Ломоносовский турнир математика: Математика | Турнир имени М.В.Ломоносова
О Турнире Ломоносова Архив прошлых лет Новости 18.10.2022Разбор задач по лингвистике 04.10.2022 Турнир состоялся 02.10.2022 Турнир начался! Все новости участников Оргкомитет По всем вопросам просьба обращаться по электронной почте | XLV Турнир имени М. В. Ломоносова прошёл 2 октября 2022 года в онлайн формате. Жюри приступает к обработке и проверке работ. Правила проведения и особенности 45 Турнира Турнир имени М.В. Ломоносова — ежегодное многопредметное соревнование по математике, физике, астрономии и наукам о Земле, химии, биологии, истории, лингвистике, литературе. Цель Турнира — дать участникам материал для размышлений и подтолкнуть интересующихся к серьёзным занятиям. Задания ориентированы на учащихся 6–11 классов. Можно, конечно, прийти и школьникам более младших классов (только задания для них, возможно, покажутся сложноватыми) — вообще, в Турнире может принять участие любой школьник. Программа во всех местах проведения Турнира одинакова. Конкурсы по всем предметам проводятся одновременно в разных аудиториях в течение 5 часов. Школьники (кроме учащихся 11 класса) имеют возможность свободно переходить из аудитории в аудиторию, самостоятельно выбирая предметы и время. 11-классники выполняют задания в одной аудитории. Задания по всем предметам выполняются письменно. Турнир проводится ежегодно, начиная с 1978 года. В настоящее время в соответствии с действующим Положением (pdf, 373 кб) его организаторами являются Департамент образования города Москвы (оператор Центр педагогического мастерства города Москвы), Московский центр непрерывного математического образования, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Московский институт открытого образования Департамента образования города Москвы, Российская Академия наук, Московский авиационный институт (государственный технический университет), Московский государственный технологический университет СТАНКИН. Председатель Оргкомитета Турнира — Николай Николаевич Константинов. В организации Турнира также участвуют (и участвовали в разное время) другие вузы и школы Москвы и других городов, научные, образовательные и благотворительные организации и фонды. | Сейчас на олимпиаде XLIV Турнир Документы
|
В.Ломоносова»Задания 40-го Турнира имени М.В. Ломоносова
Задания 40-го Турнира имени М.В. Ломоносова | Турнир имени М.В.Ломоносова
|
10.2022Разбор задач по лингвистике
pdf (0.12 Мб), задания (English).pdf (0.03 Мб), протокол проверки.pdf (0.05 Мб), решения.pdf (0.14 Мб)
Задачи по геометрии от ММО: Ломоносовский турнир 1978
2020 Ломоносовский турнир 1 тур
Известно, что если правильный $N$-угольник внутри круга продолжается всеми сторонами до пересечения с этим кругом, то к его кругу добавляется $2N$ отрезков. стороны можно разделить на две группы с одинаковой суммой длин. Верно ли аналогичное утверждение для внутри сферы
а) произвольного куба?
б) произвольный правильный тетраэдр?
(Каждое ребро продлевается в обе стороны до пересечения со сферой.
К каждому ребру с обеих сторон добавляется отрезок. Требуется раскрасить каждое из них либо в красный, либо в синий цвет, чтобы сумма длин красных отрезков были равны сумме длин синих.)
Объясните свои ответы на предыдущие вопросы.
2020 Турнир Ломоносова Раунд1
Король Артур хочет заказать кузнецу новый рыцарский щит по его эскизу. Кинг взял циркуль и начертил три дуги радиусом $1$ ярда, как показано на рисунке. Какова площадь щита?
Турнир Ломоносова 2019 Раунд1
Высота каждой ступени «лестницы» (см. рисунок) составляет 1$, а ширина каждой ступени увеличивается от 1 до 2019$$. Верно ли, что отрезок от нижней левой точки лестницы до верхней правой точки лестницы не пересекает лестницу?
Турнир Ломоносова 2018 Раунд1
Вам нужно разделить криволинейный треугольник на картинке на $2$ равных частей, проведя циркулем одну линию. Это можно сделать, выбрав одну из отмеченных точек в качестве центра и проведя дугу через другую отмеченную точку.
Найдите способ сделать это и докажите, что это подходящее решение.
2017 Турнир Ломоносова 1 тур
Существует ли треугольная пирамида, среди шести ребер которой
а) два ребра имеют длину менее $1$ см, а остальные четыре ребра более $1$ км?
б) четыре ребра имеют длину менее 1 см, а два других более $1$ км?
2017 Турнир Ломоносова 1 тур
Лёша $4$ раз нарисовал геометрический рисунок, начертив свой пластический прямоугольный треугольник, поставив короткий катет (катет) на гипотенузу и наложив вершину острого угла на вершину прямого угла (см. фотка.). Получается, что «замыкающий» пятый треугольник равнобедренный (см. рис., отмеченные (!) стороны равны). Найдите величину углов треугольника Лёши.
(Казицина Т.В.)
Турнир Ломоносова 2016 Раунд1
Поверхность куба легко обклеить ромбами по 6$, т.е. квадратами по 6$, совпадающими по граням. Можно ли обклеить поверхность куба (без зазоров и нахлестов) менее чем $6$ ромбами (не обязательно конгруэнтными)?
(Шаповалов А.
В.)
2016 Ломоносовский Турнир 1
В выпуклом четырехугольнике две противоположные стороны равны и перпендикулярны, а две другие равны $a$ и $b$. Найдите площадь четырехугольника.
(Бакаев Е.В.)
2015 Турнир Ломоносова 1 тур
Разрежьте правильный тетраэдр на равные многогранники с шестью гранями.
(Мерзон Г.)
Ломоносовский Турнир 2015 Раунд1
Шесть равносторонних треугольников расположены, как на рисунке. Докажите, что сумма площадей заштрихованных треугольников равна сумме площадей закрашенных треугольников.
(Бакаев Е.В.)
Турнир Ломоносова 2015 Раунд1
На землю уложен квадратный каркас, в центре которого установлен вертикальный столб. Когда ткань была натянута поверх этой конструкции, образовалась небольшая палатка. Если поставить рядом две одинаковые рамы, в центр каждой поставить вертикальную жердь одинаковой длины и сверху натянуть ткань, то получится большая палатка.
На маленькую палатку ушло 4$ на квадратный метр ткани. А сколько ткани нужно на большую палатку?
(М. Раскин)
2014 Ломоносовский Турнир 1 тур
Рассмотрим многогранники, обладающие следующим свойством: Для любых двух вершин такого многогранника можно найти третью вершину такую, что эти три вершины вместе образуют равносторонний треугольник . Этим свойством обладает правильный тетраэдр. Существуют ли другие подобные многогранники?
(Бакаев Е.В.)
Турнир Ломоносова 2014 Раунд1
Четыре отрезка, отмеченные на сторонах квадрата, идентичны. (Смотрите рисунок.) Докажите, что два отмеченных угла имеют одинаковую величину.
(Бакаев Е.В.)
2013 Турнир Ломоносова Раунд1
Конструктор «Юный геометр» содержит несколько 2D полигонов. Александр, изучающий геометрию, использовал набор для построения трехмерного выпуклого многогранника. Далее Александр разобрал многогранник и разделил многоугольники на две группы. Возможно ли, чтобы все многоугольники каждой группы можно было собрать в выпуклый многогранник так, чтобы каждый многоугольник из данной группы был гранью соответствующего многогранника и каждая его грань была многоугольником из этой группы? 9угол o$ состоит из $3$ слоев сложенной бумаги.
Когда его развернули, у нас получился прямоугольный кусок. Начертите такой прямоугольник и нанесите на него линии сгиба.
(Мерзон Г.)
Турнир Ломоносова 2011 Раунд1
Сторона прямоугольника площадью $14$ делит сторону квадрата в отношении $1:3$ (см. рисунок). Найдите площадь квадрата.
(Голенищева-Кутузова Т.И.)
2011 Ломоносовский Турнир 1
На доске нарисован выпуклый четырехугольник. Трое мальчиков высказали по одному утверждению: Алексей сказал: «Этот четырехугольник можно разрезать диагональю на два остроугольных треугольника». Борис ответил: «Этот четырехугольник можно разрезать диагональю на два прямоугольных треугольника». И Чарли заключил: «Этот четырехугольник можно разрезать диагональю на два тупоугольных треугольника». Оказалось, что ошибся только один из них. Назовите мальчика, который определенно был прав, и докажите, что он был прав.
(Френкин Б.Р.)
2010 Ломоносовский Турнир 1 тур
На клетчатой бумаге начерчена диагональ прямоугольника $1\times 4$.
Покажите, как с помощью одной линейки без делений разделить этот отрезок на три равные части.
2009 Турнир Ломоносова Раунд1
Две круглые монеты положили на левую сторону весов, а одну на правую, так, чтобы весы были в равновесии. И какая из чаш перевесит, если каждую из монет заменить шариком того же радиуса? (Все шары и монеты сделаны полностью из одного материала, все монеты имеют одинаковую толщину.)
(Гальперин Г.А.)
2009 Ломоносовский Турнир 1 тур
На левую сторону весов положили два шара радиусами $3$ и $5$, на правую — один шар радиусом $8$. Какая из чаш перевесит? (Все мячи полностью сделаны из одного материала.)
2009 Турнир Ломоносова Раунд1
Нарисуйте многоугольник и точку на его границе так, чтобы любая линия, проходящая через эту точку, делила площадь этого многоугольника пополам.
2008 Турнир Ломоносова Раунд1
Египтяне вычисляли площадь выпуклого четырехугольника по формуле $(a+c)(b+d)/4$ , где $a,b,c,d$ — длины сторон при обходе туда и обратно заказ.
Найдите все четырехугольники, для которых верна эта формула.
(Сергеев П.В.)
2007 Турнир Ломоносова Раунд1
На рисунке изображена цифра $ABCD$ . Стороны $AB,CD$ и $AD$ этой фигуры являются отрезками (причем $AB\parallel CD$ и $AD\perp CD$), $BC$ является дугой окружности, и любая касательная к этой дуге отрезает от фигуры трапецию или прямоугольник. Объясните, как провести касательную к дуге $BC$ так, чтобы площадь сечения была наибольшей.
2006 Ломоносовский Турнир 1 тур
Маленький Петя перепилил все ножки квадратного табурета и потерял четыре отпиленных куска. Оказалось, что длины всех кусков разные, и что после этого табурет стоит на полу, пусть и наискось, но все же касаясь пола всеми четырьмя концами ножек. Дедушка решил починить табуретку, но нашел только три штуки длиной 8,9$ и 10$ см. Какой длины может быть четвертая часть?
2006 Турнир Ломоносова Раунд1 9о$ (именно в таком порядке). Маша ошиблась?
2004 Турнир Ломоносова 1 тур
Существует ли многогранник, все грани которого равнобедренные прямоугольные треугольники?
2004 Турнир Ломоносова Раунд1
Дан треугольник со сторонами $AB=2$,$BC=3$,$AC=4$.
Вписанная окружность касается $BC$ в точке $M$. Соедините точку $M$ с точкой $A$. В треугольники $AMB$ и $AMC$ вписаны окружности. Найдите расстояние между точками их касания с прямой $AM$ .
2003 Турнир Ломоносова 1 тур
Существует ли тетраэдр, все грани которого равнобедренные треугольники, и никакие два из них не равны?
2003 Турнир Ломоносова 1 тур
Отмечены четыре вершины квадрата. Отметьте еще четыре точки так, чтобы на всех серединных перпендикулярах к отрезкам с концами в отмеченных точках было по две отмеченные точки.
2002 Турнир Ломоносова 1 тур
Многогранник вписан в сферу. Может ли этот многогранник быть невыпуклым? (Многогранник вписан в сферу, если все концы его ребер лежат на сфере.)
2002 Турнир Ломоносова Раунд1
Дан квадрат со стороной $1$. Каждая сторона разделена на три равные части. Отрезки проводятся через точки деления (см. рис.). Найдите площадь заштрихованного квадрата.
2002 Турнир Ломоносова 1 тур
Дана прямая и точка вне ее.
Как с помощью циркуля и линейки построить прямую линию, параллельную заданной линии и проходящую через заданную точку, при этом начертив как можно меньше линий (кругов и линий) так, чтобы последней нарисованной линией была та линия, которую вы ищете за? Сколько линий вам удалось достичь? 9о $ . Может ли это быть так?
2001 Турнир Ломоносова Раунд1
Незнайка считает, что только равносторонний треугольник можно разрезать на три равных треугольника. Он прав?
2000 Турнир Ломоносова 1
Перпендикуляры к сторонам проведены из точки $M$ внутри четырехугольника $ABCD$ . Основания перпендикуляров лежат внутри сторон. Обозначим эти точки: та, что лежит на стороне $AB$, проходит через $X$, та, что лежит на стороне $BC$, проходит через $Y$, та, что лежит на стороне $CD$, проходит через $Z$ , та, что лежит на стороне $DA$, проходит через $T$ . Известно, что $AX\ge XB$, $BY\ge YC$,$CZ\ge ZD$, $DT\ge TA$ . Докажите, что вокруг четырехугольника $ABCD$ можно описать окружность.
1999 Турнир Ломоносова Раунд1
Треугольник $ABC$ вписан в окружность. Точка $D$ является серединой дуги $AC$ , точки $K$ и L выбраны на сторонах $AB$ и $CB$ соответственно так, что $KL$ параллельна $AC$ . Пусть $K’$ и $L’$ — точки пересечения прямых $DK$ и $DL$ соответственно с окружностью. Докажите, что вокруг четырехугольника $KLL’K’$ можно описать окружность.
1999 Турнир Ломоносова Раунд1
Шесть одинаковых параллелограммов площади $1$ склеили куб с ребром $1$. Можно ли сказать, что все параллелограммы квадраты? Можем ли мы сказать, что все они прямоугольники?
1998 Турнир Ломоносова Раунд1
$n$ Бумажные круги радиуса $1$ лежат на плоскости так, что их границы проходят через одну точку, причем эта точка находится внутри всей площади плоскости, покрытой кругами. Эта область представляет собой многоугольник с изогнутыми сторонами. Найдите его периметр.
(Кожевников П.А.)
1998 г. Ломоносовский Турнир 1
В треугольнике $ABC$ точки $A’,B’,C’$ лежат на сторонах $BC$,$CA$ ,$AB$ соответственно.
Известно, что $\угол AC’B’=\угол B’A’C$, $\угол CB’A’=\угол A’C’B$, $\угол BA’C’=\угол C’ Б’А$. Докажите, что точки $A’,B’,C’$ являются серединами сторон треугольника $ABC$ . 9o$, точка $D$ лежит на биссектрисе угла $A$ и $AD=AB+AC$. Докажите, что треугольник $DBC$ равносторонний.
1996 Турнир Ломоносова Раунд 1
Найдите сумму углов $MAN,MBN,MCN,MDN$ и $MEN$, нарисованных на сетке, как показано на рисунке.
1996 Турнир Ломоносова 1 тур
В окружности проведено несколько (конечное число) различных хорд, каждая из которых проходит через середину какой-либо другой хорды. Докажите, что все эти хорды являются диаметрами окружности.
1996 Турнир Ломоносова Раунд1
Высота длины $AB$ правой трапеции $ABCD$ равна сумме длин оснований $AD$ и $BC$ . В каком отношении биссектриса угла B делит сторону $CD$?
1995 Турнир Ломоносова Раунд1
$M_a,M_b,M_c$ — середины сторон, $H_a,H_b,H_c$ — футы высот треугольника $ABC$, площади $S$ .
Докажите, что из отрезков $M_aH_b,M_bH_c,M_cH_a$ можно построить треугольник и найти его площадь.
1995 г. Турнир Ломоносова 1 тур
Прямоугольник $ABCD$ ($AB=a$,$BC=b$) был сложен так, что получился пятиугольник площади $S$ ($C$ лежит в $A$). Докажите, что $S<3/4ab$ .
1994 Турнир Ломоносова 1 тур
На плоскости даны два круга, один внутри другого. Построить точку $O$ так, чтобы одна окружность получалась из другой гомотетией относительно точки $O$ (иными словами, чтобы при растяжении плоскости из точки $O$ с некоторым коэффициентом одна окружность переводилась в другую) .
1993 Турнир Ломоносова Раунд1
Вершины $A,B,C$ треугольника соединены с точками $A_1,B_1,C_1$, лежащими на противоположных сторонах (не в вершинах). Могут ли середины отрезков $AA_1,BB_1,CC_1$ лежать на одной прямой?
1992 Турнир Ломоносова Раунд1
В треугольнике $ABC$ угол $A$ больше угла $B$ . Докажите, что длина стороны $BC$ больше половины длины стороны $AB$.
1991 Турнир Ломоносова Раунд1
В треугольнике $ABC$ на стороне $AB$ выбрана точка $D$ так, что $\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}$. Докажите, что угол $C$ тупой.
1991 Турнир Ломоносова Раунд1
Окружность $\omega_2$ проведена через центр окружности $\omega_1$, точки пересечения окружностей $A$ и $B$. Касательная к окружности $\omega_2$ в точке $B$ пересекает окружность $\omega_1$ в точке $C$. Докажите, что $AB=BC$.
1990 Турнир Ломоносова Раунд1
Вершины равностороннего треугольника $MNP$ расположены на сторонах $AB,CD$ и $EF$ правильного шестиугольника $ABCDEF$. Докажите, что треугольник $MNP$ и шестиугольник $ABCDEF$ имеют общий центр.
(Седракян Н.)
1990 Турнир Ломоносова 1 тур
Можно ли нарисовать на плоскости $12$ кругов так, чтобы каждый касался ровно пяти других?
1989 Турнир Ломоносова 1 тур
На плоскости даны три попарно пересекающиеся окружности. Через точки пересечения каждых двух из них проводится линия.
Докажите, что эти три прямые пересекаются в одной точке или параллельны.
1989 г. Турнир Ломоносова Раунд1
Пусть $a,b,c$ — длины сторон треугольника, $A,B,C$ — значения противоположных углов.
Докажите, что $a A+b B+cC \ge aB+b C+cA$.
1989 Турнир Ломоносова Раунд1
Восстановить
а) треугольник,
б) пятиугольник
с серединами сторон.
1989 Турнир Ломоносова Тур1
Даются два круга и очко. Начертите отрезок, концы которого лежат на данных окружностях, а середина находится в данной точке.
1988 Турнир Ломоносова Раунд1
В треугольнике две высоты не меньше сторон, на которых они проведены. Найдите углы треугольника.
1988 Турнир Ломоносова Раунд1
В круге отмечена точка. Разрежьте круг на
а) три части
б) две части
так, чтобы из них можно было сделать новый круг, с отмеченной точкой в центре.
1987 Турнир Ломоносова 1 тур
Дан выпуклый пятиугольник.
Каждая диагональ отсекает от него треугольник. Докажите, что сумма площадей треугольников больше площади пятиугольника.
1987 Турнир Ломоносова Раунд1
Докажите, что сумма диагоналей выпуклого четырехугольника меньше его периметра, но больше полупериметра.
1987 Турнир Ломоносова Раунд1
Брат и сестра делят треугольный торт так: он указывает точку на торте, а она проводит прямую, проходящую через эту точку, и выбирает себе кусочек. Каждый хочет получить кусок как можно больше. Где брату положить конец? Какую часть пирога получит каждый в этом случае?
1987 Турнир Ломоносова Раунд1
На плоскости даны четыре точки, не лежащие на одной прямой. Докажите, что существует неостроугольный треугольник с вершинами в этих точках.
5-й МЕЖДУНАРОДНЫЙ КОМАНДНЫЙ ТУРНИР СТАРШЕКЛАССНИКОВ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ – АМПК МГУ
Дорогие друзья!
В связи с эпидемической обстановкой в Москве в онлайн-формате прошел 5-й командный Турнир по математическому моделированию среди старшеклассников ( ММТ ).
Даты: 29 октября — 6 ноября 2022
ОрганизаторыЦентр повышения квалификации и науки МГУ — Колмогоровская школа,
Механико-математический факультет МГУ им. по: Российская академия наук, Клуб выпускников АОНЦ МГУ.
ПрограммаХронометраж Московское время, UTC+3ч
Открытие Турнира , онлайн тур, суббота 29 октября, 12:00
MMC (Mammoth): начало: суббота 29 окт, 14:00, выдача задачи; окончание: вторник, 1 ноября, 14:00, крайний срок подачи решения.
MATS (Primate): Среда, 2 ноября, 10:00-12:00
MAU (Losbter): Четверг, 3 ноября, 10:00-12:00
Конкурс по оптимизации (Goat): Пятница 4 ноября, 10:00-12:00
Презентация решений MMC : Суббота, 5 ноября, начало в 9:30
Закрытие турнира, объявление результатов : Воскресенье 06 ноября в 11:00
4.
11 Опубликованы результаты, задачи и решения ВСУ
3.11 Объявлены сроки проверки и формат обращений См.
23 30 90 «Вопросы и ответы» в разделе «Мамонт»
Решения MATS
Конкурс оптимизацииИнформация о DLC
Чат 4 ноября 10:00-12:15 9033 Результаты будут доступны в течение дня 5 ноября. Обжалования нет. Все российские и иностранные участники освобождаются от платы за участие, при этом количество команд-участников ограничено до 2-х от образовательного учреждения (школы) Плата за участие
Регистрация на Турнир Система «Личный кабинет» АОНЦ МГУ. Регистрация
закрыта.
Инструкции по регистрации
Формат
Участвующие старшеклассники должны быть организованы в команды не более чем из 4 человек, которые представляют школу, учебную группу, город или регион, и их сопровождает консультант/тренер. Допустимо, что в состав команд могут входить учащиеся из разных школ, городов или регионов.