cart-icon Товаров: 0 Сумма: 0 руб.
г. Нижний Тагил
ул. Карла Маркса, 44
8 (902) 500-55-04

График функции дробная часть числа – Функция дробная часть числа | Алгебра

Функция дробная часть числа | Алгебра

Определение

Дробной частью действительного числа называется разность между этим числом и его целой частью.

Дробную часть числа x обозначают {x}.

По определению, {x}=x-[x].

Для любого x∈R  0≤{x}<1.

В частности, если n — целое число (n∈Ζ), {n}=0.

Примеры.

Вычислить дробную часть {x} числа x, если x принимает значения:

9,43; 0,3; -0,56; 12 3/7; 2/9; -4/15; 20; -11.

Решение:

{9,43}=9,43-[9,43]=9,43-9=0,43;

{0,3}=0,3-[0,3]=0,3-0=0,3;

{-0,56}=-0,56-[-0,56]=-0,56-(-1)=-0,56+1=0,44.

   

   

   

   

{20}=0;

{-11}=0.

Определение

Функцию, ставящую в соответствие каждому значению x дробную часть этого числа — число {x}, называют функцией дробной части числа и обозначают y={x}.

Функция дробная часть числа определена на множестве действительных чисел: x∈R.

Область значений функции — полуинтервал y∈[0;1).

Утверждение.

Если k∈Ζ, то {x+k}={x}.

Доказательство:

По определению дробной части числа {x+k}=x+k-[x+k].

По свойству целой части числа [x+k]=[x]+k.

Следовательно, {x+k}=x+k-[x+k]=x+k-[x]-k=x-[x]={x}.

Что и требовалось доказать.

Из утверждения следует, что на каждом промежутке вида [k; k+1), где k∈Z, график функции  y={x} имеет одинаковый вид.

При k=0 x∈ [0; 1), [x]=0.

Отсюда y={x}=x-[x]=x-0=x.

То есть при x∈ [0; 1) y=x.

График функции y={x}

Стрелки на графике показывают, что правые концы отрезков не принадлежат графику.

Другой вариант показать, что левые концы отрезков принадлежат графику, а правые — не принадлежат, изобразить их, соответственно, закрашенными и выколотыми точками.

Поскольку {x+k}= {x}, функция дробная часть числа является периодической. Её период T=k — любое целое число, отличное от нуля.

Наименьший положительный период (главный период) T=1.

www.algebraclass.ru

Целая и дробная части числа

Разделы: Математика


Введение

Участвуя в олимпиадах по математике, я столкнулся с трудностями при использовании таких понятий, как »целая» и »дробная» части числа. Эти понятия представляют наибольшую сложность как в логическом, так и в техническом плане. Так как данной темы нет в программе для общеобразовательных школ, то я поставил перед собой следующие цели:

  1. Познакомиться с понятиями »целая» и »дробная» части числа.
  2. Уметь применять эти понятия при решении уравнений и неравенств.
  3. Рассмотреть функции вида: y=[x] и y={x} их графики и свойства.

Целая часть числа

Целой частью числа x называется наибольшее целое число n, не превышающее x. Целая часть числа x обозначается символом [x] или (реже) E(x) (от фр. entier «антье» — целый).

Примеры: [2,6] = 2; [- 2,6] = -3.

Свойство целой части числа:

Если x принадлежит интервалу [n; n +1), где n — целое число, то [x]=n, т.е. x находится в интервале [ [x]; [x]+1). Значит [x]  x < [x] + 1.

Решение уравнений, содержащих целую часть числа

Решение системы неравенств:


     

Дробная часть числа

Дробной частью числа называют разность между самим числом x и его целой частью.

Примеры: {2,81} = 0, 81; {-0,2} = 0,8

Свойство дробной части числа:

Дробная часть числа всегда неотрицательна и не превышает 1, т.е.

Решение уравнений, содержащих дробную часть числа


Решение неравенства, содержащего дробную и целую части числа


Продолжение (функция у=[x], ее свойства и график; функция у={x}, ее свойства и график; преобразование графиков в системе координат; графики, содержащие целую и дробную части; графическое решение уравнений, содержащих целую и дробную части числа)

Заключение

В ходе своего исследования я пришёл к выводу, что данный материал можно использовать на факультативах, элективных уроках, при подготовке к олимпиадам и вступительным экзаменам в ВУЗ.

Список литературы

  1. В.А. Кирзимов, Центр образования “Царицыно” № 548, М. 2000 г.
  2. Милованова Л.Н. Функции и их исследование.- М.: Академия педагогических наук РСФСР, 1958 г.
  3. Глаголева Е.Г. Серебринкова Л.Г. Метод координат
  4. Евсюк С.Л.  Математика. Решение задач повышенной сложности. Минск “Мисанта” 2003 г.
  5. Абрамов А. М. Ивлев Б.М. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа “Просвещение” 1990 г.

11.03.2005

Поделиться страницей:

urok.1sept.ru

Функция дробная часть числа

Функция дробная часть числа

Функция «Дробная часть числа», ее свойства и график

Функция дробная часть числа имеет вид y = {x}.

1. Функция имеет смысл для всех значений переменной x, что следует из определения дробной части числа. Таким образом, область определения этой функции все действительные числа

D({x}) = R.

2. Функция ни четная, ни нечетная. Область определения функции симметрична относительно начала координат, но не выполняется ни условие четности ( f (-x) = f (x) ), ни условие нечетности ( f (-x) = — f (x) ).

3. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом

T = 1.

4. Функция y = {x} принимает значения на интервале [0 ; 1), что следует из определения дробной части числа, т.е.

E({x}) = [0 ; 1).

5. Из предыдущего свойства следует, что функция y = {x} ограничена.

6. Функция y = {x} непрерывна на каждом интервале [n ; n+1), где n — целое, в каждой точке n функция терпит разрыв первого рода. Скачок равен 1.

7. Функция y = {x} обращается в 0 при всех целых значениях x, что следует из определения функции. То есть нулями функции будут все целочисленные значения аргумента.

8. Функция y = {x} на всей области определения принимает только положительные

значения.

9. Функция строго монотонно возрастающая на каждом интервале [n; n+1), где n — целое число.

10. Точек экстремума функция не имеет, так как не меняет характер монотонности.

11. Учитывая свойства 6 и 9, на каждом интервале [n; n+1) функция y = {x} принимает минимальное значение в точке n.

12. График функции.

kus-lin.narod.ru

Открытый урок «Целая и дробная части числа»

Разделы: Математика


Цель.

  • Углубление знаний по теме “Функции”, расширение математических познаний.
  • Развитие учебно-познавательной деятельности обучающихся.

Тип урока: изучение нового

План урока:

  1. Организационный момент.
  2. Вступительное слово учителя.
  3. Актуализация опорных знаний.
  4. Формирование нового.
  5. Первичное закрепление.
  6. Рефлексия.

Приложение 1, Приложение 2

Ход урока

1. Организационный момент. Приветствие и знакомство с классом

2. Вступительное слово

Учитель: В последние годы задачи на решение уравнений с целой частью числа постоянно встречаются на олимпиадах и на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения. Такие задачи для нас являются непривычными и сложными. Но это можно преодолеть, если познакомиться с ними поближе.

3. Актуализация опорных знаний

Вы изучали различные функции, среди которых есть, например, линейная функция:

у = ах + в.

Ребята, еще какие функции вы знаете?

Квадратичная функция, обратная пропорциональность, дробно-рациональная функция.

Все они имеют графики: прямая, парабола, гипербола, (указать).

Есть еще и другие функции, с которыми вы познакомитесь в старшей школе.

Известно, что многие реальные процессы описываются непрерывными функциями. Например, зависимость пути движения тела от времени его движения, зависимость массы тела от его объема и др.

Но есть некоторые процессы, например, процесс работы электрических часов. Известно, что минутная стрелка этих часов движется скачкообразно: в промежутке между последовательными целыми минутами она находится в покое, а затем мгновенно меняет свое положение. Поэтому если показания минутной стрелки рассматривать как функцию времени, то её график представляет собой ступенчатую фигурку.

4. Формирование нового

Сначала введем определения.

Определение 1. Целой частью [x] числа x называется наибольшее целое число, не превосходящее x.

Согласно определению

Определение 2. Дробной частью числа x называется такое число {x}, что [x] + {x}=x.

Согласно определению

Например,

Если х – целое число,

В математике, целая часть или антье это функция, определённая на множестве вещественных чисел со значениями в целых числах. Целая часть числа обычно обозначается через или и определяется как наибольшее целое число, не превосходящее :

.

Целая часть х всегда удовлетворяет неравенству:

.

Целая часть является полунепрерывной сферху функцией.

Нули функции.

Пересечение:

с осью Ox: следовательно

с осью Oy:

Функция пересекает ось координат, и в промежутке [0;1) лежит на оси абсцисс.

Примеры

Дробная часть числа – функция, определённая на вещественных числах х и равная разности между х и целой частью (антье) числа х.

Дробная часть числа х обычно обозначается знаком . Например:

Свойства функции

Область определения

Область значений .

Функция периодична с периодом  Т = 1.

Выясним теперь, что представляет собой графики функций

рис.1

рис.2

5. Первичное закрепление

Найдите: а)

Решите уравнение:

а) [ x ] = 3. Данное уравнение равносильно неравенству

3 х < 4

Ответ: [ 3 ; 4 )

б) { x } = 0,1 х = 0,1 + m , m Z

6. Рефлексия

  1. Что особенно сегодня вам запомнилось?
  2. Интересно ли было на уроке?
  3. Ваше настроение?

22.07.2010

Поделиться страницей:

urok.1sept.ru

Целая и дробная часть числа

Транскрипт

1 Краевая научно-практическая конференция учебно-исследовательски работ учащися 9- классов «Прикладные и фундаментальные вопросы математики» Методические аспекты изучения математики Целая и дробная часть числа Трапезников Семен Станиславович, 9 кл, МАОУ «Лицей», г Кунгур, Изергина Галина Семёновна, учитель математики высшей категории Пермь 4

2 Оглавление I Введение II Целая часть числа 4 Функция y=[](целая часть числа), её график и свойства 4 Пол числа, функция y= 6 Потолок числа, функция y= 6 4 Функция y=() 7 III Дробная часть числа и её родственники 8 Функция y={}(дробная часть числа), её график и 8 свойства Функция y={{}} 9 IV Свойства целой и дробной части V Преобразование графиков функций y=[], y={} VI Уравнения и неравенства с переменной под знаком целой и 4 дробной части 6 Решение уравнений, содержащи целую часть числа 4 6 Решения уравнений, содержащи дробную часть числа 6 6 Решения неравенств, содержащи дробную часть числа 7 64 Функционально — графический метод решения уравнений 8 VII Решение олимпиадны задач VIII Заключение IX Список литературы 4 X Приложения

3 IВведение Участвуя в олимпиада по математике, я столкнулся с трудностями при использовании таки понятий, как »целая» и »дробная» части числа Так, в году я принимал участие во Всероссийской математической олимпиаде имени Оленика, проводимой Центром имени Оленика и меанико математическим факультетом МГУ имени МВЛомоносова, и встретился с такой задачей «Найти число корней уравнения []+7{}=, где [] целая часть числа, а {} дробная часть числа» Проконсультировавшись у учителя математики, что такое целая и дробная часть числа я, смог решить эту задачу Я понял, что мне неободимо разобраться с этими понятиями, так как они представляли для меня сложность, как в теоретическом, так и практическом плане Данной темы нет в программе для общеобразовательны школ, и я поставил перед собой следующие цели: познакомиться с понятиями «целая» и «дробная» части числа; рассмотреть функции вида: y=[], y ={ }; y=(), y={{}}и други; самостоятельно рассмотреть свойства функций: целая и дробная части числа; 4 научиться решать уравнения и неравенства, содержащие целую и дробную части числа

4 II Целая часть числа Целой частью числа (или антье), от фр entier «антье» целый, называется наибольшее целое число n, не превышающее Целая часть числа обозначается символом [] 88 Например: [-,8] = -, [-] = -, [] =, [4,] = 4, [π] =, = 9, 9 = 6 В математике целая часть действительного числа округление до ближайшего целого в меньшую сторону В некоторы современны калькулятора имеется функция целой части числа INT Для отрицательны чисел данная функция определяется как INT(-)=-INT() Например, INT(-4,6)=-4 Функция y=[] (целая часть числа), её график и свойства График функции y=[] состоит из ступенек и как бы образует лестницу, идущую слева направо и снизу ввер, переодящую в себя при параллельном переносе на вектор = (,) Свойства функции y=[] 4

5 Область определенияфункция имеет смысл для все значений переменной, что следует из определения целой части числа и свойств числовы множеств Следовательно, ее областью определения является все множество действительны чисел: D([]) = R Область значений Множество значений функции y = [], это множество целы чисел (по определению целой части числа) E ([]) = Z Чётность,нечётностьФункция общего вида, те не выполняется ни условие четности: f (-) = f (),ни условие нечетности f (-) = — f () 4 ПериодичностьФункция y = [] не периодическая ОграниченностьФункция неограничена, так как множество значений функции все целые числа, множество целы чисел неограничено 6 НепрерывностьФункция разрывная Все целые значения точки разрыва с конечным скачком равным В каждой точке разрыва имеется непрерывность справа 7 Нули функциифункция принимает значение для все, принадлежащи интервалу [;), что следует из определения целой части числа Следовательно, нулями функции будут все значения этого интервала 8 Промежутки монотонности Учитывая свойства целой части числа функция y = [] принимает отрицательные значения при меньши нуля, и положительные значения при больши 9 Промежутки монотонности Функция y = [] кусочно — постоянная

6 Точки экстремуматочек экстремума функция не имеет, так как не меняет арактер монотонности Наибольшее и наименьшее значения функции Так как функция y = [] постоянна на каждом интервале [n ; n+), она не принимает наибольшего и наименьшего значений на области определения Наибольшего и наименьшего значения нет Пол числа, график функции y= В литературе также встречается термин «пол числа» и его обозначение Это то же самое, что и целая часть числа Следовательно, график полностью совпадает с графиком функции y=[] Потолок числа, график функции y= Содным образом определяется парная функция y= — потолок числа Это наименьшее целое число, не меньшее Например: = -, =, =4 График функции y=[] состоит из ступенек и как бы образует лестницу, идущую справа налево и сверу вниз, переодящую в себя при параллельном переносе на вектор = (-,-) 4Функция y=() Существует функция y=() ближайшее к целое число Если k ближайши к целы чисел два (когда =, где k целое число), то выбирают наибольшее из ни Например: (4,)=, (,)=, (-,)= — 6

7 III Дробная часть числа и её родственники Функция y={}(дробная часть числа), её график и свойства Дробной частью {} числа называется разность между числом и его целой частью: {}= — [] Например: {-,}=,7, =, { }= -, {} = График функции y={}: Свойства функции y={} Область определения Функция имеет смысл для все значений переменной, что следует из определения дробной части числа Таким образом, область определения этой функции все действительные числа: D({}) = R Область значений Функция y = {} принимает значения на интервале [ ; ), что следует из определения дробной части числа, те E({}) = [ ; ) Чётность,нечётностьФункция общего вида, не выполняется ни условие четности f (-) = f (), ни условие нечетности f (-) = — f () 7

8 4 Периодичность Функция периодическая с наименьшим положительным периодом T = ОграниченностьИз области значений функции следует, что функция y = {} ограничена 6 НепрерывностьФункция y = {} непрерывна на каждом интервале [n ; n+), где n целое, в каждой точке n функция терпит разрыв первого рода Скачок равен 7 Нули функциифункция y = {} обращается в при все целы значения, что следует из определения функции То есть нулями функции будут все целочисленные значения аргумента 8 Промежутки монотонности Функция y = {} на всей области определения принимает только положительные значения 9 Промежутки монотонности Функция, строго монотонно возрастающая на каждом интервале [n; n+), где n целое число Точки экстремуматочек экстремума функция не имеет, так как не меняет арактер монотонности Наибольшее и наименьшее значения функции На каждом интервале [n; n+) функция y = {} принимает наименьшее значение, равное нулю, в точке n Функция y={{}} С дробной частью тесно связана ещё одна функция: y={{}} расстояние от до ближайшего целого числа В отличие от дробной части y={{}} непрерывна на области определения График функции: 8

9 IV Свойства целой и дробной части =[]+{} (любое число равно сумме целой и дробной частей) [] <[]+ (любое число больше своей целой части, но меньше целой части, увеличенной на ) Если р — целое число, то [ + p]= []+ p 4 Для любы действительны чисел и у справедливо [+y] []+[y] частей слагаемы) (целая часть суммы дву чисел не меньше суммы целы Если [] = [у], то — y < (если целые части дву чисел равны, то модуль и разности меньше ) 6Если p — целое число, не равное, то p = p 7 Если < у, то [] < [у] (если одно число меньше другого, то и его целая часть тоже меньше) 8Для любого действительного справедливо [[]] = [] [ ] 9 Если [] + {y} =, то { y} Если p = [] + {}, то p= Если p натуральное, то {p{}} = {p} () = [ + ] {{}} = { + } — 9

10 V Преобразование графиков функций y=[], y={} ) y = [] сжатие вдоль оси OX в раза у ) y = {} сжатие у вдоль оси OX в раза

11 у ) y = [] растяжение вдоль оси OY в раза \ у 4) y = {} растяжение вдоль оси OY в раза

12 ) у у 4 6) у у

13 VI Уравнения и неравенства с переменной под знаком целой и дробной части 6 Решение уравнений, содержащи целую часть числа: Ответ :, 4 6, Ответ :,4,9 Ответ :, Ответ : решений нет ; Ответ :, 6,,,,8,8 Ответ : ; 4 6,;,,4;,9

14 ** * ** *, ;, 7,, D D Решение системы неравенств: ; 7 ; ), корень посторонний в 8 7 ; ; ), корень постор г 8 ; : Ответ корни посторонние б нет решений а,,, 7 ; 7 ) 7 )

15 6 Решение уравнений, содержащи дробную часть числа: любое целое число Ответ : :,, ), ) ) )( ( } { ] [ }) { ] ([ Ответ З О Д корень посторонний З О Д то Если корень посторонний З О Д то Если З О Д

16 6 6 Решение неравенств, содержащи дробную и целую части числа ) ) (; ) ; ( : ) ; ( ;,, ) ) (; ;,, ) ] [ } { 8 ] [ } { Ответ то Если то Если З О Д

17 )Решите неравенство Решение: Если неравенство неравенство a, так как a справедливо при a R, то выполняется, то исодное неравенство равносильно неравенству 4, решением которого являются (-; ) (; ) 6 Ответ: (-; ) (; ) 6 ) Докажите неравенство 4 Доказательство: Так как, то неравенство представимо в виде ( ) 4 ( ) 4 что, очевидно, верно при любы значения Неравенство доказано 64 Функционально — графический метод решения уравнений, у ) = {} y =- y ={}, Ответ:, 7

18 у ) [] = {} y =[] y ={} Ответ:, у ),[] = y = y =,[] Ответ: Решений нет 8

19 Задача (V Соросовская олимпиада) Решите систему уравнений VIIРешение олимпиадны задач y z y z z y,9, Решение: Пусть a, b y, y, c z, z числа,,,,, где a, b, c целые В эти обозначения система имеет вид a и,9 b c, c Складывая уравнения системы, получим (a+b+c+α+β+γ)=9,4, то есть (a+b+c+α+β+γ)=4,7 Вычитая из полученного уравнения последовательно первое, второе и третье уравнения системы, имеем c,8 a, b,7, откуда следует, что с=, β=,8, a=, γ=,, b=, α=,7 имеет Ответ: (,7;,8;,) Задача Решите уравнение Решение: Найдём ОДЗ системы: Рассмотрим два случая: и Если, то и Если же, то В этом случае уравнение решений не и уравнение принимает вид, откуда 4 9

20 Задача Решите систему уравнений y y y Решение: Решение системы проведём графическим способом Уравнение y y определяет на плоскости кривую, состоящую из дву дуг гипербол и дуги окружности Если k<<k +, k Z, то [] = k, а [у] = -k и -k < у <- k Поэтому уравнение y определяет множество точек (;y) плоскости, координаты которы удовлетворяют системе неравенств k y k k k, k Z Эти точки образуют единичные квадраты Очевидно, что указанные линии имеют две общие точки (;) и (;) Ответ: (;l), (l;) Задача 4 Решите уравнение Решение: Так как, то уравнение принимает вид Сделав замену,, b a получим ) ( b a b a ab b a b a b a Данное квадратное уравнение не имеет корней (относительно b a ) при a и b Ответ: решений нет

21 VIIIЗаключение Тема «Целая и дробная части числа» — очень сложная и интересная часть математики Эти понятия широко используются в теории чисел, теории вероятностей и други раздела математики, а также в смежны наука Я рад, что узнал много нового, самостоятельно смог описать свойства функций целой и дробной части, научился решать уравнения и неравенства, содержащие целую и дробную части числа Считаю, что я буду чувствовать себя уверенно, если на олимпиада встретятся задачи, содержащие эти понятия К сожалению, современная школьная программа не предусматривает изучение данной темы Однако, в оде своего исследования я пришёл к выводу, что данный материал можно использовать на факультатива, на занятия математически кружков, начиная с пятого и заканчивая одиннадцатыми классами, и, конечно, при подготовке к олимпиадам А задачу, описанную во ведении, я решил так: «Найти число корней уравнения []+7{}=, где [] целая часть числа, а {} дробная часть числа» [] + 7{} = [ ] = — 7{} [] = ( — 7{}) / Оценим правую часть этого уравнения {} < < {} 7 < 7{} 7 < 7{} 98 < 7{} 97 < 7{} 4 4

22 97 < [] 4 [] 98, 99, 4, 4, 4 Мы нашли целые части чисел А так как нужно было количество чисел, то чисел будет и и дробные части можно не искать Ответ: чисел

23 IXСписок литературы Евсюк СЛ Математика Решение задач повышенной сложности Минск «Мисанта» г, с 44 Абрамов А М Ивлев БМ Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа «Просвещение» 99 г ВН Березин, ИЛ Никольская, ЛЮ Березина Сборник задач для факультативны и внеклассны занятий по математике, — М: 98 4 Вороной АН Уравнение с переменной под знаком целой или дробной части Журнал «Математика в школе», г, с часть 6

24 XПриложение (Они получаются при извлечении корней с точностью до, с недостатком и избытком) Сложив эти неравенства, получим +,7+,+,+,4 < < +,8+,6+,+, Те,< <,4 и, следовательно, []= Заметим, что число, отличается от не более чем на, Задача Найти наименьшее натуральное число m, для которого 4

25 Проверка показывает, что при k = и при k = полученное неравенство, не выполняется ни для какого натурального m, а при к = имеет решение m = Значит, искомое число равно Ответ: Задача Решить уравнение:

26 Задача 4 Решить уравнение По определению целой части полученное уравнение равносильно двойному неравенству 6

27 Задача Решить уравнение Решение: если два числа имеют одинаковую целую часть, то и разность по абсолютной величине меньше, и поэтому из данного уравнения следует неравенство 7

28 И поэтому, во-первы,, а во-вторы, в сумме, стоящей в середине полученного двойного неравенства, все слагаемые, начиная с третьего, равны, так что < 7 Поскольку целое число, то остается проверить значения от до 6 Решениями уравнения оказываются числа,4 и Ответ: ; 4; Задача 7 Решить систему уравнение 8

29 Ответ: (4;) 9

30 Задача 8 Найти число корней уравнения Преобразуем, неравенство к виду, откуда получим, что искомое количество целы чисел равно Значит, число корней данного уравнения равно Ответ: Задача 9 (Соросовская олимпиада) Решить уравнение


docplayer.ru

Решение уравнений, содержащих целую часть числа стр. 1-2

Министерство образования Российской Федерации

МОУ »СОШ №38»

Реферат

Целая и дробная части числа

Выполнил: Остащенко О. Г.

г. Братск, 10 класс, МОУ »СОШ №38»

Научный руководитель: Попугаева Г. Н.

г. Братск 2005г.

Содержание

  1. Введение

  2. Основная часть

  1. Определение целой части числа—————————————-стр. 1

  2. Решение уравнений, содержащих целую часть числа—————стр. 1-2

  3. Определение дробной части числа————————————-стр. 3

  4. Решение уравнений, содержащих дробную часть числа ———-стр. 3-4

  5. Решение неравенства, содержащего целую и дробную части числа-стр. 5

  6. Функция у=[x], ее свойства и график———————————-стр. 6-7

  7. Функция у={x}, ее свойства и график———————————стр. 8

  8. Преобразование графиков в системе координат ———————стр. 9-10

  9. Графики, содержащие целую и дробную части——————— стр. 11-12

  10. Графическое решение уравнений, содержащих целую и дробную части числа—————————————————————————стр. 13

  1. Заключение

  2. Список литературы

Аннотация

В данной работе даются определения таких понятий, как »дробная» и »целая» части числа, решения задач на данную тему, не входящую в программу для общеобразовательных школ, но предлагаемых на вступительных экзаменах по математике и олимпиадах.

Введение

Участвуя в олимпиадах по математике, я столкнулся с трудностями при использовании таких понятий, как »целая» и »дробная» части числа, эти понятия представляют наибольшую сложность, как в логическом, так и в техническом плане. Так как данной темы нет в программе для общеобразовательных школ, то я поставил перед собой следующие цели:

    1. познакомиться с понятиями »целая» и »дробная» части числа

    2. уметь применять эти понятия при решении уравнений и неравенств

    3. рассмотреть функции вида: y=[x] и y={x} их графики и свойства

Целая часть числа — 1 —

Целой частью числа x называется наибольшее целое число n, не превышающее x. Целая часть числа x обозначается символом [x] или (реже) E(x) (от фр. entier «антье» — целый).

Примеры: [2,6] = 2; [- 2,6] = -3.

Свойство целой части числа:

Если x принадлежит интервалу [n; n +1), где n — целое число, то [x]=n, т.е. x находится в интервале [ [x]; [x]+1). Значит [x]  x 

Решение уравнений, содержащих целую часть числа

— 2 —

Решение системы неравенств:

-1 0 1 4 5 6


     

Дробная часть числа — 3 —

Дробной частью числа называют разность между самим числом x и его целой частью.

Примеры: {2,81} = 0, 81; {-0,2} = 0,8

Свойство дробной части числа:

Дробная часть числа всегда неотрицательна и не превышает 1, т.е.

Решение уравнений, содержащих дробную часть числа

— 4 —

— 5 —

Решение неравенства, содержащего дробную и целую части числа

— 6 —

Функция y=[x], ее свойства и график

1. Функция имеет смысл для всех значений переменной x, что следует из определения целой части числа и свойств числовых множеств. Следовательно, ее областью определения является все множество действительных чисел:

D([x]) = R.

2. Функция ни четная, ни нечетная, т.е. не выполняется ни условие четности ( f (-x) = f (x) ), ни условие нечетности ( f (-x) = — f (x) ).

3. Функция y = [x] не периодическая.

4. Множество значений функции y = [x], это множество целых чисел (по определению целой части числа)

E ([x]) = Z

5. Функция неограничена, так как множество значений функции — все целые числа, множество целых чисел неограничено.

6. Функция разрывная. Все целые значения x — точки разрыва первого рода с конечным скачком равным 1. В каждой точке разрыва имеется непрерывность справа.

7. Функция принимает значение 0 для всех x, принадлежащих интервалу [0;1), что следует из определения целой части числа. Следовательно, нулями функции будут все значения этого интервала.

8. Учитывая свойства целой части числа функция y = [x] принимает отрицательные значения при x меньших нуля, и положительные значения при x больших 1.

9. Функция y = [x] кусочно — постоянная и неубывающая.

10. Точек экстремума функция не имеет, так как не меняет характер монотонности.

11. Так как функция y = [x] постоянна на каждом интервале [n ; n+1), она не принимает наибольшего и наименьшего значений на области определения.

— 7 —

12. График функции.

— 8 —

Функция y={x}, ее свойства и график

1. Функция имеет смысл для всех значений переменной x, что следует из определения дробной части числа. Таким образом, область определения этой функции все действительные числа:

D({x}) = R.

2. Функция ни четная, ни нечетная, не выполняется ни условие четности ( f (-x) = f (x) ), ни условие нечетности ( f (-x) = — f (x) ).

3. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом T = 1.

4. Функция y = {x} принимает значения на интервале [0 ; 1), что следует из определения дробной части числа, т.е.

E({x}) = [0 ; 1).

5. Из предыдущего свойства следует, что функция y = {x} ограничена.

6. Функция y = {x} непрерывна на каждом интервале [n ; n+1), где n — целое, в каждой точке n функция терпит разрыв первого рода. Скачок равен 1.

7. Функция y = {x} обращается в 0 при всех целых значениях x, что следует из определения функции. То есть нулями функции будут все целочисленные значения аргумента.

8. Функция y = {x} на всей области определения принимает только положительные значения.

9. Функция, строго монотонно возрастающая на каждом интервале [n; n+1), где n — целое число.

10. Точек экстремума функция не имеет, так как не меняет характер монотонности.

11. Учитывая свойства 6 и 9, на каждом интервале [n; n+1) функция y = {x} принимает минимальное значение в точке n.

12. График функции.

— 9 —

Преобразование графиков в системе координат

y = [2x]

сжатие

вдоль оси OX в 2 раза

y = {2x}

сжатие

вдоль оси OX в 2 раза

— 10 —

y = 2[x]

растяжение

вдоль оси OY в 2 раза

y = 2{x}

растяжение

вдоль оси OY в 2 раза

— 11 —

Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному условию

— 12 –

Построить график функции

— 13 —

Графическое решение уравнений содержащих целую и дробную части числа

1 – x = {x}

y=1-x

y={x}

Ответ:

[x] = 2{x}.

y=[x]

y=2{x}

Ответ:

0,5[x] =

y=

y=0,5[x]

Ответ: Решений нет.

Заключение

В ходе своего исследования я пришёл к выводу, что данный материал можно использовать на факультативах, элективных уроках, при подготовке к олимпиадам и вступительным экзаменам в ВУЗ.

Список литературы.

  1. В.А. Кирзимов, Центр образования «Царицыно» № 548, М. 2000 г.

  2. Милованова Л.Н. Функции и их исследование.- М.: Академия педагогических наук РСФСР, 1958 г.

  3. Глаголева Е.Г. Серебринкова Л.Г. Метод координат

  4. Евсюк С.Л.  Математика. Решение задач повышенной сложности. Минск «Мисанта» 2003 г.

  5. Абрамов А. М. Ивлев Б.М. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа «Просвещение» 1990 г.

gigabaza.ru

Целая и дробная части числа

Разделы: Математика


Цели урока: познакомить учащихся с понятием целой и дробной части числа; сформулировать и доказать некоторые свойства целой части числа; познакомить учащихся с широким спектром применения целой и дробной части числа; совершенствовать умение решать уравнения и системы уравнений, содержащих целую и дробную части числа.

Оборудование: плакат “Кто смолоду делает и думает сам, тот и становится потом надёжнее, крепче, умнее” (В. Шукшин).
Проектор, магнитная доска, справочник по алгебре.

План урока.

  1. Организационный момент.
  2. Проверка домашнего задания.
  3. Изучение нового материала.
  4. Решение задач по теме.
  5. Итоги урока.
  6. Домашнее задание.

Ход урока

I. Организационный момент: сообщение темы урока; постановка цели урока; сообщение этапов урока.

II. Проверка домашнего задания.

Ответить на вопросы учащихся по домашнему заданию. Решить задачи, вызвавшие затруднения при выполнении домашней работы.

III. Изучение нового материала.

Во многих задачах алгебры приходится рассматривать наибольшее целое число, не превосходящее данного числа. Такое целое число получило специальное название “целая часть числа”.

1. Определение.

Целой частью действительного числа х называется наибольшее целое число, не превосходящее х. Целая часть числа х обозначается символом [x] или Е(х) (от французского Entier “антье” ─ “целый”). Например, [5] = 5, [π] = 3,

Из определения следует, что [x] ≤ х, так как целая часть не превосходит х.

С другой стороны, т.к. [x] – наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству, то [x] +1>х. Таким образом, [x] есть целое число, определяющееся неравенствами [x] ≤ х< [x] +1, а значит 0 ≤ х ─ [x] < 1.

Число α = υ ─ [x] называют дробной частью числа х и обозначают {х}. Тогда имеем: 0 ≤ {х}<1 и следовательно, х = [x] + {х}.

2. Некоторые свойства антье.

1. Если Z – целое число, то [x+Z] = [x] + Z.

2. Для любых действительных чисел х и у: [x+у] ≥ [x] + [у].

Доказательство: так как х = [x] + {х}, 0 ≤ {х}<1 и у = [у] + {у}, 0 ≤ {у}<1, то х+у= [x] + {х} + [у] + {у}= [x] + [у] + α, где α = {х} + {у} и 0 ≤ α <2.

Если 0 ≤ α <1. ςо [x+у] = [x] + [у].

Если 1≤ α <2, т.е. α = 1 + α`, где 0 ≤ α` < 1, то х+у = [x] + [у] +1+ α` и

[x+у]= [x] + [у]+1>[x] + [у].

Это свойство распространяется на любое конечное число слагаемых:

[x1 +x2 + x3 + ….. + xn] ≥ [x1] + [x2] + [x3] + … + [xn].

Умение находить целую часть величины очень важно в приближенных вычислениях. В самом деле, если мы умеем находить целую часть величины х, то, приняв [x] или [x]+1 за приближенное значение величины х, мы сделаем погрешность, величина которой не больше единицы, так как

≤ х – [x]< [x] + 1 – [x]=1,
0< [x] + 1– x ≤[x] + 1 – [x] =1.

Более того, значение целой части величины позволяет найти ее значение с точностью до 0,5. За такое значение можно взять [x] + 0,5.

Умение находить целую часть числа позволяет определить это число с любой степенью точности. Действительно, так как

[Nx] ≤ Nx ≤[Nx] +1, то

 При большем N ошибка будет мала.

IV. Решение задач.

(Они получаются при извлечении корней с точностью до 0,1 с недостатком и избытком). Сложив эти неравенства, получим

1+0,7+0,5+0,5+0,4 < х < 1+0,8+0,6+0,5+0,5.

Т.е. 3,1< x <3,4 и, следовательно, [x]=3.

Заметим, что число 3,25 отличается от х не более чем на 0,15.

Задача 2. Найти наименьшее натуральное число m, для которого

Проверка показывает, что при k = 1 и при k = 2 полученное неравенство, не выполняется ни для какого натурального m, а при к = 3 имеет решение m = 1.

Значит, искомое число равно 11.

Ответ: 11.

Антье в уравнениях.

Решение уравнений с переменной под знаком “целой части” обычно сводится к решению неравенств или систем неравенств.

Задача 3. Решить уравнение:

Задача 4. Решить уравнение

По определению целой части полученное уравнение равносильно двойному неравенству

Задача 5. Решить уравнение

Решение: если два числа имеют одинаковую целую часть, то их разность по абсолютной величине меньше 1, и поэтому из данного уравнения следует неравенство

И поэтому, во-первых, x ≥ 0 , а во-вторых, в сумме, стоящей в середине полученного двойного неравенства, все слагаемые, начиная с третьего, равны 0, так что x < 7.

Поскольку х – целое число, то остается проверить значения от 0 до 6. Решениями уравнения оказываются числа 0,4 и 5.

Ответ: 0; 4; 5.

Задача 7. Решить систему уравнение

Ответ: (4;5)

Самостоятельное решение задач

(Провести проверку с помощью проектора.)

Задача 8.

Найти число корней уравнения

Преобразуем, неравенство к виду , откуда получим, что искомое количество целых чисел равно 5. Значит, число корней данного уравнения равно 5.

Ответ: 5.

Задача 9. (Соросовская олимпиада).

Решить уравнение

V. Итоги урока:

а) провести проверку самостоятельных работ с помощью проектора;

б) ответить на вопросы:

  1. “Дайте определение целой и дробной части числа”;
  2. “При решении, каких задач используется целая и дробная часть числа?”;

в) выставление отметок.

VI. Домашнее задание.

Дополнительная задача (по желанию).

Некто измерил длину и ширину прямоугольника. Он умножил целую часть длины на целую часть ширины и получил 48; умножил целую часть длины на дробную часть ширины и получил 3,2; умножил дробную часть длины на целую часть ширины и получил 1,5. Определите площадь прямоугольника.

3.04.2011

urok.1sept.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.