Элементарные функции (11 класс) | Презентация к уроку по алгебре (11 класс) на тему:

Слайд 1

Элементарные функции Урок №1

Слайд 2

Функция – это одно из основных математических и общенаучных понятий , выражающее зависимость между переменными величинами. Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология, лингвистика и т.д. – имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и, что особенно важно, взаимосвязи этих объектов.

Слайд 3

В различных науках и областях человеческой деятельности возникают количественные соотношения, и математика изучает их в виде свойств чисел. Математика рассматривает абстрактные переменные величины и в отвлеченном виде, изучает различные законы их взаимосвязи, которые на математическом языке называются функциональными зависимостями , или функциями.

Слайд 4

Определение: 05/05/17 http://aida.ucoz.ru Пусть даны два множества Х и Y . Определение 1 . Если каждому элементу х из множества Х по определённому правилу или закону f ставится в соответствие один элемент у из множества Y , то говорят, что на множестве Х задана функция f и пишут , или у = f ( x ).

Слайд 5

Определение: 05/05/17 http://aida.ucoz.ru , или у = f ( x ). При этом величина х называется аргументом функции f , а множество Х – областью определения функции f . Величина х называется также независимой переменной , а величина у – зависимой переменной . Множество Y называется областью значений функции f . Область определения функции f обозначается через D ( f ), а область значений – через E ( f ).

Слайд 6

Способы задания функции: Задать функцию – значит указать область её определения и правило, по которому по данному значению независимой переменной можно найти соответствующее ему значение функции. Существует три основных способа задания функции :  аналитический,  табличный,  графический.

Слайд 7

Определение: 05/05/17 http://aida.ucoz.ru у = f ( x ) (1) Число, соответствующее для данной функции у(х), называют значением функции в точке х 0 и обозначают у(х 0 ) Если функция записана в виде (1), то число обозначают f (х 0 ).

Слайд 8

Определение функции: Является функцией у х х 2 х 1 у 2 у 1 О Не является функцией у х х о у 1 у 2 О Не является функцией у х х о у 1 у 2 О Какие из графиков являются графиками функций?

Слайд 9

Способы задания функции: аналитический табличный графический зависимость между переменными величинами задаётся с помощью формулы, указывающей, какие действия надо выполнить над аргументом, чтобы получить соответствующее ему значение функции. При этом функция может быть задана как одной формулой, например, так и несколькими формулами, например заключается в том, что зависимость между переменными задают с помощью таблицы. Хорошо известны, например, таблицы логарифмов, тригонометрических функций и др . состоит в том, что соответствие между переменными х и у задаётся с помощью графика функции. Графиком функции y = f ( x ) называется множество всех точек (х, у) плоскости XOY , координаты которых связаны соотношением y = f ( x ). Так, графики вышеназванных функций: f ( x ) и g ( x ) х 0 1 2 3 4 у 0 1 4 9 16

Слайд 10

Сложная функция 05/05/17 http://aida.ucoz.ru Пусть функция z = g ( x ) определена на множестве Х, а функция y = f ( z ) определена на множестве Z , причём область значений функции g содержится в области определения функции f . Функция y = f ( g ( x )) называется сложной функцией, или функцией от функции, или суперпозицией функций z = g ( x ) и y = f ( z ). X x y Z z y=f(z) z=g(x) y=f(g(x)) Y

Слайд 11

Сложная функция 05/05/17 http://aida. ucoz.ru Переменная х называется независимой переменной функции у, а функция z = g ( x ) – зависимой переменной, или промежуточным аргументом функции y = f ( x ). X x y Z z y=f(z) z=g(x) y=f(g(x)) Y

Слайд 12

Примеры: z=g(x) y=f(z) y=f(g(x)) 05.05.17 http://aida.ucoz.ru

Слайд 13

Примеры сложных функций Можно указать сложную функцию, в образовании которой участвует более двух функций. Например: 05.05.17 http://aida.ucoz.ru

Слайд 14

Элементарные функции Основными элементарными функциями называются следующие функции : степенная функция показательная функция логарифмическая функция , тригонометрические функции 05.05.17 http://aida.ucoz.ru

Слайд 15

Элементарные функции ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой у = f ( x ) , где f ( x ) – выражение, составленное из основных элементарных функций и действительных чисел с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции. 05.05.17 http://aida.ucoz.ru

Слайд 16

Упражнения : № 1.1- устно № 1.2(а) № 1.3(а) № 1.4(а-г) 05/05/17 http://aida.ucoz.ru

Слайд 17

Домашнее задание: п.1.1- читать № 1.2(б) № 1.3(б) № 1.4(д-з) 05/05/17 http://aida.ucoz.ru

Урок алгебры по теме «Основные способы преобразования графиков функций». 11-й класс

По учебнику Никольского С.М., Потапова М.К. и др.  «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс».

Тип урока: обобщающий интегрированный (математика + информатика) урок-практикум, включающий элементы исследовательской деятельности учащихся

Цели урока:

1. Образовательные

1. Обобщение и закрепление знаний, умений и навыков, полученных при изучении данной темы.
2. Формирование ИКТ-грамотности:
   • применение возможностей программы Microsoft Office Excel для построения и исследования графиков элементарных функций, а также для решения некоторых математических задач
   • формирование умений и навыков работы в электронных таблицах (автозаполнение, построение формул, построение графиков функций)

2.

Развивающие

1. Развитие мыслительной деятельности. Формирование умений оценивать и интегрировать информацию: анализировать и сравнивать графики функций, обобщать и применять полученные знания к преобразованию графиков различных элементарных функций
2. Развитие познавательной активности
3. Развитие памяти, внимания, самостоятельности при работе на компьютере

3. Воспитывающие

1. Формирование познавательного интереса путем описания математических объектов автоматическими средствами представления данных
2. Воспитание аккуратности, терпения, усидчивости
3. Воспитание понятия красоты и гармонии в науке

Ожидаемый результат:

Учащиеся должны знать основные способы преобразования графиков функций;

Уметь:

• строить графики элементарных функций
• применять способы преобразования графиков функций
• применять возможности компьютерной программы Microsoft Office Excel для построения графиков функций и решения задач, связанных с построением графиков функций

Оборудование:

1. Персональные компьютеры на каждого ученика (при нехватке компьютеров учащиеся могут выполнять практические задания в парах).
2. Мультимедийный проектор.
3. Презентация «Основные способы преобразования графиков функций».

I. Организационный момент, проверка готовности к уроку

II. Актуализация знаний

Учитель сообщает учащимся тему и цель урока. Основная задача урока — закрепление навыков использования теоретических знаний, приобретённых учащимися по данной теме, при решении практических задач с помощью электронных таблиц.

Для актуализации знаний демонстрируется презентация «Основные способы преобразования графиков функций». Учащиеся с места комментируют слайды презентации.

III.

Практическая часть (самостоятельная работа)

Учащиеся получают карточки-задания для практической работы (слайд 13 презентации).

Работа выполняется на компьютере с помощью программы Microsoft Office Excel. Каждому ученику необходимо построить не менее трёх графиков (на выбор или в соответствии с заданием на карточке, выданной учителем) так, чтобы на рисунке отражались все этапы построения графика (аналогично примерам, рассмотренным в презентации).

На слайдах 14-20 презентации показаны графики, которые должны получиться у учащихся (конечный график выделен бирюзовым цветом).

Пример. Построить график функции у = 1/2 sin (3x) – 2.

Этапы построения: у₁ = sin x → y₂ = sin (3x) → y₃ = 1/2 sin (3x) → у₄ = 1/2 sin (3x) – 2

Чтобы все этапы построения графика отображались на рисунке (для наглядности происходящих с функцией преобразований), ученик должен заполнить таблицу по следующему образцу:

	А	B	C	D	E
1	х	у1	у2	у3	у4
2	-8	=SIN(A2)	=SIN(3*A2)	=0,5*C2	=D2-2

Интервал для значений х можно выбрать, например, от -8 до 8 с шагом 0,2.

Выполнив автозаполнение и выделив всю получившуюся таблицу, ученик создаёт диаграмму (тип диаграммы – точечная, со значениями соединенными сглаживающими линиями):

Рис. 1

На этом рисунке график исходной функции у = sin x изображён линией синего цвета, график функции у = 1/2 sin (3x) – 2 изображён линией бирюзового цвета.

Если кто-то из учеников быстрее других справится с заданием, он может построить ещё один график из предложенного списка или помочь кому-то из одноклассников.

IV. Демонстрация практических приложений полученных знаний, умений и навыков

Одним из важнейших моментов математического образования является его практическая направленность. Ученики должны понимать, как они могут использовать полученные знания, умения и навыки, какие практические задачи они смогут решить с их помощью.

На этом этапе урока ученики рассматривают некоторые возможности применения полученных знаний и умений по данной теме.

• Математическое моделирование

В качестве домашнего задания к уроку несколько учащихся класса должны были разработать электронные шаблоны построения графиков элементарных функций:

Рис. 2

При составлении электронной таблицы для выполнения данного задания необходимо воспользоваться абсолютной адресацией с указанием адресов тех ячеек, в которые будут вводиться значения входящих в формулу функции параметров. Таким образом, с помощью одного шаблона можно будет построить целое семейство графиков функций, а также проследить за преобразованиями, происходящими с функцией при изменении значения того или иного параметра.

Пример. Создать шаблон для построения графика функции

y = а(х-m)² + b

Составляем таблицу, используя абсолютную адресацию:

	А	B	C	D	E	F
1	x	y	y1		Значения параметров
2	-5	=A2^2	=$F$2*(A2-$F$3)^2+$F$4		a =
3	-4,8	=A3^2	=$F$2*(A3-$F$3)^2+$F$4		m =
4	-4,6	=A4^2	=$F$2*(A4-$F$3)^2+$F$4		b =

При значениях а = 3, m = 2, b = -3 получается диаграмма:

Рис. 3

где линией синего цвета показан график основной функции у = х², а линией розового цвета график функции у = 3(х – 2)² – 3.

Ученики, выполнившие это задание дома, представляют с помощью мультимедийного проектора результаты своей работы. Набор электронных шаблонов, созданных учащимися, может быть оформлен в одну электронную книгу в качестве пособия по построению графиков функций, которое может пополнить школьную методическую копилку. (См. Приложение 1, листы 1-6)

• Использование графиков функций при решении некоторых задач

Ученики другой части класса в качестве домашнего задания к уроку готовили примеры, показывающие использование графиков функций при решении следующих задач:

• решение уравнений;
• решение систем уравнений;
• решение задач с параметром.

Задача 1. Решить уравнение 2х² — 23х + 65 = 0

Задача 2.