Многогранник 11 класс погорелов презентация: Презентация по геометрии 11 класс по теме «Многогранники»
Многогранники. Призма. — Геометрия — Презентации
Многогранником называется поверхность, составленная из многоугольников, ограничивающих некоторое геометрическое тело .
Элементы Многогранника :
— Грани (многоугольники )
— Рёбра (стороны граней)
Грань
— Вершины
— Диагонали
Рёбра
Вершины
Диагональ
Многогранник называется выпуклым , если он расположен по одно сторону от плоскости каждой своей грани.
Все грани выпуклого многогранника – выпуклые многоугольники .
Свойство выпуклого многогранника:
Сумма всех плоских углов в его вершине меньше 360 градусов .
Многогранник называется правильным , если он:
1. Выпуклый
2. Все его грани –равные правильные многоугольники
3.
Призма (греч. prísma), многогранник, у которого две грани — равные n –угольники, лежащие в параллельных плоскостях (основания призмы), а остальные n граней (боковых) — параллелограммы
Прямой призмой называется призма, боковое ребро которой перпендикулярно плоскости основания.
Высота прямой призмы равна боковому ребру, а все боковые грани — прямоугольники
Прямая призма
Наклонная призма
Вершины
Ребра (стороны граней)
Грани (многоугольники)
Диагональ призмы
Высотой ( h) призмы называется перпендикуляр , опущенный из любой точки одного основания на плоскость другого основания призмы.
F1
E1
Отрезок, концы которого — две вершины, не принадлежащие одной грани призмы, называют ее диагональю .
(Отрезок A 1 D — диагональ призмы)
D1
A1
B1
C1
F
E
D
A
C
B
Правильной призмой называется прямая призма, основание которой – правильный многоугольник.
Площадь поверхности призмы ( S пр) равна сумме площадей ее боковых граней (площади боковой поверхности S бок) и площадей двух оснований (2 S осн) — равных многоугольников: Sпр . =Sбок+2Sосн
Площадь боковой поверхности – сумма площадей боковых граней
Площадь боковой поверхности прямой призмы S бок= P осн* h
Если призма наклонная:
P – периметр перпендикулярного сечения a – длина ребра
Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.
* h
= S
V
* h
V
= S
перп сеч.
накл призмы
осн.
прямой призмы
Параллелепипедом называется призма, основание которой – параллелограмм.
Прямоугольным параллелепипедом называется прямой параллелепипед, основание которого – прямоугольник.
- Противоположные грани параллелепипеда равны параллельны
- Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
- Сумма квадратов диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов всех его ребер.
- Боковые грани прямого параллелепипеда – прямоугольники.
- Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
Через одну из сторон основания правильной треугольной призмы проведена плоскость под углом α к основанию, отсекающая от призмы пирамиду объёма V .
Определить площадь сечения.
Решение
В основании прямой призмы – равнобедренная трапеция, диагонали которой перпендикулярны соответствующим боковым сторонам. Угол между диагоналями трапеции, противолежащий боковым сторонам, равен α , отрезок, соединяющий вершину верхнего основания с центром окружности, описанной около нижнего основания равен l и образует с плоскостью основания угол β . Найти объём призмы.
Решение
Пирамида (по учебнику А.В.Погорелова) | Презентация к уроку геометрии (11 класс) по теме:
Слайд 1
Пирамида
Слайд 2
Пирамида Многогранник, составленный из многоугольника A 1 A 2 …A n и n треугольников называется n -угольной пирамидой
Слайд 3
Многоугольник A 1 A 2 …A n называется основанием пирамиды, треугольники A 1 PA 2 , A 2 PA 3 , … , A n PA 1 – боковыми гранями пирамиды. Точка P называется вершиной пирамиды, а отрезки PA 1 , PA 2 , …,PA n — её боковыми ребрами .
Слайд 4
Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды
Слайд 5
На рисунке изображены треугольная, четырёхугольная и шестиугольная пирамиды
Слайд 6
Тетраэдр Треугольную пирамиду иногда называют тетраэдром по числу граней
Слайд 7
Правильная пирамида Пирамида называется правильной , если её основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой.
Слайд 8
Правильные пирамиды
Слайд 9
Свойства боковых ребер и боковых граней правильной пирамиды Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками
Слайд 10
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из её вершины называется апофемой .
Слайд 11
Построение изображения правильной четырёхугольной пирамиды
Слайд 12
Построение изображения правильной четырёхугольной пирамиды
Слайд 13
Построение изображения правильной четырёхугольной пирамиды
Слайд 14
Построение изображения правильной четырёхугольной пирамиды
Слайд 15
Построение изображения правильной четырёхугольной пирамиды
Слайд 16
Построение изображения правильной четырёхугольной пирамиды
Слайд 17
Построение изображения правильной четырёхугольной пирамиды
Слайд 18
Построение изображения правильной четырёхугольной пирамиды
Слайд 19
Построение изображения правильной четырёхугольной пирамиды
Слайд 20
Построение изображения правильной четырёхугольной пирамиды
Слайд 21
Построение изображения правильной четырёхугольной пирамиды
Слайд 22
Построение изображения правильной четырёхугольной пирамиды
Слайд 23
Построение изображения правильной четырёхугольной пирамиды
Слайд 24
Построение изображения правильной треугольной пирамиды
Слайд 25
Построение изображения правильной треугольной пирамиды
Слайд 26
Построение изображения правильной треугольной пирамиды
Слайд 27
Построение изображения правильной треугольной пирамиды
Слайд 28
Построение изображения правильной треугольной пирамиды
Слайд 29
Построение изображения правильной треугольной пирамиды
Слайд 30
Построение изображения правильной треугольной пирамиды
Слайд 31
Построение изображения правильной треугольной пирамиды
Слайд 32
Построение изображения правильной треугольной пирамиды
Слайд 33
Построение изображения правильной треугольной пирамиды
Слайд 34
Построение изображения правильной треугольной пирамиды
Слайд 35
Построение изображения правильной треугольной пирамиды
Слайд 36
Построение изображения правильной треугольной пирамиды
Что такое многогранник? Определение, типы, части, формулы, примеры
Что такое многогранник?
Мы знаем, что многоугольник — это плоская, плоская двумерная замкнутая форма, ограниченная отрезками прямых.
Типичными примерами многоугольников являются квадрат, треугольник, пятиугольник и т. д.
Теперь можете ли вы представить трехмерную фигуру с гранями в форме многоугольника? Такая трехмерная фигура известна как многогранник. Примеры, с которыми вы должны быть знакомы, — бриллианты, кубик Рубика, пирамиды и т. д.
Многогранник Определение
Трехмерная фигура с плоскими многоугольными гранями, прямыми ребрами и острыми углами или вершинами называется многогранником.
Типичными примерами являются кубы, призмы, пирамиды. Однако конусы и сферы не являются многогранниками, поскольку у них нет многоугольных граней.
Множественное число многогранника называется многогранником или многогранником.
Грани, ребра и вершины
Части многогранника классифицируются как грани, ребра и вершины.
- Грани многогранника: Плоские поверхности многогранника называются его гранями, которые в основном являются многоугольниками.
- Ребра многогранника: Ребра — это сегменты линии, на которых встречаются две грани.
- Вершины многогранника: Точка пересечения двух ребер называется вершиной.
Рисунок, приведенный ниже, даст нам лучшее представление:
Призмы, пирамиды и Платоновые тела
Многогранники можно разделить на призмы, пирамиды и Платоновые тела. Давайте разберемся с каждым типом.
1. Призма
У призмы оба конца (основание и вершина) представляют собой одинаковые многоугольники, а ее боковые грани плоские (прямоугольники или параллелограммы). Призмы названы в честь их основания, которое может быть треугольником, квадратом, прямоугольником или любым n-сторонним многоугольником.
2. Пирамида
Основанием пирамиды является любой многоугольник, а боковыми гранями являются треугольники с общей вершиной (известной как вершина). Если основанием пирамиды является n-сторонний многоугольник, то он имеет (n+1) граней, (n+1) вершин и 2n ребер.
3. Платоновы тела
В Платоновых телах все грани представляют собой конгруэнтные правильные многоугольники, и в каждой вершине встречается одинаковое количество граней.
Примеры из реальной жизни
В повседневной жизни мы можем наблюдать несколько многогранников, таких как кубик Рубика, игральные кости, бакибол, пирамиды и так далее. Алмаз — один из реальных примеров многогранника.
Типы многогранников
Многогранники в основном делятся на два типа по многоугольным граням и основанию — правильные многогранники и неправильные многогранники. Платоновые тела – это правильные многоугольники. Призмы и пирамиды представляют собой неправильные многогранники.
Правильный многогранник
Правильные многогранники состоят из правильных многоугольников. Их также называют «платоновыми телами». У них все грани, ребра и углы конгруэнтны. Ниже приводится список пяти правильных многогранников:
Неправильный многогранник
Неправильный многогранник имеет многоугольные грани, не конгруэнтные друг другу.
Он состоит из многоугольников разной формы. Итак, все его компоненты не одинаковы.
Многогранники также можно разделить на выпуклые и вогнутые категории, как и многоугольники.
Выпуклый многогранник
Выпуклый многогранник похож на выпуклый многоугольник. Если отрезок, соединяющий любые две точки поверхности, лежит внутри многогранника, то он называется выпуклым многогранником. Все платоновые тела выпуклы.
Вогнутый многогранник
Вогнутый многогранник подобен вогнутому многоугольнику. Если отрезок, соединяющий любые две точки на поверхности, лежит вне многогранника, он называется вогнутым многогранником.
Формула Эйлера
Существует взаимосвязь между количеством граней, ребер и вершин в многограннике, которая может быть представлена математической формулой, известной как «Формула Эйлера».
$\text{F} + \text{V}$ $–$ $\text{E} = 2$
где,
$\text{F} =$ количество граней
$\text{ V} =$ количество вершин
$\text{E} =$ количество ребер
Если мы знаем любые два значения среди F, V или E, мы можем найти третье пропущенное значение, используя формулу Эйлера.
Таким образом, на такие вопросы, как «Сколько ребер у многогранника?» или «Сколько граней у многогранника?», можно легко ответить, если известны два других значения. Мы также можем проверить, существует ли многогранник с заданным количеством частей или нет.
Например, куб имеет 8 вершин, 6 граней и 12 ребер.
$\text{F} = 6, \text{V} = 8, \text{E} = 12$
Применяя формулу Эйлера, получаем $\text{F} + \text{V}$ $– $ $\text{E} = 2$
Подставляем значения в формулу: $6 + 8$ $–$ $12 = 2 \Rightarrow 2 = 2$.
Следовательно, куб является многогранником.
Решенные примеры
1. Сколько существует типов правильных многоугольников?
Решение : Существует 5 типов правильных многоугольников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.
2. Проверить, существует ли многогранник с 10 вершинами, 8 ребрами и 4 гранями.
Решение : Применим формулу Эйлера:
$\text{V} = 10, \text{E} = 8$ и $\text{F} = 4$
$\text{F } + \text{V}$ $–$ $\text{E} = 4 + 10$ $–$ $8 = 6 ≠ 2$.
Многогранник с заданными размерами не существует.
3. Сколько граней у многогранника с 12 вершинами и 18 ребрами?
Решение : $\text{V} = 12$, $\text{E} = 18$ и $\text{F} =$ ?
Применяя формулу Эйлера, получаем
$\text{F} + \text{V}$ $–$ $\text{E} = 2$
$\Rightarrow\text{F} + 12$ $ –$ $18 = 2$
$\Rightarrow\text{F} = 8$
Количество граней = 8
Практические задачи
1
Что из перечисленного не является многогранником?
Куб
Конус
Куб
Треугольная призма
Правильный ответ: Конус
Конус не является многогранником, так как грани конуса изогнуты.
2
Какой из следующих многогранников является вогнутым?
A
B
C
D
Правильный ответ: A
Если провести линию от одной грани к другой, то линия будет лежать вне многогранника.
3
Какая из следующих комбинаций не образует многогранник?
$\text{F} = 4, \text{V} = 10, \text{E} = 12$
$\text{F} = 8, \text{V} = 12, \text{E} = 18$
$\text{F} = 7, \text{V} = 13, \text{E } = 15$
$\text{F} = 9. \text{V} = 15, \text{E} = 22$
Правильный ответ: $\text{F} = 7, \text{V } = 13, \text{E} = 15$
$\text{F} + \text{V}$ $–$ $\text{E} = 7 + 13 – 15 = 5 ≠ 2$
4
Что из перечисленного не является правильным многогранником?
Куб
Тетраэдр
Оба A и B
Шестиугольная пирамида
Правильный ответ: Шестиугольная пирамида
Шестиугольная пирамида не имеет всех граней, конгруэнтных друг другу. Значит, это не штатно.
Часто задаваемые вопросы
В чем разница между многоугольником и многогранником?
Многоугольник — это двумерная фигура, состоящая из отрезков.