«Решение простейших тригонометрических уравнений». 10-й класс

Разделы: Математика

---

Тип занятия: изучение нового материала.

Цели урока:

• Дидактическая: ввести понятия простейших тригонометрических уравнений, формул их корней; закрепить умение находить значения обратных тригонометрических функций
• Развивающая: формировать умение анализировать, искать аналоги и различные варианты решения.
• Воспитательная: воспитывать внимательность, уверенность; активность, наблюдательность; стремление в взаимовыручке, умение работать в группе и самостоятельно.

Форма проведения: работа в группах, индивидуальная, самостоятельная.

Формы контроля: текущий.

Оборудование:

презентация «Простейшие тригонометрические уравнения», проектор, экран; доска, цветной мел; листы отчета работы в группах; карточки-тесты, индивидуальные задания на карточках; листы.

В результате изучения новой темы студенты должны:

• знать: понятия простейших тригонометрических уравнений и формулы их корней; частные случаи простейших тригонометрических уравнений;
• уметь: применять формулы корней уравнений при решении упражнений; находить значения обратных тригонометрических функций на единичной окружности.

План проведения занятия:

1. Организационный момент
2. Проверка знаний, воспроизведение и коррекция опорных знаний.
   • Тест с выбором ответа (по 2 вариантам)
3. Мотивационный момент
4. Изучение нового материала
5. Первичное применение приобретенных знаний
   • Работа под руководством преподавателя
   • Работа в группах
6. Рефлексия
   • Самостоятельная работа студентов
7. Итог занятия
8. Задание на дом

Структура занятия

1. Организационный момент

Приветствие, перекличка.

2. Проверка знаний, воспроизведение и коррекция опорных знаний.

Тест с выбором ответа по 2 вариантам на карточках. (Приложение)

3. Мотивационный момент

– обоснование необходимости изучения данной темы, сообщение темы
– вовлечение студентов в процесс постановки целей и задач занятия (Приложение \

Презентация, слайды № 1-2)

4. Изучение нового материала

Определение Простейшие тригонометрические уравнения – уравнения вида Sinx = a, Cosx = a, tgx = a, ctgx = a.

Решить простейшее тригонометрическое уравнение – значит найти множество всех значений аргумента, при котором данная тригонометрическая функция принимает значение а.

Рассмотрим решения данных уравнений

Уравнение Cos x = a

Т.к. функция у = Cosxимеет смысл при , то рассмотрим основные случаи решения данного уравнения.

 

(Приложение \ Презентация, слайды № 3, 4)

Рассмотрим ещё несколько случаев решения данного уравнения, при решении которых используется единичная окружность.

Частные случаи

(Приложение \ Презентация, слайды № 5-6)

Рассмотрим пример

  (разбираем решение на доске).

Уравнение Sinx = a

Т.к. функция у = Sinxтакже имеет смысл при , то аналогично рассмотрим основные случаи решения данного уравнения.

(Приложение \ Презентация, слайды № 7, 8)

Замечание:

при  .

Рассмотрим также несколько случаев решения данного уравнения, при решении которых используется единичная окружность.

Частные случаи

(Приложение \ Презентация,  слайды № 9-10)

Рассмотрим примеры

1)   (разбираем решение на доске).

2) (разбираем решение по презентации)

(Приложение \ Презентация, слайд № 11)

Уравнение tgx = a (вспомнить линиюtgxна окружности!)

.

Т.о.

(Приложение \ Презентация, слайд № 12)

Уравнение ctgx = a

Аналогично рассматривается

(Приложение \ Презентация, слайд № 13)

Рассмотрим пример

  (разбираем решение на доске).

5. Первичное применение приобретенных знаний

Работа под руководством преподавателя

№ 1. Решить уравнения:

а)
б)

Работа в группах

Разделяю студентов на группы, выдаю листы отчета работы в группах
№ 2. Решить уравнения (Приложение \ Презентация – слайд № 14)
Далее проводим проверку и разбор решения по ответам на экране (Приложение \ Презентация, слайд № 15)

6. Рефлексия

Самостоятельная работа студентов

Проводится в трех вариантах + Работа по индивидуальным заданиям – карточкам
Задания по вариантам – Приложение \ Презентация, слайд № 16)
Задания по карточкам – Приложение
Проверка и оценивание самостоятельной работы и оценок по карточкам проводится во время записи домашнего задания студентами

7. Итог урока

Во фронтальной беседе повторить основные моменты нового материала. Подведение итогов, выставление оценок.

8. Задание на дом:

а) теория – учебник Н.В. Богомолова «Математика» (п. 39), конспект

б) № 3. Решить уравнения.

2.06.2013

Поделиться страницей:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

План-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему: Урок по теме:»Решение простейших тригонометрических уравнений»

III. Этап получения новых знаний 

Задача: познакомить учащихся с простейшими тригонометрическими уравнениями, вывести формулы и отработать первичные навыки их решения.

Учитель диктует, а учащиеся записывают тему урока: “Решение простейших тригонометрических уравнений”.

Открывается запасная доска, где записаны уравнения:

sin х = а, cos х = а, tg х = а, ctg x = a.

1. Дается определение простейших тригонометрических уравнений.

2. Осуществляется решение уравнений: sin х = 0, cos х = 0, используя определение синуса и косинуса.

sin х = 0.

Найдем на тригонометрической окружности точки

с ординатой 0. Из А(1;0) в них можно попасть

поворотом на угол n, n Є Z, т.е.

х = n, n Є Z

Аналогично получают решения уравнения

cos х = 0.

х = + n, n Є Z

Решения уравнений sin х =1, sin х = -1, cos х = 1,

 cos х = -1, учащиеся по вариантам получают самостоятельно и осуществляют проверку через представленную учителем таблицу.

Получили частные формулы решения уравнений (нули, точки максимума и минимума синуса и косинуса)

3. Выводятся формулы корней уравнений: sin х = а, cos х=а, tg х = а.

A) Для вывода формулы корней уравнения sin х = а  показывается слайд через проектор с изображением в одной системе координат графиков функций

у = sin х и у = а

Если |а| > 1, то графики функций у = sin х и у = а не пересекаются, и уравнение sin х = а не имеет корней.

Если |а| ; ] графики пересекаются в точке с абсциссой х = arcsin a, и, учитывая период функции синус, получаем:

х = arcsin a + 2пn, n Є Z,(1), а на отрезке [;] графики пересекаются в точке с абсциссой х = п- arcsin a и, учитывая период , получаем:

х = п – arcsin a + 2пn, n Є Z. (2)

Эти две формулы можно объединить одной:

х = (-1)к arcsin a + пn, n Є Z (3)

Б) Аналогично выводятся формулы корней cos х = а

х = +/- arccos a + 2пn, n Є Z.

tg х = а

х = arctgs a + пn, n Є Z.

сtg х = а

х = arctсgs a + пn, n Є Z.

По окончании вывода формул вывешивается плакат с опорным конспектом по теме урока.)

nsportal.ru

Конспект урока «Тригонометрические уравнения», 10 класс

План-конспект урока

Учитель: Дорофеева Л.И.

Предмет: математика.

Класс: 10 класс.

Тема урока: «Решение тригонометрических уравнений».

Продолжительность: 45мин.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний обучающихся.

Цели урока:

• образовательные – обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы, создать условия контроля усвоения знаний и умений

• развивающие – содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, сравнивать; формировать и развивать общеучебные умения и навыки: обобщение, поиск способов решения; отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора задания, соответствующего их уровню развития.

• воспитательные – вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке; способствовать формированию активности и настойчивости, максимальной работоспособности.

Оборудование: доска; карточки для индивидуальной работы учащихся; таблица ответов для проверки индивидуальных заданий, оценочные листы на каждого ученика.

Краткий план урока:

1.Оргмомент, цель урока – 2 мин

2.Устная работа – 10 мин

3. Проверка домашнего задания – 2 мин

4.Фронтальное решение задачи – 3-4 мин

5.Самостоятельная работа по карточкам – 10 мин

6.Самоконтроль– 2 мин

7.Разбор различных типов заданий – 10 мин.

8. Домашнее задание – 2 мин

9. Рефлексия -1 мин

10.Подведение итогов урока, выставление оценок.- 2-3 мин

1. Оргмомент.

Применяю структуру МЭНЭДЖ МЭТ(учащиеся рассаживаются по 4 человека за столы, образуя команды)

Приветствие учащихся. Постановка цели урока.

— Добрый день! Я рада всех Вас видеть. Как у Вас настроение? Давайте улыбнемся друг другу, расправим плечи, пожмём руку товарищу и пожелаем удачи в работе, настроимся на поиск и творчество, и начнём урок. Сегодня у нас необычный урок, а необычен он тем, что у нас сегодня гости.

Ребята, мы разобрали с Вами простейшие 4 типа тригонометрических уравнений. Сегодня нам предстоит повторить и применить полученные знания и умения при решении различных заданий. Перед Вами стоит задача-показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений. Все виды работ на уроке будут оценены , результаты своей работы Вы будете заносить в оценочный лист..

2.Устная работа. (Раунд тейбл-структура, в которой учащиеся по очереди выполняют письменную работу по кругу на одном листе бумаги)

— Повторим формулы корней простейших тригонометрических уравнений.

№1

1. При каком значении a уравнение cos x = a имеет решение?

2. Какой формулой выражается это решение?

3. На какой оси откладывается значение a при решении уравнения cos x = a?

4. В каком промежутке находится arccos a?

5. Каким будет решение уравнения cos x = 1?

6. Каким будет решение уравнения cos x = -1?

7. Каким будет решение уравнения cos x = 0?

8. Чему равняется arccos (-a)?

№2

1. При каком значении a уравнение sin x = a имеет решение?

2. Какой формулой выражается это решение?

3. На какой оси откладывается значение a при решении уравнения sin x = a?

4. В каком промежутке находится arcsin a?

5. Каким будет решение уравнения sin x = 1?

6. Каким будет решение уравнения sin x = -1?

7. Каким будет решение уравнения sin x = 0?

8. Чему равняется arcsin (-a)?

№3

1. В каком промежутке находится arctg a?

2. Чему равняется arctg (-a)?

3. Какой формулой выражается решение уравнения tg x =a?

4. Каким будет решение уравнения tg x = 1,

5. Каким будет решение уравнения tg x = 0

6. Каким будет решение уравнения tg x = -1

№4

1. В каком промежутке находится arcctg a?

2. Чему равняется arcctg (-a)?

3. Какой формулой выражается решение уравнения ctg x =a?

4. Каким будет решение уравнения ctg x = 1

5. Каким будет решение уравнения ctg x =0

6. Каким будет решение уравнения ctg x = — 1

3.Проверка домашнего задания.

— Вспомним домашнее задание (заранее на экране написано решение домашнего задания, ученики сверяются).У кого есть вопросы? За правильные решения ставите себе по 1 баллу.

«3»

4-

«4»

«5»

Ответ: а) 

б) 

4 . Фронтальное решение

Установите соответствие между уравнением и его корнями:

А. 2 sin x = 1

1.

Б. sin x = 1

2.

В. – 2 cos x = 1

3.

Г. cos3x =

4.

Д. 2 tg x =

5.

А

Б

В

Г

Д

5. Самостоятельная работа.

Учитель: Ребята, а теперь, прежде чем приступить к самостоятельной работе, вспомним основные методы решения тригонометрических уравнений.

*На экране проецируются основные виды тригонометрических уравнений, методы их решений

1. Введение новой переменной.

2sin²x – 5sinx + 2 = 0.

Пусть sinx = t, |t|≤1,

Имеем: 2t² – 5t + 2 = 0.

2. Разложение на множители

2sinx cos5x – cos5x = 0;

cos5x (2sinx – 1) = 0.

3. Однородные тригонометрические уравнения.

I степени

a sinx + b cosx = 0, (a,b ≠ 0).

Разделим на cosx ≠ 0.

Получаем ии решаем: a tgx + b = 0; …

II степени

a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0.

1) если а ≠ 0, разделим на cos²x ≠0

имеем: a tg²x + b tgx + c = 0.

2) если а = 0, то

имеем: b sinx cosx + c cos²x =0; разделим на cos²x ≠0

получаем и решаем

b tgx + c = 0

— Теперь проверьте свои знания и умения по данной теме.

Учащимся предлагается выполнить самостоятельную работу по карточкам . Каждое правильное решенное уравнение оценивается 1 баллом.

(Сималтиниус раунд тэйбл- 4 участника в команде одновременно выполняют письменную работу на отдельных листочках и по окончанию одновременно передают друг-другу по плечу для взаимопроверки)

уравнения

ответы

1

π/4 +2 πk

2

3

3 sin x+ 5 cos x = 0

5 sin² х — 3 sinх cos х — 2 cos²х =0

— arctg 5/3+ πk, k Z.

π/4 + πk; — arctg 0,4 + πn, k, n Z.

4

5

3 cos²х + 2 sin х cos х =0

5 sin² х + 2 sinх cos х — cos²х =1

π/2 + πk; — arctg 1,5 + πn, k, n Z.

π/4 + πk; — arctg 0,5 + πn, k, n Z.

уравнения

ответы

1

2 πk, ( 2 π)/3+2 πk

2

3

2 cos x+ 3 sin x = 0

6 sin² х — 5 sinх cos х + cos²х =0

— arctg 2/3+ πk, k Z.

arctg 1/3+ πk; arctg 0,5 + πn, k, n Z.

4

5

2 sin² x – sin x cosx =0

4 sin² х — 2sinх cos х — 4 cos²х =1

πk; arctg 0,5 + πn, k, n Z.

-π/4 + πk; — arctg 5/3 + πn, k, n Z.

За одной партой сидят 2 ученика и записывают свои ответы на одном листе бумаги

( сималтиниус релли тэйбл-2 участника в команде одновременно выполняют письменную работу на отдельных листочках и по окончанию одновременно передают друг-другу для взаимопроверки)

6. Самоконтроль.

— На партах- таблица ответов.

— Проверьте результаты своей работы по таблице и оцените ее.

Проводится сравнительный анализ результатов работы.

7. Разбор различных типов заданий (подготовка к ЕГЭ)

2 сильных ученика приглашаются к доске для индивидуальной работы. Им выдаются карточки с заданиями, которые они решают на доске.

№1 а) Ре­ши­те урав­не­ние 

б) Ука­жи­те корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку 

№2 а) Ре­ши­те урав­не­ние .

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку .

В это время остальные решают задания по карточкам, в конце сверяются по готовым ответам.

Сверка ответов:

№

уравнение

ответы

1

,б)

2

,,б)

8. Дифференцированное домашнее задание. Задание будет прикреплено отдельным файлом в факультатив

Решите уравнения

Оценка «3»:

Оценка «4»:

Оценка «5»:

6. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения

9.Рефлексия

Ребята, в начале урока Вы мне сказали, что у Вас отличное настроение , и сейчас в конце урока я вновь хочу узнать о вашем настроении. А узнаю я его так: на своих оценочных листах имеется синусоида , на которой Вы отмечаете точками своё настроение.

10 . Подведение итогов.

Оценочные листы знаний сдаются учителю, за работу на уроке ставится оценка в журнал.

— Итак, сегодня мы проверили знания и умения решения простейших тригонометрических уравнении и первых 4 типов и уравнений, приводимых к ним. Рассмотрели примеры применения их при выполнении различных типов заданий, что вам потребуется при сдаче ЕГЭ.

-Я уверена, что у вас сложилось более полное представление о тригонометрических уравнениях и разнообразии способов их решения, и с решением тригонометрических уравнений большинство из вас справится.

— Мне понятен урок, я остался довольным

— Узнал больше, рассмотрели задание ЕГЭ

— я сегодня доволен собой

Комментирование результатов работы учащихся. Выставление оценок.

Учитель: Спасибо вам за насыщенную работу на уроке. Я благодарю всех, кто принял активное участие в работе. Урок окончен. До свидания!

infourok.ru

Конспект урока в 10 классе по теме «Тригонометрические уравнения.»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Гимназия №3» городского округа город Октябрьский Республики Башкортостан

План проведения открытого урока

по алгебре в 10 классе

по теме «Тригонометрические уравнения»

Учитель Балашова Светлана Владимировна.

Тема. Тригонометрические уравнения.

Цели урока:

1. Систематизировать, обобщить знания учащихся по теме «Тригонометрические уравнения», проверить уровень усвоения темы.

2. Развивать навык решения тригонометрических уравнений, умение анализировать, применять полученные знания к решению заданий по теме урока, навык самостоятельной работы.

3. Воспитывать мотивацию к учению, развивать познавательный интерес к предмету.

План урока.

1.Организационный момент. Постановка целей и задач урока.

2.Основная часть.

1. Теоретический опрос.

2. Устная работа.

3.Работа у доски и в тетрадях по теме урока.

4.Физминутка.

5. Домашняя работа.

6.Самостоятельная работа с взаимопроверкой.

3.Итог урока, выставление оценок.

Уравнение представляет

собой наиболее серьёзную и

важную вещь в математике.

Оливер Лодж, английский

физик и изобретатель.

Ход урока.

1.Организационный момент. Постановка целей и задач урока.

Тема нашего урока « Тригонометрические уравнения». Эпиграфом к уроку я взяла слова английского физика и изобретателя Оливера Лоджа «Уравнение представляет

собой наиболее серьёзную и важную вещь в математике».

На предыдущих уроках мы работали над этой темой, изучили формулы корней простейших тригонометрических уравнений, узнали способы и методы решения тригонометрических уравнений, сегодня на уроке мы обобщим и закрепим эту тему.

2.Основная часть.

1. Теоретический опрос.

Хочется вспомнить слова английского философа, Герберт Спенсер говорил: «Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, а те, которые превращаются в умственные мышцы». Давайте накачивать «умственные мышцы», начнём урок с устного счёта ( разминка для ума).

Повторим решение простейших тригонометрических уравнений ( с места по цепочке).

Для решения уравнений, необходимо знание основных тригонометрических формул, давайте их вспомним (один человек письменно на доске).

Sin2x= 2 sinx cosx

Sin(x+ y)= sinx cosy + siny cosx

2. Устная работа.

А) выбери правильный ответ.

а)

б)

г) нет решения

Б) найди ошибки в решении.

Ответ:

В) составь алгоритм решения уравнения.

2 cosx + sin x+1=0

3 sinx — 4sin x cos x + cos x=0

2 sinx= sin 2x

Sin x+cos x=2

3 cosx – 10 cos x+3=0

Cosx -2 cos x=0

Sin x-16=0

Cos 3x +sin 3x=0

6sinx- sin x cos x-cosx=3

Sin 2x+cos x=2

3sinx+ sin x cos x = 2 cosx

2ctgx – 3 tgx+5=0

Альберт Эйнштейн говорил: «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

Давайте решим некоторые из данных уравнений. (Один человек у доски, остальные в тетрадях).

1) введение новой переменной, приведение к квадратному.

2) однородное тригонометрическое уравнение второй степени ( делим на косинус в квадрате икс):

3) разложение на множители:

4)введение вспомогательного аргумента:

4.Физминутка.

Французский писатель Анатоль Франс говорил: «Учиться надо весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом».Чтобы «нагулять аппетит» проведём физминутку.

5. Домашняя работа.

На домашнюю работу остаются остальные уравнения.

6.Самостоятельная работа с взаимопроверкой.

Древнегреческий поэт Нивей утверждал: «Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед», поэтому выполним небольшую самостоятельную работу.

Вариант 1. Вариант 2.

Ответы:(взаимопроверка).

Вариант1 Вариант2

3.Итог урока, выставление оценок.

Давайте вспомним некоторые тригонометрические понятия, решим кроссворд.

По горизонтали.

1.Ордината точки на единичной окружности? (синус).

2.2пn для функций у= sinx y=cosx? (период).

3. Угловая величина дуги, длина которой равна её радиусу (радиан).

4.Формулы вида …. называются? (приведения).

5.Абсцисса точки на единичной окружности? (косинус).

6.Сумма квадратов синуса и косинуса одного аргумента равна…?(единица).

7. Число из отрезка…,синус которого равен а? (арксинус).

8.Математическая постоянная = 3,14? (пи).

9. Отношение синуса числа к косинусу того же числа (тангенс).

3.Итог урока, выставление оценок.

Чем занимались на уроке?

Что интересное узнали на уроке?

Какие ещё высказывания о математике известных людей вы знаете?

Пожалуйста, поднимите руку те, кто считает, что эту тему понял очень хорошо?

Кто считает, что ещё нужно поработать?

Кто совсем плохо понял эту тему?

Молодцы, хорошо работали, думаю, с целями справились.

В заключении урока я хочу вам прочитать стихотворение:

“Музыка может возвышать или умиротворять душу,

Живопись – радовать глаз,

Поэзия — пробуждать чувства,

Философия – удовлетворять потребности разума,

Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,

а математика способна достичь всех этих целей”.

Так сказал американский математик Морис Клайн.

Спасибо за урок!

kopilkaurokov.ru

Урок алгебры и начала анализа в 10 классе » Решение простейших тригонометрических уравнений».

              Учитель математики школы-лицея №62 города Астаны:

                                                                                   Шеварёва Людмила Алексеевна

 

Открытый урок алгебры в 10 классе.

Тема:  Решение простейших тригонометрических уравнений.

«Кто смолоду делает и думает сам,

тот становиться потом надежнее,

крепче, умнее».

В.Шукшин

Цель: Повторить, углубить и систематизировать основные способы решения простейших    тригонометрических уравнений.

Формировать умение выделять в изучаемом материале главное.

Развивать логическое мышление, память, социальные компетентности.

Воспитывать настойчивость  и упорство в достижении цели.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний.

Ожидаемые результаты:

умение использовать теоретические сведения для решения простейших тригонометрических уравнений;

приобретение навыков творческого мышления;

приобретение навыков работы в малых группах;

развитие социальных компетентностей: умение делать выбор, принимать решение, брать на себя ответственность и бесконфликтно общаться в коллективе.

Технологии: компьютерные технологии (гиперссылки, мультимедиа, анимации, интерактивные элементы), мультимедийные технологии, дифференциация знаний.

Ход урока:

1. Методические рекомендации

Урок проводится в форме игры, в основу которой положена идея популярной телевизионной игры «Ключи от Форта Буайяр»

Класс следует объединить в четыре команды по 6-7 человек. Их состав подбирается таким образом, чтобы количество слабых, средних и сильных учащихся в каждой из команд было одинаковым.

            Каждая команда выбирает капитана, который оценивает коэффициент участия каждого в игре, а учитель двух-трех помощников.

            Учитель сообщает классу, что цель игры – получить сокровище. Сокровище считается найденным, если команда открывает слово-код. Для этого необходимо найти шесть ключей, каждый из которых можно получить только после правильно пройденного этапа игры.

            Учитель предупреждает участников, что некоторые задания нужно выполнять только устно. Об этом будет сообщаться перед прохождением каждого этапа. Далее каждый ученик получает от учителя карточку, на которой рядом с номером задания записана фамилия ученика, который на данном этапе будет играть за свою команду.

kopilkaurokov.ru

Урок «Решение тригонометрических уравнений» 10 класс

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение –

средняя общеобразовательная школа №12

Открытый урок

по алгебре и началам анализа

в 10 классе

по теме: «Решение тригонометрических уравнений»

подготовила

учитель математики

МБОУ СОШ №12

ст. Новониколаевской

Панасенко Н.В.

Цели урока:

1. Образовательные — повторение, обобщение, систематизация и углубление материала темы.

2. Развивающие –формирование умений применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного, логически излагать мысли, делать выводы, развивать речь, внимание и память.

3. Воспитательные – воспитание ответственности, активности, настойчивости, мобильности, общей культуре.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование: интерактивная доска, компьютер, мультимедийный проектор.

План урока.

1. Организационный момент.

2. Проверка домашней работы. Устная работа.

3. Работа в группах.

4. Систематизация теоретического материала. Объяснение нового.

5. Физкультминутка. Релаксация.

6. Проверочный тест.

7. Домашнее задание. Итог урока.

8. Рефлексия.

Ход урока:

1. Организационный момент

Сегодня заключительный урок по теме «Решение тригонометрических уравнений». Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения тригонометрических уравнений. Задания по решению тригонометрических уравнений встречаются в вариантах ЕГЭ. Перед вами стоит задача — показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений.

2. Проверка домашней работы

Необходимо сдать домашние работы по группам.

Домашняя работа состояла в то, что все учащиеся класса были разбиты по группы (3 уровня сложности: легкий уровень, средний уровень и усложненный уровень). Задания учащиеся получили заранее до урока и оцениваются самими учащимися по готовым решения на интерактивной доске.

Задания легкого уровня.

Решите уравнения:

1. sin x =1

2. cos ²x/2- sin² x/2=-1/2

3. cos ²x+3 sin x cos x=0

4. (tg x -2) (tg x +2)=1

Задания среднего уровня.

Решите уравнения:

1. cos (x/2-π/3)=1/2

2. 2sin² x—5sin x+2=0

3. (2 tg x/2) / (1- tg ²x/2)=2 cos π/6

4. cos ⁴x/4- sin⁴ x/4=-1

5. Сколько корней имеет уравнение sin x+ sin 3x=0 на отрезке [0; π]

Задания усложненного уровня.

Решите уравнения:

1. √3cos (x—π/3)=3/2

2. cos (x+π/4)= cos (2x-π/3)

3. Найдите наименьший по абсолютной величине корень уравнения 4cos ²x+3 sin x cos x—2sin² x =2

4. 2sin x+ 3cos x=3

5. Сколько корней имеет уравнение sin x/8 * cos x/8* cos x/4 *cos x/2=1/16 на отрезке [π/6; 13π/6]

6. Найдите ординаты общих точек графиков функций у= 2tg x и у= 1+сtg x

Устно (повторение изученного материала)

А) Ответьте на вопросы:

1) каково будет решение уравнения cos x=a при |a | > 1 ? [Нет решения]

2) чему равен sin П/6; cosП/2; arсcos ½; arcsin 1? Arctg 0,

2) при каком значении а уравнения sin x =a , cos x=a имеют решения? [Если |a | ≤ 1]

3) какой формулой выражаются решения уравнений sin x =a ,

cos x=a ? при условии |a | ≤ 1

4) назовите частные случаи решения уравнений sin x =a ,

cos x=a , если a = -1; 0; 1

5) чему равен arсcos(-a) ? [π- arсcos a]

6) в каком промежутке находится arctg a ? [-π/2; π/2], чему равен arcctg(- a) ? ( π- arcctg a)

7) какой формулой выражается решение уравнения tg x= a?

8) в каком промежутке находится arcсtg a ? (0;π)

9) какой формулой выражается решение уравнений ctg x =a ? (x= arcctg a +πn, n Z)

Б) В каждом из приведенных примеров сделаны ошибки. Назовите верный ответ и подумайте о причине ошибки.

1. 1. arcsin 45= √2/2 (неопределенно)

1. 2. arcos (-1/2) = -π/3 (2π/3 )

1. 3. arcsin 3 = arcsin 1*3= π/4*3= 3π/4 (не существует)

1. 4. arctg 1= arctg π/4 (π/4)

1. 5. arctg (√3)= — π/6 ( 3π/4)

1. 6. cos x=1/2 , х = ± π/6 + 2πк, к Z

Верно : cos x=1/2 , х = ± π/3 + 2πк, к Z

Ошибка в вычислении значений тригонометрической функции

2) sin x =√ 3/2 , x = π/3 + πк, к Z

Верно : sin x =√ 3/2 , x = (-1)^к π/3 + πк, к Z

Ошибка в формуле нахождения решения уравнения sin x =a

3) cos x/3 =√ 2/2 , x/3 = ± π/4 + 2 πк ; x = ± 3π/4 + 2 πк/3, к Z

Верно : cos x/3 =√ 2/2 , x/3 = ± π/4 + 2 πк ; x = ± 3π/4 + 6 πк, к Z

Ошибка в выполнении деления

4) sin 2x =1/3, x = (-1/2)ⁿarcsin1/3 + πn, n Z

Верно : sin 2x =1/3 , x = (-1)ⁿ/2 arcsin1/3 + πn/2, n Z

Вычислительная ошибка

5) cos x = -1/2, x = ±(-π/3) + 2πm, m Z

Верно : cos x = -1/2, x = ±2π/3 + 2πm, m Z

По определению arcсos(-π/3) [0;π]

6) cos x =√10/3, x = arcсos√10/3 + 2πn, n Z

x— не существует, так как √10/3 не удовлетворяет условию | cos x | ≤ 1

7) tg x =-1, x =- π/4 + 2πn, n Z

Верно : tg x =-1, x = -π/4 + πn, n Z

В периоде

8) ctg x =-√3/3, x= -π/3+πm, m Z

Верно : ctg x =-√3/3, x= 2π/3+πm, m Z

По определению arcсos(-π/3) [0;π]

3. Работа в группах

А теперь выберите одно из предложенных уравнений и решите его.

На экране проецируется задание.

На оценку

1 вариант

2 вариант

«3»

«4»

«5»

2 cos²х + 5 sin х — 4=0

cos 2х + cos х =0

√2 sin (x/2) + 1 = cos х

Ответы

(-1)^k π/6 + πk, k Z

^{π + 2πk, k Z}

^± π/3 + 2 πn, n Z

2 πk, k Z

(-1)^k π/2+2πn,n Z

3 sin x — 2 cos²x =0

cos 2x + sin x =0

√2cos(x/2) + 1=cos x

Ответы

(-1)^k π/6 + πk, k Z

π/2 + 2πk, k Z

(-1)^k+1 π/6 + πn, n Z

^{π + 2πk, k Z}

^± π/2 + 4πn, n Z

Проверьте свое решение с ответами

На экране проецируются ответы

4. Систематизация теоретического материала.

Классификация тригонометрических уравнений.

На доске написаны уравнения разных типов. Учащиеся должны определить тип и методы решения уравнений.

sin x/2 =1/2

cos (x +π/3)=1

sin 2x =-√3/2

Это простейшие тригонометрические уравнения типа sin f(x)=a, которые решаются сначала относительно f(x), а затем полученные уравнения решаются относительно х по известным формулам.

2sin² x-7 cos x-5=0

2 cos ²3x+ sin 3x-1=0

сtg x-√3tg x+1=√3

Эти уравнения приводятся к алгебраическим путем введения новой переменной и сведению его к квадратному уравнению.

sin² x- sin x=0

cos ²x+ sin x cos x=1

5 sin x+3 sin2x=0

Данные уравнения решаются разложением на множители. При решении таких уравнений нужно пользоваться правилом: произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

2sin x-3 cos x=0

4 sin² x+2 sin x cos x=3

Однородные уравнения первой (второй) степени. Они решаются делением обеих частей уравнения на cos x (sin x), cos ²x (sin² x)

sin x+ sin 3x=4cos ³x

cos 2x+ cos x=0

cos 3x*cos 2x= sin3 x *sin 2x

2sin² x+ cos 4x=0

Данный тип уравнений решается с помощью формул сложения, понижения степеней и разложения произведения тригонометрических функций в сумму.

cos x- √3sin x=2

2 cos x+ 2sin x=√6

√3 cos x+ sin x=2

Уравнения вида a cosx+ b sinx = c, где a;b; c 0. Решаются методом введения вспомогательного аргумента.

2 cos 3x+4 sin x/2=7

2 cos 3x+ cos x=-8

3 cos 3x+ cos x=4

Данные уравнения решаются оценкой левой и правой частей

5. Физкультминутка

А сейчас давайте немного отдохнем. Для этого я предлагаю выполнить несколько упражнений.

Упражнение 1. Цель этого упражнения — устранение вредных эффектов от неподвижного сидения в течение длительного периода времени и профилактика грыжи межпозвоночных дисков поясничного отдела.

• В положении стоя положите руки на бедра.

• Медленно отклоняйтесь назад, глядя на небо или в потолок.

• Вернитесь в исходное положение.

Повторите 10 раз.

Упражнение 2. Цель — укрепление мышц задней стороны шеи для улучшения осанки и предотвращения болей в области шеи.

Поза: сидя или стоя

Смотрите прямо перед собой, а не вверх и не вниз.

Надавите указательным пальцем на подбородок.

Сделайте движение шеей назад.

Совет: совершая это движение, продолжайте смотреть прямо перед собой, не смотрите вверх или вниз. Для этого представьте, что кто-то, стоящий позади вас, тянет за нить, проходящую через ваш подбородок. Оставайтесь в этом положении в течение 5 секунд.
Повторите 10 раз.

К однородным уравнениям после применения формул тригонометрии могут быть сведены различные тригонометрические уравнения, которые первоначально не были однородными.

Рассмотрим уравнение: А sin² х + В sinх cos х + С cos²х = D, преобразуем данное уравнение А sin² х + В sinх cos х + С cos²х =D (sin² х + cos²х)

или (А –D) sin² х + В sinх cos х + (С-D) cos²х =0.

Уравнение A sin x+ B cos x = С также не является однородным. Но после выполнения ряда преобразований данное уравнение становится однородным уравнение второго порядка:

A sin x+ B cos x = С

A sin 2 (x/2) + B cos 2(x/2) = С

2 A sin(x/2) cos(x/2) + В (cos²(x/2) — sin²(x/2) )= С (sin²(x/2) + cos²(x/2)). А теперь давайте решим следующее уравнение.

Решить уравнение 2 sin x+ cos x=2, используя нужные методы

sin x=2 sin x/2 cos x/2

cos x= cos² x/2- sin² x/2

2=2*1=2 *(sin² x/2+ cos ²x/2)

4 sin x/2 cos x/2+ cos ²x/2- sin² x/2=2 sin² x/2+2 cos ²x/2

4 sin x/2 cos x/2+ cos ²x/2- sin² x/2-2 sin² x/2-2 cos ²x/2=0

4 sin x/2 cos x/2- cos ²x/2-3 sin² x/2=0

Если cos x/2=0 , то должно выполняться равенство sin² x/2=0, а синус и косинус одновременно быть равными нулю не могут. Поэтому можно обе части уравнения разделить на cos ²x/2 и получить уравнение, равносильное данному

3tg ²x/2-4 tg x/2+1=0

Пусть tg x/2=у, получим квадратное уравнение

3у²—4у+1=0

Д=16-12=4, Д>0, уравнение имеет два различных корня

у₁=1; у₂=1/3

Итак, tg x/2=1 или tg x/2=1/3

x/2= arctg1 +πn, n Z x/2= arctg1/3 +πк, к Z

x/2= π/4 +πn, n Z x= 2arctg1/3 +2πк, к Z

x= π/2 +2πn, n Z

Ответ: x= π/2 +2πn, n Z , x= 2arctg1/3 +2πк, к Z

Вопрос: Какие методы были использованы при решении уравнения (тригонометрические тождества, однородное уравнение, введение новой переменной)

6. Проверочный тест

На экране проецируется задание.

На оценку

1 вариант

2 вариант

«3»

«4»

«5»

3 sin x+ 5 cos x = 0

5 sin² х — 3 sinх cos х — 2 cos²х =0

3 cos²х + 2 sin х cos х =0

5 sin² х + 2 sinх cos х — cos²х =1

2 sin x — 5 cos x = 3

1- 4 sin 2x + 6 cos²х = 0

2 cos x+ 3 sin x = 0

6 sin² х — 5 sinх cos х + cos²х =0

2 sin² x – sin x cosx =0

4 sin² х — 2sinх cos х — 4 cos²х =1

2 sin x — 3 cos x = 4

2 sin² х — 2sin 2х +1 =0

Учитель: Ребята, проверьте свое решение с ответами.

На экране проецируются ответы

1 вариант

2 вариант

«3»

«4»

«5»

— arctg 5/3+ πk, k Z.

π/4 + πk; — arctg 0,4 + πn, k, n Z.

π/2 + πk; — arctg 1,5 + πn, k, n Z.

π/4 + πk; — arctg 0,5 + πn, k, n Z.

arctg ( — 1 ± √5) + πk, k Z.

π/4 + πk; arctg 7 + πn, k, n Z.

— arctg 2/3+ πk, k Z

infourok.ru

Урок по теме «Решение простейших тригонометрических уравнений». 10-й класс

Разделы: Математика

---

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Цели и задачи:

• закрепление и обобщение знаний по данной теме
• повторение определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса;
• закрепление умения решения простейших тригонометрических уравнений.

Оборудование: мультимедийный проектор.

Ход урока

Объявляется тема урока.

Учитель: нашей задачей на сегодняшнем уроке является отработка навыков решения тригонометрических уравнений. Задания по решению тригонометрических уравнений встречаются в вариантах ЕГЭ. Перед вами стоит задача — показать свои знания и умения по решению простейших тригонометрических уравнений.

1 этап Разминка

Разгадать ребус и дать определение понятия. Приложение.

(арксинус) 

(арктангенс)

(арккотангенс)

(арккосинус)

Работа с цветными карточками «Найдите ошибку».

Цветные карточки развешены по классу.

В это время один представитель от каждого ряда выполняет задание.

На магнитной доске сопоставить тригонометрическое уравнение и решение данного уравнения.

После  выполнения задания второму представителю от каждого ряда дается возможность исправить ошибки.

Обратить внимание учеников, что тригонометрические уравнения sinx=a и cosx=a не имеют решения при  |a | > 1.

2 этап Решение

145 (б,в), 146(а,в), 147(а-в), 149(а,б)

3 этап Самостоятельная работа

Итог работы

Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы вспомнили числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомнили формулы решения простейших тригонометрических уравнений, закрепили навыки и проверили умения решать простейшие тригонометрические уравнения. На этом наше знакомство с тригонометрическими уравнениями не заканчивается. На следующих уроках мы познакомимся с  новыми способами решения тригонометрических уравнений. Спасибо вам за работу на уроке.

Список использованной литературы

1. А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын, Б.М. Ивлев, С.И. Шварцбурд  Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. М: Просвещение, 2008.
2. Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса — Москва: Просвещение, 1990.
3. Ершова А.П., Голобородько В.В., Ершова А.С. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов, — М.: Илекса, 2013.

26.02.2017

Поделиться страницей:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai