Целое уравнение и его корни. 9-й класс

Целое уравнение и его корни. 9-й класс

• Кутенкова Татьяна Васильевна, учитель математики

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Класс: 9

---

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (991 кБ)

---

Предмет: Алгебра.

Класс: 9.

Тема и номер урока в теме: Целое уравнение и его корни, 1 урок.

Базовый учебник: Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра: учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений. Под редакцией Дорофеева Г. В., 5-е изд. – М.: Просвещение, 2012.

Цель урока: способствовать формированию представления о понятии «целое уравнение», познакомить со способами решения целых уравнений.

Планируемые результаты:

• образовательные (формирование познавательных УУД): научить в процессе реальной ситуации использовать определения следующих понятий: «корень уравнения», «степень уравнения», повторить способы решения уравнений первой и второй степени.
• воспитательные (формирование коммуникативных и личностных УУД): умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу со сверстниками и строить продуктивное взаимодействие, воспитывать ответственность и аккуратность.
• развивающие (формирование регулятивных УУД)
  • умение обрабатывать информацию и ранжировать ее по указанным основаниям;
  • формировать коммуникативную компетенцию учащихся;
  • выбирать способы решения уравнений;
  • контроль и оценка процесса и результатов деятельности.

Метапредметные результаты: способствовать умению анализировать полученную информацию и на основе данного анализа составлять алгоритм работы.

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, групповая.

Организация деятельности учащихся на уроке:

• самостоятельно выходят на проблему и решают её;
• самостоятельно определяют тему, цели урока;
• выводят правила решения целых уравнений;
• решают самостоятельно уравнения;
• оценивают результаты своей деятельности на уроке.

Необходимое оборудование: компьютер, проектор, учебники по математике, раздаточный материал (пазлы для математической мозаики, карточки с заданиями для самостоятельной работы, карточки с домашним заданием, карточки для рефлексии), электронная презентация, выполненная в программе PowerPoint.

Технологическая карта урока

9.01.2019

Конспект и презентация открытого урока «Целое уравнение» в 9 классе

Тема урока: Целое уравнение и его корни.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Форма проведения: урок теоретических и практических самостоятельных работ

(исследовательского типа)

Цель урока:. восприятие учащимися и первичное закрепление ими нового учебного материала.

Задачи:

Образовательные:

-обобщить и углубить сведения об уравнениях;

— ввести понятие целого уравнения и его степени;

— сформировать навыки решения рациональных уравнений с помощью разложения на множители;

Развивающие:

— способствовать развитию у учащихся познавательного интереса, самостоятельности в овладении новыми знаниями, умение выделять главное в учебном материале;

— способствовать развитию умений оперировать математическими понятиями при ответе на вопрос.

Воспитательные:

— способствовать развитию таких личностных качеств как чувство самоуважения и взаимоуважения, умения работать в сотрудничестве.

Оборудование: — мультимедийный проектор, компьютер, экран.

Формы организации познавательной деятельности: фронтальная, работа в группах, коллективная работа.

Методы обучения: по источнику приобретенных знаний – словесные, практические; по уровню познавательной активности – индуктивный, проблемный, частично-поисковыйВ ходе урока используются следующие личностно ориентированные педагогические технологии:

-педагогика сотрудничества;

-проблемное обучение;

-игровые технологии.

Ход урока.

1.Орг. момент. (слайд 2)( психологически подготовить учащихся к общению на учебном занятии).

-Добрый день! Я рада вас видеть. Желаю вам хорошего настроения и успехов на уроке. Садитесь.

— Ребята, сегодня у нас на уроке присутствуют гости из соседних школ. Оглянитесь, посмотрите, поприветствуйте их улыбкой, и мы начнем наш урок.

-А начну я его с притчи:

«Однажды к учителю подошел ученик поймавший бабочку и спросил: «Учитель, какая у меня в руках бабочка: живая или мертвая?» Учитель, даже не взглянув на ученика, ответил: «Все в твоих руках»»

— Вот и наш сегодняшний урок в наших руках.

2. Целеполагание и актуализация опорных знаний. (Обеспечить включение школьников в совместную деятельность по определению целей учебного занятия; обеспечить мотивацию учения школьников). (повторение теоретического материала, необходимого при изучении нового материала). (слайд 3)

— Ребята что вы видите на экране?

(Уравнения).

-Что такое уравнение?

(Равенство, содержащее переменную)

-А что с уравнением обычно делают?

(Решают)

— А что значит решить уравнение?

(Найти все его корни, или доказать, что корней нет).

— Что называется корнем уравнения?

(Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство).

— Молодцы! Ребята, посмотрите, пожалуйста, еще раз внимательно на экран, разделите данные уравнения на две группы. По какому признаку вы их разделили?

(Здесь целые уравнения и дробно- рациональные)

-А какие уравнения на ваш взгляд проще решать? Это и будет тема нашего урока «Целое уравнение и его корни» ) (слайд 4-5)

-Действительно, сегодня мы познакомимся с целыми уравнениями, узнаем как определить степень уравнения, рассмотрим способы решения целых уравнений. Откройте тетради. Запишите дату и тему урока.

3.«Открытие» нового знания. (Обеспечить восприятие, осмысление и первичное запоминание учащимися изучаемого материала.)

А какие выражения называют целыми? (Выражения, которые составлены из чисел и переменных, с помощью знаков сложения, вычитания, умножения и деления на число, отличное то нуля.)

-Давайте попробуем сформулировать определение целого уравнения с одной переменной. Посмотрите на слайд и вставьте пропущенные слова в определение

(слайд 6)

(уравнения, в которых левая и правая часть являются целыми выражениями, называются целыми уравнениями с одной переменной).

Какой многочлен называют многочленом стандартного вида? (Слайд 7)

— А что называется степенью многочлена? (Слайд 8)

Наибольший показатель степени переменной

-Ребята, вспомните, пожалуйста, как определить степень уравнения?(Слайд 9)

(Нужно выполнить преобразования, чтобы в левой части получить многочлен стандартного вида, а в правой нуль. Наивысшая степень многочлена и будет степенью данного уравнения.).

— Определите степень уравнения (слайд 10)

(а-5, б-10, в-4, г-1, д-1,)

— Ребята, уравнения какой степени вы уже умеете решать?

(первая, вторая, третья)

— А кто помнит, какова цель нашего урока?

(научиться решать целые уравнения)

— Совершенно верно! И так, начнём решать целые уравнения.(слайд 11)

— Уравнения ребята бывают 1, 2, 3, 4, и более высоких степеней. Мы с вами большей частью решаем уравнение I, II иногда III степени. Давайте решим уравнение I степени и узнаем, сколько оно может иметь корней. (слайд 11)

2х+5=15 0х=7 4х=1

(а)- 2,5; б)-решений нет; в)- 0,25)

-Решили? Называем решения. Сделайте вывод … Сколько корней может иметь уравнение I степени?

(Не более одного.)

х²-5х+6=0 у²-4у+7=0 х²-12х+36=0(Слайд 12)

-Рассмотрим уравнения на следующем слайде. (слайд 12) Запишите в тетрадях решение: 1 гр – 1 ур, 2 гр – 2 ур, 3 гр – 3 ур.

— Проверим … А теперь хором ответьте на вопрос: Сколько корней может иметь каждое уравнение II степени?

(Не более двух)

— А как вы думаете, сколько корней будет иметь каждое уравнение 3 степени? 4 степени? 5 степени? 6 степени? 7 степени? n-ой степени?

(Не более трех, не более четырех, не более пяти, не более шести, не более семи)

-То есть, вообще уравнение n-ой степени имеет не более n корней.

4. Физминутка. ( упражнение на релаксацию).(Слайд 13)

-Продолжаем работу.

-Вы уже решили уравнения первой и второй степени, давайте попробуем решить уравнение третьей степени (слайд 14)

Разберем способы решения уравнений

I способ:

Первая группа уравнений

0,5х³-72х=0 2х³-8х=0 (слайд 12)

— Посмотрите внимательно на данное уравнении каким способом, мы будем его решать, как нам лучше это сделать? (Разложение на множители)

Какими способами можно разложить многочлен на множители? (вынесение, группировка, формулы сокр. умн.)

— Когда произведение равно нулю?

Следующее уравнение

— Запишите ответ

5. Этап оценивания знаний учащихся

№272

-предлагаю вам решить предложенные уравнения по карточкам, используя решения уравнений вы соберете мозаику и увидите в каких областях нашли свое применение различные уравнения и их значимость для нас.

2 карточка. Решите целые уравнения

1) х⁶=4х⁴

2) 2х⁴-х³=0

3) (5х-2) (11-х)=0

4) х⁴-17х²+16=0

5) (х²-3) ²+х²-3=2

Ответы: 1) 0; -2; 2

2) 0; ½

3) 2/5; 11

4) -1; 1; -4; 4

5) -1; 1; -2; 2

ЭКОНОМИКА

3 карточка. Решите целые уравнения

1) х⁶=9х⁴

2) х³-64х=0

3) (х-1)(х+1)=24

4) х⁴+5х²-6=0

5) х³-4х²-9(х+4)=0

Ответы: 1) -3;0;3

2) 0;-8; 8

3) -5;5

4) -1; 1

5) 4; -3; 3

АСТРОНОМИЯ

6. Подведение итогов урока (слайд 15

-А теперь давайте, ребята обобщим то, о чём мы говорили.

— Какие уравнения мы сегодня решали?

— Какой степени они были?

— Вспомните методы решения уравнений!

— Перечислите: сколько корней может иметь целое выражение____ степени?

7. Контроль и рефлексия.  -Каждому предлагаю нарисовать на доске смайлик цветным мелом, если все было понятно –смайлик в верхней части доски

Если что-то осталось непонятно – в средней части

Если ничего не понятно – в нижней

В начале урока я прочитала вам притчу, подводя итог хочу сказать : действительно всё в ваших руках, дерзайте и у вас всё получится

.

8. Домашнее задание. (слайд 16)

П.12 №272(а,в,д),285

Пусть наш урок послужит для вас кирпичиком в здании под названием «МАТЕМАТИКА». И я хочу чтобы каждый из вас испытывал удовольствие, приходя на эти уроки. Спасибо за урок. До свидания!

Решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата

Математика 9 Урок 1-A: Решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата

Реклама

1 из 15

Верхний вырезанный слайд

Скачать для чтения офлайн

90 002 Образование

В этой презентации PowerPoint обсуждаются или рассказывает о теме или уроке «Решение квадратных уравнений с помощью заполнения квадрата». Также обсуждаются этапы решения квадратных уравнений методом заполнения квадрата.

Реклама

Реклама

Математика 9 Урок 1-A: Решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата

1. РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЯ ПО ЗАВЕРШЕНИЕ КВАДРАТ
2. ДЛЯ ФАКТОРА ИДЕАЛЬНОГО КВАДРАТНЫЙ ТРИНОМ: 1. Найдите положительные квадратные корни каждого из две идеальные квадратные терминологии 2. Соедините два квадратных корня знаком числовой коэффициент оставшегося члена (второй член) данного трехчлена 3.
   Укажите, что этот бином используется дважды как фактор
3. КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ х2 + Ьх + ( б 2 )2 = [х + б 2 ]2
4. ЗАВЕРШЕНИЕ КВАДРАТ: В выражении вида x2 + bx или x2 — bx, добавьте постоянный член ( б 2 )2 до завершить квадрат
5. ЗАВЕРШЕНИЕ КВАДРАТ: ПРИМЕР: х2 + 14х ______ РЕШЕНИЕ а. Чтобы завершить квадрат, добавлять ( 14 2 )2 или 49 б. Заполните квадрат: x2 + 14х + 49 в. Факторная форма: (x+7) 2
6. ЗАВЕРШЕНИЕ КВАДРАТ: Пример: х2 + 24х = 36 x2 + 24x + 144 = 36 + 144 (дополнительное свойство равенства) (x+12)2 = 180 (Умножьте левую часть и добавьте цифры справа) x + 12 = ±√180 (Используйте принцип квадратного корня) X = -12 ±√180 (вычтите 12 с обеих сторон)
7. ЗАВЕРШЕНИЕ КВАДРАТ: x = -12 ± √ 36,5 (фактор подкоренной) x= -12 ±6√5 (упростите радикал) В этом примере есть два решения: х= -12 + 6√5 х= -12-6√5
8. ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЗАПОЛНЕНИЕ КВАДРАТ: 1. Переставить все термины, содержащие неизвестное в левую часть уравнения и постоянный член в правой части, если необходимо 2. Разделите каждый член уравнения на числовой коэффициент члена x2, если необходимый. Это изменит уравнение на форма x2 + bx = c
9. ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЗАПОЛНЕНИЕ КВАДРАТ: 3. Разделите коэффициент при x на 2, возведите его в квадрат, затем прибавьте результат обеих частей уравнения 4. Фактор левой части уравнения. Это совершенный квадратный трехчлен. Упростить правую сторону 5. Извлеките квадратный корень из выражения на обоих стороны уравнения. Поставьте знак ± перед квадратный корень в правой части
10. ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЗАПОЛНЕНИЕ КВАДРАТ: 6. Приравнять квадратный корень в левой части выражения к положительному квадратному корню с правой стороны шага 5. Найдите первый корень. Затем найдите второй корень уравнения 7. Приравняйте квадратный корень из левой части выражения. к отрицательному квадратному корню из правой части шага 5. Найдите второй корень.
11. ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЗАПОЛНЕНИЕ КВАДРАТ: 8. Проверьте каждый корень, заменив его на оригинальный экватор
12. ПРИМЕР: 2х2 + 4х + 1 = 0 Шаг 1: Перенесите постоянный член в правую часть (2×2 + 4x = -1) Шаг 2: Сделайте коэффициент x2 равным 1, умножив все условия по 1 2 (х2 + 2х = — 1 2 )
13. ПРИМЕР: Шаг 3: Завершите квадрат, добавив квадрат половины коэффициент x к обеим частям уравнения. Это ( 2 2 )2 или 1. (х2 + 2х + 1 = — 1 2 + 1) Шаг 4: факторизовать левую сторону и выполнить операцию на правая сторона (х + 1)2 = 1 2
14. ПРИМЕР: Шаг 5: Примените принцип квадратного корня (х + 1 = ± √ 1 2 ) Шаг 6: Упростите радикал (х + 1 = ± √2 2 ) Шаг 7: Найдите x, вычитая единицу с обеих сторон (х = 1 ± √2 2 )
15. ПРИМЕР: х = -1 + √2 2 х = -1 — √2 2 «=» − 2+ √2 2 «=» − 2 − √2 2

Реклама

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения

Реклама

1 из 160003

Технология

Реклама

Реклама

Квадратные уравнения

1. Квадратные уравнения Автор: Сушмита Кумари Ролл: 03 Класс: Х «В»
2. Определение • В математике квадратное уравнение – это полиномиальное уравнение второй степени. общая форма 2 топор бх с 0 • где x представляет собой переменную или неизвестную величину, a, b и c — константы с a ≠ 0. (Если a = 0, уравнение является линейным уравнением. ) • Константы a, b и c называются соответственно, квадратичный коэффициент, линейный коэффициент и постоянный член или свободный член.
3. Квадратичный и корни Квадратичный: многочлен степени = 2 у= ах2+bх+с является квадратным уравнением. (а 0) Вот пример одного из них: • Название Quadratic происходит от слова «quad», что означает «квадрат». потому что переменная возводится в квадрат (например, x2). • Его также называют «уравнением степени 2» (из-за «2» на х)
4. Корни  Вещественное число α называется корнем квадратное уравнение ,а≠0 если aα2 + bα2 + c = 0.  Если α является корнем , то мы скажи это: (i) x= α удовлетворяет уравнению ax2+bx+c =0 Или (ii) x= α является решением уравнения ах2+bх+с =0  Корень квадратного уравнения ax2+bx+c =0 называются нулями полинома ах2+бх+с .
5. Дополнительные примеры квадратичных Уравнения  В этом a=2, b=5 и c=3.  Это немного сложнее: Где а? На самом деле a=1, как мы обычно не делаем. пишем «1×2» b = -3 а где с? Ну с=0, значит не отображается.  Ой! Этот не квадратное уравнение, потому что в нем отсутствует x2 (в Другими словами, a=0, а это значит, что этого не может быть. квадратичный)
6. Скрытые квадратные уравнения! До сих пор мы видели «стандартную форму» квадратичного Уравнение: Но иногда квадратное уравнение выглядит не так..! Вот несколько примеров различных форм: Замаскированный В стандартной форме a, b и c x2 = 3x -1 Переместить все члены в x2 — 3x + 1 = 0 a=1, b=-3, c=1 левая сторона 2(w2 — 2w) = 5 Расширить (отменить 2w2 — 4w — 5 = 0 a=2, b=-4, c=-5 скобки) и сдвинуть 5 влево z(z-1) = 3 Разверните и переместите a=1, b=-1, c=-3 3 влево г2 — г — 3 = 0 5 + 1/x — 1/x2 = 0 Умножить на x2 5×2 + x — 1 = 0 a=5, b=1, c=-1
7. Как это решить? Есть 3 способа найти решение:  Мы можем разложить квадратное число на множители (найти, на что умножить, чтобы получить Квадратное уравнение)  Мы можем заполнить квадрат или  Мы можем использовать специальную квадратичную формулу: Таким образом, ax2+bx+c =0 имеет два корня α и β, заданные формулой б б 2 4 ац б б 2 4 ац α= β= 2а 2а
8. Дискриминант  Выражение b2 — 4ac в формуле  Он называется Дискриминантом, потому что он может «различать» между возможными типами ответа. Его можно обозначить буквой «D»  когда b2 — 4ac, D положительно, вы получаете два действительных решения  когда он равен нулю, вы получаете только ОДНО действительное решение (оба ответа одинаковый)  когда он отрицателен, вы получаете два Комплексных решения Значение D Природа корней Корни D>0 Действительный и неравный [(-b±√D)/2a] D=0 Действительный и равный Каждый корень = (-b/2a) D<0 Нет действительных корней Нет
9. Использование квадратичной формулы Просто поместите значения a, b и c в квадратичную формулу и выполните расчет Пример: решить 5x² + 6x + 1 = 0 Коэффициенты: a = 5, b = 6, c = 1 Квадратичная формула: x = [-b ± √(b2-4ac)] / 2a Подставьте а, б и в: 6 62 4 5 1 х= 2 5 6 36 20 Решите: х = 10 6 16 х= 10 6 4 х= 10 х = -0,2 или -1
10. Продолжить..  Ответ: х = -0,2 или х = -1  Проверка -0,2: 5×(-0,2)² + 6×(-0,2) + 1 = 5×(0,04) + 6×(-0,2) + 1 = 0,2 -1,2 + 1 =0  Проверка -1: 5×(-1)² + 6×(-1) + 1 = 5×(1) + 6×(-1) + 1 =5-6+1 =0
11. Факторинг Квадратика  «Разложить на множители» (или «разложить на множители») квадратное число — это найти, на что умножить чтобы получить квадратное Это называется «Факторинг», потому что вы находите факторы (фактор что-то, на что вы умножаете)  Пример Множители x2 + 3x — 4: (х+4) и (х-1) Почему? Что ж, давайте умножим их, чтобы увидеть: (х+4)(х-1) = х (х-1) + 4 (х-1) = х2 — х + 4х — 4 = х2 + 3х – 4 • Умножение (x+4)(x-1) вместе называется расширением. • По сути, расширение и факторинг противоположны:
12. Примеры коэффициента Решить факторингом: 1. Установите уравнение равным нулю. 2. Фактор. Факторы будут линейными выражениями. 3. Установите каждый линейный коэффициент равным нулю. 4. Решите оба линейных уравнения. Пример: Решите, разложив на множители x2 + 3x = 0. x2 + 3x = 0 установить уравнение в ноль х ( х + 3) = 0 фактор х=0 , х+3=0 x = -3 установить линейные коэффициенты равными нулю и решить линейное уравнение
13. Завершение квадрата Решение общих квадратных уравнений путем завершения квадрат: «Завершение квадрата» — это то, где мы берем квадратное уравнение: ax2 + bx + c = 0 и превратиться в a(x+d)2 + e = 0 Мы можем использовать эту идею, чтобы решить квадратное уравнение (найти, где оно равен нулю). Но общее квадратное уравнение может иметь коэффициент a в перед х2: Но с этим легко справиться… просто разделите все уравнение на «а» сначала, потом продолжай.