT

Упрощая эти уравнения, находим, что v_k=2v_T   (формула 1).
Теперь найдем среднюю скорость при движении катера на всем пути:

V =	S	=	2S	=	2S	.
	t		t1 + t2		S/(vk + vT) + S/(vk − vT)

Здесь учтем (1), тогда

V =	2	=	3	VT,
	1/(3vk) + 1/vT		2

отсюда находим скорость течения: v_T = (2/3)V, а v_k = (4/3)V.
После вычислений окончательно имеем: v_T = (2/3)3 = 2 км/ч и v_k = (4/3)3 = 4 км/ч.
^
Пассажир едет в поезде, скорость которого 80 км/ч. Навстречу этому поезду движется товарный поезд длиной 1 км со скоростью 40 км/ч. Сколько времени товарный поезд будет двигаться мимо пассажира?

Решение:
1-й способ. Cистему отсчета свяжем с Землей. Наблюдатель находится в точке O с координатой x = 0. Координата хвоста товарного поезда x_T = 1 км. Уравнение движения обоих тел имеет вид: x₁ = v₁t   и   x₂ = x_T − v₂t. В момент встречи хвоста поезда с пассажиром x₁ = x₂ или v₁t = x_T − v₂t, отсюда время встречи равно

^ Свяжем систему координат с товарным поездом, тогда скорость пассажира в поезде, по отношению к неподвижной системе координат (товарный поезд), равна v_o=v₁+v₂. Так как длина поезда l=1 км, то пассажир проедет мимо него, следовательно, и будет наблюдать в течение времени

После подстановки t = 30 c.

^
Формула x=20t. Необходимо:

1. 
   определить характер движения;
   
2. 
   найти начальную координату точки;
   
3. 
   выявить модуль и определить направление скорости;
   
4. 
   найти графический и аналитический смысл x через 15 секунд;
   
5. 
   определить время (t), когда x=100 м.
   

Решение:

1. Уравнение x = x_o + vt — это равномерное прямолинейное движение.

2. Начальная координата точки x_o = 0.

3. Скорость точки — это коэффициент при t, то есть v = 20 м/с. Скорость положительна, следовательно, точка движется вдоль выбранного направления оси координат x.

4. Через ^ координата точки будет равна x = 300 м. Графически — нарисовать в осях координат x(t) по точкам прямую, которая будет проходить через точки (0 с; 0 м) и (15 с; 300 м). Через 15 с координата (по графику) будет 300 м.

5. При x = 100 м: 100 = 20t, отсюда t = 5 c.
^
Зависимость скорости от времени движущегося тела задана следующей формулой: v = 2 + 0,5t. Опишите это движение (укажите значение характеризующих его величин). Постройте график v(t).

Решение:

Зависимость скорости от времени движущегося тела задана следующей формулой: v = 2 + 0,5t. Опишите это движение (укажите значение характеризующих его величин). Постройте график v(t).

Уравнение скорости (назовем его 1) для равноускоренного движения имеет вид:

Сопоставляя уравнение, заданное по условию задачи, с уравнением (1), находим: v_o = 2 м/с, a = 0,5 м/с².

Тело движется вдоль оси координат с начальной скоростью 2 м/с равноускоренно с ускорением 0,5 м/с. Знак скорости «+» указывает на направление движения (вдоль выбранной оси координат). Так вектора скорости и ускорения совпадают, то тело разгоняется. Остановки не предвидится.

Для построения графика воспользуемся аналогией y = b + kx, что соответствует линейной функции. Для построения графика достаточно двух точек:

1) t = 0, v = 2 м/с;
2) t = 2 c, v = 3 м/с.
^
Теплоход плывет по реке из точки А в точку Б в течение 3 часов, а обратно — в течение 5 часов. Собственная скорость теплохода одинакова в обоих случаях. За какое время из точки А в точку Б доплывет плот?

Решение:

Обозначим скорость теплохода как v_т, а скорость реки как v_р.

Время движения теплохода по течению равно:

Время движения теплохода против течения:

Выражаем S из обоих уравнений и приравниваем правые части:

t1(vт + vр) = t2(vт − vр).

Получаем: v_т = 4v_р.

По сути получается, что теплоход без течения преодолеет это расстояние за 4 часа, по течению — за 3 часа и против — за 5 часов.

Скорость теплохода, плывущего против течения относительно берега равна 3-м скоростям течения.

Ответ: плот проплывет данное растояние за 15 часов.

2. Равноускоренное (равнозамедленное) движение.

^
Наблюдатель, стоящий на платформе, определил, что первый вагон электропоезда прошёл мимо него в течение ^ , а второй — в течение 5 с. После этого передний край поезда остановился на расстоянии 75 м от наблюдателя. Считая движение поезда равнозамедленным, определить его начальную скорость, ускорение и время замедленного движения.

Решение:

Составим уравнение движения для первого вагона:

L =  vot1 −	at12	,
	2

для двух вагонов сразу:

2L =  vo(t1 + t2) −	a(t1 + t2)2	.
	2

Нам понадобится еще одно уравнение, в котором будет скорость и ускорение:

Таким образом, мы имеем систему из трех уравнений, решая которую (поупражняйтесь в математике самостоятельно), выйдем на конечную формулу:

a =	8S(t2 − t1)2	= 0.25	м	.
	(2t1t2 + t22 − t12)2		с2

^
Тело, двигаясь прямолинейно с постоянным ускорением, прошло последовательно два равных участка пути, по 20 м каждый. Первый участок пройден за 1.06 с, а второй — за 2.2 с. Определить ускорение тела, скорость в начале первого и в конце второго участков пути, путь, пройденный телом от начала движения до остановки. Начертить графики зависимости пройденного пути, скорости и ускорения от времени.

Решение:

Анализ условия задачи: так как второй участок (равный первому) пройден за большее время, то тело движется равнозамедленно.

Чтобы определить ускорение тела a, его скорость в начале первого v_o и в конце второго участков пути v, запишем уравнение пути для первого участка:

S = vot1 −	at12	.
	2

Методом укрупнения запишем уравнение пути для двух участков:

2S = vo(t1 + t2) −	a(t1 + t2)2	.
	2

После решения этих уравнений относительно искомых v_o и a, получим: v_o = 22 м/с, a = −6 м/с².

Для определения скорости в конце второго участка v запишем уравнение скорости:

Здесь время t — это 1.06 + 2.2 = 3.26 c. Проведя вычисления, получим v = 2.44 м/с.

Для определения общего пути S_общ до остановки воспользуемся формулой:

Sобщ =	vкон2 − vo2	=	−vo2	=	vo2	.
	−2a		−2a		2a

Здесь конечная скорость v_кон = 0, поскольку тело в конце пути остановилось. Ускорение и начальную скорость мы определили чуть выше.

Получим S_общ = 40.33 м.

Уравнение пути: S = 22t − 3t²,

скорости: v = 22 − 6t,

ускорения: a = −6 м/с².

Ответ: v_o = 22 м/с, a = −6 м/с², S_общ = 40.33 м.

3. Свободное падение.
^
Тело, брошенное вертикально вниз с начальной скоростью 5 м/с, в последние 2 с падения прошло путь вдвое больший, чем в две предыдущие 2 с. Определить время падения и высоту, с которой тело было брошено. Построить график зависимости пройденного пути, ускорения и скорости от времени.

Решение:

Сделаем рисунок к задаче и введем следующие обозначения:

h₁ — расстояние пройденное телом в две предыдущие секунды, тогда
2h₁ — расстояние пройденное телом за последние две секунды,
t — время падения с высоты H.

Высота падения тела H равна:

H =  vot +	gt2	(1),
	2

а высота h (без четырех секунд) равна:

h =  vo(t − 4) +	g(t − 4)2	(2).
	2

Вычитая из уравнения (1) уравнение (2), получим:

3h1 = 4vo +	gt2	−	g(t − 4)2	.
	2		2

То есть:

h1 =	4	vo +	gt2	−	g(t − 4)2	(3).
	3		6		6

Составим еще одно уравнение высоты:

h + h1 = vo(t − 2) +	g(t − 2)2	(4).
	2

Вычитая из уравнения (1) уравнение высоты (4), получим в конце (формула исправлена):

h1 = vo +	gt2	−	g(t − 2)2	(5).
	4		4

Приравнивая правые части уравнений (3) и (5), имеем (после преобразований) t = 4,5 c, тогда высоту, с которой падало тело, можно рассчитать по формуле (1). Высота равна 123,75 м.

Для построения графиков составим уравнения пути H(t), g(t) и v(t):

H = 5t +5t²,   g = 10 м/с² = const,   v = 5 + 10t.

Примечание: начало отсчета выбиралось в точке бросания тела, и ось направлялась вертикально вниз (по вектору начальной скорости и ускорения), что видно из графиков.

4. Криволинейное движение:

^
Если камень, брошенный под углом 30° к горизонту, находился в полете 2 с, то с какой скоростью он упал на землю?

Решение:
Если камень был в полете ^ , то в силу симметрии 1 с он летел до максимальной точки подъема и 1 с падал вниз (сопротивлением воздуха мы пренебрегаем). В максимальной точке подъема камень имеет только горизонтальную составляющую V_x скорости V. Свободно падая с максимальной высоты подъема, за 1 с камень приобретет вертикальную скорость V_y, равную:

V_y = gt

Скорость бросания равна скорости падения тела, которая связана с вертикальной составляющей в момент падения:

V =	vy	=	gt
	sin α		sin α

Искомая скорость равна V = 20 м/с.

Ответ: камень упал на землю со скоростью 20 м/с.
^
С вершины наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол 60°, бросают тело в горизонтальном направлении. Если через 3,5 с тело ударилось о плоскость, то с какой начальной скоростью оно было брошено?

Решение:

Высоту полета тела H определим по формуле:

Дальность полета по горизонтали ^ будет равна:

S = v_ot.

Отношение высоты полета тела H к дальности полета по горизонтали S равно:

Находим v_o:

Если принять g = 10 м/с², то v_o = 10.1 м/с.

Ответ: начальная скорость тела равна 10.1 м/с.
^
С башни брошено тело в горизонтальном направлении со скоростью 15 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить радиус кривизны траектории тела через 2 с после начала движения.

Решение:

Радиус кривизны траектории — это радиус окружности ^ , по которой в этот момент движется тело.

Через две секунды тело приобретет скорость v, в которой вертикальная составляющая равна v_y= gt:

v = √(vx2 + vy2) = √(vx2 + (gt)2).

(1)

Нормальное ускорение тела a_n:

откуда радиус окружности R равен:

Нормальное ускорение a_n связано соотношением:

где

тогда:

Подставляя (3) и (1) в (2), получим:

R =	vv2	=	√(vx2 + (gt)2)	• (vx2 + (gt)2).
	gvx		gvx

После вычислений R = 104,2 м.

Ответ: радиус кривизны через 2 с составляет 104,2 м.

5. Движение по окружности

^
Колесо, вращаясь равнозамедленно, при торможении уменьшило за 1 минуту частоту вращения от 300 до 180 об/мин. Момент инерции колеса равен 2 кг•м². Найти:
1) угловое ускорение колеса;
2) тормозящий момент;
3) работу сил торможения;
4) число оборотов, сделанных колесом за эту минуту.

Решение:

При равнозамедленном вращении колеса имеем изменение угловой скорости:

Δw = w2 − w1 = 2πn2 − 2πn1 = 2π(n2 − n1).

Угловое ускорение равно отношению изменения угловой скорости ко времени

ε =	Δw	=	2π(n2 − n1)	.
	t		t

Момент торможения (тормозящий момент) будет равен:

M = Jε = J	2π(n2 − n1)	.
	t

Работа сил торможения равна изменению кинетической энергии:

−A = W2 − W1 =	Jw12	−	Jw12	=	J(2πn2)2	−	J(2πn1)2	= 2π2J(n22 − n12).
	2		2		2		2

То есть:

Наконец, число оборотов можно определить так (поскольку движение равнозамедленное):

Проведем расчеты:
ε = −0.21 рад/с²;   М = −0.42 Н•м;   A = 631 Дж;   N = 240 оборотов.
^
На краю горизонтальной платформы стоит человек массой 80 кг. Платформа представляет собой круглый однородный диск массой 160 кг, вращающийся вокруг вертикальной оси, проходящий через ее центр, с частотой 6 об/мин. Сколько оборотов в минуту будет делать платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Момент инерции рассчитывать как для материальной точки.

Решение:

Система «человек–платформа» замкнута в проекции на ось ^ , т. к. моменты сил M_m1g= 0 и M_m2g= 0 на эту ось. Следовательно, можно воспользоваться законом сохранения момента импульса. В проекции на ось Y:

где J₁ — момент инерции платформы с человеком, стоящим на ее краю, J₂ — момент инерции платформы с человеком, стоящим в центре, w₁ и w₂ — угловые скорости платформы в обоих случаях. Здесь

J2 =	m2R2	,     (2)
	2

где m₁, m₂ — массы человека и платформы соответственно, R — радиус платформы.

Подставляя (2) в (1) и учитывая, что w = 2πn, где n — частота вращения платформы, получим:

(	m2R2	+ m1R2)2πn1 =	m2R2	2πn2.
	2		2

Решаем последнее уравнение относительно неизвестной частоты вращения «платформы-человек» n₂:

После вычислений: n₂ = 0.2 (об/с) = 12 об/мин. Задача это ВУЗовская и решена здесь по просьбе посетителей в виде исключения.
^
Экваториальный радиус Земли равен 6370 км. Определить линейную и угловую скорости движения точек экватора при вращении Земли вокруг оси.

Решение:

Линейная скорость вращения ν точек земного экватора:

а угловая скорость вращения w всех точек Земли равна:

После вычислений будем иметь: ν = 463 м/с, w = 7,3×10⁻⁵ рад/с.

---

Скачать файл (256.5 kb.)

---

gendocs.ru

Материал для подготовки к ЕГЭ (ГИА) по физике (10 класс) на тему: Кинематика

Механическое движение – изменение положения тела в пространстве с течением времени относительно других тел.

Поступательное движение – движение, при котором все точки тела проходят одинаковые траектории.

Материальная точка – тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь, т.к. его размеры пренебрежимо малы по сравнению с рассматриваемыми  расстояниями.

Траектория – линия движения тела.   (Уравнение траектории – зависимость у(х))

Путь l (м) – длина траектории.               Свойства:  l  ≥ 0, не убывает!

Перемещение s(м) – вектор, соединяющий начальное  и конечное положение тела. 

       sх = х – х0  — модуль перемещения          

Свойства:  s ≤  l , s = 0 на замкнутой территории.                                                  l                                       

Скорость  υ (м/с)  – 1) средняя путевая     υ =;  средняя перемещения   = ;  ;

                                    2) мгновенная —  скорость в данной точке, может находиться только по уравнению скорости           υх = υ0х + aхt       или по графику υ(t)

Ускорение  а(м/с2)  —  изменение скорости за единицу времени.

;  =       если ↑↑    —   движение  ускоренное прямолинейное 

      ↑↑ ()                                 если   ↑↓   —    движение замедленное   прямолинейное

             если   ⊥   —    движение по окружности  

Относительность движения —  зависимость от выбора системы отсчета: траектории, перемещения, скорости, ускорения механического движения.

Принцип относительности Галилея – все законы механики одинаково справедливы во всех инерциальных системах отсчета.

Переход  от одной системы отсчета к другой осуществляется по правилу: 

                                                     =  +     и    = —                                  

Где  υ1  — скорость тела относительно неподвижной системы отсчета,

υ2 – скорость подвижной системы отсчета,

υотн (υ12) – скорость 1-го тела относительно 2-го.

Виды движения.

Прямолинейное движение.

Прямолинейное равномерное движение.	Прямолинейное равноускоренное движение.
xo                      =const          x                                        sx	xo                      x                xo                      x                      sx                                                  sx                                                                                      ускоренное                                    замедленное
x = x0 + υxt      x                      по оси х ~ t                                            x0                                t                                                    против оси	x = x0 + υ0xt +         x                                    x х ~ t2                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  t                                     t                                   ускоренное                замедленное
sx = υxt	sx=υ0xt +        или        sx =     без  t!
υx = const       υx                              по оси Ох                                                                    t                                                                                                  против оси Ох	υx= υox+ axt            υx                по оси Ох               υx                                                                                                                                   замедленное по Ох                                                                                                                                 υ = 0                                                                                                                                                         t                                           t                                 ускоренное                       ускоренное                                                                                                        против оси Ох
a = 0     vx                                                                                                                                   t	ax = const    ах                                                                     ах                                                                                                 t                                                t       ускоренное движение                  замедленное движение

Криволинейное движение.

Движение по окружности с постоянной  по модулю скоростью

Движение по параболе с ускорением         свободного падения.

=2πRν(м/с)   — линейная скорость =2πν(рад/с)   – угловая скорость         т.е υ = ω R (м/с2) — центростремительное ускорение T = – период (с),    T = ν= – частота (Гц=1/с),   ν =

x = xo + υoxt +;      y = yo + υoyt +                          υx= υox+ gxt ;            υy= υoy+ gyt      υоx = υ0 cosα          υоy = υ0 sinα         gx = 0                                gy = — g               y                                                                                                 υx                                      υy                                                            s                                                         x

Частные случаи равноускоренного движения под действием силы тяжести.

Дополнительная информация

для частных случаев решения задач.

1. Разложение вектора  на проекции.              Модуль вектора может быть найден по теореме Пифагора:   S =	2 . Средняя скорость. 1) по определению 2)    для 2х  S; если 3) , если t1 = t2 = … = tn                 υ1           υ2
3. Метод площадей.   На графике υх(t) площадь фигуры численно равна перемещению или   пройденному пути.                                 S =S1 — S2          ℓ = S1+ S2	Физический смысл производной. Для уравнений координаты х(t) и y(t) →                     υx = x΄, υy = y΄, и ах = υ΄x = x΄΄, аy = υ΄y = y΄΄,
5. Движение колеса без проскальзывания.                                                   υпост = υ вращ                         (если  нет проскальзывания)                                                                                                  Скорость точки на ободе колеса относительно земли.	6. Дальность полёта. Дальность полета максимальна при угле бросания  45˚                υ0 = const
7. Свойства перемещения для равноускоренного движения при υo=0.        S1 за t =1с   S1= = Отношение перемещений сделанных за одну секунду, при υo=0 равно: 1) S1: S2: S3: …: Sn = 1: 3: 5: 7: ….: (2n-1)  Sn = S1(2n – 1) = (2n — 1)	2) Отношение перемещений сделанных за время от начала отсчета, при υo=0 равно:  S1: S2: S3: …: Sn = 12: 22: 32: 42: ….: n2          Sn = S1n2  = n2

nsportal.ru