Осевая симметрия возникает, когда точки одной фигуры совпадают с точками другой фигуры, принимая за отсчет линию, известную под названием оси симметрии. В осевой симметрии мы находим то же явление, что и в изображении, отраженном в зеркале.

Мы называем точки, принадлежащие симметричной фигуре, гомологичными точками, то есть $$A’$$ гомологична $$A$$, $$B’$$ гомологична $$B$$, и $$C’$$ гомологичен $$C$$. Кроме того, существующие расстояния между точками исходной фигуры равны расстояниям между точками симметричной фигуры. В этом случае: Осевая симметрия также может иметь место в объекте относительно одной или нескольких осей симметрии.

Если мы изогнем фигуру по прочерченной оси симметрии, мы можем ясно заметить, что точки противоположных частей совпадают, то есть обе части соответствуют.

Далее мы изучим выражение осевых симметрий в координатах.

Пусть $$P ‘= (x, y)$$ и $$P ‘= (x’, y ‘)$$ — две точки плоскости, выразим ее в координатах в соответствии с положением ее оси:

• Ось симметрии является осью координат Y:

  В этом случае алгебраическое представление преобразования можно выполнить с помощью следующей системы:

  $$$ \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 и 0 \\ 0 и 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} х \\ у \end{pmatrix} $$$

Далее мы собираемся вычислить симметрию точки $$P$$ с помощью симметрии, осью которой является их координатная ось. Пусть $$P = (2,2)$$ — точка плоскости, тогда ее симметрия вычисляется с помощью следующей системы уравнений:

$$$ \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 и 0 \\ 0 и 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \Стрелка вправо \влево\{ \begin{array}{l} x’=-2 \\ y’=2 \end{массив} \Правильно. $$$

Следовательно, симметричной точкой относительно оси координат y является точка $$P’=(-2,2)$$.

• Ось симметрии является осью координат x:

  В этом случае алгебраическое представление преобразования можно выполнить с помощью следующей системы: $$$ \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 и 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} х \\ у \end{pmatrix} $$$

Продолжаем предыдущий пример, вспомним, что у нас была точка P с координатами $$(2,2)$$ и в предыдущем примере мы вычислили ее симметричную относительно оси координат $$y$$. Теперь мы вычислим ее симметричную относительно оси координат $$x$$ и назовем эту новую точку $$P»$$. Вычислим ее координаты с помощью следующей системы уравнений:

$ $$ \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 и 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x’=2 \\ y’=-2 \end{array} \Правильно. $$$

Таким образом, симметричной точкой относительно оси координат x является точка $$P»=(2,-2)$$.

Чтобы закончить осевые симметрии, мы собираемся изучить, что происходит с композицией осевых симметрий:

• Композицией двух симметрий с параллельными осями $$e$$ и $$e’$$ является трансляция, вектор которой имеет длину, удвоенную расстояние между осями, направление перпендикулярно осям и его смысл тот это идет от $$e$$ до $$e’$$.
• Композиция двух симметрий с перпендикулярными осями $$e$$ и $$e’$$ является центральной симметрией относительно точки пересечения двух осей симметрии.

Возьмем снова точку $$P = (2,2)$$ и применим к ней симметрию относительно оси координат y, а затем симметрию относительно оси координат $$x$$. \circ$$.

Точка является центром симметрии фигуры, если она определяет центральную симметрию.

Далее мы увидим выражение в координатах центральной симметрии, изменяющей центр симметрии.

• Координаты с помощью центральной симметрии $$O=(0,0)$$:

  На следующем изображении мы видим, как ведет себя центральная симметрия, являющаяся центром начала координат точки:

  Далее треугольник и его гомолог видны с помощью симметрии:

  В обоих случаях преобразование связано со следующей системой: $$$ \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 и 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} х \\ у \end{pmatrix} $$$

Зная отрезок $$AB$$, образованный точками $$A = (1,0)$$ и $$B = (2,3)$$, вычислим его симметрию относительно центра координат . Для этого вычислим симметрию точек $$A$$ и $$B$$. Точно, симметрия $$A$$ равна $$A’$$:

$$$ \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 и 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \стрелка вправо \влево\{ \begin{array}{l} x’=-1 \\ y’=0 \end{массив} \Правильно. $$$

Следовательно, $$A ‘= (-1,0)$$ . Симметрия точки $$B$$ равна $$B’$$:

$$$ \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 и 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \стрелка вправо \влево\{ \begin{array}{l} x’=-2 \\ y’=-3 \end{массив} \Правильно. $$$

Следовательно, симметрией отрезка $$AB$$ является отрезок $$A’B’$$, проходящий через точки $$A’ = (-1,0)$$ и $$B ‘= ( -2, -3)$$.

• Координаты с помощью центральной симметрии $$O=(a, b)$$:

  Точка $$P’$$, гомологичная точке $$P=(x, y)$$ посредством центральной симметрии центра $$O=(a, b)$$:

  А фигура, гомологичная треугольнику, имеет такой вид:

  Следовательно, связанная с ним система: $$$ \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 и 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} х \\ у \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2a \\ 2b \end{pmatrix} $$$

  , где мы помним, что значения $$(a, b)$$ являются координатами центра симметрии.

Мы собираемся рассмотреть центр центральной симметрии $$O = (1,2)$$ и хотим вычислить симметрию относительно $$O$$ точки $$A = (3,7)$ $. Тогда для системы уравнений, связанной с центральной симметрией с началом $$O=(a, b)$$, координаты симметричной точки равны:

$$$ \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pматрица} = \begin{pmatrix} -1 и 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2\cdot 1 \\ 2\cdot 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x’=-3+2=-1 \\ y’=-7+4=-3 \end{array} \Правильно. $$$ 9\circ$$, поэтому получается та же цифра, что называется регрессией. Это инволютивное преобразование.

Симметрия | Биология, типы, примеры и факты

биологическая симметрия

Все медиа

Связанные темы:

бирадиальная симметрия радиальная симметрия мезаксоническое состояние двусторонняя симметрия сферическая симметрия

Просмотреть весь связанный контент →

симметрия , в биологии упорядоченное повторение частей животного или растения. В частности, симметрия относится к соответствию частей тела по размеру, форме и относительному положению на противоположных сторонах разделительной линии или распределенных вокруг центральной точки или оси. За исключением радиальной симметрии, внешняя форма мало связана с внутренней анатомией, так как животные самого разного анатомического строения могут иметь один и тот же тип симметрии.

Симметрия у животных

Некоторые животные, особенно большинство губок и амебоидных простейших, лишены симметрии, имея либо неправильную форму, различную для каждой особи, либо форму, подвергающуюся постоянным изменениям. Однако подавляющее большинство животных имеет определенную симметричную форму. Среди животных встречаются четыре таких типа симметрии: сферическая, радиальная, бирадиальная и двусторонняя.

Britannica Quiz

Biology Bonanza

Что означает слово «миграция»? Сколько пар ног у креветки? От ядовитых рыб до биоразнообразия — узнайте больше об изучении живых существ в этой викторине.

При сферической симметрии, представленной только группами простейших Radiolaria и Heliozoia, тело имеет форму сферы, а части расположены концентрически вокруг центра сферы или расходятся от него. У такого животного нет ни концов, ни сторон, и любая плоскость, проходящая через центр, разделит животное на равнозначные половины. Сферический тип симметрии возможен только у мельчайших животных с простым внутренним строением, так как у сфер внутренняя масса велика по отношению к площади поверхности и становится слишком большой для эффективного функционирования с увеличением размера и сложности.

При радиальной симметрии тело имеет общую форму короткого или длинного цилиндра или чаши с центральной осью, от которой расходятся части тела или вдоль которой они расположены правильным образом. Главная ось гетерополярна, т. е. с непохожими концами, один из которых несет рот и называется оральным, или передним, концом, а другой, называемый аборальным, или задним, концом, образует задний конец животное и может нести анус. Следовательно, главная ось называется орально-аборальной или переднезадней осью. За исключением животных, имеющих нечетное число частей, расположенных по кругу (как у пятилучевых морских звезд), любая плоскость, проходящая через эту ось, разделит животное на симметричные половины. Животные, имеющие три, пять, семь и т. д. частей в круге, обладают симметрией, которую можно назвать соответственно трехлучевой, пятилучевой, семилучевой и т. д.; только определенные плоскости, проходящие через ось, будут делить таких животных на симметричные половины. Радиальная симметрия встречается у книдарий (включая медуз, актиний и кораллов) и иглокожих (таких как морские ежи, офиуры и морские звезды).

В бирадиальной симметрии кроме переднезадней оси имеются еще две другие оси или плоскости симметрии, расположенные под прямым углом к ​​ней и друг к другу: сагиттальная, или срединная вертикально-продольная, и поперечная, или поперечная, оси. Таким образом, такое животное имеет не только два конца, но и две пары симметричных сторон. У бирадиального животного есть только две плоскости симметрии: одна проходит через переднезаднюю и сагиттальную оси, а другая — через переднезаднюю и поперечную оси. Бирадиальная симметрия имеет место в гребенчатых желе.

При билатеральной симметрии имеются те же три оси, что и при бирадиальной симметрии, но только одна пара симметричных сторон, латеральные стороны, поскольку две другие стороны, называемые дорсальной (задней) и вентральной (брюшной) поверхностями, неодинаковы. Таким образом, только одна плоскость симметрии разделит билатеральное животное на симметричные половины, срединная продольная или сагиттальная плоскость. Двусторонняя симметрия характерна для подавляющего большинства животных, в том числе для насекомых, рыб, амфибий, рептилий, птиц, млекопитающих и большинства ракообразных.

Оформите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подписаться сейчас

Симметрия в цветах

Понятие симметрии также применяется в ботанике. Цветок считается симметричным, если каждая мутовка состоит из равного числа частей или когда части любой одной мутовки кратны частям предыдущей. Так, симметричный цветок может иметь пять чашелистиков, пять лепестков, пять тычинок и пять плодолистиков, или число любых из этих частей может быть кратно пяти.

Число частей в пестичной (женской) мутовке часто не соответствует количеству частей в других мутовках, но в таких случаях цветок все же называется симметричным, если остальные мутовки нормальные. Цветок, в котором части расположены попарно, двумерный; в тройках, четверках или пятерках, трехчленных, четырехчленных или пятичленных соответственно. Трехмерная симметрия является правилом для однодольных растений, пятичленная наиболее распространена среди двудольных, хотя двудольные и четырехчленные цветки также встречаются в последней группе.

Когда разные члены каждой мутовки одинаковы, цветок правильный и называется актиноморфным или радиально-симметричным, как у петунии, лютика и шиповника.