Интересные истории из истории геометрии – от Древнего Египта до неевклидовых геометрий

Содержание

от Древнего Египта до неевклидовых геометрий

С геометрией мы сталкиваемся ежесекундно, даже не замечая этого. Размеры и расстояния, формы и траектории движения — всё это геометрия. Значение числа π знают даже те, кого в школе от геометрии воротило, и те, кто, зная это число, не в состоянии подсчитать площадь круга. Многие знания из области геометрии могут показаться элементарными — все знают, что самый короткий путь через прямоугольный участок лежит по диагонали. Но для того, чтобы сформулировать это знание в виде теоремы Пифагора, человечеству понадобились тысячелетия. Геометрия, как и другие науки, развивалась неравномерно. На смену резкому всплеску в Древней Греции пришёл застой Древнего Рима, который сменился Тёмными веками. Новому всплеску в Средневековье пришёл на смену настоящий взрыв 19 — 20 веков. Из прикладной науки геометрия превратилась в область высоких знаний, и её развитие продолжается. А начиналось всё с подсчёта налогов и пирамид…

1. Скорее всего, первые геометрические знания были выработаны древними египтянами. Они селились на плодородных заливаемых Нилом почвах. Налоги платили от имевшейся в распоряжении земли, а для этого нужно вычислять её площадь. Площадь квадрата и прямоугольника научились считать эмпирически, исходя из подобных фигур меньшего размера. А круг принимали за квадрат, стороны которого равны 8/9 диаметра. Число π при этом составляло примерно 3,16 — вполне приличная точность.

2. Занимавшихся геометрией строительства египтян называли гарпедонаптами (от слова «верёвка»). Самостоятельно они работать не могли — требовались рабы-помощники, так как для разметки поверхностей нужно было растягивать верёвки разной длины.

Строители пирамид не знали их высоту

3. Математическим аппаратом для решения геометрических задач первыми воспользовались вавилоняне. Они уже знали теорему, которую потом назовут Теоремой Пифагора. Все задачи вавилоняне записывали словами, отчего те получались очень громоздкими (ведь даже знак «+» появился только в конце 15-го века). И, тем не менее, вавилонская геометрия работала.

4. Систематизировал скудные тогда геометрические знания Фалес Милетский. Египтяне построили пирамиды, но не знали их высоты, а Фалес смог её измерить. Ещё до Евклида он доказал первые геометрические теоремы. Но, может быть, главным вкладом Фалеса в геометрию стало общение с юным Пифагором. Этот человек уже в старости повторял песнь о своей встрече с Фалесом и её значении для Пифагора. А ещё один ученик Фалеса по имени Анаксимандр начертил первую карту мира.

Фалес Милетский

5. Когда Пифагор доказал свою теорему, надстроив прямоугольный треугольник квадратами по его сторонам, его шок и потрясение учеников были так велики, что ученики решили — мир уже познан, осталось только объяснить его числами. Пифагор ушёл недалеко — он создал много нумерологических теорий, не имеющих отношения ни к науке, ни к реальной жизни.

Пифагор

6. Попытавшись решить задачу нахождения длины диагонали квадрата со стороной 1, Пифагор и его ученики поняли, что конечным числом эту длину выразить не удастся. Однако авторитет Пифагора был так силён, что он запретил ученикам разглашать этот факт. Гиппас не послушался учителя и был убит кем-то из других последователей Пифагора.

7. Важнейший вклад в геометрию внёс Евклид. Он первым ввёл простые, понятные и однозначные термины. Евклид также определил незыблемые постулаты геометрии (мы их называем аксиомами) и начала логически выводить все остальные положения науки, базируясь на этих постулатах. Книга Евклида «Начала» (хотя строго говоря, это не книга, а набор папирусов) — это Библия современной геометрии. Всего Евклид доказал 465 теорем.

8. Используя теоремы Евклида, работавший в Александрии Эратосфен первым вычислил длину окружности Земли. Основываясь на разнице в высоте тени, отбрасываемой палкой в полдень в Александрии и Сиене (не итальянской, а египетской, теперь это город Асуан), пешеходном измерении расстояния между этими городами. Эратосфен получил результат, всего на 4% отличающийся от нынешних измерений.

9. Архимед, которому Александрия была не чужда, хоть он и родился в Сиракузах, изобрёл немало механических устройств, но своим главным достижением считал вычисление объёмов конуса и шара, вписанных в цилиндр. Объём конуса составляет одну треть от объёма цилиндра, а объём шара — две трети.

Смерть Архимеда. «Отойди, ты закрываешь мне Солнце…»

10. Как ни странно, но за тысячелетие римского господства геометрия, при всём расцвете наук и искусств в Древнем Риме, не было доказано ни одной новой теоремы. В историю вошёл лишь Боэций, пытавшийся составить нечто вроде облегчённой, да ещё и изрядно перевранной, версии «Начал» для школьников.

11. Тёмные века, наступившие после краха Римской империи, затронули и геометрию. Мысль как бы замерла на долгие сотни лет. В 13-м веке Аделард Бартский впервые перевёл «Начала» на латынь, а ещё сто лет спустя Леонардо Фибоначчи привёз в Европу арабские цифры.

Леонардо Фибоначчи

12. Первым создавать описания пространства на языке чисел начал в 17-м веке француз Рене Декарт. Он же применил систему координат (её знал ещё Птолемей во 2-м веке) не только к картам, а ко всем фигурам на плоскости и создал описывающие простые фигуры уравнения. Открытия Декарта в геометрии позволили ему сделать ряд открытий и в физике. При этом, опасаясь гонений церкви, великий математик до 40 лет не опубликовал ни одной работы. Оказалось, правильно делал — его работу с длинным названием, которую чаще всего именуют «Рассуждение о методе», критиковали не только церковники, но и коллеги-математики. Доказало правоту Декарта, как ни банально это звучит, время.

Рене Декарт справедливо опасался публиковать свои труды

13. Отцом неевклидовой геометрии стал Карл Гаусс. Ещё мальчиком он самостоятельно выучился читать и писать, и однажды поразил отца, поправив его бухгалтерские расчёты. В начале 19-го века он написал ряд работ об искривлённом пространстве, но не публиковал их. Теперь учёные боялись не костра инквизиции, а философов. В то время мир млел от «Критики чистого разума» Канта, в которой автор призывал учёных отказаться от строгих формул и положиться на интуицию.

Карл Гаусс

14. Тем временем Янош Бойяи и Николай Лобачевский параллельно также разработали фрагменты теории неевклидового пространства. Бойяи также отправил свою работу в стол, лишь написав об открытии друзьям. Лобачевский в 1830 году напечатал свою работу в журнале «Казанский вестник». Лишь в 1860-х годах последователям пришлось восстанавливать хронологию работ всей троицы. Тогда-то и выяснилось, что Гаусс, Бойяи и Лобачевский работали параллельно, никто ни у кого ничего не воровал (а Лобачевскому одно время это приписывали), а первым всё же был Гаусс.

Николай Лобачевский

15. С точки зрения повседневной жизни обилие геометрий, созданных после Гаусса, выглядит игрой в науку. Однако это далеко не так. Неевклидовы геометрии помогают решить массу задач в математике, физике и астрономии.

Голосуй звездами!

Загрузка…

100-faktov.ru

Факты о геометрии

Геометрия является одним из важнейших разделов математики. Она наглядно позволяет отобразить разные закономерности и геометрические объекты. Ее возникновение этой науки уходит вглубь веков и связано с развитием ремесленного дела, культуры и искусства, а также ряда насущных практических задач (измерение земельных участков и объемов тел).

Математика для древних греков была, прежде всего, геометрией. Поэтому над двери Академии, в стенах которой Платон учил своих учеников, висела надпись: «Пусть сюда не входит тот, кто не знает геометрии».

Трапеция — очень известная геометрическая фигура

Слово «трапеция» произошло от древнегреческого слова «трапезион» (обозначает столик). также от данного слова произошли уже немного подзабытые в обиходе слова, такие как «трапеза» и прочие родственные ему слова.

Рисунок и формулы конуса

Греческое слово «конос», обозначающее сосновую шишку, является словарной основой для такого термина как «конус», а известный в геометрии термин «линия» возник уже от латинского слова «линум» (что в переводе на русский язык означает «льняная нить»).

Геометрические фигуры

Среди всех геометрических форм с одинаковым периметром, круг имеет наибольшую площадь и, наоборот, среди всех фигур с одинаковой площадью круг имеет наименьший периметр. «Квадратура круга» — это математическая задача, которая заключается в геометрическом построении при помощи циркуля и линейки, квадрата, равновеликого по площади данному кругу. В 1882 году, Фердинандом Линдеманом, была математически доказана неразрешимость этой задачи. однако это, не помешало многим людям продолжить тратить своё время на её решение. Так появилась известная всем метафора обусловленная именно бесперспективность подобных изысканий.

Как разрезать пирог на 8 частей?

Пирог разрезается всего тремя касаниями ножа на восемь равных долей. Причем, существует только два способа это сделать.

Под треугольником Рёло понимают геометрическую фигуру, образованную пересечением 3 кругов одинакового радиуса D с центрами, находящимися в вершинах равностороннего треугольника, такой же по длине стороны. на основе треугольника Рёло было придумано сверло, позволяющее просверливать почти квадратные отверстия.

Факты о фрактальной геометрии

Правило выведенное знаменитым итальянским учёным Леонардом да Винчи гласит, что квадрат диаметра (D) ствола дерева равен сумме квадратов диаметров (d1 и d2) ветвей, взятых на общей фиксированной высоте. Более поздние исследования подтвердили данное утверждение лишь с одной оговоркой — степень в формуле необязательно должна равняться двум, а может лежать в диапазоне чисел от 1,8 до 2,3.

Рисунок фрактального дерева

Первоначально считалось, что такая закономерность объясняется тем, что для дерева с подобной структурой имеется более оптимальный механизм снабжения веток питательными соками. Но, в 2010 году, американским физиком Кристофом Эллойем было придумано простое объяснение данному феномену. При рассмотрении дерева как фрактал, уменьшается вероятность слома веток под сильными порывами ветра.

Угол расположения листьев друг от друга может быть описан дробью

Листья на ветвях деревьев, как стало известно, всегда располагаются в строго определенном порядке. Они отстоят друг от друга на определённый угол. Величина этого угла разная для разных растений, однако, что самое интересное, она всегда описывается простой дробью, где числитель и знаменатель представлены числами из ряда Фибоначчи. К примеру, листья бука образуют угол равный 1/3, или 120°, для дуба и абрикоса он представлен дробью 2/5, у груши и тополя — 3/8, у ивы и миндаля — 5/13 и т.д. Подобное расположение даёт возможность листьям более эффективно извлекать влагу и получать солнечный свет.

Кочан капусты сорта Романеско

Красивейшие соцветия капусты сорта романеско представляют собой фракталы природного происхождения. Бутоны этого сорта капусты описываются строгой логарифмической спиралью и состоят из более мелких бутонов, закрученных по тому же принципу. Данная самоподобная структура повторяется ещё несколько раз.

Узлы на веревке

Почти 5000 лет назад древние египтяне уже знали, что если завязать на веревке двенадцать узелков отстоящих друг от друга на равных расстояниях, а затем натянуть ее в форме треугольника, то образуется фигура с одним прямым углом. Это знание помогало делать правильную разметку плодородных земель в долине Нила.

Рисунок расчета длины окружности (меридиана) Земли

При помощи геометрических правил и предположения о том, что наша земля шарообразна, древнегреческий ученый Эратосфен измерил длину её окружности. Им было замечено, что, когда Солнце находится в Сиене (Африка) прямо над головой, в Александрии, которая расположена от этого места на 800 километров, оно отклоняется от вертикали на 7°. Эратосфен заключил, что если из центра Земли Солнце видно под углом 7° и, следовательно, окружность земного шара равна 360:7°х800 = 41 140 километров.

Свыше двух тысячелетий Евклид, давший особенно удачное и стройное изложение геометрии, был непререкаемым законодателем в этой области математики. Даже немецкий философ Иманнуил Кант считал геометрию Евклида единственно возможной. Однако были неясности в евклидовом изложении геометрии, которые не удовлетворяло математиков. Это единственность параллельной к данной прямой, которую можно провести в плоскости через данную точку А. Евклид считал это положение аксиомой, а некоторые математики позже попытались доказать этот факт, как теорему. Однако на протяжении веков доказательств никто не находил.

Титульная страница из труда Н. И. Лобачевского

Эту загадку параллельности решил профессор Казанского университета Н. И. Лобачевский, опубликовавший о своем открытии в 1826 году. Несколько позже к подобным выводам пришли немецкий математик Карл Гаусс и венгерский математик Янош Бояи. Оба ученых установили, что единственность параллельной нельзя доказать в виде теоремы. К примеру, если допустить возможность провести через точку более одной прямой, не пересекающейся с данной, то мы придем к другому виду геометрии — неевклидовой, в которой, этих противоречий наблюдаться не будет. Такую геометрию позже назвали геометрией Лобачевского.

В геометрии Лобачевского параллельные прямые не пересекаются друг с другом в силу самого определения параллельности. Основное отличие геометрии Лобачевского от евклидовой является положение, что через одну точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не одну, а по крайней мере 2 не пересекающих её прямых, находящихся в той же плоскости.

В геометрии Лобачевского сумма всех углов треугольника меньше 180 градусов. Два перпендикуляра исходящие из одной прямой все дальше и дальше будут отходить друг от друга.

amazing-facts.ru

20 интересных фактов о геометрии

Наука геометрия, изобретённая тысячи лет назад, с тех пор продолжает развиваться и меняться, но основы её остаются теми же. Она прочно вошла в человеческую цивилизацию, являясь базой для самых разных областей. Посмотрите куда угодно, и вы увидите, что при создании того или иного предмета его авторы опирались на геометрические вычисления. Что угодно — дорога у вас под окнами, ваша квартира, мобильный телефон или книга в шкафу. Без геометрии не было бы человеческой цивилизации в том виде, в котором мы её знаем.

Факты о геометрии

Достоверно известно, что геометрические знания применялись ещё в Древнем Египте более 5000 лет назад. Египтяне пользовались ими не только при строительстве пирамид, но и при разметке участков для посевов на берегах Нила.
Сейчас геометрия является одним из основополагающих разделов математики. Однако, в Древней Греции она была фактически математикой в целом, а не частью её.
Больше всего, пожалуй, для геометрии сделал античный учёный Евклид. Открытые им принципы до сих пор лежат в основе этой науки (интересные факты о Евклиде).

Над дверью в школу, в которой древнегреческий учёный и философ Платон учил своих учеников, красовалась надпись «Пусть не входит сюда тот, кто не знает геометрии».
Трапеция — одна из геометрических фигур. Но слово это произошло от древнегреческого «трапезион», что в переводе означает «столик». А слово «конос», от которого произошло наше «конус», означало «сосновая шишка».
Среди всех геометрических форм с одинаковым периметром, круг имеет наибольшую площадь и, наоборот, среди всех фигур с одинаковой площадью круг имеет наименьший периметр.
При помощи геометрических правил и предположения о том, что наша земля шарообразна, древнегреческий ученый Эратосфен измерил длину её окружности. Как показали измерения современных учёных, он практически не ошибся в своих расчётах, погрешность составляла лишь доли процента.
Основы фрактальной геометрии были заложены знаменитым учёным эпохи возрождения Леонардо да Винчи (интересные факты о Леонардо да Винчи).

Основное отличие геометрии Лобачевского от евклидовой заключается в утверждении, что через одну точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не одну, а по крайней мере 2 не пересекающих её прямых, находящихся в той же плоскости.
В геометрии Лобачевского сумма всех углов треугольника составляет меньше 180 градусов.
Существуют и другие виды неевклидовых геометрий. Они не применяются в повседневной жизни, но помогают решить множество вопросов в других науках, например, в астрономии.

Теорему Пифагора называли «ослиным мостом», потому что учеников, которые запоминали теорему без понимания, называли ослами, по той причине, что они не могли «перейти через мост» — теорему Пифагора.

Когда Пифагор доказал свою теорему, надстроив прямоугольный треугольник квадратами по его сторонам, его шок и потрясение учеников были так велики, что ученики решили — мир уже познан, осталось только объяснить его числами (интересные факты о Пифагоре).

Архимед, которому Александрия была не чужда, хоть он и родился в Сиракузах, изобрёл немало механических устройств, но своим главным достижением считал вычисление объёмов конуса и шара, вписанных в цилиндр. Объём конуса составляет одну треть от объёма цилиндра, а объём шара — две трети.

Еще около 5000 назад древние египтяне знали, что если сделать на веревке 12 узелков на равных расстояниях и натянуть ее в форме треугольника, то получится прямой угол. Эти знания применялись в строительстве.

Треугольник Рело — это геометрическая фигура, образованная пересечением трёх равных кругов радиуса «А» с центрами в вершинах равностороннего треугольника со стороной «А». Сверло, сделанное на основе треугольника Рело, позволяет сверлить квадратные отверстия, правда, с 2% погрешностью.

В геометрии Римана сумма углов треугольника всегда больше 180.

Французский император Наполеон Бонапарт был прекрасным математиком, и он является автором ряда научных трудов. В его честь даже одна из геометрических задач даже была названа «задача Наполеона».

В геометрии формула вычисления объема усеченной пирамиды выведена раньше, чем формула для целой пирамиды.

Евклид лично доказал 465 геометрических теорем.

Категории

Обо всём на свете

Предыдущая заметка Следующая заметка

xn--80aahh2ah1cn0e.xn--p1ai

История развития геометрии. История возникновения геометрии.

Геометрия — одна из древнейших отраслей математики. Геометрические тела были известны задолго до того, как были выведены математические принципы. Геометрия — это математическое исследование точек, линий, плоскостей, замкнутых плоских фигур и твердых тел. Используя это, можно описать или построить каждый видимый и невидимый предмет.

Геометрия происходит от слова «geo» — земля, «metria» — мера. Геометрия возникла как область знаний, занимающаяся пространственными отношениями. Геометрия одна из двух областей математики, вторая — арифметика, или алгебра.

История возникновения геометрии

Геометрия с практической точки зрения — это потребность измерять формы. Считается, что геометрия впервые стала важной, когда Египетский фараон хотел обложить налогом фермеров, которые выращивали урожай вдоль реки Нил. Чтобы вычислить правильную сумму налога, люди фараона должны были измерить количество обрабатываемой земли.

Около $2900$ лет до нашей эры была построена первая египетская пирамида. Знание геометрии было необходимо для построения пирамид, которые состояли из квадратного основания и треугольных граней. Самая ранняя запись формулы для вычисления площади треугольника датируется $2000$ годом до нашей эры. Египтяне и вавилоняне разработали практическую геометрию для решения повседневных проблем, но нет никаких доказательств того, что они логически выводили геометрические факты из основных принципов.

Именно греки $600$ – $400$ лет до нашей эры разработали принципы современной геометрии. Фалес Милетский изучил подобные треугольники и написал доказательство того, что соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны.

Пифагор ($569-475$ лет до н. э.)

Следующим считается Пифагор. Пифагор был первым математиком, логически выводящим геометрические факты из основных принципов. Пифагор основал братство под названием «пифагорейцы», которые преследовали знания в математике, науке и философии. Некоторые люди считают пифагорейскую школу местом рождения разума и логической мысли. Наиболее известным и полезным вкладом пифагорейцев была теорема Пифагора. Теория гласит, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы.

Евклид Александрийский ($325-265$ лет до н. э.)

Евклид Александрийский считается “отцом современной геометрии”. Евклид ввел математическую строгость и аксиоматический метод, все еще используемый сегодня. Его книга “Начало”, написанная около 300 лет до нашей эры, считается самым влиятельным учебником всех времен и народов. Книга «Начало» была известна всем образованным людям на западе до середины 20-го века. Евклид изобрел $23$ определения, $5$ постулатов и $5$ аксиом.

Аксиома — это утверждение, которое принимается без доказательств. Как только он доказал свое первое утверждение, на его основе он доказал второе, затем третье и т. д. Этот процесс известен как аксиоматический подход. Элементы Евклида составляют основу современной геометрии, которая преподается сегодня в школах, колледжах и университетах.

Рене Декарт ($1596-1650$)

До появления Рене Декарта в геометрии не было крупных изменений. Декарт объединил алгебру и геометрию для создания аналитической геометрии. Аналитическая геометрия, также известная как координатная геометрия, включает размещение геометрической фигуры в системе координат для иллюстрации доказательств и получения информации с использованием алгебраических уравнений.

Карл Фридрих Гаусс ($1777-1855$)

Следующее большое развитие в геометрии пришло с развитием неевклидовой геометрии. Карл Фридрих Гаусс изобрел неевклидову геометрию, не основанную на постулатах Евклида. Параллельный постулат гласит, что через заданную точку на прямой есть одна и только одна прямая, параллельная этой линии. Неевклидова геометрия задала математическую основу для теории относительности Эйнштейна.

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

myalfaschool.ru

Lecture on Интересные факты из истории создания геометрии Автор Ильина Мария

Сначала геометрия была интуитивной. Это означает, что факты признавались существующими без попытки доказать это или продемонстрировать, что это действительно так. Но в 600 году до н.э. греческий ученый Фалес развил идею, что должны существовать пути, доказывающие, что геометрические факты истинны. В геометрии такая истина называется теоремой. Фалес открыл доказательства теорем, которые люди принимали на веру до этого времени. Это послужило началом доказательной геометрии. Элементарная геометрия делилась на две части: плоскостная геометрия и геометрия тел. В плоскостной геометрии рассматривались предметы, существующие в плоскости. У них было только два измерения: длина и ширина. Геометрия тел — геометрия трех измерений. Она имеет дело с предметами, обладающими длиной, шириной и высотой. Это такие предметы, как конусы, сферы, цилиндры и так далее Сначала геометрия была интуитивной. Это означает, что факты признавались существующими без попытки доказать это или продемонстрировать, что это действительно так. Но в 600 году до н.э. греческий ученый Фалес развил идею, что должны существовать пути, доказывающие, что геометрические факты истинны. В геометрии такая истина называется теоремой. Фалес открыл доказательства теорем, которые люди принимали на веру до этого времени. Это послужило началом доказательной геометрии. Элементарная геометрия делилась на две части: плоскостная геометрия и геометрия тел. В плоскостной геометрии рассматривались предметы, существующие в плоскости. У них было только два измерения: длина и ширина. Геометрия тел — геометрия трех измерений. Она имеет дело с предметами, обладающими длиной, шириной и высотой. Это такие предметы, как конусы, сферы, цилиндры и так далее

allyslide.com

Интересные факты — Математика

Какая рекламная кампания провалилась из-за математической неграмотности американцев?

В начале 1980-х годов сеть ресторанов быстрого питания A&W запустила масштабную рекламную кампанию своего гамбургера. В отличие от похожего сэндвича в 1/4 фунта из Макдоналдс, гамбургер A&W весил 1/3 фунта и стоил чуть дешевле, а покупатели говорили, что он вкуснее. Несмотря на всё это, кампания провалилась. Позже A&W провела исследование и выявила причину: многие клиенты не понимали истинного значения дробных чисел. Предложение казалось им невыгодным, так как 3 меньше 4.