Вопрос 1:

Если кроватка θ (1 + sin θ) = 4м и кроватка θ (1 — sin θ) = 4n, то докажите, что (m² — n²) ² = mn

Ответ: 9000ot000θ θ2 (1 000 и 000) θ 2 (1 000 и 000) θ 2 (1 000 и 000) θ 2 (1 000 и 000) θ 2 (1 000 и 000) θ 2 (1 000 и 000) θ 2 (1 000 и 000) θ 2 (1 000 и 000) θ 2 (1 000 и 000) θ 2 (1 000 и 000) θ 1 (2 000 000 000) θ 1 (2 000 000 000) 0 000 (2 000) = 2 000 1 cot θ (1 — sin θ) = 4n

m = [cot θ (1 + sin θ)] / 4

n = [cot θ (1 — sin θ)] / 4

m² = [cot θ (1 + sin θ) / 4] ² = [Cot² θ (1 + sin θ) ²/16] — (1)

n² = [cot θ (1-sin θ) / 4] ² = [cot² θ (1-sinθ) ²/16] — — (2)

(1) — (2)

L.H.S

m² — n² = [cot² θ (1 + грех θ) ² — cot² θ (1 + грех θ) ²] / 16

= [cot² θ (1 + sin²θ + 2sinθ) — cot² θ (1 + sin²θ -2sinθ)] / 16

= (4 cot² θ sinθ / 16)

= (θ cot² грех θ / 4)

(m² — n²) ² = (θ cot⁴ sin² θ) / 16

= [(cos⁴ θ / sin⁴ θ) ⋅ sin² θ] / 16

= (1/16) (cos⁴ θ / sin² θ) — (1) л.H.S

m = [cot θ (1 + sin θ)] / 4

n = [cot θ (1 — sin θ)] / 4

mn = [cot θ (1 + sin θ) / 4] [cot θ (1 — sin θ) ) / 4]

= cot² θ (1 — sin² θ) / 16

= cot² θ (cos² θ) / 16

= (cos² θ / sin² θ) ⋅ (cos² 000) 000) (cos⁴ θ / sin² θ) — (2) RHS

Вопрос 2:

Если cosec θ — sinθ = a³ и sec θ — cosθ = b³, то докажите, что a²0009000

00000000000000

Answer:

Given, что:

cosec θ — θ = грех a³

(1 / θ грех) — грех θ = a³

(1 — sin²θ) / грех θ = a³

cos²θ / грех θ = a³ —— (1)

sec θ — соз = (sin²θ / COS θ) / (cos²θ / грех θ)

= (sin²θ / COS θ) ⋅ (син θ / cos²θ)

= (sin³θ / cos³θ)

b³ / a³ = tan³θ

tanθ = б / a

sin θ = Ь / √ (b² + a²)

cos θ = a / √ (b² + a²)

При применении значений sin θ и cos θ в (1)

cos²θ / sin θ = a^{39 (39) √ (b2 + A90 0082)] 2 / [б / √ (b2 + a2)] = a3}

ab√ (b² + a²) = 1

Taking квадраты с обеих сторон, мы get

a²b² (b² + a²) = 1

Hence доказана.

 

Вы также можете посетить следующие веб-страницы по различным предметам в математике.

WORD PROBLEMS

HCF и LCM слово problems

Word проблемы на простых уравнений

Word задач на линейных уравнений

Word задач на квадратичных задачах equations

Algebra слово problems

Word на trains

Area и слова problems

Word задач по прямой вариации и обратных вариационных задач

Word на единичных проблем price

Word на скорости блок проблем

Word по сравнению rates

Converting периметра словесные задачи с обычными единицами

преобразование словосочетаний с метрическими единицами

Сложные задачи по простым интересам

Сложные задачи по сложным процентам

3Словые задачи по типам углов

Дополнительные и дополнительные угловые задачи по словам0000000002929 6

Trigonometry слово problems

Percentage проблема слова

Profit и потеря слова проблема

Markup и уценка проблема слова проблема

Decimal слово problems

Word по проблемам fractions

Word на смешанном fractrions

One шага уравнения в словах problems

Linear неравенств слова problems

Ratio и пропорции слове problems

Time и работа слово проблема problems

Word на множества и Венна проблемой diagrams

Word на ages

Pythagorean теореме словесные задачи

Процент числа проблемных слов

Сложные задачи на постоянной скорости

Средние задачи на средней скорости

Словые задачи на сумму углов треугольника 180 градусов

ТРУДНЫЕ ТЕМЫ 0004

Percentage shortcuts

Times таблица shortcuts

Time, скорость и расстояние shortcuts

Ratio и пропорция shortcuts

Domain и диапазон рационального functions

Domain и диапазона рациональных функций с рациональным holes

Graphing functions

Graphing рациональных функций с holes

Converting дробей, чтобы fractions

Decimal представление рационального numbers

Finding квадратного корня, используя длинный division

L.

Для полного решения должны быть получены «все возможные значения», удовлетворяющие уравнению.

Когда мы пытаемся решить тригонометрическое уравнение, мы пытаемся найти все наборы значений θ, которые удовлетворяют данному уравнению. Иногда в простых уравнениях и когда легко нарисовать график уравнения, можно найти решение, просто просмотрев график.

Период функции:

A функция f (x) называется периодической, если существует T> 0 такое, что f (x + T) = f (x) для всех x в области определения функции f (x).

Иллюстрация: Общее решение cos θ = 0

cos θ = 0 ⇒ x = π / 2.

Это возможно, только если OP совпадает с OY или OY’

, когда OP совпадает с OY,

θ = π / 2, 5π / 2, 9π / 2 или, -3π / 2, -7π / 2 .. ……… (1)

, когда OP совпадает с OY’

θ = -3π / 2, -7π / 2 или, -π / 2, -5π / 2 ………… (2)

Таким образом, из (1) и (2) следует, что общее решение cos θ = 0 есть θ (2n + 1) π / 2, где n = 0, ± 1, ± 2 ………

Для получения дополнительной информации о тригонометрических уравнениях см. Приведенное ниже видео:

Общее решение уравнения sin θ = k.

Мы знаем, что когда sin θ = k, k должно быть таким, чтобы –1 ≤ k ≤ 1

Мы всегда можем найти некоторые α ∈ [–π / 2, π / 2]

Поскольку sin (-π) / 2 = -1 и sin π / 2 = 1, так что sinθ = k, то есть α = sin-1k

i.e. sinθ = sinα, α ∈ [–π / 2, π / 2]

⇒ sin θ — sin α = 0

⇒ 2 sin {(θ — α) / 2} cos {θ + α) / 2} = 0

из вышеприведенного уравнения, которое должно быть удовлетворено, либо sin {(θ — α) / 2) = 0

и, следовательно, ((θ — α) / 2) = целое кратное π

∴ θ — α = 2nπ

i.

Иллюстрация: Найти общее решение уравнения sin θ = 1/2

Решение: Мы знаем, что sin θ = 1/2 = sin π / 6.

Таким образом, общее решение данного уравнения θ = nπ + (–1) nπ / 6, n ∈ 0, ± 1, ± 2

.

Иллюстрация: Решите уравнение sin 6x + sin 4x = 0.

Решение: Применение формул для суммы синусов, т. Е.

sin A + sin B = sin (A + B) / 2. cos (A-B) / 2, у нас есть

sin 5x cos x = 0 ……… (1)

Если ‘x’ является решением уравнения, то верно хотя бы одно из следующих уравнений:

sin 5x = 0 или cos x = 0 ……… (2)

И наоборот, если x является решением одного из уравнений (2), то это также решение уравнения (1).Таким образом, уравнение (1) эквивалентно уравнению (2). Решения уравнения (2) имеют вид

x = nπ / 5, x = (2n + 1) π / 2, где n = 0, ± 1, ± 2 ……

Все эти значения x и только эти значения являются решениями исходного уравнения.

Решение: Знаки приобретают большое значение в случае тригонометрических функций. Студенты обычно склонны упоминать общие решения sin и tan θ, что неправильно, поскольку это не даст нам полного решения.

sin θ отрицательно в 3-м и 4-м квадранте, а tan θ положительно в 1-м и 3-м квадранте.

Так как правило, 3-й квадрант и при θ = 4π / 3 оба удовлетворены.

∴ Общее решение 2nπ + 4π / 3.

Это потому, что в интервале [0, 2π] оно выполняется только при 4π / 3. Снова в [2π, 4π] оно выполняется при 2π + 4π / 3 и так далее.

Таким образом, общее решение уравнения 2nπ + 4π / 3.

Иллюстрация: Найти общее решение cos 3θ = sin 2θ.

Решение: Это можно решить двумя разными способами.

Method 1: Мы можем записать данное уравнение как

cos 3θ = cos (π / 2 — 2θ)

⇒ 3θ = 2nπ + (π / 2 — 2θ), где n = 0, ± 1, ± 2 ……

или 5θ = 2nπ + π / 2, а также θ = 2nπ — π / 2

или θ = (4n + 1) π / 10 и

θ = (4n – 1) π / 2, где n ∈ I …… (A)

Метод 2: sin 2θ = sin (π / 2 — 3θ)

2θ = nπ + (–1) ⁿ (π / 2 — 3θ).

Случай I: Когда n четное, n = 2 м, где m = 0, ± 1, ± 2 ……

2θ = 2mπ + π / 2 — 3θ

θ = (4m + 1) π / 10, где m ∈ I …….(В)

Case II: Когда n нечетно, n = (2m + 1)

2θ = (2m + 1) π — (π / 2 — 3θ)

θ = — (4m + 1) π / 2, где m = 0, ± 1, ± 2 …… (B)

Примечание: Без сомнения, решения, полученные обоими методами для нечетных значений n, различны, но, как показано на приведенной ниже диаграмме, вы можете видеть, что все возможные значения θ могут быть получены обоими данными решениями:

от B	от A
для m = 0, θ = — π / 2,	для n = 0, θ = — π / 2
для m = 1, θ = — 5π / 2,	для n = 1, θ = + 3π / 2
для m = 2, θ = — 9π / 2,	для n = 2, θ = + 7π / 2
для m = –1, θ = — 3π / 2,	для m = –1, θ = — 5π / 2
для m = –2, θ = 7π / 2	для m = –2, θ = — 9π / 2

Общее решение sin² θ = k, где k ∈ [0, 1]

Приятно, что sin² θ = k, k ∈ [0, 1]

Мы можем найти такое α, что

⇒ sin² θ = sin²α, где α = sin^-1 √k

i.е. (sinθ — sinα) (sinθ + sinα) = 0

любой грех θ — грех α = 0

θ = nπ + (–1) ⁿα, где n = 0, ± 1, ± 2 ……… (1)

или sin θ + sin α = 0

sin θ = — sin α

θ = nπ — (–1) ⁿα, где n = 0, ± 1, ± 2 …… .. (2)

Из (1) и (2) получаем общее решение уравнения с заданным

θ = nπ ± α, где n = 0, ± 1, ± 2 …… и α = sin^-1 √k

Иллюстрация: Решить уравнение 7tan² θ — 9 = 3 с²θ

Решение: Дано, 7tan²θ — 9 = 3 с²θ

или 7tan²θ — 9 = 3 (1 + tan²θ)
или 4tan²θ = 12
или tan²θ = 3
или tan²θ = (tan π / 3) ²
⇒ θ = nπ + π / 3, где n = 0, ± 1, ± 2 …………

Примечание: Мы не можем определить уникальный метод решения тригонометрических уравнений.В каждом случае успех в решении тригонометрического уравнения зависит, в частности, от знания и умения применять тригонометрическую формулу и практики решения задач. Многие тригонометрические формулы являются истинными равенствами для всех значений переменной, встречающейся в них.

Иллюстрация: Решите уравнение: cos θ = 0
Решение: Мы можем решить это, чтобы получить две формы
cos θ = 0 ⇒ θ = (2n + 1) π / 2

cos θ = cos π / 2 ⇒ θ = 2nπ + π / 2
или θ = (4n + 1) π / 2.

Важно: Следующие советы и шаги помогут вам систематически решать тригонометрические уравнения.

1. Попробуйте уменьшить уравнение с точки зрения одного тригонометрического отношения предпочтительно sin θ или cos θ.
Если у нас есть выбор для преобразования проблемы в синус или косинус, то форма косинуса удобнее по сравнению с формой синуса. Это связано с тем, что в общем решении синуса нам придется иметь дело с (–1) ⁿ, что неудобно по сравнению с обработкой +, полученной в форме косинуса.
2. Факторизовать многочлен с точки зрения этих отношений.
3. Для LHS, чтобы быть нулем, решите для каждого фактора. И запишите общее решение для каждого фактора на основе стандартных результатов, полученных ранее в этом разделе.

e.g. sin θ — k₁ = 0 ⇒ θ = nπ + (–1) ⁿ sin^-1 k₁

cos θ — k₂ = 0 ⇒ θ = 2nπ + cos^–1 k₂.

Внимание: Необходимо проверить, что k₁, k₂ ∈ [–1, 1].Не пишите вслепую так, как есть, поскольку это будет абсурдно, если они не принадлежат [–1, 1] .

Иллюстрация: Решите уравнение 5sin θ — 2 cos²θ — 1 = 0

Решение: Дано, 5 sin θ — 2 cos²θ — 1 = 0

или 5 sin θ — 2 (1 — sin²θ) — 1 = 0
или 2 sin² θ + 5 sin θ — 3 = 0
или (sinθ + 3) (2 sinθ — 1) = 0
∴ грех θ = -3 или грех θ = ½

Сначала рассмотрим случай, когда sin θ = -3,

Но этот случай невозможен, так как диапазон синуса равен [-1, 1].

Уравнение не определено для нечетного кратного π / 2.

Таким образом, мы заключаем, что θ = 2nπ, где n = 0, ± 1, ± 2 ………

Некоторые ключевые моменты, которые следует отметить:

1. Если в уравнении участвует tan θ или sec θ, θ ≠ нечетное кратное π / 2.

2. Если в уравнении участвует cot θ или cosec θ, θ ≠ кратна π или 0.

Тригонометрия полна формул, и студентам рекомендуется изучить все тригонометрические формулы, включая основы тригонометрии, чтобы оставаться конкурентоспособными на экзаменах JEE и других инженерных экзаменах.Студенты должны практиковать различные задачи тригонометрии, основанные на тригонометрических соотношениях и основах тригонометрии, чтобы познакомиться с этой темой.

Вы можете сослаться на некоторые из перечисленных ниже ресурсов:

Читать подробнее, купить учебные материалы Trigonometry составить учебные записки, заметки о пересмотре, видео-лекции, вопросы за прошлый год и др. Также посмотрите другие учебные материалы по математике здесь.