Степенная функция с натуральным показателем ее свойства и график 10 класс – Степенная функция, её свойства и график

Содержание

Степенная функция, её свойства и график

Напомним, что степенной функцией называется функция вида , где — заданное действительное число. Вы уже знакомы с частными случаями степенных функций, когда является натуральным или целым числом, например, с такими функциями, как , , , ….

Давайте вспомним, как выглядят графики этих функций.

Итак, если , то есть имеем функцию

Графиком этой функции будет прямая, проходящая через начало координат.

Если — чётное число (), то графиком функции является парабола.

Графиком функции , при нечётном (), является кубическая парабола.

Если , то . Графиком этой функции является гипербола.

Свойства степенной функции напрямую зависят от свойств

степени с действительным показателем и в частности от того, при каких значениях и имеет смысл .

Давайте рассмотрим некоторые свойствами функций, которыми обладают, в частности, отдельные степенные функции.

Итак, функция , определённая на множестве большое, называется ограниченной снизу на множестве , если существует число такое, что для любого выполняется неравенство .

Как же это понимать? Это означает, что все точки графика ограниченной снизу функции, где , расположены выше прямой игрек равно или на этой прямой.

Функция, определённая на множестве большое, называется ограниченной сверху на множестве большое, если существует число такое, что для любого , выполняется неравенство .

В этом случае все точки графика функции , где , лежат ниже прямой игрек равно или на этой прямой.

Например:

Функция является ограниченной снизу, так как . То есть парабола ограничена снизу прямой .

А функция ограничена сверху, так как , то есть парабола ограничена сверху прямой .

Функцию, ограниченную и сверху, и снизу на множестве икс большое, называют ограниченной на этом множестве.

Функция является ограниченной на множестве тогда и только тогда, когда существует положительное число такое, что для любого большое, выполняется неравенство .

Ещё вам нужно знать, что если существует такое значение из области определения множества функции ‚ что для любого из этой области справедливо неравенство , то говорят, что функция принимает наименьшее значение при .

Например, функция принимает при наименьшее значение, равное .

Если же существует такое значение из области определения множества функции , что для любого справедливо неравенство , то говорят, принимает наибольшее значение при ..

Например, функция принимает при наибольшее значение, равное 5.

А теперь давайте более подробно рассмотрим свойства степенной функции в зависимости от показателя степени .

Случай 1. Показатель — чётное натуральное число.

В этом случае степенная функция , где — натуральное число, обладает следующими свойствами:

— область определения — все действительные числа, то есть множество действительных чисел ;

— множество значений — неотрицательные числа, то есть ;

— функция чётная, так как ;

— функция является убывающей на промежутке и возрастающей на промежутке ;

— функция ограничена снизу, так как для любого ;

— функция принимает наименьшее значение при .

График функции имеет такой же вид, как, например, график функции , или и так далее. График этой функции называют параболой n-й степени.

Случай 2. Показатель — нечётное натуральное число.

В этом случае степенная функция, где — натуральное число, обладает следующими свойствами:

— область определения — множество действительных чисел;

— множество значений — множество действительных чисел;

— функция нечётная, так как ;

— функция является возрастающей на всей действительной оси;

— функция не является ограниченной ни сверху, ни снизу;

— функция не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значения.

График функции имеет такой же вид, как, например, график функции . График этой функции называют кубической параболой.

Случай 3. Показатель , где — натуральное число.

В этом случае степенная функция, обладает следующими свойствами:

— область определения — множество действительных чисел, кроме ;

— множество значений — положительные числа ;

— функция , чётная, так как ;

— функция является возрастающей на промежутке и убывающей на промежутке ;

— функция ограничена снизу, так как ;

— функция не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значения.

График функции имеет такой же вид, как, например, график функции .

Прямую (ось абсцисс) называют горизонтальной асимптотой (от греческого слова asymptotes, что переводится как «несовпадающий») графика функции , при . Прямую (ось ординат) называют

вертикальной асимптотой графика этой функции, так как при значениях , близких к , расстояния от точек этого графика до оси (прямой) становятся сколь угодно малыми.

Случай 4. Показатель , где — натуральное число.

В этом случае степенная функция , где, обладает следующими свойствами:

— область определения — множество действительных чисел, кроме ;

— множество значений — множество действительных чисел, кроме ;

— функция , нечётная, так как как ;

— функция является убывающей на промежутках и ;

— функция не является ограниченной;

— функция не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значения.

График функции, имеет такой же вид, как, например, график функции .

Ось абсцисс является горизонтальной асимптотой, а ось ординат — вертикальной асимптотой графика функции.

Случай 5. Показатель — положительное действительное нецелое число.

В этом случае функция обладает следующими свойствами:

— область определения — множество неотрицательных чисел ;

— множество значений — множество неотрицательных чисел ;

— функция является возрастающей на промежутке ;

— функция не является ни чётной, ни нечётной;

— функция ограничена снизу, так как ;

— функция принимает наименьшее значение при .

График функции , где — положительное нецелое число, имеет такой же вид, как, например, график функции (при ) или как, например, график функции (при ).

Случай 6. Показатель — отрицательное действительное нецелое число.

В этом случае функция обладает следующими свойствами:

— область определения — множество положительных чисел ;

— множество значений — множество положительных чисел ;

— функция является убывающей на промежутке ;

— функция не является ни чётной, ни нечётной;

— функция ограничена снизу, так как .

График функции , где — отрицательное нецелое число, имеет такой же вид, как, например, график функции .

videouroki.net

Степенная функция её свойства и график. (10 класс)

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать её на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: [email protected]

Мы в социальных сетях

Социальные сети давно стали неотъемлемой частью нашей жизни. Мы узнаем из них новости, общаемся с друзьями, участвуем в интерактивных клубах по интересам

ВКонтакте >

Что такое Myslide.ru?

Myslide.ru — это сайт презентаций, докладов, проектов в формате PowerPoint. Мы помогаем учителям, школьникам, студентам, преподавателям хранить и обмениваться своими учебными материалами с другими пользователями.

Для правообладателей >
myslide.ru
Степенная функция с натуральным показателем — урок. Алгебра, 9 класс.
Функцию вида y=xn,гдеn=1,2,3,4,5…, называют cтепенной функцией с натуральным показателем.
Функция y=x4,x≥0.
Составим таблицу значений для этой функции.
\(x\) \(0\) \(1\) 12 32
\(y\) \(0\) \(1\) 116 8116

Построим точки 0;0, 1;1, 12;116, 32;8116 на координатной плоскости.

Данные точки намечают некоторую линию, проведём её.

Добавим к данному графику линию, симметричную построенной относительно оси ординат, получим график функции y=x4,x∈−∞;+∞.

Обрати внимание!
График похож на параболу, но параболой его не называют.
Свойства функции y=x4
1. D(f)=−∞;+∞;
2. чётная функция;
3. убывает на луче −∞;0, возрастает на луче 0;+∞;
4. ограничена снизу, не ограничена сверху;
5. yнаим=0;yнаиб не существует;
6. непрерывна;
7. E(f)=0;+∞;
8. выпукла вниз.
Функция y=x3 — нечётная функция, следовательно, её график симметричен относительно начала координат.
График функции y=x3 при x≥0 в принципе выглядит так же, как график функции y=x4 при x≥0, нужно лишь учесть, что новая кривая чуть менее круто идёт вверх и чуть дальше отстоит от оси \(x\) около начала координат. Добавив линию, симметричную построенной относительно начала координат, получим график функции y=x3.

Обрати внимание!
Кривую называют кубической параболой.
Отметим некоторые геометрические особенности кубической параболы y=x3.
У неё есть центр симметрии — точка \((0;0)\), которая отделяет друг от друга две симметричные части кривой; эти симметричные части называют ветвями кубической параболы.

Свойства функции y=x3
1. D(f)=−∞;+∞;
2. нечётная функция;
3. возрастает;
4. не ограничена ни снизу, ни сверху;
5. нет ни наименьшего, ни наибольшего значений;
6. непрерывна;
7. E(f)=−∞;+∞;
8. выпукла вверх на −∞;0, выпукла вниз на 0;+∞.
www.yaklass.ru
Презентация к уроку по алгебре (10 класс) на тему: Степенная функция, её свойства и график
Слайд 1
Тема урока: Степенная функция и ее график.
Слайд 2
Как алгебраисты вместо АА, ААА, … пишут А 2 , А 3 , … так я вместо пишу а -1 , а -2 , а -3 , … Ньютон И.
Слайд 3
у = х х у у = х 2 х у у = х 3 х у х у Прямая Парабола Кубическая парабола Гипербола Нам знакомы функции: Все эти функции являются частными случаями степенной функции
Слайд 4
где р – заданное действительное число Определение: Степенной функцией называется функция вида у = х p Свойства и график степенной функции зависят от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях х и р имеет смысл степень х р .
Слайд 5
Функция у=х 2 n четная, т.к. (– х ) 2 n = х 2 n Функция убывает на промежутке Функция возрастает на промежутке Степенная функция: Показатель р = 2n – четное натуральное число у = х 2 , у = х 4 , у = х 6 , у = х 8 , … 1 0 х у у = х 2
Слайд 6
y x — 1 0 1 2 у = х 2 у = х 6 у = х 4 Степенная функция: Показатель р = 2n – четное натуральное число у = х 2 , у = х 4 , у = х 6 , у = х 8 , …
Слайд 7
Функция у=х 2 n -1 нечетная, т.к. (– х ) 2 n -1 = – х 2 n -1 Функция возрастает на промежутке Степенная функция: Показатель р = 2n-1 – нечетное натуральное число у = х 3 , у = х 5 , у = х 7 , у = х 9 , … 1 0
Слайд 8
Степенная функция: y x — 1 0 1 2 у = х 3 у = х 7 у = х 5 Показатель р = 2n-1 – нечетное натуральное число у = х 3 , у = х 5 , у = х 7 , у = х 9 , …
Слайд 9
Функция у=х- 2 n четная, т.к. (– х ) -2 n = х -2 n Функция возрастает на промежутке Функция убывает на промежутке Степенная функция: Показатель р = -2n – где n натуральное число у = х -2 , у = х -4 , у = х -6 , у = х -8 , … 0 1
Слайд 10
— 1 0 1 2 у = х -4 у = х -2 у = х -6 Степенная функция: Показатель р = -2n – где n натуральное число у = х -2 , у = х -4 , у = х -6 , у = х -8 , … y x
Слайд 11
Функция убывает на промежутке Функция у=х -(2 n -1) нечетная, т.к. (– х ) –(2 n -1) = – х –(2 n -1) Функция убывает на промежутке Степенная функция: Показатель р = -(2n-1) – где n натуральное число у = х -3 , у = х -5 , у = х -7 , у = х -9 , … 1 0
Слайд 12
у = х -1 у = х -3 у = х -5 Степенная функция: Показатель р = -(2n-1) – где n натуральное число у = х -3 , у = х -5 , у = х -7 , у = х -9 , … y x — 1 0 1 2
Слайд 13
Степенная функция: Показатель р – положительное действительное нецелое число у = х 1,3 , у = х 0,7 , у = х 2,2 , у = х 1/3 ,… 0 1 х у Функция возрастает на промежутке
Слайд 14
у = х 0,7 Степенная функция: Показатель р – положительное действительное нецелое число у = х 1,3 , у = х 0,7 , у = х 2,2 , у = х 1/3 ,… y x — 1 0 1 2 у = х 0,5 у = х 0,84
Слайд 15
Степенная функция: Показатель р – положительное действительное нецелое число у = х 1,3 , у = х 0,7 , у = х 2,2 , у = х 1/3 ,… y x — 1 0 1 2 у = х 1,5 у = х 3,1 у = х 2,5
Слайд 16
Степенная функция: Показатель р – отрицательное действительное нецелое число у= х -1,3 , у= х -0,7 , у= х -2,2 , у = х -1/3 ,… 0 1 х у Функция убывает на промежутке
Слайд 17
у = х -0,3 у = х -2,3 у = х -3,8 Степенная функция: Показатель р – отрицательное действительное нецелое число у= х -1,3 , у= х -0,7 , у= х -2,2 , у = х -1/3 ,… y x — 1 0 1 2 у = х -1,3
nsportal.ru
Степенная функция с нечетным показателем степени y=x2n+1, ее свойства и график
Тема: Числовые функции
Урок: Степенная функция с нечетным показателем степени её свойства и график
Мы рассмотрим свойства и график степенной функции с нечетным показателем степени т.е. функции вида
Рассмотрим функцию (рис. 1).
График проходит через три фиксированные характерные точки:
Прочтем график и сформулируем свойства функции.
2. Функция нечетная, График симметричен относительно начала координат.
3. Функция возрастает.
4. Не ограничена ни сверху, ни снизу.
5 .Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.
6. Функция непрерывна. Это значит, что кривую можно изобразить, не отрывая карандаша от бумаги.
7.
8. Выпукла вверх при выпукла вниз при .
Рассмотрим свойства иных степенных функций с нечетным показателем степени.
Функция
1.
2. Функция нечетная,
3. График проходит через три фиксированные точки:
4. Функция возрастает.
5. Не ограничена ни сверху, ни снизу.
6. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значения.
7. Функция непрерывна.
8.
9. Выпукла вверх при выпукла вниз при
Рассмотрим взаимное расположение кривых на примере функций (р
interneturok.ru
Степенная функция, ее свойства и график
Вы знакомы с функциями y=x, y=x², y=x³, y=1/xи т. д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т. е. функцииy=x^p, где p — заданное действительное число. Свойства и график степенной функции существенно зависит от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значенияхx иp имеет смысл степеньx^p. Перейдем к подобному рассмотрению различных случаев в зависимости от показателя степениp.
Показатель p=2n -четное натуральное число.
В этом случае степенная функция y=x²ⁿ, гдеn— натуральное число, обладает следующими
свойствами:
область определения — все действительные числа, т. е. множество R;
множество значений — неотрицательные числа, т. е. y больше или равно 0;
функция y=x²ⁿчетная, так какx²ⁿ=(-x)²ⁿ
функция является убывающей на промежутке x<0 и возрастающей на промежутке x>0.
График функции y=x²ⁿимеет такой же вид, как например график функцииy=x⁴.
2. Показатель p=2n-1— нечетное натуральное число В этом случае степенная функцияy=x^2n-1, где натуральное число, обладает следующими свойствами:
область определения — множество R;
множество значений — множество R;
функция y=x^2n-1нечетная, так как (-x)^2n-1=x^2n-1;
функция является возрастающей на всей действительной оси.
График функции y=x2n-1имеет такой же вид, как, например, график функцииy=x3.
3.Показатель p=-2n, гдеn — натуральное число.
В этом случае степенная функция y=x^-2n=1/x²ⁿ обладает следующими свойствами:
область определения — множество R, кроме x=0;
множество значений — положительные числа y>0;
функция y=1/x²ⁿчетная, так как1/(-x)²ⁿ=1/x²ⁿ;
функция является возрастающей на промежутке x<0 и убывающей на промежутке x>0.
График функции y=1/x²ⁿимеет такой же вид, как, например, график функции y=1/x².
4.Показатель p=-(2n-1), гдеn— натуральное число. В этом случае степенная функцияy=x^-(2n-1)обладает следующими свойствами:
область определения — множество R, кроме x=0;
множество значений — множество R, кроме y=0;
функция y=x^-(2n-1)нечетная, так как (-x)^-(2n-1)=-x^-(2n-1);
функция является убывающей на промежутках x<0иx>0.
График функции y=x^-(2n-1)имеет такой же вид, как, например, график функцииy=1/x³.
Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.
Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям.
Функция arcsin
График функции .
Арксинусом числа m называется такое значение угла x, для которого
Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция является строго возрастающей.
[Править]Свойства функции arcsin
[Править]Получение функции arcsin
Дана функция На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все значения области значений — . Так как для функции на интервале каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции, то на этом отрезке существует обратная функция график которой симметричен графику функции на отрезке относительно прямой
studfiles.net
начальные сведения. Видеоурок. Алгебра 11 Класс
Напомним основное определение.
Степенью неотрицательного числа а с рациональным положительным показателем называется число .
Степенью положительного числа а с рациональным отрицательным показателем называется число .
Для выполняется равенство:
.
Например:
Определение
Функция с рациональным показателем – это функция вида , где . Основание степени х – аргумент данной функции, независимая переменная; у – сама функция, зависимая переменная. – показатель степени, фиксированное рациональное число.
Например: и т. д.
Вспомним частные случаи, например, когда показатель степени – натуральное число.
: (рис. 1)
Рис. 1. График функции
Показатель степени – четное натуральное число, : (рис. 2)
Рис. 2. График функции
Данное семейство кривых проходит через три фиксированные точки: (0;0), (1;1), (-1;1).
Основное свойство этих функций – четность, их графики симметричны относительно оси ОУ.
Показатель степени – четное натуральное число, : (рис. 3)
interneturok.ru