Решение неравенства, содержащего дробную и целую части числа

Список литературы

1. В.А. Кирзимов, Центр образования “Царицыно” № 548, М. 2000 г.
2. Милованова Л.Н. Функции и их исследование.- М.: Академия педагогических наук РСФСР, 1958 г.
3. Глаголева Е.Г. Серебринкова Л.Г. Метод координат
4. Евсюк С.Л.  Математика. Решение задач повышенной сложности. Минск “Мисанта” 2003 г.
5. Абрамов А. М. Ивлев Б.М. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа “Просвещение” 1990 г.

11.03.2005

Функция дробная часть числа

Функция «Дробная часть числа», ее свойства и график

Функция дробная часть числа имеет вид y = {x}.

1. Функция имеет смысл для всех значений переменной x, что следует из определения дробной части числа. Таким образом, область определения этой функции все действительные числа

2. Функция ни четная, ни нечетная. Область определения функции симметрична относительно начала координат, но не выполняется ни условие четности ( f (-x) = f (x) ), ни условие нечетности ( f (-x) = — f (x) ).

3. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом

4. Функция y = {x} принимает значения на интервале [0 ; 1), что следует из определения дробной части числа, т.е.

5. Из предыдущего свойства следует, что функция y = {x} ограничена.

6. Функция y = {x} непрерывна на каждом интервале [n ; n+1), где n — целое, в каждой точке n функция терпит разрыв первого рода. Скачок равен 1.

7. Функция y = {x} обращается в 0 при всех целых значениях x, что следует из определения функции. То есть нулями функции будут все целочисленные значения аргумента.

8. Функция y = {x} на всей области определения принимает только положительные

9. Функция строго монотонно возрастающая на каждом интервале [n; n+1), где n — целое число.

10. Точек экстремума функция не имеет, так как не меняет характер монотонности.

11. Учитывая свойства 6 и 9, на каждом интервале [n; n+1) функция y = {x} принимает минимальное значение в точке n.

12. График функции.

kus-lin.narod.ru

Открытый урок «Целая и дробная части числа»

Разделы: Математика

Цель.

• Углубление знаний по теме “Функции”, расширение математических познаний.
• Развитие учебно-познавательной деятельности обучающихся.

Тип урока: изучение нового

План урока:

1. Организационный момент.
2. Вступительное слово учителя.
3. Актуализация опорных знаний.
4. Формирование нового.
5. Первичное закрепление.
6. Рефлексия.

Приложение 1, Приложение 2

Ход урока

1. Организационный момент. Приветствие и знакомство с классом

2. Вступительное слово

Учитель: В последние годы задачи на решение уравнений с целой частью числа постоянно встречаются на олимпиадах и на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения. Такие задачи для нас являются непривычными и сложными. Но это можно преодолеть, если познакомиться с ними поближе.

3. Актуализация опорных знаний

Вы изучали различные функции, среди которых есть, например, линейная функция:

Ребята, еще какие функции вы знаете?

Квадратичная функция, обратная пропорциональность, дробно-рациональная функция.

Все они имеют графики: прямая, парабола, гипербола, (указать).

Есть еще и другие функции, с которыми вы познакомитесь в старшей школе.

Известно, что многие реальные процессы описываются непрерывными функциями. Например, зависимость пути движения тела от времени его движения, зависимость массы тела от его объема и др.

Но есть некоторые процессы, например, процесс работы электрических часов. Известно, что минутная стрелка этих часов движется скачкообразно: в промежутке между последовательными целыми минутами она находится в покое, а затем мгновенно меняет свое положение. Поэтому если показания минутной стрелки рассматривать как функцию времени, то её график представляет собой ступенчатую фигурку.

4. Формирование нового

Сначала введем определения.

Определение 1. Целой частью [x] числа x называется наибольшее целое число, не превосходящее x.

Согласно определению

Определение 2. Дробной частью числа x называется такое число {x}, что [x] + {x}=x.

Согласно определению

Например,

Если х – целое число,

В математике, целая часть или антье это функция, определённая на множестве вещественных чисел со значениями в целых числах. Целая часть числа обычно обозначается через или и определяется как наибольшее целое число, не превосходящее :

.

Целая часть х всегда удовлетворяет неравенству:

.

Целая часть является полунепрерывной сферху функцией.

Нули функции.

Пересечение:

с осью Ox: следовательно

с осью Oy:

Функция пересекает ось координат, и в промежутке [0;1) лежит на оси абсцисс.

Примеры

Дробная часть числа – функция, определённая на вещественных числах х и равная разности между х и целой частью (антье) числа х.

Дробная часть числа х обычно обозначается знаком . Например:

Свойства функции

Область определения

Область значений .

Функция периодична с периодом  Т = 1.

Выясним теперь, что представляет собой графики функций

рис.1

рис.2

5. Первичное закрепление

Найдите: а)

Решите уравнение:

а) [ x ] = 3. Данное уравнение равносильно неравенству

3 х < 4

Ответ: [ 3 ; 4 )

б) { x } = 0,1 х = 0,1 + m , m Z

6. Рефлексия

1. Что особенно сегодня вам запомнилось?
2. Интересно ли было на уроке?
3. Ваше настроение?

22.07.2010

urok.1sept.ru

Целая и дробная часть числа

Транскрипт

1 Краевая научно-практическая конференция учебно-исследовательски работ учащися 9- классов «Прикладные и фундаментальные вопросы математики» Методические аспекты изучения математики Целая и дробная часть числа Трапезников Семен Станиславович, 9 кл, МАОУ «Лицей», г Кунгур, Изергина Галина Семёновна, учитель математики высшей категории Пермь 4

2 Оглавление I Введение II Целая часть числа 4 Функция y=[](целая часть числа), её график и свойства 4 Пол числа, функция y= 6 Потолок числа, функция y= 6 4 Функция y=() 7 III Дробная часть числа и её родственники 8 Функция y={}(дробная часть числа), её график и 8 свойства Функция y={{}} 9 IV Свойства целой и дробной части V Преобразование графиков функций y=[], y={} VI Уравнения и неравенства с переменной под знаком целой и 4 дробной части 6 Решение уравнений, содержащи целую часть числа 4 6 Решения уравнений, содержащи дробную часть числа 6 6 Решения неравенств, содержащи дробную часть числа 7 64 Функционально — графический метод решения уравнений 8 VII Решение олимпиадны задач VIII Заключение IX Список литературы 4 X Приложения

3 IВведение Участвуя в олимпиада по математике, я столкнулся с трудностями при использовании таки понятий, как »целая» и »дробная» части числа Так, в году я принимал участие во Всероссийской математической олимпиаде имени Оленика, проводимой Центром имени Оленика и меанико математическим факультетом МГУ имени МВЛомоносова, и встретился с такой задачей «Найти число корней уравнения []+7{}=, где [] целая часть числа, а {} дробная часть числа» Проконсультировавшись у учителя математики, что такое целая и дробная часть числа я, смог решить эту задачу Я понял, что мне неободимо разобраться с этими понятиями, так как они представляли для меня сложность, как в теоретическом, так и практическом плане Данной темы нет в программе для общеобразовательны школ, и я поставил перед собой следующие цели: познакомиться с понятиями «целая» и «дробная» части числа; рассмотреть функции вида: y=[], y ={ }; y=(), y={{}}и други; самостоятельно рассмотреть свойства функций: целая и дробная части числа; 4 научиться решать уравнения и неравенства, содержащие целую и дробную части числа

4 II Целая часть числа Целой частью числа (или антье), от фр entier «антье» целый, называется наибольшее целое число n, не превышающее Целая часть числа обозначается символом [] 88 Например: [-,8] = -, [-] = -, [] =, [4,] = 4, [π] =, = 9, 9 = 6 В математике целая часть действительного числа округление до ближайшего целого в меньшую сторону В некоторы современны калькулятора имеется функция целой части числа INT Для отрицательны чисел данная функция определяется как INT(-)=-INT() Например, INT(-4,6)=-4 Функция y=[] (целая часть числа), её график и свойства График функции y=[] состоит из ступенек и как бы образует лестницу, идущую слева направо и снизу ввер, переодящую в себя при параллельном переносе на вектор = (,) Свойства функции y=[] 4

5 Область определенияфункция имеет смысл для все значений переменной, что следует из определения целой части числа и свойств числовы множеств Следовательно, ее областью определения является все множество действительны чисел: D([]) = R Область значений Множество значений функции y = [], это множество целы чисел (по определению целой части числа) E ([]) = Z Чётность,нечётностьФункция общего вида, те не выполняется ни условие четности: f (-) = f (),ни условие нечетности f (-) = — f () 4 ПериодичностьФункция y = [] не периодическая ОграниченностьФункция неограничена, так как множество значений функции все целые числа, множество целы чисел неограничено 6 НепрерывностьФункция разрывная Все целые значения точки разрыва с конечным скачком равным В каждой точке разрыва имеется непрерывность справа 7 Нули функциифункция принимает значение для все, принадлежащи интервалу [;), что следует из определения целой части числа Следовательно, нулями функции будут все значения этого интервала 8 Промежутки монотонности Учитывая свойства целой части числа функция y = [] принимает отрицательные значения при меньши нуля, и положительные значения при больши 9 Промежутки монотонности Функция y = [] кусочно — постоянная

6 Точки экстремуматочек экстремума функция не имеет, так как не меняет арактер монотонности Наибольшее и наименьшее значения функции Так как функция y = [] постоянна на каждом интервале [n ; n+), она не принимает наибольшего и наименьшего значений на области определения Наибольшего и наименьшего значения нет Пол числа, график функции y= В литературе также встречается термин «пол числа» и его обозначение Это то же самое, что и целая часть числа Следовательно, график полностью совпадает с графиком функции y=[] Потолок числа, график функции y= Содным образом определяется парная функция y= — потолок числа Это наименьшее целое число, не меньшее Например: = -, =, =4 График функции y=[] состоит из ступенек и как бы образует лестницу, идущую справа налево и сверу вниз, переодящую в себя при параллельном переносе на вектор = (-,-) 4Функция y=() Существует функция y=() ближайшее к целое число Если k ближайши к целы чисел два (когда =, где k целое число), то выбирают наибольшее из ни Например: (4,)=, (,)=, (-,)= — 6

7 III Дробная часть числа и её родственники Функция y={}(дробная часть числа), её график и свойства Дробной частью {} числа называется разность между числом и его целой частью: {}= — [] Например: {-,}=,7, =, { }= -, {} = График функции y={}: Свойства функции y={} Область определения Функция имеет смысл для все значений переменной, что следует из определения дробной части числа Таким образом, область определения этой функции все действительные числа: D({}) = R Область значений Функция y = {} принимает значения на интервале [ ; ), что следует из определения дробной части числа, те E({}) = [ ; ) Чётность,нечётностьФункция общего вида, не выполняется ни условие четности f (-) = f (), ни условие нечетности f (-) = — f () 7

8 4 Периодичность Функция периодическая с наименьшим положительным периодом T = ОграниченностьИз области значений функции следует, что функция y = {} ограничена 6 НепрерывностьФункция y = {} непрерывна на каждом интервале [n ; n+), где n целое, в каждой точке n функция терпит разрыв первого рода Скачок равен 7 Нули функциифункция y = {} обращается в при все целы значения, что следует из определения функции То есть нулями функции будут все целочисленные значения аргумента 8 Промежутки монотонности Функция y = {} на всей области определения принимает только положительные значения 9 Промежутки монотонности Функция, строго монотонно возрастающая на каждом интервале [n; n+), где n целое число Точки экстремуматочек экстремума функция не имеет, так как не меняет арактер монотонности Наибольшее и наименьшее значения функции На каждом интервале [n; n+) функция y = {} принимает наименьшее значение, равное нулю, в точке n Функция y={{}} С дробной частью тесно связана ещё одна функция: y={{}} расстояние от до ближайшего целого числа В отличие от дробной части y={{}} непрерывна на области определения График функции: 8

9 IV Свойства целой и дробной части =[]+{} (любое число равно сумме целой и дробной частей) [] <[]+ (любое число больше своей целой части, но меньше целой части, увеличенной на ) Если р — целое число, то [ + p]= []+ p 4 Для любы действительны чисел и у справедливо [+y] []+[y] частей слагаемы) (целая часть суммы дву чисел не меньше суммы целы Если [] = [у], то — y < (если целые части дву чисел равны, то модуль и разности меньше ) 6Если p — целое число, не равное, то p = p 7 Если < у, то [] < [у] (если одно число меньше другого, то и его целая часть тоже меньше) 8Для любого действительного справедливо [[]] = [] [ ] 9 Если [] + {y} =, то { y} Если p = [] + {}, то p= Если p натуральное, то {p{}} = {p} () = [ + ] {{}} = { + } — 9

10 V Преобразование графиков функций y=[], y={} ) y = [] сжатие вдоль оси OX в раза у ) y = {} сжатие у вдоль оси OX в раза

11 у ) y = [] растяжение вдоль оси OY в раза \ у 4) y = {} растяжение вдоль оси OY в раза

12 ) у у 4 6) у у

13 VI Уравнения и неравенства с переменной под знаком целой и дробной части 6 Решение уравнений, содержащи целую часть числа: Ответ :, 4 6, Ответ :,4,9 Ответ :, Ответ : решений нет ; Ответ :, 6,,,,8,8 Ответ : ; 4 6,;,,4;,9

14 ** * ** *, ;, 7,, D D Решение системы неравенств: ; 7 ; ), корень посторонний в 8 7 ; ; ), корень постор г 8 ; : Ответ корни посторонние б нет решений а,,, 7 ; 7 ) 7 )

15 6 Решение уравнений, содержащи дробную часть числа: любое целое число Ответ : :,, ), ) ) )( ( } { ] [ }) { ] ([ Ответ З О Д корень посторонний З О Д то Если корень посторонний З О Д то Если З О Д

16 6 6 Решение неравенств, содержащи дробную и целую части числа ) ) (; ) ; ( : ) ; ( ;,, ) ) (; ;,, ) ] [ } { 8 ] [ } { Ответ то Если то Если З О Д

17 )Решите неравенство Решение: Если неравенство неравенство a, так как a справедливо при a R, то выполняется, то исодное неравенство равносильно неравенству 4, решением которого являются (-; ) (; ) 6 Ответ: (-; ) (; ) 6 ) Докажите неравенство 4 Доказательство: Так как, то неравенство представимо в виде ( ) 4 ( ) 4 что, очевидно, верно при любы значения Неравенство доказано 64 Функционально — графический метод решения уравнений, у ) = {} y =- y ={}, Ответ:, 7

18 у ) [] = {} y =[] y ={} Ответ:, у ),[] = y = y =,[] Ответ: Решений нет 8

19 Задача (V Соросовская олимпиада) Решите систему уравнений VIIРешение олимпиадны задач y z y z z y,9, Решение: Пусть a, b y, y, c z, z числа,,,,, где a, b, c целые В эти обозначения система имеет вид a и,9 b c, c Складывая уравнения системы, получим (a+b+c+α+β+γ)=9,4, то есть (a+b+c+α+β+γ)=4,7 Вычитая из полученного уравнения последовательно первое, второе и третье уравнения системы, имеем c,8 a, b,7, откуда следует, что с=, β=,8, a=, γ=,, b=, α=,7 имеет Ответ: (,7;,8;,) Задача Решите уравнение Решение: Найдём ОДЗ системы: Рассмотрим два случая: и Если, то и Если же, то В этом случае уравнение решений не и уравнение принимает вид, откуда 4 9

20 Задача Решите систему уравнений y y y Решение: Решение системы проведём графическим способом Уравнение y y определяет на плоскости кривую, состоящую из дву дуг гипербол и дуги окружности Если k<<k +, k Z, то [] = k, а [у] = -k и -k < у <- k Поэтому уравнение y определяет множество точек (;y) плоскости, координаты которы удовлетворяют системе неравенств k y k k k, k Z Эти точки образуют единичные квадраты Очевидно, что указанные линии имеют две общие точки (;) и (;) Ответ: (;l), (l;) Задача 4 Решите уравнение Решение: Так как, то уравнение принимает вид Сделав замену,, b a получим ) ( b a b a ab b a b a b a Данное квадратное уравнение не имеет корней (относительно b a ) при a и b Ответ: решений нет

21 VIIIЗаключение Тема «Целая и дробная части числа» — очень сложная и интересная часть математики Эти понятия широко используются в теории чисел, теории вероятностей и други раздела математики, а также в смежны наука Я рад, что узнал много нового, самостоятельно смог описать свойства функций целой и дробной части, научился решать уравнения и неравенства, содержащие целую и дробную части числа Считаю, что я буду чувствовать себя уверенно, если на олимпиада встретятся задачи, содержащие эти понятия К сожалению, современная школьная программа не предусматривает изучение данной темы Однако, в оде своего исследования я пришёл к выводу, что данный материал можно использовать на факультатива, на занятия математически кружков, начиная с пятого и заканчивая одиннадцатыми классами, и, конечно, при подготовке к олимпиадам А задачу, описанную во ведении, я решил так: «Найти число корней уравнения []+7{}=, где [] целая часть числа, а {} дробная часть числа» [] + 7{} = [ ] = — 7{} [] = ( — 7{}) / Оценим правую часть этого уравнения {} < < {} 7 < 7{} 7 < 7{} 98 < 7{} 97 < 7{} 4 4

22 97 < [] 4 [] 98, 99, 4, 4, 4 Мы нашли целые части чисел А так как нужно было количество чисел, то чисел будет и и дробные части можно не искать Ответ: чисел

23 IXСписок литературы Евсюк СЛ Математика Решение задач повышенной сложности Минск «Мисанта» г, с 44 Абрамов А М Ивлев БМ Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа «Просвещение» 99 г ВН Березин, ИЛ Никольская, ЛЮ Березина Сборник задач для факультативны и внеклассны занятий по математике, — М: 98 4 Вороной АН Уравнение с переменной под знаком целой или дробной части Журнал «Математика в школе», г, с часть 6

24 XПриложение (Они получаются при извлечении корней с точностью до, с недостатком и избытком) Сложив эти неравенства, получим +,7+,+,+,4 < < +,8+,6+,+, Те,< <,4 и, следовательно, []= Заметим, что число, отличается от не более чем на, Задача Найти наименьшее натуральное число m, для которого 4

25 Проверка показывает, что при k = и при k = полученное неравенство, не выполняется ни для какого натурального m, а при к = имеет решение m = Значит, искомое число равно Ответ: Задача Решить уравнение:

26 Задача 4 Решить уравнение По определению целой части полученное уравнение равносильно двойному неравенству 6

27 Задача Решить уравнение Решение: если два числа имеют одинаковую целую часть, то и разность по абсолютной величине меньше, и поэтому из данного уравнения следует неравенство 7

28 И поэтому, во-первы,, а во-вторы, в сумме, стоящей в середине полученного двойного неравенства, все слагаемые, начиная с третьего, равны, так что < 7 Поскольку целое число, то остается проверить значения от до 6 Решениями уравнения оказываются числа,4 и Ответ: ; 4; Задача 7 Решить систему уравнение 8

29 Ответ: (4;) 9

30 Задача 8 Найти число корней уравнения Преобразуем, неравенство к виду, откуда получим, что искомое количество целы чисел равно Значит, число корней данного уравнения равно Ответ: Задача 9 (Соросовская олимпиада) Решить уравнение