Единичный круг — уравнение единичного круга

Единичный круг из самого названия определяет круг единичного радиуса. Круг – это замкнутая геометрическая фигура без сторон и углов. Единичный круг обладает всеми свойствами круга, и его уравнение также выводится из уравнения круга. Кроме того, единичный круг полезен для получения стандартных значений углов всех тригонометрических соотношений.

Здесь мы изучим уравнение единичного круга и поймем, как представить каждую из точек на окружности единичного круга с помощью тригонометрических соотношений cosθ и sinθ.

1.	Что такое единичный круг?
2.	Нахождение тригонометрических функций с помощью единичной окружности
3.	Единичная окружность с синусоидальным косинусом и тангенсом
4.	Круговая диаграмма блока
5.	Единичный круг и тригонометрические тождества
6.	Единичный круг Пифагорейские тождества
7.	Единица окружности и тригонометрические значения
8.	Единичная окружность в комплексной плоскости
9.	Часто задаваемые вопросы по Unit Circle

Что такое единичный круг?

Единичный круг — это круг с радиусом, равным 1 единице. Единичный круг обычно изображается в декартовой координатной плоскости. Единичный круг алгебраически представляется с помощью уравнения второй степени с двумя переменными x и y. Единичный круг имеет приложения в тригонометрии и помогает найти значения тригонометрических отношений синуса, косинуса, тангенса.

Определение единичной окружности

Геометрическое место точки, которая находится на расстоянии одной единицы от фиксированной точки, называется единичной окружностью.

Уравнение единичной окружности

Общее уравнение окружности (x — a) ² + (y — b) ² = r ² , которое представляет собой окружность с центром (a, b ) и радиусом r. Это уравнение окружности упрощено для представления уравнения единичной окружности. Единичный круг формируется с центром в точке (0, 0), которая является началом осей координат. и радиусом 1 ед. Следовательно, уравнение единичной окружности (x — 0) ² + (у — 0) ² = 1 ² . Это упрощается, чтобы получить уравнение единичного круга.

Уравнение единичного круга: x ² + y ² = 1

Здесь для единичного круга центр лежит в точке (0,0), а радиус равен 1 единице. Приведенное выше уравнение удовлетворяет всем точкам, лежащим на окружности через четыре квадранта.

Нахождение тригонометрических функций с помощью единичной окружности

Мы можем вычислить тригонометрические функции синуса, косинуса и тангенса, используя единичную окружность. Применим теорему Пифагора в единичной окружности, чтобы понять тригонометрические функции. Рассмотрим прямоугольный треугольник, помещенный в единичный круг в декартовой плоскости координат. Радиус окружности представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника. Радиус-вектор составляет угол θ с положительной осью x, а координаты конечной точки радиус-вектора равны (x, y). Здесь значения x и y — длины основания и высоты прямоугольного треугольника. Теперь у нас есть прямоугольный треугольник со сторонами 1, x, y. Применяя это в тригонометрии, мы можем найти значения тригонометрического отношения следующим образом:

• sinθ = высота/гипотеза = y/1
• cosθ = Основание/Гипотенуза = x/1

Теперь у нас есть sinθ = y, cosθ = x, и, используя это, мы теперь имеем tanθ = y/x. Точно так же мы можем получить значения других тригонометрических отношений, используя прямоугольный треугольник внутри единичного круга. Также, изменяя значения θ, мы можем получить главные значения этих тригонометрических отношений.

Unit Circle с Sin Cos и Tan

Любая точка на единичной окружности имеет координаты (x, y), которые равны тригонометрическим тождествам (cosθ, sinθ). Для любых значений θ, сделанных линией радиуса с положительной осью x, координаты конечной точки радиуса представляют косинус и синус значений θ. Здесь мы имеем cosθ = x и sinθ = y, и эти значения помогают вычислить другие значения тригонометрического отношения. Применяя это дальше, мы получаем tanθ = sinθ/cosθ или tanθ = y/x.

Еще один важный момент, который следует понимать, заключается в том, что значения sinθ и cosθ всегда находятся в диапазоне от 1 до -1, а значение радиуса равно 1 и имеет значение -1 на отрицательной оси x. Весь круг представляет собой полный угол в 360º, а четыре квадранта окружности образуют углы в 9 градусов.0°, 180°, 270°, 360°(0°). При 90º и 270º значение cosθ равно 0, и, следовательно, значения тангенса при этих углах не определены.

Пример: Найдите значение tan 45º, используя значения sin и cos для единичного круга.

Решение:

Мы знаем, что tan 45° = sin 45°/cos 45°

Используя единичную круговую диаграмму:
sin 45° = 1/√2
cos 45° = 1/√2

Следовательно, tan 45° = sin 45°/cos 45°
= (1/√2)/(1/√2)
= 1

Ответ: Следовательно, тангенс 45° = 1

Круговая диаграмма единиц измерения в радианах

Единичная окружность представляет собой полный угол в 2π радиан. А единичный круг делится на четыре квадранта под углами π/2, π. 3π/2 и 2π соответственно. Далее в пределах первого квадранта под углами 0, π/6, π/4, π/3, π/2 находятся стандартные значения, применимые к тригонометрическим соотношениям. Точки на единичной окружности для этих углов представляют собой стандартные угловые значения отношений косинуса и синуса. При внимательном рассмотрении рисунка ниже значения повторяются в четырех квадрантах, но с изменением знака. Это изменение знака происходит из-за опорных осей x и y, которые положительны с одной стороны и отрицательны с другой стороны от начала координат. Теперь с помощью этого мы можем легко найти значения тригонометрического соотношения стандартных углов в четырех квадрантах единичного круга.

Единичный круг и тригонометрические тождества

Тождества синуса, косеканса и тангенса единичной окружности можно использовать для получения других тригонометрических тождеств, таких как котангенс, секанс и косеканс. Тождества единичной окружности, такие как косеканс, секанс, котангенс, являются соответствующими обратными значениями синуса, косинуса, тангенса. Кроме того, мы можем получить значение tanθ, разделив sinθ на cosθ, и мы можем получить значение cotθ, разделив cosθ на sinθ.

Для прямоугольного треугольника, помещенного в единичный круг в декартовой координатной плоскости, с гипотенузой, основанием и высотой, измеряемыми единицами 1, x, y соответственно, тождества единичного круга могут быть заданы как

• sinθ = y/1
• cosθ = х/1
• tanθ = sinθ/cosθ = y/x
• сек (θ = 1/x
• csc(θ) = 1/г
• раскладушка (θ) = cosθ/sinθ = x/y

Единичный круг Пифагорейские тождества

Три важных пифагорейских тождества тригонометрических отношений можно легко понять и доказать с помощью единичной окружности. Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон. Три пифагорейских тождества в тригонометрии таковы.

• sin ² θ + cos ² θ = 1
• 1 + тангенс ² θ = сек ² θ
• 1 + кроватка ² θ = cosec ² θ

Здесь мы попытаемся доказать первое тождество с помощью теоремы Пифагора. Возьмем x и y катетами прямоугольного треугольника с гипотенузой 1 единица. Применяя теорему Пифагора, мы имеем x ² + y ² = 1, что представляет собой уравнение единичного круга. Также в единичном круге мы имеем x = cos θ и y = sin θ, и применяя это в приведенном выше утверждении теоремы Пифагора, мы имеем, cos ² θ + sin ² θ = 1. Таким образом, мы успешно доказали первое тождество, используя теорему Пифагора. Далее внутри единичного круга мы можем также доказать два других тождества Пифагора.

Единица окружности и тригонометрические значения

Различные тригонометрические тождества и их значения главных углов можно вычислить с помощью единичной окружности. В единичном круге у нас есть косинус в качестве координаты x и синус в качестве координаты y. Теперь найдем их соответствующие значения для θ = 0° и θ = 90º.

Для θ = 0° координата x равна 1, а координата y равна 0. Следовательно, мы имеем cos0º = 1, а sin0º = 0. Давайте посмотрим на другой угол 90º. Здесь значение cos90º = 1, а sin90º = 1. Далее, давайте воспользуемся этой единичной окружностью и найдем важные значения тригонометрической функции θ, такие как 30º, 45º, 60º. Кроме того, мы также можем измерить эти значения θ в радианах. Мы знаем, что 360° = 2π радиан. Теперь мы можем преобразовать угловые меры в радианы и выразить их в радианах.

Таблица единичных окружностей:

Таблица единичных окружностей используется для перечисления координат точек на единичной окружности, которые соответствуют обычным углам с помощью тригонометрических соотношений.

Мы можем найти функции секанса, косеканса и котангенса, также используя эти формулы:

• secθ = 1/cosθ
• cosecθ = 1/sinθ
• cotθ = 1/tanθ

Мы обсудили единичный круг для первого квадранта. Точно так же мы можем расширить и найти радианы для всех квадрантов единичной окружности. Числа 1/2, 1/√2, √3/2, 0, 1 повторяются вместе со знаком во всех 4 квадрантах.

Единичная окружность на комплексной плоскости

Единичный круг состоит из всех комплексных чисел с абсолютным значением равным 1. Следовательно, он имеет уравнение |z| = 1. Любое комплексное число z = x + \(i\)y будет лежать на единичной окружности с уравнением, заданным как x ² + y ² = 1.

Единичный круг можно рассматривать как единичные комплексные числа на комплексной плоскости, т. е. множество комплексных чисел z, заданное в виде

z = e ^{\(i \)t} = cos t + \(i\) sin t = cis(t)

Приведенное выше соотношение представляет собой формулу Эйлера.

Примеры единичных кругов

1. Пример 1: Точка P (1/2, 1/2) лежит на единичной окружности?

   Решение:

   Мы знаем, что уравнение единичной окружности:

   x ² + y ² = 1

   Подставляя x = 1/2 и y = 1/2, получаем:

   = x 29053 + у ²
   = (1/2) ² + (1/2) ²
   = 1/4 + 1/4
   = 1/2

   ≠ 1

   Поскольку x ² + y ² ≠ 1, точка P (1/2, 1/2) не лежит на единичной окружности.

   Ответ: Следовательно, (1/2, 1/2) не лежит на единичной окружности.

2. Пример 2: Найдите точное значение тангенса 210°, используя единичный круг.

   Решение:

   Мы знаем, что

   тангенс 210° = sin 210°/cos210°

   Используя единичную круговую диаграмму:

   sin 210° = -1/2

   cos /2

   Следовательно,

   tan 210° = sin 210°/cos 210°

   = (-1/2)/(-√3/2)

   = 1/√3

   Ответ: Следовательно , тангенс 210° = 1/√3

3. Пример 3: Найдите значение sin 900°, используя круговую диаграмму.

   Решение:

   Так как единичный круг имеет 0°-360°, давайте представим 900° через 360°.

   900° — это 2 полных оборота на 360° и дополнительный поворот на 180°.

   Следовательно, 900° будет иметь то же тригонометрическое отношение, что и 180°.

   Следовательно,

   sin 900° = sin 180°

   Из диаграммы единичного круга мы знаем, что:

   sin 180° = 0

   Ответ: sin 900° = 0

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по единичному кругу

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы по Unit Circle

Что такое единичный круг в математике?

Единичная окружность — это окружность радиусом в одну единицу. Как правило, единичный круг изображается на координатной плоскости с центром в начале координат. Уравнение единичной окружности радиуса в одну единицу с центром в точке (0, 0) равно x ² + y ² = 1. Кроме того, единичная окружность имеет приложения в тригонометрии и используется для нахождения главных значений тригонометрических соотношений синусов и косинусов.

Как найти Sin и Cos с помощью единичного круга?

Единичный круг можно использовать для определения значений sinθ и Cosθ. В единичной окружности радиуса 1 единица с центром в точке (0, 0) возьмем радиус, наклоненный к положительной оси x под углом θ, и конечную точку радиуса как (x, y). Проведите перпендикуляр от конца радиуса к оси x, и он образует прямоугольный треугольник с радиусом в качестве гипотенузы. Прилегающая сторона этого треугольника представляет собой значение x, противоположная сторона треугольника представляет собой значение y, а гипотенуза равна 1 единице. Далее, используя формулу тригонометрического соотношения, имеем sinθ = Opp/Hyp = y/1, а cosθ = Adj/Hyp = x/1. Таким образом, мы имеем sinθ = y и cosθ = x.

Что такое определение единичной окружности триггерных функций?

Тригонометрическую функцию можно вычислить для главных значений, используя единичный круг. Для единичного круга с центром в начале координат (0, 0) радиус равен 1 единице, если радиус наклонен под углом θ и конечная точка радиус-вектора равна (x, y), тогда cosθ = x и грех θ = у. Далее, по этим двум значениям можно вычислить все остальные тригонометрические отношения. Кроме того, основные значения можно вычислить, изменив значение θ.

Как найти конечную точку на единичной окружности?

Конечная точка на единичной окружности находится с помощью уравнения единичной окружности x ² + y ² = 1. Если данная точка удовлетворяет этому уравнению, то она является точкой, лежащей на единичной окружности круг. Кроме того, конечная точка единичного значения может быть найдена для значения θ путем нахождения значений cosθ и sinθ.

Что такое уравнение единичной окружности?

Уравнение единичной окружности x ² + y ² = 1. Здесь считается, что единичный круг имеет центр в начале координат (0, 0) осей координат и имеет радиус 1 единицу. Это уравнение единичного круга было получено с помощью формулы расстояния.

Как вывести уравнение единичного круга?

Уравнение единичного круга можно рассчитать, используя формулу расстояния координатной геометрии. Для окружности с центром в начале координат (0, 0), радиусом 1 единица, любая точка на окружности может быть принята как (x, y). Применяя определение круга и используя формулу расстояния, мы имеем (x — 0) ² + (y — 0) ² = 1, что можно упростить как x ² + y ² = 1.

Когда Tan не определен на единичном круге?

Единичный круг, имеющий уравнение x ² + y ² = 1, помогает найти тригонометрические отношения sinθ = y и cosθ = x. Используя эти значения, мы можем легко найти значение tanθ = sinθ/cosθ = y/x. Tanθ будет неопределенным при cosθ = 0, т. е. когда θ равно 90° и 270°.

Какая связь между прямоугольными треугольниками и единичным кругом?

Прямоугольный треугольник и единичная окружность связаны однозначно. Любую точку на единичной окружности можно представить в виде прямоугольного треугольника с радиусом в виде гипотенузы прямоугольного треугольника и координатами точки в виде двух других сторон прямоугольного треугольника. Уравнение окружности x ² + y ² = 1 полностью удовлетворяет теореме Пифагора, относящейся к прямоугольному треугольнику. Кроме того, прямоугольный треугольник внутри единичного круга полезен для получения значений тригонометрического отношения.