Решение систем уравнений второй степени

Способы решения систем уравнений второй степени:

·        графический;

·        подстановки;

·        алгебраического сложения;

·        введения новой переменной.

Пример.

Решим систему уравнений способом подстановки:

Выполним преобразования:

Данная система уравнений имеет два решения: (2; 6) и (-2; -6).

Алгоритм способа подстановки:

·        выразить из уравнения первой степени одну переменную через другую.

·        подставить полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной.

·        решить получившееся уравнение с одной переменной.

·        найти соответствующие значения второй переменной.

Пример.

Решить систему способом алгебраического сложения:

Суть метода: нужно сделать так, чтобы в уравнениях при одной и той же переменной множители являлись противоположными числами.

В данном случае:

Выполним покомпонентное сложение двух уравнений:

Данная система уравнений имеет два решения: (1; 1) и (1; -1).

Пример.

Решить систему уравнений способом введения новой переменной:

Введем переменную:

Решим данную систему:

Теперь выполним обратную подстановку:

Решением данной системы является пара (1,5; 2,5).

videouroki.net

Основные методы решения систем повышенной сложности. Видеоурок. Алгебра 9 Класс

На этом уроке мы продолжим изучение всех трех основных методов решения систем уравнений и их комбинаций на примере решения систем повышенной сложности. А также рассмотрим некоторые специфические приемы для упрощения различных типов систем.

Выбор метода решения системы зависит от её специфики. Основными являются стандартные методы – метод подстановки, метод алгебраического сложения, метод введения новых переменных. Возможны иные методы и их комбинации. Рассмотрим их на примерах.

Пример 1. Решить систему

Решение: Специфика данной системы в том, что второе уравнение раскладывается на множители

 

Мы получили систему, линейную относительно . Исходную систему упростили методом подстановки. Полученную систему решаем методом алгебраического сложения.

 

 

Мы решили систему комбинацией методов подстановки и алгебраического сложения.

Ответ:

Пример 2. Решить систему

Решение: Можно сделать замену переменной и тем самым понизить степень уравнения. Но мы применим метод подстановки, выразим

 

 

 

 

Получили биквадратное уравнение. По теореме Виета 

 

 

 

Ответ:

Пример 3. Решить систему

Решение: Применим метод алгебраического сложения, чтобы избавиться от у.

 

 

 

 

 

interneturok.ru

Алгоритм решения систем уравнений второй степени

Алгоритм решения систем уравнений второй степени:

1. выразить из уравнения первой степени одну переменную через другую;

2. подставить полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего прийти к уравнению с одной переменной;

3. решить получившееся уравнение с одной переменной;

4. найти соответствующие значения второй переменной.

Пример решения системы уравнений второй степени:

В первом уравнении выразим «у» через «х»: х+у=5 у=5-х.

Результат подставим во второе уравнение, а именно вместо «у» во-втором уравнении пишем «5-х»:

х(5-х)=-14

Раскрываем скобки: х·5-х·х=-14

Считаем: 5х – х²=-14

Перед вами квадратное уравнение. Приведем его в стандартный вид ах²+вх+с=0:

— х²+5х +14=0

Решаем квадратное уравнение:

а=-1; в=5; с=14.

Находим дискриминант:

Д=в²-4ас= 5²-4·(-1)·14=25+56=81

Находим корни квадратного уравнения:

Х₁=

= = = = -2

Х₂== = = =7

Мы нашли «х₁» и «х₂», найдём соответствующие «у₁» и «у₂» по формуле у=5-х:

При Х₁=-2, у₁=5-(-2)=5+2=7;

При Х₂=7, у₂=5-7=- 2.

Значит, система имеет два решения: х

1=-2, у₁=7; х₂=7, у₂=-2.

Ответ: (-2;7) , (7;-2).

infourok.ru

Системы уравнений второй степени с двумя переменными

Вопросы занятия:

·  вспомнить, что такое системы уравнений второй степени с двумя переменными;

·  рассмотреть несколько способов решения таких систем уравнений.

Материал урока

Определение.

Системой уравнений второй степени с двумя переменными называются такие системы уравнений с двумя переменными, что хотя бы одно из этих уравнений – уравнение второй степени, а второе – не выше второй степени.

Сначала давайте рассмотрим системы, которые состоят из одного уравнения второй степени и одного уравнения первой степени.

Это системы вида

Пример.

Ещё одним способом решения систем уравнения, в которых одно уравнение – уравнение второй степени, а второе – линейное уравнение, является метод алгебраического сложения.

Пример.

Теперь давайте рассмотрим пример системы, оба уравнения которой являются уравнениями второй степени.

Это системы вида

Рассмотрим один из методов решения таких систем на примере.

Пример.

Пример.

Пример.

Пример.

Пример.

Итоги урока

Сегодня на уроке мы вспомнили, какие системы называются системами уравнений второй степени с двумя неизвестными. Рассмотрели несколько способов решения систем уравнений второй степени с двумя переменными.

videouroki.net

Внеклассный урок — Система уравнений второй степени. Способы решения. Системы уравнений второй степени.

Система уравнений второй степени. Способы решения

Система уравнений второй степени – это система уравнений, в которой есть хотя бы одно уравнение второй степени.

 

Систему из двух уравнений, в которой одно уравнение второй степени, а второе уравнение первой степени, решают следующим образом:

1) в уравнении первой степени одну переменную выражают через другую; 2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, благодаря чему получается уравнение с одной переменной; 3) решают получившееся уравнение с одной переменной; 4) находят соответствующие значения второй переменной.

 

Пример: Решим систему уравнений

│x² – 3xy – 2y² = 2

│x + 2y = 1

 

Решение:

Следуем правилу:

1) Второе уравнение является уравнением первой степени. В  ней выражаем переменную x через y:

x = 1 – 2y

2) в первом уравнении вместо x подставляем полученное выражение 1 – 2y:

(1 – 2y)² – 3(1 – 2y)y – 2y² = 2.

Раскрываем скобки и упрощаем:

8y² – 7y + 1 = 2.

Приравниваем уравнение к нулю и решаем получившееся квадратное уравнение:

8y² – 7y + 1 – 2 = 0

8y² – 7y – 1 = 0.

3) Решив квадратное уравнение, найдем его корни:

y₁ = – 0,125

y₂ = 1.

4) Осталось найти значения x. Для этого в одно из двух уравнений системы просто подставляем значение y. Второе уравнение проще, поэтому выберем его.
Итак, подставляем значения y в уравнение x + 2y = 1 и получаем:
1) х + 2(-0,125) = 1
    х – 0,25 = 1
    х = 1 + 0,25
    х₁ = 1,25.

2) х + 2 · 1 = 1
    х + 2 =1
    х = 1 – 2
    х₂ = –1.

Ответ:

x₁ = 1,25,   y₁ = – 0,125
x₂ = –1,      y₂ = 1.

 

Способы решения системы уравнений с двумя уравнениями второй степени.

1. Замена системы уравнений равносильной совокупностью двух систем.

Пример: Решим систему уравнений

│x² – 9y² – x + 3y = 0
│x² – xy + y = 7

Здесь нет уравнений первой степени, поэтому решать их вроде бы сложнее. Но в первом уравнении многочлен можно разложить на линейные множители и применить метод группировки:

x² – 9y² – x + 3y = (x – 3y)(x + 3y) – (x – 3y) = (x – 3y)(x + 3y) – 1(x – 3y) = (x – 3y)(x + 3y – 1).

(Пояснение-напоминание: x – 3y встречается в выражении дважды и является общим множителем в многочлене (x – 3y)(x + 3y) – 1(x – 3y). По правилу группировки, мы умножили его на сумму вторых множителей и получили равносильное уравнение).

В результате наша система уравнений обретает иной вид:

│(x – 3y)(x + 3y – 1) = 0
│x² – xy + y = 7

Первое уравнение равно нулю только в том случае, если x – 3y = 0 или x + 3y – 1 = 0.

Значит, нашу систему уравнений мы можем записать в виде двух систем следующего вида:

│x – 3y = 0
│x² – xy + y = 7

и

│x + 3y – 1 = 0
│x² – xy + y = 7

Мы получили две системы, где первые уравнения являются уравнениями первой степени. Мы уже можем легко решить их. Понятно, что решив их и объединив затем множество решений этих двух систем, мы получим множество решений исходной системы. Говоря иначе, данная система равносильна совокупности двух систем уравнений.

Итак, решаем эти две системы уравнений. Очевидно, что здесь мы применим метод подстановки, подробно изложенный в предыдущем разделе.

Обратимся сначала к первой системе.
В уравнении первой степени выразим х через у:

х = 3у.

Подставим это значение во второе уравнение и преобразим его в квадратное уравнение:

(3у)² – 3у · у + у = 7,

9у² – 3у² + у = 7,

6у² + у = 7,

6у² + у – 7 = 0

Как решается квадратное – см.раздел «Квадратное уравнение». Здесь мы сразу напишем ответ:

                            7
у₁ = 1,    у₂ = – ——.
                           6

Теперь подставим полученные значения у в первое уравнение первой системы и решим его:

1) х – 3 · 1 = 0,

    х₁ = 3.

                      7
2) х – 3 · (– ——) = 0,
                      6

             7
    х + —— = 0,
             2

                 7
    х₂ = – ——
                 2

Итак, у нас есть первые ответы:

х₁ = 3,    у₁ = 1;

              7                     7
х₂ = – ——,   у₂ = – ——.
             2                     6

Переходим ко второй системе. Не будем производить вычисления – их порядок точно такой же, что и в случае с уравнениями первой системы. Поэтому сразу напишем результаты вычислений:

х₃ = –2,   у₃ = 1.

х₄ = –2,5,   у₄ = – 0,5.

Таким образом, исходная система уравнений решена.

Ответ:

       1          1
(–3 — ; –1 — ),  (3; 1),  (2,5; –0,5),  (–2; 1).
       2          6

 

2. Решение способом сложения.

Пример 2: Решим систему уравнений

│2x² + 3y = xy
│x² – y = 3xy

Решение.

Второе уравнение умножим на 3:

3x² – 3y = 9xy

Зачем мы умножили уравнение на 3? Благодаря этому мы получили равносильное уравнение с числом -3y, которое встречается и в первом уравнении, но с противоположным знаком. Это поможет нам буквально при следующем шаге получить упрощенное уравнение (они будут взаимно сокращены).

Сложим почленно левые и правые части первого уравнения системы и нашего нового уравнения:

2x² + 3y + 3x² – 3y = xy + 9xy

Сводим подобные члены и получаем уравнение следующего вида:

5x² = 10xy

Упростим уравнение еще, для этого сокращаем обе части уравнения на 5 и получаем:

x² = 2xy

Приравняем уравнение к нулю:

x² – 2xy = 0

Это уравнение можно представить в виде x(x – 2y) = 0.

Здесь мы получаем ситуацию, с которой уже сталкивались в предыдущем примере: уравнение верно только в том случае, если x = 0 или x – 2y = 0.

Значит, исходную систему опять-таки можно заменить равносильной ей совокупностью двух систем:

│x = 0
│x² – y = 3xy

и

│x = 2y
│x² – y = 3xy

Обратите внимание: во второй системе уравнение x – 2y = 0 мы преобразовали в x = 2y.

Итак, в первой системе мы уже знаем значение x. Это ноль. То есть x₁ = 0. Легко вычислить и значение y: это тоже ноль. Таким образом, первая система имеет единственное решение: (0; 0).

Решив вторую систему, мы увидим, что она имеет два решения: (0; 0) и (–1; –0,5).

Таким образом, исходная система имеет следующие решения: (0; 0) и (–1; –0,5).

Пример решен.

 

3. Решение методом подстановки.

Этот метод был применен в начале раздела. Здесь мы выделяем его в качестве одного из способов решения. Приведем еще один пример.

Пример. Решить систему уравнений

│х + у = 9
│у² + х = 29

Решение.

Первое уравнение проще, поэтому выразим в нем х через у:

х = 9 – у.

Теперь произведем подстановку. Подставим это значение х во второе уравнение, получим квадратное уравнение и решим его:

у² + 9 – у = 29
у² – у – 20 = 0

D = b² – 4ас = 1 – 4 · 1 · (–20) = 81

√D = 9

         –b + √D          1 + 9
у₁ = ————  =  ——— = 5
             2a                  2

         –b – √D          1 – 9
у₂ = ————  =  ——— = –4
             2a                  2

Осталось найти значения х. Первое уравнение проще, поэтому им и воспользуемся:

1) х + 5 = 9
    х = 9 – 5
    х₁ = 4

2) х – 4 = 9
    х = 9 + 4
    х₂ = 13

Ответ: (4; 5), (13; –4).

 

raal100.narod.ru

«Решение систем уравнений второй степени»

Алгебра 9 класс 16.01.2017г

Уч.математики:Бакашева М.В.

Тема: «Решение систем уравнений второй степени»

Цели урока:

Обучающие:

Обобщить знания и закрепить умения учащихся решать системы уравнений второй степени различными способами.

Создать условия для отработки навыков самостоятельной работы, работы в группах, при выполнении заданий.

Развивающие:

Развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся, их интеллектуальные качества: способность к «видению» проблемы, формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли; развивать навыки самопроверки, самоконтроля, развивать умение применять теоретические знания на практике.

Воспитательные:

Воспитывать умение работать с имеющейся информацией, умение слушать товарищей, содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, общей культуре.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование: компьютер, проектор, тестовые знания.

Ход урока

1. Организационный момент.

—Здравствуйте, ребята и гости. Посмотрите в окошко – какая сегодня солнечная погода. Сегодня на уроке я вам желаю солнечного и ясного настроения.

Для того, чтобы наш урок прошёл успешно, я предлагаю разделиться на 3 группы. В каждой группе один человек будет консультантом. (Деление на 3 группы). А чтобы оценить работу каждого я вам раздам оценочные лисы. Каждый в оценочном листе будет ставить баллы за правильный ответ или решённую задачу.

Лист самоконтроля.
Ф.И. ученика	Устные вопросы	Общие практические задания	Тест
Количество баллов
Всего баллов
Оценка

1. Проверка домашнего задания

— Сейчас мы проверим домашнее задание. У вас были даны задания двух уровней. Поднимите руку те, кто делал уровень А. (Проверка на слайде)

Поднимите руку те кто делал уровень Б. (Проверка по слайду)

1. Постановка темы и целей урока.

1.Фронтальный опрос.

1.Что называется решением уравнения с двумя переменными?

2. Что называется графиком уравнения с двумя переменными?

3. Что называется системой уравнений второй степени? (система составленная из уравнений второй степени или из одного уравнения первой степени и одного уравнения второй степени)?

2. Что называется решением системы уравнений второй степени? (Решением системы уравнений является пара чисел, обращающая оба уравнения в верные числовые равенства)

3. Что значит решить систему уравнений второй степени? (найти все его решения или доказать, что решений нет)

4. Какие системы уравнений называются равносильными?

(Те которые имеют одинаковые решения или те, которые решений не имеют)

5. Какие основные способы решения систем уравнений вы знаете, в чем их преимущества и недостатки?

6. Какие методы решений систем уравнений аналитическим способом вы знаете?

7. Изложите основные алгоритмы решения систем уравнений с двумя переменными.

8. Подберите наиболее подходящий метод для решения следующих систем уравнений:

; ; ;

2. Формулировка темы и целей урока.

— Исходя из выполненных заданий давайте сформулируем тему урока.

— А теперь поставим цели нашего урока (решение систем уравнений всеми способами)

— Мы сегодня с вами обобщим и закрепим знания по теме, выполним задания по теме, проверим свои знания в ходе выполнения тестовых заданий.

— На слайде указана тема урока.

-А теперь каждая группа получит задание.

IV. Работа по теме урока.

1.Задания группам:

1. Решить систему уравнений графическим способом:

1. Решить систему уравнений методом подстановки:

1. Решить систему уравнений методом сложения: х² — 2у²=14,
   х² +у² =9.

— Консультанты за каждое верно выполненное задание дают по 1 баллу.

— Проверим решение систем по слайдам.

— Вы поработали в группах, а теперь каждый из вас поработает самостоятельно, выполнив тестовое задание.

1. Тесты по вариантам. (3 варианта)

3. Тест.(самопроверка слайды). Выставление баллов в оценочный лист.

4.Подведение итогов урока.(слайд)
4-5 баллов — «3»

• 6-8 баллов — «4»

• 10 баллов — «5»

V. Рефлексия

— Чем понравился вам урок?

— Что вы можете взять для себя из этого урока?

— Что вам показалось сложного на уроке?

— На столе лежат ромбики разных цветов (оранжевые и серые). Каждый подойдёт и возьмёт тот, который соответствует вашему настроению в конце урока.

VI.Домашнее задание и его инструктаж.

— домашнее задание :

— Спасибо за урок!

Лист самоконтроля.
Ф.И. ученика	Устные вопросы	Общие практические задания	Тест
Количество баллов
Всего баллов
Оценка

Лист самоконтроля.
Ф.И. ученика	Устные вопросы	Общие практические задания	Тест
Количество баллов
Всего баллов
Оценка

Лист самоконтроля.
Ф.И. ученика	Устные вопросы	Общие практические задания	Тест
Количество баллов
Всего баллов
Оценка

Лист самоконтроля.
Ф.И. ученика	Устные вопросы	Общие практические задания	Тест
Количество баллов
Всего баллов
Оценка

Лист самоконтроля.
Ф.И. ученика	Устные вопросы	Общие практические задания	Тест
Количество баллов
Всего баллов
Оценка

Лист самоконтроля.
Ф.И. ученика	Устные вопросы	Общие практические задания	Тест
Количество баллов
Всего баллов
Оценка

compedu.ru

Решение систем уравнений второй степени

План-конспект урока по алгебре в 9 классе.

Тема урока: Решение систем уравнений второй степени.

Тип урока: повторение предметных знаний, умений, навыков и УУД.

Цель урока: Закрепить и систематизировать знания, умения и навыки учащихся при решении систем уравнений второй степени разными способами.

Задачи урока:

Образовательные:

• повторение основных понятий по теме «Решение систем уравнений второй степени».

• обобщение и систематизация способов решения систем уравнений второй степени.

• восполнение пробелов в знаниях, умениях и навыках учащихся.

Воспитательные:

• воспитывать интерес к предмету через содержание учебного материала; взаимопомощь, культуру общения, умение применять преемственность в изучении отдельных тем;

• воспитывать настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях.

Развивающие:

• развивать умения в применении знаний в конкретной ситуации;

• развивать логическое мышление, умение работать в проблемной ситуации, умение обобщать, конкретизировать, правильно излагать мысли;

• развивать самостоятельную деятельность учащихся.

Прогнозируемые результаты

Предметные

— формирование у учащихся умения решать системы уравнений методом подстановки, методом сложения и графически.

Метапредметные

— способность принимать и сохранять цели и задачи учебной деятельности, находить способы её осуществления;

— умение планировать, контролировать и оценивать учебные действия в соответствии с поставленной задачей и условиями её выполнения; умение оценивать себя и результаты своей работы;

— умение включаться в диалог с учителем и сверстниками, в коллективное обсуждение проблем;

Технологии, методы и приемы: эвристическая беседа, объяснительно-иллюстративный метод, проблемно-поисковый метод.

Оборудования урока: проектор, презентация, учебник, доска.

Список использованной литературы:

1. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 21-е изд. М.: Просвещение, 2014. – 271 с.

Ход урока

1. Мотивационно-целевой этап

1. Организация учащихся на занятие. (Слайд №1)

Французский писатель Анатоль Франс заметил “Чтобы переварить знания надо поглощать их с аппетитом”, последуем совету писателя, будем на уроке активны, внимательны, будем “поглощать” знания с большим желанием, ведь они вам скоро пригодятся.

2. Проверка домашнего задания. (Слайд №2) (Ребята обмениваются тетрадями и проверяют домашнюю работу по слайду).

№ 434

a) Ответ:

б)

в) Ответ:

г) Ответ:

д) Ответ:

е) Ответ: .

3.Актуализация опорных знаний. (Слайд №3)

Фронтальный опрос:

— Что является решением уравнения с двумя переменными? (Пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство).

— Что значит решить уравнение с двумя переменными? (Найти значение переменных, при которых уравнение обращается в верное равенство или доказать что их нет).

— Какие способы решения систем уравнений мы изучили? (Графический, сложения, подстановки).

— Что значит решить систему? (Найти все ее решения или доказать что решений нет).

4. Определение темы и цели урока

Ребята, с какой темой вы познакомились на прошлом уроке? (решение систем уравнений второй степени).

Как вы думаете, какая тема сегодняшнего урока? (закрепление решения систем уравнений второй степени).

Да, сегодня на уроке мы продолжим работу по решению систем уравнений второй степени.

Какую цель мы себе должны поставить на сегодняшний день? (Наша цель повторить изученный материал прошлого урока и усовершенствовать навыки решения систем уравнений второй степени разными способами).

II.Процессуально-познавательный этап

1. Дидактическая беседа

На прошлых уроках вы познакомились с разными методами решения систем уравнений второй степени. Давайте вспомним и закрепим каждый из них.

2. Решение задач на закрепление темы.

1. Работа с учебником.

№447

; или

б)

пусть

или

№448

а)

б)

№449

а) +

D=

2. Проверочная работа.

Сейчас мы проверим, как вы усвоили материал и над чем стоит поработать.

Вариант 1 Вариант 2

а) а)

б) б)

III.Рефлексивно-оценочный

1. Подведение итога занятия

Итак, какая была цель нашего урока? Достигли ли мы ее?

2. Рефлексия учебной деятельности

1) Что вызывало у вас затруднения в начале урока и что стало понятно в течение урока?

2) Как вы оцениваете свою работу, работу своих товарищей?

3) Закончите предложение:

• Сегодня на уроке мне понравилось…….

• Сегодня на уроке я узнал………

• Сегодня на уроке я научился……..

3.Информация о домашнем задании. (Слайд 4)

№527, 530.

4. Оценка деятельности учащихся

Вариант 1 Вариант 2

а) а)

б) б)

Вариант 1 Вариант 2

а) а)

б) б)

Вариант 1 Вариант 2

а) а)

б) б)

Вариант 1 Вариант 2

а) а)

б) б)

Вариант 1 Вариант 2

а) а)

б) б)

infourok.ru