Презентация — Математические софизмы

Текст этой презентации

Слайд 1

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ
Математический кружок
Выполнила: Лаптева Татьяна Павловна, учитель математики ИТЛ №24 им. Е.А. Варшавского Г.Нерюнгри, Республика Саха (Якутия)

Слайд 2

цель
развитие творческих способностей;  творческого мышления;  расширение общего кругозора учащихся в процессе рассмотрения различных практических задач; изучения интересных фактов из истории математики;  повышение степени вовлеченности учащихся в учебно-творческую деятельность;  пробуждение активности исследовательских и  познавательных интересов; повышение математической культуры учащихся.
Математический кружок

Слайд 3

Что такое софизм?
Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое кажется правильным. Софизм основан на сознательном нарушении логики. Каков бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько незаметных, замаскированных ошибок.
Математический кружок

Слайд 4

ВИДЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СОФИЗМОВ
Математический кружок
Геометрические софизмы – рассуждения, обосновывающие какую-нибудь нелепость, связанную с геометрическими фигурами и действиями над ними
Алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях
Арифметические софизмы – числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда

Слайд 5

Экскурсия в историю
Термин «софизм» впервые ввел Аристотель
Математический кружок

Возникновение софизмов связывается с философией софистов, Древняя Греция, V-IV вв. (до новой эры)
Платон
Сократ

Слайд 6

Примеры софизмов
Математический кружок
9кг = 9000000г 2 х 2 = 5 или 4 = 5 Все числа равны между собой Если число а > b, то a > 2b Положительные числа меньше отрицательных Из точки на прямую можно провести два перпендикуляра

Слайд 7

9кг = 9.000.000г

Математический кружок
1кг = 1000г 3кг = 3000г Возведём правую и левую части верного равенства в квадрат, получим: 9кг = 9.000.000г
4ч. = 14.400мин.
25р. = 2.500коп.

Слайд 8

2 х 2 = 5
Математический кружок
4 = 5
1 способ 2 способ 3 способ 4 способ

Слайд 9

Математический кружок
2 Х 2=5 или 4=5
4 : 4 = 5 : 5 4 x (1 : 1) = 5 x (1 : 1) 4 x 1 = 5 x 1 4 = 5 но 4 = 2 x 2, значит 2 x 2 = 5
1 способ

Слайд 10

4 = 5
Математический кружок
16 – 36 = 25 – 45 Дополним до полного квадрата 42 – 2 · 4 · 4,5 + (4,5)2 = 52 – 2 · 5 · 4,5 + (4,5)2 (4 – 4, 5)2 = (5 – 4,5)2 4 – 4,5 = 5 – 4,5ǀ + 4,5 4 = 5
2 способ

Слайд 11

Пусть 4=а, 5=b, тогда найдём среднее арифметическое этих чисел:(а+b)/2=d Умножим обе части равенства на 2: a+b=2d Отсюда a=2d-b, b=2d-a или 2d-a=b. Перемножим эти равенства по частям: a·(2d-a)=(2d-b)·b 2ad-a2=2bd-b2 ׀ ·(-1) a2-2ad=b2-2bd ׀+d2 a2-2ad+d2=b2-2bd+d2 (a-d)2=(b-d)2 a-d=b-d ׀+d a=b 4 = 5

Математический кружок
4 = 5
3 способ

Слайд 12

Математический кружок
Пусть 4 = 5 Из обеих частей равенства вычтем среднее арифметическое чисел 4 и 5. Это число 4,5 4 = 5ǀ — 4,5 4 – 4,5 = 5 – 4,5 -0,5 = 0,5 (-0,5)2 = (0,5)2 0,25 = 0,25, значит 4 = 5
4 способ
4 = 5

Слайд 13

Математический кружок
2 = 5
5=12=58
2 : 2 = 5 : 5 2(1 : 1) = 5(1 : 1) 2 · 1 = 5 · 1 2 = 5
Пусть 2 = 5ǀ — 3,5 2 – 3,5 = 5 – 3,5 -0,5 = 0,5 (-0,5)2 = (0,5)2 0,25 = 0,25, Значит 2 = 5
5 : 5 = 12 : 12 = 58 : 58 5(1 : 1) = 12(1 : 1) = 58 : 58 5 · 1 = 12 · 1 = 58 · 1 5 = 12 = 58

Слайд 14

Рассмотрим ∆АВС. На сторонах АВ и ВС ΔАВС, как на диаметрах, построим полуокружности. Эти полуокружности пересекают сторону АС в точках Р и К. Угол АРВ прямой, как вписанный, опирающийся на полуокружность; угол СКВ также прямой. Следовательно, ВР⊥АС и ВК⊥АС

Математический кружок
Из точки на прямую можно провести два перпендикуляра

Слайд 15

Чем полезны софизмы?
Развивают логическое мышление Развивают наблюдательность, вдумчивость, критическое отношение к тому, что изучается Заставляют тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей Помогают сознательному усвоению изученного математического материала
Математический кружок

Слайд 16

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
При разборе математических софизмов очень важно самостоятельно найти допущенные ошибки Во многих софизмах допущены одинаковые ошибки Важно добиться понимания ошибок Разбор софизмов увлекателен Разбор софизмов помогает сознательному изучению математики
Математический кружок

topslide.ru

Математические парадоксы и софизмы



В современном мире мы на каждом шагу сталкиваемся с обманом, мошенничеством. Приглашения на бессмысленные тренинги, семинары заполонили СМИ. Мы считаем, что очень важно научиться отличать ложь от истины и уметь противостоять манипуляциям со стороны других.

В нашем проекте речь пойдет о софизмах, парадоксах и об их главной составляющей – нарушении логики. А также мы постараемся ответить на следующие вопросы:

— В причины возникновения софизмов?

— Какие различают виды софизмов и парадоксов?

— Как их распознать и для чего это нужно?

Целью проекта является изучение информационных источников и научной литературы, их систематизирование, обработка и обобщение полученного материала по данной теме.

Задачи проекта:

1) собрать информацию о логических софизмах и парадоксах;

2) найти математические парадоксы и софизмы;

3) выяснить причины возникновения противоречий в рассуждениях и доказательствах;

4) провести ряд исследований на тему «решение софизмов как показатель интеллектуального уровня по гендерному признаку» в средних классах.

Нарушение логики

Главной составляющей парадоксов и софизмов является нарушение логики. Оно встречается везде, в первую очередь, конечно, в рассуждениях, но можно их порой увидеть в рисунках, в чертежах, в литературных произведениях, даже в научных работах и во многом другом. Например, в песенке сочиненной английскими студентами:

The more you study, the more you know.

The more you know, the more you forget.

The more you forget, the less you know.

The less you know, the more you forget.

The less you forget, the more you know.

So why study?

Чем больше учишься, тем больше знаешь.

Чем больше знаешь, тем больше забываешь.

Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.

Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.

Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь.

Так для чего учиться?

Мориц Эшер рисовал картины с элементами нарушения логики:

Рис. 1 «Рисующие руки» 1948г. Рис. 2 «Рептилия» 1943г.

Теперь более подробно рассмотрим парадоксы и софизмы.

Парадоксы

Парадоксом называется суждение, которое может доказать, что суждение одновременно является как ложным, так и истинным. Это явление разделяется на 2 вида: апория и антиномия.

Апория – появление вывода, который противоречит опыту. Примером служит парадокс, сформулированный Зеноном:

Быстроногий Ахиллес не в состоянии догнать черепаху, так как она при каждом последующем шаге будет отдаляться от него на некоторое расстояние, не давая ему догнать себя, ведь процесс деления отрезка пути бесконечен.

Поясним в чем тут дело:

Шаг Ахиллеса имеет какую-то величину, и он как минимум в 10 раз больше шага черепахи. Шаг – ненулевая величина, иначе герои не двигаются, что противоречит условию задачи. Через некоторое время после начала забега расстояние между участниками сократится до величины, равной разности шага Ахиллеса и шага черепахи. Следующим шагом Ахиллес ее догонит, т. к. он сделает больше шаг, нежели черепаха.

Антиномия – это парадокс, предполагающий наличие двух взаимоисключающих суждений, которые одновременно истинны. Например:

Фраза «я лгу», может являться как истиной, так и ложью, но если это правда, то человек, произносящий ее, говорит истину и не считается лжецом, хотя фраза подразумевает обратное.

Итак, парадокс – это противоречие, которое возникает в ходе рассуждений, важно отметить, что появляется оно само собой, то есть непреднамеренно.

Математические парадоксы

Существуют парадоксы в математике. И вот, действительно, самое парадоксальное – это то, что в математике вообще есть парадоксы. Например:

Парадокс бесконечно малых величин

Бесконечно малые – это переменные величины, стремящиеся к пределу, равному нулю. Проблема состояла в их туманном понимании: то они рассматриваются как числа равные нулю, то как ему неравные. Люди рассматривали их как постоянные величины. Тогда из этого названия таких величин следует, что бесконечное является чем-то завершенным.

Кризис перестал быть таковым после создания теории пределов в начале XIX века французским математиком Огюстеном Луи Коши (1789 – 1857). С того момента бесконечно малые величины рассматриваются как постоянно изменяющиеся, а не постоянные, стремящиеся к пределу, но никогда его не достигающие. Постоянно изменяющиеся числа!

Софизм

Слово «софизм» красивое и весьма необычное, к тому же его мы не употребляем в повседневной жизни, поэтому некоторые люди не знают, что оно означает, а, порой, и впервые слышат. Углубимся в историю и выясним: что такое «софизмы»? и откуда к нам пришел этот интересный термин?

Софизмы были замечены еще в древности. В переводе с греческого дословно оно означает: уловка, выдумка или мастерство.

Что же такое софизм? Софизм – утверждение, являющееся ложным, но не лишенным элемента логики, за счет чего при поверхностном взгляде на него, оно кажется верным. В отличие от парадокса, в софизме ошибка сделана специально, но скрыта, якобы, под правильным действием. А почему они появляются?

Причины появления софизмов

К психологическим причинам софизмов относят интеллект человека, его эмоциональность и степень внушаемости. То есть более умному человеку достаточно завести своего оппонента в тупик, чтобы тот согласился с предложенной ему точкой зрения.

Чем более убедительной будет речь человека, тем больше шанс, что окружающие не заметят ошибок в его словах. На это и рассчитывают многие из тех, кто пользуется такими приемами в споре.

Развитая интеллектуальная личность имеет возможность следить не только за своей речью, но еще и за каждым аргументом собеседника, обращая при этом свое внимание на аргументы, приводимые собеседником. Такого человека отличает больший объем внимания, умение искать ответ на неизвестные вопросы вместо следования заученным шаблонам, а также большой активный словарный запас, при помощи которого мысли выражаются наиболее точно.

Объем знаний тоже имеет немаловажное значение. Умелое применение такого вида нарушений, как софизмы в математике, недоступно малограмотному и не развивающемуся человеку.

Во время обсуждения точек зрения происходит воздействие не только на разум и чувства, но еще и на волю. Уверенный в себе и напористый человек с большим успехом отстоит свою точку зрения, даже если та была сформулирована с нарушением логики. Особенно сильно такой прием действует на большие скопления людей, подверженных эффекту толпы и не замечающих софизм. Что это дает оратору? Возможность убедить практически в чем угодно. Еще одной особенностью поведения, позволяющей победить в споре при помощи софизма, является активность. Чем более пассивен человек, тем больше шансов убедить его в своей правоте.

Какой можно из этого сделать вывод? Эффективность софистских высказываний зависит от особенностей обоих людей, задействованных в разговоре. При этом эффекты всех рассмотренных качеств личности складываются и влияют на исход обсуждения проблемы.

Математические софизмы

Математические софизмы относятся к сложным софизмам. При разборе математических софизмов выделяются основные ошибки:

1) деление на 0;

2) неправильные выводы из равенства дробей;

3) неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;

4) нарушения правил действия с именованными величинами;

5) путаница с понятиями «равенства» и «эквивалентность» в отношении множеств;

6) проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла;

7) неравносильный переход от одного неравенства к другому;

8) выводы и вычисления по неверно построенным чертежам;

9) ошибки, возникающие при операциях с бесконечными рядами и предельным переходом.

Алгебраические софизмы

Алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях. Рассмотрим несколько примеров:

1) Рассмотрим интеграл

Так как функция положительна на всей своей области определения, то значение интеграла должно быть положительным.

Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:

Где ошибка?

Рис. 3

1) – ни что иное как гипербола, но так как , то график расположен в первой и во второй четвертях координатной плоскости

2) Теперь перейдем к пределам; на графике видно, что подынтегральная функция на отрезке [-1;1] прерывается

Формулу Ньютона-Лейбница можно использовать только на том отрезке, где график функции непрерывен.

Геометрические софизмы

Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними. Например:

«Через точку на прямую можно опустить два перпендикуляра»

Рис. 4

Возьмем треугольник ABC . На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и D. Соединим точки Е и D прямыми с точкой В. Угол АЕВ прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол ВDC также прямой. Следовательно, BE ⊥ AC и BD ⊥ AC. Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС.

В чем ошибка?

В своих рассуждениях, о том, что из точки на прямую можно опустить два перпендикуляра, мы опирались на ошибочный чертеж. В действительности полуокружности пересекаются со стороной АС в одной точке, т.е. ВЕ совпадает с ВD. Значит, из одной точки, не лежащей на данной прямой, нельзя опустить два перпендикуляра к этой прямой.

Решение математических софизмов не только развивает логику, но и внимательность, способствует тому, что ученик меньше совершает ошибок, а если и совершает, то при проверке вероятность того, что он найдет свою ошибку, становится больше.

Исследование

Нами было проведено исследование на тему «решение софизмов как показатель интеллектуального уровня по гендерному признаку»: мы предложили ученикам двух шестых классов найти ошибку в софизме «5=6» с целью определить способны ли учащиеся распознавать неверные утверждения, представленные как логическое объяснение. Суть софизма заключалась в следующем:

Возьмем верное числовое тождество:

35 + 10 — 45 = 42 + 12 — 54

Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим:

5(7 + 2 — 9) = 6(7 + 2 — 9).

Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключенный в скобки).

Получаем

5 = 6.

В чем ошибка?

Выражение в скобках равно нулю

На ноль делить нельзя!

Результаты были таковы:

Из 57 человек «Не знаю»,- ответили 38, неправильный ответ дали 27 человек, правильный – 2 мальчика.

С чем может быть связан такой низкий показатель?

Возможно, из-за столь юного возраста, дети рассредоточены, невнимательны и очень доверчивы, что отразилось на результатах.

Опираясь на итоги исследования, можно сделать вывод, что у мальчиков лучше развито логическое мышление. Однако несколько девочек были близки к верному ответу, но им не хватило точности, определенности. В результате их ответ нельзя считать верным. Это говорит о том, что мальчики, как правило, могут более точно выражать свои мысли.

Заключение

Работа над софизмами и парадоксами – это тренировка мышления и логики. Она способствует мозговой деятельности. Человек уверенно и быстро ориентируется в жизненных ситуациях, требующих принятия верного решения, умеет отстаивать свое мнение. Таких людей нелегко обмануть, вовлечь в какие-либо махинации финансового или иного характера. Оттачивается острота ума, умение четко и точно формулировать свои мысли, отличать заблуждения от реальности.

Литература:

1. Брутян Г., Паралогизм, софизм и парадокс//Вопросы философии, 1959.
2. Мартин Гарднер. Математические головоломки и развлечения. М.: Оникс, 1994.
3. Гаврилова Т. Д. Занимательная математика. 2008.
4. http://fb.ru
5. http://nsportal.ru
6. http://festival.1september.ru
7. http://mathemlib.ru

yun.moluch.ru

Математические софизмы

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ

М. А. Мартынюк

Россия, ГОУ ОО СПО «Болховский педагогический колледж»

В математических вопросах нельзя пренебрегать

даже самыми мелкими ошибками.

(И. Ньютон) 

История математики полна неожиданных и интересных софизмов. И зачастую именно их разрешение служило толчком к новым открытиям, из которых, в свою очередь, вырастали новые софизмы. 

Термин «софизм» происходит от греческого слова sophisma, что означает «хитрость». Софизм — это умышленно ошибочное рассуждение, которое выдается за истинное. Чаще всего софизмы являются следствием преднамеренно неправильного подбора исходных положений, двусмысленности слов или подмены понятий.

Логические ошибки в доказательствах и опровержениях, в рассуждении вообще могут допускаться непроизвольно, т.е. без целенаправленного намерения ввести собеседника в заблуждение, или же преднамеренно.
В первом случае такого рода ошибки называются паралогизмами и, как правило, являются следствием невысокой логической культуры.
Второй вид — преднамеренные, замаскированные логические ошибки — называются софизмами.

Известны многие софизмы, дошедшие до нас еще со времен Аристотеля. Например, софизм «Рогатый»: «То, чего ты не терял, ты имеешь. Ты не терял рога. Следовательно, ты имеешь рога».

Аристотель называл софизмом «мнимые доказательства», в которых обоснованность заключения кажущаяся и обязана чисто субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью логического анализа. Софистами называли группу древнегреческих философов 4 века до нашей эры, достигших большого искусства в логике. Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого караются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. Софизм – это — то же обман, только выполненный намного изящнее и незаметнее, за что мы его и любим. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в софизмах выполняют «запрещенные» действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил. В приведенных ниже стихах, взятых из одного английского журнала, выходившего в прошлом веке, рассказывается о хитром хозяине гостиницы, сумевшем разместить в девяти номерах десять гостей так, что каждому из них досталось по отдельной комнате. 

Их было десять чудаков,
Тех спутников усталых,
Что в дверь решили постучать
Таверны «Славный малый».

— Пусти, хозяин, ночевать,
Не будешь ты в убытке,
Нам только ночку переспать,
Промокли мы до нитки.

Хозяин тем гостям был рад,
Да вот беда некстати:
Лишь девять комнат у него
И девять лишь кроватей.

— Восьми гостям я предложу
Постели честь по чести,
А двум придется ночь проспать
В одной кровати вместе.

Лишь он сказал, и сразу крик,
От гнева красны лица:
Никто из всех десятерых
Не хочет потесниться.

Как охладить страстей тех пыл,
Умерить те волненья?
Но старый плут хозяин был
И разрешил сомненья.

Двух первых путников пока,
Чтоб не судили строго,
Просил пройти он в номер «А»
И подождать немного.

Спал третий в «Б», четвертый в «В»,
В «Г» спал всю ночь наш пятый,
В «Д», «Е», «Ж», «3» нашли ночлег
С шестого по девятый.

Потом, вернувшись снова в «А»,
Где ждали его двое,
Он ключ от «И» вручить был рад
Десятому герою.

Хоть много лет с тех пор прошло,
Неясно никому,
Как смог хозяин разместить
Гостей по одному.

Иль арифметика стара,
Иль чудо перед нами,
Понять, что, как и почему,
Вы постарайтесь сами. По характеру ошибок, все софизмы можно разделить на следующие группы: 1. Логические софизмы.

Так как обычно вывод может быть выражен в силлогистической форме, то и всякий софизм может быть сведён к нарушению правил силлогизма. Наиболее типичными источниками логических софизмов являются следующие нарушения правил силлогизма:

• Вывод с отрицательной меньшей посылкой в первой фигуре: «Все люди суть разумные существа, жители планет не суть люди, следовательно, они не суть разумные существа»;

• Вывод с утвердительными посылками во второй фигуре: «Все, находящие эту женщину невинной, должны быть против наказания её; вы — против наказания её, значит, вы находите её невинной»;

• Вывод с отрицательной меньшей посылкой в третьей фигуре: «Закон Моисеев запрещал воровство, закон Моисеев потерял свою силу, следовательно, воровство не запрещено»;

• Особенно распространённая ошибка употребление среднего термина в большой и в меньшей посылке не в одинаковом значении: «Все металлы — простые вещества, бронза — металл: бронза — простое вещество» (здесь в меньшей посылке слово «металл» употреблено не в точном химическом значении слова, обозначая сплав металлов): отсюда в силлогизме получаются четыре термина.

2. Терминологические софизмы.

Грамматические, терминологические и риторические источники софизмов выражаются:

• В неточном или неправильном словоупотреблении и построении фразы. Например, «Все углы треугольника » в том смысле, что «каждый угол ».

• Более сложные софизмы проистекают из неправильного построения целого сложного хода доказательств, где логические ошибки являются замаскированными неточностями внешнего выражения. Например, начав доказывать некоторый тезис, постепенно в ходе доказательства переходят к доказательству другого положения, сходного с тезисом.

3. Психологические софизмы.

Психологические причины софизмов бывают троякого рода: интеллектуальные, аффективные и волевые. Во всяком обмене мыслей предполагается взаимодействие между 2 лицами, читателем и автором или лектором и слушателем, или двумя спорящими. Убедительность софизма поэтому предполагает два фактора: α — психические свойства одной и β — другой из обменивающихся мыслями сторон. Правдоподобность софизма зависит от ловкости того, кто защищает его, и уступчивости оппонента, а эти свойства зависят от различных особенностей обеих индивидуальностей.

4. Интеллектуальные софизмы.

Интеллектуальные причины софизма заключаются в преобладании в уме лица, поддающегося софистике, ассоциаций по смежности над ассоциациями по сходству, в отсутствии развития способности управлять вниманием, активно мыслить, в слабой памяти, непривычке к точному словоупотреблению, бедности фактических знаний по данному предмету, лености в мышлении (ignava ratio) и т. п. Обратные качества, разумеется, являются наиболее выгодными для лица, защищающего софизм: обозначим первые отрицательные качества через , вторые соответствующие им положительные через .

Как было сказано ранее, в математических софизмах чаще всего используются «запрещенные действия» либо не учитываются условия применимости теорем, формул или правил. Часто понимание людьми ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, развивает логику и навыки правильного мышления. Поиск ошибки в софизме ведет к ее пониманию и осознанию, а осознавая ошибку, человек имеет больше шансов ее не допустить. Также, в истории развития математики софизмы способствовали повышению точности формулировок и более глубокому пониманию понятий математики.

Математические софизмы делятся на арифметические, алгебраические, геометрические и логические.

Рассмотрим несколько примеров алгебраических софизмов, в которых ошибки намеренно скрытые в уравнениях и числовых выражениях.

1. Всякое число равно своему удвоенному значению.

Запишем очевидное для любого числа a тождество
a² — a² = a² — a², вынесем a в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получим a(a – a) = (a + a)(a — a).Разделив обе части на (a – a), получим a = a + a, или a=2a.

Итак, всякое число равно своему удвоенному значению.
Здесь ошибочен переход к равенству a=2a. В самом деле, число a-a, на которое делится равенство a(a – a) = (a + a)(a — a) равно нулю. А мы прекрасно знаем, что на ноль делить нельзя.

2. Чётное число равно нечётному.

Возьмём произвольное чётное число 2n, где n-любое целое число, и запишем тождество ,

в справедливости которого нетрудно убедиться, раскрыв скобки. 

Прибавив к обеим частям этого тождества , перепишем его в следующем виде: , или в таком:,

откуда следует, что , или 2n=2n+1, что означает равенство чётного числа нечётному. Однако из равенства квадратов не следует равенство величин.

3.

4. Сумма любых двух одинаковых чисел равна нулю. Возьмём произвольное не равное нулю число a и напишем уравнение x=a. Умножая обе его части на (-4а), получим -4ах=. Прибавляя к обеим частям последнего равенства  и перенеся член  влево с противоположным знаком, получим , откуда, замечая, что слева стоит полный квадрат, имеем , или х-2а=х. Заменяя в последнем равенстве х на равное ему число а, получим а-2а=а, или -а=а, откуда 0=а+а, т. е. сумма двух произвольных одинаковых чисел а равна 0. Однако, когда мы имеем полный квадрат , то /х-2а/=/х/, а так x=a, то 2а-x=x.

5. Все числа равны между собой.

Возьмем любые два числа х, у. Рассмотрим тождество х2 – 2ху +у2 =у2 – 2ху +х2. Имеем (х — у)2 = (у – х)2. Отсюда х-у = у-х или 2х= 2у, а, значит, х = у.

Ошибка заключается в том, что из равенства (х — у)2 = (у – х)2 следует, что, а это равенство справедливо для любых чисел у, х.

6. 1=0.

Возьмем уравнение x-a=0. Разделив обе его части на х-а, получим х-а/х-а=0/х-а. Откуда сразу же получаем требуемое равенство 1=0.

Однако в данном софизме используется распространенная ошибка, а именно деление на 0.

7. Всякое число равно своему удвоенному значению.

Запишем очевидное для любого числа а тождество 2а-2а= 2а-2а. Вынесем а в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получив: а(а-а)=(а+а)(а-а) (1)

Разделив обе части на а-а, получим а=а+а, а=2а.

В данном софизме вновь используется деление на нуль неравенства (1) (а-а=0 ).

8. Если одно число больше другого, то эти числа равны.

Возьмем два произвольных числа Х и У, такие, что Х У , и другие три произвольных числа а, b и с , сумма которых равна d , т.е. а+ b + c = d . Умножив обе части этого равенства на Х , а затем на У , получим: Хa+Хb+Хc=Хd, Уa+Уb+Уc=Уd. Сложив почленно эти равенства получим Хa + Хb + Хc + Уd = Уa + Уc + Уb + Хd . Перенося здесь Уd  вправо, а  Хd влево, имеем Хa+Хb+ХcХd=Уa+Уb+УcУd.

Вынося слева число Х , а справа число У за скобки, придем к соотношению m(a+b+cd)=n(a+b+cd). (1)

Разделив обе части последнего равенства на ( a + b + c d ) , находим, что, У=Х.

Ошибка, как и в предыдущих примерах заключается в делении на 0, то есть на ( a + b + c d ).

9. Любое число а равно меньшему числу b. 

Начнем с равенства    а = b + c.

                                                                                                                   

Умножив обе его части на a — b, получим  а² — аb = аb + аc — b² — be.
Перенесем ас в левую часть:  а² — аb — аc = аb — b² — be
 и разложим на множители:  а(а — b — c) = b(а — b — c).
Разделив обе части равенства на а — b — c, найдем  а = b,   что и требовалось доказать.

Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда. Рассмотрим некоторые из арифметических софизмов.

1. Дважды два – пять.

Пусть исходное соотношение — очевидное равенство: 4:4= 5:5 (1) .

Вынесем за скобки общий множитель каждой чести (1) равенства, и мы получим: 4*(1:1)=5*(1:1). (2)

Разложим число 4 на произведение 2 *2.

(2*2)* (1:1)=5*(1:1).  (3)

Наконец, зная, что 1:1=1, мы из соотношения (2) устанавливаем: 2*2=5.

Ошибка заключается в том, что нельзя было выносить множитель за скобки в уравнение (2).

2. Один рубль не равен ста копейкам.

Известно, что любые два неравенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т.е. Если a=b, c=d, то ac=bd. 

Применим это положение к двум очевидным равенствам 1 р.=100 коп, (1)

10р.=10*100коп. (2) 

Перемножая эти равенства почленно, получим 10 р.=100000 коп.

Наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что 1 р.=10 000 коп., таким образом, один рубль не равен ста копейкам.

Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.

3. Число, равное другому числу, одновременно и больше, и меньше его.

Возьмем два положительных равных числа a и b и напишем для них следующие неравенства: 

a — b и b — b. 

Перемножив оба этих неравенства почленно, получим неравенство a·bb·b. 

Разделим его на b (это законно, т.к. b0), получим a b. 

Записав же два других столь же бесспорных неравенства:

b — a и  a — a.

Перемножив оба этих неравенства почленно, получим неравенство b·a a·a. 

Разделив на a0, придем к b a. 

Итак, число a, равное числу b, одновременно и больше, и меньше его. 

Ошибка заключается в неправильном почленном перемножении, вследствие которого место выражений a-b; b-a получились выражения ab; a .

4. 1=2.

Никто не станет возражать, что 3-1=6-4. Умножим обе части равенства на (-1): 1-3=4-6, прибавим к обеим частям равенства одно и тоже число, (9/4):1-3+9/4=4-6 +9/4.

Замечаем, что обе части равенства представляют собой квадраты разностей: (1-3/2)2=(2-3/2)2.

Извлечем из обеих частей квадратный корень: 1-3/2=2-3/2, и теперь к каждой части прибавим 3/2, имеем 1=2.

Не менее интересными являются геометрические софизмы, которые основаны на ошибках связанных с геометрическими фигурами и действиями над ними. В качестве примера, рассмотрим следующие софизмы.

1. Спичка вдвое длиннее телеграфного столба.

Пусть, а дм — длина спички и b дм — длина столба. Разность между b и a обозначим через c . Имеем b — a = c, b = a + c. Перемножаем два эти равенства по частям, находим: 2b — ab = ca + 2c. Вычтем из обеих частей bc. Получим: 2b- ab — bc = ca + 2c — bc, или b(b — a — c) = — c(b — a — c), откуда b = — c, но c = b — a, поэтому b = a — b, или a = 2b.  Тем не менее, в выражении b(b-a-c)=(-c)*(b-a-c) производится деление на (b-a-c), а этого делать нельзя, так как b-a-c=0.Значит, спичка не может быть вдвое длиннее телеграфного столба.

2. Хорда, не проходящая через центр окружности, равна диаметру.

Пусть в окружности приведен диаметр АВ. Через точку В проведем любую хорду ВЕ, не проходящую через центр, затем через середину этой хорды D и точку А проведем новую хорду АС. Наконец, точки Е и С соединим отрезком прямой. Рассмотрим ∆АВD и ∆ЕDС.

В этих треугольниках: ВD = DЕ (по построению), А=Е (как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу).

Кроме того,  ВDА=ЕDC (как вертикальные). Если же сторона и два угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Значит, ∆ ВDА= ∆ЕDC , а в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Поэтому, АВ=ЕС. 

По теореме о признаке равенства треугольника:

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

А в нашем случае, А не прилежит к стороне ВD .

Ошибка заключается в неправильном применении теоремы о равенстве треугольников (равны 2 угла , не прилежащие к одной стороне).

3. Тор.

 

Один из наиболее впечатляющих софизмов топологии заключается в том, что тор (поверхность  бублика), если его поверхность растягивать (не разрывая при этом), можно вывернуть наизнанку  через любую сколь угодно малую дырочку. Никакой проблемы здесь нет. Но уж если тор  действительно можно вывернуть наизнанку, то следует  обратить внимание и еще на один, пожалуй, даже более удивительный факт.  Если тор вывернуть наизнанку, то кажется, что кольца, нарисованные на его поверхности, расцепляются.

  На наружной стороне тора проведем меридиан (рис, вверху). На внутренней стороне того же тора проведем параллель. Обе эти окружности, очевидно, сцеплены между собой. Вывернем теперь тор наизнанку через дырочку в его поверхности. Как видно из нижнего рисунка, первая окружность перейдет с наружной поверхности тора внутрь, а вторая — наружу, и обе окружности окажутся расцепленными. Очевидно, что это нарушает фундаментальный топологический закон, который гласит: разделить две сцепленные замкнутые кривые можно, лишь разорвав одну из кривых и протащив через место разрыва вторую.

4. Из точки на прямой можно опустить два перпендикуляра.

Попытаемся «доказать», что через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра.

С этой целью возьмем треугольник АВС. На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности.

Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и D. Соединим точки Е и D прямыми с точкой В.

Угол АЕВ прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол ВDС также прямой. Следовательно, ВЕ перпендикулярна АС и ВD перпендикулярна АС. Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС.

Особый интерес с момента зарождения математики, как одной из фундаментальных наук, вызывали логические софизмы. Логические софизмы — софизмы, ошибки которых заключаются в неправильных рассуждениях.

1. Софизм Кратила. Диалектик Гераклит, провозгласив тезис «все течет», пояснял, что в одну и ту же реку (образ природы) нельзя войти дважды, ибо когда входящий будет входить в следующий раз, на него будет течь уже другая вода. Его ученик Кратил, сделал из утверждения учителя другие выводы: в одну и ту же реку нельзя войти даже один раз, ибо пока ты входишь, она уже изменится. Поэтому Кратил предлагал не называть вещи, а указывать на них: пока произносишь название, вещь уже станет иной.

2. Полупустое и полуполное.

Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное

Однако полупустое не является половиной чего либо пустого, а является чем либо наполовину наполненным.

3. Вор.

Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего.

4. Не знаешь то, что знаешь.

«Знаешь ли ты, о чём я хочу тебя спросить?» — «Нет». — «Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?» — «Знаю». — «Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь».

5. Лекарства.

«Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше».

6. Отец — собака.

«Эта собака имеет детей, значит, она — отец. Но это твоя собака. Значит, она твой отец. Ты её бьёшь, значит, ты бьёшь своего отца и ты — брат щенят».

Как видно из приведённых выше софизмов, найти ошибки в них не очень сложно, зная основные математические законы и их доказательства. Однако можно выделить несколько основных способов нахождения ошибки в софизме:

• Внимательно прочитать условие предложенной вам задачи. Начинать поиск ошибки лучше с условия предложенного софизма. В некоторых софизмах абсурдный результат, получается, из-за противоречивых или неполных данных в условии, неправильного чертежа, ложного первоначального предположения, а далее все рассуждения проводятся верно. Это и вызывает затруднения при поиске ошибки. Все привыкли, что задания, предполагаемые в различной литературе, не содержат ошибок в условии и, поэтому, если получается неверный результат, то ошибку они ищут непременно по ходу решения.

• Установите области знаний (темы), которые отражены в софизме, предложенных преобразованиях. Софизм может делиться на несколько тем, которые потребуют детального анализа каждой из них.

• Выясните, соблюдены ли все условия применимости теорем, правил, формул, соблюдена ли логичность. Некоторые софизмы построены на неверном использовании определений, законов, на «забывании» условий применимости. Очень часто в формулировках, правилах запоминаются основные, главные фразы и предложения, всё остальное упускается. И тогда второй признак равенства треугольников превращается в признак «по стороне и двум углам».

• Проверяйте результаты преобразования обратным действием.

• Часто следует разбить работу на небольшие блоки и проконтролировать правильность каждого такого блока.

Можно бесконечно говорить о софизмах в целом и о математических софизмах в частном. Из года в год появляются новые софизмы, некоторые из них могут остаться в истории, о многих быстро забудут. Ведь софизмы — это смесь математики и логики, поэтому они помогают не только развивать логику, но и лучше понимать математику в целом. В современном мире есть много людей, так или иначе употребляющих софизмы в обычной жизни, даже не зная, что это такое. Есть же и такие люди, которые целенаправленно изучают софизмы, например политики или СМИ, чтобы вводить людей в заблуждение, или просто развить свои навыки логики и правильности рассуждений.

Поначалу может показаться, что существует мало софизмов, или, что они не используются в жизни, то есть бесполезны. Но это не так. Существует огромное множество разных видов софизмов. И математические софизмы – всего лишь небольшая их часть. За свою жизнь человек слышит десятки софизмов, не умея отличить их от правдивых утверждений, и даже не зная, что вообще означает слово софизм.

Понять софизм, то есть решить его, получается не сразу. Поначалу, чтобы решить некоторые софизмы, приходится по многу раз их внимательно перечитывать, вдумываться и всматриваться. В ходе написания данной работы и доказательства софизмов, приведённых в ней, ошибки стали находиться быстрее. Хорошо развитое логическое мышление может помочь не только в решении задач, но и в обычной жизни.

О математических софизмах можно говорить бесконечно много, как и о математике в целом. Изо дня в день рождаются новые парадоксы, некоторые из них останутся в истории, а некоторые просуществуют один день

Вообще, решение софизмов – интересное и познавательное занятие. Им можно заниматься как целенаправленно, так и в свободное время для собственного удовольствия. Изучение математических софизмов раскрывает еще одну страничку в математике, позволяет прикоснуться к тому, с чем сталкивались далекие предки, к теме, которая имеет исторические корни.

Литература

1. Брадис В. М., Минковский В. Л., Харчева Л. К. Ошибки в математических рассуждениях. 3 изд.: М., 1967.
2. Дёмин Р. Н. Собрание «задач» Ричарда Софиста как контекст для «парадоксов» древнекитайской школы имен // Вестник РХГА № 6, СПб., 2005.
3. Ивин А. А.. Логика.: М. — Издательство «Знание», Изд. 2-е, 1998. 
4. Интернет источник Timerl@n.

5. Интернет источник http://www.rchgi.spb.ru/Pr/vest_6.htm.

6. Неркарарян К. В., Софизмы и парадоксы, 1 издание, 2001.

videouroki.net

Математические софизмы — математика, прочее

Софизмы

Это последовательность высказываний, содержащая скрытую ошибку, за счет чего удается сделать неправдоподобный вывод. Обычно в математических софизмах скрыто выполняются запрещенные действия или нарушаются условия применения правил или теорем. Задача заключается в том, чтобы найти ошибку в рассуждениях.

1. Докажем, что 5 = 4.

Пусть х = 1/3, тогда 3х = 1. представим 3х как 15х – 12х, и 1 – как 5 – 4, тогда вместо равенства 3х = 1 можно записать

15х – 12х = 5 – 4.

Решим это уравнение:

15х – 5 = 12х – 4, 5(3х – 1) = 4(3х – 1).

Разделим обе части равенства на (3х – 1) и получим 5 = 4. Где в рассуждениях допущена ошибка?

(Поделили на выражение 3х – 1 , которое при х = 1/3 равно нулю).

2. Рассмотрим очевидное равенство:

.

Отсюда, извлекая квадратный корень, имеем:

.

Прибавляя к обеим частям этого равенства по 5/2, получаем, что 2 = 3. Где ошибка?
(При извлечении корня квадратного из обеих частей надо воспользоваться равенством ).

3. Возьмем тождество 35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54. В каждой части этого тождества вынесем за скобки общий множитель:

5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9).

Теперь, разделив обе части полученного равенства на их общий множитель
(7 + 2 – 9), получим, что 5 = 6. Где ошибка?

(Поделили верное равенство на выражение (7 + 2 – 9), равное нулю. Деление на нуль не имеет смысла).

4. Напишем тождество 4 : 4 = 5 : 5.

Вынеся из каждой части тождества общие множители за скобки, получим:

4 (1 : 1) = 5 (1 : 1) или (2 2) (1 : 1) = 5 (1 : 1).

Так как 1 : 1 = 1, то 2 2 = 5. Где ошибка?

(Ошибка сделана при вынесении общих множителей 4 из левой части и 5 из правой части. 4 : 4 = 1 : 1, но 4 : 4 ≠ 4 (1 : 1)).

5. Напишем тождество 16 – 36 = 25 – 45. К обеим частям равенства прибавим 81/4:

;

;

. Где ошибка?

(Ошибка заключается в том, что из истинного равенства следует равенство , вместо истинного равенства
).

6. Прибавим к обеим частям очевидного неравенства 7 5 число – 8, имеем:
7 – 8 5 – 8, то есть – 1 – 3. Умножим теперь это неравенство на (- 4) и получим:
(- 1) (-4) (-3) (-4), то есть 4 12. Где ошибка?

(При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число (– 4) надо было знак неравенства изменить на противоположный).

7. Существует софизм: все числа равны между собой.

Пусть a и b – два числа. Обозначим выражение (a + b) через s. Тогда:
a = s – b

a – s = —b

Перемножим эти равенства:

a (a – s) = —b (s – b)

a² – as = b² – bs

Прибавим к обеим частям равенства

a² – as + = b² – bs + ,

(a – )² = (b – )²

Откуда a – = b – , то есть a = b. Где ошибка?

(При извлечении корня квадратного из обеих частей надо воспользоваться равенством ).

8. Докажем, что любое число равно нулю.

Пусть a – любое фиксированное число. Рассмотрим уравнение:

3x² – 3ax + a² = 0

3x² – 3ax = — a²

Умножая обе части его на — a, получим:

-3x² a + 3a²x = a³

Прибавляя к обеим частям этого уравнения x³ – a³, получаем:

x³ – 3x² a + 3a²x – a³ = x³

(x – a)³ = x³

Откуда следует:

x – a = x; a = 0. Где ошибка?

(При a ≠ 0 не существует числа х, удовлетворяющего уравнению 3x² – 3ax + a² = 0. Это следует из того, что дискриминант этого уравнения D = — 3a² при a ≠ 0. Следовательно, нельзя прибавлять к обеим частям уравнения несуществующее число
x³ – a³.)

9. Рассмотри очевидное неравенство:

Логарифмируя по основанию 10 обе части этого неравенства, получим:

Сокращая обе части неравенства на , имеем 2 4. Где ошибка?

(Число – отрицательное, поэтому при сокращении на него знак неравенства надо было изменить на противоположный).

10. Докажем, что в равных треугольниках против равных сторон лежат неравные углы.

Возьмем произвольную прямую АВ и при точке А построим произвольный угол ВАС:

О

В

A

E

D

F

C

При точке В строим угол ABD, больший угла ВАС, и, откладывая отрезок BD, равный АС, соединим точки С и D. Разделим отрезки АВ и СD пополам точками Е и F, восстановим в этих точках перпендикуляры, пересекающиеся в точке О. Соединим затем точку О с точками А, В, С и D. Заметив, что АС = ВD (по построению), АО = ОВ, как наклонные, равноудаленные от основания перпендикуляра ОЕ, и аналогично ОС = ОD, находим, что три стороны треугольника АОС, соответственно равны трем сторонам треугольника ВО. Но так как ЕАО = ЕВО (из равенства треугольников АЕО и ВЕО), а DВЕ САВ, то
DВЕ + ЕВО САЕ + ЕАО.

Следовательно, DВО САО, то есть против равных сторон ОС и ОD в равных треугольниках АОС и ВОD лежат неравные угла. Где ошибка?

(Точка О пересечения перпендикуляров построена неправильно. При правильном выполнении чертежа прямая ОD пересечет не отрезок АВ, а его продолжение за точку В, и DВО, безусловно, будет равен САО).

kopilkaurokov.ru

Проектная работа по алгебре «Математические софизмы»

Плис Вероника

Презентация на тему: «Математические софизмы»

Понятие Софизм

Софизм — (от греческого sophisma – уловка, ухищрение, выдумка, головоломка), умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок.

Что же такое «Математический софизм?»

Что же такое математический софизм? Математический софизм — удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций

Экскурсия В историю

Софистами называли группу древнегреческих философов 4-5 века до н. э., достигших большого искусства в логике. В период падения нравов древнегреческого общества( 5 век) появляются так называемые учителя красноречия, которые целью своей деятельности считали и называли приобретение и распространения мудрости, вследствие чего они именовали себя софистами. Наиболее известна деятельность старших софистов, к которым относят Протагора из Абдеры, Горгия из Леонтип, Гиппия из Элиды и Продика из Кеоса. Но суть деятельности софистов много больше, чем простое обучение искусству красноречия. Они обучали и просвещали древнегреческий народ, старались способствовать достижению нравственности, присутствия духа, способности ума ориентироваться во всяком деле. Но софисты не были учеными. 

Примеры софизмов

Геометрические софизмы: построены на ошибках, связанных с геометрическими фигурами и действиями над ними. Изучим их на примере: 1) Спичка вдвое длиннее телеграфного столба. Пусть а дм — длина спички и b дм — длина столба. Разность между b и a обозначим через c . Имеем b — a = c, b = a + c. Перемножаем два эти равенства по частям, находим: b2 — ab = ca + c2. Вычтем из обеих частей bc. Получим: b2- ab — bc = ca + c2 — bc, или b(b — a — c) = — c(b — a — c), откуда b = — c, но c = b — a, поэтому b = a — b, или a = 2b. Ошибка: Ошибка заключается в том, что в выражении b(b-a-c )= -c(b-a-c) производится деление на 0

Алгебраические софизмы. Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях. 1)«Два неодинаковых натуральных числа равны между собой» решим систему двух уравнений: х+2у=6, (1) у=4- х/2 (2) Сделаем это подстановкой у из 2го уравнения в 1, получаем х+8-х=6, откуда 8=6 Ошибка: Уравнение (2) можно записать как х+2у=8, так что исходная система за-пишется в виде: Х+2у=6, 9 Х+2у=8 В этой системе уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между собой, из этого следует, что система несовместна, т.е. не имеет ни одного решения. Графически это означает, что прямые у=3-х/2 и у=4-х/2 параллельны и не совпадают. Перед тем, Как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

Заключение

• О математических софизмах можно говорить бесконечно много, как и о математике в целом. Изо дня в день рождаются новые парадоксы, некоторые из них останутся в истории, а некоторые просуществуют один день. Софизмы есть смесь философии и математики, которая не только помогает развивать логику и искать ошибку в рассуждениях. Буквально вспомнив, кто же такие были софисты, можно понять, что основной задачей было постижение философии. Но тем не менее, в нашем современном мире, если и находятся люди, которым интересны софизмы, в особенности математические, то они изучают их как явление только со стороны математики, чтобы улучшить навыки правильности и логичности рассуждений .

Спасибо за внимание и до скорых встреч!

compedu.ru

Проект «Математические софизмы» | Социальная сеть работников образования

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Павдинская средняя общеобразовательная школа

РЕФЕРАТ

«Математические софизмы»

Выполнила: Танцырева С.,

ученица 9 кл.

Руководитель: Суркова Г.А.,

учитель математики, 1 кат.

п. Павда

2009 г.

СОДЕРЖАНИЕ.

1.Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.Софизм как понятие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

3.История софизмов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4.Классификация софизмов

  4.1.Алгебраические софизмы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

  4.2.Геометрические софизмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

  4.3.Прочие софизмы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  .  .  .  .11

5. Классификация ошибок        

  5.1. Терминологические ошибки .  . . . . . . . . . . . . . . . . 14

  5.2. Психологические ошибки         . . . . . . . . . . . . . . . . 14

  5.3. Интеллектуальные причины        . . . . . . . . . . . . . . . .  14

  5.4. Аффективные причины        . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15  

6.Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

7.Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.ВВЕДЕНИЕ.

           Наверняка, каждый человек хоть раз в жизни слышал подобную фразу: «Дважды два равно пяти» или хотя бы: «Два равно трем». На самом деле, таких примеров можно привести очень много, но что все они обозначают? Кто их выдумал? Имеют ли они какое-нибудь логическое объяснение или же это лишь вымысел???

Именно эти вопросы я хочу рассмотреть в своей работе, название которой – «Математические софизмы». Неслучайно я выбрала именно математические софизмы (хотя бывают и логические, и словесные). Они, как мне кажется, более интересны, имеют четкое логическое объяснение, кроме того, с математическими софизмами мы встречаемся намного чаще, чем с обычными. Само понятие математических софизмов предполагает несколько видов софизмов, ведь в математические можно включить и алгебраические, и геометрические, и простейшие арифметические.

2.СОФИЗМ КАК ПОНЯТИЕ

        Софизм – (от греческого sophisma , «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка») — умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям.

      Софизм, в отличие от паралогизма, основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок.

       Итак, софизм — всего лишь сбивчивое доказательство, попытка выдать ложь за истину. Он имеет случайный, не связанный с существом рассматриваемой темы характер и является сугубо внешним препятствием на пути проводимого рассуждения. Отсюда следует, что никакого глубокого и требующего специального разъяснения содержания за ним не стоит. В софизме как результате заведомо некорректного применения семантических и логических операций не проявляются также какие-либо действительные логические трудности. Коротко говоря, софизм — это мнимая проблема.

       В обычном и распространенном понимании софизм — это умышленный обман, основанный на нарушении правил языка или логики. Но обман тонкий и завуалированный, так что его не сразу и не каждому удается раскрыть. Цель его — выдать ложь за истину. Прибегать к софизмам предосудительно, как и вообще обманывать и внушать ложную мысль.

        Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если их не понимать.

3.ИСТОРИЯ СОФИЗМОВ

        Софистами называли группу древнегреческих философов 4-5 века до н.э., достигших большого искусства в логике. В период падения нравов древнегреческого общества( 5 век) появляются так называемые учителя красноречия, которые целью своей деятельности считали и называли приобретение и распространения мудрости, вследствие чего они именовали себя софистами. Наиболее известна деятельность старших софистов, к которым относят Протагора из Абдеры, Горгия из Леонтип, Гиппия из Элиды и Продика из Кеоса. Но суть деятельности софистов много больше, чем простое обучение искусству красноречия. Они обучали и просвещали древнегреческий народ, старались способствовать достижению нравственности, присутствия духа, способности ума ориентироваться во всяком деле. Но софисты не были учеными. Умение, которое должно было быть достигнуто с их помощью, заключалось в том, что человек учился иметь в виду многообразные точки зрения. Аристотель называл софизмом «мнимые доказательства», в которых обос-нованность заключения кажущаяся и обязана чисто субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью логического анализа.

        Убедительность на первый взгляд многих софизмов, их «логичность» обычно связана с хорошо замаскированной ошибкой — семиотической: за счёт метафоричности речи, нарушающих однозначность мысли и приводящих к смешению значений терминов, или же логической: подмена основной мысли (тезиса) доказательства, принятие ложных посылок за истинные, несоблюдение допустимых способов рассуждения (правил логического вывода), использование «неразрешённых» или даже «запрещённых» правил или действий, например деления на нуль в математических софизмах. Исторически с понятием «софизм» неизменно связывают идею о намеренной фальсификации, руководствуясь признанием Протагора, что задача софиста (софист, от греч. sophistes — умелец, изобретатель, мудрец, лжемудрец) — представить наихудший аргумент как наилучший путём хитроумных уловок в речи, в рассуждении, заботясь не об истине, а об успехе в споре или о практической выгоде.  Однако софизмы существовали задолго до философов-софистов, а наиболее известные и интересные были сформулированы позднее в сложившихся под влиянием Сократа философских школах. Термин “софизм” впервые ввел Аристотель, охарактеризовавший софистику как мнимую, а не действительную мудрость. К софизмам им были отнесены и апории Зенона, направленные против движения и множественности вещей, и рассуждения собственно софистов, и все те софизмы, которые открывались в других философских школах. Это говорит о том, что софизмы не были изобретением одних софистов, а являлись скорее чем-то обычным для многих школ античной философии.

4.КЛАССИФИКАЦИЯ СОФИЗМОВ

4.1.Алгебраические софизмы

      Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы А., отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

Примеры:
1. «Два неодинаковых натуральных числа равны между собой»
решим систему двух уравнений:

х+2у=6, (1)
у=4- х/2 (2)
Сделаем это подстановкой у из 2го уравнения в 1, получаем х+8-х=6, откуда 8=6
Где же ошибка???
Уравнение (2) можно записать как х+2у=8, так что исходная система запишется в виде:

Х+2у=6,
Х+2у=8
      В этой системе уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между собой, из этого следует, что система несовместна, т.е. не имеет ни одного решения. Графически это означает, что прямые у=3-х/2 и у=4-х/2 параллельны и не совпадают. Перед тем, Как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

2. «Отрицательное число больше положительного».

      Возьмем два положительных числа а и с. Сравним два отношения:
а/-c и -а/c
Они равны, так как каждое из них равно –(а/с). Можно составить пропорцию: a/-c=-a/c
Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. В нашем случае а>-с, следо-вательно, должно быть –а>с, т.е. отрицательное число больше положительного.
Где ошибка???
Данное свойство пропорции может оказаться неверным, если не-которые члены пропорции отрицательны.

3. «Дважды два равно пяти».

Обозначим 4=а, 5=b, (a+b)/2=d. Имеем: a+b=2d, a=2d-b, 2d-a=b. перемножим два последних равенства по частям. Получим: 2da-a*a=2db-b*b. Умножим обе части получившегося равенства на –1 и прибавим к результатам d*d. Будем иметь: a 2-2da+d2=b2 -2bd+d2, или (a-d)(a-d)=(b-d)(b-d), откуда a-d=b-d и a=b, т.е. 2*2=5
Где ошибка???
Из равенства квадратов двух чисел не следует, что сами эти числа равны.

4.2.Геометрические софизмы

     Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.

1. « Спичка вдвое длиннее телеграфного столба»

    Пусть, а дм- длина спички и b дм — длина столба. Разность между b и a обозначим через c . Имеем b — a = c, b = a + c. Перемножаем два эти равенства по частям, нахо-дим: b2 — ab = ca + c2. Вычтем из обеих частей bc. Получим: b2- ab — bc = ca + c2 — bc, или b(b — a — c) = — c(b — a — c), откуда b = — c, но c = b — a, поэтому b = a — b, или a = 2b.
Где ошибка???
      В выражении b(b-a-c )= -c(b-a-c) производится деление на (b-a-c), а этого делать нельзя, так как b-a-c=0.Значит, спичка не может быть вдвое длиннее телеграфного столба.

2.«Катет равен гипотенузе»                                             

Угол С равен 90˚, ВД — биссектриса угла СВА, СК = КА, ОК перпендикулярна СА, О — точка пересечения прямых ОК и ВД, ОМ перпендикулярна АВ, ОL перпендикулярна ВС. Имеем: треугольник LВО равен треугольнику МВО, ВL = ВМ, ОМ = ОL = СК = КА, треугольник КОА равен треугольнику ОМА (ОА — общая сторона, КА = ОМ, угол ОКА и угол ОМА — прямые), угол ОАК = углу МОА, ОК = МА = СL, ВА = ВМ + МА, ВС = ВL + LС, но ВМ = ВL, МА = СL, и потому ВА = ВС.

                                                                                                             

Ошибка заключается в том, что рассуждения, о том, что катет равен гипотенузе, опирались на ошибочный чертеж. Точка пересечения прямой, определяемой биссектрисой ВD и серединного  перпендикуляра к катету АС, находится вне треугольника АВС.

3.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС, в котором р и q – проекции сторон АВ и АС на сторону ВС соответственно, h – высота треугольника, опущенная из вершины А.

Проведем параллельно высоте h отрезок ED, делящий треугольник АВС на две равновеликие части, причем ED=h’. Обозначим через х отрезок на стороне ВС от вершины В до основания перпендикуляра h’, т.е. до точки D.

Условие равенства площадей двух равновеликих частей треугольника АВС , лежащих слева и справа от прямой h’, приводит к соотношению

  (1)

Поскольку треугольники BED и  BAF подобны по признаку подобия прямоугольных треугольников, то справедливо равенство, откуда

.

Подставляя последнее равенство в (1) получим , откуда

.

Поскольку точки В и С равноправны, то аналогично предыдущему получим, что

где у – отрезок стороны ВС от вершины С до основания h’. Так как х+у=р+q, то, подставляя вместо х и у полученные для них выражения и деля обе части этого равенства на , получим

 

откуда

Где ошибка?

Точки В и С  не равноправны. Если поменять местами эти точки, поменяется и система обозначений, которая используется для получения формул (1) и (2). В софизме через х обозначен отрезок на стороне ВС от вершины В до основания h’ т.е.  до точки D, причем  расстояние BD, равное х, является катетом прямоугольного треугольника BDE. Поменяв же местами обозначения вершин В и С , получим что х теперь не будет катетом треугольника BDE. Вместо него катетом будет служить отрезок  СВ, обозначенный как у. Эти действия приводят к переобозначению х на у  и подмене истинной формулы для у на неверную формулу (3).

   

 4. «Из точки на прямую можно опустить два перпендикуляра»

       Попытаемся доказать, что через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра. С этой целью возьмем ∆АВС. На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и D. Соединим точки Е и D прямыми с точкой В. Угол АЕВ – прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр, угол ВDC также прямой. Следовательно, ВЕ║АС и ВD║АС. Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС.

Где ошибка?

     Рассуждения опирались на ошибочный чертеж. В действительности полуокружности пересекаются со стороной АС в одной точке, т.е. ВЕ совпадает с ВD.

Даже если чертеж был бы правильным, то не возможно, что в треугольнике ВЕD сумма всех углов больше 180˚. (Е=90˚, D=90˚).  

 5. «Все треугольники равнобедренные»

      Докажем, что все треугольники –равнобедренные.
Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис.). Проведем в нем биссектрису угла В и серединный перпендикуляр к стороне АС. Точку их пересечения обозначим через О. Из точки О опустим перпендикуляр ОD на сторону АВ и перпендикуляр ОЕ на сторону ВС. Очевидно, что
ОА=ОС и ОD=ОЕ. Но тогда прямоугольные треугольники АОD и СОЕ равны по катету и гипотенузе.
Поэтому DАО=ЕСО. В то же время ОАС=ОСА, так как треугольник АОС  — равнобедренный.  Получаем: ВАС=DАО+ОАС=ЕСО+ОСА=ВСА
Итак, угол ВАС равен углу ВСА, поэтому треугольник АВС —  равнобедренный: АВ=ВС.

Где ошибка?

Здесь ошибка в чертеже. Серединный перпендикуляр к стороне и биссектриса противоположного ей угла для неравнобедренного треугольника, пересекаются вне этого треугольника.

6. «Куда пропала клетка?»

       И еще один пример софизма. Посмотрим на рисунок. Прямоугольники явно равносоставлены, но площадь одного равна 64 клеткам, а площадь другого- 65.

      И здесь ошибка в чертеже .Точки В, Е, F и D не лежат на одной прямой, а являются вершинами очень узкого параллелограмма, площадь которого равна площади одной клетки- той самой лишней клетки.

   

 4.3.Прочие софизмы

       Кроме математических софизмов, существует множество других, например: логические, терминологические, психологические и т.д. Понять абсурдность таких утверждений проще, но от этого они не становятся менее интересными. Очень многие софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными.

1.«Полупустое и полуполное» 
«Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное».

2.«Чётное и нечётное» 
«5 есть 2 + 3 («два и три»). Два — число чётное, три — нечётное, выходит, что пять — число и чётное и нечётное. Пять не делится на два, также, как и 2 + 3, значит, оба числа не чётные!»

3.«Не знаешь то, что знаешь» 
«Знаешь ли ты, о чём я хочу тебя спросить?» — «Нет». — «Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?» — «Знаю». — «Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь».

4.«Лекарства» 
«Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше».

5.«Вор»
«Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего».

6.«Отец — собака»
«Эта собака имеет детей, значит, она — отец. Но это твоя собака. Значит, она твой отец. Ты её бьёшь, значит, ты бьёшь своего отца и ты — брат щенят».

7.«Рогатый» 
«Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога».

8.«Чем больше» 
«Чем больше я пью водки, тем больше у меня трясутся руки. Чем больше у меня трясутся руки, тем больше спиртного я проливаю. Чем больше я проливаю, тем меньше я выпиваю. Значит, чтобы пить меньше, надо пить больше».

9.«Самое быстрое существо не способно догнать самое медленное»
Быстроногий Ахиллес никогда не настигнет медлительную черепаху. Пока Ахиллес добежит до черепахи, она продвинется немного вперед. Он быстро преодолеет и это расстояние, но черепаха уйдет еще чуточку вперед. И так до бесконечности. Всякий раз, когда Ахиллес будет достигать места, где была перед этим черепаха, она будет оказываться хотя бы немного, но впереди.

10.«Нет конца»
Движущийся предмет должен дойти до половины своего пути прежде, чем он достигнет его конца. Затем он должен пройти половину оставшейся половины, затем половину этой четвертой части и т.д. до бесконечности. Предмет будет постоянно приближаться к конечной точке, но так никогда ее не достигнет.

11.«Медим зерна» 
Большая масса мелких, просяных например, зерен при падении на землю всегда производит шум. Он складывается из шума отдельных зерен, и, значит, каждое зерно и каждая малейшая часть зерна должны, падая, производить шум. Однако отдельное зерно падает на землю совершенно бесшумно. Значит, и падающий на землю медим зерна не должен был бы производить шум, ведь он состоит из множества зерен, каждое из которых падает бесшумно. Но все-таки медим зерна падает с шумом!

12.«Куча» 
Одна песчинка не есть куча песка. Если n песчинок не есть куча песка, то и n+1 песчинка – тоже не куча. Следовательно, никакое число песчинок не образует кучу песка. К этому парадоксу можно сделать следующий комментарий: метод полной математической индукции нельзя применять, как показывает парадокс, к объёмно неопределённым понятиям, каковым является понятие «куча песка».

13.«Может ли всемогущий маг создать камень, который не сможет поднять?» 
Если не может – значит, он не всемогущий. Если может – значит, всё равно не всемогущий, т.к. он не может поднять это камень.

14.«Равен ли полный стакан пустому?»
Да. Проведем рассуждение. Пусть имеется стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно сказать, что стакан, наполовину полный равен стакану, наполовину пустому. Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен стакану пустому.

15.«Софизм Кратила»
Диалектик Гераклит, провозгласив тезис «все течет», пояснял, что в одну и ту же реку (образ природы) нельзя войти дважды, ибо когда входящий будет входить в следующий раз, на него будет течь уже другая вода. Его ученик Кратил, сделал из утверждения учителя другие выводы: в одну и ту же реку нельзя войти даже один раз, ибо пока ты входишь, она уже изменится.

16.«Софизм Эватла» 
Эватл брал уроки софистики у софиста Протагора под тем условием, что гонорар он уплатит только в том случае, если выиграет первый процесс. Ученик после обучения не взял на себя ведения какого-либо процесса и потому считал себя вправе не платить гонорара. Учитель грозил подать жалобу в суд, говоря ему следующее: «Судьи или присудят тебя к уплате гонорара или не присудят. В обоих случаях ты должен будешь уплатить. В первом случае в силу приговора судьи, во втором случае в силу нашего договора». На это Эватл отвечал: «Ни в том, ни в другом случае я не заплачу. Если меня присудят к уплате, то я, проиграв первый процесс, не заплачу в силу нашего договора, если же меня не присудят к уплате гонорара, то я не заплачу в силу приговора суда». (Ошибка становится ясной, если мы раздельно поставим два вопроса: 1) должен ли Эватл платить или нет и 2) выполнены ли условия договора или нет.)

Другие примеры софизмов, сформулированных еще в древней Греции:
-«Сидящий встал; кто встал, тот стоит; следовательно, сидящий стоит».
-«Сократ – человек; человек – не то же самое, что Сократ; значит, Сократ – это нечто иное, чем Сократ».
-«Для того чтобы видеть, вовсе необязательно иметь глаза, ведь без правого глаза мы видим, без левого тоже видим; кроме правого и левого, других глаз у нас нет; поэтому ясно, что глаза не являются необходимыми для зрения».
-«Тот, кто лжет, говорит о деле, о котором идет речь, или не говорит о нем; если он говорит о деле, он не лжет; если он не говорит о деле, он говорит о чем-то несуществующем, а о нем невозможно не только лгать, но даже мыслить и говорить».
-«Если какой-нибудь человек говорит, что он лжет, то лжет ли он или говорит правду?» Допущение того, что он говорит правду, будет означать, что правдой является то, что он лжет (об этом он и говорит), значит, выходит, что лжет. Если же он лжет, то это как раз и есть то, что он открыто признает. Получается, что он говорит правду».

А вот несколько примеров современных софизмов:

-«Одна и та же вещь не может иметь какое-то свойство и не иметь его. Хозрасчет предполагает самостоятельность, заинтересованность и ответственность. Заинтересованность — это, очевидно, не ответственность, а ответственность — не самостоятельность. Получается вопреки сказанному вначале, что хозрасчет включает самостоятельность и несамостоятельность, ответственность и безответственность».
-«Акционерное общество, получившее когда-то ссуду от государства, теперь ему уже не должно, так как оно стало иным: в его правлении не осталось никого из тех, кто просил ссуду».

5.КЛАССИФИКАЦИЯ ОШИБОК

5.1 Терминологические ошибки

       Грамматические, терминологические и риторические источники софизмов выражаются в неточном или неправильном словоупотреблении и построении фразы  наиболее характерные:

1. Ошибка омонимия. Например: реакция в смысле химическом, биологическом и историческом; доктор как врач и как учёная степень.
2. Ошибка сложения — когда разделительному термину придаётся значение собирательного. Все углы треугольника < π в том смысле, что сумма < π.
3. Ошибка разделения, когда собирательному термину даётся значение разделительного: «все углы треугольника = π» в смысле «каждый угол = сумме 2 прямых углов».
4. Ошибка ударения, когда подчёркивание повышением голоса в речи и курсивом в письме определённого слова или нескольких слов во фразе искажает её первоначальный смысл.
5. Ошибка выражения, заключающаяся в неправильном или неясном для уразумения смысла построении фразы, например: «сколько будет дважды два плюс пять?» Здесь трудно решить имеется ли в виду (2 * 2) + 5 или 2 * (2 + 5).

5.2 Психологические ошибки

 Психологические причины софизмов бывают троякого рода: интеллектуальные, аффективные и волевые. Во всяком обмене мыслей предполагается взаимодействие между 2 лицами, читателем и автором или лектором и слушателем, или двумя спорящими. Убедительность софизмов предполагает два фактора: α — психические свойства одной и β — другой из обменивающихся мыслями сторон. Правдоподобность софизмов зависит от ловкости того, кто защищает его, и уступчивости оппонента, а эти свойства зависят от различных особенностей обеих индивидуальностей.

5.3. Интеллектуальные причины

Интеллектуальные причины софизма заключаются в преобладании в уме лица, поддающегося софизму, ассоциаций по смежности над ассоциациями по сходству, в невнимание, в слабой памяти, непривычке к точному словоупотреблению, бедности знаний по данному предмету, лености в мышлении и т.д. Обратные качества, разумеется, являются наиболее выгодными для лица, защищающего софизм.  Обозначим первые отрицательные качества через b, вторые соответствующие им положительные через a.

5.4. Аффективные причины

Сюда относятся трусость в мышлении — боязнь опасных практических последствий, вытекающих от принятия известного положения; надежда найти факты, подтверждающие ценные для нас взгляды, побуждающая нас видеть эти факты там, где их нет, любовь и ненависть, прочно ассоциировавшиеся с известными представлениями, и т.д. Желающий обольстить ум своего соперника софист должен быть не только искусным диалектиком, но и знатоком человеческого сердца, умеющим виртуозно распоряжаться чужими страстями для своих целей. Обозначим аффективный элемент в душе искусного диалектика, который распоряжается им как актёр, чтобы тронуть противника, через c, а те страсти, которые пробуждаются в душе его жертвы и омрачают в ней ясность мышления через d. 

6.ЗАКЛЮЧЕНИЕ

       О математических софизмах можно говорить бесконечно много, как и о математике в целом. Изо дня в день рождаются новые парадоксы, некоторые из них останутся в истории, а некоторые просуществуют один день. Софизмы есть смесь философии и математики, которая не только помогает развивать логику и искать ошибку в рассуждениях. Буквально вспомнив, кто же такие были софисты, можно понять, что основной задачей было постижение философии. Но тем не менее, в нашем современном мире, если и находятся люди, которым интересны софизмы, в особенности математические, то они изучают их как явление только со стороны математики, чтобы улучшить навыки правильности и логичности рассуждений.

        Понять софизм как таковой (решить его и найти ошибку) получается не сразу. Требуются определенный навык и смекалка. Что касается меня, то некоторые софизмы приходилось разбирать по нескольку раз, чтобы действительно в них разобраться, некоторые же наоборот, казались очень простыми. Развитая логика мышления поможет не только в решении каких-нибудь математических задач, но еще может пригодиться в жизни.

      Исторические сведения о софистике и софистах помогли мне разобраться, откуда же все-таки началась история софизмов. По началу, я думала, что софизмы бывают исключительно математические. Причем в виде конкретных задач, но, начав исследование в этой области, я поняла, что софистика-это целая наука, а именно математические софизмы — это лишь часть одного большого течения.

     Исследовать софизмы действительно очень интересно и необычно. Порой сам попадаешься на уловки софиста, на столь безукоризненность его рассуждений. Перед тобой открывается какой-то особый мир рассуждений, которые поистине кажутся верными. Благодаря софизмам и парадоксам можно научится искать ошибки в рассуждениях других, научится грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения. Если есть желание, то можно стать искусным софистом, добиться исключительного мастерства в искусстве красноречия или просто на досуге проверить свою смекалку.

       Софизмы существуют и обсуждаются более двух тысячелетий, причем острота их обсуждения не снижается с годами. Если софизмы — всего лишь хитрости и словесные уловки, выведенные на чистую воду еще Аристотелем, то долгая их история и устойчивый интерес к ним непонятны.

7.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Горячев Д. Н., Воронец А. М. Задачи, вопросы и софизмы для любителей математики. – М., 1993  

2.Мадера А.Г., Мадера Д.А. Математические софизмы. – М.: Просвещение, 2003  

3.Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин «Математическая шкатулка» — М., «Просвещение», 1988г.

4.«Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия 2008г.».

5. Материал с сайтов:

www.peterlife.ru/download%20free%20online/humanities/fl_5_a5.htm

www.tmn.fio.ru/works/60x/306/06_2.htm

www.golovolomka.hobby.ru/books/gardner/gotcha/ch3/02.html

www.referats.net

www.ug.ru

www.cultinfo.ru/fulltext/1/001/008/104/779.htm

B

M

L

C

K

D

A

O

B

E

C

F

D

A

h’

h

B

A

E

D

C

О

А

D

E

C

B

nsportal.ru

Математические софизмы | Социальная сеть работников образования

li:before{content:»\0025cf «}#doc9861555 .lst-kix_list_2-7>li:before{content:»o «}#doc9861555 ul.lst-kix_list_1-0{list-style-type:none}#doc9861555 .lst-kix_list_2-4>li:before{content:»o «}#doc9861555 .lst-kix_list_2-5>li:before{content:»\0025aa «}#doc9861555 .lst-kix_list_2-8>li:before{content:»\0025aa «}#doc9861555 .lst-kix_list_3-0>li:before{content:»\0025cf «}#doc9861555 .lst-kix_list_3-1>li:before{content:»o «}#doc9861555 .lst-kix_list_3-2>li:before{content:»\0025aa «}#doc9861555 ul.lst-kix_list_3-7{list-style-type:none}#doc9861555 ul.lst-kix_list_3-8{list-style-type:none}#doc9861555 ul.lst-kix_list_1-3{list-style-type:none}#doc9861555 ul.lst-kix_list_3-1{list-style-type:none}#doc9861555 .lst-kix_list_3-5>li:before{content:»\0025aa «}#doc9861555 ul.lst-kix_list_1-4{list-style-type:none}#doc9861555 ul.lst-kix_list_3-2{list-style-type:none}#doc9861555 ul.lst-kix_list_1-1{list-style-type:none}#doc9861555 .lst-kix_list_3-4>li:before{content:»o «}#doc9861555 ul.lst-kix_list_1-2{list-style-type:none}#doc9861555 ul.lst-kix_list_3-0{list-style-type:none}#doc9861555 ul.lst-kix_list_1-7{list-style-type:none}#doc9861555 .lst-kix_list_3-3>li:before{content:»\0025cf «}#doc9861555 ul.lst-kix_list_3-5{list-style-type:none}#doc9861555 ul.lst-kix_list_1-8{list-style-type:none}#doc9861555 ul.lst-kix_list_3-6{list-style-type:none}#doc9861555 ul.lst-kix_list_1-5{list-style-type:none}#doc9861555 ul.lst-kix_list_3-3{list-style-type:none}#doc9861555 ul.lst-kix_list_1-6{list-style-type:none}#doc9861555 ul.lst-kix_list_3-4{list-style-type:none}#doc9861555 .lst-kix_list_3-8>li:before{content:»\0025aa «}#doc9861555 .lst-kix_list_4-0>li:before{content:»\0025cf «}#doc9861555 .lst-kix_list_4-1>li:before{content:»o «}#doc9861555 .lst-kix_list_3-6>li:before{content:»\0025cf «}#doc9861555 .lst-kix_list_3-7>li:before{content:»o «}#doc9861555 .lst-kix_list_4-4>li:before{content:»o «}#doc9861555 .lst-kix_list_4-3>li:before{content:»\0025cf «}#doc9861555 .lst-kix_list_4-5>li:before{content:»\0025aa «}#doc9861555 .lst-kix_list_4-2>li:before{content:»\0025aa «}#doc9861555 .lst-kix_list_4-6>li:before{content:»\0025cf «}#doc9861555 .lst-kix_list_4-8>li:before{content:»\0025aa «}#doc9861555 .lst-kix_list_4-7>li:before{content:»o «}#doc9861555 ul.lst-kix_list_4-8{list-style-type:none}#doc9861555 ul.lst-kix_list_4-6{list-style-type:none}#doc9861555 ul.lst-kix_list_2-8{list-style-type:none}#doc9861555 ul.lst-kix_list_4-7{list-style-type:none}#doc9861555 ul.lst-kix_list_4-0{list-style-type:none}#doc9861555 ul.lst-kix_list_2-2{list-style-type:none}#doc9861555 ul.lst-kix_list_4-1{list-style-type:none}#doc9861555 .lst-kix_list_1-0>li:before{content:»\0025cf «}#doc9861555 ul.lst-kix_list_2-3{list-style-type:none}#doc9861555 ul.lst-kix_list_2-0{list-style-type:none}#doc9861555 ul.lst-kix_list_2-1{list-style-type:none}#doc9861555 ul.lst-kix_list_4-4{list-style-type:none}#doc9861555 ul.lst-kix_list_2-6{list-style-type:none}#doc9861555 ul.lst-kix_list_4-5{list-style-type:none}#doc9861555 .lst-kix_list_1-1>li:before{content:»o «}#doc9861555 .lst-kix_list_1-2>li:before{content:»\0025aa «}#doc9861555 ul.lst-kix_list_2-7{list-style-type:none}#doc9861555 ul.lst-kix_list_4-2{list-style-type:none}#doc9861555 ul.lst-kix_list_2-4{list-style-type:none}#doc9861555 ul.lst-kix_list_4-3{list-style-type:none}#doc9861555 ul.lst-kix_list_2-5{list-style-type:none}#doc9861555 .lst-kix_list_1-3>li:before{content:»\0025cf «}#doc9861555 .lst-kix_list_1-4>li:before{content:»o «}#doc9861555 .lst-kix_list_1-7>li:before{content:»o «}#doc9861555 .lst-kix_list_1-5>li:before{content:»\0025aa «}#doc9861555 .lst-kix_list_1-6>li:before{content:»\0025cf «}#doc9861555 .lst-kix_list_2-0>li:before{content:»\0025cf «}#doc9861555 .lst-kix_list_2-1>li:before{content:»o «}#doc9861555 .lst-kix_list_1-8>li:before{content:»\0025aa «}#doc9861555 .lst-kix_list_2-2>li:before{content:»\0025aa «}#doc9861555 .lst-kix_list_2-3>li:before{content:»\0025cf «}#doc9861555 ol{margin:0;padding:0}#doc9861555 table td,table th{padding:0}#doc9861555 .c19{border-right-style:solid;padding:0pt 5.4pt 0pt 5.4pt;border-bottom-color:#000000;border-top-width:0pt;border-right-width:0pt;border-left-color:#000000;vertical-align:top;border-right-color:#000000;border-left-width:0pt;border-top-style:solid;border-left-style:solid;border-bottom-width:0pt;width:48pt;border-top-color:#000000;border-bottom-style:solid}#doc9861555 .c6{border-right-style:solid;padding:0pt 5.4pt 0pt 5.4pt;border-bottom-color:#000000;border-top-width:0pt;border-right-width:0pt;border-left-color:#000000;vertical-align:top;border-right-color:#000000;border-left-width:0pt;border-top-style:solid;border-left-style:solid;border-bottom-width:0pt;width:375.6pt;border-top-color:#000000;border-bottom-style:solid}#doc9861555 .c28{border-right-style:solid;padding:0pt 5.4pt 0pt 5.4pt;border-bottom-color:#000000;border-top-width:0pt;border-right-width:0pt;border-left-color:#000000;vertical-align:top;border-right-color:#000000;border-left-width:0pt;border-top-style:solid;border-left-style:solid;border-bottom-width:0pt;width:40.9pt;border-top-color:#000000;border-bottom-style:solid}#doc9861555 .c8{margin-left:71.4pt;padding-top:0pt;padding-left:0pt;padding-bottom:0pt;line-height:1.5;orphans:2;widows:2;text-align:justify}#doc9861555 .c7{padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;line-height:1.5;orphans:2;widows:2;text-align:left;height:11pt}#doc9861555 .c2{padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;line-height:1.0;orphans:2;widows:2;height:11pt}#doc9861555 .c30{padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;line-height:1.0;orphans:2;widows:2}#doc9861555 .c34{padding-top:35.4pt;padding-bottom:0pt;line-height:1.0;orphans:2;widows:2}#doc9861555 .c9{padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;line-height:1.5;orphans:2;widows:2}#doc9861555 .c35{margin-left:-5.4pt;border-spacing:0;border-collapse:collapse;margin-right:auto}#doc9861555 .c3{vertical-align:baseline;font-size:12pt;font-family:»Times New Roman»;font-weight:bold}#doc9861555 .c0{vertical-align:baseline;font-size:12pt;font-family:»Times New Roman»;font-weight:normal}#doc9861555 .c32{background-color:#ffffff;max-width:467.7pt;padding:56.7pt 42.5pt 56.7pt 85pt}#doc9861555 .c23{margin-left:74pt;padding-left:0pt}#doc9861555 .c13{padding:0;margin:0}#doc9861555 .c5{text-decoration:underline;font-style:normal}#doc9861555 .c31{color:inherit;text-decoration:inherit}#doc9861555 .c15{text-indent:35.4pt;height:11pt}#doc9861555 .c10{text-indent:18pt;text-align:justify}#doc9861555 .c18{margin-left:36pt;padding-left:0pt}#doc9861555 .c16{height:11pt}#doc9861555 .c20{font-style:normal}#doc9861555 .c26{text-decoration:underline}#doc9861555 .c1{height:0pt}#doc9861555 .c4{color:#000000}#doc9861555 .c33{margin-right:18pt}#doc9861555 .c29{text-align:left}#doc9861555 .c27{color:#0000ff}#doc9861555 .c24{text-decoration:none}#doc9861555 .c25{text-indent:18pt}#doc9861555 .c11{text-align:right}#doc9861555 .c14{text-align:center}#doc9861555 .c22{text-indent:35.4pt}#doc9861555 .c12{text-align:justify}#doc9861555 .c21{font-style:italic}#doc9861555 .c17{color:#333333}#doc9861555 .title{padding-top:24pt;color:#000000;font-weight:bold;font-size:36pt;padding-bottom:6pt;font-family:»Arial»;line-height:1.15;page-break-after:avoid;orphans:2;widows:2;text-align:left}#doc9861555 .subtitle{padding-top:18pt;color:#666666;font-size:24pt;padding-bottom:4pt;font-family:»Georgia»;line-height:1.15;page-break-after:avoid;font-style:italic;orphans:2;widows:2;text-align:left}#doc9861555 li{color:#000000;font-size:11pt;font-family:»Arial»}#doc9861555 p{margin:0;color:#000000;font-size:11pt;font-family:»Arial»}#doc9861555 h2{padding-top:24pt;color:#000000;font-weight:bold;font-size:24pt;padding-bottom:6pt;font-family:»Arial»;line-height:1.15;page-break-after:avoid;orphans:2;widows:2;text-align:left}#doc9861555 h3{padding-top:18pt;color:#000000;font-weight:bold;font-size:18pt;padding-bottom:4pt;font-family:»Arial»;line-height:1.15;page-break-after:avoid;orphans:2;widows:2;text-align:left}#doc9861555 h4{padding-top:14pt;color:#000000;font-weight:bold;font-size:14pt;padding-bottom:4pt;font-family:»Arial»;line-height:1.15;page-break-after:avoid;orphans:2;widows:2;text-align:left}#doc9861555 h5{padding-top:12pt;color:#000000;font-weight:bold;font-size:12pt;padding-bottom:2pt;font-family:»Arial»;line-height:1.15;page-break-after:avoid;orphans:2;widows:2;text-align:left}#doc9861555 h5{padding-top:11pt;color:#000000;font-weight:bold;font-size:11pt;padding-bottom:2pt;font-family:»Arial»;line-height:1.15;page-break-after:avoid;orphans:2;widows:2;text-align:left}#doc9861555 h6{padding-top:10pt;color:#000000;font-weight:bold;font-size:10pt;padding-bottom:2pt;font-family:»Arial»;line-height:1.15;page-break-after:avoid;orphans:2;widows:2;text-align:left}#doc9861555 ]]>

I городской научно-практический марафон «Шажок в науку»

I этап

СЕКЦИЯ МАТЕМАТИКИ

Математические софизмы.

Выполнена ученицей 5 класса

Муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения

 «Средняя общеобразовательная школа №225»

г.Заречного

Ивановой Дарьей

Научный руководитель –

учитель математики

 Жилякова Т.Н.

2016 год

Оглавление:

           

                                                                                                     

		Стр.
	Введение.	3
1	Что такое софизмы?	4
1.1	Понятие софизма.	4
1.2	Арифметические софизмы.	4
1.3	Алгебраические софизмы.	5
1.4	Геометрические софизмы.	6
	Заключение.	6
	Список использованной литературы.	7

Введение.

Закройте дверь перед всеми ошибками, и истина не сможет войти.

Рабиндронат Тагор.

Вы не топчитесь на месте, а идете вперед, если делаете одни только новые ошибки.

NN

Как часто в жизни мы употребляем понятие «наступить на те же грабли» в случае, когда понимаем, что повторяем свои ошибки. А если понять суть произошедшего, то можно в дальнейшем избежать такого повторения.

В математике существуют задачи, в которых ошибки делают намеренно с той целью, чтобы учащиеся их нашли и определили причину их возникновения. Такие задачи или высказывания называют софизмами.

История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если их не понимать.

Объект исследования – различные виды софизмов.

Цель  — изучить различные виды  и способы выявления ошибок.

Задачи:

• рассмотреть три вида софизмов
• научиться  их опровергать

Методы исследования:

• работа с литературой
• работа в сети Internet

1. Что такое софизмы?

1.1. Понятие софизма.

Софи́зм (от греч., «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка, мудрость») — ложное умозаключение, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении кажется правильным. Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики.

Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.

В данной работе представлены три группы софизмов:

• арифметические
• алгебраические
• геометрические

Мы рассмотрим примеры на каждый вид.

1.2. Арифметические софизмы.

В математике принято арифметическим софизмом называть числовое выражение, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.

Пятью пять  — сорок восемь

Возьмем в качестве исходного соотношения следующее очевидное равенство:

25:25= 48:48.

После вынесения за скобки общего множителя из каждой части равенства будем иметь: 25∙(1:1)=48∙(1:1) или (5∙5)(1:1)=48(1:1).

Наконец, зная, что 1:1=1, мы из соотношения 25(1:1)=48(1:1).

Устанавливаем: 5∙5=48.Где ошибка?

Ошибка в том, что применен распределительный закон умножения только не относительно сложения или вычитания, для которых является верным, а для деления.

Опровергнуть можно следующим образом:

25:25=25∙(1:1)

Упростим обе части отдельно: 1=25. Что не является верным равенством.

Чётное и нечётное

5 есть 2 + 3 („два и три“). Два — число чётное, три — нечётное, выходит, что пять — число и чётное и нечётное. Пять не делится на два, так же, как и 2 + 3, значит, оба числа не чётные!

Ошибка в том, что по определению четным называется число, которое без остатка делится на 2. Предположение о том, что обязательно и сумма, его составляющая должна делиться на 2 неверно. Так же является ошибочным высказывание о нечетности суммы (3+4 и 3+5).

1.3. Алгебраические софизмы.

Алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

Дважды два равно пяти

Обозначим 4=а, 5=b, (a+b)/2=d.

Имеем: a+b=2d, a=2d-b, 2d-a=b.

Перемножим два последних равенства по частям. Получим: 2da-a·a=2db-b·b.

Умножим обе части получившегося равенства на –1 и прибавим к результатам d·d.

Будем иметь: a ²-2da+d²=b² -2bd+d², или (a-d)²=(b-d)², откуда a-d=b-d и a=b, т.е. 2·2=5.
Где ошибка?

Ошибка в предположении, что числа будут равны, если будут равны их квадраты.

2²=4

(-2)²=4

2≠-2

Из равенства квадратов двух чисел не следует, что сами эти числа равны.

Все числа равны

Возьмём два разных числа, такие что: a

Тогда существует такое c > 0, что:  a + c = b

Умножим обе части на (a − b), имеем:  (a + c)(a − b) = b(a − b)

Раскрываем скобки, имеем: a² + ca − ab − cb = ba − b²

cb переносим вправо, имеем: a² + ca − ab = ba − b² + cb

a(a + c − b) = b(a − b + c)

a = b

Ошибка в том, что по условию a + c = b, а значит  a + c − b = 0. А на ноль делить нельзя.

1.4. Геометрические софизмы.

Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.

Спичка вдвое длиннее телеграфного столба

Пусть, а дм- длина спички и b дм — длина столба.

Разность между b и a обозначим через c . Имеем b — a = c, b = a + c.

Перемножаем эти два равенства по частям : b² — ab = ca + c².

Вычтем из обеих частей bc : b²- ab — bc = ca + c² — bc, или b(b — a — c) = — c(b — a — c),

 откуда b = — c, но c = b — a, поэтому b = a — b, или a = 2b.
В выражении b (b-a-c )= -c (b-a-c) производится деление на (b-a-c), а этого делать нельзя, так как b-a-c=0.Значит, спичка не может быть вдвое длиннее телеграфного столба.

Заключение.

В итоге хотелось бы выделить основные ошибки, которые превращают доказательство абсурдного высказывания (софизма) в верное.

Среди основных можно назвать:

• деление на 0
• неверное использование математических понятий и определений
• неправильное использование законов арифметических действий.

Все это возможно было выделить лишь при тщательном анализе представленных доказательств, пришлось вспомнить большое количество программного материала.

Можно утверждать смело, что проделанная работа помогла понять, что нужно внимательнее относится к собственной работе, а совершенную ошибку тщательнее анализировать.

Литература:

1. Математический праздник. –М.:Бюро Квантум, 2004.(Библиотечка «Квант», вып.88)

2. Популярная комбинаторика /Н.Я.Виленкин – М.:Издательство «Наука», 1975.

3. Материалы сайта http: ermine.narod.ru.; http://ru.wikipedia.org/wiki/Софизм  и http://slovari.yandex.ru/

4. А. Г. Мадера «Математические софизмы»- М.: «Просвещение», 2003

5. Ф. Ф. Нагибин, Е. С. Канин «Математическая шкатулка»

nsportal.ru