Самостоятельная работа свойства логарифмов: Самостоятельная работа «Свойства логарифмов» с ответами скачать
| Главная Другое |
страница 1 Государственное бюджетное образовательное учреждение БРАТСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ ЛОГАРИФМЫ Методические указания к решению упражнений при изучении темы «Свойства логарифмов» г. Братск, 2012г. Логарифмы: Методические указания / Сост. Лапина Н.Л. – Братск: БрПК, 2012– 14с. Данные методические указания содержат необходимые теоретические сведения по теме «Логарифмы» дисциплины математика, примеры решения упражнений, набор упражнений для самостоятельного решения с ответами к некоторым из них, десять вариантов для выполнения контрольной работы. Рецензент: Носырева Н.В. заместитель директора по УМР ГБОУ СПО БрПК Содержание Введение…………………………………………………………………………………………………………..4
Список литературы ………………………………………………………………….…………14 Введение Настоящие методические указания предназначены в помощь студентам всех форм обучения при изучении темы «Свойства логарифмов». Разделы указаний содержат необходимые теоретические сведения (определения, формулы без доказательства) и подробно разобранные упражнения. Теоретические сведения и примеры для самостоятельного решения дают возможность использовать данные методические указания на практических занятиях по математике, а также для самостоятельного изучения темы «Свойства логарифмов». В конце указаний приведены десять вариантов заданий для выполнения контрольной работы. Вариант определяется последней цифрой номера зачетной книжки студента. Работа выполняется письменно в отдельной тетради.
Понятие логарифма числа вводится при решении показательных уравнений, например, решим уравнение , в котором необходимо найти показатель х, представим правую часть уравнения в виде двух в четвертой степени . В этом уравнении удалось левую и правую части представить в виде степени с одинаковым основанием 2. Ответ такого уравнения . Но уравнение таким способом решить не удается. Из определения следует, что записи logаb=х. и ах=b равносильны. Например, log28=3, потому что при возведении основания 2 в степень 3 получается 8: 23=8, действительно 222=23=8. Значит в результате вычисления логарифма 8 по основанию 2 получается показатель степени двойки, при возведении в которую получаем восемь. Определение логарифма можно кратко записать так: . Это равенство справедливо при b>0, a>0, а1. Его обычно называют основным логарифмическим тождеством. Для вычислений значений логарифмов полезно использовать значения степени следующих чисел:
Также необходимо помнить правила возведения чисел в степень с отрицательным, дробным и нулевым показателем: а0=1; ; Пример 1. , т.к. 3 3=27 Пример 2. , т.к. 30=1 Пример 3. , т.к. 2-1= Пример 4. Вычислить Пусть. По определению логарифма 32t=64. Это простейшее показательное уравнение. 32=25, 64=26, поэтому (25)t=26; 25t=26 ; 5t=6, t= Ответ: Пример 5. Вычислить Используя свойства степени и основное логарифмическое тождество, находим Пример 6. Для некоторых логарифмов имеются специальные обозначения: десятичный log10х=lgx, натуральный logех=lnx. Пример 7. lg1000=3 , т.к. 103=3 Пример 8. lg0,01=-2 , т.к. 10-2==0,01
Ответы:
При выполнении преобразований выражений, содержащих логарифмы, при вычислениях и при решении уравнений часто используются различные свойства логарифмов. Пусть а>0, а1, b>0, с>0, p – любое действительное число. Тогда справедливы формулы (1) (2) (3) (4) (5) Формулы (1) и (2) можно применять к выражениям, содержащим логарифмы с одинаковыми основаниями. Формулы (4) и (5) позволяют переходить от одного основания логарифмов к другому. Пример 1. Вычислить: На основе формул (1) и (2) преобразуем Теперь можно применить формулу (4), т. е. перейти к новому основанию, в данном примере логарифмы чисел 16 и 8 легко вычислить при основании 2, тогда Пример 2. Вычислить Применим формулу (3), для этого вспомним определение степени с рациональным показателем (), тогда Пример 3. Зная, что , найти Применяем формулу (1) Пример 4. Прологарифмировать выражение по основанию 5. Запишем данное выражение в виде Теперь применим формулы (1), (2) и (3) Пример5. Найти х по данному его логарифму (а>0,b>0): В этом примере необходимо правую часть представить в виде одного логарифма по основанию 4: (2 представили в виде log416) (применили формулы (1), (2) и (3))
Ответы:
Контрольная работа по теме: «Свойства логарифмов»
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Смотрите также: Контрольная работа по теме: «Свойства логарифмов» 110.15kb. 1 стр. Урок изучения нового материала свойства логарифмов учитель математики лаптиева н. В 69.85kb. 1 стр. Урок по теме: «Логарифмическая функция, уравнения и неравенства».(10 класс) 116.51kb. 1 стр. Контрольная работа По дисциплине: Маркетинг По теме: «Конъюнктура рынка и её оценка» 196. 1 стр. Контрольная работа №11 по теме «Умножение и деление десятичных дробей»(5 класс) 1 вариант Выполните действия 79.4kb. 1 стр. «Логарифмы» 7.7kb. 1 стр. Контрольная работа по теме «древняя греция» 18.45kb. 1 стр. Контрольная работа по теме «Экономические районы» 42.75kb. 1 стр. Контрольная работа по дисциплине «Инженерная геология. Механика грунтов» 106kb. 1 стр. Контрольная работа по курсу: «Профессиональная психология и педагогика в деятельности овд» по теме 415.04kb. 3 стр. Контрольная работа №3 по теме «Периодический закон и периодическая таблица химических элементов Д. И. Менделеева. Строение атома» I 20. 1 стр. Контрольная работа по теме «Модульная технология обучения и ее использование на уроках химии» Модульный обобщающий урок по теме 57.83kb. 1 стр. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
д. 
по основанию 2 
49kb.
35kb.Дистанционный репетитор — онлайн-репетиторы России и зарубежья
КАК ПРОХОДЯТ
ОНЛАЙН-ЗАНЯТИЯ?
Ученик и учитель видят и слышат
друг друга, совместно пишут на
виртуальной доске, не выходя из
дома!
КАК ВЫБРАТЬ репетитора
Выбрать репетитора самостоятельно
ИЛИ
Позвонить и Вам поможет специалист
8 (800) 333 58 91
* Звонок является бесплатным на территории РФ
** Время приема звонков с 10 до 22 по МСК
ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
Россия +7Украина +380Австралия +61Белоруссия +375Великобритания +44Израиль +972Канада, США +1Китай +86Швейцария +41
Выбранные репетиторы
Заполните форму, и мы быстро и бесплатно подберем Вам дистанционного репетитора по Вашим пожеланиям.
Менеджер свяжется с Вами в течение 15 минут и порекомендует специалиста.
Отправляя форму, Вы принимаете Условия использования и даёте Согласие на обработку персональных данных
Вы также можете воспользоваться
расширенной формой подачи заявки
Как оплачивать и СКОЛЬКО ЭТО СТОИТ
от
800 до 5000 ₽
за 60 мин.
и зависит
ОТ ОПЫТА и
квалификации
репетитора
ОТ ПОСТАВЛЕННЫХ ЦЕЛЕЙ ОБУЧЕНИЯ
(например, подготовка к олимпиадам, ДВИ стоит дороже, чем подготовка к ЕГЭ)
ОТ ПРЕДМЕТА (например, услуги репетиторовиностранных языков дороже)
Оплата непосредственно репетитору, удобным для Вас способом
Почему я выбираю DisTTutor
БЫСТРЫЙ ПОДБОР
РЕПЕТИТОРА И
ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПОДХОД
ОПТИМАЛЬНОЕ
СООТНОШЕНИЕ ЦЕНЫ И
КАЧЕСТВА
ПРОВЕРЕНЫ ДОКУМЕНТЫ ОБ ОБРАЗОВАНИИ У ВСЕХ РЕПЕТИТОРОВ
НАДЕЖНОСТЬ И ОПЫТ.
DisTTutor на рынке с 2008 года.
ПРОВЕДЕНИЕ БЕСПЛАТНОГО, ПРОБНОГО УРОКА
ЗАМЕНА РЕПЕТИТОРА, ЕСЛИ ЭТО НЕОБХОДИМО
375781 УЧЕНИКОВ ИЗ РАЗНЫХ СТРАН МИРА
уже сделали свой выбор
И вот, что УЧЕНИКИ ГОВОРЯТ
о наших репетиторах
Владимир Александрович Кузьмин
«
Тренинг у Кузьмина В. А. проходил в экстремальных условиях. Мой модем совершенно не держал соединение. За время часового тренинга связь прерывалась практически постоянно. Ясно, что в таких условиях чрезвычайно непросто чему-то учить.
Однако Владимир Александрович проявил удивительную выдержку и терпение. Неоднократно он перезванивал мне на сотовый телефон, чтобы дать пояснения или комментарии.
Ценой больших усилий нам удалось рассмотреть три программы: ConceptDraw MINDMAP Professional Ru, GeoGebra и Ultra Flash Video FLV Converter. Владимир Александрович открыл мне курс на платформе dist-tutor.info и научил подключать и настраивать Виртуальный кабинет, порекомендовав изучать возможности этого ресурса, чтобы постепенно уходить от использования Skype.
В итоге, занятие мне очень понравилось! Спокойное объяснение материала, дружелюбный настрой, подбадривание дистанционного ученика даже в самых непростых ситуациях — вот далеко не полный перечень качеств Владимира Александровича как дистанционного педагога. Мне следует учиться у такого замечательного репетитора!
«
Вячеслав Юрьевич Матыкин
Чулпан Равилевна Насырова
«
Я очень довольна репетитором по химии. Очень хороший подход к ученику,внятно объясняет. У меня появились сдвиги, стала получать хорошие оценки по химии. Очень хороший преподаватель. Всем , кто хочет изучать химию, советую только её !!!
«
Алина Крякина
Надежда Васильевна Токарева
«
Мы занимались с Надеждой Васильевной по математике 5 класса. Занятия проходили в удобное для обоих сторон время. Если необходимо было дополнительно позаниматься во внеурочное время, Надежда Васильевна всегда шла навстречу. Ей можно было позванить, чтобы просто задать вопрос по непонятной задачке из домашнего задания.
Моя дочь существенно подняла свой уровень знаний по математике и начала демонстрировать хорошие оценки. Мы очень благодарны Надежде Васильевне за помощь в этом учебном году, надеемся на продолжение отношений осенью.
«
Эльмира Есеноманова
Ольга Александровна Мухаметзянова
«
Подготовку к ЕГЭ по русскому языку мой сын начал с 10 класса. Ольга Александровна грамотный педагог, пунктуальный, ответственный человек. Она всегда старается построить занятие так, чтобы оно прошло максимально плодотворно и интересно. Нас абсолютно все устраивает в работе педагога. Сотрудничество приносит отличные результаты, и мы его продолжаем. Спасибо.
«
Оксана Александровна
Клиентам
- Репетиторы по математике
- Репетиторы по русскому языку
- Репетиторы по химии
- Репетиторы по биологии
- Репетиторы английского языка
- Репетиторы немецкого языка
Репетиторам
- Регистрация
- Публичная оферта
- Библиотека
- Бан-лист репетиторов
Партнеры
- ChemSchool
-
PREPY.
RU
- Class
RU
Свойства логарифмов | Колледж Алгебра
Результаты обучения
- Перепишите логарифмическое выражение, используя правило степени, правило произведения или правило частного.
- Раскройте логарифмические выражения, используя комбинацию правил логарифмирования.
- Сокращение логарифмических выражений с использованием правил логарифмирования.
Свойства логарифмов
Напомним, что логарифмическая и экспоненциальная функции «отменяют» друг друга. Это означает, что логарифмы имеют свойства, аналогичные показателям степени. Здесь приведены некоторые важные свойства логарифмов. Во-первых, легко доказываются следующие свойства. 9{{\ mathrm {log}} _ {e} 7} = 7 [/ латекс].
Наконец, у нас есть свойство один к одному .
[латекс] {\ mathrm {log}} _ {b} M = {\ mathrm {log}} _ {b} N \ text { тогда и только тогда, когда} \ text { } M = N [/latex]
Мы можем использовать свойство «один к одному» для решения уравнения [латекс]{\mathrm{log}}_{3}\left(3x\right)={\mathrm{log}}_{3}\left (2x+5\right)[/latex] для x .
Поскольку основания одинаковы, мы можем применить свойство один к одному, установив аргументы равными и решив для x :
[латекс]\begin{array}{l}3x=2x+5\hfill & \text{Установите равные аргументы}\text{.}\hfill \\ x=5\hfill & \text{Вычесть 2}x\text{.}\hfill \end{array}[/latex]
А как насчет уравнения [latex]{\mathrm{log}}_{3}\left(3x\right)+{\ mathrm{log}}_{3}\left(2x+5\right)=2[/latex]? Свойство one-to-one в данном случае нам не поможет. Прежде чем мы сможем решить подобное уравнение, нам нужен метод объединения логарифмов в левой части уравнения.
Использование правила произведения для логарифмов 9{а+б}[/латекс]. У нас есть похожее свойство для логарифмов, называемое правилом произведения
для логарифмов , которое гласит, что логарифм произведения равен сумме логарифмов. Поскольку журналы являются показателями, а мы умножаем их как основания, мы можем складывать показатели. Мы будем использовать обратное свойство, чтобы вывести правило произведения ниже.
Для любых действительных чисел x и положительных вещественных чисел M , N и b , где [latex]b\ne 1[/latex], мы покажем 9{m+n}\right)\hfill & \text{Применить правило произведения для экспонент}.\hfill \\ \hfill & =m+n\hfill & \text{Применить обратное свойство журналов}.\hfill \ \ \ hfill & = {\ mathrm {log}} _ {b} \ left (M \ right) + {\ mathrm {log}} _ {b} \ left (N \ right) \ hfill & \ text {Замените }m\text{ и }n.\hfill \end{array}[/latex]
Обратите внимание, что многократное применение правила произведения для логарифмов позволяет нам упростить логарифм произведения любого количества множителей. Например, рассмотрим [латекс]\mathrm{log}_{b}(wxyz)[/латекс]. Используя правило произведения для логарифмов, мы можем переписать этот логарифм произведения как сумму логарифмов его множителей:
[латекс]\mathrm{log}_{b}(wxyz)=\mathrm{log}_{b}w+\mathrm{log}_{b}x+\mathrm{log}_{b}y+\mathrm {log}_{b}z[/latex]
Общее примечание: Правило произведения для логарифмов
Правило произведения для логарифмов можно использовать для упрощения логарифма произведения, переписав его как сумму отдельных логарифмы.
[латекс] {\ mathrm {log}} _ {b} \ left (MN \ right) = {\ mathrm {log}} _ {b} \ left (M \ right) + {\ mathrm {log}} _{b}\left(N\right)\text{ for }b>0[/latex]
Пример: использование правила произведения для логарифмов 9{а-б}[/латекс]. Частное правило
для логарифмов гласит, что логарифм частного равен разности логарифмов. Как и в случае с правилом произведения, мы можем использовать обратное свойство для получения правила частного.Для любого вещественного числа x и положительных вещественных чисел M , N и b , где [latex]b\ne 1[/latex], мы покажем
[latex]{\mathrm {log}}_{b}\left(\frac{M}{N}\right)\text{= }{\mathrm{log}}_{b}\left(M\right) — {\mathrm{ log}}_{b}\left(N\right)[/latex]. 9{2}+6x}{3x+9}\right) & =\mathrm{log}\left(\frac{2x\left(x+3\right)}{3\left(x+3\right)} \right)\hfill & \text{Раскладываем числитель и знаменатель}.\hfill \\ & \text{}=\mathrm{log}\left(\frac{2x}{3}\right)\hfill & \text {Отменить общие множители}.
\hfill \end{массив}[/latex]
Затем мы применяем правило отношения, вычитая логарифм знаменателя из логарифма числителя. Затем применяем правило произведения.
[латекс]\begin{array}{lll}\mathrm{log}\left(\frac{2x}{3}\right) & =\mathrm{log}\left(2x\right)-\mathrm{ log}\left(3\right)\hfill \\ \text{} & =\mathrm{log}\left(2\right)+\mathrm{log}\left(x\right)-\mathrm{log} \left(3\right)\hfill \end{массив}[/latex]
A Общее примечание: Правило отношения для логарифмов
Правило отношения для логарифмов можно использовать для упрощения логарифма или частного, переписав его как разность отдельных логарифмов.
[латекс] {\ mathrm {log}} _ {b} \ left (\ frac {M} {N} \ right) = {\ mathrm {log}} _ {b} M — {\ mathrm {log} }_{b}N[/latex]
Как: Имея логарифм частного, используйте правило логарифмов для записи эквивалентной разности логарифмов
- Выразите аргумент в наименьших терминах, разложив числитель и знаменатель на множители. и отмена общих условий.
- Напишите эквивалентное выражение, вычитая логарифм знаменателя из логарифма числителя.
- Убедитесь, что каждый термин полностью раскрыт. Если нет, примените правило произведения для логарифмов, чтобы полностью расширить.
и отмена общих условий.Пример: использование правила отношения для логарифмов
Expand [latex]{\mathrm{log}}_{2}\left(\frac{15x\left(x — 1\right)}{\left(3x+ 4\вправо)\влево(2-х\вправо)}\вправо)[/латекс].
Показать решение
Попробуй 9{2}\right)\hfill & ={\mathrm{log}}_{b}\left(x\cdot x\right)\hfill \\ \hfill & ={\mathrm{log}}_{b} x+{\mathrm{log}}_{b}x\hfill \\ \hfill & =2{\mathrm{log}}_{b}x\hfill \end{array}[/latex]
Обратите внимание, что мы использовал правило произведения для логарифмов , чтобы найти решение для приведенного выше примера. Таким образом, мы получили правило степени для логарифмов , которое гласит, что логарифм степени равен показателю степени, умноженному на логарифм основания.
Имейте в виду, что хотя ввод логарифма не может быть записан как степень, мы можем изменить его на степень. Например, 9{2}}\справа)[/латекс].
Показать решение
Поддержите!
У вас есть идеи по улучшению этого контента? Мы будем признательны за ваш вклад.
Улучшить эту страницуПодробнее
Свойства логарифмов
Опубликовано
Вы бы предпочли послушать урок? |
Когда студенты, изучающие математический анализ, изучают логарифмические функции, один из самых важных уроков, с которыми они сталкиваются, — это свойства логарифмов. Это потому, что учащиеся могут упрощать и оценивать логарифмы с помощью этих свойств.
Несмотря на то, что уроки журнала могут быть сложными, учителя математики могут помочь сделать их более увлекательными и доступными, используя различные стратегии обучения. Мы поделимся несколькими такими стратегиями в этой статье.
Читайте дальше и узнать больше!
Стратегии обучения свойствам логарифмов
Обзор логарифмов
Начните урок о свойствах логарифмов с краткого повторения того, что такое логарифмы. Напомните учащимся, что логарифм – это показатель степени. То есть лог a x («логарифмическая база a числа x») — это показатель степени, до которого нужно возвести a , чтобы получить x . Вы можете представить это следующим образом:
Где a > 0, a ≠ 1 и x > 0.
Таким образом, логарифмы противоположны экспонентам, поскольку они в основном «отменяют» экспоненты. Вы также можете показать это видео в своем классе. В видео показано, что представляют собой логарифмы, на примерах.
Затем проверьте, есть ли пробелы в том, что учащиеся уже узнали о логарифмах. Например, напишите на доске простой журнал, например, журнал 9.0241 2 16 = x, и попросите учащихся преобразовать его в показатель степени. Может ли большинство студентов легко сказать, что эквивалентный показатель степени равен 2 90 257 x 90 258 = 16?
Как насчет вычисления логарифмов? Усвоили ли учащиеся навыки оценивания данного бревна? Например, напишите на доске log 3 81 = x.
Могут ли учащиеся легко определить, чему это соответствует, то есть log 3 81 = 4? Попрактикуйтесь еще немного и устраните потенциальные пробелы.
Для более продвинутых практических примеров вычисления логарифмов используйте это краткое онлайн-упражнение от Khan Academy. Если вам нужны подробные рекомендации по обучению логарифмам, а также забавные упражнения для практики логарифмов, не стесняйтесь ознакомиться с этой статьей.
Свойства логарифмов
Теперь, когда вы кратко рассмотрели их, вы можете перейти к объяснению свойств логарифмов. Для начала подчеркните, что мы используем свойства логарифмов для упрощения и вычисления логарифмов.
Добавим, что с помощью этих свойств мы можем переписывать логарифмические выражения, то есть можем их расширять или уплотнять. Обратите внимание, что в этом классе вы рассмотрите три таких свойства, в том числе:
- свойство умножения логарифмов
- свойство деления логарифмов
- правило степени логарифмов
Свойство умножения логарифмов
Объясните учащимся, что свойство умножения логарифмов гласит, что логарифм произведения двух чисел равен сумме отдельных логарифмов каждого числа.
Представьте это свойство на доске следующим образом:
Свойство деления логарифмов
Укажите, что согласно свойству деления логарифмов логарифм частного двух чисел равен разности индивидуального логарифма каждое число. Представьте это свойство на доске следующим образом:
Степенное правило логарифмов
Наконец, объясните, что степенное правило логарифмов гласит, что логарифм числа, возведенного в определенную степень, равен произведению степени и логарифма числа. Представьте это свойство на доске следующим образом:
Пример 1:
журнал 2 8 + журнал 2 32 = журнал 2 (8 × 32)
8
журнал 22 32 = журнал 2 256
Чтобы проверить, правильно ли это, мы можем вычислить логарифмы, то есть:
log 2 8 = 3, потому что 2 3 = 8
log 2 32 = 5, потому что 2 5 8 = 32
log 2 256 = 8, потому что 2 8 = 256
Если мы просто заменим эти значения выше в операторе log 2 8 + log 2 32 = log 2 , 2 , получим следующее:
3 + 5 = 8
Вот и все! Мы видим, что свойство умножения верно.
Пример 2:
Дополнительные ресурсы:
Если у вас есть технические возможности, вы также можете дополнить свой урок мультимедийными материалами, например видео. Например, используйте это видео Академии Хана, чтобы представить умножение, а также свойство деления логарифмов.
После этого воспроизведите этот видеоролик Академии Хана, чтобы проиллюстрировать правило степени логарифмов. Переписывая и упрощая log5(x3) как 3log5(x), видео демонстрирует, как применяется правило логарифмической мощности.
Упражнения для отработки свойств логарифмов
Игра «Свойства логарифмов»
Это простая онлайн-игра, которая помогает учащимся отточить свои навыки упрощения и вычисления логарифмов с помощью свойств логарифмов. Чтобы внедрить эту игру в свой класс, убедитесь, что для всех учащихся имеется достаточное количество устройств.
Учащиеся играют в игру индивидуально, что делает игру подходящей и для родителей, обучающих своих детей дома.
Студентам предлагаются различные задания, например, их просят переписать журнал в определенной форме, применяя свойства логарифмов.
Если они застряли, учащиеся также могут включить видео для получения помощи или воспользоваться подсказкой. В конце концов, открытое пространство для обсуждения и размышлений. Был ли какой-либо пример особенно сложным? Почему? Какие свойства учащиеся использовали в своих упражнениях?
Log Race
Это веселая игра, которая поможет учащимся улучшить свои знания о логарифмах и свойствах логарифмов. Чтобы играть в эту игру в своем классе, вам нужно распечатать этот бесплатный рабочий лист Log Race, несколько игральных костей, фишки и ножницы, маркеры и немного бумаги.
Распечатайте столько копий, сколько необходимо, в зависимости от размера вашего класса. Вырежьте карточки с заданиями из рабочего листа и разложите их по разным стопкам в зависимости от того, что в них требуется. Например, карточки, на которых учащиеся должны развернуть бревно, складываются в стопку «бревно».
Затем нарисуйте игровое поле в форме дороги с обозначенными ячейками (квадратами), как показано на рабочем листе, с ячейками «старт» и «финиш». Каждое место (или квадрат) на дороге имеет определенную инструкцию, такую как «расширить», «переписать в степени», «вычислить» и т. д.
Запустить игру!
Разделите учащихся на группы по 3 человека, один из которых будет «проверяющим». Игрок 1 бросает кости и перемещает свою фишку по игровому полю на то количество делений, которое он получил с помощью кубиков (например, если он получил 3, бросив кубики, он перемещает свою фишку на три деления по игровому полю.
место, на которое учащийся приземляется своей фишкой, указывает, какую карту ученик должен взять. Например, если учащийся приземлился на поле с надписью «уплотнить», ему нужно взять верхнюю карту из стопки «уплотнить» и уплотнить логарифмическое выражение, написанное на карточке
У каждого учащегося есть несколько минут, чтобы решить задание на своей карточке.