Простейшие тригонометрические уравнения урок 10 класс: Урок и презентация к уроку по алгебре на тему «Простейшие тригонометрические уравнения» ( 10 класс)

Содержание

Решение простейших тригонометрических уравнений. 10 класс

1. Решение простейших тригонометрических уравнений.

ДевизРешение
: « Не делай
никогда того,
простейших
чего не знаешь уравнений.
, но научись
тригонометрических
всему, что следует знать»
Пифагор
1
Арксинус
у
1
а
0
-а
arcsin а
х
-arcsin а
-1
arcsin (-a)=-arcsin a
2
Арккосинус
у
П-arccos a
1
arccos а
х
-а
0
а
0
-1
arccos (-a) = П — arccos a
3
Арктангенс
у
1
arctg a
а
х
0
-arctg a
-а
-1
arctg (-a)=-arctg a
4
Арккотангенс
у
-а
1
П-arcctg a
а
arcctg a
х
0
0
arcctg (-a)=П-arcсtg a
5
Тест
Значение обратных
тригонометрических функций
6
Уравнения
ПРОСТЕЙШИЕ
тригонометрические
7

8. Решение простейших тригонометрических уравнений

Тема урока
Решение простейших
тригонометрических уравнений
8
Решение уравнения cosx=a
cos x = a
y
1
Частые случаи:
cos x = 1
cos x = 0
cos x = -1
1
1
0x
0
1
9
Решение уравнения sinx=a
sin x = a
y
y=1
2
1
Частые случаи:
sin x = 1
sin x = 0
sin x = -1
y=0
1
1
1
x
y = -1
2
10
Решение уравнения tgx=a
y
tg x = a
a – любое число
а
2
arctg a
x
0
Частных случаев нет
18.

07.2019
2
11
Решение уравнения ctgx=a
y
arcctg x = a
a – любое число
а
arcctg a
0
Частных случаев нет
18.07.2019
12
x
Формулы для решения
простейших тригонометрических уравнений
cos x = a
sin x = a
cos x = 1
sin x = 1
cos x = 0
sin x = 0
cos x = -1
sin x = -1
tg x = a
ctg x = a
13
14

Домашнее задание
1. Теория: Учебник — п.15, 16, 17 (опорный конспект)
– прочитать, проанализировать, выучить формулы
2. Практика:
Тест «Простейшие тригонометрические уравнения» – на сайте
uztest.ru
или Задачник – п.15,16, 17 № 5- 7
3. Творческое:
Найти и рассмотреть способы решения тригонометрических
уравнений
15
Вы молодцы!
Каждый из вас
«научился тому,
что следует знать»
Спасибо за урок !
16

Конспект урока алгебры 10 класс «Простейшие тригонометрические уравнения»

Урок по теме: «Простейшие тригонометрические уравнения». Цели урока: 1.Систематизировать знания учащихся по теме. Проверить уровень усвоения знаний и умений. 2. Развитие математической речи. 3.Воспитание активности и интерес к математике. Тип урока урок изучения новых знаний. Оборудование к уроку: таблицы, презентация. Ход занятия I. Организационный момент. Цель: активизация внимания и мотивации учащихся к работе на уроке: 1. 2. 3. 4. определение отсутствующих, настрой учащихся на работу, организация внимания; сообщение темы и цели урока; проверка домашнего задания. 1. Великий физик, математик и политик А. Эйнштейн заметил: «Мне приходиться делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно». 2. Я называю ученика и адресую ему вопрос, если учащийся правильно отвечает на вопрос, то он называет следующего отвечающего, если отвечающий затрудняется ответить на вопрос, то он передает его другому ученику, назвав его имя: Вопросы для учащихся Дать определение числовой окружности? Определите координаты точки, полученной при повороте точки Р(1;0) на угол В каких единицах измеряются углы .

Предполагаемые ответы Окружность радиусом равным 1 с центром в начале координат называется единичной окружностью. Градусах и радианах Какие уравнения называют тригонометрическими? Приведите примеры простейших тригонометрических уравнений? Сколько корней может иметь тригонометрическое уравнение? Что значит решить тригонометрическое уравнение? В уравнениях оцените число а? Как решаются простейшие тригонометрические уравнения. Как решаются тригонометрические уравнения, если его невозможно решить по числовой окружности? Уравнения, в которых переменная стоит под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими. tgx=a;ctgx=a Тригонометрические уравнения имеют множество корней в силу периодичности тригонометрических функций. Найти множество корней или убедиться что корней нет. Если Если Для решения простейшего тригонометрического уравнения рисуем числовую окружность. С помощью тригонометрических преобразований приводим к простейшему или применяем формулы для нахождения корней.

Упражнения к данному пункту учащиеся уже решали ранее, но с другой постановкой задания, например: «Укажите все углы sin x=1 . Обратим внимание на то, что в учебнике не ставится цель сразу написать общую формулу решений уравнения sin x=a ( | a |≤1 ) в виде x= ( −1 ) k arcsin a+ k,π k∈ Z. Практика показывает, что раннее введение =1 », теперь же требуется решить уравнение α α , для которых справедливо равенство sin такой записи без должного понимания учащимися ее смысла, без объяснения «скрытого» в ней периода 2 π приводит к механическому использованию этой записи с характерной ошибкой: ( −1 ) k arcsin a+2 k,π k∈ Z. Учитывая, что для многих заданий вполне достаточно давать ответ в виде двух серий решений, на первых порах можно не требовать от учащихся (особенно от слабых) записи ответа в сокращенном виде. А чтобы предупредить указанную выше ошибку, надо обязательно показать учащимся, что при k=2n или k=2n+1, n∈ Z, ответ будет иметь вид arcsin a+2 n,π n∈ Z, или −arcsin a+2 n,π n∈ Z, соответственно.

Можно посоветовать учащимся не решать простейшее уравнение sin x=a по общим формулам в случаях a=0, a=1, a=−1 , мотивируя совет тем, что, например, общая формула для решений уравнения sin x=1 дает повторяющиеся решения. Если ответ записать в виде ( −1 ) k 2 ,π 5 2 ,π 5 2 ,π … соответственно. Такие же повторы корней дают общие 3, …, получим решения формулы для решений уравнений sin x=−1 , cos x=−1 . π k∈ Z, то, давая k значения 0, 1, 2, 2 ,π π π 2 + k, 3. Устные упражнения на определения вида простейших тригонометрических уравнений. Вы видеть схемы решений простейших тригонометрических уравнений. Какая из схем этой группы лишняя?Что объединяет остальные схемы? Ответ:3 схема лишняя, остальные решения уравнения cos x =a. 4. Решить уравнения на доске: Решить уравнение Ответ: Дано уравнение и получен ответ верен ли данный ответ. Правильный: Из двух предложенных ответов к уравнению выбери правильный.Ответ: а) а) ; б) , в) . Ответ : б) Если Если Ответ: в) , то , то , , , , , , , , /4 .

π x=− π ( − π π , . /4 )+ k, π m∈ Z. /4 имеет две серии решений: x n =arccos π k∈ Z. Две серии решений x n и x k можно объединить в одну: x m Ответ: № 11.6. Решите уравнение: а) sin x= 5/4 ; б) cos x=− Решение. а) Так как 5/4 >1 , a sin x≤1 для каждого x∈ R, то уравнение sin x= 5/4 не имеет решений. π π б) Так как −1≤− /4 ≤1 , то уравнение cos /4 )+ n, n∈ Z; x k =arccos ( − π =±arccos ( − /4 )+ m, Заметим, что серии решений x n и x k можно выразить, употребляя одну букву, что часто делается для краткости ответов в учебнике. Использовать же формулу arccos ( −a )= −arccos нецелесообразно. Это только усложнит запись ответа. № 11.7. При каких значениях а имеет хотя бы одно решение уравнение: а) sin x=a ; б) cos x=a ; в) tg x=a ; г) ctg x=a ? Решение. а) Уравнение sin x=a имеет хотя бы одно решение при каждом a∈[ −1; 1 ] . б) Уравнение cos x=a имеет хотя бы одно решение при каждом a∈[ −1; 1 ] . в) Уравнение tg x=a имеет хотя бы одно решение при каждом a∈ R.

г) Уравнение ctg x=a имеет хотя бы одно решение при каждом a∈ R. a на первых порах π Дифференцированная самостоятельная работа предлагается в нескольких вариантах. Учащиеся 5. самостоятельно выбирает посильный вариант работы. Варианты 1;2;3 предлагаются в привычной для учащихся форме, дано уравнение , его следует решить. Задания на оценку «3» Решить уравнение: 1В 2В 3В Задания на «4» . Все задания взаимосвязаны между собой. Первые четыре задания даны в привычной форме: , дано уравнение следует решить. В задании 5 приведен ответ, учащимся следует определить: верен или нет. В задании 6 выбрать правильный ответ из предложенных. 1 2 3 4 5 6. Дано уравнение Верен ли данный ответ. Выбери правильный ответ для уравнения и получен ответ Ответы: Итоги урока. Сообщаю оценки за урок. Подводим итоги. Те учащиеся, у которых С/Р вызвала 6. определенные трудности приглашаю на консультацию. 7. Домашнее задание П.11.1. № 11.2 (б,д,з,л) , 11.3 (в,е,и,м) a=1 a=0 a= 1 ,

Тригонометрические уравнения в 10 классе, примеры и решения

Дата публикации: 09 апреля 2017.

Урок и презентация на тему: «Решение простейших тригонометрических уравнений»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Скачать: Тригонометрические уравнения (PPTX)

Что будем изучать:
1. Что такое тригонометрические уравнения?
2. Простейшие тригонометрические уравнения.
3. Два основных метода решения тригонометрических уравнений.
4. Однородные тригонометрические уравнения.
5. Примеры.

Что такое тригонометрические уравнения?

Ребята, мы с вами изучили уже арксинуса, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Теперь давайте посмотрим на тригонометрические уравнения в общем.

Тригонометрические уравнения – уравнения в котором переменная содержится под знаком тригонометрической функции.

Повторим вид решения простейших тригонометрических уравнений:

1)Если |а|≤ 1, то уравнение cos(x) = a имеет решение:

x= ± arccos(a) + 2πk

2) Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x) = a имеет решение:

3) Если |а| > 1, то уравнение sin(x) = a и cos(x) = a не имеют решений 4) Уравнение tg(x)=a имеет решение: x=arctg(a)+ πk

5) Уравнение ctg(x)=a имеет решение: x=arcctg(a)+ πk

Для всех формул k- целое число

Простейшие тригонометрические уравнения имеют вид: Т(kx+m)=a, T- какая либо тригонометрическая функция.

n – минус один в степени n.

Ещё примеры тригонометрических уравнений.

Решить уравнения: а) cos(x/5)=1 б)tg(3x- π/3)= √3

Решение:

а) В этот раз перейдем непосредственно к вычислению корней уравнения сразу:

x/5= ± arccos(1) + 2πk. Тогда x/5= πk => x=5πk

Ответ: x=5πk, где k – целое число.

б) Запишем в виде: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Мы знаем что: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Ответ: x=2π/9 + πk/3, где k – целое число.

Решить уравнения: cos(4x)= √2/2. И найти все корни на отрезке [0; π].

Решение:

Решим в общем виде наше уравнение: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

x= ± π/16+ πk/2;

Теперь давайте посмотрим какие корни попадут на наш отрезок. При k При k=0, x= π/16, мы попали в заданный отрезок [0; π].
При к=1, x= π/16+ π/2=9π/16, опять попали.
При k=2, x= π/16+ π=17π/16, а тут вот уже не попали, а значит при больших k тоже заведомо не будем попадать.

Ответ: x= π/16, x= 9π/16

Два основных метода решения.

Мы рассмотрели простейшие тригонометрические уравнения, но существуют и более сложные. Для их решения применяют метод ввода новой переменной и метод разложения на множители. Давайте рассмотрим примеры.

Решим уравнение:

Решение:
Для решения нашего уравнения воспользуемся методом ввода новой переменной, обозначим: t=tg(x).

В результате замены получим: t² + 2t -1 = 0

Найдем корни квадратного уравнения: t=-1 и t=1/3

Тогда tg(x)=-1 и tg(x)=1/3, получили простейшее тригонометрическое уравнение, найдем его корни.

x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Ответ: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Пример решения уравнения

Решить уравнений: 2sin²(x) + 3 cos(x) = 0

Решение:

Воспользуемся тождеством: sin²(x) + cos²(x)=1

Наше уравнение примет вид:2-2cos²(x) + 3 cos (x) = 0

2 cos²(x) — 3 cos(x) -2 = 0

введем замену t=cos(x): 2t² -3t — 2 = 0

Решением нашего квадратного уравнения являются корни: t=2 и t=-1/2

Тогда cos(x)=2 и cos(x)=-1/2.

Т.к. косинус не может принимать значения больше единицы, то cos(x)=2 не имеет корней.

Для cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Ответ: x= ±2π/3 + 2πk

Однородные тригонометрические уравнения.

Определение: Уравнение вида a sin(x)+b cos(x) называются однородными тригонометрическими уравнениями первой степени.

Уравнения вида

однородными тригонометрическими уравнениями второй степени.

Для решения однородного тригонометрического уравнения первой степени разделим его на cos(x): Делить на косинус нельзя если он равен нулю, давайте убедимся что это не так:
Пусть cos(x)=0, тогда asin(x)+0=0 => sin(x)=0, но синус и косинус одновременно не равны нулю, получили противоречие, поэтому можно смело делить на ноль.

Решить уравнение:
Пример: cos²(x) + sin(x) cos(x) = 0

Решение:

Вынесем общий множитель: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Тогда нам надо решить два уравнения:

cos(x)=0 и cos(x)+sin(x)=0

cos(x)=0 при x= π/2 + πk;

Рассмотрим уравнение cos(x)+sin(x)=0 Разделим наше уравнение на cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Ответ: x= π/2 + πk и x= -π/4+πk

Однородные тригонометрические уравнения второй степени

Как решать однородные тригонометрические уравнения второй степени?
Ребята, придерживайтесь этих правил всегда!

1. Посмотреть чему равен коэффициент а, если а=0 то тогда наше уравнение примет вид cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), пример решения которого на предыдущем слайде

2. Если a≠0, то нужно поделить обе части уравнения на косинус в квадрате, получим:

Делаем замену переменной t=tg(x) получаем уравнение:

Решить пример №:3

Решить уравнение:
Решение:

Разделим обе части уравнения на косинус квадрат:

Делаем замену переменной t=tg(x): t² + 2 t — 3 = 0

Найдем корни квадратного уравнения: t=-3 и t=1

Тогда: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Ответ: x=-arctg(3) + πk и x= π/4+ πk

Решить пример №:4

Решить уравнение:

Решение:
Преобразуем наше выражение:

Решать такие уравнение мы умеем: x= — π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk

Ответ: x= — π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk

Решить пример №:5

Решить уравнение:

Решение:
Преобразуем наше выражение:

Введем замену tg(2x)=t:2² — 5t + 2 = 0

Решением нашего квадратного уравнения будут корни: t=-2 и t=1/2

Тогда получаем: tg(2x)=-2 и tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Ответ: x=-arctg(2)/2 + πk/2 и x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Задачи для самостоятельного решения.

1) Решить уравнение

а) sin(7x)= 1/2 б) cos(3x)= √3/2 в) cos(-x) = -1 г) tg(4x) = √3 д) ctg(0.5x) = -1.7

2) Решить уравнения: sin(3x)= √3/2. И найти все корни на отрезке [π/2; π ].

3) Решить уравнение: ctg²(x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Решить уравнение: 3 sin ²(x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Решить уравнение:3sin²(3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos²(3x) =0

6)Решить уравнение:cos²(2x) -1 — cos(x) =√3/2 -sin²(2x)

«Решение простейших тригонометрических уравнений» 10 класс

III. Этап получения новых знаний

Задача: познакомить учащихся с простейшими тригонометрическими уравнениями, вывести формулы и отработать первичные навыки их решения.

Учитель диктует, а учащиеся записывают тему урока: “Решение простейших тригонометрических уравнений”.

Открывается запасная доска, где записаны уравнения:

sin х = а, cos х = а, tg х = а, ctg x = a.

1. Дается определение простейших тригонометрических уравнений.

2. Осуществляется решение уравнений: sin х = 0, cos х = 0, используя определение синуса и косинуса.

sin х = 0.

Найдем на тригонометрической окружности точки

с ординатой 0. Из А(1;0) в них можно попасть

поворотом на угол n, n Є Z, т.е.

х = n, n Є Z

Аналогично получают решения уравнения

cos х = 0.

х = + n, n Є Z

Решения уравнений sin х =1, sin х = -1, cos х = 1,

cos х = -1, учащиеся по вариантам получают самостоятельно и осуществляют проверку через представленную учителем таблицу.

Получили частные формулы решения уравнений (нули, точки максимума и минимума синуса и косинуса)

3. Выводятся формулы корней уравнений: sin х = а, cos х=а, tg х = а.

A) Для вывода формулы корней уравнения sin х = а показывается слайд через проектор с изображением в одной системе координат графиков функций

у = sin х и у = а

Если |а| 1, то графики функций у = sin х и у = а не пересекаются, и уравнение sin х = а не имеет корней.

Если |а| ; ] графики пересекаются в точке с абсциссой х = arcsin a, и, учитывая период функции синус, получаем:

х = arcsin a + 2пn, n Є Z,(1), а на отрезке [ ; ] графики пересекаются в точке с абсциссой х = п- arcsin a и, учитывая период , получаем:

х = п – arcsin a + 2пn, n Є Z. (2)

Эти две формулы можно объединить одной:

х = (-1)^кarcsin a + пn, n Є Z (3)

Б) Аналогично выводятся формулы корней cos х = а

х = +/- arccos a + 2пn, n Є Z.

tg х = а

х = arctgs a + пn, n Є Z.

сtg х = а

х = arctсgs a + пn, n Є Z.

По окончании вывода формул вывешивается плакат с опорным конспектом по теме урока.)

Предварительное вычисление с дискретной математикой и анализом данных (9780395551899) :: Помощь и ответы на домашнее задание :: Slader

12-1	Геометрическое представление векторов	Классные упражнения	стр. 422
		Письменные упражнения	п.423
12-2	Алгебраическое представление векторов	Классные упражнения	с.428
		Письменные упражнения	п. 429
12-3	Векторные и параметрические уравнения: движение в плоскости	Классные упражнения	п. 435
		Письменные упражнения	с.435
12-4	параллельных и перпендикулярных векторов; Точечный продукт	Классные упражнения	п.443
		Письменные упражнения	п.444
12-5	Векторы в трех измерениях	Классные упражнения	с. 449
		Письменные упражнения	п.450
12-6	Векторы и плоскости	Классные упражнения	п.454
		Письменные упражнения	п.455
12-7	Детерминанты	Классные упражнения	с. 460
		Письменные упражнения	стр. 460
12-8	Применение детерминантов	Классные упражнения	п.463
		Письменные упражнения	п.464
12-9	Определители и векторы в трех измерениях	Классные упражнения	с. 466
		Письменные упражнения	стр. 467
		Глава Test	п.469

10 секретных триггерных функций, которые ваши учителя математики никогда вас не учили

В понедельник The Onion сообщил, что «учителя математики нации представили 27 новых триггерных функций.«Это забавное чтение. Гамсин, негтан и cosvnx из статьи о Луке вымышлены, но в этой статье есть доля правды: есть 10 секретных триггерных функций, о которых вы никогда не слышали, и у них есть восхитительные имена, такие как« гаверсин ». «и» exsecant «.

Диаграмма с единичным кругом и большим количеством триггерных функций, чем вы можете потрясти палкой. (Хорошо известно, что вы можете встряхнуть палку максимум при 8 триггерных функциях.) Знакомые синус, косинус и тангенс выделены красным, синим и, ну, желтовато-коричневым, соответственно.Версин выделен зеленым рядом с косинусом, а эксеканс розовым справа от версина. Excosecant и coverine также присутствуют на изображении. Не изображены: веркозин, кверкозин и хавер — что угодно. Изображение: Лиманер и Стивен Джонсон, через Wikimedia Commons.

Хотите ли вы мучить студентов с ними или вовлечь их в разговор, чтобы показаться эрудированным и / или невыносимым, вот определения всех «потерянных триггерных функций» ~~, которые я нашел в своем исчерпывающем исследовании оригинальных исторических текстов~~ Википедия рассказала я о.

Версия: versin (θ) = 1-cos (θ)
Веркозин: веркозин (θ) = 1 + cos (θ)
Coversine: охватывает (θ) = 1-sin (θ)
Covercosine: covercosine (θ) = 1 + sin (θ)
. Гаверсин: гаверсин (θ) = версен (θ) / 2
Гаверкозин: гаверкозин (θ) = веркозин (θ) / 2
Гаковерсин: hacoversin (θ) = Coversin (θ) / 2
Гаковеркозин: гаковеркозин (θ) = кверкозин (θ) / 2
Exsecant: exsec (θ) = sec (θ) -1
Excosecant: excsc (θ) = csc (θ) -1

Должен признаться, я был немного разочарован, когда посмотрел на них.Все они представляют собой простые комбинации дорогого старого синуса и косинуса. Почему они вообще получили имена ?! Из того места и времени, когда я могу сидеть на диване и почти мгновенно находить синус любого угла с точностью до 100 десятичных знаков с помощью онлайн-калькулятора, в Версине нет необходимости. Но эти, казалось бы, лишние функции восполнили потребности в мире предварительных калькуляторов.

Numberphile недавно опубликовал видео о таблицах журналов, в котором объясняется, как люди использовали логарифмы для умножения больших чисел в темные дни, когда еще не было калькулятора.Во-первых, напомню о логарифмах. Уравнение log _b x = y означает, что b ^y = x. Например, 10 ² = 100, поэтому log ₁₀ 100 = 2. Полезный факт о логарифмах заключается в том, что log _b (c × d) = log _b c + log _b d. Другими словами, логарифмы превращают умножение в сложение. Если вы хотите умножить два числа вместе с помощью таблицы журнала, вы должны найти логарифм обоих чисел, а затем сложить логарифмы. Затем вы должны использовать свою таблицу журнала, чтобы узнать, какое число имеет этот логарифм, и это был ваш ответ.Сейчас это звучит громоздко, но умножение вручную требует гораздо больше операций, чем сложение. Когда каждая операция занимает нетривиальное количество времени (и подвержена нетривиальному количеству ошибок), процедура, позволяющая преобразовать умножение в сложение, в реальном времени экономит время и помогает повысить точность.

Секретные триггерные функции, такие как логарифмы, упрощают вычисления. Чаще всего использовались версин и гаверсин. Вблизи угла θ = 0 cos (θ) очень близко к 1.Если вы выполняли вычисление, в котором было 1-cos (θ), ваше вычисление могло бы быть разрушено, если в вашей таблице косинусов не было достаточно значащих цифр. Для иллюстрации косинус 5 градусов равен 0,996194698, а косинус 1 градуса равен 0,999847695. Разница cos (1 °) -cos (5 °) составляет 0,003652997. Если бы у вас было три значащих цифры в вашей таблице косинусов, вы бы получили только одну значащую цифру в своем ответе из-за ведущих нулей в разнице. А таблица только с тремя значащими цифрами точности не сможет различить углы 0 и 1 градус.Во многих случаях это не имеет значения, но может стать проблемой, если ошибки накапливаются в ходе вычислений.

У бонусных триггерных функций также есть то преимущество, что они никогда не бывают отрицательными. Версина находится в диапазоне от 0 до 2, поэтому, если вы используете таблицы журнала для умножения на версину, вам не нужно беспокоиться о том, что логарифм не определен для отрицательных чисел. (Он также не определен для 0, но с этим легко иметь дело.) Еще одно преимущество версин и гаверсин состоит в том, что они могут удерживать вас от необходимости что-то возводить в квадрат.Немного тригонометрического волшебства (также известного как запоминание одной из бесконечного списка тригонометрических формул, которые вы выучили в старшей школе) показывает, что 1-cos (θ) = 2sin ² (θ / 2). Таким образом, гаверсинус — это просто грех ² (θ / 2). Точно так же гаверкозин равен cos ² (θ / 2). Если у вас есть вычисление с использованием квадрата синуса или косинуса, вы можете использовать таблицу гаверсинусов или гаверсинусов, и вам не нужно возводить в квадрат или извлекать квадратные корни.

Диаграмма, показывающая синус, косинус и версию угла.Изображение: Qef и Стивен Дж. Джонсон, через Wikimedia Commons.

Версина — это довольно очевидная триггерная функция для определения и, кажется, использовалась еще в 400 г. н.э. в Индии. Но гаверсинус мог быть более важным в более недавней истории, когда он использовался в навигации. Формула гаверсинуса — очень точный способ вычисления расстояний между двумя точками на поверхности сферы с использованием широты и долготы этих двух точек. Формула гаверсинуса — это переформулировка сферического закона косинусов, но формулировка в терминах гаверсинусов более полезна для малых углов и расстояний.(С другой стороны, формула гаверсинуса не очень хорошо справляется с углами, близкими к 90 градусам, но сферический закон косинусов справляется с этим хорошо.) Формула гаверсинуса может дать точные результаты, не требуя дорогостоящих вычислений. квадраты и квадратные корни. Еще в 1984 году любительский астрономический журнал Sky & Telescope восхвалял формулу гаверсинуса, которая полезна не только для наземной навигации, но и для астрономических расчетов.Чтобы узнать больше о формуле гаверсинуса и вычислении расстояний на сфере, ознакомьтесь с этой архивной копией страницы бюро переписи или этой статьей «Спросите доктора Матема».

У меня не так много информации об истории других триггерных функций в списке. Все они могут сделать вычисления более точными вблизи определенных углов, но я не знаю, какие из них обычно использовались, а какие назывались * аналогично другим функциям, но редко использовались на самом деле. Мне любопытно об этом, если кто-нибудь знает больше о предмете.

Когда Луковица имитирует реальную жизнь, это обычно трагично. Но в случае секретных триггерных функций суть правды в Луке меня не огорчила. Нам очень повезло, что теперь мы можем так легко умножать, возводить в квадрат и извлекать квадратные корни, а наши калькуляторы могут хранить точную информацию о синусах, косинусах и тангенсах углов, но прежде чем мы смогли это сделать, мы придумали работу -округ в виде смешного количества триггерных функций. Легко забыть, что люди, которые их определили, не были садистскими учителями математики, которые хотят, чтобы люди запоминали странные функции без всякой причины.Эти функции фактически сделали вычисления более быстрыми и менее подверженными ошибкам. Теперь, когда компьютеры стали настолько мощными, привычка к дискетам улетучилась. Но я думаю, мы все можем согласиться с тем, что он должен вернуться, хотя бы из-за «классной» шутки, которую я придумал, когда засыпал прошлой ночью: Хаверсин? Я даже не знаю!

* Я хотел бы сделать здесь небольшое отступление в мир математических префиксов, но это может быть не для всех. Вас предупредили.

В таблице секретных триггерных функций «ха» явно означает половину; Например, ценность гаверсина составляет половину стоимости версина.«Со» означает выполнение той же функции, но с дополнительным углом. (Дополнительные углы в сумме составляют 90 градусов. В прямоугольном треугольнике два непрямых угла дополняют друг друга.) Например, косинус угла также является синусом дополнительного угла. Точно так же крышка — это версия дополнительного угла, как вы можете видеть голубым цветом над одним из красных синусов на диаграмме вверху сообщения.

Одна бонусная триггерная функция, которая меня немного смущает, — это веркосинус. Если бы «со» в этом определении означало дополнительный угол, тогда веркозинус был бы таким же, как покрывающий, а это не так. Вместо этого веркосинус — это версия дополнительного угла (дополнительные углы в сумме составляют 180 градусов), а не дополнительный. В дополнение к определениям как 1-cos (θ) и 1 + cos (θ), версин и веркозин могут быть определены как versin (θ) = 2sin ² (θ / 2) и vercos (θ) = 2cos ^{. 2} (θ / 2). В случае версины я считаю, что определение, включающее cos (θ), старше, чем определение, включающее синус в квадрате.Я предполагаю, что веркосинус был более поздним термином, аналогом определения квадрата синуса версина с использованием вместо него косинуса. Если вы любитель истории тригонометрии и у вас есть дополнительная информация, дайте мне знать! В любом случае таблица суперсекретных триггерных функций бонусов — забавное упражнение для выяснения того, что означают префиксы.

36 триггерных идентификаторов, которые необходимо знать

Если вы посещаете уроки геометрии или тригонометрии, одна из тем, которые вы будете изучать, — это тригонометрические тождества. Существует множество триггерных идентификаторов, некоторые из которых вам необходимо знать, а другие вы будете использовать редко или никогда. В этом руководстве объясняются триггерные идентификаторы, которые вам следует запомнить, а также другие, о которых вы должны знать. Мы также объясняем, что такое триггерные идентификаторы и как вы можете проверить триггерные идентификаторы.

В математике «идентичность» — это уравнение, которое всегда верно, каждый раз. Тригонометрические тождества — это всегда истинные тригонометрические уравнения, которые часто используются для решения задач тригонометрии и геометрии и понимания различных математических свойств.Знание ключевых триггерных идентификаторов поможет вам запомнить и понять важные математические принципы и решить множество математических задач.

25 наиболее важных триггерных идентичностей

Ниже приведены шесть категорий триггерных идентичностей, которые вы будете часто видеть. Каждый из них является идентификатором ключевого триггера и должен быть запомнен. 2 $ ).2 (θ) $$

Совместные функции

Каждая из триггерных функций равна своей совместной функции, оцениваемой под дополнительным углом.

$$ sin (θ) = cos ({π / 2} — θ) $$

$$ cos (θ) = sin ({π / 2} — θ) $$

$$ tan (θ) = детская кроватка ({π / 2} — θ) $$

$$ детская кроватка (θ) = загар ({π / 2} — θ) $$

$$ csc (θ) = сек ({π / 2} — θ) $$

$$ сек (θ) = csc ({π / 2} — θ) $$

Идентификаторы с отрицательным углом

Синус, тангенс, котангенс и косеканс являются нечетными функциями (симметричными относительно начала координат).Косинус и секанс — четные функции (симметричны относительно оси y).

$$ sin (-θ) = -sin (θ) $$

$$ cos (-θ) = cos (θ) $$

$$ tan (-θ) = -tan (θ) $$

Тождества сумм и разностей

Их иногда называют идентичностями Птолемея, поскольку он первый доказал их.

$$ sin (α + β) = sin (α) cos (β) + cos (α) sin (β) $$

$$ sin (α — β) = sin (α) cos (β) — cos (α) sin (β) $$

$$ cos (α + β) = cos (α) cos (β) — sin (α) sin (β) $$

$$ cos (α — β) = cos (α) cos (β) + sin (α) sin (β) $$

Двойные углы идентификации

Вам нужно запомнить только одно из тождеств двойного угла для косинуса. 2 (θ)} $$

Дополнительные идентификаторы триггеров

Эти три категории идентификаторов триггеров используются реже. Вы должны просмотреть их, чтобы убедиться, что вы их понимаете, но их обычно не нужно запоминать.

Полуугловые идентичности

Это инверсия тождеств с двойным углом.

$$ sin2 (θ) = {1/2} (1-cos (2θ)) $$

$$ cos2 (θ) = {1/2} (1+ cos (2θ)) $$

$$ tan2 (θ) = {1-cos (2θ)} / {1+ cos (2θ)} $$

Сумма идентичностей

Эти триггерные тождества позволяют вам преобразовать сумму или разность синусов или косинусов в произведение синусов и косинусов.

$$ sin (α) + sin (β) = 2sin ({α + β} / 2) cos ({α — β} / 2) $$

$$ sin (α) — sin (β) = 2cos ({α + β} / 2) sin ({α — β} / 2) $$

$$ cos (α) + cos (β) = 2cos ({α + β} / 2) cos ({α — β} / 2) $$

$$ cos (α) — cos (β) = -2sin ({α + β} / 2) sin ({α — β} / 2) $$

Обозначения продукта

Эта группа триггерных идентификаторов позволяет вам преобразовать произведение синусов или косинусов в произведение или разность синусов и косинусов.

$$ sin (α) cos (β) = {1/2} (sin (α + β) + sin (α — β)) $$

$$ cos (α) sin (β) = {1/2} (sin (α + β) — sin (α — β)) $$

$$ sin (α) sin (β) = {1/2} (cos (α — β) — cos (α + β)) $$

$$ cos (α) cos (β) = {1/2} (cos (α — β) + cos (α + β)) $$

Проверка тригонометрических идентичностей

После того, как вы просмотрели все ключевые тригонометрические идентичности в своем классе математики, следующим шагом будет их проверка. Проверка тождественности триггеров означает приравнивание двух сторон данного уравнения друг к другу, чтобы доказать, что оно истинно. Вы будете использовать триггерные идентификаторы, чтобы изменить одну или обе стороны уравнения, пока они не станут одинаковыми.

Для проверки идентичности триггеров может потребоваться множество различных математических методов, включая FOIL, распределение, подстановки и конъюгации. Для каждого уравнения потребуются разные методы, но есть несколько советов, которые следует помнить при проверке тригонометрических тождеств.

# 1: Начните с более жесткой стороны

Несмотря на то, что вы можете изначально захотеть сделать, мы рекомендуем начинать с той стороны уравнения, которая выглядит более запутанной или более сложной. Сложно выглядящие уравнения часто дают вам больше возможностей для проверки, чем более простые уравнения, поэтому начните с более сложной стороны, чтобы у вас было больше возможностей.

# 2: Помните, что вы можете менять обе стороны

Вам не нужно ограничиваться изменением только одной части уравнения. Если вы застряли на одной стороне, вы можете переключиться на другую сторону и также начать менять ее. Ни одна из сторон уравнения не должна совпадать с исходной; до тех пор, пока обе части уравнения оказываются идентичными, идентичность подтверждена.

# 3: Превратите все функции в синусы и косинусы

Большинство студентов, изучающих триггерные тождества, чувствуют себя наиболее комфортно с синусами и косинусами, потому что это триггерные функции, которые они видят чаще всего. Облегчите себе жизнь, преобразовав все функции в синусы и косинусы!

Пример 1

Проверить идентичность $ cos (θ) sec (θ) = 1 $

Давайте заменим секанс на косинус. Используя основные тождества, мы знаем, что $ sec (θ) = 1 / {cos (θ)} $. Это дает нам:

$$ cos (θ) (1 / {cos (θ)}) = 1 $$

Косинусы слева компенсируют друг друга, в результате чего получается $ 1 = 1 $.

Личность подтверждена!

Пример 2

Проверить тождество $ 1 — cos (2θ) = tan (θ) sin (2θ) $

Давайте начнем с левой стороны, так как с ней происходит еще кое-что.2 (θ) $$

Обе стороны идентичны, т. Е. Идентичность подтверждена!

Пример 3

Проверить идентичность $ sec (-θ) = sec (θ) $

Левая часть уравнения немного сложнее, поэтому давайте заменим секанс на синус или косинус. Из основных триггерных тождеств мы знаем, что $ sec (θ) = 1 / {cos (θ)} $, что означает, что $ sec (-θ) = 1 / {cos (-θ)} $. Замените левую часть:

$$ 1 / {cos (-θ)} = сек (θ) $$

Тождества с отрицательным углом говорят нам, что $ cos (-θ) = cos (θ) $, поэтому sub that:

$$ 1 / {cos (θ)} = сек (θ) $$

Опять же, мы знаем, что $ sec (θ) = 1 / {cos (θ)} $, поэтому получаем:

$$ сек (θ) = сек (θ) $$

Личность подтверждена!

Резюме: Решатель идентификаторов триггеров

Вам необходимо запомнить ключевые тригонометрические характеристики, чтобы хорошо учиться на уроках геометрии или тригонометрии. Хотя может показаться, что тригонометрических отождествлений много, многие следуют схожему шаблону, и не все нужно запоминать.

При проверке идентификаторов триггеров помните следующие три совета:

Начните с более сложной стороны
Помните, что вы можете изменить обе стороны уравнения
Превратите функции в синусы и косинусы

Что дальше?

Хотите знать, какие уроки математики выбрать в средней школе? Изучите лучшие уроки математики для старшеклассников, прочитав наше руководство!

Хотите знать, что вам следует делать — AB или BC Calculus? В нашем руководстве описаны различия между двумя классами и объясняется, кто должен проходить каждый курс.